物体的动态平衡问题解题技巧

物体的动态平衡问题解题技巧

省高中 恩谱

一、总论

1、动态平衡问题的产生——三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，但物体仍然平衡，典型关键词——缓慢转动、缓慢移动……

2、动态平衡问题的解法——解析法、图解法

解析法——画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后由角度变化分析判断力的变化规律；

图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。

3、动态平衡问题的分类——动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、其他特殊类型

二、例析

1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定——动态三角形

【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为F N1，球对木板的压力大小为F N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水

平位置。不计摩擦，在此过程中

A ．F N1始终减小，F N2始终增大

B ．F N1始终减小，F N2始终减小

C ．F N1先增大后减小，F N2始终减小

D ．F N1先增大后减小，F N2先减小后增大

解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F N1、F N2随夹角变化的函数，然后由函数讨论；

【解析】小球受力如图，由平衡条件，有 0sin 2N =-mg F θ 0cos 1N 2N =-F F θ 联立，解得：θsin 2N mg F =，θ

tan 1N mg F =

木板在顺时针放平过程中，θ角一直在增大，可知F N1、F N2都一直在减

小。选B 。

解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和F N1的方向，然后按F N2方向变化规律转动F N2，即可看出结果。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F N1的方向始终水平向右，而F N2的方向逐渐变得竖直。 则由右图可知F N1、F N2都一直在减小。

【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。设F 的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则

F N2 mg

F F N1

F mg θ

A ．F 先减小后增大

B ．F 一直增大

C ．F 一直减小

D ．F 先增大后减小

解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F 随夹角θ变化的函数，然后由函数讨论；

【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有

0sin N =-+mg F F θ 0cos f =-F F θ 其中 N f F F μ= 联立，解得：θ

μθμsin cos +=

mg F 由数学知识可知)cos(12αθμμ-+=mg F ，其中μα1tan = 当μαθ1

arctan ==时，F 最小，则θ从0逐渐增大到90°的过程中，

F 先减小后增大。选A 。

解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方

向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。

【解析】小球受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合，

由N f F F μ=可知，μβ=tan 。 由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三 角形，其中重力mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成β角。

则由右图可知，当θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。

2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三角形的三边平行——相似三角形

【例2】半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小

滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，

另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小

球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N F 和绳对小球的拉力T F 的大小变化

的情况是

A 、N F 变大，T F 变小

B 、N F 变小，T F 变大

C 、N F 变小，T F 先变小后变大

D 、N F 不变，T F 变小

解法一：解析法（略）

解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可

形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与O AO '∆的三边始终平

行，即力的三角形与几何三角形O AO '∆相似。则有。 L F R F h R mg T N ==+ 其中，mg 、R 、h 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知，N F 不

变，T F 变小。

3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定

F N F

mg F f θ F mg

F f F 合θ β F F 合 mg β F N mg F f F N

mg F f O O ’