一次函数求最值问题PPT课件

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初中数学一次函数的最值问题

初中数学一次函数的最值问题一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。

但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。

一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。

图12、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当时，；当时，。

图23、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当时，；当，。

图34、如果，那么既没有最大值也没有最小值。

凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。

下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。

（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。

解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。

①当时，∴当x=40时，y的最小值为4400。

②当时，，此时y的值大于4400。

因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。

（2）设取奶站建在距A楼xm处。

①当时，，解得（舍去）。

②当时，解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。

（3）设A楼取奶人数增加a（）人，①当时，，解得（舍去）。

②当时，，解得，当a增大时，x增大。

专题73 一次函数在实际应用中的最值问题(解析版)

专题73 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．解：(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.解：观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－425.∴直线的解析式为y＝－425x＋100.当y＝100时，x＝0；当y＝84时，x＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L 所行驶的路程为x km ，则500∶80＝x ∶16，解得x ＝100.∴A 型汽车1 h 行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．3、有A B 、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A 和B 各发多少度电？（2）A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍，求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【答案】（1）焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度；（2）当60x =时，y 取最大值25800度.【详解】（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得：300260a b =⎧⎨=⎩ 答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度.（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧()90x -吨，总发电量为y 度，则300260(90)4023400y x x x =+-=+∵2(90)x x ≤-∵60x ≤∵y 随x 的增大而增大∵当60x =时，y 取最大值25800度.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】（1）A 的单价30元，B 的单价15元（2）购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少【详解】解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩， 3015x y =⎧∴⎨=⎩， ∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元，由题意可知，1(30)3z z ≥-， 152z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，当=8z 时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少；5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【详解】解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：5 23110 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得：2520xy=⎧⎨=⎩，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，w 最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【答案】（1）W=8t+900；（2）有三种购买方案．为了使拍照的资金更充足，应选择方案：购买30件文化衫、15本相册．【详解】1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，∵有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．∵W=8t+900中W随x的增大而增大，∵当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，∵为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种方案，当大型收割机用8台时，总费用最低，最低费用为4800元．【详解】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∵，解得：5≤m≤7，∵有三种不同方案．∵w=200m+4000中，200＞0，∵w值随m值的增大而增大，∵当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．【详解】解：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：6080504200m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：4020mn=⎧⎨=⎩．答：购进篮球40个，排球20个．（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，∵y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：512001400 8050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩，解得：40≤x≤1303．∵x取整数，∵x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．∵在y=5x+1200中，k=5＞0，∵y随x的增大而增大，∵当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当x≤10时，y与x的关系式为：；∵当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y=300x﹣600；∵y=﹣12x2+420x﹣600；（2）停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600；(2)依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20．故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；(3)、当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）；当x＞10时，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075，∵当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，∵x取17或18．显然x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元；（2）购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；其中购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．【详解】解：（1）设A品种芒果箱x元，B品种芒果为箱y元，根据题意得：23450{2275x yx y+=+=，解得：75{100xy==.答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．（2）设A品种芒果n箱，总费用为m元，则B品种芒果18﹣n箱，∵18﹣n≥2n且18﹣n≤4n，∵ 185≤n≤6，∵n非负整数，∵n=4，5，6，相应的18﹣n=14，13，12；∵购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；∵所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∵购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．11。

一次函数的实际应用PPT课件

∵y=﹣50m+15000，k=﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，∴当m=34时，y有最大值，
最大值为：﹣50×34+15000=13300（元）．
答：当购进A型自行车34辆，B型自行车6. 6辆时获利最大，最大利润为13300元．5
例2．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用 16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件， B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
1．我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，甲乙两团队联合购票比分别购票最多节约3400元，求a的值．

《一次函数》课件

REPORTING
经济问题中的一次函数
总结词：经济模型
详细描述：一次函数在经济领域中常被用作简化经济模型，例如，消费和收入之间的关系、生产成本和产量之间的关系等。通过一次函数，可以更直观地理解经济现象和预测未来的经济趋势。
物理问题中的一次函数
总结词：物理定律
详细描述：在物理学中，许多定律和公式都可以用一次函数来表示，例如，重力与距离的关系、电流与电压的关系等。通过一次函数，可以更准确地描述物理现象和预测实验结果。
2023
《一次函数最新》 ppt课件
REPORTING
2023
目录
• 一次函数简介 • 一次函数的表达式 • 一次函数的应用 • 一次函数的解析方法 • 一次函数的实际案例
2023
PART 01
一次函数简介
REPORTING
一次函数的定义
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，k≠0。
一次函数在数学问题中的应用
线性规划
利用一次函数解决资源分配问题，实现资源利用的最大化。
代数方程求解
通过一次函数表示代数方程，简化方程求解过程。
几何图形面积计算
利用一次函数计算几何图形的面积，如三角形、矩形等。
一次函数与其他数学知识的结合
与二次函数的结合
利用一次函数和二次函数的性质，解决更复杂的数学问题。
一次函数是线性函数的一种，它的图像是一条直线。
一次函数在平面坐标系中表示为一条直线，该直线经过点 (0,b)和斜率为k。
一次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，其斜率为k ，截距为b。
通过代入不同的x值，可以求出对应的y 值，从而得到函数的图像。

求函数的最大(小)值与值域课件

D．(0,4)
解析：由已知得 0≤16 － 4x ＜ 16,0≤ 16－4x＜ 16＝4，即函数 y＝
16－4x的值域是[0,4)．
答案：C
二、利用配方法和均值不等式求函数的最值
例
2，求
y

x2

1 x2
9(x
0)
的最小值
解析：； y x2 1 9(x 0) x2
2 (2)当函数 f(x)在(1，2)上单调时，求 a 的取值范围．
2
＝－
＝－
，
考点突 x 四利用x 导数求最值
破令 f′(x)＝0，解得 x＝1或 1. 2
当 x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递
2
2
减；当 x∈(1，1)时，f′(x)>0， 2
四、用换元法求最值
（2）求函数 y 2 4x x2
②解：令 t=4x x2 0 得 0x4 在此区间内 (4x x2) max =4 ，(4x x2 )min =0 ∴函数 y 2 4x x2 的值域是{ y| 0 y 2}
五、利用函数的单调性求最值
例 5、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足
(ⅱ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)min ＝f(b)，f(x)max＝f(a)；
(ⅲ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增(减)，在区间[b， c]上递减(增)，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值为 f(b)．
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《新课程标准》中函数求最值与值域的要求
.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替

一次函数绝对值和最值问题

含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。

（2）函数()||||f x x m x n =---：当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +；当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像；在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +；（3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。

一次函数课件ppt

掌握如何根据直线的方程求解一次函数，并了解直线的性质。
一次函数与两直线的交点
了解如何通过两直线的交点求解一次函数的解析式。
一次函数与抛物线的交点
了解如何通过抛物线的交点求解一次函数的解析式。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数与最值问题
掌握如何利用一次函数解决最值问题。
一次函数与不等式问题
了解如何利用一=kx+b(k,b是常数，k≠0)中，当b=0时， y=kx(k是常数，k≠0)，此时称y是x的正比例函数。
一次函数的表达式
表达式
y=kx+b(k,b是常数，k≠0)
变量的取值范围
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
截距的意义
b是常数项，表示与y轴的交点坐标。当b>0时，交点在y 轴的正半轴上；当b<0时，交点在y轴的负半轴上；当 b=0时，交点在原点。
03 一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
一次函数与一元一次方程的关系
01
了解如何用一次函数解决一元一次方程的问题。
一次函数的单调性
02
掌握如何根据函数的单调性求解函数的值域和定义域。
一次函数的零点
03
了解如何通过零点将函数进行分类，并求解函数的零点。
一次函数在几何中的应用
直线方程与一次函数的关系
一次函数的图像
图像的绘制
描点法，先确定自变量x的取值范围，然后分别在坐标系中找出对
应的y值，描点、连线即可得到一次函数的图像。
图像的性质
当k>0时，直线呈上升趋势；当 k<0时，直线呈下降趋势。截距b 的取值决定了直线与y轴交点的位置。

一次函数课件ppt

奇偶性
一次函数既不是奇函数也不是偶函数，因为它们的图像不关于原点或 y 轴对称。
02 一次函数的表达式与系数
一次函数的表达式
01
一次函数的一般表达式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，且 $a neq 0$。
02
当 $a > 0$ 时，函数为增函数；当 $a < 0$ 时，函数为减函数。
已知函数与$x$轴和$y$轴的截距，使用截距式$y = frac{x}{a} + frac{b}{a}$求函数解析式。
一次函数的解题技巧
数形结合
利用函数图像直观理解函数性质，如增减性、
最值等。
整体代入
在求解过程中，将表达式整体代入，简化计算
。
分类讨论
根据不同情况分类讨论，得出不同情况下的函
斜率与图像
斜率决定了图像的倾斜程度，当 a > 0 时，图像向右倾斜；当 a < 0 时，图像向左倾斜。
一次函数的性质
单调性
无界性
一次函数的单调性由斜率决定，当 a > 0 时，函数单调递增；当 a < 0 时，函数单调递减。
一次函数的值域是全体实数，即对于任意实数 x，y = ax + b 总有一个对应的值。
一次函数的系数
一次函数的斜率为 $a$，表示函数图像的倾斜程度。
当 $a > 0$ 时，函数图像从左下到右上倾斜；当 $a < 0$ 时，函数图像从左上到右下倾斜。
一次函数的应用
一次函数在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
在实际生活中，一次函数可以用来描述一些简单的问题，如速度与时间的关系、价格与数量的关系等。

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根据图象回答下列问题：（1）哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？当t=0时，B距海岸 0 n mile，即s=0，故 l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系。
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（3）15min内B能否追上A？延长 l1，l2，可以看出，当t=15时，l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方，这表明，15min时B尚未追上 A。
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（2）A，B哪个速度快？ t从0增加到10时，l2 的纵坐标增加了2，而 l1 的纵坐标增加了5，即10min内，A行驶了2 n mile，B 行驶了5n mile，所以B的速度快。
元，销售成本= 元，销售成本=
元；
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（3）当销售量等于时，销售收入等于销售成本；
（4）当销售量时，该公司盈利（收入大于成本）；
当销售量时，该公司亏损（收入小于成本）；
（5）l1对应的函数表达式是式是 .
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思考：
（1）水库干旱前的蓄水量是多少？
（2）干旱持续10天，蓄水量是多少？干旱持续23天呢？

初二数学《一次函数》课件

进阶习题
01
A. (4,4) 或 (-4,-4)
02
B. (4,-4) 或 (-4,4)
03
C. (-4,8) 或 (4,-8)
04
D. (-4,-8) 或 (4,8)
高阶习题
1
高阶习题1：已知一次函数 y = kx + b（k≠0）经过点 (0,2)，且与坐标轴围成的三角形的面积为 4，求这个一次函数的解析式．
2
A. y = x + 2 或 y = -x + 2
3
B. y = x - 2 或 y = -x + 2
高阶习题
01
C. y = x + 2 或 y = -x - 2
02
D. 以上都不对
03
高阶习题2：已知一次函数 y = kx + b（k≠0）的图象经过点 P(3,4)，它与 x、 y 轴的正半轴分别相交于 A、B 两点，且 OA+OB=15，求此一次函数的解析式．
详细描述
斜截式为 $y = mx + b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是截距。这种形式简洁地表示了直线方程的斜率和截距，便于理解和计算。
一次函数的点斜式
总结词
点斜式是一次函数的另一种表达方式，用于描述通过某一点的直线方程。
详细描述
点斜式为 $y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 是直线上的一个点，$m$ 是斜率。该形式通过一个已知点和斜率来表示直线方程，具有更强的实际应用价值。
注重理解而非死记硬背
函数的性质和特点应通过理解来掌握，而不是简单地记忆公式。
多做练习
通过大量的练习，可以更好地掌握一次函数的运用，提高解题能力。

利用一次函数的性质解最值问题

利用一次函数的性质解最值问题山东赵卫东众所周知,对于一次函数y kx b,具有以下性质:：(1)当k时,y随x的增大而增大；(2)当k时,y随x的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题．例(湖北襄樊)襄樊市认真落实国家关于减轻农民负担,增加农民收入的政策,从2003年开始减征农业税,2002年至2004年征收农业税变化情况见表(1)．2004年市政府为了鼓励农民多种粮食,实行保护收购,并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴(摘自《襄樊日报》2004年5月5日)．我市农民李江家有4个劳动力,承包20亩土地,今年春季全部种植中籼稻和棉花,种植中籼稻和棉花每亩所需劳动力和预计每年平均产值见表(2)．设2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P元,种植中籼稻的土地为x亩．表(1)200220032004年份农业税(元╱亩)117．2470．4438．26表(2)农作物产值(元∕亩)劳力(人∕亩)785中籼稻0．151200棉花0．35(1)李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元?(2)若不考虑上缴农业税,请写出P(元)与x(亩)的函数关系式．(3)李江家在不考虑他人和工等其他因素的前提下,怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能保证P最大?最大值是多少?析解：（1）由题可知,李江家后两年少交农业税都是相对于减征农业税前的2002年而言的,故他家后两年少交农业税为(117.24－70.44)×20＋(117.24－38．26)×20=2515．6(元)．(2)由表(2)可得,李江家种植中籼稻的收入为785x元,种植棉花的收入为1200(20－x)元,再加上种植中籼稻的补贴15x元,故2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P=785x＋1200(20－x)＋15x=－400x＋24000．(3)由题可知,种植中籼稻所需劳力为0．15x人,种植棉花所需劳力为0．35(20－x)人,而所需总劳力不能超过李江家4口人,即0．15x＋0．35(20－x)≤4,解得x≥15,故(2)中函数自变量的取值范围是15≤x≤20．又由于P是x的一次函数,且P随x的增大而减小,故当x=15时,P最大=－400×15＋24000=18000(元),即种植中籼稻和棉花的面积分别为15亩和5亩时,才能保证P最大,最大值为18000元。

一次函数的最大值和最小值

= b , A B′= λ a , A D′= μ b. 设
P , Q 是小矩形纸片上的任意
min f ( x ) 分别表示 f ( x ) 在 [α,β] 上的最大值和最
小值 , 那么根据上面的讨论 , 我们可以得到以下结论. ①若 a ≠ 0 ,则
α≤x ≤ β α≤x ≤ β
) , f (β )) , max f ( x) = max ( f (α ) , f (β )) , min f ( x) = min ( f (α
x n) ) .
我们考察由 ( 2 ) 中的不等式所限定的区域 . 由 ( 2 ) 中前二个不等式可以看出 , 满足 ( 2 ) 的点 ( x , y ) 必须在直线 5 x + 2 y
= 2000 的下方 , 在直线 y = 1 . 5 x 的下方 , 在直线 y = x 的
同理 S ( 1 , x 2 , …, x n ) ≥ min ( S ( 1 , 1 , x 3 , …, x n ) , S
哪些点 , 三角形 PQ R 之面积都不会超过四边形
DD′ B′ C′ 的面积 . 而 S DD′ B′ C′= S △D′ B′ C′+ S △D′ C′ D
证建立 x Oy 坐标系 , 使 B C 在 x 轴上 , B 即 O ( 0 , 0) , 线段 EF 在上半平面 ( 如图 1) , 又设 C ( l , 0) , E ( x 1 , y 1 ) , F ( x 2 , y 2 ) , 那么当 A 点在 EF 上变动时 , △A B C 的高 h 等于 A 点的 y 坐标 . 因此 ,
1 1 λ μ ). ab (λ+ μ - λ ab < 2 2 当 P = A , Q = D′ 时,

10、一次函数PPT课件

第一部分教材同步复习
10、一次函数
第一部分教材同步复习
1
10、一次函数
知识要点 ·归纳
►知识点一一次函数的图象与性质
1．一次函数及正比例函数的概念一般地，如果y＝kx＋b(k，b是①___常__数__，k≠0)，那么，y叫做x的一次函数，特别地，当②____b_＝__0_时，一次函数y＝kx＋b就变为y＝kx(k为常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数．
202X权威 · 预测
第一部分教材同步复习
15
【解答】 (1)∵点 A(2,0)，AB＝ 13，∴BO＝ AB2－AO2＝ 9＝3，∴点 B 的坐标为(0,3)；
(2)∵△ABC 的面积为 4，∴12×BC×AO＝4，∴12×BC×2＝4，即 BC＝4.∵BO ＝3，∴CO＝4－3＝1，∴C(0，－1)．
第一部分教材同步复习
13
1.(202X玉林)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是
( D) A．点(0，k)在l上
B．l经过定点(－1,0)
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
【考查内容】一次函数的性质．
【解析】A．当x＝0时，y＝k，即点(0，k)在l上，此选项正确；B．当x＝－1
(3)一次函数图象y＝kx＋b与x轴的交点是⑥__(_－_bk_，__0_)__ ，与y轴的交点是⑦ _(0_，__b_)___．
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分教材同步复习
3
3．一次函数的性质一次函数
k、b 符号 b＞0
k＞0 b＜0
中考新突破 · 数学(江西)

专题14 一次函数中的最值问题(解析版)

∴
，即
，
∴PB
m．
故答案为：
m．
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形相似
第 1页（共 25页）
的判定和性质，熟知垂线段最短是解题的关键．
2．如图，点 P 在第一象限，△ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之
第 5页（共 25页）
∴直线 A1B 的函数解析式为 y＝1.5x+2，把 P 点的坐标（n，0）代入解析式可得 n ． ∴点 P 的坐标是，．
【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．
4．如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 6，点 A、C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 上，
【点睛】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大． 2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B 的坐标为（3，），点 C 的
第 3页（共 25页）
坐标为（，0）点 P 的斜边 OB 上一个动点，则 PC+PA 的最小值为（）
A．
B．
C．
D．2
【思路点拨】作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN⊥OA 于 N，则此时
△ABC，∠BAC＝90°．
（可能用到的公式：若 A （ x1 ， y1 ）， Bx2 ， y2 ）， ①AB 中点坐标为（
，
）；
②AB
）
（1）求线段 AB 的长；
（2）过 B、C 两点的直线对应的函数表达式．

一次函数求最值问题幻灯片PPT

n＜
2 3
×(30-n)
n≥ 1 ×(30-n)
3
解得 7.5≤n＜12
∵n为整数，∴n的取值可为8、9、10、11。
②:由①得w=4n+240(n可取8、9、10、11）
∴w随n的增大而增大
当n=8时，w最小，
当n=8时，w=4×8+240=272
所以当购买8本A种笔记本、22本B种笔记本时花费最少，最少为272元。
2、请添加适当的条件：（1）使函数y=－x+3有最大值，并求出这个值；（2）使函数y=－x+3有最小值，并求出这个值。
归纳总结
一、一次函数最值在数学问题中的确定方法：
1.有确定的一次函数关系式； 2.有自变量的取值范围； 3.根据一次函数的增减性确定它的最值。
学习目标：
1.会用一次函数解决数学中的最值问题 2.掌握用一次函数最值在实际问题中的解答思路和方法
求出自变量n的取值范围；
② 请你帮助他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？
解：（1）设买A种笔记本x本，B种笔记本y本，
根据题意，得：
x+y=30 12x+8y=300
x=15 解得
y=15
所以能买这两种笔记本各15本。
（2）①:根据题意得w=12n+8(30-n)=4n+240
一次函数求最值问题幻灯片PPT
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智慧导入：
一、一次函数最值在数学问题中的确定方法 y=2x+3
1、完成下面的练习：如图，已知一次函数y=2x+3

一次函数中的最值问题

学校北师大三附中教师习富云时间课题一次函数中的最值问题教学目标知识与技能由实际问题中的最值问题建立数学模型引入，然后利用图形变换和一次函数在直角坐标系中确定最值点，巩固一次函数的知识并进一步体会数形结合思想.过程与方法体会图形变换在解决问题中的转化作用，利用一次函数的解析式求直线的交点，增强数学的应用意识.情感价值观在解决问题的过程中，帮助学生认识数学，体验探索的快乐与成功的喜悦.教学重点图形变换和一次函数的应用.教学难点如何通过图形变换进行转化，确定对称点坐标然后求解析式进而求得最值点教学过程活动内容师生活动设计意图一、问题探究1.提出问题问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?2.实际问题数学化如图,已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P，使P A+PB最小.提问：1）.线段和的最小值的理论依据是什么2）.如何将两条线段的和转化到一条线段上3.几何问题代数化学生独立思考,教师巡视.观察学生是否作数学化,同时对转化正确的同学给予肯定,并指出实际问题转化为数学问题是解决实际问题的第一步...学生会回答：利用两点之间线段最短;利用图形变换实现问题的转化选用“西气东输”作为背景，引导学生了解数学来源于生活.让学生明确用数学方法解决实际问题，BAlBB C B'二、拓展问题2 如图，已知点A （4，3）。

若点C 是直线y=-x+4上一点，B 是直线x=5上一点，当△ABC 的周长最小时，求C 、B 两点的坐标.分析：先找点A 关于两条直线的对称点1A （1，0）、2A （6，3）,连接 1A 2A 分别较两条直线于B 、C从而将△ABC 的周长转化为线段1A 2A 的长设1A 2A 所在直线的解析式为y=kx+b ，将1A （1，0）、2A （6，3）两点坐标代入⎩⎨⎧=+=+360b k b k 求得，k=53，b=-53∴'AB 所在直线的解析式为y=53x-53∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=53534x y x y∴点C 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛89,823，B 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,5。