离散时间信号与系统

注意：
▪ 齐次性 ▪ 叠加性
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例: 设一系统的输入输出关系为 y[k]=x2[k]
试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [k]产生的输出信号T{x [k]}为
T{x [k]}=x2[k] 输入信号ax [k]产生的输出信号T{ax [k]}为
T{ax [k]}= a2x2[k] 除了a=0,1情况，T{ax [k]} aT{x [k]}。故系统不满 足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。
aku[k]： 左指数序列, |a| 1序列有界
5．虚指数序列(单频序列)
x(t) e jt
角频率为 的模拟信号
x[k ] x(t) tkT e jTk e jk
数字信号角频率=T
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5
虚指数序列 x [k]=exp( j k) 是否为周期的?
如是周期序列其周期为多少？
即 / 2p为有理数时，信号才是周期的。 如果 / 2pm / L , L, m 是不可约的整数，则信号的周期为L。
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
6
x2 [k ]
x1[k
1]
3
4
5
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5 56
x3[k] x1[k 2]3 4
解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为
y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 输入信号x[kn]产生的输出信号T{x[kn]}为
由于
T{x[kn]}= x[Mkn]
x[Mkn] y[kn] 故系统是时变的。
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18
56
x1[k] 3 4
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
5
3
y1[k] x1[2k]
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
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2
离散序列的产生
▪ 对连续信号抽样 x[k]=x(kT) ▪ 信号本身是离散的 ▪ 计算机产生
注意：
▪ 离散信号: 时间上都量化的信号 ▪ 数字信号: 时间和幅度上都量化的信号
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3
常用序列
1．单位脉冲序列
定义：
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例 y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。
计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3， 而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
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▪ 时不变(Time-Invatiance)
▪ 定义：如T{x [k]}=y[k]，则T{x [k-n]}=y[k-n]
N=1。 N=20。 N=10。 N=5。 N=20。 N=2。
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7
1
1
0
0
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=0
1
-1
0
10
20
30 40
x[k] = cos0 k , 0=0.2p
1
0
0
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=0.8p
-1 0
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[k
]
1 0
k 0 k 0
2.单位阶跃序列
定义：
u[k ]
1 0
k0 k0
3．矩形序列
1 0 k N 1 R N [k] 0 otherwise
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4
4．指数序列
x[k] ak , k Z
有界序列： kZ |x [k]| Mx 。 Mx是与 k无关的常数
aku[k]： 右指数序列, |a| 1序列有界
▪ 线性时不变系统简称为：LTI ▪ 在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就
是“非时变”特性。
例 证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。
计算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。
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例: 已知抽取器的输入和输出关系为
y[k]=x[Mk] 试判断系统是否为时不变的？
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9
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10
序列的基本运算
• 翻转(time reversal) x[k]x[-k]
• 位移(延迟) • 抽取(decimation) • 内插(interpolation) • 卷积
x[k] x[k-N] x[k] x[Mk]
y[k] x[n]h[k n] n
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11
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6
6．正弦型序列
x[k] cos k (e jk e jk ) / 2
例 试确定余弦序列x[k] = cos0k 当(a) 0=0 (b) 0=0.1p (c) 0=0.2p (d) 0=0.8p (e) 0=0.9p (f) 0=p 时的基本周期。
解：
(a) 0 /2p 0/1， (b) 0 /2p0.1/21/20， (c) 0 /2p0.2/21/10， (d) 0 /2p0.8/22/5， (e) 0 /2p0.9/29/20, (f) 0 /2p1/2,
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=p
8
cos[(2p0 )k]= cos(0 k)
当0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。 0 在p 附近的余弦序列是 高频信号。 0 0或2p 附近的余弦序列是 低频信号。
cos(0 2pn)k cos0k n Z
即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时， 所表示的是同一个序列。
第1章 离散时间信号与系统
▪ 离散时间信号
▪ 序列的表示 ▪ 序列的产生
▪ 序列的基本运算
▪ 系统分类
▪ 线性系统 ▪ 移不变系统 ▪ 因果系统 ▪ 稳定系统
▪ 常系数线性差分方程 ▪ 连续时间信号的抽样
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1
离散信号(序列)的表示
2 x[k]
1
1
1
2
k
-1
0
1
3
-1
x[k] {1,1, 2,1,1}
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12
▪ 实序列的偶部和奇部
x(n) xe (n) xo (n)
xe
(n)
1 [x(n) 2
x(n)]
xo (n)
1 [x(n) 2
x(n)]
▪ 序列的单位脉冲序列表示
x(n) x(m) (n m)
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系统分类
▪ 线性(Linearity)
T{ax1[k] bx2[k]} aT{x1[k]} bT{x2[k]}
例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[kn] * x2[km]。
结论： y1[k]= y[km+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
结论：N1N3 k N4N2