离散时间信号与系统
信号与系统-离散时间域分析
滤波器性能评估
分析滤波器的幅频响应、 相频响应、群延迟等性能 指标，以评估滤波器的性 能。
数字调制与解调技术
ASK调制与解调
通过改变载波的振幅来 传递数字信息，实现 ASK调制，并通过相干 或非相干解调方法恢复 原始信号。
FSK调制与解调
利用不同频率的载波表 示不同的数字信息，实 现FSK调制，通过鉴频 器或锁相环等实现FSK 信号的解调。
分类
根据信号的性质和特征，离散时间信 号可分为周期信号和非周期信号、确 定信号和随机信号等。
离散时间系统定义及性质
定义
离散时间系统是一种对离散时间输入 信号进行变换或处理的系统，其输出 也是离散时间信号。
性质
离散时间系统具有线性、时不变性、 因果性、稳定性等性质，这些性质对 于系统的分析和设计具有重要意义。
离散时间信号处理重要性
数字信号处理基础
理论分析基础
离散时间信号处理是数字信号处理的 基础，对于数字通信、音频视频处理、 雷达声呐等领域具有重要意义。
离散时间信号和系统分析的理论和方法 可以推广到连续时间信号和系统，为信 号处理和分析提供统一的理论框架。
计算机处理方便
离散时间信号适合计算机处理，可以 通过算法实现各种复杂的信号处理和 变换。
06 实验：离散时间信号处理 实践
实验目的和要求
理解和掌握离散时间 信号的基本概念和性 质
培养实验操作能力和 分析解决问题的能力
熟悉离散时间信号的 处理方法和实现过程
实验内容和步骤
01
实验内容
02
生成离散时间信号
对信号进行基本运算（如加减、乘除、平移、翻转等）
03
实验内容和步骤
01
对信号进行频谱分析，观察信号 的频谱特性
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
离散时间信号与系统
若要
2
2 若要 为有理数（N/k），则： T0 2 N NT k T
为整数，T0应为T的整数倍；
kT 0
即N个抽样间隔应等于连续正弦信号的k 个周期.
25
四、序列的能量 x(n)的能量定义为序列各样本的平方和，即：
E
n
x ( n)
2
26
1.3
连续时间信号的采样
采样器可以看成是一个电子开关，开关每隔T秒闭
合一次，（理想采样闭合时间无穷短，实际采样闭
合时间τ秒，）对输入信号进行采样。
采样过程可以看成脉冲调幅， xa(t)为调制信号，被 调脉冲载波是周期为T的周期性脉冲串。当脉冲宽 度为τ时，实际采样，τ→0时，理想采样。
29
实际采样：
T
p(t)为脉冲 序列 …
n
a为实数，当
a 1时, 收敛 a 1时, 发散
17
5.复指数序列 complex exponent sequence
① 实、虚部
x(n) Ae
( j ) n
x(n) Ae jn
为数字域频率。
② 极坐标
x(n) Ae jn | x(n) | e j arg[ x ( n)]
X a ( j) xa (t )e
jt
dt
33
s (t )
n
(t nT )
s (t ) Ak e jk s t
周期函数
利用傅立叶级数展开，可得：
k
s=2/T，s称为采样角频率 fs=1/T，fs为采样频率
1 T2 其中： Ak T s (t )e jk s t dt T 2 1 T2 T (t nT )e jk s t dt T 2 n 1 T2 1 jk s t T (t )e dt 2 T T
数字信号处理教学课件-第一章 离散时间信号与系统
三、序列的基本运算 1、序列的和 ：
❖ 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成
z(n) = x(n) + y(n)
的新序列x。(n)
22 1 11
0 123456 n
…… z(0) = x(0) + y(0) = 3 z(1) = x(1) + y(1) = 2 z(2) = x(2) + y(2) = 3 z(3) = x(3) + y(3) = 2 z(4) = x(4) + y(4) = 2
3 x(-n+1)
2 1
x(-n+1) 是x(-n) 右移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
3
x(-n-1)
2
1
x(-n-1) 是x(-n) 左移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2020/7/27
❖ 仿真实验(Matlab)
x = wavread(‘w2.wav’); %读入声音文件 y = fliplr(x); %反褶 figure(1); plot(x); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(y); grid on;
……
y(n)
11 1 1 1
0 123456 n z(n)
33 2 22
2020/7/27
0 123456 n
❖ 仿真实验(Matlab)
x1=wavread(‘w1.wav’); %读入声音文件 x2=wavread(‘w2.wav’); y=x1+x2; %序列求和 figure(1); plot(x1); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(x2); grid on; figure(3); plot(y); grid on; wavwrite(y,‘w3.wav’); %结果保存为声音文件
第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。
以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。
函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。
自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。
离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。
2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。
而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。
3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。
4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。
若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。
5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。
ω=ΩT (T 表示采样周期)。
6．不一定。
只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。
7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。
否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。
8．该说法错误。
需要增加采样和量化两道工序。
9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。
因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。
11、时域采样在频域产生周期延拓效应。
12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。
离散时间信号与离散系统
三、离散信号的基本运算
1.加减运算（对应样点值相加减）
如 (n) U (n) U (n 1)
函数
U (n) (n k)
k 0
2.相乘（除）运算（对应样点值相乘除）
如 因果信号（序列）f (n)U (n) — — — n 0 才有非零值
离散信号与系统的时域分析
反因果信号 f (n)U (n 1) ――― n 0 才有非零值
n －m n －m
0
m
注意： （1）f (n) 1与 (n) 区别
（2） (t) 与 (n) 区别
离散信号与系统的时域分析
n
函数
2. 单位阶跃序列
1, n 0 U (n) 0, n 0
位移
U
(n
m)
1, 0,
nm nm
注意与 U(t) 区别
3.矩形序列
1, GN (n) 0,
0 n N 1 其他
离散信号与系统的时域分析
U(n)
1
仿真
源码
0 12 GN(n) 1
0 1 N-1 N
n
函数1
函数2
仿真
n
源码
仿真 源码
以上三种序列关系
（1）U
(n)
(nk)＝n Nhomakorabea(k
)
k 0
k
t
U (t) ( )d
证明：
(n k) (n) (n 1) (n 2) ...
k 0
k
n
(k
(1 2
n),
f
(2n)
f
(n)
解：f (n) {10
n0,1,2,3 其他
1
12 3
函数
第一章 离散时间信号与系统1
根据定义
n y ( n ) 1 ( 1 ) k , n 1 2 2 k 1 y ( n) 0, n 1
14
我们计算几个值，画出图形。显然，
n 2 n 1 n0 n 1 n2
y(2) 0
1 3 2 2 3 1 7 y(1) y(0) x(1) 2 4 4 7 1 15 y(2) y(1) x(2) 4 8 8
j 0 n
0 ：复正弦的数字域频率 用欧拉公式将复指数序列展开： n n n x(n) e (cos0 n j sin 0 n) e cos0 n j e sin 0 n
用极坐标表示 其中 x(n)
x(n) x (n)
n
e
j arg[ x ( n )]
f2 (t )
0 1 1 0
, t 1 , 1 t 1 , 1 t 3 , t 3
定义域是连续的（-∞，∞），但是函数值只取-1，0，1三个离 散的值。（在间断点-1，1，3处一般不定义其函数值） f 以上两例中，1 (t ) 我们也称为模拟信号。
8
2 n , n 1 1 1 1 1 z (n) x(n) y(n) 2 ( 2 ) 2 3 , n 1 2 1 1 n 2 ( 2 ) n 1, n 0
图 1· 9 在求序列的和的时候要注意：相同序列 (n) 的序列值相加。
9
4．积（相乘） 两序列的积指相同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘： z (n) x(n) y(n) 0.5, n 1 1.5, n 0 例1.1.4已知序列 x(n) = 1, n 1 求 y(n) x(n) 2 x(n) x(n 2) 0.5, n 2 0, n为其它值
6.离散时间信号与系统的时域分析
0, n 1 1 z ( n) x ( n) y ( n) , n 1 2 1 n 1 ( 2 )( n 1)( 2 ) , n 0
6 线性时不变离散系统的时域分析
5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为
y ( n)
k
x(k ) x(n) * u(n)
n
根据上述性质可以推得以下结论：
f (n n1 ) * (n n2 ) f (n n1 n2 )
6 线性时不变离散系统的时域分析
例 已知 x1 (n) (n) 3 (n 1) 2 (n 2) x2 (n) u(n) u(n 3) 试求信号 x (n) ，它满足 x(n) x1 (n) x2 (n) 解：可利用上面讲述的性质求解。
1 1/ 2 1/4 -2 -1 0 1 1/8 ... 2
n
x(-n) 1 1/2 1/8 1/4 ... -2 -1 0
1
2
n
6 线性时不变离散系统的时域分析
3.序列的加减 两序列的加、减是指同序号(n)的序列值逐项对 应相加得一新序列。
6 线性时不变离散系统的时域分析
例：
x(n) 1 1/2 1/4 -2 -1 0 y(n) 2 1 1/4 1/2 1 2 n …
6 线性时不变离散系统的时域分析
2.单位阶跃序列
u（n）
1, u ( n) 0,
n0 n0
u(n)
...
-1 0 1 2 3 n
(n) u (n) u (n) u (n 1)
m 0
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
第1章离散时间信号与系统-
可加性： T [ x 1 ( n ) x 2 ( n ) ] y 1 ( n ) y 2 ( n ) 比例性/齐次性： T [a x 1(n )]a y1(n )
其中： a,a1,a2为 常 数
则此系统为线性系统。
2019/10/14
40
例 ： 判 断 系 统 y ( n ) x ( n ) s i n ( 2 n ) 是 否 线 性 97
：N 解 1 g2 2 c 3 ,4 3 d 4 )6 6 ( 72 N 2 g3 3 c 3 ,2 3 d 2 )4 4 ( 54
2019/10/14
35
讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样 得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号 的周期T0之间应是什么关系才能使所得 到的抽样序列仍然是周期序列？
当 1 4 T 3 T 0 时 ， x ( n ) 为 周 期 为 1 4 的 周 期 序 列
37
4、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E
x(n) 2
n
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38
1.2 线性移不变系统
一个离散时间系统是将输入序列变换成 输出序列的一种运算， 记为：T[]
要 使 x ( n N ) x ( n ) ， 即 x ( n ) 为 周 期 为 N 的 周 期 序 列
则 要 求 0N2k， 即 N 20k， N ， k为 整 数 ，
且 k的 取 值 保 证 N 是 最 小 的 正 整 数
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29
分情况讨论
2 N 0 k
2019/10/14
8
（3）和
x(n)x1(n)x2(n)
信号与系统(第三版)第五章离散时间系统的时域分析
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
第1章离散时间信号与系统
右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 上图为：
与
的线性卷积。
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面 举例说明。
y[k] x[n]h[k n] n
例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[kn] * x2[km]。
结论： y1[k]= y[km+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
单位脉冲响应（Impulse response）
定义： h[k ] T{ [k ]}
例：累加器:
k
y[k] x[n]
n
h[k ] u[k ]
LTI系统对任意输入的响应
T{x[k]} T{ x[n][k n]}
n
x[n]T{[k n]}
n
x[n]h[k n]
n
x[k]* h[k]
第1章离散时间信号与系 统
2021年8月29日星期日
离散信号(序列)的表示
2 x[k]
1
1
1
2
k
-1
0
1
3
-1
x[k] {1,1, 2,1,1}
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
离散序列的产生
▪ 对连续信号抽样 x[k]=x(kT) ▪ 信号本身是离散的 ▪ 计算机产生
信号与系统 07离散时间信号离散时间系统
arg ?x?n??? ? 0n
§7.3 离散时间系统的数学 模型—差分方程
?用差分方程描述线性时不变离散系统 ?由实际问题直接得到差分方程 ?由微分方程导出差分方程 ?由系统框图写差分方程 ?差分方程的特点
第
一．用差分方程描述线性时不变离散系统2页7
线性： 均匀性、可加性均成立；
x1 (n )
数值。
离散正弦序列 x?n?? sin?? 0n?是周期序列应满足
x?n ? N ?? x?n?
N称为序列的 周期，为任意 正整数 。
第
正弦序列周期性的判别
23 页
① 2π ? N，N是正整数
?0
sin?? 0 ?n ? N ?? ? sin
正弦序列是周期的
???
?
0
????n
?
2π
?0
????????
3.1
1.5 0.9
o T 2T 3T t
fq ?t ? 4
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
3
2
1
o T 2T 3T t
数字信号： 离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
离散时间系统的优点
第 5
页
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优 越性； ?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精 度取决于位数； ?可靠性好； ?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能； ?易消除噪声干扰； ?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大 大改善了系统的灵活性和通用性； ?易处理速率很低的信号。
??
?
?? n? 0
??
第
2．单位阶跃序列
18 页
u(n )
?
数字信号处理_离散时间信号与系统
离散时间信号与系统
主要内容
1、知识回顾
…
2、离散时间信号与系统
常用序列及其运算 LTI系统的概念及其因果稳定性的判断 系统的差分方程描述及其求解 信号的采样与恢复
2
知识回顾
1、什么是信号？
——是信息的物理表现形式，是信息的载体。 根据载体的不同，信号可以是电的、磁的、声的、光的、机
4
周期信号和非周期信号（信号随时间变量变化的规律） ——信号波形按一定的时间间隔随着自变量周而复始的变化，而且无始
无终。 周期信号满足一下条件： 连续时间信号：x(t)=x(t+kT) 离散时间信号：x(n)=x(n+kN) k为整数，满足条件的最小正实数T或正整数N称为信号的周期
——不满足上述关系式的信号是非周期信号。
械的、热的等各种信号 ——在数学上可以表示为一个或几个独立变量的函数。 变量：时间、空间坐标、温度、压力…
本门课主要讨论一维时间信号。
3
2、信号的分类
确定性信号和随机信号（信号与时间的函数关系） ——确定性信号指信号在任意时刻的取值能精确确定，可以用 明确的数学关系式表示的时间函数 （如正弦信号）。 ——随机信号不能用确定的时间函数来描述，其函数（信号） 值具有随机性，只能用统计方法分析（如噪声）。
出均为离散时间信号。 ——数字系统：系统输入、输出均为数字信号。
18
第一节 常用序列及其运算
1.1 离散时间信号——序列
在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字序列来表示。
20
1.2 序列的运算
序列的运算包括移位、反褶、尺度变换、和、积、累加、差 分、卷积等。 1. 移位
——设某一序列x(n)，当n0 为正时，x(n-n0)是将x(n)沿n轴正方向平移n0 个序号，x(n+n0)是将x(n)沿n轴负方向平移n0个单位。n0为负时， 则相反。
离散时间信号与系统
稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。
充要条件
当且仅当 时，该线性时不变系统是稳定的。
充分条件
证明：如上式成立，且x有界，即对所有n，|x(n)|<m，
则
y有界，满足充分条件。
必要条件
反之，如h(k)不符合上式，S=∞，则可求得一种有界输入，能使该系统产生一个无界输出。如取输入为
4
3
6
5
2.2.5 稳定性
线性时不变(LTI)系统
01
——既满足叠加原理又具有时不变性的系统。
02
这类系统在信号处理中特别有用，因为线性系统是用叠加定理定义的，如果将序列表示成一组单位样本序列的线性组合，那么线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。
03
2.3 线性时不变系统
我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和 如令h(n)为系统对单位脉冲序列的响应， 则系统对任一输入序列x(n)的响应为 由于系统是线性的，满足叠加定理
两种表示方法：
01
相位:
03
幅度:
02
主值:
04
可逆性
共轭对称序列
共轭反对称序列
一般序列的表示
2.8傅里叶变换的对称性质
1 和 具有相同的幅频响应：
下图分别为 和 的相频响应图
同理幅频响应相同(同1)，相频响应不同：
下面两图对比可发现相频响应互为轴对称
01
相频响应： 的相频响应为 即x[n]的共轭反对称部分的傅氏变换为虚数
以下性质仅适用于x[n]为实序列 共轭对称 （实部为偶函数） （虚部为奇函数） （幅度为偶函数） （相位为奇函数）
线性
2.9 傅里叶变换定理
离散时间信号与系统
离散时间信号与系统离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。
一、离散时间信号的定义和表示离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。
离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。
其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。
离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。
有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。
无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。
二、离散时间系统的定义和分类离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。
输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。
不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。
三、离散时间信号与系统的特性离散时间信号与系统具有许多特性。
其中一些重要的特性包括时域特性、频域特性和稳定性。
时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了系统的输出是否受到输入的限制。
离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。
离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和单位阶跃响应来描述。
频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅里叶变换来描述。
四、离散时间信号与系统的应用离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。
其中一些常见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。
在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和解码。
它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。
第1章离散时间信号与系统
2 (a)若： N ，N为整数，则序列的最小周期为N
0
(b)若： 2 N S L ，N为有理数但不是整数，L、S 0
为整数，则序列的最小周期为S。
2 0 N , 不是有理数，则序列是非周期性的 (c)若：
所以 x(n) 的周期N是 N1 , N2的最小公倍数30
(2) 1 2 1 , N1 8 ; 4 14
2
4
, N2
2 8; 4
13
N1/N2是无理数，所以x(n)是非周期的。
n0 n0
u(n-n0),n0>0
…
-1
…
0 1
(a)
2
3
n
… … -1
u(-n0-n),n0>0
…
0 1 (b) n0
… …
n
… … 图1.1.2
-n0
…
-1
… 0 1 …
n
思考： u(n+n0),n0>0; 的图形。
4
(c)
单位脉冲序列与单位阶跃序列的相互关系：
(n) u (n) u (n 1)
u(n) (n) (n 1) (n 2) (n m)
m 0
5
（３）矩形序列 (Rectangle sequence)
1, RN (n) 0,
0 n N 1 n 0, n N
RN ( n )
1
…
0 1
-3 -2 -1
第1章 离散时间信号与系统
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▪ 离散时间信号
▪ 序列的表示 ▪ 序列的产生
▪ 序列的基本运算
▪ 系统分类
▪ 线性系统 ▪ 移不变系统 ▪ 因果系统 ▪ 稳定系统
▪ 常系数线性差分方程 ▪ 连续时间信号的抽样
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1
离散信号(序列)的表示
2 x[k]
1
1
1
2
k
-1
0
1
3
-1
x[k] {1,1, 2,1,1}
N=1。 N=20。 N=10。 N=5。 N=20。 N=2。
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7
1
1
0
0
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=0
1
-1
0
10
20
30 40
x[k] = cos0 k , 0=0.2p
1
0
0
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=0.8p
-1 0
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aku[k]： 左指数序列, |a| 1序列有界
5．虚指数序列(单频序列)
x(t) e jt
Hale Waihona Puke 角频率为 的模拟信号x[k ] x(t) tkT e jTk e jk
数字信号角频率=T
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5
虚指数序列 x [k]=exp( j k) 是否为周期的?
如是周期序列其周期为多少？
即 / 2p为有理数时，信号才是周期的。 如果 / 2pm / L , L, m 是不可约的整数，则信号的周期为L。
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9
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10
序列的基本运算
• 翻转(time reversal) x[k]x[-k]
• 位移(延迟) • 抽取(decimation) • 内插(interpolation) • 卷积
x[k] x[k-N] x[k] x[Mk]
y[k] x[n]h[k n] n
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11
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6
6．正弦型序列
x[k] cos k (e jk e jk ) / 2
例 试确定余弦序列x[k] = cos0k 当(a) 0=0 (b) 0=0.1p (c) 0=0.2p (d) 0=0.8p (e) 0=0.9p (f) 0=p 时的基本周期。
解：
(a) 0 /2p 0/1， (b) 0 /2p0.1/21/20， (c) 0 /2p0.2/21/10， (d) 0 /2p0.8/22/5， (e) 0 /2p0.9/29/20, (f) 0 /2p1/2,
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15
例 y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。
计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3， 而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
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16
▪ 时不变(Time-Invatiance)
▪ 定义：如T{x [k]}=y[k]，则T{x [k-n]}=y[k-n]
▪ 线性时不变系统简称为：LTI ▪ 在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就
是“非时变”特性。
例 证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。
计算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。
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17
例: 已知抽取器的输入和输出关系为
y[k]=x[Mk] 试判断系统是否为时不变的？
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12
▪ 实序列的偶部和奇部
x(n) xe (n) xo (n)
xe
(n)
1 [x(n) 2
x(n)]
xo (n)
1 [x(n) 2
x(n)]
▪ 序列的单位脉冲序列表示
x(n) x(m) (n m)
m 精品资料网
13
系统分类
▪ 线性(Linearity)
T{ax1[k] bx2[k]} aT{x1[k]} bT{x2[k]}
注意：
▪ 齐次性 ▪ 叠加性
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14
例: 设一系统的输入输出关系为 y[k]=x2[k]
试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [k]产生的输出信号T{x [k]}为
T{x [k]}=x2[k] 输入信号ax [k]产生的输出信号T{ax [k]}为
T{ax [k]}= a2x2[k] 除了a=0,1情况，T{ax [k]} aT{x [k]}。故系统不满 足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。
[k
]
1 0
k 0 k 0
2.单位阶跃序列
定义：
u[k ]
1 0
k0 k0
3．矩形序列
1 0 k N 1 R N [k] 0 otherwise
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4
4．指数序列
x[k] ak , k Z
有界序列： kZ |x [k]| Mx 。 Mx是与 k无关的常数
aku[k]： 右指数序列, |a| 1序列有界
例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[kn] * x2[km]。
结论： y1[k]= y[km+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
结论：N1N3 k N4N2
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=p
8
cos[(2p0 )k]= cos(0 k)
当0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。 0 在p 附近的余弦序列是 高频信号。 0 0或2p 附近的余弦序列是 低频信号。
cos(0 2pn)k cos0k n Z
即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时， 所表示的是同一个序列。
解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为
y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 输入信号x[kn]产生的输出信号T{x[kn]}为
由于
T{x[kn]}= x[Mkn]
x[Mkn] y[kn] 故系统是时变的。
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18
56
x1[k] 3 4
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
5
3
y1[k] x1[2k]
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
6
x2 [k ]
x1[k
1]
3
4
5
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5 56
x3[k] x1[k 2]3 4
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
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2
离散序列的产生
▪ 对连续信号抽样 x[k]=x(kT) ▪ 信号本身是离散的 ▪ 计算机产生
注意：
▪ 离散信号: 时间上都量化的信号 ▪ 数字信号: 时间和幅度上都量化的信号
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3
常用序列
1．单位脉冲序列
定义：