二次函数三角函数
二次函数与三角函数的关系
二次函数与三角函数的关系二次函数与三角函数是高中数学中的两个重要的函数类型，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，分析它们的性质和相互转化的方法。
一、二次函数的基本形式在代数中，二次函数是指具有形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
它的图像通常是一个抛物线，可以向上凸起（a>0）或向下凹陷（a<0）。
二次函数的性质包括：1. 首先，二次函数的图像的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 (-b/2a) 是抛物线的对称轴。
2. 其次，二次函数的图像开口的方向由 a 的正负确定，a>0 表示抛物线向上开口，a<0 表示抛物线向下开口。
3. 此外，二次函数的图像与 x 轴的交点称为零点或根，可以通过解方程 ax^2 + bx + c = 0 来求得。
二、三角函数的基本形式三角函数是以角度（或弧度）为自变量的函数，常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），它们分别表示一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
三角函数的性质包括：1. 首先，正弦函数和余弦函数的值范围在 -1 到 1 之间，而正切函数的值范围是整个实数集。
2. 其次，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的最小正周期为360°（或2π rad）。
3. 此外，三角函数具有一系列的周期性质和对称性质，如正弦函数的奇偶性、余弦函数的偶奇性等。
三、二次函数与三角函数的关系虽然二次函数和三角函数是两个不同的函数类型，但它们之间存在着一定的关系。
具体而言，可以通过适当的变量替换和函数变换，将一个二次函数转化为一个三角函数，或者将一个三角函数转化为一个二次函数。
1. 二次函数转化为三角函数通过合理的变量替换和函数变换，可以将一个二次函数转化为一个三角函数形式。
例如，令 u = ax + b，则有 x = (u-b)/a，代入二次函数的表达式得到：f(x) = ax^2 + bx + c = a[(u-b)/a]^2 + b[(u-b)/a] + c = u^2 + (c - b^2/a)。
初中数学二次函数,三角函数,相似的总结
二次函数的有关知识：1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标 2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴）(0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2 ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法5. （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔(0>∆)⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(0=∆)⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔(0<∆)⇔抛物线与x 轴相离. （3）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（4）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，则12AB x x =-锐角三角函数：①设∠A 是Rt △ABC 的任一锐角，则∠A 的正弦：sin A ＝，∠A 的余弦：cos A＝-，∠A 的正切：tan A ＝．并且sin 2A ＋cos 2A ＝1．0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0．∠A 越大，∠A 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin (90º－A )＝cos A ，cos (90º－A )＝sin A ． ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝，sin60º＝cos30º＝， tan30º＝，tan45º＝1，tan60º＝．④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝．相似三角形一、基本知识及需要说明的问题: (一)比例的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔=此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法.2.合、分比性质:ddc b b ad c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.如:已知d c cb a a dc b a +=+=:,求证证明:∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴dc cb a a +=+3.等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n mf e d c b a 则b a n f d b m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 4.比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. (二)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l 1∥l 2∥l 3,A D l 1B E l 2C F l 3hlα可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的．．．．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. AD E B C说明:①此定理和平行线分线段成比例定理的异同 相同点:都是平行线不同点:平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD 与AE,DB 与EC,AB 与AC 这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即ACAEAB AD BC DE AC AE BC DE AB AD ===或或，只要有图形中的BC DE ,它一定是△ADE 的三边与△ABC 的三边对应成比例.②注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FCAF A A F F E EG EB DC BD C B D G C 图（1） 图（2） 图（3） 辅助线当然是添加平行线。
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法
二次函数中三角形面积问题的三种求解方法二次函数是一种广泛应用于数学解题中的重要运算工具，有时需要根据给定的几何图形求解相关表达式，比如求出三角形的面积。
三角形面积问题在很多学科中都有着广泛的应用，下面将介绍三种求解三角形面积的方法，这三种方法均基于二次函数的概念。
第一种求解三角形面积的方法是通过使用二次函数的半径求解。
首先，根据给定的三角形边长，使用勾股定理求出该三角形的半径，然后用半径公式计算出三角形的面积，半径公式为πr/2，其中π是常数3.14159。
这种方法的优点是简单易行，只需要掌握勾股定理和半径公式即可求解三角形的面积。
第二种求解三角形面积的方法是使用三角函数求解。
有些三角形的边长有着特殊的关系，可以使用三角函数求出三角形的面积。
举例来说，如果某三角形的三条边长分别为a,b,c，那么可以使用以下公式求出此三角形的面积：S= a*b*sin(c)/2。
这种方法的优点是可以准确求出三角形的面积，但是要掌握的知识比较多，需要熟练掌握三角函数的概念。
第三种求解三角形面积的方法是使用二次函数求解。
如果给定三角形的三条边长都可以用二次函数表示，那么可以使用椭圆公式求解三角形的面积。
椭圆公式为S=∫ab√(f(x))dx，其中f(x)表示三角形边长可以表示为二次函数的表达式，a,b表示积分下限和上限。
这种方法的优点是准确度高，但使用难度也比较大，需要掌握椭圆公式和二次函数的概念。
以上就是介绍了三种求解三角形面积的方法。
不同的求解方法都有各自的优势和局限性，在不同场景下要根据实际情况选择合适的求解方法，使用二次函数可以有效地求出三角形的面积。
二次函数与三角函数的综合应用
二次函数与三角函数的综合应用在数学领域中，二次函数和三角函数都是非常重要的概念。
它们具有广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
本文将探讨二次函数和三角函数的综合应用，并介绍一些相关实例。
一、二次函数的应用1. 抛物线的建模二次函数常用来建模和描述抛物线的形状。
具体而言，对于给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，它的图像就是一个抛物线。
通过调整这些常数的值，我们可以改变抛物线的位置、方向和形状。
这种模型在物理学、工程学和经济学等领域中有着广泛的应用。
2. 最优化问题二次函数在最优化问题中也非常常见。
例如，考虑一个开口朝下的抛物线，我们希望找到其顶点来确定最小值。
这种问题在优化领域中经常出现，并且可以通过求解二次函数的导数来得到最优解。
最优化问题的应用广泛，包括在物流规划、金融投资和生产调度等方面。
3. 曲线拟合二次函数还可以用于曲线拟合。
当我们有一组数据点，希望找到一个函数来最好地拟合这些数据时，二次函数是一个常用的选择。
通过最小二乘法，我们可以找到一个二次函数，使其在数据点附近具有最小的误差。
这种方法在数据分析、统计学和机器学习等领域中非常重要。
二、三角函数的应用1. 几何建模三角函数在几何学中有着广泛的应用。
例如，三角函数可以用来计算三角形的边长、角度和面积。
利用正弦定理、余弦定理和正切定理等，我们可以解决各种与三角形相关的问题。
此外，三角函数还常用于绘制和描述各种形状的图像，如正弦曲线和余弦曲线。
2. 振动和波动三角函数在振动和波动的研究中也发挥着重要的作用。
例如，正弦函数可以用来描述周期性振动的变化。
通过调整振幅、频率和相位等参数，可以精确地描述各种振动现象，如声音和光的波动。
这种应用在物理学、声学和电子工程等领域中非常常见。
3. 信号处理三角函数在信号处理中起着关键的作用。
例如，调制技术中常用到的调幅和调频都可以通过三角函数来描述和计算。
此外，傅里叶变换等数学工具也是基于三角函数的理论基础。
二次函数与三角函数的像变换
二次函数与三角函数的像变换二次函数和三角函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在图像的变换过程中具有一定的规律和特点。
本文将从二次函数和三角函数的定义、变换规律以及应用角度探讨二次函数与三角函数的像变换。
一、二次函数的像变换二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c2.1 平移变换对于二次函数而言，平移变换是将图像沿着x轴或y轴方向进行移动，保持原始形状不变。
平移变换的规律如下：1. 垂直平移：f(x) → f(x) + k，其中k为常数，表示向上或向下平移。
2. 水平平移：f(x) → f(x - h)，其中h为常数，表示向左或向右平移。
2.2 缩放变换缩放变换是通过改变二次函数的系数来改变图像的形状。
缩放变换的规律如下：1. 上下翻转：f(x) → -f(x)，即将图像关于x轴翻转。
2. 左右翻转：f(x) → f(-x)，即将图像关于y轴翻转。
3. 纵向伸缩：f(x) → af(x)，其中a为正常数，表示纵向伸缩。
4. 横向伸缩：f(x) → f(bx)，其中b为正常数，表示横向伸缩。
2.3 对称变换对称变换是通过改变二次函数的系数来改变图像关于某条直线的对称性。
对称变换的规律如下：1. 关于x轴对称：f(x) → -f(x)，即将图像关于x轴进行对称。
2. 关于y轴对称：f(x) → f(-x)，即将图像关于y轴进行对称。
3. 关于原点对称：f(x) → -f(-x)，即将图像关于原点进行对称。
二、三角函数的像变换三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域是实数集。
三角函数的一般形式为：f(x) = Asin(Bx + C) + D3.1 平移变换三角函数的平移变换与二次函数类似，也是将图像沿着x轴或y轴方向进行移动，保持原始形状不变。
平移变换的规律如下：1. 垂直平移：f(x) → f(x) + k，其中k为常数，表示向上或向下平移。
2. 水平平移：f(x) → f(x - h)，其中h为常数，表示向左或向右平移。
二次函数与三角函数的组合
二次函数与三角函数的组合在数学学科中，二次函数和三角函数都是重要的概念。
二次函数是一个以 x 的二次多项式所定义的函数，三角函数是以角度或弧度作为自变量的函数。
本文将讨论二次函数与三角函数的组合，以探讨它们之间的关系和特点。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。
根据 a 的正负性质，二次函数的开口方向分为向上和向下两种情况。
具体形状和特征取决于 a 的值。
例如，当 a > 0 时，二次函数开口向上，且顶点坐标为 (-b/(2a), f(-b/(2a)))。
二、三角函数的基本形式三角函数中最常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别用 sin(x)、cos(x) 和 tan(x) 表示，其中 x 为角度或弧度。
三角函数图像的周期性和振荡性是其显著特征。
例如，sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π，tan(x) 的周期是π。
三、二次函数与三角函数的组合将二次函数与三角函数进行组合，可以得到形式各异的函数。
常见的组合包括二次函数与正弦函数的乘积、二次函数与余弦函数的乘积等。
这些组合函数可以表示实际问题中的各种变化规律。
下面以几个具体例子来说明。
例一：f(x) = x²sin(x)考虑函数 f(x) = x²sin(x)，它是一个二次函数与正弦函数的乘积。
当x 取不同的值时，f(x) 的值受到 x²和 sin(x) 同时影响。
因为二次函数 x²的取值范围是非负实数，而 sin(x) 的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 f(x) 的值在不同区间内呈现出不同变化趋势。
例二：g(x) = (x-π)cos(x)考虑函数g(x) = (x-π)cos(x)，它是一个二次函数与余弦函数的乘积。
函数中的 (x-π) 部分对二次函数起到平移作用，使得 g(x) 的图像在 x 轴上发生左右平移。
二次函数与三角函数的复合与相关问题解析
二次函数与三角函数的复合与相关问题解析二次函数和三角函数在数学中都是非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对二次函数与三角函数的复合以及相关问题进行解析，探讨它们之间的关系和性质。
一、二次函数与三角函数的复合1. 二次函数的定义二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
它的图像一般是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
2. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们是以角度或弧度为自变量的函数。
这些函数描述了角度与三角比之间的关系。
3. 复合函数的定义复合函数是指将一个函数作为另一个函数的输入，通过先进行一次函数运算再进行另一次函数运算得到结果。
在数学中，复合函数用f(g(x))表示。
4. 二次函数与三角函数的复合二次函数与三角函数的复合可以形式化表示为f(g(x))，其中f(x)为二次函数，g(x)为三角函数。
例如，f(g(x)) = ax^2 + bx + c，g(x) =sin(x)。
二、二次函数与三角函数的相关问题解析1. 判断函数的奇偶性对于给定的函数f(x)，可以通过观察该函数的表达式来判断其奇偶性。
例如，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c是一个偶函数，因为它的图像关于y轴对称。
而正弦函数sin(x)是一个奇函数，因为它的图像关于原点对称。
2. 求函数的最值和极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过求导数的方法来求得其极值点。
而对于三角函数，由于其周期性，其最值需要进行特殊处理。
例如，正弦函数sin(x)在区间[0, 2π]上的最大值为1，最小值为-1。
3. 解方程与求交点在实际问题中，我们常常需要解二次方程或三角方程，以求得函数的交点或解析解。
例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c和三角函数g(x) = sin(x)，我们可以通过联立方程f(x) = g(x)来求得二者的交点。
二次函数中求直角三角形的方法
二次函数中求直角三角形的方法以二次函数中求直角三角形的方法为标题，我们将介绍如何利用二次函数来求解直角三角形的相关问题。
在二次函数中，我们常常会遇到求解直角三角形的问题。
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
对于直角三角形，我们可以利用二次函数的性质来解决一些与其相关的问题。
我们来讨论直角三角形的三边关系。
根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
假设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
这个关系式在解决直角三角形问题时非常重要。
在二次函数中，我们经常会遇到求解两点之间的距离的问题。
对于直角三角形，我们可以利用二次函数的距离公式来求解两点之间的距离。
假设直角三角形的两个顶点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点之间的距离可以通过以下公式来计算：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)接下来，我们将介绍如何利用二次函数来解决直角三角形的面积问题。
直角三角形的面积可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * a * b其中，a和b分别为直角三角形的两直角边的长度。
当我们已知直角三角形的两直角边的长度时，可以利用二次函数来求解斜边的长度。
根据勾股定理，我们可以得到以下公式：c = sqrt(a^2 + b^2)其中，c为直角三角形的斜边的长度。
当我们已知直角三角形的两个直角边的长度时，可以利用二次函数来求解直角三角形的两个锐角的正弦、余弦和正切值。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下公式：sinA = a / ccosA = b / ctanA = a / b其中，A为直角三角形的一个锐角。
在二次函数中，我们也常常会遇到求解直角三角形的最大值或最小值的问题。
对于直角三角形，我们可以通过二次函数的顶点来求解其最大值或最小值。
在直角三角形中，顶点即为直角三角形的顶点，其x坐标为a/2，y坐标为b/2，其中a和b分别为直角三角形的两直角边的长度。
二次函数与三角函数的关系与计算
二次函数与三角函数的关系与计算在数学中，二次函数和三角函数是常见的数学函数类型。
二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，而三角函数是巧妙地描述角度与弧度之间关系的函数。
本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，并介绍它们的计算方法。
二次函数与三角函数之间的关系可以通过图像来理解。
首先，我们来观察二次函数的图像。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c来说，它的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向（向上还是向下）取决于a的正负。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
b和c则决定了抛物线的位置和形状。
接下来，我们来看三角函数的图像。
常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
这些函数的图像是周期性的，其周期为2π（或360°）。
在图像上，正弦函数和余弦函数的波形是连续的曲线，而正切函数则具有无穷多个趋近于无穷大的垂直渐近线。
关于二次函数和三角函数之间的关系，我们可以发现一些有趣的现象。
首先，我们可以通过将变量x替换为角度θ来将二次函数与三角函数联系起来。
例如，如果我们将x替换为θ，并选择合适的常数a、b、c，那么二次函数y = ax^2 + bx + c可以被转化为三角函数的表达式，如y = a sin^2(θ) + b sin(θ) + c。
此外，二次函数和三角函数之间还存在一些近似关系。
例如，当抛物线的曲率比较缓和时，它的形状可能与正弦函数或余弦函数的图像相似。
而当抛物线的曲率比较陡峭时，它的形状可能与正切函数的图像相似。
在计算二次函数和三角函数时，我们通常需要借助数学工具和公式。
对于二次函数，我们可以使用求根公式来求解其零点，从而确定函数的交点。
对于三角函数，我们可以使用特定的数学公式来计算其值，如正弦函数和余弦函数的和差角公式、倍角公式，以及正切函数的倒数公式等。
二次函数与三角函数的像比较
二次函数与三角函数的像比较在高中数学学习中，我们都会遇到二次函数和三角函数这两个重要的函数概念。
二次函数和三角函数在数学中有着广泛的应用，而且它们的图像特点也有着显著的不同。
本文将比较二次函数和三角函数在图像上的不同特点，并分析它们在实际问题中的应用。
一、二次函数的图像特点二次函数的一般式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为任意常数且a不等于零。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
二次函数的图像在平面直角坐标系中具有以下特点：1. 首先，二次函数的图像关于过顶点的线(x = -b/2a)对称。
这是因为二次函数的对称轴就是过顶点的直线。
2. 其次，当二次函数的a大于零时，顶点是抛物线的最低点；当a 小于零时，顶点是抛物线的最高点。
3. 此外，当二次函数的a的绝对值越大时，抛物线越扁平；当a的绝对值越小时，抛物线越陡峭。
二、三角函数的图像特点三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的图像是曲线而不是抛物线。
在本文中，我们以正弦函数为例进行分析。
正弦函数的一般式可以表示为y = A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为任意常数。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，具有以下特点：1. 首先，正弦函数的图像是周期性的，即在一定的区间内重复出现。
周期T等于2π/B，B为正弦函数中的参数。
2. 其次，正弦函数的图像关于x轴对称。
这意味着正弦函数在x轴上下方的取值是相等的。
3. 此外，正弦函数的振幅A决定了曲线的最大值和最小值。
当A大于1时，曲线会上下波动的幅度增大；当A小于1时，曲线的波动幅度减小。
4. 最后，C参数则表示正弦函数的水平偏移，D参数表示正弦函数的垂直偏移。
三、二次函数和三角函数的应用比较二次函数和三角函数在实际问题中有着丰富的应用，但是它们的应用领域有所不同。
二次函数的应用领域包括：物体的抛体运动、旅行时间最短问题、经济学中的成本和收益等。
二次函数与三角函数的图像与性质
二次函数与三角函数的图像与性质一、二次函数的图像与性质1.图像特点：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
开口向上的抛物线顶点在最低点，开口向下的抛物线顶点在最高点。
2.性质：二次函数的图像具有对称性，对称轴是抛物线的轴线，即x = -b/2a。
对称轴上的点关于抛物线对称。
3.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
顶点是抛物线的最高点或最低点，取决于a的正负。
4.零点：二次函数与x轴的交点称为零点。
二次函数最多有两个零点。
5.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
6.增减性：当a > 0时，随着x的增大，y值增大；当a < 0时，随着x的增大，y值减小。
二、三角函数的图像与性质1.正弦函数（sin x）：–图像特点：正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：正弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，正弦函数是增函数；在π到2π之间，正弦函数是减函数。
2.余弦函数（cos x）：–图像特点：余弦函数的图像与正弦函数相似，也是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：余弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，余弦函数是减函数；在π到2π之间，余弦函数是增函数。
3.正切函数（tan x）：–图像特点：正切函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为π。
–性质：正切函数的值域为全体实数，在每个周期内，正切函数是增函数。
4.弧度制与角度制的转换：–弧度制：π rad = 180°。
–角度制：1° = π/180 rad。
5.三角函数的定义：–正弦函数：sin x = 对边/斜边。
–余弦函数：cos x = 邻边/斜边。
–正切函数：tan x = 对边/邻边。
三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别1.联系：二次函数与三角函数都是周期性函数，具有周期性波动的特点。
二次函数与三角函数的复合
二次函数与三角函数的复合在数学学科中，二次函数和三角函数都是非常重要的概念。
二次函数可以描述抛物线的形状和性质，而三角函数则用来研究角度和周期性现象。
本文将探讨二次函数与三角函数的复合，即将二次函数和三角函数相互组合运用。
一、二次函数的基本形式首先，我们来回顾一下二次函数的基本形式：$$f(x) = ax^2 + bx + c$$其中，$a$、$b$和$c$为常数，且$a \neq 0$。
这样的函数图像是一个抛物线，开口的方向由二次系数$a$的正负决定。
二、三角函数的基本形式接下来，我们来了解一下三角函数的基本形式。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
以正弦函数为例，其基本形式为：$$y = A\sin{Bx + C}$$其中，$A$、$B$和$C$为常数。
正弦函数的图像呈现出周期性变化，周期为$2\pi/B$，振幅为$A$。
三、二次函数与正弦函数的复合现在我们考虑将二次函数与正弦函数进行复合运算。
我们可以将正弦函数的自变量$Bx + C$替换为二次函数$ax^2 + bx + c$，得到复合函数的形式：$$f(x) = A\sin{(ax^2 + bx + c)}$$这样的复合函数图像会在抛物线上进行周期性振动。
具体来说，当二次函数的抛物线开口向上时，正弦函数的振动将在抛物线上方进行；当抛物线开口向下时，正弦函数的振动将在抛物线下方进行。
四、二次函数与余弦函数的复合同样地，我们也可以将二次函数与余弦函数进行复合运算。
将余弦函数的自变量$Bx + C$替换为二次函数$ax^2 + bx + c$，得到复合函数的形式：$$f(x) = A\cos{(ax^2 + bx + c)}$$这样的复合函数图像同样会在抛物线上进行周期性变化。
但与二次函数与正弦函数的复合不同的是，余弦函数的振动相位与抛物线的开口方向相关。
具体来说，当抛物线开口向上时，余弦函数的振动相位会向右移动；当抛物线开口向下时，余弦函数的振动相位会向左移动。
中考数学压轴题专题-二次函数与三角函数综合问题
专题17二次函数与三角函数综合问题【例1】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【例2】（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．【例3】（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA 的面积为，当t＝时，求抛物线的解析式．【例4】（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．1．（2021•镇江二模）已知抛物线y＝ax2+bx+10交x轴于点A（﹣10，0）和点B（2，0），其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为（m，﹣3），射线AB沿着直线AC翻折，交l于点F，如图（1）所示．（1）a＝，b＝；（2）如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，EP＝EB且∠BPE＝∠BAF，求证：AB •BE＝PB•AF．（3）在（2）的条件下，直接写出tan∠BAF的值＝；直接写出点P的坐标（，）．2．（2021•慈溪市校级四模）如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PM⊥OA于点M，点Q的坐标为（0，3），连接PQ．（1）求出抛物线的解析式；（2）当点P与点A或点C重合时，PQ+PM＝，小聪猜想：对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由；（3）延长MP交BC于点N，当∠NPQ为锐角，cos∠NPQ＝时，求点P的坐标．3．（2021•道里区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2交y轴于点A，该抛物线的顶点为B（2，﹣4）．（1）如图（1），求a，b的值；（2）如图（2），过点B作x轴的垂线，点C为垂足，横坐标为t的点P在抛物线上，点P在第四象限且位于BC右侧，连接PA，PC，△ACP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t 的取值范围；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接PB，点D与点A关于原点对称，过点D作x轴的平行线与抛物线在第二象限交于点E，点F在第三象限，点G在CB的延长线上，若EF＝PC，∠DEF+∠BCP＝150°，∠DEG﹣∠PFG＝30°，tan∠EGF＝，求点P的坐标．4．（2021•金坛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象与y轴交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作CD⊥BA交x轴于点C，交抛物线于点D，连接AD．将线段AB沿线段AD平移得到EF（点E与点A对应、点F与点B对应），连接BF．（1）填空：线段OA＝；（2）若点F恰好落在直线L上，求AF的长；（3）连接DF并延长交抛物线于点Q，若tan∠ADF＝，求点Q的坐标．5．（2021•仙桃校级模拟）如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点；（3）图3中，在（1）的条件下，x轴正半轴上有一点B（1，0），M为抛物线C1上在第一象限内的点，若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，直接写出点M的横坐标x的取值范围．6．（2021•台安县模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式．（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合），①求线段EH的长；②连接DF，求tan∠FDE的值；③试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021•江阴市模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于点A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，与其对称轴交于点D，直线BD交y轴于点E，BD＝2DE．（1）求点A的坐标；（2）①连接AC，BC，若△ABC外接圆的圆心正好在x轴上，求二次函数表达式；②连接CD，若tan∠CDB＝tan∠OBD，求此时二次函数表达式．8．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E 为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2020•海安市一模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A 点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点．直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于E点，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH交x轴于G 点．（1）若a＝1，k＝2，求DH的长；（2）当a=13时，求cos∠AHE的值；（3）连接BC，求证：四边形BCGH是平行四边形．10．（2020•惠山区二模）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2+2mx﹣4（m≠0）的图象与x 轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数的图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求出点P的横坐标．11．（2020•肥城市四模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴A（﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE，D是第二象限内的抛物线上一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△ADE面积的最大值并写出此时点D的坐标；（3）若tan∠AED=13，求此时点D的坐标．12．（2020•历下区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED=13，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．14．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=−12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC=12时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t （0≤t≤5），请直接写出S与t的函数关系式．15．（2020•成都校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+4交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（6，7）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，作PM⊥CD于点M．（1）求抛物线的解析式及sin∠PFM的值．（2）设点P的横坐标为m：①若P在CD上方，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM长的最大值；②当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．16．（2020•武汉模拟）如图，抛物线y═−13x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2020•河东区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2019•新都区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A和点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B两点，且其对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P是抛物线上一动点，若在此抛物线上，有且仅有三个点P，使△ABP的面积等于定值S，请求出该定值S和这三个P点的坐标；（3）如图2，动点C，D分别在x轴上方、下方的抛物线上运动，且满足∠CAO＝∠DAO，连接CD交x轴于点E，当点C，D运动时，∠CEO的度数发生变化吗？若不变，求出sin∠CEO的值；若变化，请求出∠CEO的变化范围．。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法
数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。
二次函数与三角函数的关系
二次函数与三角函数的关系二次函数和三角函数在数学中都是非常重要的概念，它们在许多数学问题和实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨二次函数与三角函数之间的关系，并分析它们在数学和物理中的应用。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一个具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，它的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
二次函数的性质包括：1. 对称性：二次函数关于抛物线的顶点具有轴对称性，即f(x) = f(-x)。
2. 开口方向：a的正负决定了二次函数的开口方向，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
3. 零点和判别式：二次函数的零点是方程ax^2 + bx + c = 0的解，判别式b^2 - 4ac可以确定二次函数的零点情况。
二、三角函数的定义和性质三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)等。
它们是以角度或弧度作为自变量的函数。
三角函数的定义和性质如下：1. 正弦函数(sin)：在直角三角形中，正弦函数表示的是对边与斜边的比值，即sinθ = opp osite/hypotenuse。
2. 余弦函数(cos)：在直角三角形中，余弦函数表示的是邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。
3. 正切函数(tan)：在直角三角形中，正切函数表示的是对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。
4. 周期性：三角函数都具有周期性，其中正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。
三、二次函数和三角函数之间的关系1. 正弦函数与二次函数的关系：正弦函数的图像可以用二次函数来逼近，具体地，可以使用形式为f(x) = a*sin(bx + c) + d的二次函数来逼近正弦函数的周期部分。
其中，a决定了振幅，b影响了周期，c表示水平方向的平移，d表示垂直方向的平移。
二次函数与三角函数的关系与应用
二次函数与三角函数的关系与应用二次函数与三角函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和现实世界中有着重要的应用。
本文将介绍二次函数与三角函数的关系，以及它们的具体应用。
一、二次函数与三角函数的关系1. 二次函数与正弦函数的关系二次函数与正弦函数之间存在一种密切的关系，即正弦函数可以通过二次函数进行逼近。
当我们用泰勒级数展开正弦函数时，可以得到一个以正弦函数为中心的无穷多项式，而这个无穷多项式可以看作是二次函数的形式。
具体地，我们可以用以下公式表示这种关系：y = a*sin(bx+c) + d (1)其中，a、b、c和d是常数，决定了正弦函数的振幅、周期、相位和平移。
当b≈0时，正弦函数可近似为二次函数。
2. 二次函数与余弦函数的关系二次函数与余弦函数之间也存在密切的关系，即余弦函数也可以通过二次函数进行逼近。
余弦函数同样可以通过泰勒级数展开得到以余弦函数为中心的无穷多项式，而这个无穷多项式同样可以看作是二次函数的形式。
具体地，我们可以用以下公式表示这种关系：y = a*cos(bx+c) + d (2)同样地，a、b、c和d是常数，决定了余弦函数的振幅、周期、相位和平移。
二、二次函数与三角函数的应用1. 振动问题二次函数与三角函数在描述振动问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以通过二次函数或正弦函数来描述弹簧的振动，以及钟摆的周期等。
这些问题可以转化为数学模型，通过实际测量的数据来确定相关参数，从而解决实际问题。
2. 物体的运动轨迹二次函数与三角函数也可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，抛物线的运动可以用二次函数来表示，而圆的运动可以用余弦函数和正弦函数来表示。
这些描述可以帮助我们预测物体在空间中的运动轨迹，从而实现精确的定位和跟踪。
3. 电路中的交流信号在电路工程中，交流电信号可以用正弦函数来描述。
而正弦函数可以通过二次函数进行逼近，因此二次函数在电路分析和设计中有着重要应用。
我们可以利用二次函数来分析电路中的电压、电流以及阻抗等特性，从而实现对电路的优化和改进。
初中数学知识归纳二次函数与三角函数的像和性质
初中数学知识归纳二次函数与三角函数的像和性质在初中数学中，我们学习了很多数学知识，其中包括二次函数与三角函数。
本文将对二次函数与三角函数的像和性质进行归纳整理，并介绍它们在数学中的应用。
一、二次函数的像和性质二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且 a ≠ 0。
二次函数的图象是一条抛物线，其像和性质有以下几点：1. 抛物线的开口方向当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中-b/2a为抛物线的对称轴的横坐标。
3. 对称轴抛物线的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x = -b/2a。
4. 零点二次函数的零点即为方程ax^2 + bx + c = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
5. 函数值的正负性当a大于0时，抛物线在顶点两侧函数值为正；当a小于0时，抛物线在顶点两侧函数值为负。
6. 函数的增减性当a大于0时，函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减；当a小于0时，函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增。
二、三角函数的像和性质三角函数是描述角度和关联边之间的关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
以下是它们的像和性质：1. 正弦函数的定义域和值域正弦函数sin(x)的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。
2. 正弦函数的图象正弦函数的图象是一条连续的曲线，周期为2π。
3. 余弦函数的定义域和值域余弦函数cos(x)的定义域是整个实数集，值域在[-1, 1]之间。
4. 余弦函数的图象余弦函数的图象也是一条连续的曲线，周期为2π，与正弦函数的图象相位差为π/2。
5. 正切函数的定义域和值域正切函数tan(x)的定义域是除去所有使得cos(x)等于0的点，其余全体实数，值域是整个实数集。
6. 正切函数的图象正切函数的图象也是一条连续的曲线，其周期为π，每个周期内都有一个渐近线。
二次函数与角度问题解题技巧
二次函数与角度问题解题技巧二次函数与角度问题解题技巧是高中数学教学中的一个重要内容，本文将为大家详细介绍有关二次函数与角度问题解题的相关内容。
一、二次函数的基本性质二次函数y=ax²+bx+c是一个常见的函数形式，其中a、b、c都是常数，a不能为0。
通过对二次函数的研究，我们可以得到以下几个基本性质。
1.对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
2.开口方向：当a>0时，二次函数开口朝上；当a<0时，二次函数开口朝下。
3.零点：二次函数的零点为x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
4.最值：当a>0时，二次函数的最小值为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最大值为c-b²/4a。
二、角度的基本概念在解题时涉及到角度问题，我们需要先了解一些角度的基本概念。
1.度数：度数是衡量角度大小的单位，一个完整的圆是360°。
角度小于360°的称为锐角或者钝角，大于360°的称为扩角。
2.弧度：弧度是衡量角度大小的另一种单位，一个完整的圆对应的弧度是2π。
一般情况下，我们可以通过角度制转换成弧度制，即1°=π/180。
3.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们是角度的函数，可以用来计算三角形中各个边和角度之间的关系。
三、我们可以通过二次函数与角度问题解题来加深对这两个知识点的理解。
下面分别介绍两种不同的解题方法。
1.将角度问题转换成二次函数问题有时我们会遇到一些角度问题，如正弦函数、余弦函数和正切函数等，可以通过转换成二次函数的形式来解决。
如题：已知正弦函数的最小正周期为6，函数图像通过点(0,-1)，求这个正弦函数的解析式。
解：因为正弦函数的最小正周期为6，所以这个函数的表达式应该是y=Asin(2π/6x)+B。
又因为这个函数图像通过点(0,-1)，所以B=-1。
二次函数与三角函数的比较
二次函数与三角函数的比较二次函数和三角函数是高中数学中常见的两种函数类型，它们在数学建模、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。
本文将通过比较二次函数和三角函数在图像特征、周期性、最值等方面的差异，来探讨二者的异同之处。
一、图像特征比较1. 二次函数图像特征二次函数一般具有开口方向、对称轴、顶点等特点。
对于一般形式的二次函数：$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为常数，$a \neq 0$。
当$a>0$时，图像开口向上；当$a<0$时，图像开口向下。
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$。
2. 三角函数图像特征三角函数分为正弦函数、余弦函数和正切函数等多种类型。
以正弦函数为例，其一般形式为：$f(x)=a\sin(bx+c)+d$，其中$a$、$b$、$c$和$d$为常数。
正弦函数的图像具有振幅、周期和相位等特点。
振幅为参数$a$的绝对值，表示波峰和波谷的最大高度差；周期为$\frac{2\pi}{b}$，表示一次完整波形的长度；相位为$-\frac{c}{b}$，表示图像在横轴上的平移。
二、周期性比较1. 二次函数的周期性一般情况下，二次函数是不具备周期性的。
由于二次函数的图像为抛物线形状，无法表现出周期性的特征，其图像在坐标平面上是一片连续的曲线。
2. 三角函数的周期性三角函数具有明显的周期性，即在一定的区间内，图像重复出现。
以正弦函数为例，其周期为$\frac{2\pi}{b}$，其中$b$为正弦函数的参数。
正弦函数的图像在每个周期内呈现出相似的波形，周期性的出现使得三角函数在很多领域中有着广泛的应用。
三、最值比较1. 二次函数的最值对于一般形式的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，如果$a>0$，则函数的最小值为$c-\frac{b^2}{4a}$；如果$a<0$，则函数的最大值为$c-\frac{b^2}{4a}$。
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1．在△ABC 中，若sinA =
2
3
，则∠A 为（ ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 2．下列函数中,当x >0时,y 随x 的增大而减小的是（ ）A.y=2x 2 B.y=2x －1 C.y=
x
2
- D.y=－2x 2 3．将抛物线y ＝－2(x －1)2－2向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝－2(x －2)2－3 B ．y ＝－2(x －2)2－1 C ．y ＝－2x 2－1 D ．y ＝－2x 2－3 4．下列抛物线的图象与x 轴没有交点的是（ ）
A ．
42-=x y B ．131
2+-=x y C ．2)2(22---=x y D ．x x y 32+=
5．函数c ax y +=2
与x
ac y =在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A B 6．二次函数
2ax y -=的图象经过点（1，－2）
7．在△ABC 中，∠C =90°，sinA =
5
3
，BC =15，则△ABC 的周长是 ，面积是 。
8．若α为锐角，则sin α+ cos α 1。
（填“=”、“≤”、“≥”、“<”、“>”） 9．已知抛物线
342++=x x y ，它的图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ；与y 轴的交点坐标为 。
10．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次 函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。
当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 11．计算：o o o o o 30cos 60tan 45tan 60sin 230sin 22
+-++
12．已知
2
2212()(3)m m y m m x m x m --=-+-+是x 的二次函数，求m 的值和二次函数的解析式；
13．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB =1.6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式。
14．如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数
2214x x y -
=刻画，斜坡可以用一次函数x y 2
1
=刻画。
⑴求小球到达的最高点的坐标 ⑵小球的落点是A ，求点A 的坐标。
15．已知二次函数
2222-++-=m m mx x y
⑴当m 为何值时，二次函数的图象经过原点。
⑵当m 为何值时，二次函数的图象关于y 轴对称
x
B
y
A 1 2 3 4 5 6 7 8
3 1
2 4 8
7 6 5 A
16．某电视塔AB 和楼CD 的水平距离为100m ,从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°,试求塔高和楼高(精确到0.1m )
17．如图，在△ABC 中，AD 是中线，且AD ⊥AB ，∠BAC ＝135°，求sin B 。
18．以（1，2）为顶点的抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点M ，
且A 的坐标为（－1，0），求△AMB 的面积。
19．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
20．如图，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD ，上底AD ＝3cm ，下底BC ＝8cm ，垂直于底的腰CD ＝6cm 。
现要截成一矩形铁皮MPCN ，使它的顶点M 、P 、N 在AB 、BC 、CD 上，设MN 的长为x ，矩形MPCN 的面积为y 。
⑴求y 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围。
⑵当x 为何值时，矩形MPCN 的面积最大？最大面积是多少？
21．如图，某游船以30海里/小时的速度向北航行，在A 处看到小岛P 在南偏东 60°处，40分钟后到达B 处，看到小岛P 在南偏东30°处，这时游船改为东偏北 30°的航向继续航行了80分钟到达另一小岛Q ，求P 、Q 两个小岛之间的距离。
（结果保留根号）
22．如图①，在直角坐标系中，二次函数
)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于
C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB =OC ，tan ∠ACO ＝3
1。
⑴．求这个二次函数的表达式。
⑵．经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在抛物线上是否 存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。
⑶．如图②，若点G （2，y ）是抛物线上一点，点P 是直线AG
下方的抛物线上一动点，当P 运动到什么位置时，△APG 的面积 最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积。
A
M
B
P C
N
D A
B Q
P。