2019年高三数学(文科)一轮复习强化训练北师大版2平面向量Word版含解析

重点强化训练(二)平面向量

(对应学生用书第222页)

A组基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()

A．a＋b＝0

B．a＝b

C．a与b共线反向

D．存在正实数λ，使a＝λb

D[因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D 正确．]

2．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为() 【导学号：00090149】

A．2－1B．1

C．2D．2

B[因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝ 2.

展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，

即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.

而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，

所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.

所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.]

3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的() A．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]

4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．23π

D ．56π

A [由题意，得OA →＋OC →＝(3＋cos α，sin α)，

所以|OA →＋OC →|＝(3＋cos α)2＋sin 2α

＝

10＋6cos α＝13，

即cos α＝1

2，

因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，32.

设OB

→与OC →的夹角为θ， 则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3

233×1＝3

2.

因为θ∈[0，π]，所以θ＝π

6.]

5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12 B ．12 C ．－34

D ．0

A [取A

B 的中点

C ，连接OC ，AB ＝3，

则AC ＝3

2，又因为OA ＝1，

所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32，

所以∠AOB ＝120°，

则OA →·OB →＝1×1×cos 120°

＝－12.] 二、填空题

6．设O 是坐标原点，已知OA

→＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________． 11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →＝(k －4,7)，

CB

→＝OB →－OC →＝(6，k －5)， 所以(k －4)(k －5)＝6×7，

k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]

7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】 2 [由|a －2b |＝21得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.

即1＋2|b |＋4|b |2

＝21，解得|b |＝2或|b |＝－5

2(舍)．]

8．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →

＝________.

－25 [由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC

→＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.]

三、解答题

9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP

→|；

(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →

＝(2,1)， ∴OP

→＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)， 3分 ∴|OP

→|＝22＋22＝2 2.

5分

(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，

8分

两式相减，得m －n ＝y －x .

令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.

12分