五年级几何直线型面积(三)教师版
小学数学几何直线型面积的计算完整版题型训练+详细答案
⼩学数学⼏何直线型⾯积的计算完整版题型训练+详细答案直线形⾯积的计算例题讲解：板块⼀：基础题型：1．如图，四边形ABCD是直⾓梯形，其中AD=12（厘⽶），AB=8（厘⽶），BC= 15（厘⽶），且三⾓形ADE、四边形DEBF、三⾓形CDF的⾯积相等，阴影三⾓形DEF的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：四边形ABCD的⾯积是（12+15）×8÷2=108（平⽅厘⽶），108÷3=36（平⽅厘⽶）。
CF=36×2÷8=9(厘⽶)，FB=15-9=6(厘⽶)，AE=36×2÷12=6（厘⽶），EB=8-6=2（厘⽶）。
阴影三⾓形DEF的⾯积是36-2×6÷2=30（平⽅厘⽶）2．⼀块长⽅形的⼟地被分割成4个⼩长⽅形，其中三块的⾯积如图所⽰（单位：平⽅⽶），剩下⼀块的⾯积应该是多少平⽅⽶？解析：40×15÷30=20（平⽅⽶）3．如图，在三⾓形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三⾓形DEC的⾯积是3平⽅厘⽶．请问：三⾓形ABC的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：三⾓形ADC的⾯积是3×3=9（平⽅厘⽶），三⾓形ABC的⾯积是3×9=27（平⽅厘⽶）4．如图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三⾓形ABC的⾯积为36平⽅厘⽔．三⾓形BDE的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：三⾓形BAE的⾯积是36÷3×2=24（平⽅厘⽶），三⾓形BDE的⾯积24÷3×2=16（平⽅厘⽶）5．如图所⽰，已知三⾓形BEC的⾯积等于20平⽅厘⽶，E是AB边上靠近⽇点的四等分点，三⾓形AED的⾯积是多少平⽅厘⽶？平⾏四边形DECF的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：（1）三⾓形AED的⾯积是20×3=60（平⽅厘⽶）（2）三⾓形DEC的⾯积是20+60=80（平⽅厘⽶），三⾓形DEC的⾯积是平⾏四边形DECF 的⾯积的⼀半，也是平⾏四边形ABCD的⾯积的⼀半，所以平⾏四边形DECF的⾯积是80×2=160（平⽅厘⽶）6．如图，已知平⾏四边形ABCD的⾯积为36，三⾓形AOD的⾯积为8．三⾓形BOC的⾯积为多少？解析：根据⼀半模型可知，三⾓形AOD的⾯积和三⾓形BOC的⾯积是平⾏四边形ABCD 的⾯积的⼀半，所以三⾓形BOC的⾯积是36÷2-8=107．如图，长⽅形ABCD的⾯积是96平⽅厘⽶，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：链接BD ，可知三⾓形ABD 的⾯积和三⾓形BDC 都是96÷2=48（平⽅厘⽶），三⾓形ABE 的⾯积是48×32=32（平⽅厘⽶）。
小学奥数五年级经典讲义之第一讲直线型面积的计算
第一讲 直线型面积的计算内容概述前三讲我们将针对几何部分进一步学习提高！首先，让我们一起来回顾一些基本知识！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。
我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：对于不规则图形的面积及周长计算，我们大都是由规则图形转化而来的！在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：① 等底等高的两个三角形面积相等．②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=则可知直线AB 平行于CD 。
这节课我们将通过例题学习到几个很重要的定理结论！同学们注意做好笔记啊！例题精讲【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成（1）2个面积相等的三角形；（2）3个面积相等的三角形；（3）4个面积相等的三角形。
分析：（1）如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；（2）如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一；（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考；前四种答案学生都容易得到，在这里我们需要特别说明的是第五个答案，请看例2 。
【例2】在学习三角形时，很多同学都听说过中位线，所谓中位线就是三角形两边中点的连线。
如右图所示，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，根据定义可知DE、DF、EF就是三角形ABC的中线。
那么请你说明：（1）DE与BC平行（2）DE= 1/2 BC（3）S△ADE= 1/4 S△ABC分析：（1）在解答一些几何问题时，我们常常需要添加一些辅助线帮助我们分析解决。
如右图（1），连接DC、BE。
因为D、E分别是AB、AC的中点，所以S△BDC=1/2 S△ABC= S△BEC，又因为△BDC与△BEC同用BC做底，根据“内容概述”部分常用结论③可得：DE与BC平行。
第十三讲直线型图形面积的计算
第十三讲 直线型面积的计算不规那么图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规那么图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规那么图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规那么图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理〞〔即：集合A 与集合B 之间有：AB A B A B S S S S =+-〕合并使用才能解决。
〖经典例题〗例1、下列图是边长为4厘米的正方形,AE =5厘米、OB 是多少厘米？ 分析：连接BE ,那么8442121=⨯⨯==∆正方形S S ABE (平方厘米). 从另一角度看,OB S ABE ⨯⨯=∆521,于是8521=⨯⨯OB .所以 825OB =⨯÷=3.2(厘米)。
例2、正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它的宽DE 等于多少厘米?分析：连结AG ，1122ADG ABCD DEFG S S S ==, 因此ABCD S =4×4=16平方厘米，那么DE=16÷5=3.2cm 。
〖方法总结〗这两个题目主要是对各种根本图形面积公式的灵活应用，同底或同高时我们可以用分配率将两个三角形的面积一起求和或者求其比例关系。
在解题过程中做辅助线是经常用到的方法，对于辅助线的做法，一般都是先观察一下要求的图形所在的图形是不是一个规那么图形，如果不是，我们就要填上辅助线，将其构造成规那么图形。
〖稳固练习〗练习1：如下列图，在正方形ABCD 中，三角形ABE 的面积是8平方厘米，它是三角形DEC 的面积的54。
求正方形的面积。
练习2：平行四边形ABCD 的面积是150，EF ∥AD ，求阴影局部面积。
练习3：如图，在长方形ABCD 中，BC ＝10，ABO S =8，BCO S ＝12，ADO S ＝10，求AB 。
练习4：如图，长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别是8、4、6，求阴影局部的面积。
5年级奥数直线形面积问题例题解析
【内容概述】各种具有一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，其中包括四边形和梯形被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面积关系．【例题】1．图16-1中三角形．ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?[分析与解]△ABD，△ABC等高，所以面积的比为底的比，有＝＝，所以S△ABD ＝×S△ABC＝×180＝90(平方厘米)．同理有S△ABE ＝×S△ABD＝×90＝30(平方厘米)，S△AFE＝×S△ABE＝×30＝22.5(平方厘米)．即三角形AEF的面积是22.5平方厘米．2．如图16-2，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?[分析与解]如下图，连接BD，ED，BG，有△EAD、△ADB同高，所以面积比为底的比，有S△EAD ＝S△ABD＝2S△ABD．同理S△EAH ＝S△EAD＝3S△EAD＝6S△ABD．类似的，还可得S△FCG ＝6S△BCD，有S△EAH+S△FCG＝6(S△ABD+S△BCD)＝6SABCD＝30(平方厘米)．连接AC，AF，HC，还可得S△EFB ＝6S△ABC，S△DHG＝6S△BCD，有S△EFB+S△DHG＝6(S△ABC+S△BCD )＝6SABCD＝30(平方厘米)．有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5＝65(平方厘米)．解法二：连接BD，有△EAH、△ABD中∠EAD+∠BAD＝180°，又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，＝2×3＝6，所以S△EAH ＝6S△ABD．类似的，还可得S△FCG ＝6S△BCD，有S△EAH+S△FCG＝6(S△ABD+S△BCD)＝6SABCD＝30(平方厘米)．连接AC，还可得S△EFB ＝6S△ABC，S△DHG＝6S△BCD，有S△EFB+S△DHG＝6(S△ABC+S△BCD)＝6SABCD＝30(平方厘米)．有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5＝65(平方厘米)．评注：解法二用到了一个比较重要的性质，若两个三角形的某对夹角相等或互补(和为180°)，那么构成这个角的两边乘积的比为面积比．这个原则，我们可以在中学数学中的三角部分学到，当然我们也可以简单的利用比例性质及图形变换来说明，有兴趣的同学不妨自己试试．3．图16-3中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?[分析与解]如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．因为△ADE、△DEC高相同，所以面积比为底的比，有＝，所以S△ADE＝×6．同理有＝，所以S△ABE＝×7．所以有△ADE与△ABE的面积比为6：7．又有它们的面积和为52－(6+7)＝39(公顷)．所以S△ADE ＝×39＝18(公顷)，S△ABE＝×39＝21(公顷)．显然，最大的三角形的面积为21公顷．方法二：直接运用例2评注中的重要原则，在△ABE，△CDE中有∠AEB＝∠CED，所以△ABE，△CDE的面积比为(AE×EB)：(CE×DE)．同理有△ADE，△BCE的面积比为(AE×DE)：(BE×EC)．所以有S△ABE ×S△CDE＝S△ADE×S△BCE，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．即S△ABE ×6＝S△ADE×7，所以有△ABE与△ADE的面积比为7：6，S△ABE＝×39＝21(公顷)，S△ADE＝×39＝18(公顷)．显然，最大的三角形的面积为21公顷．评注：在方法二中，给出一个很重要的性质：在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．希望大家牢牢记住，并学会在具体问题中加以运用．4．如图16-4，已知．AE＝AC，CD＝BC，BF＝AB，那么等于多少?[分析与解]如下图，连接AD，BE，CF．有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，所有有＝，所以S△ABE ＝×S△ABC＝S△ABC．同理有S△AEF ＝S△ABE＝S△ABE，即S△AEF＝×S△ABC＝S△ABC．类似的还可以的到S△CDE ＝×S△ABC＝S△ABC，S△BDF＝×S△ABC＝S△ABC．即为．5．如图16-5，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC＝2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?[分析与解]如下图，连接CF，有S△CDG ＝×DC×CG＝×DC×BC＝S矩形ABCD＝(平方厘米)．因为F为DG中点，所以△GCF、△CDF的面积相等，所以S△GCF ＝S△CDF＝S△CDG＝＝(平方厘米)．而EC＝2DE，所以△CEF的面积是△DEF2倍，它们的面积和为△CDF的面积，所以有S△CEF ＝S△CDF＝＝(平方厘米)．而阴影部分面积为△CFG、△CEF的面积和，即为+＝(平方厘米)．解法二：如下图，连接EG，有△DEG的底视为DE时，高为GC，所以有S△DEG＝×DE×GC＝×DC×BC＝×S矩形ABCD＝(平方厘米)．因为F为DG中点，所以△EFG与△DEF面积相等，所以S△EFG ＝S△DEF＝×S△DEG＝(平方厘米)．＝×GC×EC＝×BC×DC 而△GCE的底为GC，高为C，所以有S△GCE＝(平方厘米)．＝×S矩形ABCD而阴影部分面积为△EFG、△GCE的面积和，即为+＝(平方厘米)．解法三：如下图，连接FC，易知G为BC的中点，设△CFG的面积为x，则△BFG的面积也是x，设△DEF的面积为y，则△CEF的面积为2y．有△CFG、△BFG、△CEF的面积和为△BCE的面积，△DEF、△CEF、△CFG 的面积和为△CDG的面积．评注：我们把方法三中使用的这种先利用两块独立的图形来表达相关图形的面积，再根据已知条件列出一个二元一次方程组，最终求出解的方法称为凌氏类蝶形法．利用这种方法可以很容易的解出六年级下学期第16讲几何综合之二第9题这道5星级的图形题．类蝴形问题的必须找好两块独立的图形，还必须将边的比例关系转化为面积的比例关系．类似的还有一道题：△ABC中，G是AC的中点，D、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M,AF与BG交于N,已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大1.2平方厘米，则△ABC的面积是平方厘米？6．如图16-6，已知D是BC中点，E是CD的中点，是么C的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?[分析与解]因为E又是DC中点，F为AC中点，有AD＝2FE且FE平行与AD，则四边形ADEF为梯形．所以有③＝④，②×⑤＝③×④，②：⑤＝AD2：FE2＝．又已知②－⑤＝6，所以⑤＝6÷(4－1)＝2，②＝⑤×4＝8，所以②×⑤＝③×④＝16，而③＝④，所以③＝④＝4，有梯形ADEF由②～⑤，它们的面积和为8+4+4+2＝18．有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1：4．所以△AD面积为梯形ADEF面积的，即为18×＝24．因为D是BC中点，所以△ABD与△ADC的面积相等，而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和，即为24+24＝48(平方厘米)．三角形ABC的面积为48平方厘米．评注：梯形中连接两条对角线，则分梯形为4部分，称之为：上、下、左、右．如下图：运用比例知识，知道：①上、下部分的面积比等于上、下边平方的比．②左、右部分的面积相等．③上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积．7．图16-7是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如图16-8，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图16-8中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?[分析与解]如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．有∠ABC为直角，而∠CED＝∠ABC，所以∠CED也为直角，而CE＝CB＝5．△ADE与△CED同高，所以面积比为底的比，及，令△ADE的面积为5k，则△CED的面积为8k．△CED是由△CDB折叠而成，所以有△CED、△CDB面积相等，而△ABC是由△ADE、△CED、△CDB组成，所以S△ABC＝8k+5k+5k＝18k＝×5×12＝30，所以k＝，那么△ADE的面积为8×＝(平方厘米)．即阴影部分的面积为平方厘米．8．如图16-9，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知梯形的上底长是下底长的．那么余下阴影部分的面积是多少?[分析与解]不妨设上底长2，那么下底长3，则上面部分的三角形的高为10÷2×2＝10，下面部分的三角形的高为12÷3×2＝8，则梯形的高为10+8＝18．所以梯形的面积为×(2+3)×18＝45，所以余下阴影部分的面积为45－10－12＝23．评注：这道题中上下底、梯形的高都不确定，但是余下阴影部分的面积却是确定的值，所以面积值与上下底、高的确定值无关，所以我们可以大胆假设，当然也可以谨慎的将上底设为2x，下底为3x．9．图16-10中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8，三角形ABF的面积是9，三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少?[分析与解]由本讲例6中评注中的一般结论知，△ABF与△DFC面积相等，△ABF、△DFC 面积的乘积等于△AFD与△BCF的面积乘积．所以S△DFC ＝S△ABF＝9，S△ABF×S△DFC＝S△AFD×S△BCF＝9×9，所以S△AFD＝81÷27＝3．而△ADE的面积为1.8，则有DE：DF＝S△ADE ：S△AFD＝1.8：3＝0.6，而△CDE与△CDF的面积比也为DE与DF的比，所以有S△CDE ＝0.6×S△CDF＝0.6×9＝5.4，则S△AFE +S△CEF＝(S△ADF－S△AEF)+(S△CDF－S△CDE)＝(3－1.8)+(9－5.4)＝4.8．即阴影部分面积为4.8．10．如图16-1l，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?[分析与解]△ADO与△BCO的面积比为AD平方与BC平方的比，即为9：81＝．而△DCO与△ABO的面积相等为12，又S△ABO ×S△DCO＝S△ADO×S△BCO＝12×12＝144，因为144÷9＝4×4，所以S△ADO ＝4，则S△BCO＝4×9＝36，而梯形ABCD的面积为△ADO、△BCO、△ABO、△CDO的面积和，即为4+36+12+12＝64(平方厘米)．即梯形ABCD的面积为64平方厘米．11．如图16-12，BD，CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?[分析与解]连接BF，四边形BCDF为梯形，则△BFE的面积与黄色△CDE的面积相等为6．△FED×△BCE＝S△BFE×△CDE＝6×6＝36，所以△BCE＝36÷4＝9，而△BCD的面积为△BEC与黄色△CDE的面积和，即为6+9＝15，又因为长方形ABCD的面积为△BCD面积的2倍，即为15×2＝30，所以S绿色四边形ABEF ＝S长方形ABCD－S△红色△FED－S黄色CDE－S△BCE＝30－4－6－9＝11(平方厘米)．绿色四边形面积为11平方厘米．12．如图16-13，平行四边形ABCD周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．[分析与解]因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14×BC＝16×CD，即BC：CD＝8：7，而2(BC+CD)＝75，所以BC＝20，以BC为底，对应高为14，20×14＝280，所以平行四边形ABCD的面积为280平方厘米．13．如图16-14，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米?[分析与解]为了方便叙述，将某些点标上字母，如下图：有矩形BFIE与矩形FCGI的面积比为EI与IG的比，为2：1，则EI＝EG ＝AD，矩形AHEL与矩形HDGL的面积比为AH与HD的比，为3：4，则AH＝AD，而LI＝EI－AH＝AD－AD＝AD，则正方形IJKL的面积为ABCD的面积，而题中四块矩形的面积和为1，即矩形ABCD的面积为1，所以正方形IJKL的面积为平方米．即图中阴影部分的面积为平方米．14．图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．[分析与解]如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH．有矩形MNOP的面积为2×3，又△DGH、△HMG的面积相等，△GCF、△GPF，△FBE、△EOF，△HAE、△HNE这3对三角形的面积也相等．记△DGH、△GCF、△FBE、△HAE的面积和为S，那么△HMG、△GPF、△EOF、△HNE的面积和也是S，又2S+S矩形MNOP ＝S正方形＝10×10＝100，所以S＝(100－6)÷2＝47(平方厘米)．而阴影部分HEGF的面积为S与矩形MNOP的面积和，即为47+6＝53．所以阴影部分的面积为53平方厘米．评注：运用好这种分割方法，往往会获得一些出其不意的惊喜，我们再给出一例：(第9届华罗庚金杯赛团体决赛口试第11题)如图所示，直角三角形PQR得两个直角边分别为5厘米，9厘米．问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？如右图，延长AR，DQ，过E，F分别作AR，DQ的平行线，在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN，四个全等的直角三角形和四个白色的三角形面积之和相等．小正方形HGNM的边长为9－5＝4厘米，所以面积为16平方厘米，而另外两个正方形ABPR、CDQR的面积分别为25，81．所以有原图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大25+81+16＝122平方厘米．15．如图16-16，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少?[分析与解]如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号：因为②、①、④组成的三角形为矩形面积的，而③、①、⑤组成的三角形也为矩形面积的，即有②+④＝③+⑤．又49，③，13，35，⑤这5块图形的面积和为矩形的面积，②、①、④的面积和也是矩形面积的．所以，49+③+13+35+⑤＝②+①+④，因为②+④＝③+⑤，所以①＝49+13+35＝97．图中阴影部分的面积为97．。
小学数学几何 直线型面积的计算 完整版题型训练+详细答案
直线形面积的计算例题讲解：板块一：基础题型：1．如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？解析：四边形ABCD的面积是（12+15）×8÷2=108（平方厘米），108÷3=36（平方厘米）。
CF=36×2÷8=9(厘米)，FB=15-9=6(厘米)，AE=36×2÷12=6（厘米），EB=8-6=2（厘米）。
阴影三角形DEF的面积是36-2×6÷2=30（平方厘米）2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？解析：40×15÷30=20（平方米）3．如图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？解析：三角形ADC的面积是3×3=9（平方厘米），三角形ABC的面积是3×9=27（平方厘米）4．如图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三角形ABC的面积为36平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米？解析：三角形BAE的面积是36÷3×2=24（平方厘米），三角形BDE的面积24÷3×2=16（平方厘米）5．如图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近日点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？解析：（1）三角形AED的面积是20×3=60（平方厘米）（2）三角形DEC的面积是20+60=80（平方厘米），三角形DEC的面积是平行四边形DECF 的面积的一半，也是平行四边形ABCD的面积的一半，所以平行四边形DECF的面积是80×2=160（平方厘米）6．如图，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？解析：根据一半模型可知，三角形AOD的面积和三角形BOC的面积是平行四边形ABCD 的面积的一半，所以三角形BOC的面积是36÷2-8=107．如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：链接BD ，可知三角形ABD 的面积和三角形BDC 都是96÷2=48（平方厘米），三角形ABE 的面积是48×32=32（平方厘米）。
第03讲 基本直线型面积公式(教师版)-三升四暑期数学奥数培优讲义
一、基本直线形面积计算公式（四上）第3讲 基本直线型面积公式 四年级 暑期知识点熟练掌握各种图形面积公式，梯形和三角形的面积公式最后一定要除以2.理解每个图形的高是什么，会做高.一、 长方形、正方形1、如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜．其中栽种茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种莴笋的面积是72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形．请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？【答案】116【解析】课堂例题方法精讲7222814428116×−=−=．2、（金帆四年级春季）如图有九个小长方形，其中编号为1，2，3，4，5的5个小长方形的面积分别为2，4，6，8，10平方米，求6号长方形的面积．【答案】15【解析】根据已知面积相互间的倍数关系可将各块面积求出，如图所示．二、三角形求面积3、如下图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：阴影三角形的面积是多少？【答案】42平方厘米【解析】×÷=．阴影三角形的底是6，高是14，所以阴影三角形的面积是6142424、如图，小正方形的边长为6厘米，大正方形的边长为11厘米，请问：图中阴影部分的面积？【答案】15平方厘米【解析】阴影三角形的第是6，高是5，所以面积是15．5、如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．请问：阴影部分的面积是多少？【答案】12平方厘米【解析】×÷+×÷=．将阴影部分分成左右两个三角形，根据三角形面积公式25227212三、平行四边形6、下图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出阴影平行四边形的面积．【答案】【解析】平行四边形的底是4高是11，所以面积是44．7、如下图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？【答案】91平方厘米【解析】×=．阴影部分是平行四边形，面积是137918、图中，平行四边形的面积是24，大正方形的边长是8，小正方形的面积是________．【答案】9【解析】平行四边形的面积等于底乘高，平行四边形的高就是大正方形的边长，底是小正方形的边长，所以小正方形的边长是2483×=．÷=，所以小正方形的面积是3399、如图，两个一样的长方形相互错开2厘米拼在一起，长方形的长是10厘米，宽是4厘米，请问：图中阴影平行四边形的面积是多少？【答案】64平方厘米【解析】阴影平行四边形的底是8高是8，所以面积是64．四、梯形10、一个正方形和一个长方形按下图的方式排放，已知正方形的面积是49平方厘米，长方形的长为11厘米，宽为8厘米，那么阴影部分的面积是多少？【答案】30平方厘米【解析】正方形的边长是7，阴影部分是一个梯形，说以阴影部分的面积是()() 87117230 +×−÷=．11、如图，两个正方形按如图方式放在一起，小正方形的边长为3厘米，大正方形的面积是49平方厘米．请问：阴影部分的面积是多少？【答案】50【解析】梯形的面积是()()3737250+×+÷=．12、如图，ABCD 是直角梯形，△AEC 和△EBD 都是等腰直角三角形，已知梯形高为20，那么梯形的面积是______（改自2010年4月18日考试真题）【答案】200 【解析】上下两个三角形均为等腰直角三角形，由此可知梯形上下底之和即为梯形的高，故梯形面积为20202200×÷=．13、如图所示，平行四边形的一边长为15厘米，这条边上的高为6厘米，一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差18平方厘米．请问：其中梯形的上底是多少厘米？【答案】3厘米【解析】如下图所示，从线段的顶点做边的平行线，把梯形又分成了一个三角形和一个小平行四边形，分割出的三角形显然和原来的三角形面积相等．那么最左边的小平行四边形的面积就是多出来的18平方厘米，又其高为6厘米，它的底边长又正好是所需求的梯形的上底长．所以，梯形的上底长为1863÷=厘米．1、如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形．请问：剩下的黄瓜地的面积是多少？【答案】12平方米【解析】24212÷=平方米．2、如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形．如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米．那么阴影平行四边形的面积是多少？【答案】144平方厘米【解析】第是12高是12，所以面积是144．3、右图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴影三角形的面积． 36 1824随堂练习【答案】30【解析】阴影三角形的第是6高是10，所以面积是30．4、如下图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？【答案】14平方厘米【解析】根据梯形面积公式()()6886214+×−÷=．1、在下面的三角形中，以AB 为底作高，正确的是__________．课后作业【答案】C【解析】C，从这条边的对应的顶点做高．2、如图，大正方形被分成三块区域．左上角的正方形面积为4，右上角的长方形面积为6，那么大正方形的面积是__________．【答案】25【解析】左上角正方形的边长是2，所以面积为6的长方形的长是3，所以大正方形的边长是5，大正方形的面积是25．3、下图中，大正方形的面积是64，小正方形的面积是36．那么平行四边形的面积是__________．【答案】48【解析】×=．小正方形的边长是6，大正方形的边长是8，阴影部分的面积四68484、下图是边长为8和6的两个正方形拼成的，根据图中所示的线段长度，阴影三角形的面积是_________.【答案】24【解析】阴影三角形的底是6，高是8，所以面积是24．5、如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的面积是81平方厘米，大正方形的面积是169平方厘米．那么阴影梯形的面积是___________平方厘米．【答案】242平方厘米【解析】小正方形的边长是9，大正方形的边长是13，所以图中梯形的上底是9，下底是13，高是22，说以面积是242．6、（金帆四年级春季）如图，平行四边形ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长．【答案】5cm【解析】同时加上BCFG可知，梯形ABCD面积比△BCE面积大10cm2．直角三角形BCE的面积为2×÷=，108240cm故()+÷．4010105CF cm。
(完整版)小学奥数五年级面积问题
第一讲 直线型面积的计算内容概述我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。
我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：对于不规则图形的面积及周长计算，我们大都是由规则图形转化而来的！在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：① 等底等高的两个三角形面积相等．②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。
例题精讲【例1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成（1）2个面积相等的三角形；C DB（2）3个面积相等的三角形；（3）4个面积相等的三角形。
【例2】在学习三角形时，很多同学都听说过中位线，所谓中位线就是三角形两边中点的连线。
如右图所示，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，根据定义可知DE、DF、EF就是三角形ABC的中线。
那么请你说明：（1）DE与BC平行（2）DE= 1/2 BC（3）S△ADE= 1/4 S△ABC【例3】如右图，D是BC上任意一点，请你说明S1：S4 =S2：S3 =BD：DC【例4】（06年三帆中学培训试题）将三角形ABC的BA边延长1倍到点D，CB边延长2倍到点E，AC边延长3倍到点F，问三角形DEF的面积是多少?( S△ABC =1)【例5】（06年三帆中学培训试题）把矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形的面积是矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21cm2求矩形面积.【例6】（小学数学报试题）如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．【例7】（小学数学夏令营五年级组试题）如图20-4，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积。
小学奥数-直线型面积讲义图文版
1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDA知识精讲教学目标第一讲 直线型面积（一）板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FE CBAFE C【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCB654321HBCG E【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QH G F EB A K O QH GF EBA【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GAB CDGAB CDF【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．BE FHBCEFH【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G HE CCEHG D【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P CAA CPCA【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PKK P【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN ∆和ALK ∆．而AMN ∆的面积为(125)4214-⨯÷=，ALK ∆的面积为(124)5220-⨯÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ∆∆+==⨯=同理可得：72PAD PBC S S ∆∆+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ∆∆===,即13PDM PDC S S ∆∆=；同理：13PBL PAB S S ∆∆=,512PND PDA S S ∆∆=,512PBK PBC S S ∆∆=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++阴影面积；145102DNM BLK S S ∆∆==⨯⨯=；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+++-+即为：15727210224302034312⨯+⨯-⨯=+-=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．DADA【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MNB A12cm 236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．D【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==，故222789(901)2019S =⨯=-⨯=-=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？POD C B【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFHPCEFH P【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB P【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB DP【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 12】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CB A F ED CB A【解析】 方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== 5BE DE DB -1CE FE CF -∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEFADB ACF CBE S SS S S ∆∆∆∆=---=． 方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？G FD C【解析】 如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE DCBA221BCD S x y =+=，BDE 111S =x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】 由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．OBD FN【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GFEDBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？3PD C B333D CB【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ∆、NAM ∆、PBN ∆、QCP ∆的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨-=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？课后练习练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CBA AB CD E练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF。
小学数学奥数测试题复杂直线型面积3_人教版
5．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
6．已知正方形 边长为10，正方形 边长为6，求阴影部分的面积．
7．图中， 和 是两个正方形， 和 相交于 ，已知 等于 的三分之一，三角形 的面积等于6平方厘米，求五边形 的面积．
32．如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？
33．已知正方形的边长为10， ， ，则 ？
34．如图，三角形 的面积是 ， 、 的长度分别为11、3．求长方形 的面积．
35．如图，长方形 中， ， ． 、 分别是 边上的两点， ．那么，三角形 面积的最小值是多少？
2019年小学奥数几何专题——复杂直线型面积-3
1．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．
2．如图，有三个正方形的顶点 、 、 恰好在同一条直线上，其中正方形 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．
3．图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 厘米，求三角形 的面积．
14．如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 ， ， ．那么图中阴影部分的面积是多少？
15．图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？
16．如图，长方形 的面积是2平方厘米， ， 是 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？
28．如图所示，矩形 的面积为36平方厘米，四边形 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
五年级奥数讲义必备专题第3讲.直线型面积.学生版
一、任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．1、 能够熟练运用任意四边型模型解题2、 熟练掌握梯形模型解决特殊的四边型第三讲直线型面积教学目标知识点拨板块一、任意四边形模型A二、梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDOba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所例题精讲例题11OGF EDCBA76例题44例题33例题22BDABCDEFGAB例题77例题66例题55N M OCBAB 4B A 6A 54A 3A A板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)例题99例题88A BCDO ba S 3S 2S 1S 4O A BCDABCDO例题12 12例题1111例题1010A BCDOHG FEDCB AD例题15 15例题1414例题1313DB【巩固】 右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．B【巩固】 (2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．B【巩固】 (98迎春杯初赛)如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB例题1717例题1716的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少？B?852O A BCD EF【巩固】 (98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．ABCDEOB例题1919例题18183525OAB CDB练习22例题2020练习11家庭作业A BCDEFABCDEF G64ABCDEF练习55练习44练习33ODCBA321备选33备选22备选11月测备选DFAB CDE105备选55备选44。
2013寒假 6年级 第06讲 直线型面积3
2.
如图， E 在 AC 上， D 在 BC 上，且 AE : EC 2 : 3 , BD : DC 等于 22 cm2 ，则三角形 ABC 的面积 ．
1: 2 ， AD 与 BE 交于点 F ．四边形 DFEC 的面积
第六讲 直线型面积三
知识点拨 燕尾定理
在三角形 ABC 中, AD , BE , CF 相交于同一点 G ,那么 S
A F G B E C S ABG :S AGC =S BGE :S CGE =BE:EC S AGB :S CGB =S AGF :S CGF =AF:FC S AGC :S BGC =S AGD :S BGD =AD:DB
D C
G
F
A
E
B
5.
如图，在△ABC 中，△AEO 的面积是 1，△ABO 的面积是 2，△BOD 的面积是 3，则四边形 DCEO 的面积是多少？
6.
如图，
ABC 中 BD
2DA ， CE
2EB ， AF
2FC ，那么
ABC 的面积是阴影三角形面积的
A
倍．
D G F H B E I C
3
课后练习
4
3
7 7
2
课堂练习
1. 如图所示，在 △ABC 中， BE : EC
3:1 ， D 是 AE 的中点，那么 AF : FC
．
A F
D
B
2. 如图所示，在 ABC 中， CP 于 ．
E
C
1 CB, CQ 2
1 CA, BQ 与 AP 相交于点 X ，若 ABC 的面积为 6 ，则 ABX 的面积等 3
五年级几何直线型面积(二)教师版
知识要点在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：②1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =；②221324::::::S S S S a b ab ab =；③ABCD S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．直线型面积（二）S 4S 3S 2S 1O D C B A _ A _ B_ C_ D_ O _b_a_S _3 _S _2 _S _1 _S _4蝴蝶定理求面积【例1】 （小学奥林匹克）如图，已知梯形ABCD 的面积是45平方米，高6米，底边BC 长10米，三角形AED 的面积是5平方米。
求阴影部分的面积。
B CDE【分析】 根据梯形的面积公式，4526105AD =⨯÷-=（米）。
根据梯形蝴蝶定理，:1:4AED BEC S S =V V ，所以5420S =⨯=阴影（平方米）。
【例2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）三角形BGC的面积；（2）:AG GC =？A BDG321【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例3】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。
五年级几何入门之简单直线型面积习题
一、知识站点：1．基本图形的面积公式回顾；2．三角形的等积变形；3．简单的一半模型。
二、知识讲解与相关例题：1．基本图形的面积公式回顾：【例题1】请求出下面图形的面积，尺寸如图所示（厘米）。
2．三角形的等积变形：等底等高，三角形面积相等；等底看高，等高看底。
【例题2】如图所示：三角形ABC的面积是6平方厘米，E是AB的中点，DC＝2BD，那么三角形ADE 的面积是多少平方厘米？第五讲几何入门之简单直线型面积【例题3】ABC ∆中，DC BD 21=，E 是AD 的中点，图中阴影部分的面积是35平方厘米，ABC ∆的面积是多少平方厘米？【例题4】如图所示：梯形ABCD 中上底AD 长为10厘米，高为10厘米，那么其中蓝色的三角形ABD 的面积是多少平方厘米？3．简单的一半模型：【例题5】如图所示：长方形ABCD 中，BC ＝10，AB ＝8。
E 和F 是AD 上的任意两点，则绿色部分的面积是多少？【例题6】如图所示：平行四边形ABCD 中，BC ＝18，高为10，E 是AD 上的任意点，F 和G 分别是BC 和EC 的中点，则三角形FGC 的面积是多少？课后练习题1.请求出下面图形的面积，尺寸如图所示（厘米）。
2. 如图，已知BD=2AD，AE=CE，那么三角形ABC的面积是三角形ADE面积的倍。
3.如图所示：三角形ABC的面积是12平方厘米，AD是BC边上的垂线，D和F是分别是BC和AD 的中点，AE＝2ED，求三角形BEC的面积是多少平方厘米？四边形BECF的面积是多少平方厘米？4.梯形ABCD中，已知上底AD长3厘米，下底BC长6厘米，三角形ABO的面积为12平方厘米，求三角形COD的面积是多少？5.如图ABCD是一个长方形，AB=10厘米，AD=4厘米，E、F分别是BC、AD的中点，G是长方形内任一点，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是边AD、CD的中点，若平行四边形ABCD 的面积为10，则三角形BEF的面积为多少？。
小学数学五大模型直线型面积
⼩学数学五⼤模型直线型⾯积五⼤模型：⼀：等积变换模型1、等底等⾼的两个三⾓形⾯积相等2、两个三⾓形⾼相等⾯积⽐等于他们的底的⽐3、两个三⾓形的底相等，⾯积⽐等于他们的⾼的⽐⼆：鸟头定理1、两个三⾓形中有⼀个⾓相等或者互补，这两个三⾓形叫做共⾓三⾓形，⾯积⽐等于对应⾓（相等或互补）两⾓夹边的乘积之⽐三、蝴蝶定理任意四边形与四边形、长⽅形、梯形、连接对⾓线所形成四部分⽐例关系是⼀样的四、相似三⾓形模型1、相似三⾓形是形状相同，但⼤⼩不⼀样的三⾓形叫相似三⾓形2、相似三⾓形⼀切对应线段成⽐例，并且这个⽐例等于相似⽐3、相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐的平⽅⼀：等积变换1、⽤四种不同的⽅法，把任意⼀个三⾓形分成四个⾯积相等的三⾓形．2、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的⾯积为1平⽅厘⽶．求三⾓形ABC的⾯积．3、如右图，在平⾏四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的三等分点，且SABCD=54平⽅厘⽶，求S △BEF ．4、如图，长⽅形ABCD 的⾯积是56平⽅厘⽶，点E 、F 、G 分别是长⽅形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意⼀点，求阴影部分的⾯积．E BAE BA5、如图，在三⾓形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的⼀点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的⾯积是35，求三⾓形ABC 的⾯积. （6、长⽅形ABCD 的⾯积为36平⽅厘⽶，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任⼀点。
求图中阴影部分的⾯积是多少？6、(2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分⾯积为5平⽅厘⽶，ABC ?的⾯积是平⽅厘⽶．A8、图30-10是⼀个正⽅形，其中所标数值的单位是厘⽶．问：阴影部分的⾯积是多少平⽅厘⽶?鸟头定理1、如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平⽅厘⽶，求ABC △的⾯积．EDCBA2、如图，三⾓形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三⾓形ADE 的⾯积等于1，那么三⾓形ABC 的⾯积是多少？EDCB A3、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平⽅厘⽶，求ABC △的⾯积．EDCBA4、如图所⽰，在平⾏四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三⾓形AFE (图中阴影部分)的⾯积为8平⽅厘⽶．平⾏四边形的⾯积是多少平⽅厘⽶？5、已知DEF △的⾯积为7平⽅厘⽶，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的⾯积．FED CBA6、如图，三⾓形ABC 的⾯积为3平⽅厘⽶，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三⾓形BDE 的⾯积是多少？AB ECDDC EB A7、(2007年”⾛美”五年级初赛试题)如图所⽰，正⽅形ABCD 边长为6厘⽶，13AE AC =，13CF BC =．三⾓形DEF 的⾯积为_______平⽅厘⽶．A8、如图，在ABC △中，延长AB ⾄D ，使B D A B =，延长BC ⾄E ，使12C E B C =，F 是AC的中点，若ABC △的⾯积是2，则DEF △的⾯积是多少？A BCDEF作业：1、如图，三⾓形ABC 被分成了甲(阴影部分)、⼄两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，⼄部分⾯积是甲部分⾯积的⼏倍？⼄甲E DCBA2、已知三⾓形ABC 的⾯积为1，BE=2AB ，BC=CD ，求三⾓形BDE的⾯积？3、如右图，在梯形ABCD 中，AC 与BD 是对⾓线，其交点O ，求证：△AOB与△COD ⾯积相等．4、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的⾯积为1平⽅厘⽶．求三⾓形ABC 的⾯积．三、蝴蝶定理 1、如图所⽰，已知 1.,2.ABCSAE ED BD DC ===求图中阴影部分的⾯积.2、下图中阴影部分甲的⾯积与阴影部分⼄的⾯积哪个⼤？3、右图是⼀块长⽅形耕地，它由四个⼩长⽅形拼合⽽成，其中三个⼩长⽅形的⾯积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的⾯积是多少？ 4、梯形ABCD 的上底长为3厘⽶，下底长为9厘⽶，⽽三⾓形ABO 的⾯积为12平⽅厘⽶。
五年级数学思维能力拓展专题突破系列(二)用比例解直线型面积问题讲义(含答案)
五年级数学思维能力拓展专题突破系列（二）用比例解直线型面积问题——简单直线型面积图形认识简单直线型图形并了解直线型图形面积的求法1、认识简单直线型图形2、了解直线型图形面积的求法1. 计算下图的面积：AB=12，BF=10，EF=8，DE=5。
（单位：厘米）2. 已知△ABC，ADEF是正方形，BE=10，CE=8，求△BDE和△EFC的面积之和是多少？3. 如图，ABCF是梯形，EFCD是正方形，AF=6，BC=8，求三角形AEF的面积是多少？（即是该课程的课后测试）1. 简答题：小学要学的五个常规直线型图形是哪些？2. 简答题：有哪些常用技巧？3. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？4. 在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
5. 如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
1. 答案：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形。
2. 答案：割补法，平移法，旋转法，差不变等。
3. 答案：1 3将两个这样的三角形拼成一个平行四边形。
显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13，根据商不变性质，将阴影面积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面积的13。
4. 答案：24题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法与矩形联系起来。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见图）。
因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
5. 答案：14平方厘米因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（如下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。
04直线型面积3
第四讲 直线型面积（三）一、知识精讲相似三角形性质(平行线分线段成比例)相交线段AD 和AE 被平行线段BC 和DE 所截，得到的三角形ABC 和ADE形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．这种关系称为“相似”，相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．（左边是金字塔模型，右边是沙漏模型）ADAB=AE AC=DE BCG FE D A相似三角形面积之比等于对应边长之比的平方：22ABC ADE S AB S AD ∆∆=. 在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化．二、典例精讲【典例1】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．A ED CB【变式】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【典例2】 已知正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且10cm AE =，15cm AF =，求正方形ABCD 的边长．FAEDCB【变式】 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边120BC =毫米，高80AD =毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？GNPAD CB【典例3】 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？ABCD E FG【变式】 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？【典例4】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【变式】 如右图，长方形ABCD 中，16EF =，9FG =，求AG 的长．DABC EFG【典例5】 (第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDCB【变式】 已知长方形ABCD 的面积为70平方厘米，E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，求阴影EHO △的面积是平方多少厘米？DC BA三、能力检测1.已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．A ED CB2.如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？FDB3.如图，三角形PDM 的面积是8平方厘米，长方形ABCD 的长是6厘米，宽是4厘米，M 是BC 的中点，则三角形APD 的面积是 平方厘米．ABCDP M4.如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====， 则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB5.如图，在ABC △中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是ABC △ 边BC 的高，交DE 于M ，:1:2DG DE =，12BC =厘米，8AH =厘米，求长方形的长和宽．E H GMFAD CB6.如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，交AF 于O ，已知5cm AH =，3cm HF =，求AG ．ABCDEF GHO7.(2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？C。
五年级下册数学能力提升之几何形的面积计算
五年级下册数学能力提升之几何形的面积计算几何形的面积计算是数学中的一个重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将讨论数学几何中的一些常见的图形，如矩形、三角形、圆形和梯形，并介绍它们的面积计算方法。
一、矩形的面积计算方法矩形是我们最常见的几何形之一，它的面积是通过矩形的长乘以宽来计算的。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的面积S可以表示为：S = L × W例如，一个长为5米，宽为3米的矩形的面积为：S = 5 × 3 = 15（平方米）二、三角形的面积计算方法三角形是几何形中的另一个常见图形，三角形的面积计算需要使用底边长度乘以高的一半。
设三角形的底边长为B，高为H，则三角形的面积S可以表示为：S = 1/2 × B × H例如，底边长为4米，高为6米的三角形的面积为：S = 1/2 × 4 × 6 = 12（平方米）三、圆形的面积计算方法圆形是几何形中的特殊图形，它的面积计算需要使用圆的半径和π（pi）来计算。
设圆的半径为R，则圆的面积S可以表示为：S = π × R^2其中π的近似值为3.14或22/7。
例如，半径为2米的圆的面积为：S = 3.14 × 2^2 = 12.56（平方米）四、梯形的面积计算方法梯形是几何形中的一种特殊图形，它的面积计算需要使用上底、下底和高来计算。
设梯形的上底长为A，下底长为B，高为H，则梯形的面积S可以表示为：S = 1/2 × (A + B) × H例如，上底长为3米，下底长为5米，高为4米的梯形的面积为：S = 1/2 × (3 + 5) × 4 = 16（平方米）五、其他几何形的面积计算方法除了上述的几何形，还有一些其他常见的几何形，如正方形、菱形等。
它们的面积计算方法与矩形、三角形或梯形类似，只需要根据具体的形状确定相应的计算公式即可。
雅江县某小学五年级数学上册二多边形的面积3梯形的面积教学课件苏教版1
公式列式。
40米
(36+54)×40÷2
54米
=90×40÷2
=1800(平方米)
答:这块麦田的面积是1800平方米。
典题精讲
2.算出下面每个梯形的面积。〔单位 : 厘米〕
5
10
8
10 (5＋10) ×8÷2 =60(平方厘米〕
8 12
(8＋12) ×10÷2 =100〔平方厘米〕
S=(a＋b) ×h÷2
易错提醒 求梯形的面积。
12 ㎝
12+26×25÷2 =12+650÷2
=12+325
25 ㎝
=337(平方厘米) (12+26)×25÷2
=38×25÷2
26 ㎝
=950÷2 =475(平方厘米)
学以致用
1.计算下面图形的面积 , 你发现了什么 ？
等底等高的梯形面积相等
分数的意义和性质
5. 通分 第2课时 最小公倍数的应用
只要找出2和3的公倍数和最小公倍 数，就知道所铺的正方形的……
（二）探索新知
2和3的公倍数：6，12，18，···
可以铺出边长是 6 dm , 12 dm , 18 dm , ···的正方形 , 最小的正方形边长是 6 dm。
（二）探索新知
03
回顾与反思
在边长是6dm的正方形上画 一画，看我找的对不对。
〕。
底×高
〔上底+下底〕×高÷2
易错提醒 求梯形的面积。
12 ㎝
12+26×25÷2 =12+650÷2
=12+325
25 ㎝
=337(平方厘米)
26 ㎝
易错提醒 错误分析 :
建始县三小五年级数学上册 第二单元 多边形的面积 3 三角形的面积学案 苏教版
第二单元多边形的面积3 三角形的面积内容1.填空。
(1)平行四边形的面积公式S=( )。
(2)直角三角形中两条直角边都可以做三角形的( )。
2.三角形面积公式的推导:用转化的方法推导三角形的面积。
用字母表示三角形的面积:用S、a、h分别表示三角形的面积、底、高,则三角形的面积公式是( )。
3.在用三角形面积解决问题时,要注意用三角形对应的底乘( )的高,再除以( )。
4.通过预习,我知道了三角形的面积公式( )。
5.三角形的面积等于和它等底等高的平行四边形面积的( )。
6.分别计算下面三角形的面积。
温馨提示学具准备:三角形纸片。
知识准备:平行四边形的面积公式,几何图形的剪拼。
1.(1)ah (2)高(或底)2.S=ah÷23.对应24.S=ah÷25.一半6.24平方厘米135平方厘米第4课时圆的周长计算的实际运用教材第93页例6及相关练习。
1．让学生经历已知一个圆的周长求这个圆的直径或半径的过程，体会解题策略的多样性。
2．进一步理解周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆的周长公式解决一些实际问题。
3．感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的信心。
重点：已知一个圆的周长求这个圆的直径或半径。
难点：理解周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆的周长公式解决一些实际问题。
圆形图片、课件。
1．师：什么是圆的周长？圆的周长计算公式是什么？2．师：把圆规两脚尖分开4厘米画一个圆，这个圆的半径是多少？直径呢？周长呢？指名回答，明确计算方法。
3．口答，求下列各圆的周长。
(1)r＝2cm r＝3cm r＝5cm(2)d＝2cm d＝3cm d＝5cm4．引入。
师：知道圆的直径和半径，我们能很快算出圆的周长。
如果只知道圆的周长，我们能算出它的直径和半径吗？今天这节课我们来继续研究圆的周长的知识。
(板书课题)1．教学例6。
(1)出示教材第93页例6的情境图。
师：如何准确地测算出这个花坛的直径？学生交流后，明确：先测量出这个花坛的周长，再利用圆的周长计算公式计算花坛的直径。
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知识要点两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A鸟头定理：在ABC ∆中，点E 是AB 上的n 等分点，AE AB n =÷；点F 是AC 上的m 等分点，AF AC m =÷，那么ABC AEF ABC SS S n m n m =÷÷=⨯V V V 。
AB CEF直线型面积（三）相等角的鸟头定理【例1】 如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且13BE AB =，已知三角形BDE的面积是15平方厘米，求三角形ABC 的面积。
E DCBA【分析】 根据鸟头定理，111236BDE ABC ABC S S S =⨯⨯=V V V ，所以115906ABC S =÷=V （平方厘米）。
【例2】 如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且13BE AB =，若已知四边形EDCA 的面积是35平方厘米，求三角形ABC 的面积。
E DCBA【分析】 根据鸟头定理，111236BDE ABC ABC S S S =⨯⨯=V V V ，所以535426ABC S =÷=V （平方厘米）。
【例3】 如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E CBA【分析】 ∵3,6BE AE ==,∴13BE AB =又∵4BD DC ==,12BD BC = ABC 111S 236S =⨯=V 甲乙的面积是甲的5倍。
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【分析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例5】 （2003年3月30日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第4题）如图，将一个三角形（有阴影的）的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的_______倍。
a bbaba【分析】如图所示大三角形的面积是原三角形面积的339⨯=倍。
【例6】 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCB A A BCDE【分析】连接BE .∵3EC AE = ∴3ABC ABES S ∆∆=又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S ∆∆∆=÷=÷，∴1515ABC ADE S S ∆∆==。
【例7】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【分析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【例8】 如下图，在ABC ∆中，2BD AD =,2AG CG =,13BE EF FC BC ===,求四边形DGFE 面积占ABC ∆面积的几分之几？GABCDEFFE DCBAG【分析】 连结BG ，在ABG ∆中，2BD AD =Q ，13ADG ABG S S ∴=V V ，在ABC ∆中，2AG CG =Q ，23ABG ABC S S ∴=V V ，122339ADG ABC ABC S S S ∴=⨯=V V V ，同理29BDE ABC S S =V V ；19CFG ABC S S =V V 。
ADG BDE CFG S S S ∴++=V V V 2215()9999ABC ABC S S ++=V V ，∴阴影部分面积54199ABC ABC S S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭V V ，即四边形DGFE 面积占ABC ∆面积的49。
【例9】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【分析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得， ():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例10】 （2008年“陈省身杯”五年级）如图，在三角形ABC 中，CD 的长是BD 长的2倍，E 是AC 的中点，则三角形ABC 的面积是三角形ADE 的_______倍。
AB CDE【分析】 根据鸟头定理，121233CDE ABC ABC S S S =⨯⨯=V V V ，13ABDABC S S =V V ，所以11133ADE ABC S S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭V V ，13ABC S =V ，三角形ABC 的面积是三角形ADE 的3倍。
【例11】 如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点。
已知三角形ABF 的面积是108平方厘米，求三角形CDE 的面积。
CABD【分析】 13ABF ABC S S =V V ，111236CDE ABC ABC S S S =⨯⨯=V V V ，所以11082542CDE ABF S S ==÷=V V （平方厘米）。
3f e a ==，()34g a b c d e f a =+++++÷=，4h a =，5i a =，可以发现一个递增的规律。
所以阴影部分与空白部分的面积比是(2345):(234)3:2a a a a a a a a a +++++++=方法二：若设整个三角形的面积为S ，那么1115525a S S =⨯⨯=，22225525c S S =⨯⨯÷=，33335525e S S =⨯⨯÷=，44445525g S S =⨯⨯÷=，5525i S S =÷=。
同理可求得结果。
老师可以帮同学们推广到n 等分的情况。
(123):(1231)(1):(1)n n n n ++++++++-=+-L L【例13】 如下图，在ABC ∆中，D 点为AB 的中点，F 点为BC 的中点，且E 点为BF 的中点，已知DCF∆的面积为63平方厘米，试求ABC ∆的面积。
F AB CDE【分析】 111248DBE ABC ABC S S S =⨯⨯=V V V ，18DEF DBE ABC S S S ==V V V ，1634BFD DFC ABC S S S ===V V V （平方厘米），所以1632524ABC S =÷=V （平方厘米）。
【例14】 如图，D 是AB 的中点，E 、F 是AC 的三等分点，那么阴影部分的面积是BCF ∆面积的几分之几？BC【分析】 根据鸟头定理，111236ADE ABC ABC S S S =⨯⨯=V V V （平方厘米），而AE EF =，所以16DEF ABC S S =V V （平方厘米）。
13BCF ABC S S =V V ，所以12DEF BCF S S =V V 。
【例15】 如图，2BD =厘米，4DE =厘米，2EC =厘米，F 是GE 的中点，G 是AB 的中点，三角形ABC的BC 边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米？BCDE【分析】 84216ABC S =⨯÷=V （平方厘米），11224BDG ABC S S =⨯⨯=V V （平方厘米）。
2DE BD =，GF FE =，所以122DEG BDG S S S ===V V 阴影（平方厘米）。
【例16】 如图，长方形的面积是96平方厘米，B 、C 分别是两边的中点，则ABC ∆的面积是 多少？ABC GEFCBA【分析】 19622242AEB AEF S S ==÷÷=V V （平方厘米），19622242AGC AGF S S ==÷÷=V V （平方厘米），119681222BFC EFG S S =⨯⨯=÷=V V （平方厘米），所以9624241236ABC S =---=V （平方厘米）。
【例17】 （2008年第九届“中环杯”决赛）长方形ABCD ，其中三角形ABE 的面积占长方形的16，三角形CEF 的面积占长方形的15，那么三角形AEF 的面积占长方形的几分之几？ABCD EF【分析】 1163ABE ABCD ABC S S S ==V V ，所以13BE BC =，23CE BC =，1255CEF ABCD BCD S S S ==V V ，根据鸟头定理23CEF BCD CF S S CD =⨯⨯V V ，所以223535CF CD =÷=，25DF DC =，211525ADF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V ，可以得到11113165530AEF ABCD ABCD S S S ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭V 。
【例18】 如图所示，在梯形ABCD 中，下底CD 的长是上底AB 长的2倍。