2016年陕西中考数学真题

2016年陕西省初中毕业学业考试数学试卷(考试时间：120分钟 满分：120分)第一部分(选择题 共30分)一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的)1. 计算：(－12)×2＝( ) A. －1 B. 1 C. 4 D. －42. 如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是( )3. 下列计算正确的是( )A. x 2＋3x 2＝4x 4B. x 2y ·2x 3＝2x 6yC. (6x 3y 2)÷(3x )＝2x 2D. (－3x )2＝9x 24. 如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E .若∠C ＝50°，则∠AED ＝( )A. 65°B. 115°C. 125°D. 130°5. 设点A (a ，b )是正比例函数y ＝－32x 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是( ) A. 2a ＋3b ＝0 B. 2a －3b ＝0 C. 3a －2b ＝0 D. 3a ＋2b ＝06. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为( )A. 7B. 8C. 9D. 107. 已知一次函数y ＝kx ＋5和y ＝k′x ＋7.假设k ＞0且k ′＜0，则这两个一次函数图象的交点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N ′，则图中．．的全等三角形共有( ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对9. 如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC .若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( ) A. 3 3 B. 4 3 C. 5 3 D. 6 310. 已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为( )A. 12B. 55C. 255D. 2 第二部分(非选择题 共90分)二、填空题(共4小题，每小题3分，计12分)11. 不等式－12x ＋3＜0的解集是________． 12. （节选）一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．13. 已知一次函数y ＝2x ＋4的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C ，且AB ＝2BC ，则这个反比例函数的表达式为________．14. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，点P 是这个菱形内部或边上的一点．若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D (P 、D 两点不重合)两点间的最短距离为________．三、解答题(共11小题，计78分．解答应写出过程)15. (本题满分5分)计算：12－|1－3|＋(7＋π)0.16. (本题满分5分)化简：(x －5＋91)3162--÷+x x x17. (本题满分5分)如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．(保留作图痕迹，不写作法)第17题图18. (本题满分5分)某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣．校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为：“A—非常喜欢”、“B—比较喜欢”、“C—不太喜欢”、“D—很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计．现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是________；(3)若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？19. (本题满分7分)如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE.求证：AF∥CE.20. (本题满分7分)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量．于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG ＝1.65米．如图，已知：AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．第20题图21. (本题满分7分)昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回．如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：(1)求线段AB所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？第21题图22. (本题满分7分)某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动．奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶(500 ml)、红茶(500 ml)和可乐(600 ml)．抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”)；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关)，便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．根据以上规则，回答下列问题：(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；(2)有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动．请你用列表或画树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．第22题图23. (本题满分8分)如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C 作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G.求证：(1)FC＝FG；(2)AB2＝BC·BG.第23题图24. (本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．第24题图25. (本题满分12分)问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．2016年陕西省初中毕业学业考试数学试卷答案1. A2. C 【解析】本题考查了小立方块组合体的三视图．该几何体从左边看到的视图有两层，其中第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，故选C.3. D 【解析】本题考查了整式的运算．根据运算法则逐项分析如下：4. B 【解析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义．∵AB ∥CD ，∴∠C ＋∠CAB ＝180°，∵∠C ＝50°，∴∠CAB ＝130°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAB ＝12∠CAB ＝65°.又∵AB ∥CD ，∴∠AED ＋∠EAB ＝180°，∴∠AED ＝180°－∠EAB ＝180°－65°＝115°.5. D 【解析】本题考查了正比例函数的图象与性质．把点A (a ，b )代入y ＝－32x 中，得b ＝－32a ，即2b ＝－3a ，∴3a ＋2b ＝0. 6. B 【解析】本题考查了三角形中位线的性质、平行线的性质以及勾股定理. ∵∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，∴AC ＝82＋62＝10，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝3，∵CF 平分∠ACM ，∴∠ACF ＝∠MCF ，又∵DE ∥BC ，∴∠EFC ＝∠MCF ，∴∠EFC ＝∠ACF , ∴EF ＝CE ＝12AC ＝5，∴DF ＝DE ＋EF ＝3＋5＝8. 7. A 【解析】由题意联立两个函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5y ＝k ′x ＋7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k －k ′y ＝7k －5k ′k －k ′，∵k ＞0，k ′＜0，∴k －k ′＞0，7k －5k ′＝2k ＋5(k －k ′)＞0，∴x ＞0，y ＞0，∴这两个一次函数图象的交点在第一象限．8. C 【解析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定．由题意可知：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠A ＝∠C ，DA ＝DC ，∴△ABD ≌△CBD (SAS)；(2)∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，∴∠NDO ＝∠N ′BO ，又∵点O 是BD 的中点，∴BO ＝DO ，∵∠BON ′＝∠DON ，∴△DON ≌△BON ′(ASA)；(3)由(2)得ON ＝ON ′，同理可得∠MNO ＝∠M ′N ′O 和∠M ′ON ′＝∠MON ，∴△MON ≌△M ′ON ′(ASA)；(4)由(3)可得OM ＝OM ′，∵∠DOM ＝∠BOM ′，OB ＝OD ，∴△DOM ≌△BOM ′(SAS)．故图中的全等三角形共有4对．9. B 【解析】本题考查了圆周角定理、垂径定理及勾股定理．设∠BAC ＝α，则∠BOC ＝2∠BAC ＝2α，∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∴α＋2α＝180°，α＝60°，∴∠BOC ＝120°，如解图所示，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠BOD ＝12∠BOC ＝60°，BD ＝CD ，∴∠OBD ＝90°－60°＝30°，∵OB ＝4，∴OD ＝12OB ＝2，由勾股定理得：BD ＝OB 2－OD 2＝23，∴BC ＝2BD ＝4 3.第9题解图10. D 【解析】本题考查了二次函数的图象与性质以及锐角三角函数的定义．如解图，令－x 2－2x ＋3＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，∴点A (－3，0)，B (1，0)，顶点C 的横坐标为x ＝－b 2a ＝－－22×（－1）＝－1，纵坐标为y ＝4ac －b 24a ＝4×（－1）×3－（－2）24×（－1）＝4，∴点C 的坐标为(－1，4)．过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则CD ＝4，OD ＝1, 又∵OA ＝3，∴AD＝2，∴tan ∠CAB ＝CD AD ＝42＝2.第10题解图11. x ＞6 【解析】本题考查了一元一次不等式的解法．将原不等式移项得－12x ＜－3，系数化为1得x ＞6.12. 8 【解析】本题考查了正多边形的外角和. 由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8. 13. y ＝6x【解析】本题考查了反比例函数表达式的确定、相似三角形的判定与性质以及待定系数法的运用．根据题意画出图象如解图所示，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，分别令y ＝0，x ＝0，得x ＝－2，y ＝4，由题意知点A (－2，0)，B (0，4)，则OB ＝4，OA ＝2，∵CD ∥OA ，∴△CDB ∽△AOB ，∴CD AO ＝BD BO ＝BC BA ，∵AB ＝2BC ，∴BC AB ＝12，∴CD AO ＝12，BD BO ＝12，解得CD ＝1，BD ＝2，∴OD ＝6，∴点C 的坐标为(1，6)，设反比例函数的表达式为y ＝k x，∴6＝k 1，解得k ＝6，∴反比例函数的表达式为y ＝6x.第13题解图 14. 23－2 【解析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、两点之间最短距离问题以及分类讨论思想．如解图，连接AC 、BD ，交点为O ，则AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，∵AB ＝2，∴BO ＝AB ·sin ∠BAO ＝3，∴BD ＝2 3.(1)如解图①，当BP ＝BC 时，点P 在以点B 为圆心，2为半径的圆弧上，其中当点P 在BD 与圆弧的交点上时，PD 最短，此时PD ＝BD －BP ＝23－2；(2)如解图②，当PB ＝PC 时，点P 在BC 的垂直平分线上，此时PD 的最短距离为DA ，即PD ＝2；(3)如解图③，当CB ＝CP 时，点P 在以点C 为圆心，2为半径的圆弧上，由于点P 是在菱形内部或边上的一点，且点P 、D 不重合，∴PD 的最短距离为DA ，即PD ＝2.综上所述，P 、D 两点间的最短距离为23－2.第14题解图15. 解：原式＝23－(3－1)＋1(3分)＝23－3＋1＋1(4分)＝3＋2.(5分)16. 【思维教练】要化简本题，有括号及加、减、除运算，首先想到将括号内的式子进行通分合并成一项，再将括号外的除法转化为乘法，并将分子分母能因式分解的进行因式分解，最后约去公因式得到最简结果即可．解：原式＝（x －5）（x ＋3）＋16x ＋3÷x －1x 2－9(1分) ＝x 2－2x ＋1x ＋3·x 2－9x －1(2分) ＝（x －1）2x ＋3·（x ＋3）（x －3）x －1(3分) ＝(x －1)(x －3)(4分)＝x 2－4x ＋3.(5分)17. 【思维教练】在直角三角形中，过直角顶点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形，直接想到在直角三角形内部作垂线，可将Rt △ABC 分成两个小的直角三角形，即过直线外一点作已知直线的垂线．所以只要过点A 作直线BC 的垂线即可． 解：如解图，直线AD 即为所求． (5分)第17题解图【作法提示】①以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，交BC 于点E ；②分别以点B 、E 为圆心，以大于12BE 长为半径在直线BC 下方作弧，两弧交于点F ；③作直线AF 交BC 于点D ，则直线AD 即为所求．18. (1)【题图分析】要求图中所缺量，则需先求出调查的总人数．结合统计图提供的“D”的人数和所占百分比，用前者除以后者求出总人数，用总人数减去“A”“B”“D”的人数可求出“C —不太喜欢”的人数，再分别用“A”“C”的人数除以总人数乘以100%可得到“A”“C”所占的百分比，即可补全统计图；解：补全的条形统计图和扇形统计图如解图； (3分)第18题解图(2)【题图分析】要求众数，则先要搞清楚众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据，则所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数为人数最多的喜欢程度，根据条形统计图可直接得出；解：比较喜欢(填“B”也正确)；(4分)(3)【题图分析】要估算整个年级“不太喜欢”数学学习的人数，则需要其百分比，用样本中“不太喜欢”数学学习所占的百分比，利用样本估计总体的思想求解即可． 解：960×25%＝240(人)，∴七年级学生中对数学学习“不太喜欢”的约有240人．(5分)19. 【思维教练】要证明两线段平行，可通过证明“内错角相等”或“同位角相等”或“同旁内角互补”来完成．结合图形可证∠AFD ＝∠CEB ，要证这两个角相等，可通过三角形全等来证明，该题利用平行四边形的性质和已知条件得出BC ＝AD ，∠1＝∠2，DF ＝BE ，然后利用“SAS ”得出△AFD ≌△CEB ，进而得出∠AFD ＝∠CEB ，即可证明结论． 证明：如解图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC . ∴∠1＝∠2.(2分) 又∵BF ＝DE ， ∴BF ＋BD ＝DE ＋BD . ∴DF ＝BE .(4分) ∴△ADF ≌△CBE .(5分) ∴∠AFD ＝∠CEB . ∴AF ∥CE .(7分)第19题解图20. 【思维教练】要求AB 的长，可将其放在△ABF 和△ABC 中，而在单独的一个三角形中不能直接求得AB 的长，结合已知条件中，DE 和CD 的长已知，证明△ABC 和△EDC 相似，通过线段比，可得到AB 和BC 的关系式，再结合条件易知△ABF 和△G F H 相似，再根据已知条件，得到另一个比例式，得到AB 和BC 的关系，结合两个关系式即可求得AB 的高度． 解：如解图，第20题解图由题意得∠ABC ＝∠EDC ＝∠GFH ＝90°，∠ACB ＝∠ECD ，∠AFB ＝∠GHF . ∴△ABC ∽△E DC ，△ABF ∽△GFH .(3分) ∴AB ED ＝BC DC ，AB GF ＝BFFH. 即AB 1.5＝BC 2，AB 1.65＝BC ＋16＋22.5.(5分) 解得AB ＝99(米)．(7分)21. 解：(1)设线段AB 所表示的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1922k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－96b ＝192，(2分)∴线段AB 所表示的函数关系式为y ＝－96x ＋192(0≤x ≤2)；(3分) (2)由题意可知，下午3点时，x ＝8，y ＝112. 设线段CD 所表示的函数关系式为 y ＝k′x ＋b ′(k ′≠0)，则 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6.6k′＋b′＝08k′＋b′＝112， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝80b′＝－528，∴线段CD 的函数关系式为y ＝80x －528.(5分) ∴当y ＝192时，80x －528＝192，解得x ＝9.(6分) ∴他当天下午4点到家．(7分)22. 解：(1)P(一次“随机有效转动”可获得“乐”字)＝15.(2分)(2)由题意，列表如下： 第二次 第一次 可 绿 乐 茶 红 可 (可，可) (可，绿) (可，乐) (可，茶) (可，红) 绿 (绿，可) (绿，绿) (绿，乐) (绿，茶) (绿，红) 乐 (乐，可) (乐，绿) (乐，乐) (乐，茶) (乐，红) 茶 (茶，可) (茶，绿) (茶，乐) (茶，茶) (茶，红) 红 (红，可)(红，绿)(红，乐)(红，茶)(红，红)(5分)由表格可知，共有25种等可能的结果，获得一瓶可乐的结果共有两种：(可，乐)，(乐，可)． ∴P(该顾客获得一瓶可乐)＝225.(7分) 23. (1)【思维教练】要证明两条线段相等，可考虑证明它们所在三角形中所对的角相等，即证明∠2＝∠G ，也就是证明∠1＝∠G ，由已知可得∠1＋∠D ＝∠G ＋∠F AD ＝90°，利用中垂线的性质可得∠D ＝∠F AD ，于是结论可证． 证明：如解图，第23题解图∵EF ∥BC ，AB ⊥BG ， ∴EF ⊥AD .又∵E 是AD 的中点， ∴F A ＝FD ， ∴∠F AD ＝∠D .(2分) 又∵GB ⊥AB ，∴∠GAB ＋∠G ＝∠D ＋∠1＝90°. ∴∠1＝∠G . 而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠G. ∴FC ＝FG .(4分)(2) 【思维教练】要证AB 2＝BC ·BG ，可转化为证明AB BG ＝BC AB ，即证明含该四条线段的△ABC和△GBA 相似．连接AC ，根据直角三角形的性质和(1)中的结论易得∠3＝∠G ，于是根据相似三角形的判定方法可证△ABC ∽△GBA ，即可得出结论． 证明：如解图①，连接AC . ∵AB ⊥BG ，∴AC 是⊙O 的直径．(5分) 又∵FD 是⊙O 的切线，切点为C ， ∴AC ⊥DF .∴∠1＋∠4＝90°.(6分) 又∵∠3＋∠4＝90°， ∴∠1＝∠3.而由(1)可知∠1＝∠G. ∴∠3＝∠G.∴△ABC ∽△GBA .(7分) ∴AB GB ＝BCAB. 故AB 2＝BC ·BG .(8分)24. (1)【思维教练】要求抛物线与x 轴交点个数，可以联系到一元二次方程根的情况数，确定出函数解析式，令y ＝0，根据一元二次方程根的判别式，即可得出抛物线与x 轴的交点情况．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋5＝3，9a ＋3b ＋5＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋5.(2分) 对于方程x 2－3x ＋5＝0，∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0， ∴抛物线与x 轴无交点．(3分)(2)【思维教练】要求平移过程，则先需要求得平移后的解析式．根据△AOB 是等腰直角三角形可得点B 的坐标为B 1(0，2)或B 2(0，－2)，然后分两种情况：①平移后的抛物线经过点A 和点B 1；②平移后的抛物线经过点A 和点B 2；分别利用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式，通过对比平移前后抛物线的顶点坐标，即可得到平移过程． 解：如解图，∵△AOB 是等腰直角三角形，点A 坐标为(－2，0)，点B 在y 轴上， ∴点B 的坐标为B 1(0，2)或B 2(0，－2)．(5分) 设平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2＋mx ＋n . ①当抛物线经过点A(－2，0)，B 1(0，2)时，⎩⎪⎨⎪⎧n ＝24－2m ＋n ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝2，∴平移后的抛物线y ＝x 2＋3x ＋2.(7分) ∴该抛物线顶点坐标为(－32，－14)．而原抛物线顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线．(8分)②当抛物线过点A (－2，0)，B 2(0，－2)时，⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－24－2m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝－2，∴平移后的抛物线为y ＝x 2＋x －2.(9分) ∴该抛物线顶点坐标为(－12，－94)．而原抛物线顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．(10分)第24题解图25. (1)【思维教练】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B关于直线AC的对称点D，连接AD，CD即可．解：如解图①，△ADC即为所求作三角形；(2分)第25题解图①(2)【思维教练】四边形EFGH的周长为EF＋FG＋GH＋HE，由题意可知AF和AE的长均为定值，利用勾股定理可求得EF的长也为定值，∴要求四边形周长的最小值，只需求FG ＋GH＋HE最小即可，作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用三角形三边关系求出线段和最小值时各顶点的位置，再由勾股定理及对称的性质即可求解．解：存在．理由如下：如解图②，作点E关于CD的对称点E′，作点F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于点G，交CD于点H，连接FG、EH，则F′G＝FG，E′H＝EH，∴此时四边形EFGH的周长最小．∵在BC上任取一点G′，在CD上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E＝F′G′＋G′H′＋H′E′≥E′F′.(4分)第25题解图②由题意得：BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，∴AF′＝6，AE′＝8.∴E′F′＝10，EF＝2 5.(6分)∴四边形EFGH周长的最小值为EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋E′F′＝25＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10.(7分)(3)【思维教练】要求四边形EFGH面积最大，∵E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，即求以EG为底边的△EGH最大面积，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F的对称点为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．(8分)理由如下：∵EF＝FG＝5，∠EFG＝90°，∠A＝∠B＝90°，∠1＝∠2，∴△AEF≌△BFG.∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x.∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x＝1或x＝2(舍去)．∴AF＝BG＝1，BF＝AE＝2.(9分)∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG ＝90°.第25题解图③以点O为圆心，以OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在矩形ABCD内⊙O的圆弧上．连接FO，并延长交⊙O于点H′，则点H′在EG中垂线上．连接EH′、GH′，则∠EH′G＝45°.此时，四边形EFGH′是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，∵CG＝DE2＋CD2＝5，CE＝5，∴CE＝CG＝5.∴点C在线段EG的中垂线上．∴点F、O、H′、C在一条直线上．又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210.∴OC＝10.又∵OH′＝OE ＝FG ＝5， ∴OH ′＜OC .∴点H ′在矩形ABCD 的内部．(11分)∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH ′部件，这个部件的面积＝12EG·FH′＝12×10×(10＋5)＝5＋522(m 2)．∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH ′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为5＋522 m 2.(12分)。