直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题
直线或曲线恒过定点问题
直线或曲线恒过定点问题凰在人生的道路上灵活多变,另辟蹊径,岂不快哉!尾声:人们追求理想的道路就如同这三只蚂蚁,既要勇往直前,矢志不移;又要独辟蹊径,灵活变通.不管怎样,奋斗的人生总是美好的.请记住高尔基的名言吧:在停止努力之前,你永远不会是个失败者!简评这篇习作由材料整体人手,从三个不同的角度,生动地阐释了生活哲理.作者采用三幕剧的形式,新颖别致,条理清晰,令人耳目一年糠j新.每一幕(一个画面)之后再配以"画外音",简短的议论起到了画龙点睛的作用.文末以"尾声"作结,总述全文,高度概括,文章主旨显得更加深刻,集中.作者简介韩延明,高级教师,执教于陕西省商南高级中学,陕西省学科带头人,陕西省商洛市骨干教师,发表论文多篇.责任编辑刘静直线或曲线僵过定点问题口童其林例已知函数—log(一2)+1(a>0,a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx4- 1"+l一0上,其中>0,则旦+的最大IfL}L值为——.分析我们知道对数函数===log图像恒过点(1,O),由此可知—log(z一2)+1(以>0,.≠1)恒过定点(3,1),到此问题便不难求解.解析容易求得定点A的坐标是(3,1),代入直线方程得3+"+1—0,所以3.1—3(--3m—--n)——J—一一10—3(n+)≤一lO一6√旦一mmm7"/一\/,/ 一16,当且仅当m一.时等号成立.故+的最大值为一16.定点问题近年来频频出现在各地的高考试题中,定点问题理论依据是什么?究竞有哪些类型呢?举例说明如下.～,直线或曲线恒过定点的证明或应用例1求证:直线(2m4-1)z+(+1)一7m+4(m∈R)恒过某一定点P,并求该定点的坐标.解法一特殊引路法分析因直线(2+1)+(Ⅲ+1)一7m+4随取不同的值而变化,但是由题意分析可知应该是嗣绕某一定点在旋转,而这一定点l....高考_ll斌～题设…计版0凰我们只需两条相交直线即可求得,但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上,这样就使得解法更为完备.证明直线(2m+1)x+(+1)一7m+4,取2+1一O===一÷.此时直线方程为=7X(一丢)+4一1①取m+1—0一一1,此时z一3②由①②得点P(3,1).将点P(3,1)代入直线方程得(2m+1)-z+(+1)y===(2m+1)×3+(+1)一7优+4,即方程对任意TnER恒成立.故直线(2m+1)x+(m+1)一7+4恒过定点P(3,1).解法二换元法分析众所周知,直线方程中的点斜式—k(x--xo)可以表明直线过点P(xo,yo),因此我们可以将直线(2m-~1)x+(+1)一7m+4的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式,从而证明该直线恒过定点,并且可直接求得该定点. 证明m--F-1=/=0~",===～2m+1z+.令一一km一高垒.由此可得—7m+T4一一3k~1.即原直线方程可化为—kx一3k+1一1一是(一3).由直线的点斜式方程可知该直线过点P(3,1).当m+1—0即m一一1时,原直线可化为一一7×(一1)+4一3,此时点P(3,1)仍然在直线上.综上,直线(2m+1)x+(仇+1)一7m4-4恒过定点P(3,1).解法三参数分离法分析对于直线方程(2m+1)z+(m+1)一7m+4来说,如果我们将其中的m看作参数,并将其分离得(2z+一7)+z+一4一O,此时我们令2z+一7===0,z+一4=0,则这两条直线的交点P(x.,Y.)一定满足直线方程(2+一7)+'z+一4—0,即P(0,y.)在直线(2+1)lz+(+1)一7m+4上,这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了.证明(2m+1)z+(+1)一7m+4(2x+～7)+z+一4一O.令2z+一7—0,z+一4一O,解方程组f2+一7=0,lz+一4一o,得x=3,一1,因点P(3,1)满足2z+一7一O,z+一4一o.所以也满足(2z+一7)十Lz+一4—0.进一步得点P(3,1)满足(2m+1)z+(m+1)一7m4-4.故直线(2m+1)z+(m+1)一7m+4恒过定点P(3,1).解法四利用方程船一b有无穷多解的充要条件"关于z的方程ax—b有无穷多解的充要条件是:a—b:0".其实我们高中所学的含参数的多项式函数,含参数的分式函数,以及含参数的二次曲线图像过定点问题均可仿照该种方法求定点坐标.把方程化为(2x+一7)一一—+4.令2z+一7一O且一—+4—0,得x=3,Y一1,因此定点坐标为(3,1).例2函数Y一+2kx一3k+1图像过定点,则定点坐标为——.厨锻分析可将二次函数变形为以k为未知数的一次函数ak—b的形式,或利用方程理论求解.解将函数Y—kx.+2kx一3k+1化为fr+2z3—0(+2z3一Y一,令{v一.1一ofx一]fz一一3解此方程组得或,所以函数lVl【V=lY—+2kx一3k+1图像过定点(1,1)和(一3,1).例3函数Y—ax~2ax+2图像过定点,则定点坐标为——.分析这是含参数的指数函数图像过定点的问题,可利用指数函数Y一图像恒过点(0,1)这一性质来解决.解设函数Y—aXz-2图像过定点(1z.,Y.),则Y.~--axO一"o一,利用指数函数Y一图像恒过点(0,1)这一性质知:方程组z.一2axoq-2a--1=0(1)关于口恒成立,将<lll十r日h,,,(Y o—l(1)化为2z.口一【Y.一1f2z.一2一O再令z..一1=0(2),l一1llzn===l解(2)得.,所以函数—axZ2ax+2(yo—l图像过定点(1,1)如有含参数的对数函数图像过定点的问题,可利用对数函数Y—log.z图像恒过点(1, O)这一性质来解决.例4已知抛物线C:Y一去z与直线z:一走z一1没有公共点,设点P为直线上的案期动点,过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点.(1)证明:直线AB恒过定点Q;(2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线c于M,N两点,证明:一.证明(1)设A(x1,Y1),则Y一去z.由一1z.得Y一z,所以Y『===z1.于是抛物线C在A点处的切线方程为—l—z1(z—z1),即—z1z—1.设P(z0,尼z0—1),贝Ⅱ有忌o～1一z.z ——Yl?设B(x2,2),同理有kxo一1一-z0Iz2--y2.所以AB的方程为kx.1一.z—Y,即lzo(z一是)(一1)一O,所以直线AB恒过定点Q(尼,1).(2)略.二,利用直线或曲线恒过定点解题有些问题并没有明确告诉你要求定点,但问题本身隐含着直线或曲线过定点,如果能够挖掘出这个隐蔽因素,问题便可迎刃而解或能够开辟解题的新天地.例5设点A和B为抛物线一4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA_LOB, (=lM上AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.t).一?._⑧_高～"试黟设许凰锻分析本题有很多解法,其中利用直线恒过定点求解是最快的一种.设OA的方程为一z,代入Y=4px得A(,),则oB的方程为一一1z,代入Y.=4px得B(4pk.,--4pk).'AB的方程为y—(一4户),过定点N(4P,0).由0M上AB,得M在以ON为直径的圆上(0点除外)故动点M的轨迹方程为.27.+一4z—O(1z≠O),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.例6对任意实数志,直线—b.x+3k一2(k∈R)与椭圆+一1(以>oKn≠4)恒有公共点,则倪的取值范围是分析直线方程中含参数k,则该直线过定点,求出定点以后,再利用定点在椭圆内或在椭圆上即可解决.解将直线Y一/ca:q-3k一2(k∈R)整理得(z+3)k=Y+2,f+3—0令2—0f.z一一3解之得IY一一2故一如+3k一2(k∈R)过定点(--3,一2),欲使对任意实数k,直线Y—+3志一2(k∈R)与椭圆+一l(a>oft口≠4).专避媾Il_恒有公共点,必须定点在椭圆内或在椭圆上, 所以有+≤1(n>o且n≠4)解之得a≥2且口≠4.作者简介童其林,高级教师,福建省永定县城关中学教务处主任,发表文章多篇,主要从事教学管理研究与教育教学研究.责任编辑李婷婷上海世博会之吉祥物。
直线与圆经典题型
直线与圆经典题型题型一：对称性求最值例题：已知点M （3，5），在直线l ：x ﹣2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（﹣3，5）．据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y ﹣7=0．得交点P （，）．令x=0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，）．解方程组x +2y ﹣7=0，x ﹣2y +2=0，故点P （，）、Q （0，）即为所求．1221M M PQ Q M P M PQ MQ MP C MPQ ≥++=++=∆题型二：反射光线问题已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程．（3）求与l3距离为的直线方程．【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）解法二：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．直线PN的方程为：，整理得：．故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）（3）设与l3平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，所以与l3为：，或．…（13分）题型三：直线恒过点问题已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）∵k＜0，∴﹣k＞0，∴S=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．△AOB当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）2.已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2．题型四：动直线问题已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：k AB=，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k （x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0；（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；若2m=|AB|，则有1条；若2m＞|AB|，则有0条，题型五：斜率取值范围已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1），又，∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．题型六：对称问题已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），则由，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．（2）由，解得：交点为，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0题型七：截线段长问题已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l 与l1夹角的关系求解．法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．解方程组得A（，﹣）．解方程组得B（，﹣）．由|AB|=5．得（﹣）2+（﹣+）2=52．解之，得k=0，直线方程为y=1．综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．题型八：直线夹角问题已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．【解答】解：设直线l′的斜率为k′，则，…（7分），…（10分）直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．。
第06讲 定点问题(解析几何)(原卷版)
第06讲 定点问题知识与方法定点与定值是高考解析几何考查的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定．直线过定点问题，通法是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解．即可得到定点．求解定值问题的关键是引进参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量，就是定值．1．对直线过定点的理解如：①直线2(1)y k x -=-恒过定点(1,2)；②对于直线:l y kx m =+，若2m k =-，则直线方程为(2)y k x =-，显然l 过定点(2,0)； ③无论k 取任何实数，直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____．【解析】直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=可化为(24)(31)0k x y x y +-+--=，令24013102x y x x y y ⎧+-==⎧⎪⇒⎨⎨--==⎪⎩⎩，故定点坐标为(1,2)． 2．直线过定点问题的基本解法方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为：①设直线方程为y kx m =+(或x ny t =+)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到k b 、或m t 、的关系，或者解出b t 、的值；③将②的结果代入y kx m =+(或x ny t =+)，得到定点坐标．方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为：①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点,A B 的坐标(含参)；②特殊位置入手，找到定点P (有时可考虑对称性)；③证明,,A B P 三点共线，从而直线AB 过定点P ．(其中一个方法是证明PA PB )3．定点问题的常见类型①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点．典型例题类型1：由斜率关系求定点相关结论如下：定理1：()00,P x y 为椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>上一定点，过点P 作斜率为12,k k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．(1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20000222,y b x x y a λλ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点2222002222,a b a b x y a b a b λλλλ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭． 定理2：设()00,P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线,AB CD 交椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>于A B C D 、、、，直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ，弦,AB CD 的中点记为,M N ． (1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20002,y b x x a λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点220002222,a x b y x a b a b λλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭． 定理3：过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,P x y 引两条弦,PA PB ，直线,PA PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022,y p x y λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【注】以上结论都可以利用坐标平移齐次化的方法进行证明，齐次化方法请参考《2.4齐次化巧解双斜率问题》一章，证明过程此处略过．上面的结论不提倡记忆，重要的是掌握其证明方法，熟识这些模型，在解题中会事半功倍．斜率之和为定值，第三边过定点【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点123(1,1),(0,1),P P P ⎛- ⎝⎭， 4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于,A B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明： l 过定点．斜率之积为定值，第三边过定点【例2】已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为(0,2)P -，离心率为e =，过点P 作斜率为1k ， 2k 的直线,PA PB ，分别交椭圆于点,A B ．(1)求椭圆的方程；(2)若122k k ⋅=，证明直线AB 过定点，并求出该定点．【例3】过椭圆22:143x y C +=上一定点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线,PA PB 与C 分别交于点,A B ，求证：直线AB 过定点．【例4】已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆22143x y +=的左右焦点．过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l (均不与x 轴重合)分别与椭圆交于A B C D 、、、四点．线段,AB CD 的中点分别是,M N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．斜率之比为定值，第三边过定点【例5】如图所示，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过F 的两条直线分别与抛物线C 交于点1,A A 与1,B B (点1,B A 在x 轴的上方)．①若2AF FA =，求直线1AA 的斜率；②设直线11A B 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，若122k k =，求证：直线AB 过定点．类型2：由倾斜角关系求定点【例6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12,F F ，点P 为坐标平面内的一点，且1233||,,24OF PF PF O =⋅=-为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，,A B 是椭圆C 上两个不同的点，直线,MA MB 的倾斜角分别为,αβ， 且2παβ+=，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．类型3：切点弦过定点【例7】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆引两条切线,,,PA PB A B 为切点，求证：直线AB 经过定点．【例8】已知抛物线2:2C x py =的焦点与椭圆22143y x +=的上焦点重合，点A 是直线280x y --=上任意一点，过A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,M N ．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明直线MN 过定点，并求出定点坐标．类型4：相交弦过定点【例9】已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8,AG GB P ⋅=为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．类型 5：圆过定点【10】 设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2()2()f x x x b x R =++∈ 的图象与两坐标轴有三个交点, 经过这三个交点的圆记为 C .(1) 求实数 b 的取值范围;(2) 求圆 C 的方程;(3) 问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）? 请证明你的结论.。
直线恒过定点问题解题原理是什么
直线恒过定点问题解题原理是什么直线恒过定点问题是一类在几何学中常见的问题，该问题要求找出一个直线，使得这条直线上的任意一点都满足某种特定的条件。
解决该问题的原理通常基于数学推理和几何性质的分析，下面将介绍解决直线恒过定点问题的一般原理。
1. 确定直线方程首先，我们需要确定直线的方程。
在直线方程的求解中，我们可以利用直线的特征点来进行求解。
假设已知直线过一点A(x₁, y₁)，并且直线的斜率为k，则直线方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)。
我们可以根据特定的条件来求解直线方程中的未知参数。
2. 确定条件接下来，我们需要确定直线上的条件。
直线恒过定点问题通常给定了特定点的坐标或者特定点与直线之间的关系，我们需要利用这些条件来求解出直线方程中的参数。
例如，如果问题给定了直线上的某个点B(x₂, y₂)，我们可以将点B代入直线方程，然后解方程组来求解直线方程中的参数。
3. 解方程组通过将给定的点代入直线方程，可以得到一个方程组。
例如，假设我们已知点A(1, 2)和点B(3, 4)，并且需要找到一条过点A和点B的直线。
将点A代入直线方程得到：y - 2 = k(x - 1) —— (1) 将点B代入直线方程得到：y - 4 = k(x - 3) —— (2)解方程组(1)和(2)，可以得到直线方程中的参数k。
因此，直线恒过点A和点B的方程为：y - 2 = 1/2(x - 1)。
4. 求解定点问题一旦我们得到了直线方程，我们就可以使用这个方程来判断任意一点是否在直线上。
对于直线恒过定点问题，我们可以通过判断给定的点是否满足直线方程，来确定该点是否在直线上。
在上述的例子中，我们可以将给定的点代入直线方程进行验证。
例如，假设我们需要验证点C(2, 3)是否在直线上。
将点C代入直线方程得到：3 - 2 = 1/2(2 - 1)，等式成立，说明点C在直线上。
5. 解题总结综上所述，解决直线恒过定点问题的原理可以总结为以下几个步骤：•确定直线方程，利用直线的特征点求解未知参数；•根据题目给定的条件确定直线上的条件；•将给定的点代入直线方程并解方程组，求解出直线方程中的参数；•利用得到的直线方程判断任意一点是否在直线上。
一道求直线过定点问题的四种解决策略
一道求直线过定点问题的四种解决策略王弟成(江苏省苏州实验中学ꎬ江苏苏州２２２００６)摘㊀要:解决直线过定点问题的策略１是用参数ｋ先求出对应的直线方程ꎬ再从直线方程中挖出定点ꎻ策略２先利用特殊情况ꎬ猜想出直线所过的定点ꎬ再证明三点共线ꎻ策略３是先设出对应直线的方程ꎬ再寻求方程中参数之间的关系ꎻ对于特殊题还有策略４ꎬ先利用椭圆性质ꎬ换点表示斜率ꎬ寻求韦达定理的对称性.关键词:定点ꎻ设且求ꎻ设而不求ꎻ对称点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－００３４－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:王弟成(１９７２.８－)ꎬ江苏省新沂人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀求直线过定点问题是解析几何中的常见题型之一ꎬ也是高考重点考查的内容ꎬ因此解决它需要综合运用解析几何知识ꎬ同时还要注意解题策略的运用.题目㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右顶点分别为ＡꎬＢꎬ且｜ＡＢ｜＝４ꎬ椭圆Ｃ过点(１ꎬ３２).(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ(２)斜率不为０的直线ｌ与Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬ若直线ＢＭ的斜率是直线ＡＮ斜率的两倍ꎬ证明:直线ｌ经过定点ꎬ并求出其定点坐标.分析㊀(１)易求椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.对于(２)证明直线经过定点ꎬ一般方法是求出相应直线方程ꎬ再从直线方程中挖出定点.１设且求ꎬ选择斜率ｋ表示出相应直线方程策略１㊀从已知条件出发ꎬ选择直线ＡＮ的斜率ｋ表示点ＭꎬＮ的坐标ꎬ进而表示出直线ｌ的方程ꎬ从直线方程中挖掘出定点.解法１㊀设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＡＮ的斜率为ｋꎬ由题意ＢＭ的斜率为２ｋ.因为Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬ所以直线ＡＮ的方程为ｙ＝ｋ(ｘ＋２)ꎬ直线ＢＭ的方程为ｙ＝２ｋ(ｘ－２).联立ｙ＝ｋ(ｘ＋２)ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬìîíïïï得(３＋４ｋ２)ｘ２＋１６ｋ２ｘ＋１６ｋ２－１２＝０.由于方程有一根是－２ꎬ故由根与系数关系ꎬ得ｘ２＝６－８ｋ２３＋４ｋ２.所以ｙ２＝ｋ(ｘ２＋２)＝１２ｋ３＋４ｋ２.所以点Ｎ(６－８ｋ２３＋４ｋ２ꎬ１２ｋ３＋４ｋ２).联立ｙ＝２ｋ(ｘ－２)ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬìîíïïï得(３＋１６ｋ２)ｘ２－６４ｋ２ｘ＋６４ｋ２－１２＝０.由根与系数关系得２ｘ１＝６４ｋ２－１２３＋１６ｋ２ꎬ即ｘ１＝４３３２ｋ２－６３＋１６ｋ２ꎬ所以ｙ１＝２ｋ(ｘ１－２)＝－２４ｋ３＋１６ｋ２.所以Ｍ(３２ｋ２－６３＋１６ｋ２ꎬ－２４ｋ３＋１６ｋ２).所以直线ｌ的方程为ｙ－１２ｋ３＋４ｋ２＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２).把方程看成关于斜率ｋ恒成立的式子ꎬ即ｙ(３＋４ｋ２)(８ｋ２－３)－１２ｋ(８ｋ２－３)＝－９ｋ(３＋４ｋ２)ｘ＋９ｋ(６－８ｋ２)ꎬ再通过方程两边常数项与ｋ３项系数相等ꎬ得－９ｙ＝０ꎬ－９６ｋ３＝－３６ｋ３ｘ－７２ｋ３ꎬ所以ｙ＝０ꎬｘ＝２３ꎬ所以直线过定点(２３ꎬ０).解法１中有处运算较难ꎬ一是对直线ＭＮ斜率的化简ꎬ化简时要注意分子分母约分ꎻ另一个是由方程ｙ－１２ｋ３＋４ｋ２＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２)寻求定点ꎬ由于结构复杂观察不到定点ꎬ所以采取转化为等式恒成立求解.当然也可以对ｋ特殊化ꎬ先找到定点ꎬ再证明[１].２先猜后证ꎬ减少运算策略２㊀先利用特殊情况猜想出直线所过的定点ꎬ再利用斜率或向量证明三点共线ꎬ从而得到直线恒过定点.解法２㊀先考虑特殊情况ꎬ当直线ｌ与ｘ轴垂直时ꎬ设Ｎ(ｔꎬｙ１)ꎬ则Ｍ(ｔꎬ－ｙ１).又由２ｙ１ｔ＋２＝－ｙ１ｔ－２ꎬ解得ｔ＝２３ꎬ再考虑直线ｌ与ｘ轴重合时也满足ꎬ所以猜想直线过定点(２３ꎬ０).要证明直线ｌ恒过定点(２３ꎬ０)ꎬ只需证点(２３ꎬ０)与ＭꎬＮ两点共线即可.即证明１２ｋ/(３＋４ｋ２)(６－８ｋ２)/(３＋４ｋ２)－２/３＝－２４ｋ/(３＋１６ｋ２)(３２ｋ２－６)/(３＋１６ｋ２)－２/３恒成立.解法３㊀当然若能猜想其定点在ｘ轴上ꎬ也可以在解法１的基础上得到直线方程后ꎬ将直线方程ｙ－１２ｋ３＋４ｋ２＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２)变形为ｙ＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２－１２ｋ３＋４ｋ２８ｋ２－３９ｋ).又由于６－８ｋ２３＋４ｋ２＋１２ｋ３＋４ｋ２８ｋ２－３９ｋ＝５４ｋ－７２ｋ３－３６ｋ＋９６ｋ３９ｋ(３＋４ｋ２)＝２３ꎬ所以有ｙ＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－２３)ꎬ即可得直线过定点(２３ꎬ０).３设而不求ꎬ整体处理策略３㊀上面解法的主要困难在于得到的直线ｌ方程复杂ꎬ不易观察定点.此时还可以考虑直接设出直线ｌ方程ꎬ根据条件找到方程中相关参数的关系ꎬ此时再确定定点就很容易.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ考虑直线ｌ可能与ｘ轴垂直ꎬ设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｔꎬ联立ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬｘ＝ｍｙ＋ｔꎬìîíïïï消去ｘ整理得(３ｍ２＋４)ｙ２＋６ｍｔｙ＋３ｔ２－１２＝０ꎬΔ＝３６ｍ２ｔ２－４(３ｍ２＋４) (３ｔ２－１２)>０ꎬ则ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２.又ｋＡＮ＝ｙ２ｘ２＋２ꎬｋＢＭ＝ｙ１ｘ１－２ꎬ所以ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ化简得(ｔ＋２)ｙ１＝ｍｙ１ｙ２＋２(ｔ－２)ｙ２.这是一种特殊情况ꎬ有ｙ１ｙ２ꎬ但没有ｙ１＋ｙ２ꎬ针对本题有如下处理方法.解法４㊀先将含ｙ１ꎬｙ２的项配凑成ｙ１＋ｙ２ꎬ即ｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２)(ｙ１＋ｙ２)＋(３ｔ－２)ｙ２＝０ꎬ再将ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２代入方程得(３ｔ－２)[３ｍ(ｔ＋２)３ｍ２＋４＋ｙ２]＝０.由于３ｍ(ｔ＋２)３ｍ２＋４＋ｙ２不恒为０ꎬ所以３ｔ－２＝０ꎬ即５３ｔ＝２３.故直线ｌ:ｘ＝ｍｙ＋ｔ过定点(２３ꎬ０).解法５㊀可以把１ｙ１ꎬ１ｙ２作为未知数对待.由斜率关系ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ得(ｔ＋２)ｙ１＝ｍｙ１ｙ２＋２(ｔ－２)ｙ２.即有ｔ＋２ｙ２＝ｍ＋２(ｔ－２)ｙ１.又由ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ可以得１ｙ１＋１ｙ２＝－６ｍｔ３ｔ２－１２ꎬ所以可求得３ｔ－２ｙ２＝－ｍ(３ｔ－２)ｔ＋２.当３ｔ－２＝０时ꎬ即ｔ＝２３ꎬｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２)(ｙ１＋ｙ２)＝ｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２)(ｙ１＋ｙ２)＝ｍ(３ｔ２－１２)４＋３ｍ２－(ｔ＋２)(－６ｍｔ)４＋３ｍ２＝０ꎬ所以ｔ＝２３满足等式.当ｔʂ２３时ꎬ将ｙ２＝－ｔ＋２ｍꎬ代入ｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２) (ｙ１＋ｙ２)＋(３ｔ－２)ｙ２＝０ꎬ得ｍ(３ｔ２－１２)４＋３ｍ２－(ｔ＋２)(－６ｍｔ)４＋３ｍ２－(ｔ＋２)(３ｔ－２)ｍ＝０ꎬ解得ｔ＝－２ꎬｔ＝－２３ꎬ两个值都要舍掉.所以ｔ＝２３.解法６㊀当得到ｙ２＝－ｔ＋２ｍ时ꎬ也可以代入方程(３ｍ２＋４)ｙ２＋６ｍｔｙ＋３ｔ２－１２＝０ꎬ得(ｔ＋２)(ｔ＋２)[(３ｍ２＋４)ｍ２－３]＝０ꎬ解得ｔ＝－２(舍)ꎬｔ＝２３.㊀解法７㊀由ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ得ｍｙ１ｙ２＝－ｔ２－４２ｔ(ｙ１＋ｙ２).由ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ得(ｔ＋２)ｙ１＝ｍｙ１ｙ２＋２(ｔ－２)ｙ２.所以(ｔ＋２)ｙ１＝－ｔ２－４２ｔ(ｙ１＋ｙ２)＋２(ｔ－２)ｙ２.即(３ｔ－２)(ｔ＋２)ｙ１＝(ｔ－２)(３ｔ－２)ｙ２.所以ｔ＝２３.４用性质换点ꎬ寻求对称性策略４㊀本例题出现韦达定理不对称问题ꎬ为什么会出现韦达定理不能用的问题呢?分析斜率式子ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２结构ꎬ其主要原因是在求ＡＮ与ＭＢ的斜率时ꎬ用椭圆两个顶点ꎬ出现ｘ１－２ꎬｘ２－２造成的.我们可以用椭圆的性质把两个顶点转化到同一个顶点上.解法８㊀设Ｎ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ因为ｘ２２４＋ｙ２２３＝１ꎬ则ｙ２ｘ２＋２ ｙ２ｘ２－２＝ｙ２２ｘ２２－４＝－３４.因为ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ所以－３４ ２(ｘ２－２)ｙ２＝ｙ１ｘ１－２.即－３２[ｍ２ｙ１ｙ２＋ｍ(ｔ－２)(ｙ１＋ｙ２)＋(ｔ－２)２]＝ｙ１ｙ２.代入ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ得－３２ˑ[ｍ(３ｔ２－１２)４＋３ｍ２＋ｍ(ｔ－２)(－６ｍｔ)４＋３ｍ２＋(ｔ－２)２]＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ当ｔʂ２ꎬｔʂ－２时ꎬ解得ｔ＝２３.上面的每一种解决方法都有其优点ꎬ解决问题时需要根据具体情境ꎬ明确方向ꎬ识别模型ꎬ选择模型ꎬ确定方法.高三解题理应策略优先ꎬ只有对各种情况分析透彻ꎬ把握本质ꎬ才能在考试中选择合适的方法解决问题.参考文献:[１]王弟成.一类根与系数关系不对称解析几何题解法探究与原因探析[Ｊ].数学通报ꎬ２０２１ꎬ６０(１２):４７－４９.[责任编辑:李㊀璟]６３。
直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程五最值问题的面积最小时直线l的1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
直线方程的对称问题及最值恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程五最值问题的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
直线方程恒过定点问题怎么求
直线方程恒过定点问题怎么求问题描述在平面几何中，给定一个定点和一条直线，我们需要找到一个直线方程，使得这条直线在任意位置上都经过给定的定点。
这个问题被称为直线方程恒过定点问题。
本文将介绍如何求解这个问题。
解法一：点斜式直线方程首先我们需要知道点斜式直线方程的一般形式：y=kx+b。
其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距。
假设我们需要找到一个直线，使得它始终经过点P(x0,y0)。
根据点斜式直线方程，我们需要求解符合该条件的k和b。
由于直线过点P(x0,y0)，代入直线方程可得：y0=kx0+b然后将这个方程稍作调整：$$ b = y_0 - kx_0 \\quad (1) $$将式(1)代入点斜式直线方程，我们就得到了直线方程的表达式：y=kx+(y0−kx0)这条直线方程恒过定点P(x0,y0)。
因此，我们可以得出结论：对于给定的点P(x0,y0)，直线方程恒过该点的一般形式为y=kx+(y0−kx0)。
解法二：一般式直线方程除了点斜式直线方程，我们还可以使用一般式直线方程来解决直线方程恒过定点问题。
一般式直线方程的一般形式为：Ax+By+C=0。
假设直线经过点P(x0,y0)，我们需要找到符合该条件的A、B和C。
设直线方程为Ax+By+C=0，将点P(x0,y0)代入方程可得：$$ Ax_0 + By_0 + C = 0 \\quad (2) $$假设直线方程的一般法向量为$\\mathbf{n} = (A, B)$，则直线方程可以写成：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p} + C = 0 \\quad (3) $$其中，$\\mathbf{p} = (x, y)$。
将点P(x0,y0)代入方程(3)，可得：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p_0} + C = 0 \\quad (4) $$由于直线过点P(x0,y0)，则向量$\\mathbf{n}$与向量$\\mathbf{p_0}$垂直。
求直线方程恒过定点怎么求
求直线方程恒过定点的方法在解析几何中，我们经常遇到求取直线方程的问题。
有时候我们需要找到一个过给定点的直线方程，这时我们可以使用一些特定的方法来求解。
本文将介绍几种方法来求解求直线方程恒过定点的问题。
1. 已知斜率的情况首先，如果我们已知直线的斜率和过定点的坐标，那么我们可以直接套用直线的一般方程来求解。
设直线的斜率为k，过定点(x0, y0)，则直线的一般方程为y - y0 = k(x - x0)。
通过这个方程，我们可以求得过定点的直线方程。
举个例子，我们要求过点(2, 3)且斜率为2的直线方程，那么我们就可以代入式子，得到y - 3 = 2(x - 2)。
将这个方程化简后，即可得到直线的方程。
2. 已知两点的情况其次，如果我们已知直线经过两个点(x1, y1)和(x2, y2)，那么我们可以通过两点式来求解直线方程。
设直线的斜率为k，过点(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的两点式为(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)。
通过这个方程，我们可以求得直线的方程。
举个例子，我们要求过点(1, 2)和(3, 4)的直线方程，那么我们就可以代入式子，得到(y - 2) / (4 - 2) = (x - 1) / (3 - 1)。
将这个方程化简后，即可得到直线的方程。
3. 垂直平行直线的情况如果我们已知直线与 x 轴垂直，那么我们可以很轻松地求得直线方程。
设直线经过点(x0, y0)，则直线与 x 轴垂直，斜率为无穷大。
此时，我们可以直接得到直线方程为x = x0。
同理，如果我们已知直线与 y 轴垂直，那么我们可以得到直线方程为y = y0，其中(x0, y0)是直线经过的点。
4. 一般情况下的方法如果我们无法直接根据已知条件得到直线方程，我们可以先求取过给定点的直线斜率，然后再根据已知斜率的情况进行相应的求解。
设过点(x0, y0)的直线斜率为k，则我们可以找到一个点(x, y)，使得直线经过(x0, y0)和(x, y)。
高中数学同步课件 培优课 直线系方程与对称问题
√C.(－3，1)
D.(－2，1)
直线 l 的方程可化为 解得xy＝＝1－，3，
m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令x－＋x2－y＋3y1＝＝0，0，
∴直线 l 恒过定点(－3，1).
1 234
2.点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是
√A.(－1，－3)
C.(－1，3)
B.(17，－9) D.(－17，9)
第一章 §1 直线与直线的方程
课标要求
1.熟悉常见的直线系方程，能运用直线系方程简化运算； 2.掌握对称原理，能解决常见的对称问题.
内容索引
一、直线系方程的应用 二、几类常见的对称问题 三、利用对称解决最值问题
课堂达标
课时精练
一
直线系方程的应用
例1
求证：无论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定 点，并求出这个定点的坐标.
思维升华
2.在直线l上求一点P，使点P到两定点的距离之差的绝对值最大 (1)当两定点A，B在直线l的同侧时(A，B连线与l不平行)，连接BA并延 长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大 值 为 |AB|. 如 图 ③ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|AB| ＝ ||PB|－|PA||. (2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A′，连接 BA′并延长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最 大 ， 最 大 值 为 |A′B|. 如 图 ④ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|A′B|＝||PB|－|PA||.
直线方程的恒过定点问题解析
直线方程的恒过定点问题解析引言直线方程是数学中的重要概念，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线方程的恒过定点问题是研究直线方程在平面上是否恒过一个给定的点。
本文将对直线方程的恒过定点问题进行解析，包括问题的定义、解决方法和实际应用。
问题定义直线方程的恒过定点问题可以通过以下方式定义：给定一个平面上的直线，判断该直线是否经过一个给定的点。
如果直线恒过该点，则称直线方程满足恒过定点条件。
该问题在几何学中有着重要的应用，例如判定一个点是否在一条直线上。
解决方法直线方程的恒过定点问题可以通过以下两种方法解决：代数法和几何法。
代数法代数法是通过代数表达式来解决直线方程的恒过定点问题。
通过将直线方程表达式与给定点的坐标代入，可以判断直线方程是否满足恒过定点条件。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以将点P的坐标代入直线方程，得到等式y0=kx0+b。
如果等式成立，则表示直线方程满足恒过点P的条件。
几何法几何法是通过几何性质来解决直线方程的恒过定点问题。
根据直线的斜率和截距的定义，可以判断直线是否经过给定的点。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以求出直线的斜率k。
如果点P的坐标满足等式y0=kx0+b，则表示直线经过点P。
实际应用直线方程的恒过定点问题在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用示例：建筑设计在建筑设计中，经常需要判定某些结构是否恒过一个定点。
例如，要确定一条梁是否恒过某个支撑点，可以将梁的方程与支撑点的坐标代入，从而判断是否满足恒过定点条件。
导航系统在导航系统中，通常需要确定一条路径是否恒过起点和终点。
通过将路径的方程与起点和终点的坐标代入，可以判断路径是否满足恒过定点条件，从而提供准确的导航指引。
地理测量在地理测量中，常常需要确定一条直线是否经过某个标记点。
通过将直线的方程与标记点的坐标代入，可以判断直线是否满足恒过定点条件，从而实现精确的地理测量。
结论直线方程的恒过定点问题是数学中的一个重要问题，在几何学和代数学中有广泛的应用。
高中数学：直线恒过定点的问题
高中数学：直线恒过定点的问题
直线恒过定点问题的多种解法。
求证：直线恒过某一定点P，并求该定点的坐标。
解法一：特殊引路法
分析：因直线随m取不同的值而变化，但是由题意分析可知应该是围绕某一定点在旋转，而这一定点我们只需两条相交直线即可求得，但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上，这样就使得解法更为完备。
证明：直线，取，
此时直线方程为。
①
取，此时方程为②
联立①②解得点P（3，1）。
将点P（3，1）代入直线方程。
故直线恒过定点P（3，1）。
解法二：换元法
分析：众所周知，直线方程中的点斜式可以表明直线过点P（，），因此我们可以将直线
的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。
证明：，当时，。
令。
由此可得。
即原直线方程可化为。
由直线的点斜式方程可知该直线过点P（3，1）。
当即时，原直线可化为，此时点（3，1）仍然在直线上。
综上，直线恒过定点P（3，1）。
解法三：参数分离法
分析：对于直线方程来说，如果我们将其中的m看作参数，并将其分离得
0，此时我们令，，则这两条直线的交点P（，）一定满足直线方程
0，即P（，）在直线
上，这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了。
证明：。
令，=0，解方程组得
令点P为（3，1），因点P（3，1）满足。
所以也满足。
进一步得点P（3，1）满足。
故直线恒过定点P（3，1）。
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直线方程恒过定点什么意思
直线方程恒过定点是什么意思？直线方程恒过定点是指在平面直角坐标系中，一条直线的方程具有某种特定的形式，使得这条直线上的所有点都恰好经过一个给定的固定点。
在数学中，直线的方程可以用不同的形式来表示，例如斜截式、截距式、一般式等。
其中一般式表示法为 Ax + By + C = 0，A、B、C 是实数常数，x 和 y 是直角坐标系中的变量。
在斜截式 y = mx + b 中，m 是直线的斜率，b 是直线与 y 轴的截距。
当一条直线的方程满足特定条件时，我们称这条直线方程恒过定点。
直线方程恒过定点的意义在于，它规定了一条直线在平面中的位置和方向，使得这条直线上的所有点都经过一个已知的点。
这种特定的直线方程可以用于描述一些几何问题，简化问题的求解过程。
举个例子来说明直线方程恒过定点的意思。
假设给定直线方程为 x + y - 5 = 0，其中点 P(2,3) 是这条直线上的一点。
我们可以通过将点 P 的坐标带入方程中来验证是否满足直线方程。
计算得到 2 + 3 - 5 = 0，等式成立，说明点 P 在直线上。
因此，直线方程 x + y - 5 = 0 恒过点 P(2,3)。
直线方程恒过定点可以应用于多个数学领域中，特别是几何学。
利用直线方程恒过定点可以发现一些几何性质、定理和解题方法。
此外，直线方程恒过定点还可以用于计算机图形学、物理学、工程学等学科中的相关问题。
总结一下，直线方程恒过定点是指一条直线的方程形式特定，以使得直线上的所有点都恒过一个已知的固定点。
这种特殊的直线方程具有重要的几何和应用意义，能够简化问题求解过程，以及应用于多个学科领域中。
直线恒过定点问题例题
直线恒过定点问题例题直线恒过定点问题是数学中常见的几何问题之一。
它通过给定点和直线的条件，探讨直线是否恒过这个点。
本文将通过例题来详细说明直线恒过定点问题的解决方法。
问题描述例题：已知点A(1,2)和B(3,4)，求直线y = mx + 1是否恒过点C(-1,0)。
解题步骤解决直线恒过定点问题可以按照以下步骤进行：1.求直线的方程；2.将点的坐标代入方程，判断是否满足。
步骤一：求直线的方程两点确定一条直线的方程，可以使用点斜式或两点式。
在本例中，我们选择使用点斜式。
点斜式的一般形式为y - y1 = m(x - x1)，其中m为直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
通过已知点A(1,2)，我们可以计算斜率m。
根据点斜式的给定条件，我们可以得到直线方程为：y - 2 = m(x - 1)步骤二：将点的坐标代入方程我们需要将点C(-1,0)的坐标代入直线方程，判断是否满足。
将C的坐标代入方程，得到：0 - 2 = m(-1 - 1)化简得到：-2 = -2m整理后得到：m = 1因此，当直线方程为y = x + 1时，直线恒过点C(-1,0)。
结论根据上述计算和推导，我们得出结论：直线y = x + 1恒过点C(-1,0)。
总结直线恒过定点问题是数学中的基础几何问题之一。
通过已知点和直线的条件，我们可以求解直线是否恒过这个点。
解决这类问题可以遵循求直线方程和代入点的坐标两个步骤，通过计算和推导得出结论。
希望通过本文的例题分析，能够帮助读者更好地理解直线恒过定点问题的解决方法。
专题05 直线的交点、距离公式与对称、最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题05直线的交点、距离公式与对称、最值问题【知识梳理】1、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可．若有111222A B CA B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．2、两点间的距离公式两点111()P x y ，，222()P x y ，间的距离公式为12PP =．3、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =4、两平行线间的距离直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =．5、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()P x y ，关于点00()Q x y ，的对称点为22()P x y '，，则根据中点坐标公式，有12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可得对称点22()P x y '，的坐标为0101(22)x x y y --，6、点关于直线对称点11()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=对称的点为22()P x y '，，连接PP '，交l 于M 点，则l 垂直平分PP '，所以PP l '⊥，且M 为PP '中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022l PP k k x x y y AB C '⋅=-⎧⎪⎨++++=⎪⎩，解出22()x y ，即可．7、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．8、直线关于直线对称求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()Q x y '，第三步：利用两点式写出3l 方程9、常见的一些特殊的对称点()x y ，关于x 轴的对称点为()x y -，，关于y 轴的对称点为()x y -，．点()x y ，关于直线y x =的对称点为()y x ，，关于直线y x =-的对称点为()y x --，．点()x y ，关于直线x a =的对称点为(2)a x y -，，关于直线y b =的对称点为(2)x b y -，．点()x y ，关于点()a b ，的对称点为(22)a x b y --，．点()x y ，关于直线x y k +=的对称点为()k y k x --，，关于直线x y =k -的对称点为()k y x k +-，．【专题过关】【考点目录】考点1：两直线的交点问题考点2：两点的距离考点3：点到直线的距离考点4：两平行直线的距离考点5：点线对称考点6：线点对称考点7：线线对称考点8：两线段和与差的最值问题【典型例题】考点1：两直线的交点问题1．（2021·江苏连云港·高二期中）若三条直线280,10x ky x y ++=--=和20x y -=交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．3D ．12【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩.把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C2．（2021·四川·遂宁中学高二期中（理））已知直线ax +y+1=0，x +ay+1=0和x +y+a =0能构成三角形，则a 的取值范围是（）A ．a≠2-B ．a≠±1C ．a≠2-且a≠±1D ．a≠2-且a≠1【答案】C【解析】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若0a =，则三条直线围成三角形，若0a ≠，则11a a ≠，111a ≠，解得1a ≠±，1a ≠±时，由100ax y x y a ++=⎧⎨++=⎩，得1(1)x y a =⎧⎨=-+⎩，代入10x ay ++=得1(1)10a a -++=，1a =或2a =-，因此2a ≠-综上：1a ≠±且2a ≠-．故选：C ．3．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y +-=【答案】B【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=，故选：B4．（多选题）（2021·江苏徐州·高二期中）已知a 为实数，若三条直线280,43100ax y x y ++=+-=和2100x y --=不能围成三角形，则a 的值为（）A ．83B ．1C ．1-D ．4-【答案】ACD【解析】当三条直线交于一点时，由431002100x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，所以交点为(4,2)-，所以4480a -+=，得1a =-，当直线280ax y ++=与43100x y +-=平行时，243a =，得83a =，当直线280ax y ++=与2100x y --=平行时，221a =-，得4a =-，所以当1a =-，或83a =，或4a =-时，三条直线不能围成三角形，故选：ACD5．（2021·全国·高二期中）经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．【答案】3340x y -+=【解析】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.6．（2021·上海·南洋中学高二期中）关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.【答案】-35【解析】因为x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，所以直线73x by -=与直线52ax y +=重合，所以7352b a -==，解得1415,32a b ==-，所以35ab =-，故答案为：-357．（2021·云南临沧·高二期中）已知直线l 1：10ax y ++=与l 2：210x by --=相交于点(1,1)M ，则a b +=__．【答案】﹣1【解析】把(1,1)M 分别代入直线l 1和直线l 2的方程，得110,210a b ++=--=，所以2,1a b =-=，所以1a b +=-．故答案为：-1．8．（2021·四川省宜宾市第一中学校高二期中（理））过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：280x y +-=和l 2：3100x y -+=截得的线段恰好被点P 平分，求直线l 的方程.【解析】设l 1与l 的交点为A (a ，8-2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (-a ，2a-6)在l 2上，代入l 2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，∴直线l 的方程为041004y x --=--即x ＋4y-4＝0.9．（2021·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知直线l ：(41)(1)30x y λλ+-++=.(1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 被两平行直线1l ：220x y -+=与2l ：260x y --=所截得的线段AB 的中点恰好在直线260x y ++=上，求λ的值.【解析】(1)由已知：(41)(1)30x y λλ+-++=，即(4)30x y x y λ-+-+=，令4030x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：x =1，y =4，∴直线l 恒过定点(1,4).(2)设直线1l ，2l 分别与直线260x y ++=交于C ，D 两点，由260220x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得C 14255⎛⎫-- ⎝⎭,，由260260x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得D 61855⎛⎫-- ⎪⎝⎭,，∴CD 的中点M 的坐标为(－2,－2)，不妨设A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，则△AMC ≌△BMD ，即MA =MB ，故M (－2,－2)为AB 的中点，将M 代入直线l 的方程得：(41)(2)(1)(2)30λλ+--+-+=，解得12λ=·10．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为_________.【答案】210x y +-=【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=.故答案为：210x y +-=考点2：两点的距离11．（2021·福建三明·高二期中）已知直线1l ：220x y --=与直线2l ：380x y +-=的交点为A ，则点A 与点()23B ，间的距离为（）AB ．CD ．1【答案】D【解析】联立方程220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,2x y ==，所以()2,2A ，所以1AB ==故选：D12．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知()2,3A -，()5,7B -，则AB =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()2,3A -，()5,7B -，所以5AB ==，故选：C.13．（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,6),C(5,2)-，则过A 点的中线长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【解析】设过A 点中线长即为线段AD .D 为BC 中点：3562,22D +-+⎛⎫⎪⎝⎭，即D （4，-2）∴||AD ===故选：B.14．（2021·河北唐山·高二期中）已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，(6,6)AB =，(2,2)BC =-，∴6(2)620AB BC ⋅=⨯-+⨯=，即AB BC ⊥，∴ABC 是直角三角形.故选：B.15．（2021·北京·临川学校高二期中（文））已知点(),1M m -，()5,N m ，且MN =实数m 等于（）A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或3【答案】C【解析】因为||MN =，=2430m m -+=，解得1m =或3m =，故选：C16．（2021·四川巴中·高二期中（文））当实数k 变化时，直线1:20l kx y k -++=到直线2:30l kx y --=的距离的最大值是______.【解析】由(1)20k x y +-+=可得1l 过定点(1,2)A -，由30kx y --=可得2l 过定点(0,3)B -.又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于AB 时，距离最大，最大值即为AB 两点间的距离d =考点3：点到直线的距离17．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））直线2x =与32120x y +-=的交点到直线10x y +-=的距离______．【答案】【解析】由232120x x y =⎧⎨+-=⎩，解得2,3x y ==，即直线2x =与32120x y +-=的交点为()2,3点()2,3到直线10x y +-==.故答案为：18．（2021·辽宁·高二期中）对任意的实数λ，求点()2,2P -到直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）的距离d 的取值范围为______．【答案】0,⎡⎣【解析】由题意，直线()()212320x y λλλ+-+-+=（），即()2640x y x y λ--+--＝，所以26040x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()2,2Q -，当PQ 垂直直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）时，d 取得最大值=，当直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）过点P 时，d 取得最小值0，∴d 的取值范围0,⎡⎣.故答案为：0,⎡⎣．19．（2021·全国·高二期中）已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【解析】（1）因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．（2）BC ==直线BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC=，则ABC 的面积为1242⨯=.20．（2021·全国·高二期中）已知直线l 垂直于直线3490x y +-=，点()2,3A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．【解析】因为直线l 垂直于直线3490x y +-=，可设直线l 为430x y c -+=，因为点()2,3A 到直线l 的距离为1，|1|15c -==，解得6c =或4c =-，故所求直线方程为4360x y -+=或4340x y --=.21．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为_______【答案】13-或79-【解析】因为点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，解得13a =-或79a =-，故答案为：13-或79-22．（2021·山东威海·高二期中）已知(2,6),(0,4)A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为________．【答案】0或5-=525a +=，解得0a =或5a =-故答案为：0或5-23．（2021·湖北黄冈·高二期中）过点()1,1P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等，则该直线的方程是（）A ．450x y +-=B ．450x y +-=C ．20x y +-=或450x y +-=D ．20x y +-=或450x y +-=【答案】C【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，()2,3A ，()4,5B -到它的距离分别为1，3，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k --+=，由()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等=1k =-或4-，即直线方程为20x y +-=或450x y +-=.故选：C.考点4：两平行直线的距离24．（2021·10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．54C ．3D ．4【答案】B10y +-=与直线30my ++=平行，可得0=，解之得2m =10y +-=与直线230y ++=54=故选：B25．（2021·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为_________.【答案】4【解析】因为直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：平行,而直线22210l x y +-=：可化为2102l x y +-=：，故直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为1|2()|24d --==，故答案为：426．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线1:3460l x y -+=与2:340l x y C -+=间的距离为3，则C =_______.【答案】9-或21【解析】由题，可知12//l l ，所以两平行线间距离为3d =，解得9C =-或21，故答案为：9-或21考点5：点线对称27．（2021·吉林油田高级中学高二期中）已知点P 与点()1,2Q -关于直线10x y +-=对称，则点P 的坐标为_______.【答案】()3,0【解析】由题可知该直线是线段PQ 的垂直平分线，设(),P m n ，则1210,2221,1m n n m +-⎧+-=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得3,0.m n =⎧⎨=⎩故答案为：(3，0).28．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知ABC 的顶点(4,1),A AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为250x y --=，则BC 边所在直线方程___________.【答案】2711450x y --=.【解析】由题意，AB 边上的高所在直线的斜率为35-，则AB 的斜率53k =，所以()5:14531703AB l y x x y -=-⇒--=，与直线250x y --=联立解得29x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,9B --.设(),C a b ，则线段AC 的中点坐标为41,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，14AC b k a -=-，所以1241250522119425a b a b b a ++⎧⎧=⋅--=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪-⎩⎩，即129,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以99275121125BCk +==+，所以BC 边所在直线方程为：()2792271145011y x x y +=+⇒--=.故答案为：2711450x y --=.29．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=对称的点的坐标___________.【答案】()3,3-【解析】设对称点为(,)B x y ，则5313435344022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩，所以对称点坐标为(3,3)-，故答案为：(3,3)-．30．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）光线沿直线730x y --=入射到直线220x y -+=后反射，则反射光线所在直线的方程为________．【答案】3y x =+【解析】由730220x y x y --=⎧⎨-+=⎩得14x y =⎧⎨=⎩即直线730x y --=与直线220x y -+=交点为(1,4)N 在直线730x y --=上取点(0,3)H -设点(0,3)H -关于220x y -+=的对称点为'(,)H m n 则03220223210m n n m +-⎧⨯-+=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪-⎩41m n =-⎧⎨=-⎩即'(4,1)H --'41114NH k +==+则反射光线所在直线的方程为143y x x =-+=+故答案为：3y x =+31．（2021·安徽宿州·高二期中）已知点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，则点B 的坐标为（）A ．()3,3B ．()2,2C ．53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,2【答案】B【解析】设点()00,B x y ，因为点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，所以0000131022311x y y x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得002x y ==，所以()2,2B 故选：B32．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1关于直线10x y -+=的对称点为（）A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】B【解析】设对称点为(),m n ，由题意可得1113311022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04m n =⎧⎨=⎩，即对称点为()0,4，故选：B.33．（2021·江苏·40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（）A50y ++=B．40x +=C．50x +=D．0x =【答案】C40y --=，令0x =，解得4y =-，设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ，则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则111022a b =-⎪+-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D，11253BD k ==-，直线BD：)15y x -=-，即50x =。
(最强)直线方程易错题、直线系-对称问题
直线方程易错题一 定点问题1.若k ∈R 时，直线y-2=k(x-1)总通过一个定点，这个定点是（ ）A （1，-2）B （-1,2）C （-2,1）D （1,2） 2.方程y=k （x-2），x ∈R 表示（ ）A 通过点（-2,0）的一切直线B 通过点（2,0）的一切直线C 通过点（2,0）且不垂直x 轴的一切直线D 通过点（2,0）且除去x 轴的一切直线 3.已知直线l 的方程为：（2m-3）x+y-m+6=0，则对于任意的m ∈R ，直线l 恒过定点_____ 二 截距问题1.直线mx+ny=1(mn ≠0)与两坐标轴围成的面积是（ ）A12mn B 1||2mn C12mnD 12||mn 2.过点P （2,3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是：________3.过点（5,2）且在x 轴上截距是y 轴上截距两倍的直线方程是：__________4.过点（5,2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为（ ）A x-y-3=0B x-y+3=0或2x-5y=0C x-y+3=0D x-y-3=0或2x-5y=05.已知直线L 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线L 的方程。
三 最值问题1.过点P(2,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.求AOB ∆的面积最小时直线l 的方程;2. 若直线l 过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l 有（ ）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3.过点P(2,1) 作直线l 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，求|PA|·|PB|取最小值时直线l 的方程.4.位于第一象限的点A 在直线y=3x 上，直线AB 交x 轴的正半轴于点C ，已知点B （3,2），求△OAC 面积的最小值，并求此时A 点坐标5．已知点M(1,3),N(5,-2),在x 轴上取一点P ，使得||PM|-|PN||最大，则P 点坐标是（ ） A （5,0） B （13,0） C （0,13） D （3.4,0） 变式：若使||PM|+|PN||最小呢？四、对称问题1.点A （4,5）关于直线l 的对称点为B （-2,7），则l 的方程为____________2.点A （1,2）关于直线x-2y-2=0的对称点B 的坐标是_________3.已知M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x+y=0对称，则点Q 的坐标为（ ）A （a ，b ）B （b ，a ）C （-a ，-b ）D （-b ，-a ）4. 直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)4,3()1,4(B A 、-的距离之差最大，则P 点的坐标是___.五、易错题1.已知直线L 的横截距为a ，纵截距为b ，斜率为k ，则下列命题正确的是（ D ） A 直线与坐标轴围成的面积是12ab B 直线的方程是：1x y a b += C 斜率k=ba- D 以上都不对 2.若直线L 过点（1,2）且两截距相等，则直线L 的斜率k 是（ D ）A k=-1或k=2B k=±1或k=2C k=-1D k=1或k=2 3. 下列四个命题中属于真命题的是 （ B ）A 、经过定点的直线都可以用方程00()y y k x x -=-B 、经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C 、不经过原点的直线都可以用1x ya b+=表示； D 、经过点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示4.直线tan +y-1=07x π的倾斜角是（ D ）A -7πB 7πC 75πD 76π5.若111:0L A x B y C ++=与222:0L A x B y C ++=只有一个公共点则（ D ）A 1122AB -A B =0 B 1221A B +A B =0C 1212A AB B ≠ D 1122A B A B ≠6.当θ是第四象限角时，直线sin x θ+和直线x +的位置关系是（ C ）A 平行B 相交但不垂直C 垂直D 与θ角有关 7.若直线L 1：x+ay+6=0与直线L 2：（a-2）x+3y+2a=0互相平行，则a 的值为（ C ） A -1或3 B 1或3 C -1 D 以上都不对8.过（x 1，y 1）和（x 2，y 2）两点的直线方程是（ C ）A112121y y x x y y x x --=-- B 122112y y x x y y x x --=--C 211211()()()()0y y x x x x y y -----=D 211211()()()()0x x x x y y y y -----=9.下列命题：○1若有斜率的两条直线斜率不相等，则这两条直线不平行 ○2若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等 ○3若两条直线都有斜率，且斜率相等，则这两条直线必定平行 其中不正确的命题是____○2__○3____ 10.已知两点A （-1,2），B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k （2）求直线AB 的方程 （3）已知实数m [1]3m ∈--，求直线Ab 的倾斜角α的取值范围11.求过点P （-5，-4）且分别满足下列条件的直线方程（1）倾斜角的正弦值是45； （2）倾斜角是直线l ：314y x =+的倾斜角的一半（3）与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，且||3||5AP BP =直线系方程及其巧妙应用1．命题的给出命题：设点00()P x y ，在直线0Ax By C ++=（其中A B ，不全为零）上，则这条直线的方程可以写成00()()0A x x B y y -+-=．这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线00()()0A x x B y y -+-=表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 2．命题的应用（1）斜率问题的应用在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性．例１ 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． （2）截距问题的应用当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m 倍（0m >）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解．而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性． 例2 求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．解：设所求直线方程为(3)(4)0A x B y -++=（其中A B ，不全为零）． 显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意．故AB ，均不为零． 当0x =时，34A y B =-；当0y =时，43Bx A=-+． 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则3443A BB A -=-+， 令A z B =，则13443z z-=-+，整理，得23740z z -+=， 解得1z =，或43z =， 则0A B =≠，或403A B =≠， 故所求直线方程为10x y ++=，或430x y +=．编者的话：利用过点00()P x y ，的直线系方程00()()0A x x B y y -+-=（其中AB ，不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性．下面我们用这个方法来做两道相关的题目． 练习：1．求过原点且与直线110l y -+=成30°角的直线方程l ．2．在过点(35)P ，的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程． 答案：1．0x =，或0x -= 2． 35340x y +-=．课题：直线系与对称问题教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法 （一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y bax a b-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --，其中0022Ax By CD A B ++=+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+，曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）（二）典例分析：问题1．（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.问题3．根据下列条件，求直线的直线方程()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； ()2经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； ()3经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.问题4．()1已知方程1x kx =+有一正根而没有负根，求实数k 的范围()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围.()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈求证：不论λ取何值，点P 到直线l（三）课后作业：1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55⎛⎫⎪⎝⎭2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是.A 3220x y -+=.B 2370x y ++=.C 32120x y --=.D 2380x y ++=3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是4.(){}.A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，AB 仅有两个元素，则实数a 的范围是5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.7.已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为8.求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点9.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标10.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程11.光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光线所在的直线3l 的方程12.已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最小，并求出最小值.（四）走向高考：13.（02北京）若直线l ：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 .A ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.B ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.（03全国文）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为.A 12y x =- .B 12y x = .C 2y x =- .D 2y x =15.(04安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对 称，则2l 的方程为.A 210x y -+=.B 210x y --=.C 10x y +-=.D 210x y +-=16.（05上海）直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是17.（07上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是.A 21)2()3(22=-++y x .B 21)2()3(22=++-y x.C 2)2()3(22=-++y x .D 2)2()3(22=++-y x直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21••x y ••k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3， 故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程. 分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由⎩⎨⎧=+-=--03302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ，设所求直线l 的斜率为k ， 由到角公式得，kk 31313113+-=⨯+-，所以k=-7.由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.（数学2必修）第三章 直线与方程训练题一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠mB ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题3、若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
浅谈解析几何中的恒过定点问题
浅谈解析几何中的恒过定点问题苏教版教材《必修2》P77T9设直线的方程为y-3=k(x+2)，当k取任意实数时，这样的直线具有什么样的共同特点？这题实际上是一道解析几何中恒过定点的问题。
反映在图形上是图形恒过某一定点，反映解析式上与字母k无关。
可知必有x+2=0且y-3=0得x = - 2，y=3。
故恒直线过点（-2,3）。
有时需要将式子整理变形提取出字母k，如：本页教材T8，直线的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0，求证：这条直线恒过一定点，并求出次定点坐标。
则原方程化为：k(y-2) +(2x-3y+6) =0，则此定点为（0，2）。
若式子含有两个参数其方法和含一个参数相同，如：例题1：（08届徐州阶段检测）实数a , b变化时，直线：(2a+b)x+(a+b)y+a-b = 0与直线：都过一个定点。
（1）求出这个定点；（2）点(m , n)在怎样的曲线上？求出这条曲线的方程，并写出该曲线的焦点坐标。
解：（1）由已知得：(2x+y+1)a+(x+y-1)b=0，则2x+y+1 =0且x+y-1 =0。
解得x= -2，y=3，故过定点（-2,3）（2）又直线也过定点（-2,3），则m2(-2)+2 3-n2=0，即故其焦点坐标为：（0，）和（0，- ）例题2：已知圆O的方程为，设圆O与x轴相交于P、Q两点，M是圆O上异于P、Q的任意一点，过点A (3 , 0 )且与x轴垂直的直线为,直线PM交直线于点直线QM交直线于点Q′，求证：以为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标。
分析：由于直线PM恒过P(-1,0 ) ，其斜率的变化引起了点的变化，继而引起点的变化，可设其斜率为k，用k的代数式表示圆C的方程，令其与k关，即可得出定点坐标。
解法一：易得P(-1,0) , Q(1,0) ,可知直线PM的斜率存在且不为0 ，设其方程为：y=k(x+1)令x=3得y=4k , ∴(3,4k) ，则直线QM的方程为：y= - (x-1) ，令x=3得y= - ，∴（3，- ）则圆心C（3，2k- ），∴其半径r = = ∴则圆C的方程为，，整理得，可知上式中与无k关，令y = 0得x= ，故定点坐标为( ,0) 分析：可设(3,m)，用m的式子表示点，再用m的代数式表示圆C的方程，令其与m无关，即可得出定点坐标。
直线方程的恒过定点
直线方程的恒过定点引言在几何学中，直线是两个点之间最短路径的集合。
在平面直角坐标系中，一个直线可以通过其斜率和截距来唯一确定。
然而，在某些情况下，我们可能对一条直线上的所有点都有特定的要求，例如，通过某一固定点。
本文将介绍如何确定直线方程，使得该直线恒过一个给定的定点。
直线的一般方程一条直线可以用其一般方程表示为：Ax + By + C = 0其中A、B和C是常数，且A和B不同时为0。
A和B的比值给出了直线的斜率，即斜率为 -A/B。
C则决定了直线与坐标原点的位置关系。
直线过定点的条件现在我们假设我们想要找到一个直线方程，使得该直线过定点P(x₀, y₀)。
要满足该条件，我们需要将点P的坐标代入直线方程中，使得等式成立。
代入点P的坐标，我们可以得到下面的方程：A * x₀ +B * y₀ +C = 0我们可以将该方程稍加变形，得到和一般直线方程不同的形式：A * x +B * y +C = A * x₀ + B * y₀可以看到，通过将坐标代入一般直线方程中，我们可以将其转变成直线经过定点的形式。
求解直线方程为了找到满足给定条件的直线方程，我们需要确定A、B和C的值。
这可以通过以下步骤完成：1.确定直线的斜率：为了方便起见，我们可以使用已知点P和原点（0,0）之间的坡度来得到直线的斜率。
斜率可以通过计算y₀/x₀ 来求得。
2.确定C的值：将点P的坐标代入一般直线方程中，计算出C的值。
这可以通过以下计算得到：C = -A * x₀ - B * y₀3.将斜率和C的值代入一般直线方程。
最终我们将得到直线的方程：Ax + By + (-A * x₀ - B * y₀) = 0，可以进一步简化为Ax + By = A * x₀ + B * y₀示例为了更好地理解上述概念，我们来看一个示例。
假设我们想要找到一条直线方程，使得该直线经过点P(3, 2)。
首先，我们需要计算出点P和原点（0,0）之间的斜率。
由于点P的坐标为(3, 2)，我们可以得到斜率为 2/3。
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一、点关于点的对称问题
例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.
练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.
2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.
二、点关于直线的对称问题
这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.
练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.
4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.
例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.
练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程
五最值问题
的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB
的方程;
2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条
A 1
B 2
C 3
D 4
（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）
3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.
5.位于第一象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求△OAC面积的最小值，并求此时A点坐标
6．已知点M(1,3),N(5,-2),在x 轴上取一点P ，使得||PM|-|PN||最大，则P 点坐标是（ ）
A （5,0）
B （13,0）
C （0,13）
D （,0）
变式：若使||PM|+|PN||最小呢？
7．函数y=x 2＋9 ＋x 2
－8x ＋41 的最小值是
六 过定点
6．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )
A ．(1，－2)
B ．(1,2)
C ．(－1,2)
D ．(－1，－2)
7．当0＜k ＜12
时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( )
A ．(0,0)
B ．(0,1)
C ．(3,1)
D ．(2,1)
9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )
A ．(0,0)
B ．(17，27)
C ．(27，17)
D ．(17，114
) 课后作业：
1. 已知点A （2,5），B （4，-7），试在y 轴上求一点P ，使得|PA|+|PB|的值最小。
2 光线由点P (2,3)射到直线x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，求反射光线所在的直线
方程．
3．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．
4．试求直线
1:l
20
x y
--=关于直线
2
l:330
x y
-+=对称的直线l的方程.
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
6．直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是( ) A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0。