直线方程中的对称问题
直线里的对称问题
1、点关于点对称
例1、已知点A（3，）关于点 2 B（-1，）对称的点 3 C的坐标： 练习：已知平行四边形ABCD， A（- 2，）， 2 B（3，）， 4 C（-4，） 6 则D点坐标为：
直线关于点对称的直线
例1直线x-y-2=0关于点（ 1，-4）对称直线方程： 练习： 已知直线l1关于点（ 1， 1）对称的直线为2x y 2 0, 求直线线 2 x -y+2=0对称的点 B的坐标？ 练习： 1、点（3，）关于直线 9 x+3y-10=0的 对称点的坐标？ 2、已知直线l1 : x 2y 2 0交Y轴与点B ，光线自点A（-1，）射到点 4 B后经直线l1 反射，求入射光线与反射光线所在直线方程。
直线关于直线对称的直线方程
一、关于特殊直线对称 例1 和直线3x -4y+5=0关于x轴对称的直线方程： 关于y轴对称的直线方程为：
二、关于一般直线对称 1、直线关于与其平行直线对称直线方程 例2 求直线2x +y-2=0关于直线4x+2y-1=0 对称 的直线方程。
2、直线关于与其相交直线对称直线方程 例3 求直线2x+y-2=0关于直线2x -y+4=0对 称的直线方程。
总结
• • • • • • • 点关于点对称求法： 线关于点对称求法： 点关于线对称求法： 线关于线对称求法： （1）线关于特殊线对称： （2）线关于平行线对称： （3）线关于相交线对称：
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线方程的对称问题及最值恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程五最值问题的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
直线中的对称问题6种考法
直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
必修二3.2直线的方程-直线方程中的对称问题
②
2
2
联立①② 解得m=9 n= -7
∴B( b) l:AxByc0 A'
【训练】
已知在△ABC中，顶点A(2，1)，B(-2，0)， ∠C的平分线所在直线的方程为x+y=0. (1)求顶点C的坐标. (2)求△ABC的面积.
【解析】(1)B(-2，0)关于直线x+y=0的对称点B′(0，
对称问题
中心对称问题
点关于于点的对称
对 称 问 题
轴对称问题
线关于点的对称 点关于线的对称
线关于线的对称
一.中心对称(关于点的对称)
（一）点关于点对称
1.点A（2，3）关于坐标原点的对称点的坐标 _(_-_2_,_-_3_)__。 2.求点A（2，3）关于点B（-1，1）的对称点 的坐_(_-__4_,__-__1_)_。
2)，AB′的直线方程为x+2y-4=0，
联立
x x
2y 4 y0
0,
解得
x y
4， 4,
所以C(-4，4).
(2)|AB|= 42 12 A1B7方, 程为:x-4y+2=0，
点C到AB的距离d=4 16 2 18 ，
17
17
所以，S△ABC=
1 2
AB
d
1 2
17
18 9. 17
解：x-y-2=0 得 P(- 5 ，- 9 ) L y L2
3x-y+3=0
22
L1
在 L1上任取一点Q(2,0),
Q’(x,y)
· · 求其关于y-L02的对称点Q’(x,y)
O
Q(2,0),
· 则 3· x-2 =-1
X
直线方程-解析几何的对称问题
例.求直线l：4x-5y+1=0关于X轴对称的直 线方程 例.经过点A(3,2)的光线射到y轴上点B(0,-1) 时经y轴反射，求反射光线所在直线方程
例.求直线l：4x-5y+1=0关于直线y=-x+2 对称的直线方程
8
解析几何的对称问题
知识复习
ห้องสมุดไป่ตู้
说明两点P和Q关于点M对称的几何特征
y
点M是线段PQ的中点
．Q
M
P
O
x
已知点P(x0,y0),点M(a,b),则点P关于点M 的对称点Q坐标为(2a-x0,2b-y0)
2
提出问题
说明两点P和Q关于直线l轴对称的几何特征
直线l是线段PQ的垂直平分线，即
1.线段PQ的中点在直线l上，
l
2.线段PQ和直线l垂直
P
Q
3
知识探讨
已知直线l：Ax+By+C=0,A≠0,B ≠0,点 P坐(x标0,。y0),求点P关于直线l的对称y点Q的
P
Q
O
x
4
设点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对 称的点Q的坐标为(m,n),则满足
A x0 m B y0 n C 0
{2
2
n y0 ( A )1
m x0
B
5
特殊的对称
1.点P(x,y)关于X轴的对称点Q的坐标 为(-x,y)
2.点P(x,y)关于y轴的对称点Q的坐标 为(x,-y)
3.点P(x,y)关于直线：y=x的对称点Q 的坐标为(y,x)
4.点P(x,y)关于直线：y=-x的对称点Q 的坐标为(-y,-x)
6
直线方程专题一：直线对称问题
直线方程专题一：直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l 。
方法一：设1l ：01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C ；方法二：在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上，再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面：1， 直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）； 2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称（分两种情况）1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程（1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1（2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
必修2 第3章《直线与方程》对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
解：依题意知l2 / /l / /l1, 故可设 l2 : 2x y c 0
l到l1的距离 l到l2的距离, | 4 0 | | c 0 | ,
22 (1)2 22 (1)l 2
a=4或-4. (a 4舍去)
故，直线l2的方程为2x y 4 0.
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变式、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(4)直线 l1 ： x — y =4 关于 l 对称的直线l2 的方程。
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则 a =__6___，此直线间的距离为_1_0___。
3、点 A(2，5)关于点 B(1，1)的对称点 C 的坐标为
(_0_,___3)。
关于x轴的对称点为 (2, 5) ; 关于y轴的对称点为 (2,5) ;
关于原点的对称(点2为, 5)
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二 对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
P7 (2a x，y)，P8 x, 2b y．
注意：当k 1, 0时，不具有上述规律．
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【预习自测】
1、当 a =___0__时，直线 2 x + ay =2 和 ax +2 y =1 垂直。
2、若直线 3 x +4 y —12=0 和 ax +8 y —1311=0 平行，
3. 直线关于点的对称直线问题可转化为点关于点的对称 点问题。(轨迹转移法）
直线方程中的对称问题
直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种：1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
关于直线对称的直线方程公式(一)
关于直线对称的直线方程公式(一)关于直线对称的直线方程公式1. 直线的对称性质直线的对称性质是指如果点P关于直线l的位置与点Q关于直线l的位置重合，那么可以说点P与点Q关于直线l对称。
根据直线对称的几何性质，可以推导出直线方程的对称性质。
下面将列举直线对称的直线方程公式，并通过例子进行说明。
2. 直线方程的对称性质及公式根据直线方程的对称性质，可以得到如下公式：直线关于x轴对称•公式：y = -f(x)•说明：如果直线l的方程为y = f(x)，则直线l’关于x轴对称的方程为y = -f(x)。
直线关于y轴对称•公式：x = -f(y)•说明：如果直线l的方程为x = f(y)，则直线l’关于y轴对称的方程为x = -f(y)。
直线关于原点对称•公式：y = -f(-x) 或 x = -f(-y)•说明：如果直线l的方程为y = f(x) 或 x = f(y)，则直线l’关于原点对称的方程为y = -f(-x) 或 x = -f(-y)。
直线关于直线ax + by + c = 0对称•公式：(a² +b²) * (x - x₁) + 2 * (ax + by + c) * (y - y₁) = 0•说明：如果直线l的方程为ax + by + c = 0，直线l’是直线l 关于点(x₁, y₁)对称的，则直线l’的方程为(a² + b²) * (x -x₁) + 2 * (ax + by + c) * (y - y₁) = 0。
3. 示例说明示例1：直线关于x轴对称（y = -f(x)）•直线l的方程：y = 2x + 3•直线l’关于x轴对称的方程：y = -2x - 3•说明：点P(1, 5)关于直线l的位置与点Q(1, -5)关于直线l’的位置重合，即点P与点Q关于直线l对称。
示例2：直线关于y轴对称（x = -f(y)）•直线l的方程：x = 3y + 2•直线l’关于y轴对称的方程：x = -3y - 2•说明：点P(1, 2)关于直线l的位置与点Q(-1, 2)关于直线l’的位置重合，即点P与点Q关于直线l对称。
直线方程对称问题
直线方程的对称问题是一个重要的数学问题，它涉及到直线的几何性质和对称性质。
对于一条直线，我们可以通过找到它关于某一点的对称点来找到它的对称直线。
假设我们有一条直线方程y = kx + b，其中k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距。
如果我们想找到这条直线的对称直线，我们可以找到一个点(x, y) 在这条直线上，然后找到这个点关于原点的对称点(-x, -y)。
这个对称点一定在直线y = -kx - b 上，因为这两条直线关于原点对称。
因此，我们可以得出结论：如果两条直线关于原点对称，那么它们的斜率和截距也互为相反数。
这个性质对于解决直线方程的对称问题非常重要。
例如，如果我们有一条直线方程y = 2x + 1，并且我们知道它的一个对称直线方程是y = -2x - 1，那么我们可以很容易地找到原直线方程的对称点。
另外，这个性质也可以用来判断两条直线是否关于原点对称。
如果我们有一条直线方程y = kx + b，并且我们知道它的一个对称直线方程是y = -kx - b，那么我们可以将这两个方程进行比较，看看它们的斜率和截距是否互为相反数。
如果是，那么这两条直线就是关于原点对称的。
总之，直线方程的对称问题是一个非常有趣的数学问题，它涉及到直线的几何性质和对称性质。
通过找到关于某一点的对称点来找到对称直线，我们可以更好地理解直线的性质和对称性质，从而更好地解决相关的数学问题。
直线方程对称问题
一.点关于点对称(表达的是中点坐标公式)点A(X],y∣),点B(x2J2)线段AB的中点为C,点的坐标C(Xo,%)H,Xi+X2V1+V2那么不=七2，％=21产知识讲解:求点4(∙η,y)关于点C(XO,%)对称的点B的坐标是(2%-%,2%一M)例题1.求点A(3-2)关于点CQ3)对称的点B二.点关于直线对称.表达的是垂直和平分求点A(XO,%)关于直线[:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称点4(/,/)的坐标.垂直K.∙K,=-1,平分是中点坐标公式，AA f的中点在直线I上，,Bχ,~x°解出Hy既求出A(My')Λ⅞J≤+β⅛±21.+C=02 2例题1：求点β(-3,4)关于直线Z:2x-y+l=0对称点的坐标例2求点关于直线的对称点(1)求点P(χo,y0)关于直线li：x+y+c=O的对称点；(2)求点P(xo,y°)关于直线l2:x-y+c=O的对称点；三.直线关于直线对称(表达的是点关于直线对称)求直线I关于直线m对称的直线〃的方程在以知直线I上找两个定点Aa,y),B(XXM,求出定点AB关于直线m的对称点坐标A',B',点A',3'在直线〃上,根据两个A',3'求出直线〃的方程.例题:求直线x-2y÷l=0关于直线/:X+y—3=O对称的直线方程.四.线关于点对称(表达的是点关于点对称)求直线/：Ax+8)，+C=O关于点A(X0,%)对称的直线/'的方程.可知/Il/'方法1.设直线V的方程为Λx+By÷D=0(。
=取直线I上一定点P(a,b),求出点P(α,力关于点Λ(⅞,y0)的对称点Q的坐标，即Q(ZZZ),点0在直线/'上，把Q(a∖b,)代入直线方程Ax+By+D=O里,解出。
,求出直线l,的方程.方法2.取直线/上两定点P(α,b).Q(c,d),求出点P(a,b),Q(c,d)关于点A(Jr(P yO)的对称点RQ'的坐标,即P(a',Z∕),Q'(c',d'),根据两个4,8'求出直线V的方程.方法3.相关点法在U上任取一点Λ∕(x,y),点M(X,y)关于点A(x0,%))的对称点为M z(√,/),根据点关于点对称有x,=2x0-X,y'=2%,有因为点M'(∕,y')在直线I:AX+8y+C=0,把√,/带入Ax+By+C=0,既得到直线V的方程A(2x0-x)+B(2y o-y)+C=O例题：求直线3x-2y+l=0关于点(-1,2)对称的直线方程.五.曲线关于点对称(表达的是相关点法)例题:曲线y=x2+2关于点(-1,2)对称的曲线方程.。
高中数学：直线方程中的对称问题
高中数学：直线方程中的对称问题在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。
这主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
一、对称问题的求解方法1、点关于点的对称【例1】已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
2、直线关于点的对称【例2】求直线3x-y-4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。
说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线3x-y-4=0上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称【例3】求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称的点的坐标。
分析：利用点关于直线对称的性质求解。
4、直线关于直线的对称二、关于对称常见的几种题型1、角平分线问题已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。
根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。
例1：已知△ABC的顶点A（-1，-4），内角B、C的平分线所在直线分别为1：y+1=0，2：x+y+1=0 ，求BC边所在的直线方程。
2、入射光线和反射光线问题关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。
根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。
直线方程中的对称问题
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型， 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 通过几道典型例题，介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21••x y ••k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••••⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由⎩⎨⎧=+-=--03302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ， 设所求直线l 的斜率为k ， 由到角公式得，kk 31313113+-=⨯+-，所以k=-7. 由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.。
直线方程中的对称问题
直线对称问题直线中的对称问题主要有:点关于点对称;点关于直线对称;直线关于点对称;直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称(运用中点坐标公式)例1 已知点A(－2,3),求关于点P(1,1)的对称点B(00y ,x )。
练习 求点A(2,4)关于点B(3,5)对称的点C 的坐标、二、直线关于点的对称求直线l :0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ,即设1l :01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P(2,－1)对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程、三,点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面: 1,直线1PP 必定与l 垂直关系,有11-=⋅l PP k k (k 存在) 2,1PP 的中点必在l 上例3 求点A(2,2)关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习:求点A(1,3)关于直线l:x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种:1,关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 (1)设2l :02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 (2)求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P (3)将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
专题：直线方程中的对称问题2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
点 M 在直线 3x 2 y 6 0 上， 将 (*) 式代入，得 3( y 2) 2( x 2) 6 0 ，
化简得 2 x 3 y 4 0 ，即为 l1 关于 l2 对称的直线方程．故选：C
光的反射问题
入射光线经过点A，被直线L反射，反射光线经过点B，点A关于直
对称问题
学习目标
• 1.明确常见的三类对称问题的实质，掌握其解题方法
• 2.会利用点关于直线对称的思想处理光的反射问题
几类常见的对称问题
点关于点的对称
点关于直线的对称
直线关于直线的对称
自学指导（6min）
1.点1 1 , 1 关于点(, )的对称点为2 2 , 2 ，这三个点的
第二步：在 l1 上任找一点（非交点）Q( x1 ，y1 ) ，求出关于直线对称的点Q( x2 ，y2 )
第三步：利用两点式写出 l3 方程
2、当 l1 与 l 平行时：对称直线与已知直线平行.
两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
题型四
三 直线关于直线的对称问题
点关于点的对称
点关于直线的对称
直线关于直线的对称
光的反射问题
·－ ＝－1，
a 3
a
b
8×2＋6×2＝25，
a＝4，
解得
b＝3，
∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
课堂小结
对称问题
直线方程对称问题知识点总结
直线方程对称问题知识点总结直线方程对称问题是解析几何中的重要概念，其中包括关于直线的对称性质和对称方程的应用。
下面将从对称性质、对称方程的性质和常见应用三个方面对直线方程对称问题进行总结。
一、对称性质1. 直线的对称性质：直线是平面中具有对称性质的图形，即直线上的一点关于直线的对称点仍然在直线上。
对称性质是直线方程对称问题的基础，也是研究直线方程的重要性质之一。
2. 点关于直线的对称点：设点A(x1, y1)关于直线y=kx+b对称的点为A'(x2, y2)，则有两个关系式：(1)点A和A'位于直线上，即y1=kx1+b，y2=kx2+b；(2)点A关于直线的斜率k的条件反射，即k1=k2。
3. 点和直线关于坐标轴的对称性质：若点(x, y)关于x轴对称，则对称点为(x, -y)；若点(x, y)关于y轴对称，则对称点为(-x, y)；若点(x, y)关于原点对称，则对称点为(-x, -y)。
对于直线来说，若直线关于x轴对称，则对称直线的方程为y=-kx-b；若直线关于y轴对称，则对称直线的方程为y=kx-b。
二、对称方程的性质1. 直线关于x轴对称的对称方程：当一条直线关于x轴对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的y坐标取相反数得到，即对称方程为y=-kx-b。
2. 直线关于y轴对称的对称方程：当一条直线关于y轴对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的x坐标取相反数得到，即对称方程为y=kx-b。
3. 直线关于原点对称的对称方程：当一条直线关于原点对称时，这条直线的方程可以通过将直线上的点(x, y)的x和y坐标都取相反数得到，即对称方程为y=-kx+b。
三、常见应用1. 求直线关于x轴、y轴、原点的对称直线方程：根据对称方程的性质，可以通过将直线方程中的坐标轴或原点的坐标取相反数来求得求对称直线方程。
2. 求直线关于给定直线的对称直线方程：给定一条直线l:y=kx+b，要求直线l关于直线y=k1x+b1的对称直线方程，可根据点关于直线的对称点的特性进行求解。
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2y3 (4x) 4
O
x P(2,–1)
化 简 得 3xy100
y=3x–4
所 求 直 线 方 程 是 3 x y 1 0 0 .
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直线关于点对称
主要方法： 法一：转化成求点关于点的对称
法二：利用点到直线的距离 l 1 // l 2且P到两直
线
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二.轴对称(即关于直线的对称)
线段AB⊥l 即; n 1 2 =-1
①
m (7)
由题知：A，B两点关于直线l对称，则A,B两点到 直线l的距离是相等的，则：
联立①② 解得m=9 ∴B(9,-7)
n= -7
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点关于直线的对称
A (a,b) l :A xB yc 0 A '
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（二）直线关于直线的对称
C1 M＇(x1,y1)
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点关于点的对称
A(x,y) O (m ,n) A' (2mx,2ny) 注： (x,y)( 0 ,0)(x,y)
解题要点：中点公式的运用
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（二）直线关于点的对称
求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
y
O
x P(2,–1)
y=3x–4
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求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方
对称问题
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点关于于点的对称
中心对称问题
对 称 问 题
轴对称问题
线关于点的对称 点关于线的对称
线关于线的对称
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一.中心对称(关于点的对称)
（一）点关于点对称
1.点A（2，3）关于坐标原点的对称点的坐标 _(_-_2_,_-_3_)__。 2.求点A（2，3）关于点B（-1，1）的对称 点的坐(-4__,_-_1__)_____。 3.求点A（2，3）关于任意一点B(a,b)的对称 点的坐标（___2__a_-__2_,_2__b__-_3_。)
程.
y
O
x P(2,–1)
y=3x–4
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求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
法三：分析一: 将直线的对称转化为直线上的点的对称.
设 M ( x , y ) 对 称 直 线 上 任 一 点 ， 则 其 关 于 P 的 对 称 点
N (4x, 2y)在y 直 3x 线 4 上y
1 2
（x+7）
即x+2y+5=0
由
x2y 50 2x y 5 0
解得 x1 y3
即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1）
由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.
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例.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
（法二）：设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:
线段AB⊥l 即; n 1 2 =-1
(一)点关于直线的对称:
求点A（3，2（-3，2）
（2,3） （3,2）
.
0. （3,-2）
（-2,-3） 精品课件
例. 求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐 标.
（法一）：∵直线AB⊥l, 直线AB过点（-7，1）
∴直线AB的方程为y-1=-
①
m (7)
线段AB被直线l平分,即线段AB的中点 m7, n1
2 2
在直线l上,故有 2 m 7 - n 1 -5=0
②
2
2
联立①② 解得m=9 n= -7
∴B(9,-7)
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例.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐 标
(法三) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:
l1 l2 l1'
l
M(x,y) C2
例. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-
y+3=0
解题要对点称：的由直线线关l 的于方线程对。称转化为点关于点对称
思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
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几种特殊的对称（当堂口答）：
点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
关于原点:__(_-_x_,-_y_)___; 关于x轴:___(x__,-_____;
关于y轴: __(_-_x_,_y_)___; 关于直线y=y)x:_(_y_,_x_)_; 关于直线y=-x:(_-_y_,-_x_)_; 关于直线x=a(:2_a_-_x_,_y_)_.
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