直线中的对称问题方法总结及典型例题
对称问题经典例题
对称问题经典例题一、要点梳理1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。
3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等二、基础练习1、已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为 ( )A.(x ＋1)2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1C.x 2＋(y ＋1)2＝1D.x 2＋(y －1)2＝12、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线 ( )A.关于x 轴对称但不关于y 轴对称B.关于y 轴对称但不关于x 轴对称C.关于原点对称D.以上都不对3、函数y ＝－e x 的图象 ( )A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C.与的图象关于y 轴对称 D.与的图象关于坐标原点对称xy e -=xy e -=4、曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为___________.5、光线从点A （-3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B （-2，6），求射入y 轴后的反射线的方程。
变式：已知直线l 1: x+my+5=0和直线l 2:x+ny+P=0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是()A 、B 、p=-5C 、m=-n 且p= -5D 、且p=-5np m =5nm 11-=6. 直线交x 、y 轴于A 、B 两点，试在直线上求一点P ，使最小，则P 点0632=-+y x x y -=B P A P 11+的坐标是_______思考、已知函数的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线与曲线C 交于不同于P 321()3f x x x x =++l 的两点，且恒有为定值，则的值为（）1122(,),(,)M x y N x y 12y y +0y 0y A. B. C. D. 13-23-43-2-7、已知点M （3，5），在直线：和y 轴上各找一点P 和Q ，使的周长最小。
高中数学直线的对称问题终结版知识讲解题型专练总结
直线中的对称问题知识讲解题型一、点关于点成中心对称对称中心是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题． 设),(00y x P ，对称中心为),(b a A ，则P 关于A 的对称点为)2,2('00y b x a P --．题型二、点与点关于直线成轴对称问题对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”（位置关系）“平分”（数量关系）这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点),(00y x P 关于直线b kx y +=的对称点为)','('y x P ，则有0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，可求出'x 、'y ． 特殊地，点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2('00y x a P -；点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -．题型三、曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题一般是转化为点的中心对称或轴对称结论如下：（1）曲线0),(=y x f 关于已知点),(b a A 的对称曲线的方程是0)2,2(=--y b x a f ．（2）曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线的求法：设曲线0),(=y x f 上任意一点为),(00y x P ，P 点关于直线b kx y +=的对称点为),('y x P ，则由（2）知，P与'P 的坐标满足0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，从中解出0x 、0y ，代入已知曲线0),(=y x f ，应有0),(=y x f 利用坐标代换法就可求出曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线方程．题型四、两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点),(y x 关于x 轴的对称点为),(y x -．（2）点),(y x 关于y 轴的对称点为),(y x -．（3）点),(y x 关于原点的对称点为),(y x --．（4）点),(y x 关于直线x －y =0的对称点为),(x y ．（5）点),(y x 关于直线x +y =0的对称点为),(x y --．（6）点),(y x 关于直线x －y+c =0的对称点为),(c x c y +-．（7）点),(y x 关于直线x +y+c =0的对称点为),(x c y c ----．例1.求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y --=的对称圆方程．例2.求直线042:=-+y x a 关于直线0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程．例3.自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆2244x y x y +-- 70+=相切，求光线l 所在的直线方程．例4.已知点)5,3(M ，在直线022:=+-y x l 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ △的周长最小．变式练习1.圆4)1()1(22=-+-y x 关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 ．变式练习2.试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程．课后作业1．已知点)3,1(A 、)2,5(B ，在x 轴上找一点P ，使得PB PA +最小，则最小值为_________，P 点的坐标为_________．2．已知点),(b a M 与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0=+y x 对称，则点Q 的坐标为（ ）A ．),(b aB ．),(a bC ．),(b a --D ．),(a b --3．已知直线05:1=++my x l 和直线0:2=++p ny x l ，则1l 、2l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．n p m =5B ．5-=pC ．n m -=且5-=pD ．nm 11-=且5-=p 4．点)5,4(A 关于直线l 的对称点为)7,2(-B ，则l 的方程为____________．5．设直线054=-+y x 的倾斜角为θ，则它关于直线03=-y 对称的直线的倾斜角是___________．6．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x 7．与直线012=-+y x 关于点)11(-，对称的直线方程为（ ） A ．052=--y xB ．032=-+y xC ．032=++y xD ．012=--y x 8.一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为_______-9．两直线x y 33=和1=x 关于直线l 对称，直线l 的方程是___________．10．直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)1,4(-A 、)4,3(B 的距离之差最大，则P 点的坐标是________．11．直线x y 2=是△ABC 中C ∠的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为)2,4(-A 、)1,3(B ，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．12．已知△ABC 的一个顶点)4,1(--A ，B ∠、C ∠的平分线所在直线的方程分别为01:1=+y l ，01:2=++y x l ，求边BC 所在直线的方程13． 已知两点)3,2(A 、)1,4(B ，直线022:=-+y x l ，在直线l 上求一点P ．（1）使PB PA +最小；（2）使PB PA -最大．。
高中数学例题：直线对称问题
高中数学例题：直线对称问题例3． 已知直线l 1：2x+y ―4=0，求l 1关于直线l ：3x+4y ―1=0对称的直线l 2的方程．【答案】2x+11y+16=0【解析】 解法一：由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得直线l 1与l 的交点为P （3，―2），显然P 也在直线l 2上．在直线l 1上取一点A （2，0），又设点A 关于直线l 的对称点为B（x 0，y 0），则0000042320341022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得48,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故由两点式可求得直线l 2的方程为2x+11y+16=0．解法二：设直线l 2上一动点M （x ，y ）关于直线l 的对称点为'(',')M x y ，则'4'3''341022y y x x x x y y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩． 显然'(',')M x y 在l 1上，故724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，即2x+11y+16=0，这便是所求的直线l 2的方程．【总结升华】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程．一般地，当对称轴的斜率为±1时，求P （x 0，y 0）的对称点Q ，只需由对称轴方程解出x ，再用y 0代替y ，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标．举一反三：【变式1】（1）求点P （x 0，y 0）关于直线x ―y+C=0的对称点坐标；（2）求直线l 1：Ax+By+C=0关于直线l 2：x+y ―3=0的对称直线l 3的方程．【答案】（1）（y 0―C ，x 0+C ）；（2）Bx+Ay ―3A ―3B ―C=0． 例4．在直线l ：3x ―y ―1=0上求一点P ，使得：（1）P 到A （4，1）和B （0，4）的距离之差最大；（2）P 到A （4，1）和C （3，4）的距离之和最小．【答案】（1）（2，5）（2）1126,77⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 设B 关于l 的对称点为B ＇，AB ＇与l 的交点P 满足（1）；设C 关于l 的对称点为C ＇，AC ＇与l 的交点P 满足（2）．事实上，对（1），若P ＇是l 上异于P 的点，则|'||'||'||''||'|P A P B P A P B AB -=-<||PA = |'|||||PB PA PB -=-；对于（2），若P ＇是l 上异于P 的点，则|'||'||'||'||'|P A P C P A P C AC +=+>||PA = ||PC +．（1）如图1所示，设点B 关于l 的对称点B ＇的坐标为（a ，b ）， '1BB l k k ⋅=-，即431b a-⋅=-， ∴a+3b －12=0． ①又由于BB ＇的中点坐标为4,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在直线l 上，∴431022ab +⋅--=，即3a ―b ―6=0． ② 解①②得a=3，b=3，∴B ＇（3，3）．于是直线AB ＇的方程为143134y x --=--，即2x+y －9=0． 解由l 的直线方程与AB ＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即l 与AB ＇的交点坐标为（2，5），所以P （2，5）．（2）如图2所示，设C 关于l 的对称点为C ＇，求出C ＇的坐标为324,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴AC ＇所在直线的方程为19x+17y ―93=0．AC ＇和l 交点坐标为1126,77P ⎛⎫⎪⎝⎭． 故P 点坐标为1126,77⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【总结升华】 由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线l 上求一点，使这点到两定点A 、B 的距离之差最大的问题，若这两点A 、B 位于直线l 的同侧，则只需求出直线AB 的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A 、B 两点位于直线l 的异侧，则先求A 、B 两点中某一点（如A ）关于直线l 的对称点A ＇，再求直线A ＇B 的方程，再求它们与直线l 的交点即可．对于在直线l 上求一点P ，使P 到平面上两点A 、B 的距离之和最小的问题可用类似方法求解．举一反三：【变式1】已知点M （3，5），在直线l ：x ―2y+2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 周长最小．【答案】59,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭、70,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】由点(3,5)M 及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点1(5,1)M ．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点2(3,5)M -．据1M 及2M 两点可得到直线1M 2M 的方程为270x y +-=，解方程组270220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得交点59,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0x =，得到1M 2M 与y 轴的交点7(0,)2Q ．。
八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题
第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3.4.1直线中的对称问题
对称问题的应用
例1：一束光线从点P（1，-3）出发，经过直线l:8x+6y-25=0 反射后通过点Q（-4，3）. (1) 求反射光线所在直线的方程；
(2) 求反射点M的坐标；
(3) 求光线经过的路程。
对称问题的应用
例2：△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分线 的方程分别为x-2y=0和x+y-1=0，求BC所在直线的方程。
直线中的对称问题
对称问题
（1）中心对称
①点的中心对称
若 点 M （ x 1， y 1） 关 于 P （ a ， b ） 的 对 称 点 为 N （ x， y） ， x 2 a x1 则由中点坐标公式可得 y 2 b y1
对称问题
（1）中心对称
②直线的中心对称
例、求直线3x+4y+3=0关于点A（-2，3）的对称直线.
对称问题
（2）轴对称
②直线的轴对称
例、求直线3x+4y+3=0关于直线2x-y+1=0的对称直线.
例、求直线3x+4y+3=0关于直线3x+4y-1=0的对称直线
主要方法：
1、若给出的两条直线平行，则所求直线也与它们平行， 此时在已知直线上取一点，根据点的轴对称，求出 对称点就可确定所求直线； 2、若给出的两条直线相交，先求出它们的交点，再在 已知直线上取一点，根据点的轴对称的方法求出对 称点，就可由两点确定所求的对称直线。
对称在求最值中的应用 (理科 ）
例3：已知点M（3，5），在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一 点P和Q，使△MPQ的周长最小，并求最小值。
主要方法：
1、在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方 法求出对称点，再由两对称点确定对称直线； 2、在已知直线上取一点，根据点的中心对称的方 法求出一个对称点，再利用对称直线与原直线 平行求出对称直线。
对称问题直线中的几类对称问题高考数学专题讲座讲义
偶函数图像关于y轴对称
周期函数图像关于其周期对称
函数图像的平移、旋转和伸缩 变换
感谢观看
汇报人：XX
函数图像：考察 对称性在判断函 数图像中的应用
几何图形：考察 对称性在判断几 何图形中的应用
概率统计：考察 对称性在概率统 计问题中的应用
04
对称问题的解题思路和技巧
解题思路
识别对称：确定问题中的对称性， 明确对称轴或对称中心。
利用性质：利用对称性质，如对 称点的距离相等或对称轴上的点 具有相同的坐标。
性质：对称直线的斜率互为相反数，且与对称轴的交点坐标相同。
应用：在几何、代数、解析几何等领域中都有广泛应用，是解决对称问题的重要方法之一。
举例：在解析几何中，直线关于线对称的应用可以解决一些与直线相关的对称问题，例如求两 条直线的中点坐标、求两条直线的交点等。
直线关于面对称
定义：直线关于某平面对称，是指该直线上的任意一点关于该平面对 称的点仍在直线上。
对称性在数学中 的重要性：对称 性是数学中一个 重要的概念，它 不仅在代数中有 广泛的应用，还 在几何、分析等 领域中有重要的 应用。
对称性问题在数 学中的发展：随 着对称性在数学 中的不断发展， 对称性问题已经 成为数学研究的 一个重要方向， 对于推动数学的 发展具有重要意 义。
函数图像中的对称问题
对称问题涉及到对称性、对 称变换、对称群等概念。
对称问题可以通过对称操作、 对称元素、对称轴等来描述
和分类。
对称问题的常见类型
点对称：点关于点对称，如几何图形中的中心对称 线对称：线关于线对称，如平行线、垂直线等 面对称：面关于面对称，如平面几何中的轴对称 旋转对称：图形绕某点旋转一定角度后与自身重合，如正多边形和圆
直线中的四类对称问题及讲解
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21•x y •k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决；解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.直线l 的方程为7x+y+22=0.方法提示：本题可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.。
第7讲线段与角的轴对称性
142
∴∠C＝∠A＝20°，∠BDC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠A＝70°． 故选：D．
学习，为了追寻更好的自己！
例 3、如图，在△ABC 中，DE 和 DF 分别是边 AB 和 AC 的垂直平分线，且 D 点在 BC 边上，
连接 AD，则∠BAC＝
°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C
学习，为了追寻更好的自己！
第七讲 线段与角的轴对称性
一、知识梳理
要点一、线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理）：到线段两个端距离相等的点
在 线段的垂直平分线上． 要点诠释： 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
பைடு நூலகம்
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理
等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式 1】如图在△ABC 中 MP，NQ 分别垂直平分 AB、AC，若 BC 的长度为 9，则△APQ
的周长是
．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出 AP＝BP，AQ＝CQ，求出△APQ 的周长＝BC， 再代入求出即可．
145
学习，为了追寻更好的自己！
【详解】
解：作 OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 OC，
∵点 O 为∠ABC 与∠CAB 的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
1.6直线中的对称问题(距离之和,距离之差最大最小问题))
在已知直线上取一点（特殊点）求出此点关于直线对 称点，代入所设直线方程.
练习：一条光线经过P(2,3)射在直线 l : x y 1 0 上，反射后经过点Q(1,1),
求：（1）入射光线所在直线的方程
y
（2）这条光线从P到Q所经路线的长度
l : x y 1 0
2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为
____ _x_1 _2_x_2_, _y1__2_y2
3、点 ( x o，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的
条件是 ____A_x_o_+__B_y_o_+__C__=_0_
知识探究
(二)四类对称
中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
l2
0
a 2 4 2
b
2
, 1
解得
a b
4 2
B(4,2)
C· ·B′
由已知l1//l2, 设l2：3x-y+m=0,带入B′ 得m=-10， 所，以l2：3x-y-10=0.
O·
x
B· P·C′
解题要点： 法一： l1//l2 点斜式 或对称两点式
探究3.直线关于点对称
例3.求直线l1 : 3x y 4 0关于点P(2,1)对称的直线 l2的方程. 解 ：设A(x，y)为l2上任意一点，则A关于P的对称点A′(4-x,-2-y)在l1上
x
y x 2
4
4 4
y
1
4 2
2
高考数学复习---《中点弦与对称问题》典型例题讲解
高考数学复习---《中点弦与对称问题》典型例题讲解【规律方法】对于中点弦问题常用点差法解决． 【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左右顶点，点C 在E 上，且ABC面积的最大值为(1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝﹣4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN ．【解析】（1）由椭圆的性质知当点C 位于短轴顶点时ABC 面积最大．∴22212ab c e a a b c⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆的方程为22143x y +=； （2）如图所示，设()11M x y ，，()22N x y ，，()4D n -，，线段MN 的中点()00P x y ，； 则0122x x x +＝，0122y y y +＝，由（1）可得()10F -，，则直线DF 的斜率为3DF n k =−； 当0n =时，直线MN 的斜率不存在，由椭圆性质易知OD 平分线段MN ， 当0n ≠时，直线MN 的斜率12123MN y y k n x x −==−； ∵点M ，N 在椭圆E 上，∴22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得：()()()()12121212043x x x x y y y y +−+−+=， 又0122x x x +＝，0122y y y +＝，∴004y n x =−，直线OP 的斜率为4OP n k =−， ∵直线OD 的斜率为4OD n k =−，∴所以,,O P D 三点共线，即直线OD 平分线段MN ．例2、（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知O为坐标原点，点⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上，直线l ：=+y x m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为12−．(1)求C 的方程；(2)若=1m ，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则121212121212121212,,1,2222AB OM y y x x y y y y y y M k k x x x x x x +++−+⎛⎫=====− ⎪+−+⎝⎭ ∵()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上，则221122222222+=1+=1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 两式相减得22221212220x x y y a b −+=−，整理得222121212222121212y y y y y y b x x x x x x a +−−−=⨯=−+− ∴22AB OMb k k a ⋅=−，即2212b a−=−，则222a b =又∵点⎛ ⎝⎭在椭圆C ：22221x y a b +=上，则221312a b +=联立解得224,2a b ==∴椭圆C 的方程为22142x y += （2）不存在，理由如下：假定存在P ，Q 两点关于l ：=+1y x 对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，则N 为线段PQ 的中点，连接ON∵PQ l ⊥，则1AB PQ k k ⋅=−，即1PQ k =−由（1）可得12ON PQ k k ⋅=−，则12ON k =，即直线1:2ON y x =联立方程1=2=+1y xy x ⎧⎪⎨⎪⎩，解得=2=1x y −−⎧⎨⎩即()2,1N −−∵()()222131422−−+=>，则()2,1N −−在椭圆C 外 ∴假定不成立，不存在P ，Q 两点关于l 对称例3、（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，记准线l 与x 轴的交点为A ，过A 作直线交抛物线C 于()11,M x y ，()22,N x y （21x x >）两点.(1)若122x x p +=，求MF NF +的值；(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；(3)若P ，Q 是准线l 上关于x 轴对称的两点，问直线PM 与QN 的交点是否在一条定直线上？请说明理由.【解析】（1）因为准线为:2pl x =−，所以12322p p MF NF x x p+=+++=．（2）设直线MN 的方程2px my =−，联立()220y px p =>可得，2220y mpy p −+=，所以22440m p ∆=−>，122y y mp +=，212y y p =，而M 是线段AN 的中点，所以212y y =，解得：12y y ==2mp =，解得：m =，所以直线MN的方程为2p x y −，即420x p −+=．（3）直线MN 的方程2p x my =−，设0,2p P y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，0,2p Q y ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，00y ≠，则10100011:222y y y y p p PM y x y x y p my x −−⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，20200022:222y y y y p p QN y x y x y p my x ++⎛⎫⎛⎫=+−=+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，联立可得：121122p x m y y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由122y y mp +=，212y y p =，代入解得：21212222222my y p m p p p x y y mp ⨯=−=−=+，所以直线PM 与QN 的交点在定直线2px =上．。
2020年中考专题复习 方法突破精讲练—对称问题求最值
【解析】如解图，作点A关于直线x＝3的对称点A′， 连接A′B交直线x＝3于点C，连接AC， ∵点A与点A′关于直线x＝3对称， ∴AC＝A′C，∴AC＋BC＝A′C＋BC. 当点B、C、A′在同一条直线上时，AC＋BC有最小值， 即△ABC的周长有最小值．∵点A与点A′关于直线x＝3对称， ∴点A′的坐标为(6，3)，设直线BA′的解析式为y＝kx＋b，
方法突破精讲练—对称问题求最值 模型 二 角与定点
类型1 一定点与两条直线上两动点问题
问题：点P在∠AOB的内部，在OB上找一点D，在OA上找一点C，使得 △PCD周长最小． 解决：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小．根据两点之间线段 最短，将三条线段转化到同一直线上即可．分别作点P关于OA、OB的对称 点P′、P″，连接P′P″，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求， △PCD周长最小值即为线段P′P″的长．
第七单元 图形的变化
方法突破精讲练—对称问题 求最值
模型 一 定直线与两定点 类型1 异侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 解决：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长，连接AB 交直线l于点P，点P即为所求．
方法突破精讲练—对称问题求最值 类型2 同侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最 小． 解决：将两定点同侧转化为异侧问题，同类型1即可解决．作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，点P即为所求；也可作点A关于直线l 的对称点A′，连接BA′.
方法突破精讲练—对称问题求最值 类型3 同侧差最小值问题
则此时AD＋DC＋BC的值最小，
必修2 第3章《直线与方程》对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
解：依题意知l2 / /l / /l1, 故可设 l2 : 2x y c 0
l到l1的距离 l到l2的距离, | 4 0 | | c 0 | ,
22 (1)2 22 (1)l 2
a=4或-4. (a 4舍去)
故，直线l2的方程为2x y 4 0.
© 2004
变式、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(4)直线 l1 ： x — y =4 关于 l 对称的直线l2 的方程。
© 2004
则 a =__6___，此直线间的距离为_1_0___。
3、点 A(2，5)关于点 B(1，1)的对称点 C 的坐标为
(_0_,___3)。
关于x轴的对称点为 (2, 5) ; 关于y轴的对称点为 (2,5) ;
关于原点的对称(点2为, 5)
© 2004
二 对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
P7 (2a x，y)，P8 x, 2b y．
注意：当k 1, 0时，不具有上述规律．
© 2004
【预习自测】
1、当 a =___0__时，直线 2 x + ay =2 和 ax +2 y =1 垂直。
2、若直线 3 x +4 y —12=0 和 ax +8 y —1311=0 平行，
3. 直线关于点的对称直线问题可转化为点关于点的对称 点问题。(轨迹转移法）
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线地对称问题解析汇报
实用文档直线系对称问题（一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ； 关于y x =-的对称点的坐标为 .2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭ 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：① 到角相等；② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)；④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）典例分析（一）例1：已知3a+2b=1, 求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标. 思路一：由3a+2b=1得:b= 12(1-3a) 代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x – 3 2 y-1)+a(x - 3 2 y)=0 由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)∴直线过定点(1, 23).思路二：赋值法令a=0得b= 12 得L 1: 2x - 32 y-1=0令b=0得a= 13 得L 2: x – 32 y=0由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)把交点坐标代入原直线方程左边得: 左边= 13(3a+2b-1)∵3a+2b-1=0 ∴左边=0 这说明只要3a+2b-1=0 原直线过定点(1, 23).例2:求证:无论λ为何值,直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离d 都小于4 2 . 证明：将直线方程按参数λ整理得 (2x-y-6)+λ(x-y-4)=0 故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M 易解得M(2,-2) 求得|PM|=4 2 所以d ≤4 2而过点M 垂直PM 的直线方程为x-y-4=0, 又无论λ为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0∴d<4 2【注】此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.例题：例3、已知直线：l kx y k k R -++=∈120() （1）证明直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程；（3）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围。
(最强)直线方程易错题、直线系-对称问题
直线方程易错题一 定点问题1.若k ∈R 时，直线y-2=k(x-1)总通过一个定点，这个定点是（ ）A （1，-2）B （-1,2）C （-2,1）D （1,2） 2.方程y=k （x-2），x ∈R 表示（ ）A 通过点（-2,0）的一切直线B 通过点（2,0）的一切直线C 通过点（2,0）且不垂直x 轴的一切直线D 通过点（2,0）且除去x 轴的一切直线 3.已知直线l 的方程为：（2m-3）x+y-m+6=0，则对于任意的m ∈R ，直线l 恒过定点_____ 二 截距问题1.直线mx+ny=1(mn ≠0)与两坐标轴围成的面积是（ ）A12mn B 1||2mn C12mnD 12||mn 2.过点P （2,3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是：________3.过点（5,2）且在x 轴上截距是y 轴上截距两倍的直线方程是：__________4.过点（5,2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为（ ）A x-y-3=0B x-y+3=0或2x-5y=0C x-y+3=0D x-y-3=0或2x-5y=05.已知直线L 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线L 的方程。
三 最值问题1.过点P(2,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.求AOB ∆的面积最小时直线l 的方程;2. 若直线l 过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l 有（ ）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3.过点P(2,1) 作直线l 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，求|PA|·|PB|取最小值时直线l 的方程.4.位于第一象限的点A 在直线y=3x 上，直线AB 交x 轴的正半轴于点C ，已知点B （3,2），求△OAC 面积的最小值，并求此时A 点坐标5．已知点M(1,3),N(5,-2),在x 轴上取一点P ，使得||PM|-|PN||最大，则P 点坐标是（ ） A （5,0） B （13,0） C （0,13） D （3.4,0） 变式：若使||PM|+|PN||最小呢？四、对称问题1.点A （4,5）关于直线l 的对称点为B （-2,7），则l 的方程为____________2.点A （1,2）关于直线x-2y-2=0的对称点B 的坐标是_________3.已知M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x+y=0对称，则点Q 的坐标为（ ）A （a ，b ）B （b ，a ）C （-a ，-b ）D （-b ，-a ）4. 直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)4,3()1,4(B A 、-的距离之差最大，则P 点的坐标是___.五、易错题1.已知直线L 的横截距为a ，纵截距为b ，斜率为k ，则下列命题正确的是（ D ） A 直线与坐标轴围成的面积是12ab B 直线的方程是：1x y a b += C 斜率k=ba- D 以上都不对 2.若直线L 过点（1,2）且两截距相等，则直线L 的斜率k 是（ D ）A k=-1或k=2B k=±1或k=2C k=-1D k=1或k=2 3. 下列四个命题中属于真命题的是 （ B ）A 、经过定点的直线都可以用方程00()y y k x x -=-B 、经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C 、不经过原点的直线都可以用1x ya b+=表示； D 、经过点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示4.直线tan +y-1=07x π的倾斜角是（ D ）A -7πB 7πC 75πD 76π5.若111:0L A x B y C ++=与222:0L A x B y C ++=只有一个公共点则（ D ）A 1122AB -A B =0 B 1221A B +A B =0C 1212A AB B ≠ D 1122A B A B ≠6.当θ是第四象限角时，直线sin x θ+和直线x +的位置关系是（ C ）A 平行B 相交但不垂直C 垂直D 与θ角有关 7.若直线L 1：x+ay+6=0与直线L 2：（a-2）x+3y+2a=0互相平行，则a 的值为（ C ） A -1或3 B 1或3 C -1 D 以上都不对8.过（x 1，y 1）和（x 2，y 2）两点的直线方程是（ C ）A112121y y x x y y x x --=-- B 122112y y x x y y x x --=--C 211211()()()()0y y x x x x y y -----=D 211211()()()()0x x x x y y y y -----=9.下列命题：○1若有斜率的两条直线斜率不相等，则这两条直线不平行 ○2若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等 ○3若两条直线都有斜率，且斜率相等，则这两条直线必定平行 其中不正确的命题是____○2__○3____ 10.已知两点A （-1,2），B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k （2）求直线AB 的方程 （3）已知实数m [1]3m ∈--，求直线Ab 的倾斜角α的取值范围11.求过点P （-5，-4）且分别满足下列条件的直线方程（1）倾斜角的正弦值是45； （2）倾斜角是直线l ：314y x =+的倾斜角的一半（3）与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，且||3||5AP BP =直线系方程及其巧妙应用1．命题的给出命题：设点00()P x y ，在直线0Ax By C ++=（其中A B ，不全为零）上，则这条直线的方程可以写成00()()0A x x B y y -+-=．这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线00()()0A x x B y y -+-=表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 2．命题的应用（1）斜率问题的应用在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性．例１ 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． （2）截距问题的应用当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m 倍（0m >）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解．而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性． 例2 求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．解：设所求直线方程为(3)(4)0A x B y -++=（其中A B ，不全为零）． 显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意．故AB ，均不为零． 当0x =时，34A y B =-；当0y =时，43Bx A=-+． 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则3443A BB A -=-+， 令A z B =，则13443z z-=-+，整理，得23740z z -+=， 解得1z =，或43z =， 则0A B =≠，或403A B =≠， 故所求直线方程为10x y ++=，或430x y +=．编者的话：利用过点00()P x y ，的直线系方程00()()0A x x B y y -+-=（其中AB ，不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性．下面我们用这个方法来做两道相关的题目． 练习：1．求过原点且与直线110l y -+=成30°角的直线方程l ．2．在过点(35)P ，的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程． 答案：1．0x =，或0x -= 2． 35340x y +-=．课题：直线系与对称问题教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法 （一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y bax a b-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --，其中0022Ax By CD A B ++=+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+，曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）（二）典例分析：问题1．（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.问题3．根据下列条件，求直线的直线方程()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； ()2经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； ()3经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.问题4．()1已知方程1x kx =+有一正根而没有负根，求实数k 的范围()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围.()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈求证：不论λ取何值，点P 到直线l（三）课后作业：1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55⎛⎫⎪⎝⎭2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是.A 3220x y -+=.B 2370x y ++=.C 32120x y --=.D 2380x y ++=3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是4.(){}.A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，AB 仅有两个元素，则实数a 的范围是5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.7.已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为8.求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点9.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标10.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程11.光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光线所在的直线3l 的方程12.已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最小，并求出最小值.（四）走向高考：13.（02北京）若直线l ：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 .A ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.B ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.（03全国文）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为.A 12y x =- .B 12y x = .C 2y x =- .D 2y x =15.(04安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对 称，则2l 的方程为.A 210x y -+=.B 210x y --=.C 10x y +-=.D 210x y +-=16.（05上海）直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是17.（07上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是.A 21)2()3(22=-++y x .B 21)2()3(22=++-y x.C 2)2()3(22=-++y x .D 2)2()3(22=++-y x直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21••x y ••k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3， 故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程. 分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由⎩⎨⎧=+-=--03302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ，设所求直线l 的斜率为k ， 由到角公式得，kk 31313113+-=⨯+-，所以k=-7.由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.（数学2必修）第三章 直线与方程训练题一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠mB ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题3、若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
高中数学直线中对称问题归类解析
直线中对称问题归类解析直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-123122o o y x 解得⎩⎨⎧-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
2、直线关于点的对称例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。
解法1：（用点到直线距离公式）分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。
解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得13161341622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。
则直线2l 的方程为0103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
解法2:（利用中点坐标法）分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1)把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0103=--y x 解法3：（利用图像平移法）分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线解：取直线043:1=--y x l 与对称点P(2，-1)相同的横坐标的点A 为（2,2），则AP 之间的距离为3，可知直线需要向下平移6个单位，带入043=--y x 可得直线为0103=--y x 注：如果是纵坐标呢？3、点关于直线的对称例3求点A （2，2）关于直线0942=+-y x 的对称点坐标。
解析几何中的对称问题方法总结
解析几何中对称问题的常见求解方法一、关于点对称。
1、点关于点对称。
①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。
2、直线关于点对称。
① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。
设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C-+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。
它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。
2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。
解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。
再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。
解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++=且='C 从而可求的及对称直线方程。
3、曲线关于点对称，曲线1:(,)0C f x y =关于00(,)M x y 的对称曲线的求法：设(,)P x y 是所求曲线的任一点，则P点关于00(,)M x y 的对称点为00(2,2)x x y y --在曲线(,)0f x y =上。
故对称曲线方程为00(2,2)0f x x y y --=。
二、关于直线对称1、点关于直线对称。
⑴ 点(,)P a b 关于x 轴、y 轴，直线x y =，x y =-的对称点坐标可利用图像分别求设为(,),(,),(,),(,)a b a b b a b a ----。
专题 对称问题(解析版)
专题 对称问题【典型例题】题型一：点关于点对称问题【例1】（点关于点对称）（全国高二单元测试）若点()1,1+-a a A ，()a a B ,关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________. 【答案】10x y -+=【解析】求得111AB a a k a a+-==---， ∵点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，∵直线l 的斜率1，直线l 过AB 的中点2121,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵直线l 的方程为212122a a y x +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.【题型专练】1.（全国高二课时练习）一条光线从点()1,1A -出发射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后经过点()2,5B ，则点P 的坐标为______.【答案】10x y -+=【解析】根据题意：()1,1A -关于x 轴的对称点为()1,1--而反射光线直线又过()2,5B ∵其直线为：()512521y x +=-++即：21y x =+， 当0y =时，12x =-，即点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 题型二：点关于直线对称问题【例1】（点关于线对称）（全国高二课时练习）点(1,1)-关于直线10x y --=的对称点是______.【答案】()2,2-【解析】设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ）则MN 中点的坐标为（12x -，12y +），利用对称的性质得：K MN =11y x -+=﹣1，且 12x -﹣12y +﹣1=0， 解得：x=2，y=﹣2，∵点N 的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．【例2】（2022·全国·高二专题练习）入射光线沿直线230x y +=－射向直线l y x =：，被l 反射后的光线所在直线的方程是_____． 【答案】230x y --=【分析】在入射光线上取点()12，，它关于直线y x =的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线l 的交点坐标，由两点求斜率后得直线方程．【详解】在入射光线上取点()12，，则关于y x =的对称点()21，在反射光线上， 又由230x y y x -+=⎧⎨=⎩得33x y =⎧⎨=⎩， 31232k -==-， 所以反射光线所在直线方程为32(3)y x -=-，即230x y =－－．故答案为：230x y --=．【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知ABC 的顶点()1，2A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为210x y +-=，∵ABC 的平分线BH 所在直线方程为y x =，则直线BC 的方程为_____． 【答案】2310x y --=【分析】由题意可知，点B 在角平分线y x =上，可设点B 的坐标是()m m ，，利用AB 的中点在直线CM 上，可解出点B 的坐标，再求出A 关于y x =的对称点为'A ，且'A 在直线BC 上，利用两点式方程可得答案．【详解】由题意可知，点B 在角平分线y x =上，可设点B 的坐标是()m m ，，则AB 的中点1(2m +，2)2m +在直线CM 上，1221022m m ++∴+-=， 解得：1m =－，故点()1,1B --． 设A 关于y x =的对称点为()00'A x y ，，则有 00002112122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⎪⎩，0021x y =⎧⎨=⎩， 即()'21A ， 则由'A 在直线BC 上，可得BC 的方程为111121y x ++=++， 即()()3121y x +=+，即2310x y --=，故答案为：2310x y --=．【题型专练】1.（2022·全国·高二单元测试）点()3,4关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为______． 【答案】()5,4--【分析】设点(3,4)关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标是(),m n ，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点()3,4关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(),m n ，则413341022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，解得54m n =-⎧⎨=-⎩， 所以点（3，4）关于直线x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为()5,4--．故答案为：()5,4--2.（2022·全国·高二专题练习）原点关于210x y -+=的对称点的坐标为_____． 【答案】2455⎛⎫ ⎪⎝⎭－， 【分析】设所求对称点的坐标为()x y ，，由两对称点连线与对称轴垂直，两对称点连线段中点在对称轴上列方程组，解之可得．【详解】设原点关于210x y +=－的对称点的坐标为()x y ，，则11221022y x x y ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得2545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴要求的点(2455－，)． 故答案为：24(,)55-． 3．（全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．【答案】(－4，－1)【解析】设对称点的坐标为00(,)x y ，则00005(1)1225122y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩， 所以所求对称点的坐标为(4,1)--．4.（2022·全国·高二课时练习）已知直线:280l x y -+=和点(2,0)A ，(2,4)B --．(1)在直线l 上求一点P ，使||||PA PB +的值最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||||||PB PA -的值最大． 【答案】(1)(2,3)-，(2)(12,10)．【分析】（1）通过找出点A 关于直线l 的对称点为A '，将||||PA PB +的最小值转化为||||PA PB '+的最小值，利用三角形三边的关系可知||||||PA PB A B ''+≥，即可求点P 的坐标;（2）利用三角形的三边关系可知||||||||PB PA AB -≤，再求出直线AB 的方程，即可求出点P 的坐标. （1）设A 关于直线l 的对称点为(,)A m n '，则0222028022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩， 解得28m n =-⎧⎨=⎩，故(2,8)A '-， 又∵P 为直线l 上的一点，则||||||||||PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当B ，P ，A '三点共线时等号成立，此时||||PA PB +取得最小值||A B '，点P 即是直线A B '与直线l 的交点．由2280x x y =-⎧⎨-+=⎩ ，解得23x y =-⎧⎨=⎩， 故所求的点P 的坐标为(2,3)-．（2）由题意，知A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||||||||PB PA AB -≤，当且仅当A ，B ，P 三点共线时等号成立，此时||||||PB PA -取得最大值||AB ，点P 即是直线AB 与直线l 的交点,又∵直线AB 的方程为2y x =-，∵由2280y x x y =-⎧⎨-+=⎩ ，解得1210x y =⎧⎨=⎩， 故所求的点P 的坐标为(12,10)．5.（浙江高二期末）已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.【答案】()1,1- ()1,3【解析】由():10l mx y m m R ++-=∈，则()()110m x y m R ++-=∈，令10x +=，则1x =-，1y =，所以点P ()1,1-，设Q 的坐标是()00,x y ，则0000111112022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪+-=⎪⎩，解得01x =，03y =，所以点Q 的坐标是()1,3.故答案为：()1,1-；()1,36．（全国高二专题练习）已知直线10kx y k -++=过定点A ，则点A 关于30x y +-=对称点的坐标为（ ）A ．(2,4)B ．(4,2)C ．(2,2)D ．(4,4)【答案】A【解析】直线10kx y k -++=即(1)1y k x =++，故(1,1)A -，设点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(,)P x y ． 则113022111x y y x -++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩． ∴点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(2,4)．故选：A ．题型三：直线关于点对称问题【例1】（浙江）直线21y x =+关于原点对称的直线方程是（ ）A ．21y x =-B ．21y x =--C ．21y x =-+D ．2y x =【答案】A【解析】点(0,1),(1,3)在直线21y x =+上，则(0,1),(1,3)---在所求直线上所求直线的斜率3(1)210k ---==--，则所求直线方程为2(0)121y x x =--=-故选：A 【例2】（·四川省泸县第二中学高二月考（文））直线l 与1l 关于点(11)，－成中心对称，若l 的方程是2360x y +-＝，则1l 的方程是__________【答案】2380x y +=＋【解析】在直线1l 上任取一点(,)A x y ，则A 关于点(1,1)-对称点(2,2)B x y ---一定在直线:2360l x y +-=上，故有2(2)3(2)60x y -+---=，即2380x y ++=．故直线l 的方程为2380x y ++=．故答案为：2380x y ++=．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 经过两条直线2380x y ++=和10x y --=的交点，且________，若直线m 与直线l 关于点(1,0)对称，求直线m 的方程．试从∵与直线3280x y ++=垂直，∵在y 轴上的截距为12，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答． 【答案】答案见解析【分析】先求出两直线的交点坐标，若选∵，可设直线l 的方程为230x y c -+=，然后将交点坐标代入可求出c ，可得直线l 的方程，在直线l 上任取两个点，求出这两点关于点(1,0)的对称点，从而可求出直线m 的方程，若选∵，则直线l 过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而可求出直线l 的方程，在直线l 上任取两个点，求出这两点关于点(1,0)的对称点，从而可求出直线m 的方程，【详解】由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以交点坐标为(1,2)--． 若选∵，可设直线l 的方程为230x y c -+=，将点(1,2)--代入可得4c =-，即:2340l x y --=．在直线l 上取两点(1,2)--和(2,0)，点(1,2)--关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2)，点(2,0)关于点(1,0)对称的点的坐标为(0,0)，所以直线m 的方程为230x y -=．若选∵，可得直线l 的斜率1(2)520(1)2k --==--，所以直线l 的方程为5122y x =+． 在直线l 上取两点(1,3)和(1,2)--，点(1,3)关于点(1,0)对称的点的坐标为(1,3)-，点(1,2)--关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2)，所以直线m 的方程为232(3)31y x +-=⋅--，即52110x y --=． 【题型专练】1．（2019·全国·高三专题练习（理））若直线1:2l y kx k =-+与直线2l 关于点(2,1)对称，则直线2l 恒过定点 A ．(3,1)B ．(3,0)C ．(0,1)D ．(2,1) 【答案】B【分析】由题意，设直线2l 上的任意一点(,)A x y ，则点A 关于点(2,1)的对称点为(4,2)B x y --， 又由点B 在直线1:2l y kx k =-+上，代入求得直线2l 的方程，即可求解答案.【详解】由题意，设直线2l 上的任意一点(,)A x y ，则点A 关于点(2,1)的对称点为(4,2)B x y --， 又由点B 在直线1:2l y kx k =-+上，即2(4)2y k x k -=--+，整理得(3)y k x =-，令30x -=，即3x =时，0y =，可得直线2l 过定点(3,0)，故选B.【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，以及直线关于点的对称问题，其中解答中根据对称性求得直线2l 的方程，进而判定直线过定点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．（2022·全国·高二课时练习）直线:10l x y -+=关于点3(2,)A -的对称直线的方程为________． 【答案】110x y --=【分析】方法一：设对称直线上一点(,)x y ，则将点(,)x y 关于A 点的对称点在直线l 上，代入即可. 方法二：显然点A 不在直线l 上，设对称直线方程为0x y C -+=，利用点A 到这两条直线的距离相等解出C 即可.方法三：在l 上任取两点，解出这两点关于A 的对称点，利用两点式即可得到直线方程.【详解】方法一 ：设对称直线上一点(,)x y ，则点(,)x y 关于3(2,)A -的对称点为(4,6)x y ---，所以点(4,6)x y ---在直线l 上，代入得110x y --=．方法二 ：易知直线l 关于点A 的对称直线与直线l 平行，故设为0x y C -+=．由点3(2,)A -到这两条直线的距离相等，得2222|2(3)1||2(3)|1(1)1(1)C --+--+=+-+-，解得1=C （舍去）或－11，即所求直线方程为110x y --=．方法三 ：易知点(1,0)-，(0,1)在直线l 上，且它们关于点A 的对称点分别为(5,6)-，(4,7)-，则所求直线的方程为746754y x +-=-+-，即110x y --=． 故答案为：110x y --=.3.（·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为____________.【答案】210x y --=【解析】设直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为l '，在l '上任取一点(),P x y ，则点P 关于点(1,1)对称的点P '的坐标为()2,2x y --，由题意可知点P '在直线230x y -+=上，故()()22230x y ---+=，整理可得210x y --=.故答案为：210x y --=4.（全国高二课时练习）已知直线1:220l x y ++=与2:40l x by c ++=关于点(1,0)P 对称，则b c +=______.【答案】-10【解析】在直线1:220l x y ++=上取点(1,0)M -，(0,2)N -，M ，N 关于点(1,0)P 对称的点分别为11(3,0),(2,2)M N .点11(3,0),(2,2)M N 在直线2:40l x by c ++=上，120,820c b c ∴+=++=，解得12,2c b =-=， 10∴+=-b c .故答案为：10-题型四：直线关于直线对称问题【例1】（全国高二专题练习）直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（ ）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-= 【答案】A【解析】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则00001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=， 即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=.故选：A.【例2】（2021·全国·高二专题练习）直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是（ ） A ．280x y --=B ．2100x y --=C ．2120x y +-=D ．2100x y +-= 【答案】A【解析】设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，根据对称关系求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩,代入直线210y x -+=的方程整理即得所求. 【详解】解：设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，则111113022y y x x y y x x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩, 由对称性得Q 在直线210y x -+=上，()()23310x y ∴--++=,即280x y --=,故选：A.【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.【例3】（广东湛江）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；（2）直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；（3）直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．【答案】（1）A ′334(,)1313-；（2）9x －46y ＋102＝0；（3）2x －3y －9＝0.【解析】（1）设A ′(x ，y )，则221,13122310,22y x x y +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得33,134,13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A ′334(,)1313-. （2）在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则202310,22021,23a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得6,1330,13a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M ′630(,)1313. 设m 与l 的交点为N ，则由2310,3260,x y x y -+=⎧⎨--=⎩得N (4，3)． 又m ′经过点N (4，3)，∵由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3）法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∵2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.【题型专练】1.（2022·陕西·长安一中高一期末）直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线方程为__________． 【答案】710x y --=【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在1:10l x y +-=任取一点，求得其关于直线2:330l x y --=的对称点，即可求得答案.【详解】联立1:10l x y +-=和直线2:330l x y --=，求得它们的交点为0(1)A ，, 在直线1:10l x y +-=取点(0,1)B ，设其关于2:330l x y --=的对称点为(,)C a b ，则113133022b a a b -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⨯--=⎪⎩ ，解得121(,)55C ， 故直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称的直线为AC ,其斜率为11512715=- ，直线方程为1(1)7y x =-，即710x y --=， 故答案为：710x y --=2.（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）直线10x y +-=关于直线20x -=对称的直线方程为___________.【答案】30x y --=【分析】结合点斜式求得直线方程.【详解】直线10x y +-=的斜率为1-，直线10x y +-=关于直线2x =对称的直线的斜率为1，点()0,1是直线10x y +-=上一点，点()0,1关于直线2x =对称点为()4,1，所以直线10x y +-=关于直线20x -=对称的直线方程为()114,30y x x y -=⨯---=. 故答案为：30x y --=3．（全国高二单元测试）已知点()3,8A -和()2,2B ，在x 轴上求一点M ，使得AM BM +最小，则点M 的坐标为（ ）A ．()1,0-B ．220,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．22,05⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,0 【答案】D【解析】找出点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交于M 点，连接BM ，此时||||AM BM +为最短，由B 与B ′关于x 轴对称，(2,2)B ，所以(2,2)B '-，又(3,8)A -，则直线AB '的方程为822(2)32y x ++=--- 化简得：22y x =-+，令0y =，解得1x =，所以(1,0)M 故选：D ．。
直线中的对称问题
y
l1
解题要点：
l2 l x
平行直线的设法；
平行直线的距离。
o
小结四：
直线关于直线对称的直线解题要点：
1.若两直线相交，先求交点P，再在l1上取一点
Q，求其对称点得另一点Q ’，由这两点求l 方程。
2.若两直线平行，则斜率相等，且平行直线l1 到l 距离等于l 到l2距离。
思路2:利用点到直线的距离公式.
期待你的进步！
THANKS!
类型一：点关于点的对称
• 例1：已知点A(2,2) 、B(-1,1) ，试求A点 关于B点
的对称点C的坐标。 y A B C x O 关于点对称的问题即中 心对称问题，关键在于 抓住两对称点被中心平 分这一性质；
·
·
·
解题要点：中点公式的运用
小结一：
点A(a, b)关于点B(m, n)的对称点C的坐标
直线中的对称问题
海门市四甲中学 高一数学组 赵轩
知识回顾
• 1、点到直线距离公式： d
Ax0 By0 C A B
2 2
注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式；
• 2、两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A B
2 2
注意:运用此公式时直线方程要化成一般式，并
且x、y项的系数要对应相等.
知识回顾
斜率存在，k1k2=-1 • 1、直线互相垂直的条件：__________________ • 2、P1(x1，y1)、P2 (x2，y2)的中点坐标为 x1 x2 y1 y 2 ( , ) _____________ 2 2 • 3、点(xo，yo)在直线 Ax + By + C = 0 上的条 Axo+Byo+C=0 件是 _______________
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直线中的对称问题—4类对称题型
直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：
一、点关于点对称问题
解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.
例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,
（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.
解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,
所以易求（1）()'1,5A
（2）()1,3P .
因此，平面内点关于对称点坐标为
平面内点
，关于点对称
二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.
例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①
又与垂直，且斜率都存在
即有 ②
由①②解得 ，
法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.
三、线关于点对称问题
求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.
例3．求直线：关于点的对称直线的方程.
解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，
点关于对称点
点关于对称点
过的直线方程为
故所求直线方程为.
法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.
四、线关于线的对称问题
求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.
例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.
解：在：上任取一点
直线的斜率为3
过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为
得
所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出
关于的对称点坐标为
又直线与的交点也在所求直线上
由得所以交点坐标为.
过和的直线方程为，故所求直线方程.。