江苏大数学分析--格林公式.曲线积分与路径无关性共44页
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式与路径无关的条件
格林公式与路径无关的条件
格林公式是求解曲线上某一点极线的公式,它描述了一个函数$f(x,y)$ 在两个坐标系 $x$ 和 $y$ 之间的变换关系。
与路径无关的条件指的是在求解格林公式时,需要满足以下条件:
1. 曲线在两个坐标系之间的变换是线性的。
即对于任意两条曲线,它们变换后的位置是线性相关的。
2. 坐标系是平移不变的。
即当曲线在两个坐标系之间移动时,坐标系的平移量是不变的。
3. 极线是经过曲线上某一点的邻域内最短径路的直线。
即当曲线上一点被移动时,它的极线经过该点所连接的邻域内任意一点,且这条直线是曲线上某一点的最短径路。
如果曲线在两个坐标系之间的变换满足以上三个条件,那么可以用格林公式求解曲线上某一点的极线。
需要注意的是,如果曲线在两个坐标系之间的变换不满足以上三个条件,则格林公式将无法正确地求解极线。
高等数学第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关条件
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
y
C y = 2(x) L
B D
A y =1(x)
E
Oa
bx
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直
线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 (如图所示).
于是根据二重积分
的计算法，有
D
P y
d
b a
12((xx))Py dydx
y
C y = 2(x) L
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A y =1(x)
E
Oa
bx
a b{P [x,2(x) ]P [x,1(x)d ]x.}
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
解 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.
能否换一条路径呢？为此计P算 ,Q. 其中 P(x, y) y x
= x2y + 3xex, Q(x,y)1x3ysiny,
3
得
Px2Q.
y
x
显P(然 x,y)Q ,(x,y) ,P,Q在 全D 平 上面 连 . 域 续 y x
mdmπa2mπa2.
D
格林公式、曲线积分与路径无关的条件
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
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三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
3格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件
A
例 4
计算抛物线(x y)
2
ax ( a 0 ) 与 x 轴 所
M
围成的面积.
解
y
ONA 为 直 线 y 0 .
A ( a ,0 )
曲 线 AMO 由 函 数
N
ax x , x [ 0 , a ] 表 示 ,
1 xdy 2 L ydx
A
1
2 ONA
L2 Pdx Qdy
L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
定理 21.12 设开区域 D 是一个单连通闭区域, 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则以下 四个条件等价：
(i )沿D 内任一按段光滑封闭曲线L，有
D
Q x
d
dxdy
c
d
dy
2
( y)
Q x
1 ( y )
dx
c
Q ( 2 ( y ), y ) dy
Q ( x , y ) dy
Q ( x , y ) dy
c
d
Q ( 1 ( y ), y ) dy
y
CBE
CBE
CAE
EAC
Q ( x , y ) dy
)( Pdx Qdy )
1
L Pdx
Qdy
( L 1 , L 2 , L 3 对 D 来说为正方向
沟通了沿闭曲线的积分与
)
格林公式的实质:
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
21-3格林公式曲线与路径的无关性
一 问题的提出 二 区域的连通性及分类 格林(Green) 三 格林(Green)公式 格林(Green) 四 格林(Green)公式的简单应用 五 曲线积分与路径的无关 六 二元函数的全微分求积 七 小结与思考判断题
一 问题的提出
在一元函数的微积分中我们通过 Newton-lebiniz公式可以把定积分和原 Newton-lebiniz公式可以把定积分和原 函数联系起来.在曲线积分中, 函数联系起来.在曲线积分中,我们是否 有相似的联系呢?下面的Green Green公式告诉 有相似的联系呢?下面的Green公式告诉 我们,在曲线积分中,也有相似的联系. 我们,在曲线积分中,也有相似的联系. 即二重积分与曲线积分的联系, 即二重积分与曲线积分的联系,这就是 我们所要讲授的Green公式. Green公式 我们所要讲授的Green公式.
格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系 .
于 忆 式: 便 记 形 式
∫∫ x ydxdy = ∫L Pdx + Qdy. D P Q
四 应用
1) 简化曲线积分
例 1 计算 ∫
AB
y
A
D
xdy ,其中曲 其中曲
o L
B
线 AB 是半径为r 的圆在 第一象限部分. 第一象限部分
N
1 0 a = ∫a x ( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
五 曲线积分与路径的无关
如果在区域G内有 如果在区域 内有
y
L 1
∫L Pdx + Qdy
1
B
格林公式·曲线积分与线路的无关性
du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy.
P( x, y ) Q( x, y ) . y x
(iv) 在D的每一点处, 有
由(iii)有
ux ( x, y) P( x, y), uy ( x, y) Q( x, y)
[ P( x, ( x)) P( x, ( x))]dx
b
a
AEB
P( x, y )dx
ACB
P( x, y )dx
Q( x, y)dy
ACBEA
P( x, y )dx
同理可证:
Q dxdy x D
L
(ii)
若D由一条按段光滑的闭曲线围成
u( x x , y ) u( x , y ) P ( x , y ), x 0 x lim
u( x x, y) u( x, y) ABC P ( x , y )dx Q( x , y )dy AB P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy.
B
S
与线路无关, 只与L的起点终点有关; 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i)
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
Pdx Qdy ) (
ASB
(
ARB
Pdx Qdy ) 0
P( x, y )dx Q( x, y )dy
BC
u( x , y y ) u( x , y ) lim Q( x , y ). y 0 y
格林公式曲线积分与路径的无关性
y
M
解 曲线 ¼ AMO 由函数 y ax x , x [0, a]
O
N A(a,0) x
图 21 17
表示, ONA 为直线 y 0 , 于是
SD
1 2
Ñ x dy
y dx
1
2
x dy y dx 1
ONA
2
¼ AMO x dy y dx
1
2
¼ AMO x dy y dx
»AB P dx Q dy
与路线的选择无关, 故当
B( x, y) 在 D 内变动时, 其
积分值是 B( x, y) 的函数, 即有
u( x, y) P dx Q dy . »AB
取 x 充分小, 使 C( x x , y) D , 则函数
u( x , y)
对于 x 的偏增量(图21-20)
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
其中 0 1. 根据 P( x , y) 在 D 上连续, 于是有
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y). 所以证得 y
(
x
x 1.5 0.5)2
1
dx
4arctan 0.5 2arctan 2.
注1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要 的.如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽 然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点 E . 又如本节例 2,对任 何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上, 皆有
格林公式·曲线积分和路线的无关性
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ch21.3 格林公.曲线积分与路径的无关性
8
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 证明 是一条分段光滑的闭曲线,
∫L
2xy dx + x2 dy = 0
证: 令 P = 2xy, Q = x2 , 则
3) 可用积分法求 u = P d x + Q d y在域 D 内的原函数 可用积分法求d 在域 内的原函数: 取定点 ( x0, y0 ) ∈D及动点 ( x, y ) ∈D, 则原函数为
u ( x, y) = ∫
( x, y )
= ∫ P(x, y0 )dx +∫ Q(x, y)dy
或 u (x, y) =∫ Q(x0 , y)dy + ∫ P(x, y)dx
L
在D 内
与路径无关, 只与起止点有关(全微分式的积分 全微分式的积分). 与路径无关 只与起止点有关 全微分式的积分 (3) 的全微分, 的全微分 在 D 内是某一函数
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
即
13
证明 (1)
(2)
15
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
du = P dx + Qdy ∂u ∂u = P(x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 从而在 内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂y ∂x
16
证明 (4)
L
3
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
格林公式·曲线积分与路线的无关性
解 ONA 为直线 y 0 .
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示, 1 A xdy ydx 2 L 1 1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx AMO xdy ydx 2 2 2 1 0 a a a 1 2 a x ( 1)dx ( ax x )dx 0 xdx 6 a . 2 2 ax 4
xu u lim lim P ( x x , y ) P ( x , y ). x x 0 x x 0
u Q ( x , y ). 所以证得 同理可证 y
du P dx Q dy .
(iii) P dx Q dy 是 D 内某一函数 u( x , y ) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Q dy ;
D D
单连通区域
复连通区域
定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P ( x , y ),
Q( x , y ) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以
下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
P dx Q dy 0;
L
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性
返回
一、格林公式
边界曲线L的正向: 当观察 者沿边界行走时,区域D总 在他的左边. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
§4 格林(Green)公式和曲线积分与路径无关性
。
再利用例 2 的注即可求出结果。】
例 4 在格林公式中，若 P y ， Q x ，则公式变为
ydx xdy 2 D d 2D ，即
D
1 2
ydx
xdy （平面图形的面积公式）。
2
2
试用上述公式再计算星形线
x a
3
y b
3
1（a
0，b
0 ）围成的平面图形
D
的体积
D 。
【
例 1 求 x2 ydx xy2dy ，其中 ： x2 y2 R2 ， 为顺时针。
【记 P x2 y ，Q xy2 ，显然它们在以 为边界的闭圆： x2 y2 R2 上连续可微。注意
到 为顺时针，所以，由格林公式得，
x2 ydx xy2dy x2 ydx xy2dy
我们总可以选择适当垂直于 x 的直线将 D 分解成有限个 x 型区域的并集。 不失一般性，仅就 D 为图（1）的情形证明。
-3-
数学分析/第 20 章 重积分
如图示， D D1 D2 ， D1 和 D2 都是 x 型区域， D1 的边界正向为
D1 A, B B, E E , F F, A ，
数学分析/第 20 章 重积分
§4 格林（Green）公式和曲线积分与路径无关性
作为二重积分计算的应用，本节我们将建立利用二重积分来计算沿平面封闭曲线的第二 型曲线积分的一种有效方法——格林公式。
本节，具体学习两个内容： 1、建立格林公式（特点：反映了沿平面曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系。） 2、格林公式的应用。包括两个方面： 一是计算某些曲线积分和证明某些涉及曲线积分的积分等式； 二是建立曲线积分与路径无关的条件。
y)
，
数学分析之格林公式
y
1
A
∂Q ∂ 2 4 = (x + y ) = 2x ∂x ∂x
∂P ∂Q , 即 = ∂y ∂x
1 2 1 4
o
1
x
23 故原式 = ∫0 x dx + ∫0 (1 + y )dy = . 15
区域连通性的分类
为平面区域, 设D为平面区域 如果 内任一闭曲线所围成 为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域 为平面单连通区域, 的部分都属于 则称 为平面单连通区域 否 则称为复连通区域. 则称为复连通区域
∫ Pdx + Qd y
L
与路径无关, 的起点及终点有关. 与路径无关 只与 L 的起点及终点有关 (iii) 是 D 内是某一函数 即 d u( x, y) = P dx + Q d y 的全微分, 的全微分,
∂ P ∂Q (iv) 在 D 内处处成立 . = ∂ y ∂x
(ii) 证明 (i) 设 L , L2 为D 内任意两条由 到B 的有向分段光滑曲 内任意两条由A 1 线, 则
= ∫ F cos α ds − G cos β ds
L
= ∫ F sin(τ , x )ds − G cos(τ , x )ds
L
= ∫ F cos( n, x )ds + G cos( n, y )ds
L
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy D
=∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy
∫∫ (
D
∂Q ∂ P ) dxd y − ∂x ∂ y
D1
D 1
D2
= ∫∫
+ ∫∫
§3Green公式曲线积分与路径无关性
§ 3 Green 公式 曲线积分与路径无关性一、 格林Green 公式Green 公式揭示了平面上某区域内的二重积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系. Green 公式是N--L 公式在 R 2中的推广.1 闭区域的正面与边界正向的规定平面上的单连通区域、多连通区域 P227—228在区域D 2R ⊂内，如果任意两条有同一起点和同一终点的曲线，其中一条总可以在D 内连续的变动为另一条，则称区域D 是单连通的；否则就是多连通闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P224图21--10. 若以L 记正向边界, 则用-L 或L -表示反向（或称为负向）边界.2 格林Green 公式及其证明定理21.11 设闭区域D 边界D ∂由光滑曲线或逐段光滑曲线组成. 若函数P 和Q 在闭区域D ⊂R 2上连续,且有连续的一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D L Qdy Pdx dxdy y P x Q , （1）其中L 为区域D 的正向边界.证明 P224—226注 将格林Green 公式的证明过程分为几个习题，由同学们解答.然后老师小结.Green 公式又可记为⎰⎰⎰+=∂∂∂∂DL Qdy Pdx dxdy QP y x . 3 格林Green 公式的一个应用由逐段光滑封闭曲线所围区域D 的面积公式|D |⎰-=L ydx xdy 21, L 为D 的正向边界. （2）补例1 计算由星形线 ) 20 ( sin , cos 33π≤≤==t t b y t a x 所界的面积. 补例2 用Green 公式求曲线 a x y y x 333=+ 所围图形的面积.4 应用格林Green 公式简化某些二类曲线积分的计算举例有时用Green 公式，将二类曲线积分转化为二重积分来计算. 对环路积分, 可直接应用Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例1 计算积分⎰ABxdy , 其中A , ) , 0 (r B ) 0 , (r . 曲线AB 为圆周222r y x =+在第一象限中的部分. （P226）解法1 ( 直接计算积分 ) 曲线AB 的方程为 20 , sin , cos π≤≤==t t r y t r x .方向为自然方向的反向. 因此⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=AB r t t r tdt r xdy 222022242sin 2121cos πππ. 解法2 ( 用Green 公式 ) 补上线段BO 和OA ( O 为坐标原点 ), 成闭路. 设所围区域为D , 注意到∂D 为反向, 以及0=⎰BOA, 有⎰ABxdy ⎰⎰⎰⎰∂-=-=-=DBOADr dxdy xdy xdy 24π.例2 计算积分 I =⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域D 的边界. （P226）解 2222),( , ),(yx xy x Q y x y y x P +=+-=. (P 和Q 在D 上有连续的偏导数). ()2222222yx x y y x y x y P +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, 22222)(y x x y x Q +-=∂∂. 于是, I =⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=D Ldxdy y P x Q 0.注 将此例推广为（参见P203） 计算积分 I =⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为任一不通过原点的正向闭曲线.补例3 计算积分⎰++Ldy x y x dx xy )(22, 其中L 是由曲线 222 , x y x y ==,4 , 3==xy xy 所围区域D 的边界, 取正向.解 ,),(2xy y x P = x y x y x Q +=2),(. 1 , 12 , 2=∂∂-∂∂⇒+=∂∂=∂∂yP x Q xy x Q xy y P . ⎰⎰⎰=DLdxdy .作代换xy v x yu ==, 2, 在此代换之下 , 区域D 变为UV 平面上的区域 } 43 , 21|),( {≤≤≤≤='v u v u D .=-=∂∂xy x x yy x v u 2312),(),(u x y 332-=-, u v u y x 31),(),( =∂∂⇒. 于是,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'====DD Lu dv du dudv u dxdy 2143331 ⎰==21212ln 31ln 3131u u du . 补例4 计算积分⎰⎰-Dy dxdy e 2, D : 10 , 1≤≤≤≤x y x . 解 令2),( , 0),(y xe y x Q y x P -==, 有⎰⎰⎰∂+=DDdy y x Q dx y x P ),(),( .域D 为三角形, 三个顶点为O , ) 0 , 0 (A ) 1 , 1 (, B ) 1 , 0 (.⇒⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==+=∂∂BOO ADDDdy y x Q dy y x Q dx y x P ),(),(),()1(21211101022----=-==⎰e e dx xe x x . 注 此例将二重积分化为二类曲线积分转来计算.二、曲线积分与路线无关性第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关. 对同一个起点和同一个终点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的. 在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和终点有关呢？下面我们先在平面中情形来讨论这个问题。
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江苏大数学分析--格林公式.曲线积分 与路径无关性
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿