莫比乌斯反演讲解
修正莫比乌斯反演公式及其在物理学中的应用
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mobius反演公式运用复值函数
Mobius反演公式是复分析中的重要定理，它在复值函数的研究中发挥着至关重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨mobius反演公式在复值函数中的运用，以及其对复分析的重要性。
1. Mobius反演公式的定义和基本概念Mobius反演公式是指对于一个复值函数f(z)，如果我们知道了它的莫比乌斯变换g(z)，那么可以通过反演公式重新得出原函数f(z)。
具体来说，如果有一个函数F(s)和其Laplace变换f(t)，那么在s平面上，F(s)与f(t)是一一对应的。
而mobius反演公式则表明了，在s平面上的某点s0的邻域内，可以通过F(s)的逆变换得出f(t)在t0的邻域内的性质。
2. Mobius反演公式的应用举例在复分析的研究中，mobius反演公式有着广泛的应用。
在数论中，mobius反演公式被用来解决莫比乌斯函数的性质和一些相关问题。
在傅里叶分析中，mobius反演公式也被广泛应用，可以用于解决一些与复值函数相关的积分和级数问题。
在控制理论和信号处理领域，mobius反演公式也有着重要的应用，可以应用于解决一些复值函数的反问题和逆问题。
3. 我对Mobius反演公式的个人观点和理解在我看来，mobius反演公式是复分析中的一个非常重要的定理，它可以帮助我们更深入地理解复值函数的性质和行为。
通过mobius反演公式，我们可以在s平面和t平面之间建立起一种对偶关系，从而可以轻松地将复值函数在不同平面上进行来回的转换和分析。
mobius反演公式也为我们解决复值函数相关问题提供了一种非常便利和高效的方法，有助于我们更加全面和深入地理解复分析领域中的一些重要问题。
mobius反演公式在复值函数的研究中具有重要的地位和作用。
通过对mobius反演公式的深入探讨，我们可以更全面、深刻和灵活地理解复值函数的性质和相关问题。
希望本文对您理解mobius反演公式在复值函数中的运用有所帮助。
4. 深入探讨Mobius反演公式的数学原理和推导Mobius反演公式的数学原理可以通过复函数论和积分变换理论来进行深入探讨和推导。
mobius反演定理
mobius反演定理Mobius反演定理是数学中的一种重要定理，它是由德国数学家August Ferdinand Mobius在19世纪提出的。
该定理是一种关于函数的转化公式，可以将一个函数的某些性质转化为另一个函数的性质。
在组合数学、数论、概率论和复杂度理论等领域中都有广泛应用。
1.基本概念在介绍Mobius反演定理之前，需要先了解一些基本概念。
1.1.积性函数积性函数是指一个满足以下两个条件的函数：对于任意正整数m和n，有f(mn)=f(m)f(n)；对于任意互质的正整数m和n，有f(mn)=f(m)f(n)。
其中，互质指两个正整数没有公共因子。
常见的积性函数包括欧拉函数、莫比乌斯函数等。
1.2.完全积性函数完全积性函数是指一个满足以下两个条件的函数：对于任意正整数m和n，有f(mn)=f(m)f(n)；对于任意正整数m和n，有f(gcd(m,n))=gcd(f(m),f(n))。
其中，gcd表示最大公约数。
常见的完全积性函数包括欧拉-莫比乌斯函数等。
1.3.莫比乌斯函数莫比乌斯函数是一种积性函数，它的定义如下：当n=1时，μ(n)=1；当n>1时，如果n有平方因子，则μ(n)=0；如果n是素数的幂，则μ(n)=(-1)^k，其中k为素数因子的个数；否则，μ(n)=-μ(d)，其中d 是n的所有不同素因子的积。
例如，μ(6)=(-1)^2=1，μ(8)=0，μ(12)=(-1)^3=-1。
2.Mobius反演定理Mobius反演定理是指以下两个公式：对于任意积性函数f(n)，有f(n)=∑d|ng(d)μ(n/d)，其中∑表示对所有满足d|n的正整数d求和。
对于任意完全积性函数f(n)，有f(n)=∏p|ng(p)^v_p(f(1))，其中p表示质数，v_p(f(1))表示f(p^k)/f(p^(k-1))中k=1时的值。
其中g(n)表示一个函数，它与f(n)之间存在以下关系：g(n)=∑d|nf(d)例如，在欧拉函数和莫比乌斯函数中，g(n)分别为恒等函数和I（即当n=1时为1，否则为0）。
莫比乌斯反演
莫比乌斯函数的性质
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 由于莫比乌斯函数是积性函数，因此我们可以通过线性筛来求出莫比乌斯函数的值 代码： mu[1]=1; for(i=2;i<=n;i++) { if(!not_prime[i]) { prime[++tot]=i; mu[i]=-1; } for(j=1;prime[j]*i<=n;j++) { not_prime[prime[j]*i]=1; if(i%prime[j]==0) { mu[prime[j]*i]=0; break; } mu[prime[j]*i]=-mu[i]; } }
BZOJ 2301 Problem b
• n次询问，每次询问有多少个数对(x,y)满足 a<=x<=b,c<=y<=d且gcd(x,y)=k • N<=5W,1<=a<=b<=5W,1<=c<=d<=5W • 首先利用容斥原理将一个询问拆分成四个，每次询问有多 少个数对(x,y)满足1<=x<=n,1<=y<=m且gcd(x,y)=k • 这个问题等价于询问有多少个数对(x,y)满足 1<=x<=floor(n/k),1<=y<=floor(m/k)且x与y互质 • 利用NOI2010能量采集中的方法，我们可以得到一个 O(nlogn)的算法，但是这显然不能胜任此题的数据范围 • 这时候我们就可以考虑莫比乌斯反演了
• 直接做显然TLE 考虑优化 • 令pd T，那么有
mobius反演公式
Mobius反演公式是一个数学概念，通常用于解决某些几何问题。
其公式为：$x=a+(b-a)/(1+b)$，其中x为反演后的点，a为原点，b为一条非负实数线段。
以下是对Mobius反演公式的详细解释：首先，我们需要了解Mobius反演公式的基本含义。
Mobius反演公式是通过将点在Mobius 流形上的移动来实现反演的。
它是一个重要的数学概念，常用于几何学、拓扑学等领域。
具体来说，Mobius反演公式的作用是将一个点从一条线段移动到另一条线段，使得新线段上的所有点与原线段上的点之间的距离关系保持不变。
它可以通过将原线段上的点进行反演变换来实现。
在应用Mobius反演公式时，需要满足以下条件：1. 原点必须位于Mobius流形上；2. 非负实数线段必须在Mobius流形上；3. 变换必须是连续的。
这些条件保证了变换后的点与原点之间的距离关系保持不变。
通过应用Mobius反演公式，我们可以解决一些几何问题，如寻找新的形状、寻找距离和角度之间的关系等。
具体到求解方法，我们可以通过将原点代入Mobius反演公式中求解。
在给定的条件下，我们将原点作为起点，将原线段上的点作为参数代入公式中求解出新的线段和终点。
通过反复应用Mobius反演公式，我们可以得到一系列新的线段和终点，最终得到反演后的结果。
总之，Mobius反演公式是一个重要的数学概念，常用于解决几何问题。
通过将点在Mobius 流形上进行移动，我们可以保持距离和角度关系不变，从而得到新的形状和结果。
在应用时，需要满足一定的条件，如原点必须在Mobius流形上、非负实数线段必须在Mobius流形上等。
通过将原点代入公式中求解出新的线段和终点，我们可以得到反演后的结果。
至于实际的应用场景和案例，由于Mobius反演公式主要应用于几何学领域，因此常见的应用场景包括寻找新的形状、解决几何问题等。
在实际应用中，需要根据具体的问题和条件来选择合适的Mobius反演公式进行求解。
PoPoQQQ - 莫比乌斯反演
• 治好了我多年的公式恐惧症~~ d F (i) ( ) i 的前缀和就可以在 ( n ) 时 • 现在我们只要有 i|d 间内解决这个弱化版的问题 • 与上一题相同，枚举每一个i，暴力更新i的倍数，然后处 理前缀和，这样做是O(nlogn)的 • 那么现在有了a的限制怎么搞呢？
BZOJ 3529 数表
• 题目大意：令F(i)为i的约数和，q次给定n,m,a,求
1i n 1 j m F (gcd( i , j )) a
F (gcd(i, j )) mod 231
• • • •
n,m<=10^5,q<=2W,a<=10^9 a的限制十分讨厌 我们首先假设没有这个限制 令g(i)为1<=x<=n,1<=y<=m,gcd(x,y)=i的数对(x,y)的个数 那么显然有
0 1 2 k k i i ( d ) C C C ... ( 1) C ( 1) Ck k k k k d |n i 0
莫比乌斯函数的性质
i i ( 1) Cn 0 ( n N ) 即可 • 只需证明 i 0 n
i i n i ( x y ) C nx y • 二项式定理： i 0 n
d k
• 这里利用到了 (d ) 0
d |n
1
(n 1) (n 1) 这条性质
d F ( n ) f ( d ) f ( n ) ( )F (d ) • 形式二： n n|d n|d
• 证明同理 一般要用到的都是这种形式
有了这个定理，我们能干什么？
• 积性函数的性质： • ① f (1) 1 • ②积性函数的前缀和也是积性函数
各种友（e）善（xin）数论总集，从入门到绝望4---狄利克雷卷积和莫比乌斯反演
各种友（e）善（xin）数论总集，从入门到绝望4---狄利克雷卷积和莫比乌斯反演定义对于此篇博客的一些同样的定义，在此给出：\(a|b\)表示\(a\%b=0\)，\(a⊥b\)表示\(gcd(a,b)=1\)，\([P]\)表示的是当\(P\)为真时，值为\(1\)，\(P\)为假时，值为\(0\)。
且对于下面的文章，两个数论函数\(f,g\)的狄利克雷卷积形式写成\(f*g\)。
狄利克雷卷积以及各种性质数论函数卷积？卷积难道不是这样的形式吗（这里的\(f(n)\)表示的是次数为\(n\)的系数）：\(f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}a(i)b(n-i)\)当然，这是普通卷积，适用于所有函数。
而狄利克雷卷积不一样，他是作用于数论函数的。
数论函数是什么呢？就是定义域在正整数域，值域在实数域的函数。
比如斐波那契数列、\(φ\)等。
形式对于三个数论函数（\(f(n)\)表示的是第\(n\)项的值）：\(f(n)=\sum\limits_{d|n}a(d)b(\frac{n}{d})\)这个形式就是狄利克雷卷积形式。
性质1.交换律，即：\(f*g=g*f\)，这个显然。
2.结合律，\(f*g*t=f*(g*t)\)。
证明：\(\sum\limits_{i*j*k}f(i)g(j)t(k)=\sum\limits_{i*(j*k)=n}f(i)(g(j)t(k)) \)3.分配率，\((f g)*h=f*h g*h\)，这个的话你只要把加法拆开，想想就知道了。
4.系数提出，也就是两个函数想乘，如果一个函数的所有值域都有一个公因子的话，那么可以将其提出，形式写为：\((xf)*g=x(f*g)\)。
5.积性函数也许你经常会看到某某某函数为完全积性函数。
但是却不知道他是什么，对吧。
这里我们给出定义：当\(f\)是数论函数且\(x⊥y\)时\(f(xy)=f(x)f(y)\)，那么\(f\)就是积性函数。
莫比乌斯变换的分类
莫比乌斯变换的分类
1. 平移型莫比乌斯变换呀！就像你把一个东西从左边平移到右边一样。
比如说，把一个图形沿着一个方向移动一段距离，这就是平移型的例子呀！是不是很好理解呢？
2. 旋转型莫比乌斯变换哦！可以想象一下，一个车轮在不停转动，那就是一种旋转呀。
像地球的自转，这就是很典型的旋转型莫比乌斯变换的例子呢！
3. 缩放型莫比乌斯变换哟！不就像你用放大镜看东西，能把东西放大或缩小嘛。
比如照片可以放大缩小，这就是一个缩放型的体现呀！
4. 反射型莫比乌斯变换呀！这就好比你照镜子，会看到相反的自己，多神奇呀。
镜子里的影像不就是反射型的典型例子嘛！
5. 组合型莫比乌斯变换呢，这就像是把几种不同的变换组合在一起，就像搭积木一样。
比如一个图形先平移再旋转，这就是组合型的例子呀，是不是很有意思？
6. 拉伸型莫比乌斯变换哇！就像你拉橡皮筋，可以变长变细，这就是拉伸呀。
像面条机把面团拉成面条，不就是拉伸型的例子吗！
7. 扭曲型莫比乌斯变换嘿！感觉就像把一个东西扭来扭去的，很奇怪吧。
像拧毛巾的时候，毛巾变得扭曲了，这就是扭曲型的呀！
8. 复合型莫比乌斯变换呀！听名字就知道很复杂啦，是多种变换混合在一起的呢。
就像一场大杂烩，你能想象出来吗？
9. 特殊型莫比乌斯变换咧！这种往往具有一些特别的性质，让人意想不到呢。
比如说有些独特的几何图形的变换就是特殊型的，多奇妙呀！
我的观点结论就是：莫比乌斯变换的分类真的好神奇好有趣呀，每一种都有它独特的魅力和用处呢！。
莫比乌斯反演
莫⽐乌斯反演莫⽐乌斯反演（难得百度爬⾍对我这篇垃圾的待重写博客这么友好，赶快重写了）（还没写完呢，只是重写了之前的内容，还有新增。
2020.05.11）前置芝⼠极⾼的数学造诣与不怕劳累的精神正⽂莫⽐乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以⽤于解决很多组合数学的问题。
——「百度百科」考虑这样两个函数F(n),f(n)，它们的关系是F(n)=∑d|n f(d)。
我们可以⼿模出⼀些函数值如：F(1)=f(1)F(2)=f(1)+f(2)F(3)=f(1)+f(3)F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)我们尝试⽤F(n) 来表⽰f(n)。
f(1)=F(1)f(2)=F(2)−F(1)f(3)=F(3)−F(1)f(6)=F(6)−F(3)−F(2)+F(1)我们发现存在⼀个这样的关系式：f(n)=∑d|n F(d)⋅α(d),其中α(d) 是⼀个与d有关的函数。
莫⽐乌斯函数定义µ(n) 为n的莫⽐乌斯函数。
则有µ(n)=1n=1(−1)k n=p1p2p3...p k,p i为n的质因⼦且两两互素0otherwise性质⼀：莫⽐乌斯函数是积性函数，即对于gcd(a,b)=1，有µ(ab)=µ(a)µ(b)。
这个感觉挺显然的啊。
根据这个性质我们可以⽤⽤线性筛在O(n) 的时间内筛出 1∼n内所有莫⽐乌斯函数的值。
性质⼆：对于任意正整数n，有∑d|nµ(d)=1n=1 0n>1证明：⼀个数n的莫⽐乌斯函数值不为 0 当且仅当n其质因数分解后所有质因⼦次数均为 1。
设n以内共有质数k个，则含r个质因⼦的数有(kr)个。
于是有 ∑d|nµ(d)=(k0)−(k1)+(k2)+...+(−1)k(kk)=∑ki=0(−1)i(ki)利⽤⼆项式定理可得 ∑k i=0(−1)i(ki)=∑ki=0(ki)(−1)i1i=(−1+1)k=0，证毕。
莫比乌斯函数
莫⽐乌斯函数前⾔本⽂内容⼤部分来⾃Oier PoPoQQQ 的课件。
\, ,密码:6ug5\本⽂基本上由我学习相当于是制作的⼀篇学习笔记，但是将课件中的⼀些不完善的地⽅加以完善使得更容易理解，加上了部分例题的代码引⼦介绍莫⽐乌斯反演之前我们先来看⼀个函数在推导的过程中我们是否发现了⼀些规律?莫⽐乌斯反演莫⽐乌斯反演莫⽐乌斯反演定义[1]，定义如下莫⽐乌斯函数的定义式莫⽐乌斯函数的性质(1)当n不等于1时，n所有因⼦的莫⽐乌斯函数值的和为0，\设那么证明：(2)对于:(3)积性函数数论上积性函数的定义\\\\因为积性函数是积性函数,因此可以通过线性筛求出莫⽐乌斯函数的值mu[1]=1;for(i=2;i<=n;i++){if(!not_prime[i]){prime[++tot]=i;mu[i]=-1;}for(j=1;prime[j]*i<=n;j++){not_prime[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]*i]=0;break;}mu[prime[j]*i]=-mu[i];}}例题1:\题⽬⼤意：求第k个⽆平⽅因⼦数\做法：\答案G(x)=0个质数平⽅倍数的个数+2个质数平⽅倍数的个数-...，那么对于偶数个质数平⽅对于答案的贡献就是正的，否则是负的，\如果不是若⼲个互异质数的乘积，那么对答案没有影响，如何表⽰这个式⼦呢?\观察莫⽐乌斯函数的定义[1]，可以知道对于能对答案产⽣贡献的数根据上述说明，那么可以得知结果\#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>的因⼦只有接下来只需证明因为⼆项式定理代⼊即可得证。
其中#define N 100005using namespace std;bool not_prime[N];int prime[N];int mu[N];int tot;void Mu(int n){int i,j;mu[1]=1;for(i=2;i<=n;i++){if(!not_prime[i]){prime[++tot]=i;mu[i]=-1;}for(j=1;prime[j]i<=n;j++){ not_prime[prime[j]i]=1;if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]i]=0;break;}mu[prime[j]i]=-mu[i];}}}int can(int x){int sum=0;int s=floor(sqrt(x));for(int i=1;i<=s;++i)if(mu[i])sum+=mu[i]floor(x/(i i)); return sum;}int main(){Mu(N);int T,sum;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&num);long long l=1,r=num<<1,mid; while(l<r){mid=(l+r)>>1;if(can(mid)<num)l=mid+1;else r=mid;}printf("%lld\n",r);}return 0;}莫⽐乌斯反演定理的证明证明：形式⼆:证明同理，⼀般要⽤到的都是这种形式例:f(n)表⽰某⼀范围内(x,y)=n的数对的数量，\F(n)表⽰某⼀范围内n|(x,y)的数对的数量\那么直接求f(n)并不是很好求，⽽F(n)求起来相对⽆脑⼀些，\那么我们可以通过对F(n)进⾏莫⽐乌斯反演来求得f(n)</p>例题2:这个式⼦可以进⼀步转化为考虑莫⽐乌斯反演, 令if(a>b)swap(a,b);for(i=1;i<=a;i=last+1){last=min(a/(a/i),b/(b/i));re+=(a/i)(a/i)(sum[last]-sum[i-1]); }return re;代码异常好写#include<iostream>include<cstdio>include<cmath>define N 50005define inf 0x7fffffffusing namespace std;bool not_prime[N];int prime[N];int sum[N];int mu[N];int tot;void Mu(int n){int i,j;mu[1]=1;for(i=2;i<=n;i++){if(!not_prime[i]){prime[++tot]=i;mu[i]=-1;}for(j=1;prime[j]i<=n;j++){not_prime[prime[j]i]=1;if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]i]=0;break;}mu[prime[j]i]=-mu[i];}}for(int i=1;i<=n;++i)sum[i]=sum[i-1]+mu[i];}int ans(int n,int m){if(n>m)swap(n,m);int last,i,re=0;for(i=1;i<=n;i=last+1){last=min(n/(n/i),m/(m/i));re+=(n/i)(m/i)(sum[last]-sum[i-1]);}return re;}int main(){Mu(N);int T;int a,b,c,d,k;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k); a--;c--;a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;int Ans=ans(b,d)-ans(a,d)-ans(b,c)+ans(a,c); printf("%d\n",Ans);}return 0;}BZOJ 10s但是luogu却莫名WA\全部加上long long 之后总算是过了\百思不得其解例题3\做法：Number)，即分解之后所有质因数的次数都为1的数。
常用莫比乌斯反演公式
常⽤莫⽐乌斯反演公式1.[f(n)=1]=∑d∣nµ(d)证明∑d∣nµ(d)=µ(1)+µ(p1)+µ(p2)+⋯+µ(p k)+µ(p1p2)+⋯+µ(p1p2⋯p k)=k0+k1(−1)+k2(−1)2+⋯+kk(−1)k=(1−1)k=02.n∑i=1m∑j=1[gcd(i,j)=x]=min(⌊nx⌋,⌊mx⌋)∑d=1⌊ndx⌋⌊mdx⌋证明:先提x出来$$\sum_{i=1}{n/x}\sum_{j=1}{m/x}[gcd(i,j)=1]$$⽤结论1来表⽰中括号⾥的东西:n/x ∑i=1m/x∑j=1∑d∣gcd(i,j)µ(d)发现把d提到前⾯,d是gcd(i,j)的约数,所以⼀共有⌊nid⌋∗⌊mid⌋对i,j它们的gcd被d整除的条件所以改为枚举dn∑d=1⌊nid⌋∗⌊mid⌋3.σ=id∗eφ=id∗µµ∗u=eid=φ∗u其中σ是约数个数,id是映射到⾃⼰的函数,u是把所有数映射到1的函数,e是单位元函数,φ是欧拉函数,µ是莫⽐乌斯函数.对于第⼀个式⼦,直接把右边卷积算就是显然了.对于第⼆个式⼦就是把右边卷积然后,右边看成⼀个容斥的式⼦就好了.对于第三个式⼦,就是说明µ是单位元函数在卷积意义下的逆元.对于最后⼀个式⼦,两边同乘⼀个单位元,然后右边的单位元和µ抵掉,就变成这个形式了.4.if(T=dt)n ∑d=1⌊nd⌋∑t=1⟺n∑T=1∑d∣T()()()() Processing math: 100%。
莫比乌斯反演
莫⽐乌斯反演莫⽐乌斯反演（PS：在评论区中众多dalao的催促下，我认真的写了三天三夜写完了这篇，保证是精品！）前⾔（这⼤概是我第⼀次写学习笔记吧OvO）可能每⼀个刚开始接触莫⽐乌斯反演的OIer，起初都会厌恶这个神奇的东西。
(我也⼀样233)每⼀个⼈厌恶的原因有许多，可能是这个烦⼈的式⼦，也可能仅仅只是因为不理解µ函数⽽感到不爽。
当然，莫⽐乌斯反演有⼀个⼩⼩的预备知识：那么我们先从莫⽐乌斯反演中最基础的莫⽐乌斯函数µ开始说起：莫⽐乌斯函数⾸先，我们可以先明确⼀点，莫⽐乌斯函数并不是什么很⾼⼤上的东西，它其实只是⼀个由容斥系数所构成的函数。
µ(d)的定义是:1. 当d=1时，µ(d)=1；2. 当d=Πk i=1p i且p i为互异素数时，µ(d)=(−1)k。
(说直⽩点，就是d分解质因数后，没有幂次⼤于平⽅的质因⼦，此时函数值根据分解的个数决定)；3. 只要当d含有任何质因⼦的幂次⼤于等于2，则函数值为0.当然，莫⽐乌斯函数也有很多有趣的性质：1. 对于任意正整数n，∑d|nµ(d)=[n=1]。
（[n=1]表⽰只有当n=1成⽴时，返回值为1；否则，值为0；(这个就是⽤µ是容斥系数的性质可以证明)(PS:这⼀条性质是莫⽐乌斯反演中最常⽤的)2. 对于任意正整数n，∑d|n µ(d)d=ϕ(n)n。
（这个性质很奇妙，它把欧拉函数和莫⽐乌斯函数结合起来，或许我之后写的学习笔记时会去证明吧）程序实现并不难，我们可以在线性筛素数的程序上略作修改，便可以筛出µ函数。
那我还是给⼀段线筛的代码吧void get_mu(int n){mu[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++){vis[prim[j]*i]=1;if(i%prim[j]==0)break;else mu[i*prim[j]]=-mu[i];}}}那么，莫⽐乌斯函数就这么告⼀段落了。
莫比乌斯的原理以及应用
莫比乌斯的原理以及应用1. 什么是莫比乌斯的原理莫比乌斯的原理，也被称为莫比乌斯反演定理，是组合数学中一条重要的定理，由德国数学家奥古斯特·莫比乌斯在19世纪提出。
这个定理是一种在组合数学中计算莫比乌斯函数的方法，莫比乌斯函数是数论中的一个重要函数，用于描述数论中的互素性质。
2. 莫比乌斯函数的定义莫比乌斯函数μ(n)是一个数论函数，对于正整数n，定义如下：•当n为1时，μ(n) = 1；•当n为质数的幂时，μ(n) = -1；•当n包含大于1的平方因子时，μ(n) = 0。
3. 莫比乌斯的原理表述莫比乌斯的原理可以用如下方式表述：对于任意两个互逆的函数f(n)和g(n)，当一个等式关系成立时：∑_{d|n}f(d) = \sum_{d|n}g(d)则另一个等式关系也成立：∑_{d|n}μ(d)f(n/d) = g(n)其中，∑_{d|n}表示对n的所有正因子d求和。
4. 莫比乌斯的原理的应用莫比乌斯的原理在组合数学和数论中有广泛的应用，下面介绍几个主要的应用。
4.1 整数除法分块问题给定一个正整数n和另外n个整数a_1, a_2, …, a_n，求∑_{i=1}{n}∑_{j=1}{n} [a_i /a_j]的值，其中 [] 表示取整函数。
这个问题可以使用莫比乌斯的原理解决，具体步骤如下：1.定义f(n)为∑_{i=1}{n}∑_{j=1}{n} [a_i / a_j]；2.定义g(n)为n^2；3.利用莫比乌斯的原理，可以得到另一个等式：∑_{d|n}μ(d)f(n/d) =g(n)；4.再根据等式关系，可以得到f(n) = ∑_{d|n}μ(d)g(n/d)。
通过以上的推导，我们可以得到等式关系来解决整数除法分块问题。
4.2 莫比乌斯反演莫比乌斯反演是利用莫比乌斯函数求解组合数学问题的一种方法。
莫比乌斯反演可以用于求解一些关于集合的问题，例如计算集合交、集合并的个数等。
莫比乌斯反演的基本思想是通过莫比乌斯函数μ(n)和一个函数f(n)之间的等式关系来求解另一个函数g(n)。
莫比乌斯算法
莫比乌斯算法莫比乌斯算法是一种常见的数学算法，也被称为莫比乌斯反演。
该算法通常用于计算数学函数的逆函数值，例如计算线性筛法中的欧拉函数值等。
莫比乌斯算法的原理是根据莫比乌斯函数的定义，利用积性函数的性质，通过一些推导公式来计算出函数的值。
莫比乌斯函数μ(n)表示n的因子个数的奇偶性，当n的质因子个数为偶数时，μ(n)=1，反之μ(n)=-1，当n存在平方因子时，μ(n)=0。
莫比乌斯反演则是一种方法，该方法可用于将一个函数拆分为另外一个函数的和式，利用莫比乌斯函数来计算函数的值。
具体来说，如果存在一个函数f(n)，需要求出g(n)=Σd|n f(d)的值，则可以使用以下公式进行计算：g(n)=Σd|n f(d) = Σd|n μ(d) Σd|n f(d) / μ(d) = Σd|n μ(d) g(n/d)其中，μ(d)为莫比乌斯函数，/表示整除，g(n/d)表示在n/d的约数中，函数f的值的和。
该公式使用的是积性函数与积性函数之间的卷积，可以将原来要计算的函数f进行反演，从而通过g(n/d)的值对g(n)进行计算。
莫比乌斯算法在数学领域中应用极广，从线性筛法的优化、计算单词自动机中的不合法字符串数量，到计算圆方树的数量等，都可以使用莫比乌斯算法来解决。
此外，莫比乌斯反演也可以和其他算法进行结合，如组合数学中的容斥原理、杜教筛等，从而得到更加复杂的数学问题的解法。
总之，莫比乌斯算法是一种重要的数学算法，具有广泛的应用领域。
其核心思想是利用莫比乌斯函数的性质来计算函数的值，通过反演等方法得到复杂问题的解法。
对于数学爱好者和从事数学研究工作的人员，掌握莫比乌斯算法可以为自己的工作提供帮助。
莫比乌斯反演定理证明
莫⽐乌斯反演定理证明
我也不知道为啥要证明这玩意，但是我⽐较傻，看懂⼀遍之后怕忘了，所以还是写个博客。
⾸先给出这么⼀个定义式：
f(n)=∑d|n g(d)
于是就有这么⼀个定理：
g(n)=∑d|nµ(d)⋅f(n d)
话说回来这个µ(d)就是莫⽐乌斯函数，定义是这样的
（1）若，那么
（2）若，均为互异素数，那么
（3）其它情况下
于是有这样的性质
（1）对任意正整数有
（2）对任意正整数有
第⼀个性质其实还算好证。
⼤概⼿玩⼀下组合数就⾏了。
第⼆个我没推也没⽤上、、下⾯是我xjb证的过程。
⾸先要证g(n)=∑d|nµ(d)⋅f(n
d)，只要证明右边等于g(n)。
右式=∑d|n(µ(d)⋅∑e|n
d g(e))（定义式）
=∑d|n∑e|n
d(µ(d)⋅g(e))（分配率）
稍微理解⼀下，发现其实是所有满⾜(d⋅e)|n的⼆元组(d,e)之和。
于是可以交换前两个sum的位置即
=∑e|n∑d|n
eµ(d)⋅g(e)
=∑e|n g(e)⋅∑d|n
eµ(d)（分配率逆定律）
我们知道只有当n
e=1即e=1的时候后半部分才等于1，其他情况都为0。
所以就等于g(n)。
得证。
upd
发现以前的证明不够优美啊。
狄利克雷卷积的证明真的让⼈愉悦~话说回来，莫⽐乌斯反演的第⼆种形式
g(n)=∑n|dµ(d n)f(d)
求⼀个证明啊qwq Processing math: 100%。
容斥原理与莫比乌斯反演 概率
容斥原理与莫比乌斯反演概率容斥原理是概率论中常用的计数方法，用于计算多个事件的概率。
它的基本思想是通过减去重复计算的部分，得到所有事件的概率之和。
在概率论中，我们经常遇到需要计算多个事件同时发生的概率的情况。
容斥原理提供了一种有效的方法来解决这个问题。
假设有两个事件A和B，我们想要计算它们同时发生的概率P(A∩B)。
首先，我们计算事件A和事件B分别发生的概率，即P(A)和P(B)。
然后，我们计算事件A和事件B都不发生的概率，即P(A')和P(B')。
根据容斥原理，事件A和事件B同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A') - P(B')这个公式的原理是，我们首先将事件A和事件B的概率相加，然后减去同时不发生的情况。
这样，我们就得到了事件A和事件B同时发生的概率。
容斥原理可以推广到更多的事件之间。
假设有n个事件，我们想要计算它们同时发生的概率。
我们可以通过依次加减事件的概率来计算，具体的计算公式如下：P(A1∩A2∩...∩An) = ∑(-1)^(n-1) * ∑(Ai1∩Ai2∩...∩Aik)其中，Ai1∩Ai2∩...∩Aik表示事件Ai1、Ai2、...、Aik同时发生的概率，∑表示对所有可能的k值求和。
这个公式的计算过程可能比较复杂，但容斥原理提供了一种统一的思路来解决多个事件同时发生的概率计算问题。
莫比乌斯反演是概率论中的另一个重要原理，它与容斥原理有一定的联系。
莫比乌斯反演是一种将一个函数的求和问题转化为另一个函数的求和问题的方法，在概率论中有着广泛的应用。
莫比乌斯反演的基本思想是，通过对一个函数进行某种操作，得到另一个函数，并利用这个函数来计算原函数的值。
在概率论中，我们经常遇到需要计算事件的概率的问题。
莫比乌斯反演提供了一种方法来计算事件的概率。
假设我们有一个函数f(n)，表示事件发生的概率。
我们想要计算事件不发生的概率，即1-f(n)。
容斥原理与莫比乌斯反演 概率
容斥原理与莫比乌斯反演概率容斥原理是概率论中常用的计算概率的方法之一。
它的核心思想是通过计算某个事件的补集来求解事件的概率。
假设我们有两个事件A和B，我们想要计算这两个事件同时发生的概率。
容斥原理告诉我们，可以通过计算事件A的概率加上事件B的概率，再减去事件A 和事件B同时发生的概率来得到结果。
这个原理可以推广到多个事件的情况，通过交替地加减各个事件的概率，最终得到所求事件的概率。
莫比乌斯反演是一种利用莫比乌斯函数来求解概率问题的方法。
莫比乌斯函数是数论中的一个重要函数，它在概率计算中有着广泛的应用。
莫比乌斯反演的核心思想是通过莫比乌斯函数的性质，将一个概率问题转化为另一个相关的概率问题。
通过求解相关的概率问题，再利用莫比乌斯函数的逆运算，可以得到原始概率问题的解。
容斥原理和莫比乌斯反演在概率计算中的应用非常广泛。
它们可以用于求解事件的概率、计算随机变量的期望值等问题。
在实际应用中，我们经常会遇到多个事件同时发生的概率，或者需要计算多个事件的联合概率。
容斥原理和莫比乌斯反演为我们提供了一种简洁而有效的计算方法。
容斥原理的应用可以大大简化概率计算的过程。
通过将复杂的问题分解为若干个简单的子问题，并利用容斥原理逐步求解，我们可以避免重复计算，提高计算效率。
同时，容斥原理还可以用于求解排列组合等组合数学问题，具有广泛的应用价值。
莫比乌斯反演则更加抽象和深入。
它通过莫比乌斯函数的性质，将一个复杂的概率问题转化为一个简单的等价问题。
通过求解等价问题，再利用莫比乌斯函数的逆运算，我们可以得到原始概率问题的解。
莫比乌斯反演在组合数学中有着广泛的应用，可以用于求解排列组合、集合运算等问题。
总结起来，容斥原理和莫比乌斯反演是概率计算中非常重要的工具。
它们通过将复杂的概率问题转化为简单的子问题，或者将复杂的问题转化为等价的简单问题，为我们提供了一种有效的计算方法。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法，利用容斥原理和莫比乌斯反演来求解概率问题，提高计算效率，得到准确的结果。
莫比乌斯公式
莫比乌斯公式莫比乌斯公式（Moebius Formula）是数学中的一条重要公式，它在数论和组合数学中有着广泛的应用。
莫比乌斯公式的形式简洁，但背后蕴含着深刻的数学思想和推理过程。
莫比乌斯公式的本质是一种积性函数与其对应的莫比乌斯反演关系的表达方式。
积性函数是指具有性质f(mn) = f(m)f(n)的函数，其中m和n是互质的正整数。
莫比乌斯反演是一个数论中的重要定理，它将积性函数与其莫比乌斯函数之间建立了一种对应关系。
莫比乌斯函数μ(n)是一个常见的积性函数，它在数论中有着重要的地位。
莫比乌斯函数的定义如下：当n为1时，μ(n) = 1；当n为某个素数的平方时，μ(n) = 0；当n为素数的乘积时，μ(n) = (-1)^k，其中k表示n中素因子的个数。
莫比乌斯公式的表达形式如下：f(n) = ∑(d|n) g(d)，其中f(n)和g(n)是两个积性函数，d是n的正因子。
莫比乌斯公式的核心思想是将一个积性函数表示为另一个积性函数的求和形式。
通过莫比乌斯公式，我们可以将一个复杂的求和问题转化为对积性函数的求和，从而简化了问题的解决过程。
莫比乌斯公式的应用非常广泛，特别是在数论和组合数学中。
在数论中，莫比乌斯公式可以用于求解素数个数的估计问题、素数的分布问题以及素数的相关性质研究等。
在组合数学中，莫比乌斯公式可以用于计算排列组合问题、计算集合的幂集问题以及计算图论中的一些问题等。
除了数论和组合数学，莫比乌斯公式还有一些其他的应用。
在代数几何中，莫比乌斯公式可以用于计算多项式的系数和根的关系。
在概率论中，莫比乌斯公式可以用于计算随机变量的期望和方差等。
莫比乌斯公式是数学中一条重要的公式，它通过简洁的形式将积性函数与莫比乌斯反演关系联系起来。
莫比乌斯公式的应用范围广泛，涉及到数论、组合数学、代数几何和概率论等多个数学领域。
通过掌握和应用莫比乌斯公式，我们可以更好地解决复杂的数学问题，推动数学领域的发展和进步。
哪里应用了莫比乌斯的原理
哪里应用了莫比乌斯的原理1. 介绍莫比乌斯的原理莫比乌斯的原理，也被称为莫比乌斯反演定理，是一种在组合数学和数论中常见的技术。
它由德国数学家莫比乌斯于19世纪提出，用于解决一些计数问题。
莫比乌斯的原理在计算机科学、离散数学和算法设计中具有重要的应用。
它基于一种函数关系，能够将一个数论函数在某些条件下的求和问题，转化为对另一个函数的求和问题，从而简化计算过程。
2. 应用莫比乌斯的原理莫比乌斯的原理广泛应用于以下几个领域和问题：2.1. 数论中的应用莫比乌斯的原理在数论中有着重要的应用。
通过莫比乌斯的反演定理，可以将对某个数论函数的求和问题转化为对另一个函数的求和问题。
这种转化通常能够简化问题的求解过程，提高计算效率。
莫比乌斯的原理常常被用来求解满足一定条件的整数序列的求和问题。
2.2. 组合数学中的应用莫比乌斯的原理在组合数学中也有重要的应用。
通过莫比乌斯的反演定理，可以将一个组合数学问题转化为另一个等价的问题，从而简化求解过程。
在组合数学中，经常需要求解满足一定条件的排列组合数量，莫比乌斯的原理为这类问题的求解提供了一种有效的方法。
2.3. 算法设计中的应用莫比乌斯的原理在算法设计中也有广泛的应用。
通过莫比乌斯的反演定理，可以将一个复杂的算法问题转化为一个简单的问题，从而降低算法的复杂度。
莫比乌斯的原理在设计高效的算法和优化算法性能中起到了重要的作用。
3. 莫比乌斯的原理的原理及证明莫比乌斯的原理基于莫比乌斯函数的性质，即莫比乌斯函数μ(n)定义为： - 当n为1时，μ(n)=1； - 当n为质数的平方时，μ(n)=0； - 当n为质数的乘积时，μ(n)=(-1)^k，其中k为质数的个数。
莫比乌斯的原理的证明过程相对较复杂，包括使用数论中的欧拉函数和莫比乌斯函数的性质进行推导。
这里不再详细介绍证明过程，感兴趣的读者可以查阅相关的数论教材或论文。
4. 总结莫比乌斯的原理是一种在组合数学、数论和算法设计中常见的技术。
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因数的次数都为1的数 • 首先二分答案 问题转化为求[1,x]之间有多少个无平方因子
数
• 根据容斥原理可知 对于sqrt(x)以内所有的质数 有 • x以内的无平方因子数 • =0个质数乘积的平方的倍数的数的数量(1的倍数) • -每个质数的平方的倍数的数的数量(9的倍数,25的倍数,...) • +每2个质数乘积的平方的倍数的数的数量(36的倍数,100
于是我们可以通过F(n)推导出f(n)
• f(1)=F(1) • f(2)=F(2)-F(1) • f(3)=F(3)-F(1) • f(4)=F(4)-F(2) • f(5)=F(5)-F(1) • f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1) • f(7)=F(7)-F(1) • f(8)=F(8)-F(4) • 在推导的过程中我们是否发现了一些规律？
d|n
莫比乌斯函数的性质
• (3)积性函数 • 数论上积性函数的定义：
设f (n)为一个定义在N 集合上的函数，如果对于 任意(x, y) 1有f (xy) f (x) f ( y)，则称f (n)为一个 积性函数；若对于任意x和y均有f (xy) f (x) f ( y)， 则称f (n)为一个完全积性函数
• 对于一些函数f(n)，如果我们很难直接求出它的值，而容 易求出倍数和或约数和F(n)，那么我们可以通过莫比乌斯 反演来求得f(n)的值
• 例：f(n)表示某一范围内(x,y)=n的数对的数量，F(n)表示 某一范围内n|(x,y)的数对的数量
• 那么直接求f(n)并不是很好求，而F(n)求起来相对无脑一 些，我们可以通过对F(n)进行莫比乌斯反演来求得f(n)
• 积性函数的性质： • ① f (1) 1 • ②积性函数的前缀和也是积性函数
莫比乌斯函数的性质
• 由于莫比乌斯函数是积性函数，因此我们可以通过线性筛来求出莫比乌斯函数的值
• 代码：
• mu[1]=1;
• for(i=2;i<=n;i++)
•{
•
if(!not_prime[i])
•
{
•
prime[++tot]=i;
• 那么显然有：
k
(d ) Ck0 Ck1 Ck2 ... (1)k Ckk (1)i Cki
d |n
i0
莫比乌斯函数的性质
n
• 只需证明 (1)i Cni 0 (n N ) 即可 i0 n
• 二项式定理：(x y)n Cni xi yni i0
莫比乌斯函数的性质
• (1)对于任意正整数n有：
d|n
(d
)
1 0
(n 1) (n 1)
• 证明：
• ①当n 1时显然
•
②当n 1时，将 n 分解可以得到 n
p a1 1
p a2 2
...
p ak k
• 在 n 的所有因子中，值不为零的只有所有质因子次数都
为1的因子，其中质因数个数为 r 个的因子有 Ckr个
d |n
d
d |n
k| n
k|n
d|n
d
k
•
这里利用到了
(d )
d|n
1 0Βιβλιοθήκη (n 1)(n 1) 这条性质
• 形式二：F (n) f (d ) f (n) ( d )F(d )
n|d
n|d n
• 证明同理 一般要用到的都是这种形式
有了这个定理，我们能干什么？
x i2
• 这题和莫比乌斯反演没关系，算是莫比乌斯函数的一个应 用吧。。。
现在我们来证明莫比乌斯反演定理
F (n) f (d ) f (n) (d )F( n )
d|n
d |n
d
• 证明：
f (n) (d )F( n ) (d) f (k) f (k) (d) f (n)
• 下面用几道例题来为大家讲解一下莫比乌斯反演的好处
BZOJ 2301 Problem b
•
mu[i]=-1;
•
}
•
for(j=1;prime[j]*i<=n;j++)
•
{
•
not_prime[prime[j]*i]=1;
•
if(i%prime[j]==0)
•
{
•
mu[prime[j]*i]=0;
•
break;
•
}
•
mu[prime[j]*i]=-mu[i];
•
}
•}
BZOJ 2440 完全平方数
• 令 x 1, y 1，代入即可得证。
莫比乌斯函数的性质
• (2)对于任意正整数n有：
(d) (n)
d|n d
n
• 其实没什么用，结论挺好玩的可以记一下
• 只需要令 F(n) n, f (n) (n)，代入莫比乌斯反演的公
式即可
• 至于为什么 n (d )就留给大家做思考题了
的倍数,...)-...
BZOJ 2440 完全平方数
• 容易发现每个乘积a前面的符号恰好是(a) (例如(3) 1,
故9对答案的贡献为负；(6) 1，故36对答案的贡献为正
•
) x以内i^2的倍数有
x i2
个 故有
Q(
x)
x i 1
(i)
莫比乌斯反演
——吉大附中实验学校 PoPoQQQ
什么是莫比乌斯反演？
• 介绍这个之前，我们先来看一个函数
• F(n) f (d)
d|n
• 根据F(n)的定义，我们显然有： • F(1)=f(1) • F(2)=f(1)+f(2) • F(3)=f(1)+f(3) • F(4)=f(1)+f(2)+f(4) • F(5)=f(1)+f(5) • F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6) • F(7)=f(1)+f(7) • F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)
莫比乌斯反演
• 公式：
F (n) f (d ) f (n) (d )F( n )
d|n
d |n
d
• 其中(d )为莫比乌斯函数，定义如下：
• (1)若d 1则 (d ) 1
• (2)若d p1 p2...pk ，pi为互异素数，那么 (d ) (1)k
• (3)其它情况下 (d ) 0