2-5指数与指数函数
第5节 指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。
指数与指数函数知识点
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载指数与指数函数知识点地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容指数函数（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即：若，则叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；④ ∴；⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。
∴．．4．的次方根的性质一般地，若是奇数，则；若是偶数，则．（二）分数指数幂1．分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，例如：若，则，，∴ ．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；（2）正数的负分数指数幂的意义是．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：1．1 实数指数幂及其运算(一)(一)选择题1．下列正确的是( )A．a0＝1 B． C．10－1＝0.1 D．2．的值为( )A．±2B．2 C．－2 D．43．的值为( )A．B．C．D．4．化简的结果是( )A．a B．C．a2 D．a35．把下列根式化成分数指数幂的形式(其中a，b＞0)（1）______；（2）=______；6．______．7．化简______．8．=______(三)解答题9．计算10．计算1．2 实数指数幂及其运算(二)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．下列说法正确的是(n∈N*)( )A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0 D．是无理数2．函数的定义域为( )A．R B．[0，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，1] 3．可以简化为( )A．B．C．D．4．化简的结果是( )A．B．x2 C．x3 D．x4(二)填空题5．________，________________________．6．________．7．计算________．8．若a＋a－1＝3，则a2＋a－2＝______．10．若求的值．1.3 指数函数(一)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是( ) A．5 B．9 C．6 D．82．下列函数中为指数函数的是( )A．y＝2·3x B．y＝－3x C．y＝3－x D．y＝1x3．若0.2m＝3，则( )A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．以上答案都不对4．函数f(x)＝ax＋1(其中a＞0且a≠1)的图象一定经过点( )A．(0，1) B．(0，2) C．(0，3) D．(1，3)(二)填空题5．若函数f(x)是指数函数且f(3)＝8，则f(x)＝______．6．函数的定义域为______，值域为______．7．函数y＝2x－1的图象一定不经过第______象限；若函数的图象不经过第一象限，则实数b的取值范围是______．8．若2m＞4，则m的取值范围是______；若(0.1)t＞1，则t的取值范围是______．9．指数函数y＝(a2－1)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是______．(三)解答题10．根据函数f(x)＝2x的图象，画出下列函数的草图．(1)y＝－2x (2)y＝－2x＋1 (3)y＝2｜x｜11．求函数的定义域和值域．12．已知a＞0且a≠1，函数f1(x)＝，f2(x)＝，若f1(x)＜f2(x)，求x 的取值范围．1.4 指数函数(二)(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．若，则x的取值范围是( )A．(－∞，－3] B．(－∞，－3) C．[－3，＋∞)D．R2．已知三个数M＝0.32－0.32，P＝0.32－3.2，Q＝3.2－0.32，则它们的大小顺序是( )A．M＜P＜Q B．Q＜M＜P C．P＜Q＜M D．P＜M＜Q3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与0和1的大小关系是( )A．0＜a＜b＜1＜c＜d B．0＜b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．0＜a＜b＜1＜d＜c4．函数y＝2x－2－x( )A．在R上减函数B．在R上是增函数C．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数D．无法判断其单调性(二)填空题5．函数y＝3x＋1－2的图象是由函数y＝3x的图象沿x轴向______平移______个单位，再沿y轴向______平移______个单位得到的．6．函数f(x)＝3x＋5的值域是______．7．函数y＝ax－1＋1(其中a＞0且a≠1)的图象必经过点______．8．若指数函数y＝ax在区间[0，1]上的最大值和最小值的差为，则底数a ＝______．9．函数g(x)＝x2－x的单调增区间是______，函数y＝的单调增区间是______．(三)解答题10．函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－1，求x＜0时函数的解析式．11．若关于x的方程｜2x－1｜＝a有两个解，借助图象求a的取值范围．12．已知函数f(x)＝22x－2x＋1－3，其中x∈[0，1]，求f(x)的值域．您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
指数与对数函数幂函数知识点总结
指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。
下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。
1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。
2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。
对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。
- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。
- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。
-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。
3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。
幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。
幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。
3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。
4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。
二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。
2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。
3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。
4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。
5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。
指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。
指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。
2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。
3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。
5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。
指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。
2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。
3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。
4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。
总结：。
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件理
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(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
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2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
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故②正确；③
＝ ＝ 2；④ 4 －24＝2；⑤当 a≠0 时，由(1＋a2)m＜(1
＋a2)n 可知 m＜n，当 a＝0 时不成立．
答案：②
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3
考点疑难突破
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指数(zhǐshù)幂的化简与求值
计算：
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【解】 (1)原式＝
－ 51－0 2＋1＝
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[自 主 演 练]
1．化简 4 16x8y4(x＜0，y＜0)得( A．2x2y C．4x2y
) B．2xy D．－2x2y
解析： 4 16x8y4＝(16x8y4) ＝[24(－x)8·(－y)4] ＝
＝
2(－x)2(－y)＝－2x2y.
答案：D
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2．(2017 届四川绵阳一诊)计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析：原式＝
【答案】 C
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角度三 探究指数型函数的性质
(1)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)函数 f(x)＝
的单调减区间为________．
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【解析】 (1)因为 x∈[－3,2]， 所以令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第5节：指数与指数函数(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数.(2)性质：(na )n ＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R .4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，12.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究.3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂a mn 可以理解为mn 个a 相乘.()(3)函数y ＝2x －1是指数函数.()(4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).()2.(易错题)若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________.3.(易错题)函数y ＝21x －1的值域是________.4.函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________.5.(2021·贵阳一中月考)3213－76＋814×42－－2323________.6.已知a 35－13，b 35－14，c ＝3234，则a ，b ，c 的大小关系是________.考点一指数幂的运算1.计算：823－－780＋4（3－π）4＋[(－2)6]12＝________.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.3.(2021·沧州七校联考1412·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12(a >0，b >0)＝________.4.已知f (x )＝3x ＋3－x ，f (b )＝4，则f (2b )＝________.考点二指数函数的图像及应用例1(1)已知实数a ，b 满足等式2022a ＝2023b ，下列等式一定不成立的是()A.a ＝b ＝0B.a <b <0C.0<a <bD.0<b <a(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.训练1(1)函数f (x )＝a x －b 的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)如果函数y ＝|3x －1|＋m 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1比较指数式的大小例2(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.(2)若2x2＋114x－2，则函数y＝2x的值域是()A.18，2 B.18，2C.－∞，18 D.[2，＋∞)角度3指数函数性质的综合应用例4(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________.训练2(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是______.(3)函数y ＋1在区间[－3，2]上的值域是________.1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f (－1)＝()A.1B.2C.3D.32.(2021·成都诊断)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是()113.(2022·哈尔滨质检)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是()4.(2020·天津卷)设a ＝30.7，b 0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b5.(2021·衡水中学检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)6.(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.化简：（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5(a>0，b>0)＝________.8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是____________.9.已知函数f(x)，a≤x<0，x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________.10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2为奇函数.(1)求b的值；(2)任意t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.11.已知函数f(x)＝4x＋m2x是奇函数.(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图像有公共点，求实数a的取值范围.12.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A.0，12(1，＋∞) B.0，12C.12，1 D.(1，＋∞)13.(2022·邯郸模拟)设f(x)|2x－1|，x≤2，－x＋5，x>2，若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.。
指数函数公式
数知识：作为实数变量x的函数，有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的指数函数欧拉数e 的指数函数。
指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数中可以看到（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若,则函数定过点(0,1+b))（8）指数函数无界。
（9）指数函数是非奇非偶函数（10）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。
2公式推导e的定义：()'指数函数======特殊地，当a=e时，()'=(ln x)'=1/x。
方法二：设，两边取对数ln y=xln a两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
eº=13函数图像指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y 轴左边“底大图低”。
（如右图）。
(4)与的图像关于y轴对称。
4幂的比较比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。
2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。
3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。
二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。
2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。
3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。
常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。
（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。
自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。
三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第5节指数与指数函数教师用书
第五节 指数与指数函数考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．一、教材概念·结论·性质重现1．n 次方根(1)根式的概念一般地，如果x n ＝ a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当有意义时，叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的性质①()n ＝a ．②当n 为奇数时，＝a ．当n 为偶数时，＝|a |＝2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a ＝()m ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)正数的负分数指数幂：a ＝＝(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质,a r a s ＝a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )；(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )3．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ．形如y ＝ka x (k ≠1)，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质定义域R 值域(0 ，＋∞ )性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1 ；当x >0时，0< y <1 当x >0时，y >1 ；当x <0时，0< y <1减函数增函数二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)＝()n ＝a ．( × )(2)(－1)＝(－1)＝．( × )(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × )(4)函数y ＝2x 是指数函数．( √ )(5)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n ．( × )2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B 解析：原式＝2－1＝23－1＝7．故选B ．3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1B 解析：由指数函数的定义知a 2－4a ＋4＝1且a ≠1，解得a ＝3．4．若函数f (x)＝ax (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ，则f (－1)＝________． 解析：由题意知＝a 2，所以a ＝，所以f (x )＝，所以f (－1)＝＝．5．若函数y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是________．a >或a <－ 解析：由y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，得a 2－1>1，解得a >或a <－．考点1 指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a)4＝D 解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a＋a＝±D．a＋＝2ABD 解析：在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a ＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a ＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．3．已知a＞0，b＞0，化简：·＝________． 解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝．4．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝__________．－ 解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－．1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计考点2 指数函数的图象及应用——综合性(1) (2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2a x－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( )A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)A 解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过点P(1,6)．故选A．(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________ __．(0,1) 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？b≥1或b＝0 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0．1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是( ) A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．都在x轴的上方D．都过点(0,1)ACD 解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝的图象(略)，知两函数的图象关于y 轴对称，A项正确．由指数函数的性质，知选项CD正确．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1] 解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1．3．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中可能成立的有________．(填序号)①②⑤ 解析：函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立．考点3 指数函数的性质及应用——应用性考向1 比较大小(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c．(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A 解析：因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y．因为y＝2x－3－x＝2x－在R上单调递增，所以x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞ln 1＝0．考向2 解指数不等式若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为．{x|x＞4或x＜0} 解析：当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4．所以f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0．所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．考向3 指数型函数的单调性函数f(x)＝的单调递减区间为________．(－∞，1] 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．在例4中，若函数f(x)＝改为f(x)＝2－x2＋2x＋1，结果如何？[1，＋∞) 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝2u在R上为增函数，所以函数f(x)＝2－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为[1，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．考向4 指数型函数的最值(1)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________．－ 解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则即无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则即解得所以a＋b＝－．(2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________．1 解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此有解得a＝1．1．研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．2．研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a＝()，b＝2，c＝9，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3．由2<3，得a<c．由>，得a>b，所以c>a>b．故选A．2．(2021·柳州高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1)<f(3a－5)的解集为( )A．(－∞，1)B．(－∞，log32)C．(log32,1)D．(1，＋∞)B 解析：因为函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于x＝1对称．因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]为减函数．不等式f(9a＋1)<f(3a－5)等价于|9a＋1－1|<|3a－5－1|，即|3a－6|>9a⇒3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t －6<0．当t2－t＋6<0时，无解．当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a<log32．3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞)C 解析：由f(x)的图象过定点(2,1)可知b＝2．因为f(x)＝3x－2在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9．故选C．4．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________；又f(x)在R 上是减函数，则实数a的取值范围是________．(3，－1) 解析：对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(x)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．又∵函数f(x) ＝(2a－1)x－3－2 在R上是减函数，故有0<2a－1<1，求得 <a<1．故答案为(3，－1)；．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1．利用函数单调性．2．通过中间量比较大小．3．作差或商比较1．构造函数．2．统一幂指数．3．化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．A 解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝．因为0<<1，所以函数y＝为减函数．又因为>，所以b＝<＝c．再比较a与c，因为＝>＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b．故选A．思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．A 解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝＝，b5＝＝，c5＝＝，所以a5>c5>b5，即a>c>b．故选A．思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．A 解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b．故选A．1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．2．基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识．解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝a x与幂函数g(x)＝x b“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较a b与b a的大小；(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．解：(1)依题意得解得所以F(x)＝(2)因为a b＝＝，b a＝，指数函数y＝在R上单调递减，所以＜，即a b＜b a．(3)由(m＋4)＜(3－2m)，得解得－＜m＜，所以m的取值范围是．。
指数函数公式
指数函数公式指数函数在数学中是非常重要的一类函数，其具有形如f(f)=f f的特定形式。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括数学、物理、经济学等。
本文将介绍指数函数的定义、性质和常见应用。
定义指数函数是以一个固定常数为底数，自变量为指数的函数。
通常表示为f(f)=f f，其中f是底数，f是指数。
在指数函数中，底数f必须为正实数且不能等于1，而指数f可以是任意实数。
性质指数函数具有以下几个重要的性质：1.增长性：当f1<f2时，若f>1，则f f1<f f2；若0<f<1，则f f1>f f2。
这意味着指数函数可以具有不同的增长趋势，取决于底数的大小。
2.取值范围：对于任意正实数f，指数函数的取值范围是 $(0,+\\infty)$。
这意味着指数函数的值始终是正数。
3.性质关联：指数函数与对数函数是互逆的。
即$a^{(\\log_a(x))} = x$ 和 $\\log_a(a^x) = x$。
常见应用指数函数在许多领域中都有重要的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：1. 人口增长模型人口增长模型是指预测和研究人口数量随时间变化的模型。
在人口学中，指数函数经常被用来描述人口的增长。
当人口增长速度与当前人口数量成正比时，可以使用指数函数来建模。
例如，经典的 Malthusian 模型将人口增长率设定为与当前人口数量成正比，这时人口数量可以用指数函数来描述。
2. 财务领域中的复利计算复利是一种常见的财务概念，它指的是将利息再投资于本金，从而获得更大的收益。
指数函数可以用来计算复利的增长情况。
例如，设定初始本金为P，年利率为r，投资年数为n，则复利计算公式为 $A = P \\times (1 + r)^n$，其中 A 为最终获得的总金额。
3. 自然科学中的衰减过程在自然科学中，很多衰减过程可以使用指数函数来描述。
例如，放射性元素的衰变、药物浓度的降低等都可以用指数函数模型来分析。
指数与指数函数
指数与指数函数1.指数及其相关概念：（1）n 次方根：如果存在实数x ，使得x n =a(a ∈R,n>1,n ∈N ＊)，那么x 叫做a 的n 次方根.（2）求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称作开方运算；当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.表示为： ；当n 是偶数时，正数的n 次方根有 个，表示为 ； 2.分数指数：正分数指数幂：nma = ；（a>0,m,n ∈N*,且n>1）负分数指数幂：nma= = ；（a>0,m,n ∈N*,且n>1） 3.指数幂的运算性质：n n a )(= ；n n a = (当n 为奇数时);n n a = =(当n 为偶数时);（1）a r·a s= ;(a>0,r,s ∈Q)（2）(a s )r = = ;(a>0,b>0,r,s ∈Q) （3）(ab)r = ;(a>0,b>0,r,s ∈Q)4.指数函数：（1）定义：一般地，函数y=a x (a>0且a ≠1,x ϵR)叫做指数函数. （2）图象性质：（3）结合函数图象总结出a 、x 、a x 三者之间的一种大小关系：当x>0时，若a>1，则a x1；若0<a<1，则 ；当x<0时，若a>1，则 ；若0<a<1，则a x 1.【例1】(1)填空：①33)5(-= ②2)3(-= ③122+-x x = (x<1)；④3344)3()3(ππ---= ；⑤328= ；⑥2125-=；743)8116(-=.【例2】(1)已知23)1()64(23-+=---y x x x ，则yx1的值为 .(2)若36221144a a a -=+-，则实数a 的取值范围是（ ） A.a ∈R B.a=0.5 C.a>0.5 D.a ≤0.5 (3)若232=-x，则x= .【例3】(1)函数f(x)=a x 与g(x)=ax-a 的图象大致是( )(2)曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y 1=a x，y 2=b x，y 3=c x，y 4=d x的图象，判断a ，b ，c ，d ，1的大小关系是 .函数图象过定点问题【例4】(1)指数函数y=a x (a>0,且a ≠1)的图象恒过定点 . (2)函数f(x)=a x+2+2(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点 . 【例5】(1)比较下来各题中两个值的大小： ①1.72.5,1.73； ②0.8-0.1,0.8-0.2； ③1.70.3,0.93.1； ④1.7-0.3,0.9-3.1..(2)设a=52)53(，b=53)52(，c=52)52(，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a【例6】求下列函数的定义域、值域： (1)112-=x y ； (2)xy -=3； (3)2212x x y -+=..【例7】(1)函数f(x)=xx x f 22)31()(-=的单调增区间为 ，值域为 .(2)已知324)(1+-=+x x x f .①当f(x)的定义域为(-∞,0]时，函数的值域为 ； ②当f(x)的值域为[2,11]时，x 的取值范围是 .课堂练习：1.如果函数f(x)=(1-2a)x 在实数集R 上是减函数,那么实数a 的取值范围是( )A.(0,0.5)B.(0.5,＋∞)C.(-∞,0.5)D.(-0.5,0.5)2.若(41)2a ＋1<(41)3－2a ，则实数a 的取值范围是( )A.(21,+∞) B.()1，＋∞ C.(－∞，1) D.(-∞,21)3.设y 1=40.9，y 2=80.48，y 3=(21)－1.5，则( )A.y 3>y 1>y 2B.y 2>y 1>y 3C.y 1>y 2>y 3D.y 1>y 3>y 24..若函数y=3·2x-1的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ）A.（2，5）B.（1，3）C.（5，2）D.（3，1）5.设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f(x)=3x －1，则有( )6.若10x =3,10y =4,则10x-y = .7.函数y=3232x -的单调递减区间是 . 8.下列空格中填“>、<或＝”．(1)1.52.5______1.53.2，(2)0.5－1.2______0.5－1.5. 9.填空：(1)已知函数f(x)=2x ,①当x ≤1时，函数值域为 ；②当x>0时，函数值域为 ；(2)已知函数g(x)=(0.5)x ,1当x ≥0时，函数值域为 ；2当x<1时，函数值域为 .10.根据下列条件确定实数x 的取值范围：)10()1(21≠><-a a aa x 且．11.设0<a<1,解关于x 的不等式a 1322+-x x >a 522-+x x.12.已知a>0且a ≠1，讨论f(x)=a-x 2＋3x ＋2的单调性．13.求函数1)21()41()(+-=x x x f (x ∈[-3,2])的单调区间及其值域.14.已知xx x x x f --+-=10101010)(.(1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明：f(x)是定义域内的增函数；(3)求f(x)的值域.。
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第5节 指数与指数函数 课件(40张)
分数指数幂 负分数指数幂
1 规定 a－mn＝ 1m＝__n_a_m__(a>0，m，n∈N*，n>1)
an
0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于_0__，0 的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝__a_r＋__s __(a>0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝__a_r_s _(a>0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝__a_rb_r__(a>0，b>0，r∈Q). 5．指数函数定义 一般地，函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 _R___．
在(－∞，＋∞)上是_减__函__数___
[必记结论] 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
第二章 函 数
[课标解读] 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2.了解指数函数 的实际意义，理解指数函数的概念． 3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函 数的单调性与特殊点．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果_x_n_＝__a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)根式：式子n a叫做根式，这里 n 叫做_根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数___．
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点 1 指数幂的运算 【考点集训】
指数运算与指数函数
§2.7 指数运算与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理 1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ＋. (2)式子na 叫作根式，这里n 叫作根指数，a 叫作被开方数． (3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂 (1)正分数指数幂给定正数a 和正整数m ，n (n >1，且m ，n 互素)，若存在唯一的正数b ，使得b n ＝a m ，则称b 为a 的mn 次幂，记作b ＝mn a .这就是正分数指数幂．(2)负分数指数幂给定正数a 和正整数m ，n (n >1，且m ，n 互素)，定义m na －＝1m na＝1na m，这就是负分数指数幂．3．无理数指数幂一般地，给定正数a ，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数a α，自然地，规定a －α＝1a α.4．指数幂的运算性质a αa β＝a α＋β；(a α)β＝a αβ；(ab )α＝a αb α(a >0，b >0，α，β∈R )． 5．指数函数及其性质(1)定义：给定正数a ，且a ≠1时，对于任意的实数x ，都有唯一确定的正数y ＝a x 与之对应，因此y ＝a x 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4(－4)4＝－4.( × )(2)2a ·2b ＝2ab .( × )(3)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x－1的值域是(0，＋∞)．( × ) (4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) 教材改编题1．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x＋b都是指数函数，则a ＋b 等于( )A ．不确定B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1，由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1. 2．计算：()()222327130π－－＋－－＝________.答案 1 解析 原式＝2333⎛⎪⨯⎫⎝⎭－＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________. 答案 2或12解析 若a >1，则f (x )max ＝f (1)＝a ＝2；若0<a <1，则f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝2，得a ＝12.题型一 指数幂的运算 例1 计算： (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93； (2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅(a >0，b >0)．解(1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93 ＝1＋2233222710938⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫322－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19.(2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅＝331322223322240.1a b a b--⋅⨯⨯＝2×1100×8＝425.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 跟踪训练1 计算： (1)933713332÷·aa a a -- ；(2)()13633470.001+16+238-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭.解 (1)因为a －3有意义，所以a >0，所以原式＝7139333322a a a a --⋅÷⋅＝3a 3÷a 2＝a ÷a ＝1.(2)原式＝()()61113343234101+2+23-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭－＝10－1＋8＋23·32＝89. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知非零实数a ，b 满足3a ＝2b ，则下列不等关系中正确的是( ) A ．a <bB ．若a <0，则b <a <0C ．|a |<|b |D ．若0<a <log 32，则a b <b a 答案 BCD 解析 如图，由指数函数的图象可知，0<a <b 或者b <a <0，所以A 错误，B ，C 正确； D 选项中，0<a <log 32⇒0<a <b <1，则有a b <a a <b a ，所以D 正确．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案BD解析由函数f(x)＝a x－b的图象可知，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝a x－b的图象是由y＝a x的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确．题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式大小 例3 设a ＝30.7，b ＝2－0.4，c ＝90.4，则( )A ．b <c <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <a <c答案 D解析 b ＝2－0.4<20＝1，c ＝90.4＝30.8>30.7＝a >30＝1， 所以b <a <c .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (2023·青岛模拟)已知y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0) C ．(0,1)∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 ∵y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x －3·2x ＋3≤7. ∴－1≤2x ≤1或2≤2x ≤4. ∴x ≤0或1≤x ≤2.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝8x ＋a ·2x a ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )，且f (x )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2], 都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝1a ×2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以1a ×12x ＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1a ×2x ＋12x ， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ＝0， 即1a＋1＝0，解得a ＝－1.(2)因为f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥m ⎝⎛⎭⎫12x －2x ， 所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的有( )A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案 AC解析 对于A 中，由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，函数f (x )的图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 错误；对于C 中，设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋yy －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1,1)，所以C 正确；对于D 中，对∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，可得函数f (x )为减函数，而f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．(2)已知函数f (x )＝24313ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋，若f (x )有最大值3，则a 的值为________．答案 1解析 令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )， ∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，则⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1.课时精练1．若m ＝5(π－3)5，n ＝4(π－4)4，则m ＋n 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．1 D ．7 答案 C解析 m ＋n ＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f (x )＝(2a 2－5a ＋3)a x 在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意得2a 2－5a ＋3＝1，∴2a 2－5a ＋2＝0，∴a ＝2或a ＝12.当a ＝2时，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a ＝12时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． ∴a ＝2.3．函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当a >1时，0<1a <1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a个单位长度可得，故A ，B 错误；当0<a <1时，1a >1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度可得，故D 正确，C 错误．4．已知1122x x－＋＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 答案 B 解析 因为1122x x－＋＝5，所以21122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝52，即x ＋x －1＋2＝25，所以x ＋x －1＝23，所以x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝23.5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．2a ＋2b >2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0 答案 CD解析 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错，C 对． 由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错，D 对．6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a >1，函数y ＝(a －1)x －1＋1的图象必过定点A (m ，n )，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x 的定义域为[0,2]，g (x )＝f (2x )＋f (x )，则g (x )的值域为( ) A ．(0,6] B ．(0,20] C ．[2,6] D ．[2,20]答案 C解析 令x －1＝0得x ＝1，y ＝2，即函数图象必过定点(1,2)， 所以m ＝1，n ＝2，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x＝2x，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤2x ≤2，解得x ∈[0,1]，g (x )＝f (2x )＋f (x )＝22x ＋2x ，令t ＝2x ， 则y ＝t 2＋t ，t ∈[1,2]， 所以g (x )的值域为[2,6]． 7．计算化简： (1)()1123232770.02721259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________；232a --÷＝________.答案 (1)0.09 (2)1566a b-解析 (1)112323277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.232a --÷＝2211333212113332a bb a a ba b ---⨯＝2112112132332333·ab＋－－－－－＝1566.a b －8．已知函数f (x )＝3x ＋1－4x －5，则不等式f (x )<0的解集是________． 答案 (－1,1)解析 因为函数f (x )＝3x ＋1－4x －5，所以不等式f (x )<0即为3x ＋1<4x ＋5，在同一平面直角坐标系中作出y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象，如图所示，因为y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象都经过A (1,9)，B (－1,1)，所以f (x )<0，即y ＝3x ＋1的图象在y ＝4x ＋5图象的下方，所以由图象知，不等式f (x )<0的解集是(－1,1)．9．已知定义域为R 的函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a >0，且a ≠1)是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f (1)<0，判断函数f (x )的单调性，若f (m 2－2)＋f (m )>0，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，∴k ＝2，经检验k ＝2符合题意，∴k ＝2.(2)f (x )＝a x －a －x (a >0，且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1， ∴0<a <1，从而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x 在R 上单调递增，故由单调性的性质可判断f (x )＝a x －a －x 在R 上单调递减，不等式f (m 2－2)＋f (m )>0可化为f (m 2－2)>f (－m )，∴m 2－2<－m ，即m 2＋m －2<0，解得－2<m <1，∴实数m 的取值范围是(－2,1)．10．(2023·武汉模拟)函数f (x )＝a 2x ＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a 的值．解 由f (x )＝a 2x ＋a x ＋1，令a x ＝t ，则t >0，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 其对称轴为t ＝－12. 该二次函数在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增． ①若a >1，由x ∈[－1,1]，得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋a ＋1＝13，解得a ＝3或a ＝－4(舍去)．②若0<a <1，由x ∈[－1,1]，可得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a ＋1＝13.解得a ＝13或a ＝－14(舍去)． 综上可得，a ＝3或13.11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0,2)答案 ABD解析 ∵函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象过原点， ∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |－a ， 且f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2，故A 正确； 由于f (x )为偶函数，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于在(－∞，0)上，f (x )＝2－2·2x 单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；∵⎝⎛⎭⎫12|x |∈(0,1]，∴f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2∈[0,2)，故D 正确． 12．(2022·长沙模拟)若e x －e y ＝e ，x ，y ∈R ，则2x －y 的最小值为________．答案 1＋2ln 2解析 依题意，e x ＝e y ＋e ，e y >0，则e 2x －y ＝e 2x e y ＝(e y ＋e )2e y ＝e y ＋e 2ey ＋2e ≥2e y ·e 2e y ＋2e ＝4e ， 当且仅当e y ＝e 2ey ，即y ＝1时取“＝”， 此时，(2x －y )min ＝1＋2ln 2，所以当x ＝1＋ln 2，y ＝1时，2x －y 取最小值1＋2ln 2.13．(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系为( )A ．f (c x )≥f (b x )B ．f (c x )≤f (b x )C ．f (c x )>f (b x )D ．f (c x )＝f (b x )答案 A解析 根据题意，函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，则有b 2＝1，即b ＝2， 又由f (0)＝3，得c ＝3，所以b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x <0，则有c x <b x <1，而f (x )在(－∞，1)上单调递减，此时有f (b x )<f (c x )，若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f (b x )＝f (c x )，若x >0，则有1<b x <c x ，而f (x )在(1，＋∞)上单调递增，此时有f (b x )<f (c x )，综上可得f (b x )≤f (c x )．14．(2023·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－23，0 解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝－03x －m ＋1，∴2m ＝－03x -－03x ＋2，构造函数y ＝－03x -－03x＋2， x 0∈[－1,1]， 令t ＝03x ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增， 在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时， 函数取得最小值－43， ∴y ∈⎣⎡⎦⎤－43，0， 又∵m ≠0，∴－43≤2m <0， ∴－23≤m <0.。
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，0<b <1D. 0<a <1，b <0 分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0<a <1，当x =0时，b a -∈(0,1)，故-b >0，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故0<b <1，故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①0<b <a ，②a <b <0，③0<a <b ，④b <a <0，⑤a =b =0.其中不可能．．．成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2.52 函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12； 当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1） 求a,b 的值.（2） 若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（ ）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（ ） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。
课时作业8：2.5 指数与指数函数
2.5 指数与指数函数一、选择题(每小题5分，共30分)1．若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( ) A ．0 B.33 C ．1 D.32．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c 3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12 2x －x2的值域为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，12C.⎝⎛⎦⎤0，12D ．(0,2] 4．若函数y ＝a x ＋b 的图象如图2－5－1，则函数y ＝1x ＋a ＋b ＋1的图象为（ ）图2－5－15．(2014·济南模拟)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋1e x －1cos x 是奇函数，则常数a 的值等于( )A ．－1B ．1C ．－12 D.126．(2013·课标全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2，x ＜2⎝⎛⎭⎫12x ，x ＞2则f (－3)的值为________．8．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.9．已知0≤x ≤2，则y ＝4x－12－3·2x ＋5的最大值为________．三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(1)计算：；(2)化简：(式中字母都是正数)．11．(12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．12．(13分)设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数；(1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．答案一、选择题(每小题5分，共30分)1．【答案】 D2．【答案】 C3．【答案】 A4．【答案】 C5．【答案】 D6．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．【答案】 188．【答案】 149．【答案】 52三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．【答案】 (1)原式＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝⎛⎭⎫－179＋2×2＝29.＝a 13×a ×a 23＝a 2.11．【答案】 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x，x ∈[－3,0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1，故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0 (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2ax 2－x －1＝0在(0，＋∞)上有解．解法一：记g (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，解为x ＝－1＜0，不成立．当a ＜0时，开口向下，对称轴x ＝14a ＜0，过点(0，－1)，不成立．当a ＞0时，开口向上，对称轴x ＝14a ＞0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以，a＞0.解法二：方程2ax 2－x －1＝0可化为a ＝x ＋12x 2＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋122－18，∴a 的范围即为函数g (x )＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋122－18在(0，＋∞)上的值域所以，a ＞0.12．【答案】 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1.(1)∵f (1)＞0，∴a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x ，而当a ＞1时，y ＝a x 和y ＝－a －x 在R 上均为增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，原不等式化为：f (x 2＋2x )＞f (4－x )，∴x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，∴x ＞1或x ＜－4，∴不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}．(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)， ∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝h (x )在[ 1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，即h (x )≥h (1)＝32.∴g (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，∴当t ＝2时，g (x )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)， 当x ＝log 2(1＋2)时，g (x )有最小值－2.。
必修1-2-5 指数函数应用题
4倍
B.(1+x)20=2
D.(1+x)20=4
解:设1980年我国国民生产总值(GDP)为a万亿元,则 到2000年翻两番,达到____ 4a 万亿元,方程为 a (1+x)20=4a ∴ (1+x)20=4
自主探究: P57～58 例8(人口增长问题)
深入探究: P58 探究(1)、(2)、(3)、(4).
3.按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设 本利和为y元,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数解 析式. 如果存入本金1000元,每期利率2.25％,试计算5期后本利 和是多少?(精确到1元)
复利？
本利和=本金+利息, 利息=本金×利率
储蓄:本金、利息、利率?
深入探究: P60B3(解答)
深入探究: P58 探究(4).
(4) 如果年平均增长率为2％,那么2100年(即101年后) 我国的人口数为:y=13×1.02101≈96.064亿. 如果年平均增长率为1％,那么2100年(即101年后) 我国的人口数为:y=13×1.01101≈35.514亿. 两种情况下人口数相差约60亿. 结论: 实行计划生育,
指数函数的概念与性质
指数函数的概念与性质指数函数是高中数学中的一个重要概念，它在各个学科中都有广泛的应用。
本文将介绍指数函数的概念，并详细讨论其性质和特点。
一、指数函数的概念指数函数是以底数为常数且指数为变量的函数，通常以f(x) = a^x 的形式表示，其中a为底数，x为指数，a为正数且不等于1。
指数函数是一种具有指数增长或指数衰减特征的函数，其增长速度非常快。
当x增大时，函数值也会迅速增大；当x减小时，函数值会迅速减小。
在实际应用中，指数函数常用于描述人口增长、金融投资、物质衰变等现象。
它具有十分重要的意义。
二、指数函数的性质1. 定义域和值域对于指数函数f(x) = a^x，其定义域为全体实数集R，即指数可以是任意实数。
值域的范围与底数a有关：- 当a>1时，函数的值域为(0, +∞)，即正实数集；- 当0<a<1时，函数的值域为(0, 1)，即(0, 1)之间的正实数集。
2. 奇偶性指数函数的奇偶性与底数有关：- 当底数a为正数时，指数函数为奇函数，即f(-x) = 1/(a^x) = 1/f(x)。
图像关于原点对称；- 当底数a为负数时，指数函数为偶函数，即f(-x) = a^x = f(x)。
图像关于y轴对称。
3. 单调性当底数a>1时，指数函数是递增函数，即对于任意的x₁ < x₂，有a^(x₁) < a^(x₂)；当0<a<1时，指数函数是递减函数，即对于任意的x₁ < x₂，有a^(x₁) > a^(x₂)。
4. 极限性质当x趋向于无穷大时，指数函数具有如下极限性质：- 当a>1时，a^x的极限为正无穷大，即lim(x→+∞) a^x = +∞；- 当0<a<1时，a^x的极限为0，即lim(x→+∞) a^x = 0。
5. 图像特点指数函数的图像特点与底数a的大小有关：- 当0<a<1时，函数的图像在x轴上方，随着x的增大而逐渐趋近于x轴；- 当a>1时，函数的图像在x轴下方，随着x的增大而迅速上升；- 当a=1时，指数函数退化为常数函数，即f(x) = 1。
2021高三统考北师大版数学一轮学案：第2章第5讲指数与指数函数含解析
2021高三统考北师大版数学一轮学案：第2章第5讲指数与指数函数含解析第5讲指数与指数函数基础知识整合一、指数及指数运算1．根式的概念根式的概念符号表示备注如果错误!x n＝a，那么x叫做a的n次方根—n>1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次方根是一个错误!正数，负数的n次方根是一个错误!负数错误!零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有错误!两个，它们互为错误!相反数±n，a(a＞0)负数没有偶次方根2．分数指数幂（1)a错误!＝错误!错误!(a＞0，m，n∈N*,n＞1）；(2)a－错误!＝错误!错误!＝错误!错误!（a＞0,m，n∈N＊，n＞1）;（3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质（1）a r·a s＝a r＋s(a〉0,r，s∈Q)；(2）(a r）s＝a rs（a〉0，r,s∈Q）；(3）（ab）r＝a r b r（a>0,b>0,r∈Q）．二、指数函数及其性质1．指数函数的概念函数错误!y＝a x（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数．说明：形如y＝ka x,y＝a x＋k(k∈R且k≠0，a〉0且a≠1)的函数叫做指数型函数．2．指数函数的图象和性质底数a〉10〈a〈1图象性质函数的定义域为R，值域为（0,＋∞)函数图象过定点(0，1）,即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y〉1；当x〈0时，恒有0〈y〈1当x>0时，恒有0〈y<1;当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数1．（n，a)n＝a（n∈N＊且n〉1）．2.n，a n＝错误!n为偶数且n>1.3．底数对函数y＝a x（a〉0，且a≠1)的函数值的影响如图（a1〉a2〉a3〉a4)，不论是a>1，还是0〈a〈1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a〉0,且a≠1时，函数y＝a x与函数y＝错误!x的图象关于y 轴对称．1．化简［（－2）6］错误!－(－1)0的结果为(）A．－9 B．7C．－10 D．9答案B解析［(－2）6］错误!－(－1）0＝（26)错误!－1＝7.2．函数f（x）＝错误!x＋1(x≥0）的值域为()A．（－∞，2］B．（2,＋∞)C．（0,2］D．(1,2］答案D解析∵当x≥0时，错误!x∈（0，1］，∴错误!x＋1∈（1,2］，即f（x）的值域为(1，2］．3．（a2－a＋2)－x－1<(a2－a＋2）2x＋5的解集为(）A．（－∞,－4) B．（－4，＋∞)C．(－∞,－2) D．(－2，＋∞)答案D解析∵a2－a＋2>1，∴－x－1〈2x＋5，∴x>－2,选D．4．（2019·德州模拟）已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则（）A．a〈b<c B．c<b<aC．c<a〈b D．b〈c〈a答案D解析因为y＝错误!x在R上为减函数，错误!>错误!,所以b<c.又y ＝x错误!在(0，＋∞）上为增函数，错误!〉错误!，所以a〉c，所以b 〈c<a.故选D．5．(2020·蒙城月考)已知0<a〈1，b<－1,则函数y＝a x＋b的图象必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析y＝a x＋b的图象如图．由图象可知,y＝a x＋b的图象必定不经过第一象限．6．若x＋x－1＝3，则x错误!＋x－错误!＝________；x2＋x－2＝________.答案错误!7解析∵(x错误!＋x－错误!）2＝x＋x－1＋2＝5,且x错误!＋x－错误!>0，∴x错误!＋x－错误!＝错误!。
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第二章 函数与基本初等函数
(4)分数指数幂的运算性质
①ar·as＝
ar＋s(a>0，r，s∈Q) ；
②(ar)s＝
ars(a>0，r，s∈Q)
；
③(ab)r＝ arbr(a>0，b>0，r∈Q) ．
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∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
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第二章 函数与基本初等函数
∴f(3)＞f(2)＞f(0)＝0且g(0)＝－1， ∴g(0)＜f(2)＜f(3)，故选D. [答案] D
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第二章 函数与基本初等函数
比较下列各组数的大小： (1)0.80.5与0.90.4；(2)40.9,80.48，( )－1.5. [分析] 比较大小题，可考虑函数的单调性或与特殊 值比较，以确定大小．
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第二章 函数与基本初等函数
(3)分数指数幂 ①规定正数的正分数指数幂的意义是
(a>0，m，n∈N*，且n>1). .
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义
相仿，规定：
(a>0，m，n∈N*，且n>1) .0的正
分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(4)分数指数幂的运算性质
① ar·as ＝ ar ＋ s(a>0 ， r ， s∈Q) ； ② (ar)s ＝ ars(a>0 ， r ， s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
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[解] (1)∵0.80.5<0.90.5，又0.90.5<0.90.4， ∴0.80.5<0.90.4. (2)∵40.9＝21.8,80.48＝21.44，( )－1.5＝21.5， 又y＝2x在R上为增函数， ∴21.8>21.5>21.44. ∴40.9>( )－1.5>80.48. [点评与警示] (1)题为“搭桥”法，即当两个数不好 比较大小时，可找到一个与题中两个数都能比较大小的数， 从而利用“桥梁”解决问题． (2)题为单调性法，可用单调函数比较几个数的大小．
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第二章 函数与基本初等函数
1．指数的概念及运算性质
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．其中n>1，且 n∈N*.
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3．(2009·江苏)已知a＝
，函数f(x)＝ax，若实数
m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．
[解析] 考查指数函数的单调性．
a＝
∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)＞
f(n)得：m＜n [答案] m＜n
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2．指数函数的图象和性质
a>1
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0<a<1
图 象
(1)定义域： R (2)值域： (0，＋∞)
性 (3)过点 (0,1) ，即 x＝0时，y＝1 质
(4)当x>0时， y>1； x<0时， 0<y<1
(5)是R上的增 函数
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(1)定义域： R (2)值域：(0，＋∞) (3)过点(0,1) ， 即 x＝0时，y＝1
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第二章 函数与基本初等函数
比较下列各组数的大小：
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(2)考查指数函数 y＝1.9x，由于 1.9>1，所以函数 y＝
1.9x 在(－∞，＋∞)上是增函数．
[解析] 由 f(1)＝19，得 a2＝19，于是 a＝13，因此 f(x)
＝(13)|2x－4|.因为 g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，
所以 f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
[答案] B
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因为－34<－23<0，所以 0<1.9－34<1.9－23<1.
考查指数函数 y＝0.7x，由于 0<0.7<1，
所以函数 y＝0.7x 在(－∞，＋∞)上是减函数．
又因为－13<0，所以 0.7－13>1.
故它们的大小关系是 0.7－13>1.9－23>1.9－34.
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化简或求值：
[分析] ห้องสมุดไป่ตู้用指数幂的运算性质．
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[点评与警示] 根式的运算常常化成幂的运算来进行， 计算结果如果没有特殊要求，就用分数指数幂的形式表 示．
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求值或化简
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2．(2008·高考安徽卷)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇 函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．f(0)＜f(3)＜f(2) C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3) [解析] ∵f(x)－g(x)＝ex且f(x)、g(x)分别为R上的奇 函数、偶函数，
(4)当x>0时， 0<y<1； x<0时， y>1
(5)是R上的 减 函数
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第二章 函数与基本初等函数
1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)，满足f(1)＝ ，则
f(x)的单调递减区间是
()
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]