第五节指数与指数函数解读

(iii)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
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3.指数函数的图象与性质
a>1 图象
0<a<1
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定义域 值域 性质
R (0,+∞)
过定点 (0,1)
当x>0时, 当x<0时,
y>1
;
0<y<1
在(-∞,+∞)上是 单调增.函数
当x>0时, 当x<0时,
0<y<1 ; y>1
如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)
对应的图象如图所示,那么g(x)= ( )
A. 1 x
2
B.-
1
x
2
C.2-x
D.-2x
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答案
D
由题图知f(1)= 1 ,∴a=
2
,1f(x)=
2
1 2
x
,
由题意得g(x)=-f(-x)=-
1 2
x
=-2x,选D.
1
5.(2015北京,10,5分)2-3,32 ,log25三个数中最大的数是
1.指数幂的概念 (1)根式的概念
教材研读
根式的概念
符号表示
如果① xn=a ,那么x叫做
a的n次方根
当n为奇数时,正数的n次
方根是一个② 正数 ,
na
负数的n次方根是一个③
负数
当n为偶数时,正数的n次
方根有④ 两个 ,它们互
±na
为⑤ 相反数
备注 n>1且n∈N* 零的n次方根是零
负数没有偶次方根
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是
.
答案 (1)D (2)-1≤b≤1
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解析 (1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减, 所以0<a<1. 函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax图象的基础上向左平移得到的,所以b<0,故 选D. (2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1≤b≤ 1.
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2-1 若将本例(2)改为:若直线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共 点,求b的取值范围.
解析 曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,若曲线y=|2x-1|与直线 y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).
)× 1
a3
a
1
2b3
×
5
a6
1
1
2
=a 3 ×a×a 3
=a2.
a6
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(1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法 则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时 含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
答案 log25
解析
∵2-3=
1 8
<1,1<3
1 2
<2,log25
>2,
∴这三个数中最大的数为log25.
6.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为
答案 (2,3)
解析 ∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0<a-2<1,即2<a<3.
. .
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考点突破
指数幂的化简与求值
-1=
1
4 3
1( 5 )2 5 23
10
21
-
3 2
3
1
3
5
-1=2
3
-2
-1=0.
(2)原式=
a3[(a3 )3 (2b3 )3 ]
1Βιβλιοθήκη Baidu
1
1
1
(a3 )2 a3 (2b3 ) (2b3 )2
÷a3
2b3 a
× (a a3 )2 1 11 (a2 a3 )5
11
1
=a 3 (a 3 -2b 3
(ii)正数的负分数指数幂:
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m
a n=
1
m
an =
1
n am (a>0,m,n∈N*,n>1).
(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质
(i)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q).
(ii)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q).
在(-∞,+∞)上是
单调减函数
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1
1.计算[(-2)6]2 -(-1)0的结果为 ( )
A.-9 B.7 C.-10 D.9
答案
B
原式=
6
2
1
2-1=23-1=7.故选B.
2.化简 4 16x8y4 (x<0,y<0)得 ( )
A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y
1
1
1
1
答案 D ∵x<0,y<0,∴4 16x8 y4=(16x8·y4 )=4 1 6·4(x8 )·4(y4 )=4 2x2|y|=-2x2y.
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(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过 这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最 基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到的.特别 地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不 等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
3.函数f(x)=3x+1的值域为 ( ) A.(-1,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1,+∞)
答案 B ∵3x>0,∴3x+1>1,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+∞).
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4.(2015北京丰台一模,7)已知奇函数y=
f g
(x), (x),
x x
0, 0.
1-1 化简: 1 1 .
a2 a2 a
解析
原式=
1
a2
1 1=
a2 a2
1
a2
1
(a2
11
a2 )2
=
a.
1-2
计算:4
a
2 3
b
1 3
÷
2 3
a
1 3
b
1 3
.
解析
原式=(-6)
a
2 3
1 3
b
1 3
1 3
=-6a.
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指数函数的图象及应用 典例2 (1)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ()
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(2)两个重要公式
⑥ a , n为奇数,
n
an
= |
a
|
⑦ a (a ⑧ a (a
0), 0),
n为偶数;
( n a )n=⑨ a (注意a必须使 n a有意义).
2.有理数指数幂
(1)分数指数幂的表示
(i)正数的正分数指数幂:
m
a n =⑩ n am (a>0,m,n∈N*,n>1).
典例1 化简下列各式:
1
(1)[(0.06 4 5
2
) ] -2.5 3
-3
3
3
-π0;
8
4
1
(2)
a 3 8a 3b
2
2
2 ÷ a 3
4b3 2 3 ab a 3
2
3b a
×
5
a 3 a2 a3 a
.
2
解析
(1)原1式=1
1
64 000
1
1
5
5
2
3
-
1
27 8
1
3