水力学1(6)

同理，物体表面沿垂直纸面方向受到的水平分力也为零。
结论：浸入液体中的物体,其表面上静水总压力的水平分力为零。
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2．竖直分力
如图，对于全部浸入 液体中的物体，用与物体 相切的铅直柱面，可将其 表面分割为ACB和ADB上下 两部分。分别画出这两部 分表面的压力体后再叠加, 可得该物体表面的压力体
就是物体表面所围成的体积，并且为虚压力体。 显然，对于部分浸入液体中的物体表面，其压力体也是浸入
ρghdAcosθ
A
ρg Ax hdA x
Ax hdAx 为受压曲面AB在铅直平面上的投影面积对水平oy轴的
静矩.故
Px ρghcAx
该式表明，作用于曲面上静水总压力的水平分力Px等于作用于
该曲面在铅直平面上的投影平面Ax上的静水总压力。
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二、竖直分力
如图作用在微元曲面ab上 静水总压力的竖直分力为
第六讲 第七节 作用在曲面上的静水总压力
作用在曲面上的静水压强方向不是相互平行的， 所以不能简单地按平行力系求和的方法直接计算曲面 的静水总压力。计算时，一般是先计算其水平分力和 竖直分力，然后再求合力。本节着重讨论工程中常见 的静止液体中柱形曲面静水总压力的计算问题，然后 再将其结论推广到三维空间曲面中去。与平面壁静水 总压力的计算一样，这里只考虑相对压强引起的作用
(2) G= gV，物体可以在液体中任何位置保持平衡，称为潜体。
(3) G< gV，物体将不断上浮，直至重力G与浮力Pz相等而使物
体平衡为止，称为浮体。
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第八节 潜体与浮体的平衡及其稳定性 一、潜体的平衡及其稳定
1. 潜体的平衡
假设物体内部质量之不均匀，
重心C和浮心D并不在同一位置。
这时，潜体在浮力及重力作用
P Px2 Pz2 352.82 105.552 368.3kN
θ arctg Pz arctg 105.55 16.66
Px
352.8
作用点D的淹没深度为
hD Rsinθ AF Rsinθ (H Rsinα ) 4sin16.66 4 4sin30 3.15m
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竖直分力为
Pz
ρgVP
ρg[l1(h1
h2 )
1 2
l1h2
]b
9.8[5(6 12)
1 5 12]1 2
588kN
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合力为 P Px2 Pz2 1587.62 5882 1693kN
P的作用线与水平面的夹角为 θ arctg Pz arctg 588 20.32
Px
1587.6
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部分). 水力学中称其为
压力体，以Vp表示. 则
Pz ρg Az hdAz ρg Vp
该式表明，作用在曲面壁 上静水总压力的竖直分力 Pz等于充满于压力体的液 体重量。
可见，正确绘制压力体是计算竖直分力Pz的关键 （1）压力体的绘制
压力体是由以下三种面所组成的几何柱状体
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① 底为受压曲面本身；
下平衡的条件是：
（1）作用与浮体上的浮力和 重力相等，即G=ρgV;
（2）浮力和重力对任意点的 力矩代数和为零，即必须使重 心C和浮心D位于同一条铅垂线 上.图（a）
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2.潜体的稳定 处于平衡状态的潜体，受某种外来干扰使之脱离平衡位置时， 潜体自身恢复平衡的能力.
重心位于浮心之下的潜体如图(b)、(c),是稳定平衡； 重心位于浮心之上的潜体如图(d)、(e),是不稳定平衡。 潜体平衡的稳定条件是重心位于浮心之下。
上述柱形受压曲面的结论，可以应用于任意的三元受压曲面， 不同的是，这时的水平分力不仅有Px还有Pz。所以，三元受压曲 面静水总压力P的大小为
P Px2 Py2 Pz2
因为平面也可以视为特殊的曲面，所以曲面壁静水总压力 的先分解后合成的计算方法，也同样适用于平面壁静水总压力 的计算。
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【例2-9】溢流坝上的弧形闸门AB如图。弧面为圆柱形曲面，已知 闸门半径R=4m，宽b=6m，圆心角α=30°，门轴ｏ与门顶A点在同 一水平面上，坝顶B点的淹没深度H=4m。试求作用于该弧形闸门 上的静水总压力P的大小及其作用点D的位置。
1．P的大小 P Px2 Pz2
2．P的方向 P的方向是其作用线与水平面 的夹角为 θ arctg Pz
Px 7
3．P的作用点 P的作用线与受压曲面的交点D即为静水总压力P的作用点。
显然，P的作用线应通过Px与Pz的交点。对于工程实际中常见的 圆柱形受压曲面，P的作用线必交于圆柱曲面的中心轴。
根据几何关系，可进一步求得P的作用点D的淹没深度为
hD 12.13m
P对ｏ点的力矩为
Mo
Px
h1
h2 3
[
Pz1
(
l1 2
l2
)
Pz2
(
2 3
l1
l2 )]
Pz1 ρgVAABB ρgh1l1b 9.8 6 5 1 294kN
Pz2 ρgVBBC Pz Pz1 588 294 294kN
Mo
1587.6
6
12 3
[294(5 2
12) 294(2 3
5
12)]
754.6kN
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四、作用在物体上的静水总压力——浮力 全部或部分浸入液体中的物体，除受到其自身的重力外，
还始终受到一个竖直向上的浮力作用，如图。这一浮力实质上 就是作用在浸入液体中的物体表面上的静水总压力。下面根据 曲面壁静水总压力的计算方法，导出浮力的计算原理（即阿基 米德原理）
② 顶为自由液面或自由液面的延长面上的投影面；
③ 侧面为沿着受压曲面的边缘向自由液面或自由液面的延长
面所作的铅直面。
注意：当液面的相对压强不
为零，即液面不是测压管水面时,
确定压力体必须以测压管水面为
准，而不能以液面为准。
（2）压力体的虚实
实压力P向下；虚压力体P向上。
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（3）复杂曲面压力体的绘制
三、总压力P
dP ρghdA
2
设dA与铅直面的夹角为，则dP在水平方向的分
力为 式中
dPx dPcosθ ρghdAcosθ ρghdA x
dAx dAcos θ 为dA在铅直面yoz上
的投影面积。因为所有微小曲面上的水平分
力方向都相同，故作用在整个AB曲面上静水总压力的水平分力
Px为
Px
A dPx
dPz dPsin θ ρghdAsinθ ρghdA z
式中 dAz dAsin θ ，为dA在水平面xoy上的投影面积。
所以
Pz
A dPz
ρghdAsinθ
A
ρg Az hdA z
从图可知，上式中的hdAx为微元曲面ab上所托的液体体积a'abb'
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所以
Az hdA z 为AB曲面上所托的液体体积(如图中的A'ABB'
【例2-10】 某挡水坝如图。已知h1=6m，h2=12m，l1=5m，l2=12m， 试求作用在单位宽度坝面上的静水总压力的大小、方向及该静 水总压对ｏ点的力矩。 【解】上游坝面为一折面，可将 其视为一特殊曲面。
水平分力为
Px
ρ g hC A y z
ρ g (h1
2
h2
) ( h1
h2)b
9.8(6 12)(6 12)1 1587.6kN 2
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1．水平分力
三元空间曲面静水总压
力的水平分力，可进一步分
解为沿平行于纸面方向和垂
直于纸面方向的水平力。如
图，当物体全部浸入液体时，
与液体接触的表面可视为一
封闭的或部分封闭的三元空
间曲面。该曲面在左右
两侧铅直平面上的投影面积相等，位置同高。故沿左右两侧作用在
物体表面上的水平分力大小相等、方向相反，可以相互抵消。
液体部分的物体体积，并且也是虚压力体。所以，浸入液体中的
物体始终受到一个数值等于其排开液体的重量，方向竖直向上的
静水总压力Pz,该压力又称为浮力。
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浸入液体中的物体同时受到重力和浮力的作用，设液体密度为， 物体重量为G、体积为V，则它在重力和浮力的共同作用下，可以 有三种情况： (1) G> gV，物体下沉至底，称为沉体；
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如图，AB为母线垂直纸面的柱形 曲面，母线长（即柱面长）为b， 柱面左侧承受水压，水面与大气 相通。将直角坐标系的原点o设 在水面上，ox轴水平向左，oy轴 平行于AB曲面的母线方向，oz轴 铅直向下.
讨论水平分力、竖直分力及其合力的计算方法。 一、水平分力Px
如图，在水深为h处的AB曲面上取一微元曲面ab，其面积 为dA。 则作用在其上的静水总压力为
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当重心与浮心重合时，潜体处于任何位置都是平衡的，称为随 遇平衡。 二、浮体的平衡及其稳定性
1. 浮体的平衡 2. 浮体的稳定性
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小结： 1. 曲面静水总压力水平分力的计算； 2. 曲面静水总压力竖直分力的计算； 3. 压力体的绘制 4. 作用在物体上的静水总压力 作业5 ：2-19（1）、（2）、（5），2-20
πR2 α 1Rsinα Rcosα 360 2
9
3.14 42 30 1 4 sin30 4 cos30 0.723m2 360 2
SACEF AF AC (H Rsinα )(R Rcosα ) (4 4sin30)(4 4cos30) 1.072m2
Pz ρg(S ABC SACEF )b 9.8 (0.723 1.072) 6 105.55kN （3）总压力P
【解】（1）水平分力Px
Px
ρghCAyz
ρg(H)6 4sin30 352.8kN 2
（2）竖直分力Pz
Pz ρgVP ρgS b ABCEF ρg(S ABC SACEF )b