2010年下期《数学模型》考试试卷(A卷)参考答案

1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（ A ）。

A.允许决策模型B.状态转移模型C.马氏链模型D.多步决策模型4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（ D ）。

A.参照惯例的席位分配结果是较合理的B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果C. 席位分配一类问题的Q 值法是较公平的D.存在满足四个公平分配公理的分配方法 10、“层次分析模型”中成比对矩阵)(ij a A =如果满足如下（ D ）式，则称为一致阵。

A 、0>ij aB 、jiij a a 1=C 、11=∑=ni ijaD 、ik jk ij a a a =⋅二、填空题（2分/空×10空=20分）1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=+。

2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是)1(2+=i i i i n n p Q 。

7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。

三、问答题（40分）1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。

(10’)答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。

（2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性；2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。

生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。

生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。

该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。

问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’) 解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量 4分 （2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2（3）确定约束条件：4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制）（4）建立的数学模型为：max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2<120 2x1+ x2>50 x1, x2 >03、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’) 解：令0,1,ij i j x i ⎧=⎨⎩指派第人完成第项工作不指折派第项工作目标函数：111231421222431323334414244min 1518212419231826171619192117Z x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++++约束条件：1121314112223242132333431424344411..11x x x x x x x x st x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。

(10’) 答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 … ； （2）能力：想象力、洞察力 … 。

1.某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。

此外还有以下限制： （1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；超过5年。

若该经理有1000万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。

解：设12345,,,,x x x x x 分别表示购买证卷A,B,C,D,E 的金额（万元），则到期后的净收益为12345max 0.0430.0270.0250.0220.045z x x x x x =++++约束条件为；（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即234400x x x ++≥（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即1234512345225 1.4x x x x x x x x x x ++++≤++++（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。

12345123459154325x x x x x x x x x x ++++≤++++(4)投资总额为1000万123451000x x x x x ++++≤整理得到（以百万为单位）：12345234123451234512345max 0.0430.0270.0250.0220.04546644360410230..0,1,2,3,4,510i z x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x i x x x x x =++++++≥⎧⎪+--+≤⎪⎪+---≤⎨⎪≥=⎪++++≤⎪⎩三、（传染病模型）（25分）模型一：假设（1）每个病人每天传染的人数为常数λ；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；记()i t 表示时刻t 的病人人数，求()i t 所满足的微分方程，求出()i t 并对进行讨论（0(0)i i =）。

模型二：用()()i t s t 、分别表示在t 时刻传染病人数和健康人数，0(0)i i =。

假设(1)每个病人在单位时间内传染的人数与健康人数成正比，比例系数为λ；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；（3）总人数不变，()()i t s i N +=；求t 时刻传染病人数()i t ，并对模型及()i t 进行讨论。

解：模型一：由假设在时间t ∆内，增加的病人人数为()()()i t t i t i t t λ+∆-=∆，于是得到微分方程为()()(0)di t i t dt i i λ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解得0()t i t i e λ=。

讨论：上述函数说明传染病的传播是按指数函数增加的；这个结果与传染病的初期是比较吻合的，传播速度比较快；但当i →+∞，()i t →+∞，这显然不符合实际情况。

模型二：由假设在时间t ∆内，增加的病人人数为()()()()i t t i t i t s t t λ+∆-=⨯∆，于是得到微分方程：0()()()(0)()()di t i t s t dt i is t i t Nλ⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪+=⎩ 模型求解： 原方程变为0()()[()](0)di t i t N i t dt i i λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，利用分离变量法得到，()()[()]di t dt i t N i t λ=-或()()[()]di t dt i t N i t λ=-⎰⎰，1111()()()()di t t c N i i N i t λ+=+-⎰， 或11{ln ()ln[()]}i t N i t t c Nλ--=+化简得到()1Nt NtCNe i t Ceλλ=+，其中1c Nc e =，由初始条件0(0)i i =得 00i c N i =-，故0()111NtNtNtCNe N i t CeN e i λλλ-==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭讨论：首先由()()[()]di t i t N i t dt λ=-知，当()2N i t =时，()di t dt 达到最大值，由0()211NtN Ni t N e i λ-==⎛⎫+- ⎪⎝⎭，推出()di t dt 达到最大值的时刻为110ln 1m N t N i λ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这时病人人数增加最快，预示着传染病高潮的到来；第二，m t 与λ、N 成反比，既总人数和传染强度增加时，传染病高峰来的越快。

同时，如果知道了传染强度λ（可由统计数据给出），总人数N ，则可以预报传染病高峰到来的时间，对于防治传染病是有益处的；第三，模型的缺点是当t →+∞，()i t N →，既所有的人将要生病，这与实际不符。

主要原因是模型假设没有考虑病人会被治愈，病人也可能死亡等情况。

四、（共20分）学生毕业后选择工作，有两个衡量准则：工资水平和个人发展。

现有三个待选单位：321,,A A A 。

假设相对于总目标选择工作C ，准则“工资水平1c ”和“个人发展2c ”21,c c 的权重为T w ]5.0,5.0[0=，相对于准则“工资水平1c ”，方案321,,A A A 的判断距阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1212/1521A ，相对于准则“个人发展2c ”，方案321,,A A A 的判断距阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1535/113/13/131B ，试用和法求方案,,A A A 对总目标的权重。

答：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1212/1521A 中各列归一化⎭ ⎝⎛8/17/117/27/217/57/417/10各行求和 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛385.0830.0785.1再归一化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛128.0277.0595.0=1w 6分131/31/311/5351B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中各列归一化0.2310.3330.2170.0770.1110.1300.6920.5560.652⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求各行平均值 0.2600.1060..633⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=2w 6分所以三个方案321,,A A A 对总目标的权重为：1200.5950.2600.430.5(,)0.2770.1060.190.50.1280.6330.38W w w w ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3分故三个待选单位321,,A A A 的排名为 1，3，2。

1、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策（D ）。

A.称之为状态B.记为s k =(x k , y k )C.是集合S 中的元素D.都是集合D 中的元素8、“传染病模型”中所未涉及的模型是（B ）。

A 、SI 模型B 、SIS 模型C 、SID 模型D 、SIR 模型1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（ A ）。

A.允许决策模型B.状态转移模型C.马氏链模型D.多步决策模型4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（ D ）。

A.参照惯例的席位分配结果是较合理的B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果C. 席位分配一类问题的Q 值法是较公平的D.存在满足四个公平分配公理的分配方法 8、“经济增长模型”中，要保持总产值)(t Q 增长，即要求（ C ）。

A 、0<dtdQB 、0=dtdQC 、0>dtdQD 、0>LQ10、“层次分析模型”中成比对矩阵)(ij a A =如果满足如下（ D ）式，则称为一致阵。