2010年下期《数学模型》考试试卷(A卷)参考答案

1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（ A ）。 A.允许决策模型

B.状态转移模型

C.马氏链模型

D.多步决策模型

4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（ D ）。 A.参照惯例的席位分配结果是较合理的

B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果

C. 席位分配一类问题的Q 值法是较公平的

D.存在满足四个公平分配公理的分配方法 10、“层次分析模型”中成比对矩阵)(ij a A =如果满足如下（ D ）式，则称为一致阵。

A 、0>ij a

B 、ji

ij a a 1

=

C 、

11

=∑=n

i ij

a

D 、ik jk ij a a a =⋅

二、填空题（2分/空×10空=20分）

1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=+。

2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是)

1(2+=i i i i n n p Q 。

7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。

三、问答题（40分）

1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10’)

答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。 （2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；

非预制性；条理性；技艺性；局限性；

2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’) 解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量

x2=生产椅子的数量 4分 （2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大

max z=50x1+30x2

（3）确定约束条件：

4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制）

（4）建立的数学模型为：

max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2<120 2x1+ x2>50 x1, x2 >0

3、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应

如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’) 解：令0,1,ij i j x i ⎧=⎨⎩

指派第人完成第项工作

不指折派第项工作

目标函数：

111231421222431323334414244

min 1518212419231826171619192117Z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++

+++++

约束条件：

1121314112223242132333431424344411..11

x x x x x x x x st x x x x x x x x +++=⎧

⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩

4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10’) 答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 … ； （2）能力：想象力、洞察力 … 。

1.某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益按50%的税率纳税。此外还有以下限制： （1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

超过5年。若该经理有1000万元资金，应如何投资？写出投资计划的数学模型。

解：设12345,,,,x x x x x 分别表示购买证卷A,B,C,D,E 的金额（万元），则到期后的净收益为

12345max 0.0430.0270.0250.0220.045z x x x x x =++++

约束条件为；

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即

234400x x x ++≥

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即

12345

12345

225 1.4x x x x x x x x x x ++++≤++++

（3）所购进证券的平均到期年限不超过5年。12345

12345

9154325x x x x x x x x x x ++++≤++++

(4)投资总额为1000万

123451000x x x x x ++++≤

整理得到（以百万为单位）：

12345234123451234512345max 0.0430.0270.0250.0220.0454

6644360410230..0,1,2,3,4,510i z x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x i x x x x x =++++++≥⎧⎪+--+≤⎪⎪+---≤⎨⎪≥=⎪++++≤⎪⎩

三、（传染病模型）（25分）

模型一：假设（1）每个病人每天传染的人数为常数λ；（2）一个人得病后，经久不愈，

并在传染期内不会死亡；记()i t 表示时刻t 的病人人数，求()i t 所满足的微分方程，求出

()i t 并对进行讨论（0(0)i i =）。

模型二：用()()i t s t 、分别表示在t 时刻传染病人数和健康人数，0(0)i i =。假设(1)每个病人在单位时间内传染的人数与健康人数成正比，比例系数为λ；（2）一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；（3）总人数不变，()()i t s i N +=；求t 时刻传染病人数()i t ，并对模型及()i t 进行讨论。

解：模型一：

由假设在时间t ∆内，增加的病人人数为()()()i t t i t i t t λ+∆-=∆，于是得到微分方程为

()

()(0)di t i t dt i i λ⎧=⎪

⎨

⎪=⎩ 解得0()t i t i e λ=。

讨论：上述函数说明传染病的传播是按指数函数增加的；这个结果与传染病的初期是比较吻合的，传播速度比较快；但当i →+∞，()i t →+∞，这显然不符合实际情况。 模型二：

由假设在时间t ∆内，增加的病人人数为()()()()i t t i t i t s t t λ+∆-=⨯∆，于是得到微分方程：

0()

()()(0)()()di t i t s t dt i i

s t i t N

λ⎧=⎪⎪

⎨=⎪

⎪+=⎩ 模型求解： 原方程变为

0()

()[()](0)di t i t N i t dt i i λ⎧=-⎪

⎨⎪=⎩

，利用分离变量法得到，()()[()]di t dt i t N i t λ=-或()()[()]di t dt i t N i t λ=-⎰⎰，1111

()()()()

di t t c N i i N i t λ+=+-⎰， 或

11

{ln ()ln[()]}i t N i t t c N

λ--=+