最全 解析几何第四版习题答案第四章(完整版)
解析几何第四版课后答案
2019北京初中数学真题分类第27题几何综合汇总（一模考题）2019北京各区一模真题之第27题几何综合题01昌平、15西城27.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF.(1)求证：FB=FD；(2)点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N.①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN.若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.27．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0<α<180），得到线段BD，且AD∥BC．（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值；（3）若AB=2，求AD的长．27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE=DA．作点E关于直线BC 的对称点F，连接BF，DF.（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD=∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．27．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点（不与点B，C重合），连接DE，点C 关于直线DE的对称点为Cʹ，连接ACʹ并延长交直线DE于点P，F是AC′中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP，BP，DP三条线段之间的数量关系，并证明．（3）连接AC ACC′的面积最大值．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.(1)如图1，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE.若∠BAD=α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示)；(2)如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明.图1图206丰台27．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：BF=CE；（2）若CE=AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．如图，在等腰直角△ABC中，90>），连接BD，CA CDÐ=°，D是线段AC上一点（2ABC过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）若ACEαÐ的大小（用含α的式子表示）；Ð=，求ABD（3）若点G在线段CF上，CG BD=，连接DG．①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG，CG，AB之间的数量关系为．27.如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，AD与AB的数量关系，并加以证明；（3）求证：MD=ME．09门头沟27.如图，∠AOB=90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．（1）根据题意补全图1，并证明PE=PF；（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．图1图2∆为等边三角形，点D是线段AB上一点（不与A、B重合）.将线段CD绕点C 27.已知ABC逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE、BE.（1）依题意补全图1并判断AD与BE的数量关系.⊥交EB延长线于点F.用等式表示线段EB、DB与AF之间的数量关系（2）过点A作AF EB并证明.27.在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD 交AC于P．（1）若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．27．如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC ，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG =CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．27．已知：如图，在△ABC中，AB>AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD=α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：AC=FC；（3）用等式直接表示线段BF与DC的数量关系．△中，点D是线段BC上一点.作射线AD，点B关于射线AD的27.如图，在等边ABC对称点为E.连接CE并延长，交射线AD于点F.（1）设BAFα∠=，用α表示BCF∠的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明.27.已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ．（1）求证：ADB ACB ∠=∠；（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．17燕山27.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．(1)①依题意补全图1；②求证：∠EDC ＝∠BAD ；(2)①小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为：；②小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ．想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ．想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形．……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．(一种方法即可)备用图图1。
解析几何第四章习题及解答
第4章 二次曲线和二次曲面习题4.11.在直角坐标系x O y 中，以直线:43120l x y -+=为新坐标系的x '轴，取通过(1,3)A -且垂直于l 的直线为y '轴，写出点的坐标变换公式， 并且求直线1:3250l x y -+=在新坐标系中的方程。
解：直线:43120l x y -+=的方向是(3,4)，与它垂直的方向是(4,3)±-，新坐标系的x '轴的坐标向量取为34(,)55，y '轴坐标向量取为43(,)55-，与直线:43120l x y -+=垂直且的直线方程可设为340x y c ++=，由于过点(1,3)A -，得到直线方程是3490x y ++=，两直线的交点(3,0)-是新坐标原点，所以点的坐标变换公式：34355.43055x x y y ⎡⎤-⎢⎥'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦直线1:3250l x y -+=在新坐标系中的方程：13443:3(3)2()505555l x y x y ''''---++=，化简有1:18200.l x y ''--=2.作直角坐标变换，已知点(6,5),(1,4)A B --的新坐标分别为(1,3),(0,2)-，求点的坐标变换公式。
解：设同定向的点的坐标变换公式是：cos sin .sin cos x x a y y b θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的向量的坐标变换公式是：cos sin .sin cos u u v v θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦由题意知向量(5,1) A B =-变为(1,5)A B ''=-，于是有5cos sin 1.1sin cos 5θθθθ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到125s i n ,c o s .1313θθ==于是点的坐标变换公式是：5121313.1251313x x a y y b ⎡⎤-⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦将点(1,4)B -及它的像点(0,2)代入得到3713,6213a b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以点的坐标变换公式是： 51237131313.12562131313x x y y ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设反定向的点的坐标变换公式是：cos sin .sin cos x x a y y b θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的向量的坐标变换公式是：cos sin .sin cos u u v v θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦由题意知向量(5,1)A B =-变为(1,5) A B ''=-，于是有5cos sin 1.1sin cos 5θθθθ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到s i n 1,c o s 0.θθ=-=于是点的坐标变换公式是：01.10x x a y y b '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦将点(1,4B -及它的像点(0,2)代入得到3,4a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以点的坐标变换公式是： 013.104x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为5,3,22(1)(2) 2.3;22x x y x y y x y x y ⎛''=++ '=-+⎧⎨' =-⎩''=-+- ⎝ 其中，(,)x y 与(,)x y ''分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角θ。
解析几何第四版吕林根课后习题答案一至三章
第一章向量与坐标§1.1 向量的概念1.下列情形中的向量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OA、、OC、、、OF、、BC、CD、、EF和FA中，哪些向量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的向量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，21AC. KL与AC方向相同；在∆DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：(1) AB、; (2) AE、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；互为反向量的向量对是（1）和（4）。
§1.2 向量的加法1.要使下列各式成立，向量ba,应满足什么条件？（1-=+（2+=+（3-=+（4+=-E（5=[解]：（1）,-=+（2）,+=+（3≥且,=+ （4）,+=-（5）,≥-=-§1.3 数量乘向量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从向量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出向量→x ，→y ． 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解 →→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线向量AL , BM ,可 以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线向量CN BM AL ,,构成一个三角形。
解析几何第四版知识题目解析第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==cz yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y t x x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。
解析几何_苏大第四版 课后答案(吕林根_许子道)
1 ∵ AL = ( AB + AC ) 2 1 BM = ( BA + BC ) 2 1 CN = (CA + CB) 2 1 ∴ AL + BM + CN = ( AB + AC + BA + BC + CA + CB ) = 0 2 从而三中线矢量 AL, BM , CN 构成一个三角形。
OA + OB + OC = OL + OM + ON .
PA + PB + PC ＝ 0 . [证明]： “ ⇒ ” 若 P 为△ABC 的重心，则
CP ＝2 PE ＝ PA + PB ,
从而 即
PA + PB － CP = 0 , PA + PB ＋ PC = 0 .
图 1-9
“ ⇐ ” 若 PA + PB ＋ PC = 0 , 则 PA + PB ＝－ PC ＝ CP , 取 E，F，G 分别为 AB，BC，CA 之中点，则有
1 m , μ＝ 1+ m 1+ m 1 m + ＝1. 从而 λ+μ＝ 1+ m 1+ m
λ＝
“ ⇐ ” 设 λ+μ＝1. 则有 OC ＝λ OA ＋μ OB ＝λ OA ＋(1－λ) OB = OB +λ( OA － OB ),
OC － OB ＝λ( OA － OB ),
所以
BC ＝λ BA ,
F
OF 、 AB 、 BC 、 CD 、
DE 、 EF
和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图 1-1，在正六边形 ABCDEF 中， 相等的矢量对是：
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==解析几何第四版答案篇一：解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章第三章平面与空间直线3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于矢量{?1,0,2}的平面（2）通过点M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。
求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。
解：（1）? M1M2?{?2,?2,1}，又矢量{?1,0,2}平行于所求平面，故所求的平面方程为：?x?3?2u?v??y?1?2u?z??1?u?2v?一般方程为：4x?3y?2z?7?0（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：?x?1?2u??y??5?7u ?z?1?3u?v?一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。
（3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： ?{?4,5,?1}，?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：?x?5?4u?v??y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。
（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面? ?{?4,5,?1}， ??{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}均与??平行，所以??的参数式方程为：?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?一般方程为：2x?y?3z?2?0.2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0. 解：?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，xyz???1. ?4?24所以，它的截距式方程为：又与所给平面方程平行的矢量为：{4,?2,0},{4,0,4}，? 所求平面的参数式方程为：?x??4?2u?v??y??u?z?v?3.证明矢量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：AX?BY?CZ?0. 证明：不妨设A?0，则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：DBC?x???u?v?AAA??y?u?z?v??BC故其方位矢量为：{?,1,0},{?,0,1}，AA从而平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：v，{?BC,1,0},{?,0,1}共面? AAXYB?1AC?0A? AX?BY?CZ?0.Z0?0 14. 已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B 点的z坐标.解： ??{?3,2,5?z} 而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0 从而z?18.5. 求下列平面的一般方程.⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.x?2解:平行于x轴的平面方程为y?1z?1?1000?0.即z?1?0.11同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c?? ?2?3c19故一般方程为12x?8y?19z?24?0.⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,x?0∴点法式方程为y?0z?010?2?0 051∴一般方程为2y?z?0.同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?, ⑷?1?2??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, ∴该平面的法向量n??因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0.??. (5) op??2,9,?6?p?op????4?81?36?11.op?p?n0?11?cos?,cos?,cos????2,9,?6?. 296,cos??,cos???. 111111296y?z?11?0. 则该平面的法式方程为:x?111111∴ cos??既 2x?9y?6z?121?0.1,?8,3?，M1M2??（6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n??1,6,1?，点从?4,1,2? ?x?4写出平面的点位式方程为y?1z?2?863111?83?0，则A???26,61B?313?2,C??14,D??26?4?2?28??74， 111则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0. 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。
线性代数与空间解析几何-第四章习题解答
(a − d ) × (b − c ) = a × b − a × c − d × b + d × c = a × b − c × d − a × c + b × d = 0 证：
故a − b与b − c共线。
11
证： AB = {− 1,3,3}
AC = {0,4,2}
AD = {3,1,−4}
i j k n= 1 3 2 = − i + 5 j − 7k 2 −1 −1
(3)
所以 法向量为 { -1，5，-7}
由点法式： -(x-1)+5(y-3)-7(z-2)=0 即 x-5y+7z=0 设平面法向量为 { A, B, C },由点法式平面方程：A(x-2)+B(y-3)=0…………* 因为: 平面平行 Z 轴, 所以：法向量垂直 Z 轴 即
设向量的方向余弦为 cos α . cos β . cos γ。由已知β = α
10 ( 加
A
题
)
1 ∆∆ABC中，D为BC边中点，证明AD = （AB + AC） 。 2
B
D
C
证明：由三角形法则 AD = AB + BD 两式相加得 2 AD = AB + AC , 即 AD =
AD = AC + CD 又 ∵ D为BC中点。 ∴BD = −CD
第四章 空间与向量运算
习题一 1 (1) (2)
AB(1,3,0)
BC (−5,0,0) CA(4,−3,0)
AB = (3 − 2) 2 + (2 + 1) 2 + (1 − 1) 2 = 10
2 A (3，4，0) 在 xoy 面上 B（0，4，3）点在 yoz 面上 C（3，0，0）在 x 轴上 D（0，－1，0）在 y 轴上 3 3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c 4 D C O A B 设四边形 ABCD 中 AC 与 DB 交于 O，由已知 AO＝OC，DO＝OB 因为 AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以 ABCD 为平行四边形。 5
解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解
解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解第一章 矢量与坐标§1.3 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B、D 三点共线．证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21AC AB AL += )(21+=)(21CB CA CN +=)(21=+++++=++∴7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA += += NC ON OC +=)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB +OC +＝4.[证明]：因为＝21(OA +OC ), ＝21(OB +OD ), 所以 2OM ＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB +OC +＝4. 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ．→→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1 [证明]：如图1-7，因为图1-5＝OP －, ＝－OP ,所以 －＝λ (－), (1+λ)OP ＝+λ,从而 OP ＝λλ++1OB. 4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合;（2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合解：（1）()12123131,e e e e -==-=-= ，2111231323131e e e e e +=-+=+=，同理123132e e+=（2）因为 ||||TC ||11e e , 且 BT 与方向相同， 所以 BT ||21e e . 由上题结论有AT||||1||212211e e e e e +||||21e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。
解析几何第四版课后答案全册
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：
(1)AB、CD;
(2) AE、CG;
(3)AC、EG;
(4) AD、GF;
(5)
BE、CH.
图 1—3
[解]：相等的矢量对是
（2）、（3）和（5）；
互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点
∵ADODOABCOCOB
但ADBC
ODOAOCOB OAOCODOB
由于(OAOC)∥AC, (OBOD)∥BD,而AC不平行于BD，
OAOCODOB0，
从而OA=OC，OB=OD。
5. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
|BT|＝|e1|,
|TC||e1|
且BT与TC方向相同，
所以BT＝|e1|TC.
|e2|
图 1-8
由上题结论有
e|e1|e
1|e|2|e|e|e|e
AT＝2＝2112.
1|e1|
|e2|
|e1||e2|
3.用矢量法证明：P
.
PA+PB+PC＝0.
是△ABC
重心的充要条件是
[证明]：“”
若P为△ABC的重心，则
3. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明
OAOB+OC=OL+OM+ON.
[证明]
∵OAOLLA OBOMMB OCONNC
OAOBOCOLOMON(LAMBNC)
=OLOMON(ALBMCN)
由上题结论知：ALBMCN0
解析几何尤承业前四章部分习题答案
解析几何(尤承业)前四章部分习题答案第一章：平面几何基础1.证明：若两条直线的斜率相等，则它们平行。
证明：设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。
若k1=k2，则有k1x+b1=k2x+b2，即(k1-k2)x=b2-b1。
由于k1-k2=0，所以方程化简为0x=b2-b1。
由于任何实数乘以0都等于0，所以此方程有解，即二者平行。
2.已知直线l1的斜率为k1，直线l2经过点A(a,b)且与l1垂直，求直线l2的方程。
解：由直线l1的斜率为k1，可知l1的斜率为k1的直线上任意一点(x1,y1)与原点(0,0)的斜率为k1，即有y1/x1=k1，即y1=k1x1。
由于直线l2经过点A(a,b)且与l1垂直，所以直线l2的斜率为-1/k1。
设直线l2的方程为y=-1/k1 x + c，代入点A(a,b)可得b=-1/k1*a+c，即c=b+a/k1。
所以直线l2的方程为y=-1/k1 x + b+a/k1。
3.已知直线l1过点A(a,b)和点B(c,d)，求直线l1的方程。
解：由于直线l1过点A(a,b)和点B(c,d)，所以直线l1的斜率为直线AB的斜率。
设直线l1的方程为y=kx+m，代入点A(a,b)和点B(c,d)可得方程组： b=ka+m d=kc+m将第一个方程乘以k，得到bk=ka^2+km，再用第二个方程减去这个等式，可得d-b = kc-ka^2+km-km，即d-b=k(c-a)。
所以直线l1的方程为y=(d-b)/(c-a)x + (ad-bc)/(c-a)。
第二章：直线与圆1.已知直线l的方程为y=ax+b，圆C的圆心为O(h,k)，半径为r，求直线l与圆C的交点坐标。
解：设直线l与圆C的交点为点P(x,y)，代入直线l的方程可得y=ax+b。
将这个方程代入圆C的方程(x-h)^2+(y-k)^2=r^2中，得到(x-h)^2+(ax+b-k)^2=r^2。
展开后整理得到一个二次方程，即x^2+(a^2+1)x-2ah+(b-k)^2-r^2=0。
解析几何第四版吕林根课后习题答案一至三章
PA1 PO PA2 PO PAn PO 0
即
PA1 PA2 PAn n PO
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
1．在平行四边形 ABCD 中， （1）设对角线 AZ a, BD b, 求 AB, BC , CD, DA. 解： AB
解?a?b?b?a?b?a?b?a?b?a?b?a?b?a?????????????????yxyyxxyyxxyxyx22?e?e?e?e?e?e?e?e?b?a?????????3132132142232?e?e?e?e?e?e?e?e?e?b?a???????????3213213213422232?e?e?e?e?e?e?e?e?e?b?a???????????321321321710322322323
OA OB + OC = OL + OM + ON .
7. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 [证明] OA OL LA
OB OM MB OC ON NC OA OB OC OL OM ON ( LA MB NC )
1 1 1 1 b a , BC b a , CD b a , DA b a ．设边 BC 和 CD 的 2 2 2 2
（2）中点 M 和 N，且 AM P, AN q 求 BC , CD 。 解： AC
1 1 q P , BC 2MC 2 q P P q 3P 2 2
线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第4章习题答案
x 1 y 1 z ( 1) 2 1 2 1 2 ( 1) 0 ， 11
即
1 1 2 ( 1)
x 3 y 2 z 0.
4．解：所求平面方程为 3( x 3) 7( y 0) 5( z 1) 0 ， 即 . 3x 7 y 5 z 4
2 .
c c a 11 解： a b b c c a a b a c b
(a b) c ( b c) c 4
Hale Waihona Puke a 2 a, b,
1 1 2 12．解： a, b, c 1 1 0 4
1 4 5 因为 ( AB, AC , AD ) 2 1 1 0 ，所以这四点共面. 5 2 7
15.证：设 AB 和 AD 的夹角为 .
S 2 AB AD a b a b sin 2 a b (1 cos2 )
a b a b cos2 a b (a b)2 .
17．证：由 a (a b c) a 0 0, 得 a b a c c a. 由 b (a b c) b 0 0, 得 b a b c, a b b c. 所以 a b b c c a. 18．证：由于 b c 和 c a 都与 c 垂直，所以 (b c) c 0,(c a ) c 0. 由 a b b c c a 0, 得 (a b b c c a ) c 0. 整理，得 a, b, c 0 .
思考题 4-3
1. 平面的截距式方程的形式是唯一的，平面的点法式方程、一般式方程、三点式方程 的形式不是唯一的。 2. 有。找出交线上的两点通过三点式方程来求也很简便。 3. 都是线性方程，变量的个数与其所在空间的维数有关。空间解析几何中的平面方程 是三元一次方程，平面解析几何中的直线方程是二元一次方程。 4. 过 x 轴的平面的方程的特点是 x 的系数和常数项都为 0； 垂直于 z 轴的平面就是平行 于 oxy 面的平面，其方程的特点是 x 和 y 的系数都为 0.
4-4解析几何吕林根第四版
以下我们再取平行于 xOy 坐标面的一组平行平面来截割
椭球面.
以平面 z h 截割椭球面,
得到的截线方程是
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2
h2
a
2
b2
1
c2
,
z h,
（4）
表示什么? 当 h c 时，（4）无图形，这表示平面 z h 与 椭球面不相交； 当 h c 时，（4)的图形是 平面 z h 上的一个点 (0,0,c) 或 (0,0,-c)；
z2 c2
1
上.
x
0
x2 y2 z2 1
(*)
a2 b2 c2
这样， 椭球面(*)可以看成是由一个椭圆的变动
(大小位置都改变)而产生的，这个椭圆在变动中保 持所在平面与 xOy 面平行，且两轴的端点分别
在另外两个定椭圆(2)与(3)上滑动.
平行截割法演示 (1) 主椭圆
(2) h c
(3) h c (4) h c
§4.4 椭球面
一、椭球面的概念
1 直接定义法
在直角坐标系下，由 x2 y2 z2 1方程所表示的曲面叫做椭球面（椭圆面）
a2 b2 c2
方程 x 2
a2
y2 b2
z2 c2
1
叫做椭球面的标准方程.其中a 0,b 0,c 0且 a b c
2 轨迹定义法
一直线分别交坐标面 yOz, zOx, xOy 于 A, B,C 三点，当直线变动时，
叫做椭球面(4.4-1)的半轴，当 a b c 时， 2a 2b与 2c 分别叫做椭球面的长轴，中轴与短轴.
z
2b 2a
2c
O
y
x
解析几何第四章习题及解答
解析几何第四章习题及解答第4章二次曲线和二次曲面习题 1.在直角坐标系xOy中，以直线l:4x?3y?12?0为新坐标系的x?轴，取通过A(1,?3)且垂直于l的直线为y?轴，写出点的坐标变换公式，并且求直线l1:3x?2y?5?在新坐标系中的方程。
0解：直线l:4x?3y?12?0的方向是(3,4)，与它垂直的方向是?(?4,3)，新坐标系的x?轴的坐标向量取为(3443,)，y?轴坐标向量取为(?,)，与直线5555l:4x?3y?12?0垂直且的直线方程可设为3x?4y?c?0，于过点A(1,?3)，得到直线方程是3x?4y?9?0，两直线的交点(?3,0)是新坐标原点，所以点的坐标变换公式：?3?x??5y??4??5?4?5??x? 3?. ?3??y??0?5??直线l1:3x?2y?5?0在新坐标系中的方程：l1:3(35x??45y??3)?2(45x??35y?)?5?0，化简有l1:x??18y??20?0. 2.作直角坐标变换，已知点A(6,?5),B(1,?4)的新坐标分别为(1,?3),(0,2)，求点的坐标变换公式。
解：设同定向的点的坐标变换公式是：?x??cosy??sin??sin???x? a?. cosyb?它的向量的坐标变换公式是：?u??cosv??sin??sin???u? . cosv??题意知向量AB?(?5,1)变为A?B??(?1,5)，于是有??5??cos1??sin??sin????1? 125得到于是点的坐标变换公.sin??,cos??.1313cos5?式是：?5?x??13y??12??13?12?1 3??xa?,.将点B(1??5??y??b?13??4及)它的像点(0,2)代入得到?37??a??13??,所以点的坐标变换公式是：b??62????13???5?x??13y 121312?135?13?37x?13. ? y??62????13???设反定向的点的坐标变换公式是：?xcosy??sin?sinx?a. cosy??b?它的向量的坐标变换公式是：?ucosv??sin?sinco su??. ?v题意知向量AB?(?5,1)变为A?B??(?1,5)，于是有??5cos??1sin?sincos 1?于是点的坐标变换公式s?0.??.得到sin1,co??5?是：?x??0y???1?1??x???a???? .将点B(1?,0??yb?及它的像点(0,2)代入得到4?a??3,所以点的坐标变换公式是：b?4x??0y???1?1??x???3? . 0y?4?3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为?22x??y??5,?x?22(1)??22x??y??3 ;?y22?xy?3, (2)??y?x?2.?其中，(x,y)与(x?,y?)分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角?。
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第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e=0，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标§ 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21AC AB AL +=Θ )(21+=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC +=)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB ++OD ＝4OM .[证明]：因为OM ＝21(OA +), OM ＝21(OB +OD ), 所以 2＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB ++OD ＝4OM .10、用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．图1-5证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§ 矢量的线性关系与矢量的分解3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝(－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1[证明]：如图1-7，因为＝－OA ,PB ＝OB －,所以 －OA ＝ (OB －),(1+)OP ＝+,从而 OP ＝λλ++1OB.4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()12123131,e e e e -==-=-=Θ， 2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=，同理123132e e AE +=（2）因为||||TC ||11e e , 且 BT 与方向相同， 所以 BT ||21e e .由上题结论有AT ||||1||212211e e e e e +||||212112e e e e e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。
大学解析几何第四版分解
.
bc
将平行四边形一投一转
(a+b)c=(a c)+(b c)
b
c
a b
a
S=|a b|
h
4. 混合积的几何意义
h
a
c
a b
b
4. 混合积的几何意义
.
h
a
c
a b
b
4. 混合积的几何意义
.
其混合积 [abc] = 0
三矢 a, b, c共面
因此，
x
z
y
0
母线
F( x,y )=0
6. 一般柱面 F(y, z)=0
a
b
z
x
y
o
7. 椭圆柱面
z
x
y = 0
y
o
8. 双曲柱面
z
x
y
o
9. 抛物柱面
曲线 C
C
y
z
o
绕 z轴
10. 旋转面的方程
曲线 C
x
C
y
z
o
绕 z轴
10. 旋转面的方程
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
主 目 录( 1— 30 )
28
29
30
.
八个卦限
z
y
x
0
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
y
x
0
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
y
x
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅳ
专题四平面解析几何(大4答案)
专题四 平面解析几何（解答题4）1．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y+=． （2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k-=+， 进而直线OP 的斜率24510P p y kx k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =±所以，直线PB或． 2．解析】（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ = 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2， 故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 3．【解析】 (1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++，同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：P Q PB yPQ y =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+， 故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 4．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y+=，a =2， 因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.。
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第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：S v u Y x +=)(与⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，S v M M ='即1、求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程。
解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：zZ y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。
4、求对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：zZ y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：0=++zx yz xy此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。
解：轴线的方程为：142221-=-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x即： 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)937,920,911(，它与)1,2,3(的距离为： 3116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d∴要求圆锥面的准线为：的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：0()(1)v u v γγγ=+-与000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z=+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩式中，v u ,为参数。
证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=，它与顶点A 的连线交准线于((),(),())M x u y u z u '=，即OM ()u γ'=。
//AM AM '，且0AM '≠（顶点不在准线上） AM vAM '∴=即00(())v u γγγγ-=- 亦即0()(1)v u v γγγ=+-此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(zv u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。
§ 4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：（1）；111112x y z -+-==-绕1112x y z -==-旋转 （2）；1211x y z -==-绕1112x y z -==-旋转 （3）1133x y z -==-绕z 轴旋转；（4）空间曲线2221z xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩绕z 轴旋转。
解：（1）设1111(,,)M x y z 是母线111112x y z -+-==-上任一点，过1M 的纬圆为：111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)x x y y z z x y z x y z ---+-=⎧⎨++-=++-⎩因1M 在母线上， 1111211x y z -∴==- (3) 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又1M 在母线上，所以：1111133x y z -==- （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：2229()10690x y z z +---=此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又1M 在母线上，所以2112211(1)1(2)z x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：221x y +=211101z z x z ==≤∴≤≤即旋转面的方程为：221x y += (01)z ≤≤2、将直线01xy zβα-==绕z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面？解：先求旋转面的方程式：z任取母线上一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又11101x y z βα-== （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：222220x y z αβ+--=此即为所求旋转面的方程。
当0,0αβ=≠时，旋转面为圆柱面（以z 轴为轴）；当0,0αβ≠=时，旋转面为圆锥面（以z 轴为轴，顶点在原点）； 当,0αβ≠时，旋转面变为z 轴；当0,0αβ=≠时，旋转面为单叶旋转双曲面。
3、已知曲线Γ的参数方程为(),(),()x x u y y u z z u ===，将曲线Γ绕z 轴旋转，求旋转曲面的参数方程。
解：如图，设((),(),())M x u y u z u 为Γ上任一点，则对经过M 的纬圆上任一点(,,)p x y z ，§4.4椭球面1、做出平面20x -=与椭球面22221494x y z ++=的交线的图形。
解：平面20x -=与椭球面22221494x y z ++=的交线为： 2239442y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ ，即 2212734y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪ ——椭 图形为y2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x =的距离的一半，试求此动点的轨迹。
解：设动点(,,)M x y z ，要求的轨迹为∑，则条两两相互垂直的射线，分别交曲面123,,p p p ，设112233,,op r op r op r ===，试证：222222123111111r r r a b c++=++ 证明：利用上题结果，有22222221(1,2,3)i i i i i r a b cλμν=++=其中,,i i i λμν是i op 的方向余弦。
若将(1,2,3)i op i =所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123,,λλλ是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而2221231λλλ++=，同理，2221231μμμ++=，2221231ννν++= 所以，222222222123123123222222123222111111()()()111r r r a b c a b c λλλμμμννν++=++++++++=++即：222222123111111r r r a b c ++=++ 5、一直线分别交坐标面,,yoz zox xoy 于三点,,A B C ，当直线变动时，直线上的三定点,,A B C 也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p ，它与三点的距离分别为,,a b c ，当直线按照这样的规定（即保持,,A B C 分别在三坐标面上）变动，试求p 点的轨迹。
解：设112233(0,,),(,0,),(,,0)A y z B x z C x y ，则知：2121331221,x z z yx y z z z z ==--z z21211221(,,0)x z z yC z z z z ∴-- 又设(,,)p x y z ，,,pA a pB b pC c ===222211222222222221211221()()(1)()()(2)()()(3)x y y z z a x x y z z b x z z yx y z c z z z z ⎧⎪+-+-=⎪⎪-++-=⎨⎪⎪-+-+=--⎪⎩又p 在AB 的连线上，111121y y z z x x y z z --∴==--（4） 从（1）——（4）消去1122,,,y z x z ，得到即：22222(1)1a a b cλ-=-2222222ac b c b aλ-=⋅- λ∴=满足要求的平2、给定方程2221(0)x y z A B C A B C λλλ++=>>>--- 试问当λ取异于,,A B C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？解：对方程2221(0)x y z A B C A B C λλλ++=>>>--- （*） 1º、当A λ>时，（*）不表示任何实图形； 2º、当A B λ>>时，（*）表示双叶双曲面； 3º、当B C λ>>时，（*）表示单叶双曲面； 4º、当C λ<时，（*）表示椭球面。