解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

第五章 二次曲线一般的理论

§5.1二次曲线与直线的相关位置

1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1

(,)F x y ，

2

(,)F x y 及3

(,)F x y .

（1）

2222

1x y a b +=；（2）

22

22

1x y a b -=；（3）2

2y

px

=；（4）

223520;

x y x -++=

（5）2

226740

x

xy y x y -+-+-=.解：（1）

221

0010

000

1a A b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝

⎭；

121(,)F x y x a =

221(,)F x y y b

=3(,)1F x y =-；（2）

221

0010

0001a A b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝

⎭

；

121(,)F x y x a =

221(,)F x y y b

=-；3

(,)1F x y =-.（3）

0001000p A p -⎛⎫

⎪= ⎪

⎪-⎝⎭

；

1(,)F x y p

=-；2

(,)F x y y =；3

(,)F x y px =-；（4）

510

20

305022A ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭；

15(,)2F x y x =+

；2

(,)3F x y y =-；3

5(,)22

F x y x =+；（5）

222420

x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解

略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）

4924

k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线

1.

求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于

何种类型的（1）

22230

x xy y x y ++++=；（2）

22342250

x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=.

解：（1）由2

2(,)20

X Y X

XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1

X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2

2(,)3420

X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3

X Y i =-且属于椭圆型的； （3）

由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的.

2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2

2224630

x xy y x y -+--+=；（2）2

2442210

x

xy y x y -++--=；

（3）2

281230

y

x y ++-=；（4）2

296620

x

xy y x y -+-+=.解：（1）

因为2

1110

12I -=

=≠-，所以它为中心曲线； （2）因

为2

120

24

I

-=

=-且121

241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2

00002I =

=且004

026

=≠，所以它为无心曲线； （4）因为2

930

3

1

I

-==-且933312--==-，所以它为线心曲线；

3. 求下列二次曲线的中心.

（1）

2

25232360

x xy y x y -+-+-=；（2）

2

22526350

x xy y x y ++--+=；

（3）2

2930258150

x

xy y x y -++-=.

解：（1）由

510,

3302

x y x y --=⎧⎪⎨-++=⎪⎩得中心坐标为313

(,)2828

-； （2）由

5230,2532022

x y x y ⎧

+-=⎪⎪⎨

⎪+-=⎪⎩得中心坐标为(1,2)-； （3）由

91540,15152502

x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩知无解，所以曲线为无心曲线.

4. 当

,a b

满足什么条件时，二次曲线

226340

x xy ay x by ++++-=（1）有唯一中心；（2）没有中

心；（3）有一条中心直线. 解：（1）由

330,2302

x y b x ay ⎧

++=⎪⎪⎨

⎪++=⎪⎩知，当9a ≠时方程有唯一的

解，此时曲线有唯一中心；（2）当9,9a b =≠时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当9a b ==时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线. 5.

试

证

如

果

二

次曲线

22111222132333

(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=

有渐进线，那么它的两个渐进线方程是Φ

00(,)

x x y y --=2211

01200220()2()()()0

a

x x a x x y y a y y -+--+-=式中0

(,)

x y