章建跃-聚焦数学核心概念、思想方法的课堂教学设计
落实数学核心素养 着眼学生终身发展——“对数函数及其性质”教
生 1院 对于任何一个 y0沂渊0袁1暂袁 通过对应关系
姨 t=log 5730 1 2
P袁 在 咱0袁+肄冤
上都有唯一确定的数 x0 与
之对应袁 所以 t 是 P 的函数遥
师院 同样的袁 根据指数与对数的关系袁 由 y=ax
渊a跃0 且 a屹1冤 得到 x=logay 渊a跃0 且 a屹1冤袁 x 也是 y 的函数遥 通常袁 我们用 x 表示自变量袁 y 表示函
学习概念要做到清晰尧 明确遥 你们怎么来理解 这个对数函数的概念钥
生 2院 由对数的定义我们知道袁 对数的底a跃0且 a屹1袁 真数 x跃0袁 所以对数函数的定义域为渊0袁 +肄冤遥
设计意图院 教授新概念时，教师引导学生准确 理解概念的内涵，为接下来的探究和应用打下基础。
三、引领方向，自主探究
师院 对数函数 y=logax 是一类新函数袁 我们要研 究它什么钥 怎么研究钥 说说你的思路遥
P
1
（x0，y） 0
P0
0
x0
t
图1
生 1院
根据指数与对数的关系袁
由P=
渊
1 2
1
冤 5730
姨 渊t逸0冤得到 t=log5730 1 2
P 渊0约P约1冤就可以了遥
师院 从图象看袁 不同的碳 14 含量 P袁 也对应着
不同的死亡年数 t遥 用数学的眼光看袁 这里的变量P
与变量 t 有什么关系钥
生 1院 函数关系遥 师院 为什么钥
予表扬并展示袁 请他们讲解思路曰 这样可以激发学
生总结探索经验的热情袁 为后面的探索做铺垫遥冤
师院 通过在同一个坐标系内作图可以发现函数
图象对称关系袁 这里其实蕴含了对数的运算法则院
理解数学理解学生理解教学(章建跃)
（3）过分关注“题型”及对应的技巧—— 技巧，雕虫小技也，不足道也；技巧无 法穷尽，教技巧的结果可能是“讲过练 过的不一定会，没讲没练的一定不会” ；等。
理解数学理解学生理解教学
人民教育出版社 章建跃 zha• 核心：以学生的全面、和谐与可持续发 展为本——教育中的“科学发展观” • 教学目标——全面关注学生的认知、能 力和理性精神，以学生最近发展区为定 向，促进学生全面、和谐、可持续发 展——数学育人。
• 教改只能成功不能失败，因为人才的成 长没有重复机会，教育要绝对避免“折 腾”。 • 教改必须“大胆创新，谨慎实践”。 • 当前，与教育的本质相悖的“功利化” 现象还占据主导地位，需要我们共同努 力，为教育的理想而奋斗。
二、当前存在的主要问题
• 数学教学“不自然”，强加于人，对学 生数学学习兴趣与内部动机都有不利影 响； • 缺乏问题意识，对学生的创新精神和实 践能力培养不利； • 重结果轻过程，“掐头去尾烧中段” ， 关注知识背景和应用不够，导致学习过 程不完整；
• 重解题技能、技巧轻普适性思考方 法的概括，方法论层次的内容渗透 不够，机械模仿多独立思考少，数 学思维层次不高； • 讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、 理性精神不够，对学生整体数学素 养的提高不利。
三、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面： • 从表面到本质—把握概念的深层结构上 的进步； • 从抽象到具体—对抽象概念的形象描述， 解读概念关键词，更多的典型、精彩的 例子；
章建跃简介
章建跃简介章建跃，男，1958年8月4日出生，数学本科，北京师范大学课程与教学论（数学）硕士、发展与教育心理学博士。
现任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。
人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。
主要研究方向：数学教育心理学，中学数学课程及教材编写，数学课堂教学。
社会兼职：中国教育学会中学数学教学专业委员会副理事长、学术委员会副主任（常务）；中国统计教育学会常务。
一、闻思修得智慧本期我们集中刊登了关于高中数学课标教材必修模块的一组实验经验交流文章。
薛红霞、张曜光、李学军、李昌官、吴明华都是一线教研员，其他都是一线教师，他们是本次课改的亲历亲为者，可说是尝遍课改的酸甜苦辣，因而对课改是最有发言权的，因此这组文章可以算得上是“闻思修”而得的智慧成果。
众所周知，本次课改是为了适应我国社会发展新需要，以提高教育质量为核心，全面推进素质教育，切实减轻学生负担，努力提高青少年思想道德、科学文化和健康素质，着力培养青少年的社会责任感、创新精神和实践能力，因此其大方向是完全正确的。
但是，由于种种原因，课改实施过程中存在许多不尽如人意的地方。
一段时间以来，急功近利倾向甚至把课改引入歧途，严重损害了课改的声誉。
对此，有各种不同的态度。
怨天尤人者有之，我行我素者有之，盲目跟风者有之。
而大多数老师则是理性思考、谨慎行动，薛红霞等老师的文章就是例证。
教育改革不以人的意志为转移。
客观地说，当前我国数学教学确实存在许多需要改进的地方，其中特别突出的是数学教学缺少亲和力，问题意识淡薄，重结果轻过程，讲逻辑不讲思想，重题型、技巧轻通性通法引导。
因此，需要广大数学教育工作者“闻思修”以获得走向课改成功的智慧，使改革的成果惠及学生，达到学得轻松、愉快而成效显著。
由于思维惯性所致，人们面对新事物的第一反应是排斥。
然而明智的做法是静心听闻，而且要善听、会听，听到“无声之声”。
所谓兼听则明，这样才能了解改革的真实意图，才能“闻所成慧”。
理解数学理解学生理解教学(章建跃)
学生带着问题看书：向量的加法法则的关键词是什么？你如何理解？
02
03
02
03
04
汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对“关键词”的理解，要求用自己的语言描述。
如果向量a，b共线，如何作a+b？与有理数加法运算有什么关系？
向量a，b不共线，作出a+b，要求说明作法。
加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路——解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的。
01
应追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。
02
例4 向量加法运算及几何意义的教学设计
01
先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要研究运算律。
人民教育出版社 章建跃
理解数学理解学生理解教学
单击此处添加副标题
202X
一、课改中形成的基本共识
核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本——教育中的“科学发展观”
教学目标——全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展——数学育人。
1
教学要求——个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础
以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”：
性质1，2，3……——证明——例题——练习、习题
“高立意低起点”的教学设计
数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小可以统一化归为比较它们的差与0的大小）；
章建跃核心概念、思想方法的理解与教学
中学数学核心概念、思想方 法的理解和教学设计
五、概念教学的核心
• 概念教学的核心是概括：将凝结在数学 概念中的数学家的思维打开，以典型丰 富的实例为载体，引导学生展开观察、 分析各事例的属性、抽象概括共同本质 属性，归纳得出数学概念。
理论依据
• 概括是人们掌握概念的直接前提； • 概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深 度、创造程度等思维品质的基础； • 概括是科学研究的关键机制； • 学习和应用知识的过程也是概括的过程； • 数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能 力的训练是数学能力训练的基础； • 概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力 的基础。
• 验证：2=1+1（错），4=1+3（错）， 6=3+3（对），8=3+5（对），10=3+7（ 对），12=5+7，14=3+11…… • 提出猜想：任何一个不小于6的偶数都等 于两个奇质数的和。
• 单元目标——中观目标，用于计划需要 几周或几个月的时间学习的单元，是课 程目标的具体化。例如，“理解函数的 概念”就是一个单元目标，因为函数的 概念包含了函数的定义、图像、性质等 众多内容。从这个单元目标到课堂教学 目标，还需要教师的工作。
• 教学目标——微观目标，即课堂教学目标。专 注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计 划日常教学中发挥作用。 例如，“理解函数 的概念”这一单元目标要具体化为： • 理解函数的定义和三种表示法，能用函数的概 念作简单判断（是不是函数）。 • 能分析简单实际问题中的函数关系。 • 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围 ，并会求出函数值。 • 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变 量之间的关系。 • 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况 进行初步讨论。
聚焦中学数学核心概念、思想方法的课堂教学设计
力是 数学思 维 能力 的基 础 ． 以 ， 学 教 学设 计 的 核 所 数 心是 设计 概括过 程 ： 根据 学生数 学 思维 发 展 水平 和 认
知规律 ， 以及数学 知识 的发生 发展 过程 设 计课 堂 教学
进 程 ， 问题 引导 学 习 ， 以 尽量 采 用“ 归纳 式 ” 让 学生 经 ， 历 概念 的概 括过 程 ， 想方 法 的形 成 过 程 ， 是 基 本 思 这
无数； ’ 第 四 ， 自己 的 教学 设 计 不 能 取得 预 期 效果 ， 对 不
（） １ 保证数 学 教 学 的科 学 性 ． 校 教 育 的 目的是 学 使学生 的身 心获得 发展 ． 心理发 展 包括 智力 发 展 和个 性特征 （ 情感 、 意志 、 性格 等） 的发展 ． 力 发展 包括 观 智 察力 、 记忆力 、 想象 力 、 注意力 、 作能 力 等的 发展 ， 操 核 心是思 维能力 的发 展． 数 事 实证 明 ， 生智 力 的发 无 学 展 ， 须 以掌握 科 学 、 必 系统 的 知 识 技 能 为 基础 ， 无 知 “ 者无能 ” 同时 ， ； 智力 发 展并 不 能 与 掌 握 “ 双基 ” 同步 ， 必须在 “ 双基” 教学 中有 意识地 加 以培 养 才能 实现 ． 而 “ 有意 识” 的含义就 是要 对课堂 教 学进 行精 心 设计 ， 即
目标检 测 的设 计 等． 于对 教学 问题 诊 断 分 析 、 生 基 学
认知状 况分析 等． １ ２ 教学设计 的意义 ．
第二 ， 中学 数 学 概 念 的核 心 把 握 不 准 确 ， 概 对 对 念 所反 映 的思 想方 法 的理解水 平 不高 ；
第 三 ， 能抽 象 笼 统 地 描述 数 学 教 学 目标 ， 只 导致 教 学措 施 无 的 放 矢 ， 是 否 已经 达 成 教 学 目标 心 中 对
章建跃：数学课堂教学设计研究
章建跃：数学课堂教学设计研究章建跃博士简介章建跃，数学课程与教学论硕士，发展与教育心理学博士。
现任人民教育出版社中学数学室主任。
人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。
全国高师数学教育研究会秘书长，中国教育学会中学数学教学专业委员会常务理事、学术委员会副主任，中国心理学会教育心理学专业委员会学术委员，《数学通报》编委，人教版《普通高中课程标准实验教科书8226;数学》副主编。
曾经担任中学数学教师十年，有丰富的中学数学教学经验。
在北京师范大学工作十年，担任中学数学教学概论、小学数学教育学、数学教育心理学等课程的教学工作。
出版的著作有《中学生数学学科自我监控能力》《数学学习论与学习指导》《数学教学心理学》《数学教育心理学》等；在全国核心杂志上发表论文50多篇，其中，《略论启发式数学教学的基本要求》《启发式数学教学的几个关键》《关于课堂教学中设置问题情景的几个问题》《数学课堂教学要适应学生的发展水平》《创造力研究与数学教育》《建构主义及其对数学教育的启示》《建立在主体活动理论上的课堂教学观》《关于数学课程标准研制中的几个问题》《数学课堂教学中的基础与创新》《三次国际数学教育改革运动及其启示》《数学教育改革中几个问题的思考》等，均引起较大的社会反响。
作为课题负责人，目前正进行全国教育科学规划“十五”国家重点课题“新基础教育课程教材开发的研究与实验”中的分课题“新中学数学课程教材开发的研究与实验”的研究工作。
新课程实施中的数学课堂教学设计一、科学教育观与教学设计科学教育观的内涵科学教育观是进行教学设计的根本指导思想；对教师的专业化水平提出了高要求；对教学质量的内涵要有与时俱进的认识。
对于课堂教学，只有经过精心设计的教学对学生的发展才会产生优质、高效的促进作用，这就是我们经常讲的课堂教学的高质量。
二、教学为什么要设计教学设计就是为达到教学目标，教师对自己的教学行为所进行的系统规划。
主要解决（1）教什么，（2）怎样教这两个问题。
章建跃--把握数学核心概念,提高课堂教学有效性
一、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面：从表面到本质—把 握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体— 对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更 多的典型、精彩的例子；从孤立到系统—对概 念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体 化的认识；等。 • 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是 重点 。
例1 几个数学概念的解读
• 如何理解诱导公式？ • 推导等差数列前n项求和公式的思想方法 是什么？ • 如何理解两个变量的线性相关问题？
例2 如何理解“乘法公式”
• 代数——以符号(不定元)代表数； • 代数学的根源在于代数运算； • 代数运算有一系列普遍成立的运算律： 交换律、结合律、分配律、指数法则； • 代数学的基本思想：有效、有系统地运 用运算律去解答各种各样的代数问题。
二、高立意与低起点
• 立意不高是普遍问题，许多教师的“匠 气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥 漫着“功利”，缺少思想、精神的追求， 严重影响数学育人。 • 数学的“育人”功能如何体现？——挖 掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学 中将知识教学与价值观影响融为一体。 • 关键：提高思想性。
例3不等式基本性质“立意”比较
例11 两个平面平行的判定问题
• 指导思想：类比两条直线平行的判定， 提出两个平面平行的判定的猜想，再给 出证明。 • 问题1 回顾已经得到的两个平面平行的 判定定理，你能说说得到这些判定定理 的思想方法吗？——定义法（原始，不 容易说清楚），化归为线面平行（用已 知想未知，与平面三公理联系等）。
三、怎样才是抓“基础”
• 我国“双基”的优势正在丧失； • 现象：（1）数学教学=题型教学=刺激— 反应（记忆、模范型学习）；（2）缺少 概念的概括过程，以训练代替概念教 学——应用可以促进理解，但没有理解 的应用是盲目的；（3）过分关注“题 型”——与“题型”对应的技巧是雕虫 小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的 不一定会，没讲没练的一定不会”；等。
高中数学精品论文：基于核心素养的教学设计
基于核心素养的教学设计——以《等差数列》第1课时为例数学的核心素养指：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
这些核心素养既独立，又相互交融，形成一个整体.章建跃老师认为“从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是数学学科核心素养的关键点.”笔者以《等差数列》第1课时为例，阐明如何基于核心素养进行教学设计.1、指向数学核心素养确定教学目标教学目标是教学设计中核心思想，是课堂的有效性的保证，让教师做到有的放矢. 《等差数列》第1课时教学目标：（1）从实际情境中抽象出等差数列的定义，体会特殊到一般的思想，感受数学思想和 数学文化的深刻内涵（数学建模、数据分析、数学抽象）.（2）用定义判断已知数列是否为等差数列（数学运算）.（3）探索等差数列的通项公式，会用观察归纳法，迭代法，累加法证明通项公式，体 会数学发现，再创造的历程（逻辑推理、数学运算）.（4）能用函数的观点分析观点分析等差数列和一次函数的关系，能用一次函数的知识 来认识等差数列的性质（直观想象、逻辑推理）.评析 上述教学目标是指向数学核心素养，强调教学目标是学生要达到怎样的目标，以学生为本，站在学生的角度，阐明学生该如何学习，突出学生的主体地位，并明确了具体目标能提升哪方面的数学核心素养.2、围绕数学核心素养设计教学过程高中数学的教学设计，要以发展学生数学核心素养为教学的指导思想，将数学核心素养贯穿于整个教学过程.要创设有利于培养学生核心素养的教学环境，在教师的引导下探索问题，通过观察、分析、归纳、猜想、证明，把握数学内容的本质，感悟数学核心思想，提升学生的核心素养.2.1创设生活情境，抽象概括数学概念师：数列是特殊的函数，函数学习过程是怎样的？众生答：函数的定义、函数的表示、函数的性质：定义域、值域、单调性.师：情景1 阿迪达斯女运动鞋中国码依次拿出来形成数列：220,225,230,235,240,245,250,255,260情景2 学校每年举行“红五月合唱”比赛，班级的队列怎么拍更具美观！其中一个合 唱排列：9,10,11,12情景3 生活感受山上会变冷，提供某座山高度与温度的关系表，其中温度拿出来形 成一个数列：28,21.5,15,8.5,2,-4.5,-11,-17.5,-24问题1 数列1,2,3中项与项之间的关系是什么?（用数学式子表达）对于一般数列 ,,,,,321n a a a a 项与项应满足怎样的条件？学生1：情景1：相差5，225-220=5,230-225=5,235-230=5，┄学生2：情景2：相差1，10-9=1,11-10=1,12-11=1，┄学生3：情景3：相差5，21.5-28=-6.5,15-21.5=-6.5,8.5-15=-6.5，┄学生4：1342312--==-=-=-n n a a a a a a a a ()2≥n师：这样的数列就是今天所学的数列——等差数列.请用数学文字语言表示等差数列？ ……通过讨论，学生得到：如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学符号语言：d a a n n =--1（d 为常数，*N n ∈且2≥n ）． 设计意图 创设生活题情景，渗透数学源于生活，用于生活.在概念教学时，从具体实例出发寻找到数与数的关系，为学生提供思维情境，让他们通过观察、比较、概括，由特殊到一般，由具体到抽象．因为数学知识的学习过程是一种包含猜测、证明与反驳、的复杂过程，所以数学课堂教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，在教学过程中自然而然的提升学生了数学建模和数学抽象能力.2.2考古查今，巩固概念实际生活中这样的数列例子很多，让学生举例．例如：各种尺码；衬衫尺寸；堆垛等；古代数学中也有大量的等差数列的研究：在我国出土的春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置；成书于公元前二世纪的《周髀算经》上有“七衡图”，还有《九章算术》，《张丘健算经》，《孙子算经》等这些都记载着对等差数列的大量研究，被誉为“数字推理的第一思维”．练习：判断下列数列是否是等差数列？若是，则公差是多少？若不是，请说明理由.① 0,2,4,6,8,┄② 7,4,1,-2③ 2,2,2,2,┄④ 15,12,8,4,0⑤ 0,1,0,1,0,1明确用定义判断数列是否是等差数列，特别指出“每一项”，“后一项减前一项”.引导学生发现公差d 对数列的影响，从单调性来看：当0>d 时，数列是递增数列，当0<d 时，数列是递减数列，当0=d 时，数列是常数列．设计意图 数学源于生活．加深对数列的感性认识．数学史是人类文化的重要组成部分，贯穿数学文化的发展历程．有意识地融入数学史的教学，利用它激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁．2.3探究等差数列通项公式的证明方法问题2：求数列7,4,1，-2，┄的第20项？第100项呢？一般的等差数列的通项公式是？ 学生5：一项一项写出来，寻找数列项数与项的关系，即通项公式.师：一般的等差数列的通项公式是？已知等差数列}{n a 的首项是1a ，公差是d ，432,,a a a 是多少？n a 又是多少（用首项1a 及公差d 表示）？（给予2分钟时间）学生6：2=n 时，d a a +=12；3=n 时，d a d a a 2123+=+=；4=n 时，d a d a a 3134+=+=；…d n a d a a n n )1(11-+=+=-方法2：d a a n n +=-1()d a d d a n n 222+=++=--()d a d d a n n 3233+=++=--()d a d d a n n 4344+=++=--()d n a 11-+==方法3：d a a =-12d a a =-23d a a =-34d a a =-45…d a a n n =--1用叠加，得d n a a n )1(1-=-，1=n 时，也成立．整理，得：d n a a n )1(1-=- *∈N n设计意图 第20项可以利用等差数列的定义一一列举出来，但第100项就有难度了，类比函数表示中的列表法，函数表示还有解析法和图像法，解析法即数列的通项公式，是数列的灵魂，如果有了通项公式，很多问题就容易解决了，并把问题推广到一般情况.观察归纳法可以让学生自己探索，而对迭代法和累加法需要教师给学生搭建一个平台，让学生探讨得到，因此以教师引导示范为主，学生探讨为辅，让学生体会数列证明的一般方法，提升学生逻辑推理，数学运算的能力等数学核心素养.2.4巩固深化，简单应用：例1：（1）求等差数列 ,1,1,4,7-中的第20项；（2）判断-401是不是等差数列 ,13,9,5---的项？如果是，是第几项，如果不是， 说明理由.变式：《九章算术•均输章》——等差数列问题今有金箠(chui)，长五尺.斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何. 例2：等差数列{}n a 中，126=a ，3618=a ，求n a ．设计意图 例1引导学生关注d n a a n ,,,1四个量，只要知道其中的任意三个量的值，就可以利用方程思想求出第四个量的值，即知三求一，加深通项公式的印象．变式是呼应数学史，激发学生的学习兴趣.例2加深对数列基本量的理解，本解法采用待定系数法，通过解方程（组），求出首项和公差．体会方程思想，是数学中常用的解题思想方法，培养学生转化化归，逻辑推理，数学运算的能力，提升数学核心素养.2.5挖掘整理函数特征：问题3：数列的通项公式的实质是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，那么，等差数列的图像是什么？结论：用图象表示时，从图上看，表示这个数列的各点),(n a n 均匀排列在直线上. 直线的函数解析式是b kx y +=，则q pn a n +=.引出例3例3：已知数列{}n a 的通项公式是 q pn a n += （q p ,为常数），那么这个数列为等差数 列吗？等差数列的通项公式可以表示成q pn a n +=．从通项公式看：d a n d d n a a n -+⋅=-+=11)1((d a q d p -==1,)结论：当0≠p 即公差0≠d 时，它是关于n 的一次函数，当0=p 即公差0=d 时，它是常数函数．设计意图 通过特殊等差数列的图像，抽象概括除等差数列的图像是直线上均匀分布的散点，从函数直线解析式与通项公式的关系，并证明形如q pn a n +=就是等差数列，再感受等差数列的图像是直线均匀分布的散点，凸显它与一次函数的联系，便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质．这是函数知识的延伸和拓展.通过图像直观想象，归纳出等差数列的图像，体会数形结合，逻辑推理提升数学的核心素养.2.6总结反思1． 用三种数学语言表述等差数列的概念；(一个定义，二个公式）2． 首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式为d n a a n )1(1-+=（*N n ∈），在这d n a a n ,,,1四个量中可知三求一，体现方程思想；（一个思想）“润物细无声，随风潜入夜”，数学核心素养要求数学教学在重视双基的同时，也要重视数学思维能力的培养，要重视数学思想方法，数学文化的渗透.在教学活动设计中，紧紧围绕数学核心素养展开，提升学生认识的高度，体会“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉. 参考文献:[1]杨志文.聚焦核心素养的教学活动设计——以“基本不等式的证明”教学活动设计为例[J].中学数学月刊，2016(8):43-45.[2]任伟芳.为培养核心素养凸显概念教学过程而设计——对“空间几何体的结构”一课的点评[J].中学数学教学参考（上旬），2016(11):16-17.。
围绕核心概念发展知识——章建跃20200416
围绕核心概念发展知识章建跃围绕核心概念，提出问题，建立知识的联系，发现新的知识，加深理解知识核心概念具有基础性、本质性，其自我生长能力强，迁移能力强，但只有孤立的核心概念，而不能以核心概念为中心，把相关概念有机地串联起来，形成命题系统，核心概念的教育价值将大打折扣。
“运算”是代数的核心概念，“距离”、“角”是几何的核心概念，斜率是解析几何的核心概念…… 如何利用这些核心概念，在坐标法思想指导下，提升对二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的认识水平，并在此基础上发现新性质、提出新命题？引导学生围绕圆锥曲线的要素、相关要素进行思考：焦点、顶点、轴、准线、弦及其中点、切线、焦距、长（短）轴的长、焦半径、面积、内接图形（特别是内接三角形）、角（与焦点、中心等相关）等等。
用a ，b ，c ，p 等表示相关结论。
1．重新认识定义椭圆：动点到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹；双曲线：动点到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹；圆：到两定点距离之比等于定值（≠1）的点轨迹是圆；卡西尼卵形线：到两定点距离之积等于定长a 2的点的轨迹。
抛物线：动点到定点的距离等于到定直线的距离。
围绕距离，通过运算——运算中的不变性，得出定义。
2．统一定义动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹。
——点在运动过程中，与定点和定直线的距离的伸缩率保持不变。
也是运算中的不变性。
3．以斜率为核心，通过运算发现性质（1）已知)0,(a A -和)0,(a B 是平面直角坐标系上的两点，动点(,)P x y 分别与此两定点连线的斜率之积是－1，则动点的轨迹方程是222(0)x y a y +=≠；——从直径上的圆周角为直角可以想到，当学生往往“不是做不到，而是想不到”。
（2）已知)0,(a A -和)0,(a B 是平面直角坐标系上的两点，动点(,)P x y 分别与此两定点连线的斜率之积是22ab -，则动点的轨迹方程是)0(12222≠=+y by a x ；（3）已知)0,(a A -和)0,(a B 是平面直角坐标系上的两点，动点(,)P x y 分别与此两定点连线的斜率之积是22ab ，则动点的轨迹方程是)0(12222≠=-y b y a x ； （4）已知(0,)2pA -和(0,)(0)2pB p >是平面直角坐标系上的两点，动点(,)P x y 分别与此两定点连线的斜率的平方之差为1，则动点的轨迹方程是)0(22≠=y py x 。
单元教学的关键把握“核心”，体现“思想”
单元教学的关键把握“核心”，体现“思想”作者：温河山来源：《广东教学报·教育综合》2021年第41期1.“单元教学法”的定义所谓单元教学法，就是以一个单元作为教学的基本单位，从整体出发，统筹安排，将数学知识有机地、灵活地结合起来，形成一个不可分割的教学整体，教师遵循学生学习的一般规律，以“核心”为线索，开发和重组相关的教学内容，进行知识整合和方法研究相结合的教学方式己，“单元教学法”的关键点单元教学法的关键点是“线索”，即“核心”所谓“核心”，包括了核心概念和数学思想方法章建跃老师指出，中学数学核心概念和思想方法的教学设计研究，对中学数学教学研究有示范作用，能有效地促进中学数学教师专业化发展和数学能力的提高[章建跃中学数学核心内容教学设计的理论与实践总论（上册）[M]人民教育出版社2014.1：8]那么，在教学中究竟应该如何体现和落实核心概念和数学思想方法呢？笔者以“圆中的计算问题”为例，对教材进行具体分析，提炼数学思想和方法，并在教学设计中呈现如何在教学中落实核心概念和数学思想方法3.教材分析及教学实施3.1基本分析“圆中的计算问题”主要包括了弧长和扇形面积的计算和圆锥中的计算问题，教材设计为两节课的内容运用相关公式可以计算一些与圆相关的图形的周长的面积，解决一些简单的实际问题扇形弧长和面积公式是在圆周长和圆面积的基础上，借助部分和整体之间的联系推导出来的;由于圆锥的侧面展开图是一个扇形，而扇形的弧长刚好等于底面圆的周长，这个联系刚好架起了圆锥与扇形弧长和面积计算的桥梁因此，本节的核心数学思想为“转化”“类比”3.2教学目标分析3.2.1教学目标（l）探究、理解并应用扇形弧长和面积关系等计算弧长1和扇形面积S扇形，并能利用“份额”思想来探究圆锥数量关系，能利用圆锥数量关系”来求解相关量的大小（2）在探究过程中，感受转化、类比思想3.2.2目标分解及达成（l）“份额”思想主要是指要研究将圆取几分之几得到扇形，研究“钥匙”是圆心角，因此，先要讓学生感受圆心角为特殊角的扇形所占圆的份额，再引导学生理解圆心角为l°的扇形是将圆按圆心角均分360份得到，进而理解圆心角为n°的扇形是将圆按圆心角均分360份后再取n 份得到，在关系推导中体会转化、类比思想（2）通过实践操作感悟圆锥与扇形之间的联系，再次利用“份额”思想来探究圆锥母线、底面半径和侧面展开图的圆心角之间的关系3.3教学问题诊断分析学生之前已经掌握了圆的周长的面积公式，应该能够感知到弧长和扇形面积分别与圆周长和面积有关，但并未感悟到在公式推导中圆心角的作用，并且对于体现“份额”思想的公式与教材有一定的不同，因此，本节课的教学重点是相关数量关系的探究过程和应用，教学难点是数量关系的探究过程4.I.教学过程4.1课题引入我们知道，扇形是圆的一部分，弧也是圆的一部分如图1，已知扇形OAB，请将对应的圆补充完整教学说明：先通过将扇形补充完整得到圆的活动，让学生体会扇形属于圆的一部分，弧也是圆的一部分;再呈现圆心角为特殊角的扇形，使学生初步感受圆心角在“份额”确定中的作用4.2扇形弧长和面积公式探究问题1：如何确定该扇形是圆的几分之几？教师引导：如果把对应的圆按照圆心角将圆平均分成360份，取其l份，对应的是什么图形？那么扇形OAB可以看作是多少个这样的图形组合而成？结论：确定扇形是圆的份额，可以通过下面几个方法：（1）求的比值：（2）求的比值;（3）求的比值;练习：（l）扇形圆心角度数为240°，该扇形是圆的一（2）扇形圆心角度数为90°，半径为4，则弧长为____，面积为一（3）扇形半径为4，弧长为2π，则其圆心角度数为 ___ _，面积为一（4）扇形半径为4，面积为4π，则其圆心角度数为——，弧长为——简要解析：（1）（2）（3）（4）教学说明：先提出问题“扇形是圆的几分之几”，之后的探究活动紧紧围绕“如何确定份额”来展开，引导学生进入一个“旧的世界，解决新的问题”的情境，探究过程凸显一个“份额”思想，感悟转化思想4.3扇形弧长与扇形面积关系探究问题2：从关系来看，扇形的面积S扇形与弧长l之间存在关系？试探究这个关系：引导：如图2，试将扇形面积公式S扇形=与三角形面积公式S△OAB=作比较，说说其联系与区别。
渗透数学核心素养的概念课教学实践———以二次函数的概念教学为例
㊀㊀㊀１２１㊀数学学习与研究㊀２０２１ １６渗透数学核心素养的概念课教学实践渗透数学核心素养的概念课教学实践㊀㊀㊀ 以二次函数的概念教学为例Һ徐㊀炎㊀（江苏省扬州市文津中学，江苏㊀扬州㊀２２５００３）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学概念课对于学生学习数学至关重要，笔者所在的学校在２０１０年提出了 四导四学 教学模式．在中学数学概念课堂中实践 四导四学 模式，可以让学生经历从特殊到一般再到特殊的探究学习过程，从学生视角，激发学生探究学习的主动性和主动学习的内驱力，实现教师㊁学生的双元合一，发展学生的数学思维，培养学生的数学核心素养．ʌ关键词ɔ问题；数学概念；核心素养一㊁教材说明苏科版九年级数学下册第五章 二次函数 第一节 二次函数 ．二㊁重难点重点：二次函数概念的生成过程．难点：确定二次函数的表达式及自变量的取值范围．三㊁教学目标１．让学生经历探索两个变量之间的函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系．２．让学生通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义．３．让学生通过实例分析，进一步感受函数的应用和自变量的取值范围．四㊁教学设计环节１㊀课前热身回顾旧知激趣课堂教师： 函数是刻画现实世界中变量之间关系的重要数学模型．前面学习了一些常见的函数关系，让我们一起走进课前热身．１．食堂原有煤１２０吨，每天用去５吨，ｘ天后还剩下煤ｙ吨，则ｙ关于ｘ的函数关系式是．２．一个面积为６４００ｍ２的长方形的长ａ（ｍ）随着宽ｂ（ｍ）的变化而变化，则ａ关于ｂ的函数关系式是．３．水滴激起的波纹不断向外拓展，所形成的圆的周长Ｃ和半径ｒ之间的函数关系式是．４．圆的面积Ｓ和半径ｒ之间的函数关系式是．学生先独立思考，再回答上述问题中涉及的函数关系式是什么函数．教师可借此带领学生复习一次函数㊁正比例函数和反比例函数．二次函数是继一次函数㊁反比例函数之后的又一种重要的代数函数，是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．教师带领学生在熟悉的水滴激起波纹的问题中发现新函数关系．教师带领学生回忆一次函数㊁反比例函数的学习内容和经历，展示二次函数章节知识树，从而使学生知晓本章的学习内容．环节２㊀导预疑学预学纠错生成概念活动：学生展示预学成果，用函数表达式表示问题中两个变量之间的关系．（１）水滴激起的波纹不断向外拓展，所形成的圆的面积Ｓ与半径ｒ的函数关系式：Ｓ＝．（２）某产品年产量为３０台，计划今后每年比上一年的产量增长率为ｘ，试写出两年后的产量ｙ（台）与ｘ的函数关系式是．（３）用长１６ｍ的篱笆围成长方形生物园饲养小兔，长方形的面积ｙ（ｍ２）与长ｘ（ｍ）之间的函数关系式是．（４）某地区原有２０个养殖场，平均每个养殖场养奶牛２０００头．后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少１个，平均每个养殖场的奶牛数将增加３００头．如果养殖场减少ｘ个，那么该地区奶牛总数ｙ（头）与ｘ（个）之间的函数关系式是．思考：上述问题中有几个变量？自变量是什么？都是关于自变量的几次式？比较函数关系式的共同点，能用一般的式子表示它们的共同之处吗？学生发现上述问题的关系式都是关于自变量的二次式，将表达式写成按照自变量的指数由高到低排列的形式，归纳出二次函数的定义：形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａʂ０）的函数叫二次函数，其中ｘ是自变量，ｙ是ｘ的函数．教师同步板书，并进行概念的学法指导．想要理解二次函数的定义要把握三点：（１）函数关系式形式上等号左边是ｙ，右边是关于自变量ｘ的整式；（２）ａ，ｂ，ｃ是常数，ａʂ０是定义的一部分，不能少；（３）等式右边的自变量的最高次是２．环节３㊀导问研学问题探究解决质疑提出问题比解决问题更重要．在教学中，教师应引导学生发现问题，提出问题，鼓励学生提出质疑．在问题探究中，教师应培养学生解决问题的能力，让提出质疑的学生和其他学生交流，激发学生的学习兴趣，培养自主学习㊁合作学习的能力．教师结合本节课的教学目标，设计了两个问题．问题１：如何利用二次函数的定义解决问题？出题角度１：应用二次函数的定义识别二次函数．活动１：下列函数表达式中，一定是二次函数的是（㊀㊀）．Ａ．ｙ＝３ｘ＋１㊀㊀㊀Ｂ．ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀１２２数学学习与研究㊀２０２１ １６Ｃ．ｓ＝２ｔ２－２ｔ＋１Ｄ．ｙ＝ｘ２＋１ｘ变式：下列函数：（１）ｙ＝１－ｘ２；（２）ｙ＝２ｘ；（３）ｙ＝ｘ（ｘ－３）；（４）ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ；（５）ｙ＝２ｘ＋１；（６）ｙ＝（ｘ＋２）（ｘ－２）－ｘ２；（７）ｙ＝ｘ２－３ｚ；（８）ｙ＝（ａ２＋１）ｘ２－ｘ＋３．其中是二次函数的有．出题角度２：应用二次函数的定义确定字母的取值或取值范围．活动２：（１）若关于ｘ的函数ｙ＝（ａ－２）ｘ２－ｘ＋１是二次函数，则ａ的取值范围是；（２）若关于ｘ的函数ｙ＝ｘａ２－３ａ＋４－ｘ＋１是二次函数，则ａ的值是；（３）若关于ｘ的函数ｙ＝（ａ－２）ｘａ２－３ａ＋４－ｘ＋１是二次函数，则ａ的值是．归纳：解决问题时要紧扣二次函数的定义，从整式，自变量最高次数是２，二次项系数不等于０三个方面来看．问题２：如何根据实际情境分析确定二次函数的表达式及自变量的取值范围？活动：写出下列问题中ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（１）正方形的面积是９，若边长减少ｘ，则减少后的正方形的面积ｙ．（２）化肥厂１０月份生产化肥２００ｔ，设该厂１１月㊁１２月的月平均增长率为ｘ，１２月份的化肥产量为ｙ（ｔ）．（３）两个正方形的周长和是１０，设其中一个正方形的边长为ｘ，两个正方形的面积和为ｙ．（４）某汽车租赁公司有出租车１２０辆，每辆汽车的日租金为１６０元，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加１０元，每天出租的汽车就会减少５辆，若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高１０ｘ元时，公司日租金收入为ｙ元．问题１是在学生初步认识二次函数概念的基础上，应用概念解决问题，巩固概念，加深对概念的理解，现学现用．问题２是先让学生独立思考后分小组解决问题，完成后小组间纠错整改完善，学生能解决的问题让学生独立合作解决，教师在过程中提醒注意点㊁提炼通法．学生在解决问题的过程中发挥了学习的主动性，养成了分析问题㊁语言表达㊁合作交流㊁思辨的能力以及和同学沟通交流的能力，学会用数学的眼光观察生活问题，用数学的思维思考生活问题，用数学的语言表达生活问题．环节４㊀导法慧学回顾课堂总结通法教师以思维导图的形式展示课堂的学习板块，引导学生回顾课堂学习知识点，提炼解决同一类问题的通法和学习新的数学概念的通法，即从特殊到一般再到特殊的学习方法，达到慧学的学习目标．五㊁设计自述章建跃博士强调： 数学是玩概念的，数学是使用概念思维的，在概念教学中养成的思维能力最强［１］． 数学概念的学习是学生学习其他相关知识的前提和基础，只有牢固学好数学基本概念，深入理解概念，才能提高基本数学素养，形成基本数学技能．一位数学教师的基本功，往往就看他引领学生建立数学概念的能力［２］．本节课是二次函数的第一节概念课，为了能够达到概念课的预期教学效果，在备课时，笔者认真研读教学大纲㊁教材等相关资料，熟知了学生的学情㊁班情，结合之前函数㊁一次函数㊁反比例函数的教学方法，设计了本节课的教学过程．１．从实际生活中的熟悉情境引入新问题，启发新思考，发现新函数教师带领学生回顾前面学习的圆的周长随着半径的变化而变化，是大家熟知的一次函数关系，从而复习一次函数㊁反比例函数的概念，回顾学法，接着提出新的问题： 圆的面积随着圆的半径的变化而变化，这又是一个什么新的函数关系呢？ 为了加深学生的印象，教师又列举了大量的有相同函数关系的实际问题，让学生感受二次函数是生活中很常见的函数，学习二次函数可以帮助其更好地解决实际问题．２．基于学生的问题贯穿课堂，变式训练，突破重难点，强化对概念的理解和应用顾明远先生指出： 只有会思考并能提出问题，才能培养学生批判性思维㊁创新思维的能力． 本节课，教师课前做了大量的问题搜集，围绕学生的预学问题开展学习．教师设计了两个主问题和三个数学活动，结合变式训练拓展学生的思维．为了突破确定二次函数表达式和自变量取值范围的难点，教师通过大量实例，在实际问题中不断渗透二次函数关系，逐步培养学生用函数关系式刻画变量之间的变化关系，从而使学生能逐步尝试描述关系，进而思考自变量在实际问题中的限制条件，从而确定取值范围．３．把握概念教学的本质，渗透数学核心素养的培养教师应把握概念教学的本质，从促进学生思维角度开展教学，渗透从特殊到一般的归纳㊁推理㊁建立数学模型㊁形成数学概念的思想，进而形成解决一般问题的数学思想方法．教师围绕本节课的教学重难点，以 问题＋活动 的形式，引领学生认识二次函数的概念．这样的设计可使学生真正理解二次函数的概念，掌握二次函数的概念并更好地运用二次函数的概念解决问题．ʌ参考文献ɔ［１］章建跃．章建跃数学教育随想录［Ｍ］．杭州：浙江教育出版社，２０１７．［２］卜以楼．生长数学：卜以楼初中数学教学主张［Ｍ］．西安：陕西师范大学出版社，２０１８．. All Rights Reserved.。
数学课堂教学设计研究_章建跃
数学课堂教学设计研究章建跃(人民教育出版社中学数学室 100081)1 教育观与教学设计教育需要随着社会发展对人才需求的变化而不断进行改革.随着改革的深入及其出现的种种问题,提出强调人与自然的和谐发展,强调全面、可持续发展的科学发展观,这无疑是非常及时和必要的.对于教育来讲,则要构建学习型社会,强调人的终身学习与发展.为了追求升学率,教学中不惜加班加点,搞机械重复训练,消耗学生大量的时间、精力和体力,牺牲学生其它的兴趣爱好.这种做法在短时间内能够提高考试分数,但学生的心理健康、知识结构、能力结构乃至道德水平等出现或多或少的问题,而且缺乏发展后劲.中学(特别是重点中学)的升学率显然是一个重要的指标,就像经济建设中的GDP指标一样.但社会发展到今天,基础教育的性质在发生变化,由 双重任务 演变为 提高国民素质、面向大众 , 为学生的终身发展奠定基础 的教育.所以,树立以学生为本的教育观是时代发展的要求.以学生为本的教育观,本质与核心是 以学生的发展为本 ,而且应当是全面的、和谐的、可持续的发展.这就要求教师在教学中,不仅要看到所教的学科知识,而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用,在提高人的知识水平的同时,提高他的素质,丰富他的精神世界.以学生为本 的教育观是教学设计的根本指导思想,对教师的专业化水平提出了高要求.只以升学率为评价指标时,教师可以只考虑如何提高考试分数,但从 全面 和谐 可持续 的要求来看,在 以学生为本 教育观下,对教学质量的内涵要有与时俱进的认识,即要把学生得到全面、和谐、可持续发展作为衡量教学质量的根本标准.另外,为了体现以学生的发展为本,就要研究学生的身心发展规律,思考学习与发展的关系,研究学生是如何学习的,等等.对于课堂教学,只有经过精心设计的教学对学生的发展才会产生优质、高效的促进作用.2 教学设计的内涵教学设计就是为达到教学目标,教师对课堂教学的过程与行为所进行的系统规划.主要解决两个问题:(1)教什么:教学目标的设计,包括显性目标和隐性目标.基于对教学内容、学生情况的分析.(2)怎样教:教学手段的选择、教学过程的设计.基于对教学资源、学生和教师自身情况的分析.教学为什么要设计?有许多理由,但下面两点大概是最重要的.(1)由学校教育的性质决定的.我们知道,学校教育的目的是使学生的身体和心理获得发展.心理发展包括智力发展和个性特征(情感、意志、性格等)的发展.智力发展包括观察力、记忆力、想象力、思维力的发展,其中最主要的是学生思维能力的发展.就智力发展而言,只有科学的、规律性的知识和有目的、有计划、有指导的启发式教学,才能真正产生作用.无数事实证明,学生智力的发展,既不能脱离科学的、系统的知识传授和技能训练,又必须在传授知识和训练技能中有意识地加以培养.掌握 双基 与发展智力是密切相关但又不是同步的,教学中必须有意识地把发展智力(核心是发展思维能力)作为重要任务.也就是说,学生智力的发展是在 双基 教学中经过有意识培养而实现的.这里, 有意识 的含义就是 教学需要设计 .顺便提及,正因为学生的智力发展需要有意识地培养,所以教师在教学中的主导作用是不能否定的.把教师定位在 数学活动的组织者、引导者、合作者 ,否定了教师的主导地位,是不正确的.(2)实现教学过程科学化的需要,其深层次的目的就是提高教学质量和效益 使学生以尽量少的投入(时间、精力等),获得尽量多的收获.教学过程科学化体现了对教师的专业化要求,这就是说,就像医生看病开处方、律师开业打官司一样,当教师也是需要专门的职业训练、有特殊的职业要求的.会加减乘除就可以教数学的现象是不能允许的.对教学设计的专门要求是教师专业化的重要体现.如何提高教学质量和效益?实践中的偏差是:视学生为被动接受的容器,无视学生接受能力而任意拔高教学要求,片面加大知识传授的总量,以此作为学生学习收获的增值途径.但是,任意拔高要求,搞注入式教学,只能导致学生死记硬背,学习效果不会好,因此也就谈不上什么学习效益了.更何况教学目标不仅是知识,还是思维、能力、理性精神等其他东西.教学设计的基础是对学生如何学习的准确把握.在研究学生知识、技能、思维、能力等是如何发展的问题时,除了认真考察知识、能力等的内涵外,必须深入考察它们是如何被学生获得的,即要对 学什么 和 如何学 这两个问题进行科学分析.3 关于教学目标的思考我们知道,教学目标是教学目的的系统化、具体化,是教学活动每一阶段所要实现的教学结果,是衡量教学质量的标准.因此,教学目标几乎成了全部教学设计的依据,其地位是相当重要的.从前面的论述可以看到,准确制定教学目标是提高教学质量和效益的前提,教学目标应当全面、合理,要体现个性差异.另外,既然是一种 质量标准 ,那么教学目标必须是可观测的.对于教学目标问题,国内外都有大量研究.如布鲁姆、加涅等的研究都非常著名.从有利于指导教学的角度考虑,我们认为将教学目标按层级分类 是比较合适的:第一层级,主成分以记忆因素为主要标志,培养的是以记忆为主的基本能力,目标测试应当看基本事实、方法的记忆水平,标准是:获得的知识量以及掌握的准确性.第二层级,主成分以理解因素为主要标志,培养的是以理解为主的基本能力,目标测试看能否对解决常规性、通用性问题,包括能否满意地解决综合性问题.这里,解决问题的前提是理解,是对知识的实质性领会以及经过自己的检验因而具有广泛迁移性的领会.标准是:运用知识的水平,如正确性、灵活性、敏捷性、深刻性等.第三层级,主成分以探究因素为主要标志,培养的是以评判为主的基本能力,目标测试看能否对解决问题的过程进行反思,即检验过程的正确性、合理性及其优劣.标准是思维的深刻性、批判性、全面性、独创性.数学教学目标应当反映数学学科特点.为了使目标更加具体、实用,应当结合当前的教学内容陈述教学目标,阐述清楚经过教学,学生将会有哪些变化,会做哪些以前不会做的事,以使目标成为有效教学的依据,防止教学中的 见木不见林 ,同时为检查学习效果提供依据.例如:在探索直线与平面垂直的位置关系的过程中,掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,体会几何推理证明的思考方法、基本规则和严谨性,发展空间想象力和逻辑思维能力;在掌握用图解法求最优解的基本方法的过程中,体会线性规划的基本思想,培养数学应用意识.下面从对比的角度再看两个例子.例1 理解函数单调性概念.这一陈述中, 理解 的含义不清,难以作为判断学生是否已经 理解 的标准.实际上, 理解 的基本含义是学生能用概念作出判断.因此可以改述为:能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征;能用函数单调性定义判断一个函数的单调性.在教学目标的陈述中, 了解 理解 掌握 灵活应用 的区分并不容易,需要教师经过较长时间的有意识的经验积累.例2 掌握一元二次方程根的判别式.这个陈述中,没有对 掌握 的内涵给出具体界定,容易引起歧义.例如会陈述判别式还是能写出具体方程的判别式?是否对判别式的来龙去脉要清楚?等等.用判别式判断一个含字母系数的一元二次方程的解的情况(综合应用)与用判别式判断一个具体方程是否有解(单一应用)是不一样的.一般地,对于根的判别式这样的重要数学概顾泠沅.教学改革的行动与诠释,人民教育出版社,2003年8月版,第130页.念,应当对目标进行分解.例如可以作如下表述:(1)在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中,掌握判别式的结构和作用;(2)能用判别式判断一个一元二次方程是否有解;(3)能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解;(4)能灵活应用判别式解决其他情境中的问题.数学教学科学化,从制定教学目标上看,一要全面,二要具有可操作性.这是建立在对教学内容、学生数学学习规律的准确把握基础上的,需要有对细节的不断追求.制定目标的水平是衡量教师专业化水平的重要标志.从当前的实际情况看,许多教师对自己所教的数学内容并没有一个清晰的 目标分类细目结构图 ,有的甚至对数学知识结构图也是模糊不清的.简言之,教师的数学素养和对数学教材的理解水平都有很大的提高空间,这是提高教师素质急需解决的问题.当前,一个值得注意的问题是,教学目标 高大全 ,一堂数学课所承载的目标太重.有的甚至是目标 远大 、空洞,形同虚设.例如:培养学生的数学思维能力和科学的思维方式;培养学生勇于探索、创新的个性品质;体验数学的魅力,激发爱国主义热情;等等.4 教学设计的基本原则教学设计可以区分为立足于教师主导为主的设计和立足于学生自主活动为主的设计.无论是哪种设计,都需要遵循如下一些原则.(1)激发动机与兴趣 情意原则.如何组织和指导学生,才能使他们以最大的热情、最佳的精神状态投入数学学习?这是一个需要认真考虑的问题.激发动机与兴趣是一个老生常谈的问题,老师们常常觉得 没招 .这个问题的解决,如下三个方面值得关注:问题性:创设问题情境,以问题引导学习,形成认知冲突,激发求知欲,激活思维.同时,通过 追问 等方式,使学生的这种心理倾向保持在一个适度状态.思维最近发展区内的学习任务:采取有步骤地设置思维障碍等方法,铺设恰当的认知阶梯,呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务,可以激发学生的学习热情.不过,一个班级那么多学生,学习基础千差万别,设置的学习任务要适应个别差异,也是一个难题,需要教师的智慧.上述两方面有内在联系.提问的关键是要把握好 度 ,要做到 道而弗牵,强而弗抑,开而弗达 .这是课堂教学的关键,也是衡量教师教学水平的关键之一.使用 反馈 调节 机制:学习任务难易不当,都不利于学生保持高水平学习热情.应通过教学反馈,及时发现问题,通过调整设问方式,增加提示信息或进一步设置障碍等方法调整学习任务的难度.例3 三角函数诱导公式 教学中几种提问的比较.你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗?的终边、 +180 的终边与单位圆的交点有什么关系?你能由此得出sin 与sin( +180 )之间的关系吗?我们可以通过查表求锐角三角函数值,那么,如何求任意角的三角函数值呢?能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数?问题情境:三角函数与(单位)圆是紧密联系的,它的基本性质是圆的几何性质的代数表示,例如,同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性:以圆心为对称中心的中心对称图形;以任意直径为对称轴的轴对称图形.你能否利用这种对称性,借助单位圆,讨论一下终边与角 的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y=x对称的角与角 的关系以及它们的三角函数之间的关系?问题 过于宽泛,没有对 圆的几何性质 与 三角函数 两者的关系作任何说明,指向不明,学生 够不着 ;问题 过于具体,学生只要按照问题提出的步骤进行操作就能获得答案,思考力度不够;问题 与当前学习任务没有关系, 功利 而且肤浅,没有思想内涵,与诱导公式的本质相去甚远,不能导致探究诱导公式的思维活动.问题 体现了如下特点:从沟通联系、强调数学思想方法的角度出发,在学生思维的 最近发展区 内,提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题,所以具有适切性、联系性、思想性,可以直接导致学生探究、发现诱导公式的思维活动.(2)教学内容结构化,保持思想方法的一致性 结构原则.结构化教学内容具有如下特点:核心知识(基本概念及由内容所反映的数学思想方法)为联结点,精中求简,易学、好懂、能懂、会用,能切实减轻学生负担;形成概念的网络系统,联系通畅,便于记忆与检索;具有自我生长的活力,容易在新情境中引发新思想和新方法.有上述理由,所以在考虑课程、教材和教学改革时, 结构化 值得关注.在教学设计中,专家教师与新手教师的重要差别在于教学内容的组织.优秀教师通过深入钻研大纲、教材,对教材的整体把握准确,对各部分内容的地位及其内在逻辑关系了如指掌,他们对数学问题的深层结构很敏感,他们习惯于按问题答案所涉及的数学概念、原理对问题进行分类;他们掌握并善于运用能揭示知识本质的典型材料,能从学生的现状出发重新组织教材,能自然地将学过的知识融入新情境,以旧引新,以新固旧.在对学生进行 双基 训练时也是紧紧围绕这种逻辑关系,有计划地设置障碍,使知识得到前后呼应.总之,优秀教师能根据教材和学生特点,使课堂教学呈现精当的层次序列(优秀教师的这种能力,显然是以他的学科功底、教育心理理论修养以及教学经验的积累为基础的).所以,知识结构化是教学设计应遵循的一个重要原则.根据结构化原则,教学设计中应当做到:(1)教学目标明确,削支强干,重点突出,集中精力于核心内容.(2)教学内容安排注重层次结构,张弛有序,循序渐进.由浅入深,由易到难,先简后繁,先单一后综合.(3)每堂课都围绕一个中心论题而展开和深化,精心组织相关的数学成分,使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体,相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开;课与课之间建立精当的序列关系,保持知识的连贯性,思想方法的一致性.易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正,使知识得到螺旋式的巩固和提高.例4 平面向量的结构化设计.我们知道,位置是空间最基本原始的概念.空间中由A到B的有向线段AB就是A,B两点所标记的两个位置之间的差别的具体化描述.位移向量(自由向量)则是一个将这种 位置差别 加以定量化的基本几何量,其本质内涵是AB的方向与长度,也就是当两个有向线段为同向平行且大小相等时,两者所表达的位移向量定义为相等.与物理学中的位移合成类似,在此基础上,可以通过位移向量的合成定义向量的加法.与数及其运算类似,在定义向量的加法的基础上,可以定义向量的减法和数乘运算.从几何角度考察向量运算,则有如下结果:一个点A、一个方向e可以定性刻画一条直线;引进向量数乘运算k e,那么直线上每一个点X就可以定量表示为k1e;一个点A、两个不平行的方向e1,e2在 原则上确定了平面(定性刻画);引入向量的加法运算e1 +e2,那么平面上每一个点X就可以定量表示为k1e1+k2e2.同样地,引进向量的数量积的定义a b=|a| |b| cos ,几何中讨论的长度、角度、面积等就转化为对向量的表达和运算.另一方面,从代数的角度考虑,引进一个量及其运算就自然要考察其运算律.而从对运算律的几何含义的考察中发现,空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律.例如:向量加法的定义植根于空间的平行性.在欧氏几何中,关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之间的转换,而平行四边形定理所转换而得者,就是向量加法的交换律;相似放缩是欧氏空间的特色,这也就是向量的数乘运算的来源.而关于相似形的基本定理,即相似三角形定理,用向量数乘运算来表达就是数乘分配律;关于长度和角度的基本定理,即勾股定理和余弦定理,可以用向量的数量积来有效地计算,而数量积本身又有一套十分简明有力的运算律,特别是分配律. 本质上,数量积的分配律是勾股定理的提升和精简所得,也可以说是勾股定理代数化的最佳形式 .根据上述分析,我们可以这样来构建平面向量教学的结构系列:借助位移、有向线段引入向量概念;借助位移的合成定义向量的加法运算,再类比数的减法、乘法运算引进向量的减法运算和数乘运算;考察向量运算的几何意义,运算律及其几何含义;从度量长度、角度等的需要出发,引入向量的数量积概念,考察其几何意义,运算律;与解析法建立联系,考察向量的分解(平面向量基本定理)及坐标表示,并考察在坐标表示下的一些基本问题(向量运算的坐标表示,向量度量关系的坐标表示,等等).概念是知识结构化的关键 .概念按照从具体形象到表象再到抽象的等级排列,概念的拥有量、抽象水平以及使用概念的灵活性是一个认知行为的基本要素.可以说,课堂教学是形成概念序列的思维活动.因此,从结构化角度加强概念教学,使学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列,对于掌握知识、发展能力是至关重要的.下列做法值得关注:概念教学遵循从具体到抽象的原则,采取 归纳式 ,让学生经历从典型、丰富的具体事例中概括概念本质的活动,而不是给出概念定义,举例说明,练习巩固;正确、充分地提供概念的各种变式: 适当应用反例,罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析,是促进学生认识概念的本质、确定概念的外延的有效手段;在概念的系统中学习概念,使学生有机会从不同角度认识概念,建立概念的 多元联系表示 ,这不仅便于发挥知识的结构功能,使概念具有 生长活力 ,有益于知识的获得、保持和应用,而且对发展学生的概括能力有特殊意义;精心设计练习,在应用中强化概念间的联系,巩固概念网络,加深概念理解.(3) 两个过程 有机整合,精心设计概括过程 过程原则.两个过程 就是数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程.改进教师的教学方式和学生学习方式是时代发展的要求.把改革的基点放在使全体学生都能独立思考上,使讲授式教学与活动式教学相结合,接受式学习和发现式学习相结合,形成互补,从而使学生被动接受的局面得到改变.这里, 结合 互补 都是在 两个过程 的有机整合中,不断引导学生的概括活动实现的.贯彻过程原则,必须做好两个还原 .第一个是还原知识的原发现过程,这就要求我们在教学设计中思考数学知识结构的建立、推广和发展过程;数学概念的产生过程;解题思路的探索过程;数学思想方法的概括过程;等等.第二个是学生思维过程的还原,这就要求我们在教学设计中,为学生构建一条 从具体到抽象,由此及彼、由表及里,从个别到一般,从片面到全面 的思维通道.有了这两个还原,概括过程的主导思路也就明确了,以这条思路为依据设置问题情境,引导学生开展类比、猜想、特殊化和推广等思维活动,使他们经历概括过程.显然,强调 过程性 的核心是强调教学过程的思想性,使学生在课堂中有高度的思维参与,经历实质性的数学思维过程.在设计概括过程时,如下措施值得注意:通过分析 两个过程 ,明确概括过程的主导思路,围绕这条思路确定猜想和发现的方案;在把概括的结论具体化的过程中,推动对概念细节的认识;通过变式、反思、系统化,建立概念的联系,形成概念体系;强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用.具体的,我们可以尝试以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程:创设问题情境,引起学生对新知识的注意与思考;开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动,形成假设;利用已有知识进行推理论证活动,检验假设,获得新知识,并纳入到已有认知结构中;曹才翰.曹才翰数学教育文选.人民教育出版社,2005年10月版,第149页.顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社,2003年8月版,第167页.项武义.基础数学讲义丛书 基础几何学.人民教育出版社,2004年9月版,第142页.新知识的应用,加深理解(理在用中方知妙),建立相关知识的联系,巩固新知识.例5 不等式基本性质的猜想、证明和应用.知识的发生发展过程:从等式到不等式;在运算过程中的 不变性 .思维的过程:类比等式的基本性质得到关于不等式基本性质的猜想,并以实数大小的基本事实为依据进行推理论证.因此,概括过程的主导思路是:类比等式的基本性质猜想不等式的基本性质,以实数大小的基本事实为依据进行证明或证伪.教学设计思路如下:引导学生回忆规定实数大小方法(顺序公理,数形结合);引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用(实数大小比较归结为统一的与0的大小比较或判断差的符号问题);引导学生回忆等式基本性质的获得过程及其基本思想(考察运算中的不变性);引导学生类比等式的基本性质提出一些不等式的基本性质的猜想;尝试用实数大小的基本事实证明性质;辨析不等式的基本性质(与等式问题比较,考察异同;不同语言表述性质;等等);尝试从基本性质出发,得出一些新的结论(如a>b,c>d,则a+c>b+d;a>b>0,则1 b >1a>0;等等);概括思想方法(与实数性质、等式性质的联系性;在数与运算的系统中考察关于实数大小的基本定理;等等).(4)强调 反馈 调节 机制的应用,有效监控教学活动 调控原则.任何有计划的活动都需要有一个调控机制,这样才能使活动目标有效达成,否则是 脚踩西瓜皮,滑到哪里算哪里 .为了使教学活动维持在最佳状态,追求教学的高效益, 反馈 调节 机制的使用是必须的.实际上就是通过及时调控,始终使学生在自己的思维 最近发展区 内活动.在 反馈 调节 机制的使用中,非常重要的是学生自我监控的参与,因此这是一个涉及 元认知 的问题,对于提高学生的数学能力,特别是思维能力是至关重要的.自我监控能力的培养是一个重要但未被重视的问题.反馈信息要注重差异,调节则要有意识地采取分化性措施 .在课堂教学设计中,下面几个方面值得考虑:给不同需求的学生提供不同类别的专门帮助;布置可选择的作业集合,满足不同学生的不同需求;认真考虑学生的个人爱好,机智地将其纳入课堂教学.5 课堂教学结构的选择在课堂教学设计中,需要根据教学内容和教学条件,选择适当的课堂教学结构.应当说,课堂教学结构并不能一概而论,原因是教学条件复杂多样,学生之间存在个性差异,教学内容也千差万别.因此在教育理论研究中,课堂教学结构历来是风格各异、流派纷呈.不同的教学流派主张的课堂教学结构往往各有千秋.当前要防止千篇一律的 问题情境 建立模型 解释、应用与拓展 的结构模式,应当注意探索教学结构多样化的途径.从扎实搞好 双基 教学,提高学生数学能力,逐步发展学生探索数学规律的能力,培育理性精神的要求出发,我们认为下面的课堂教学结构具有普适性,它包括有层次的五个环节 .(1)创设问题情境,明确学习目标.以问题为教学的出发点,激发学生的好奇心和学习兴趣,使学生产生 看个究竟 的冲动.学习目标一定要让学生非常清楚地知道,只有这样才能使学生把握学习方向.一般的,学习目标中,掌握数学概念的内涵(知识点),领悟概念所反映的数学思想方法,建立相关知识的联系,学会数学地思考与表达等,应当成为基本内容,最重要的是要形成数学的思维方式.(2)指导学生开展尝试活动.在学习目标的指引下,通过适当的问题引导学生回忆已有的相关知识.新的学习建立在已有学习基础上.许多时候,建立已有知识之间的联系就是学习目标.例如,用顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社,2003年8月版,第184页.顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社,2003年8月版,第182页.。
章建跃核心概念、思想方法的理解与教学
案例二
利用图像、表格和解析式等多种表 示方法，让学生从不同角度理解函 数，培养数形结合的思想方法。
案例三
通过比较不同函数的性质，如单调 性、奇偶性、周期性等，引导学生 发现函数间的内在联系和规律，加 深对函数概念的理解。
几何图形教学案例
案例一
从生活中的实例出发，引入几何 图形的概念，如建筑中的平面图 形、自然界中的立体图形等，激
03
创设问题情境，鼓励学生自主探索和发现数学思想方法，培养
学生的创新意识和实践能力。
培养学生数学素养的教学策略
重视数学基础知识的教学
强化数学应用意识的培养
注重数学基础知识的教学，帮助学生建立 扎实的数学基础，为培养数学素养提供有 力支撑。
通过引入实际问题和应用案例，引导学生 运用数学知识解决实际问题，培养学生的 数学应用意识和能力。
04
数学教学策略探讨
基于核心概念的教学策略
1 2
突出核心概念的教学地位
明确核心概念在数学教学中的重要性，将其作为 教学的重点，围绕核心概念展开教学活动。
深入剖析核心概念的内涵与外延
通过对核心概念的深入剖析，帮助学生理解其本 质属性和相关概念间的联系与区别。
3
强化核心概念的运用与实践
通过大量的实例和练习，引导学生运用核心概念 解决问题，加深对核心概念的理解和掌握。
是指对数学基本概念、基本原理、基本方法的理解和掌握，以及运用它
们分析问题和解决问题的能力。
思想方法概述
数学思想
是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。
数学方法
是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。
章建跃核心概念、思想方法与数学教学的关系
基于核心素养的高中数学课堂教学设计
基于核心素养的高中数学课堂教学设计作者：***来源：《广西教育·B版》2020年第02期【摘要】本文以《平面向量数量积的物理背景及其含义》为例，从“教材理解、教学目标、教学重难、学生学情、方法手段、教学过程”等六个层面阐述基于培养学生核心素养的课堂教学设计。
【关键词】高中数学核心素养教学设计【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2020）02B-0102-04高中数学核心素养是什么？发展学生核心素养的高中数学课堂教学该如何设计？这是高中数学教师关注的焦点问题。
数学课程标准指出，数学核心素养是与数学有关的关键能力和思维品质，是数学思想与数学思维方法的综合反映，是认识、理解和处理问题时所具备的综合性能力。
逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析是高中数学的六大核心素养。
数学教学要为素养而教，用学科育人。
发展学生核心素养的课堂教学该如何设计？这是高中数学教师在做每一堂课的数学教学设计时常思考的问题。
数学教学设计是教学活动实施的“剧本”，有精彩的剧本，才能上演精彩的戏。
现以《平面向量数量积的物理背景及其含义》（以下简称《内积》）的课堂教学设计为例，从“教材理解、教学目标、教学重难、学生学情、方法手段、教学过程”等六个层面阐述课堂教学设计，与同行进行探讨与交流。
一、准确理解教材内容对教学内容，要深刻理解，准确把握。
在理解教材时要思考以下四个问题。
一是本节数学内容的本质是什么？二是本节内容在教材中的地位与作用是什么？三是本节内容蕴含的数学思想方法有哪些？四是本节内容能发展学生的核心素养有哪些？比如，《内积》的教材理解可以从四个维度展开。
（一）平面向量数量积的本质平面向量数量积的本质是将物理中矢量的乘积运算抽象成数学中向量的乘法运算。
它是避开了物理中矢量的个性与具体背景，找出它们参与乘法运算的共性，统一抽象成数学的向量乘法运算。
（二）本节内容在教材中的地位与作用从教学内容角度看，具有承上启下的作用。
听章建跃单元课时教学设计研究有感
听章建跃单元课时教学设计研究有感X月X日，XX大学XX校区逸夫体育馆座无虚席，观摩全国第八届初中数学青年教师优秀课评比活动的3000多为教师在仔细聆听章建跃博士关于《发挥数学的内在力量，为学生谋取长期利益》的报告，我有幸成为其中一员深感荣幸。
章建跃博士的报告从点评杭州采荷中学屠旭华老师执教《同底数幂的乘法》的一节课开始，围绕这节课章博士从教学内容解析、教学目标设置、学生学情分析、教学策略分析、教学过程进行了深入剖析和精彩阐述，我置身其中，获益匪浅，深受启发，现结合章博士的报告谈谈设计一节数学课该考虑哪些因素。
1、立意数学课的立意就是一节课的总纲，也是一节课的核心思想。
个人认为一节数学课的立意可分知识立意、能力立意、知识立意和能力立意兼顾。
如《同底数幂的乘法》一课的立意是：“构建一个前后一致，逻辑连贯的代数学习过程，使学生在掌握知识的过程中学会思考，把学生培养成为善于认识问题，善于解决问题的人才。
”这是知识与能力并重的课堂立意。
2、目的也就是为什么要学习本课内容？这是每一位数学教师在备课时都应该考虑的问题。
我们既要思考本课知识在本章、本册教材中的地位与作用，也要思考本课内容的学习是源于生活的需要还是后续学习的需要。
如《同底数幂的乘法》一课，设计教案时，我们应该思考学生在学习同底数幂的乘法之前，已经学习了那些知识？知识储备有哪些？显然已经学习了整式的加减，能用分配律进行去括号运算等。
接下来自然要学习整式的乘法和除法，而按学生认知规律和小学学习的经验，先学习整式的乘法再学习整式的除法，这个顺序学生是认可的。
接着需思考的是整式的乘法分几类？有单项式乘单项式、单项式乘多项式和多项式乘多项式，而这些运算都是以幂的运算为基础的，所以学习同底数幂的乘法是后续学习的前提与基础，是十分必要的。
3、开篇开篇就是我们所说的引入，包括章节引入和一堂课的引入。
对于“章节引入”，在听章博士的报告前，我很少关注，几乎从不思考学科和章节的引入，也不知道“学科、章节”的引入对教学的作用有什么？听完报告后，我醍醐灌顶，明白在新学一章内容前，对这一章节作一个章节引入的重要性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
C
D
例9
一元二次方程中的难点
• 真正的难点还是在思想方法上：等价转 化（配方法）；化归思想：二次化一次 （因式分解、开方等运算）；对方程的 根、系数之间关系进行研究的思想—— 如何提出研究的问题；分类讨论思想。 • 具体操作上：由平方根概念所附带产生 的难点。
4．教学支持条件分析
• 为了有效实现教学目标，根据问题诊断 分析和学习行为分析，分析应当采取哪 些教学支持条件，以帮助学生更有效地 进行数学思维，使他们更好地发现数学 规律。当前，可以适当地侧重于信息技 术的使用，以构建有利于学生建立概念 的“多元联系表示”的教学情境。
教学目标的三层级模型
第一层级 • 主成分：以记忆为主要标志, 培养的是以记忆为主的基本能力。 • 测试：基本事实、方法的记忆水平。 • 标准：获得的知识量以及掌握的准确性。
第二层级
• 主成分：以理解为主要标志，培养的是 以理解为主的基本能力； • 测试：能否顺利地解决常规性、通用性 问题，包括能否满意地解决综合性问题； • 标准：运用知识的水平，如正确、敏捷、 灵活、深刻等。
例4
“三线八角”的教学目标
目标： • 识别同位角……（课标）。 目标解析： • 正确地分析图形的结构特征，从中找到 “两条直线”和“第三条直线”，确定角 的关系（同位角、内错角、同旁内角）。 • 以“结构特征”为依据，对角进行分类， 确定角的特定关系的思想方法。
例5
一元二次方程的解法
• 目标：掌握一元二次方程的解法。 • 解析：（1）能用具体的方法，如开方法 、因式分解法、配方法、公式法等解方 程；（2）能用等价转化（如x2=a、(x－ x1) (x－x2)=0等）、化归（通过代数运算 转化方程，化未知为已知）等探究一元 二次方程的解。
例6
一元二次方程根的判别式
• 目标：掌握一元二次方程根的判别式。 • 解析：——对“掌握”的内涵作具体界定。 （1）在用配方法推导求根公式的过程中，理解 判别式的结构和作用； （2）能用判别式判断数字系数的一元二次方程 根的情况； （3）能用判别式判断字母系数的一元二次方程 根的情况； （4）能应用判别式解决其他情境中的问题。
• 对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不 能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把 问题归咎于教学系统的复杂性； • 缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法， 往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者 发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及 其根源也找不出解决问题的有效方法； • 采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机 械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏 根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的 新方法。
3．目标和目标解析
• 目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶 段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标 准。 • 目标：用了解„„及行为动词经历„„表述目 标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做 哪些以前不会做的事。 • 目标解析：解析了解、理解、掌握、经历、体 验、探究等的含义。特别注意对概念所反映的 数学思想方法的解析。
• 从代数式（符号代表数）、方程（符号 代表未知数）到函数（符号代表变数） 是一个飞跃，这是看问题角度的根本变 化——从变化过程中考察规律，函数是 研究变化规律的。 • 一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映— —不仅明确x，y的意义，而且明确k，b 的意义——变化规律由k，b决定。 • 其他函数也类似。
例1 “平方根”中的不当问题
• 2 是近似值，无法在数轴上表示准确。 • 带根号的数和分数统称实数。 • 数轴上任意两点之间都有无数个点。 • 若a＞|b|，则a2＞b2。 • 2的整数部分和小数部分分别是m，n， 求m－n。
三、教师层面的问题分析
• 对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织 方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和 思想方法的体系结构缺乏必要的了解； • 对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所 反映的思想方法的理解水平不高； • 只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学 措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中 无数；
四、努力的方向——专业化
数学学科的专业素养 • 有较好的数学功底（教好数学的前提是 自己先学好数学），对数学内容所反映 的思想、精神有深入的体会和理解；懂 得哪些数学知识对学生的发展具有根本 的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的 科学方法和理性思维过程的能力和“技 术”；等。
教育学科的专业素养： • 一个人的可持续发展，不仅要有扎实的 双基，而且要有积极的生活态度、主动 发展的需求、终身学习的愿望、热情、 能力和坚持性、健康向上的人生观和价 值观。教师在这些方面对学生的影响力， 就是教师的教育学科专业素养的最重要 指标。
• 例题：
• 主要是通过图形变式，让学生在逐渐复 杂的图形中识别有关角。要帮助学生总 结操作要点：两个角由哪条直线截另两 条直线形成的——关键是确定“所在公 共直线”。 • 要注意使用反例。
例10
“三线八角”的教学过程
• 问题1 （1）请回顾一下角的概念。（2） 对顶角、邻补角是怎样形成的？我们是 怎样研究它们的性质的？ • 设计意图：强调从结构特征、讨论问题 的思想方法等角度，对已有知识进行复 习回顾，为新知识的学习提供借鉴。
• 先行组织者：两条直线相交形成四个角， 它们的关系（性质）已经清楚（特例是 垂直）。接下来可以研究一条直线与两 条直线分别相交，可以得到哪些角，它 们又有什么关系（性质）。 • 意图：提出问题的方法、研究思路的引 导。
“两个素养”的结合
• 善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削 枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别 敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相 适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价 值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而 精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学 习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动 发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发 展均衡。
聚焦数学核心概念、思想方法 的课堂教学设计
人民教育出版社 章建跃 zhangjy@
一、我们面临的现实
• 课改迅猛推进 • 亟待解决的问题多多：新课程提倡的理 念难把握；新教材的改革设计难适应； 教学方式、学习方式的变革难跟上；课 程改革与考试评价制度的改革不配套； 等。
二、教学层面的问题
五、数学课堂教学——教什么
• 构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认 知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体 系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得 到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突 破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因 为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领 悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思 维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实 发展数学能力，提高数学素养。
5．教学过程设计
• 强调教学过程的内在逻辑线索； • 给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概 念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法 的领悟过程分析； • 以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每 一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要 概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能 训练，需要培养的能力，等； • 根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决 的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设 计，合作交流式教学设计，等。
六、基于概念的核心、思想方法 的教学设计框架
1．教学设计的基本线索 • 概念及其解析（概念的核心）； • 目标和目标解析； • 教学问题诊断（达成目标已有条件和需 要的新条件的分析）； • 教学过程设计； • 目标检测的设计。
2．概念和概念解析
• 概念：内涵和外延的准确表达； • 概念解析：重点是在揭示内涵的基础上 说明概念的核心之所在；对概念在中学 数学中的地位的分析，对内容所反映的 思想方法的明确。在此基础上确定教学 重点。
• 问题2：画出一条直线与两条直线分别相 交的图形。共得到几个角？你知道其中 哪些角的关系？ • 设计意图：培养学生画图的习惯；分析 出需要研究的新问题（思维的逻辑性）。 • 问题3：我们没有研究过的是哪些角的关 系？如何把这些角分类？ 1 2 3 4 • 设计意图：引导学生学 习根Байду номын сангаас一定标准分类的研 5 6 7 8 究方法。
例8 “三线八角”中的难点
• 学生初次接触平面几何关于位置关系、 大小度量的讨论，在思想方法上存在困 难外，对于认识几何问题的一般程序也 存在困难。复杂的图形会使学生感到无 从下手。 • 教学难点：对图形结构特点的理解并正 确地对角分类；在具体（变式）图形中 正确找出有关的角。
• ∠B和∠BCE可以看成是直线 ， 被 直线 所截得的 角；∠B和∠BCD可 以看成是直线 ， 被直线 所截得 的 角。 B E
• 课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一 致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基 本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题 操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不 得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝 贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。 学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数 学基础仍很脆弱。 • 我国数学教学质量滑坡的现象并没有随课改而 得到改观，而是越来越严重了。
例2 代数的核心概念、思想方法
• 有系统、有效力地运用数系的加、乘和 指数运算的运算律，去解决各种各样的 代数问题： • 各种式（整式、分式、根式等）的运算 ——用运算律进行“等价变换”； • 方程——未知数、已知数之间的特定代 数关系；解方程——由代数方程式确定 其中的“未知数”的值；
• 解方程的基本原理：运算律对任何数都 成立（通性），所以对“未知数”也成 立、可用。有系统地用运算律化简所给 的方程，从而确定其中的未知数——化 未知为已知。 • 一元一次方程是基础，其它都设法向它 转化。 • 许多问题是在引进字母表示数时才水到 渠成地提出来的——从处理单个的数到 处理一类问题。
• 问题5：图中，（1）与∠1、∠5具有相 同位置关系的角还有哪几对？（2）还有 哪几对角的位置关系是问题4中没有包括 的？ • 设计意图：从图中识别同位角，及时巩 固概念；引导学生观察图形，从分类角 度认识内错角、同旁内角概念。 • 可以安排让学生找出所有内错角、同旁 内角的活动。 • 教科书只叙述了事实，给了名字。数学 思想方法没有明确——要学生自己悟。