简述三大几何难题
中考数学几何难题解析
中考数学几何难题解析在中考数学中，几何部分一直是许多同学感到头疼的难题。
这些题目往往需要我们综合运用各种几何知识和方法，进行深入的思考和推理。
下面，我们就来一起解析一些常见的中考数学几何难题。
一、三角形相关难题三角形是几何中最基本的图形之一，也是中考的重点考查内容。
例如，在一个三角形中，已知两边的长度和它们夹角的大小，求第三边的长度。
这就需要用到余弦定理：c²＝ a²＋ b² 2abcosC，其中 a、b 为已知两边的长度，C 为它们的夹角，c 为所求边的长度。
再比如，证明三角形全等或相似的问题。
全等三角形需要满足三个对应边相等和三个对应角相等，而相似三角形则只需满足对应角相等，对应边成比例。
我们要善于从题目中找到这些条件，通过合理的推理和论证来得出结论。
二、圆相关难题圆的性质和定理众多，常常成为中考的难点。
比如，在圆中，切线与半径垂直这一性质经常被运用。
如果已知圆的切线和圆心，我们就可以通过连接圆心和切点，得到垂直关系，从而为解题创造条件。
另外，圆周角定理也是常考的知识点。
同弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半。
利用这个定理，我们可以在圆中找到角度之间的关系，进而解决问题。
三、四边形相关难题平行四边形、矩形、菱形、正方形等四边形的性质和判定定理在中考中也经常出现。
例如，要证明一个四边形是平行四边形，可以通过证明两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分等方法。
而对于矩形、菱形、正方形，除了要满足平行四边形的条件外，还需要额外的特殊条件。
矩形需要有一个角是直角，菱形需要邻边相等，正方形则需要同时满足矩形和菱形的条件。
四、综合型几何难题有些中考几何题会将多个图形结合在一起，形成复杂的综合题。
例如，一个三角形与一个圆相交，或者一个四边形内接于一个圆。
对于这类综合题，我们首先要冷静分析，将复杂的图形分解成我们熟悉的基本图形，然后分别运用相应的几何知识进行求解。
几何三大问题
几何三大问题亦称几何作图三大问题：(1)化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积；(2)三等分任意角；(3)倍立方，即求作一立方体，使其体积是一已知立方体体积的二倍．三大问题的起源几何三大问题的起源有下列传说：化圆为方是基于人们以多边形的任意逼近圆的认识．用直尺和圆规可以作出两线段的比例中项，于是化矩形为正方形就成为可能；二等分三角形的高，能将三角形等积地化为矩形，从而也能化为正方形；任意凸多边形可分解为若干个三角形，所以凸多边形化为正方形也是可能的；既然圆可以由凸多边形任意逼近，那么自然想到用直尺和圆规来化圆为方．三等分任意角由求作多边形一类的问题引起的，也是人们广泛研究角的等分问题的结果．例如60°角，它的1／3是20°，如果用尺规可以作出，那么正18边形、正9边形也都可以作出来了．倍正方问题起源于建筑的需要．埃拉托塞尼记述了两个神话故事：一个是鼠疫蔓延提洛岛，一个先知者说已得到神的谕示，必须将立方形的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息．建筑师很为难，不知怎样才能使体积加倍，于是去请教哲学家柏拉图，柏拉图对他们说：神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希腊人为忽视几何学而感到羞愧．另一个故事说古代一位悲剧诗人描述克利特王弥诺斯为格劳科斯修坟，他嫌造的太小，命令说：必须将体积加倍，但要保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方问题起源于建筑的需要．还有人对倍立方问题的起源提出另一种说法，即古希腊数学家看到利用尺规作图很容易作一正方形，使其面积是已知正方形面积的两倍，从而就进一步提出了倍立方问题．探索历程 2000多年来，许多数学家为了解决三大问题投入大量的精力，但却一次一次地陷入困境，以至于三大问题成为举世公认的三大难题．例如化圆为方的著名研究者希波克拉底等人提出一种“穷竭法”，作圆内接正方形(或三角形)，逐次将边数加倍，他们深信到“最后”，正多边形必与圆周重合，于是便可以化圆为方了．结论虽然是错误的，但却提供了一种求圆面积的近似方法．希波克拉底还设法将一个月牙形等积地化为一个三角形，获得了成功，这一成功，曾鼓舞人们去寻求化圆为方的方法．然而人们又一次失败了．古希腊巧辩学派的希比阿斯(约公元前425年)创设了一种所谓“割圆曲线”，用以解决三等分任意角，但由于割圆曲线是不可能用尺规作出的，因此希比阿斯也没有根本解决问题．倍立方问题的实质，是求作一个满足名的是希波克拉底．他的结果是倍立方问题可化为在一线段与另一双倍长的线段之x，就是满足倍立方问题的解．其实希波克拉底只是把一个立体问题化为一个平面问题加以研究，他并不可能用尺规把这样的x作出．三大问题的解决在多次尝试失败之后，启发了人们，开始怀疑三大问题用尺规作图的可能性．1637年笛卡儿创立解析几何学，尺规作图的可能性有了准则．1837年法国数学家旺策尔(Wantzel)证明了用尺规作图三等分任意角和倍立方问题是不可能的．化圆为方问题相当于用尺规作出π的值，也即单位圆的圆面积就是π．若能作出一个长度为π的线段，以这个线段为矩形的一边，单位线段为另一边，这个矩形的面积就和圆相等．再将矩形化为正方形，就达到了化圆为方的目的．1882年德国数学家林德曼(Lindemann)证明了π的超越性，同时证明了化圆为方问题用尺规作图的不可能性．1895年德国数学家克莱因总结了前人的研究结果，出版了《几何三大问题》一书，给出三大问题不可能用尺规作图的简明证法，彻底解决了两千多年的悬案．三大问题之所以不能解决，关键在于工具的限制．如果突破这一限制，那就根本不是什么难题．如化圆为方问题，曾被欧洲文艺复兴时代的大师达·芬奇用一种巧妙的方法给以解决．取一圆柱，使底和已知圆相等，高是半径的一半，将这圆柱滚动一周，产生一个矩形，其面积为2πr·r/2=πr2正好是圆的面积．再将矩形化为正方形，问题就解决了．三等分任意角，恐怕没有比阿基米德所创设的方法更简单了．在直尺OB边缘上添加一点P，命尺端为O，设所要三等分的角是∠ACB，以C为心，OP为半径作半圆交角边于A、B，使O点在CA延长线上移动，P点在圆周上移动，当尺通过B时，联OPB，由于OP=PC=CB，易知∠COB=1／3∠ACB，如图．希波克拉底已把倍立方题化为求两个比例中项的问题．在他用到的比例式a∶x=x∶y=y∶2a中得到方程x2=ay和y2=2ax后，可作出两条抛物线，如图2．其交点M在ox轴上的射影确定线段OP，如果a是已知立方体的梭，那么OP就是已知立方体两倍后立方体的棱．显然，这无法用一般的尺规作出．这种方法是由雅典派大几何家门奈赫莫斯(公元前4世纪)提出的．几何三大问题其他解法不但过去已有，现在人们寻求三大问题新方法的工作仍在进行．在探讨解决几何三大问题的过程中，人们虽然屡屡失败，但却因为这些努力取得意外的收获．例如为解决化圆为方问题，希波克拉底等人使用的穷竭法，导致一种求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导；对三等分角的深入研究导致许多作图方法的发现和作图工具的发明；倍立方问题的探讨促进了圆锥曲线理论的建立和发展．这或许是几何三大问题对数学家有经久不衰的魅力的原因之一．。
古希腊三大几何难题
古希腊三大作图难题北京化工大学 殷光中概述：尺规作图，即只用直尺和圆规作几何图形，其来源于《几何原本》，以后在一个时期内成为数学中的重要研究课题[1]。
古希腊三大作图难题：1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。
众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。
而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。
直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。
到此，这一问题才告一段落。
期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等[2]。
人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……1、三等分任意角科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 1.1.1 n 倍角的正切值展开通式tan1α=t tan2α=212t t- tan3α=23313t t t --tan4α=4236144tt t t +-- tan5α=42535101105t t t t t +-+-tan6α=64253151516206t t t t t t -+-+- tan7α=64275373521121357t t t t t t t -+--+-tan8α=86427532870281856568t t t t t t t t +-+--+-…… 有如下特征：① 分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t 的奇次幂，分母上为t 的偶次幂。
② 我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系： 若tann α=...1......8463422194735231++-+-++-+-t m t m t m t m t n t n t n t n nt ; 则有，tan(n+1) α=...)()(1...)()()1(42121522311-+++--+++-+t m n t m n t m n t m n t n .即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数 。
关于几何的三大问题概述
关于几何的三大问题概述
195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。
旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题
旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题古希腊三大几何难题提出者：智者学派展开雅典有一个智者学派，代表人物有希比阿斯、安提丰、普罗泰格拉等。
智者学派以诡辩著称，当时流行几何，哲学家、数学家常常看口闭口都是几何。
于是三大几何难题就诞生了。
（1）化圆为方：作一个正方形，使其面积与已知圆面积相等。
（2）倍立方：作一个正方体，使其体积是已知正方体的2倍（3）三等分角：三等分任意角于是呢，有一堆数学家就开始做。
题目规则是尺规作图。
可他们没做出来，于是就做，做呀做呀，他们殚精竭虑、千方百计，就是没做出来，一个都没有，但是一直有人做，于是阿基米德螺线诞生了，于是圆锥曲线诞生了……但是这么多几何线诞生，也没把题目做出来，于是两千年过去了。
19世纪有一个人叫旺策尔，证明了这个题目光用尺规是作不出来的。
证明这个几何题目的方法，竟然是代数。
推理方法很值得借鉴。
简单说一下---------------------------------------------------------------------------------推理第一步：尺规作图可以怎么折腾归纳只有5点：①做连接两点的直线段，或延长此线段；②作两直线的交点；③以已知点为圆心；④作圆与直线交点；⑤作两圆交点；第二步：只用尺规可以作出什么样的线段设a1、a2、a3、a4、…… an是已知线段，同时用ai表示它们的长度，并设a1=1. 则光用尺规只能将之进行＋、一、×、÷、√（根号），即进行加、减、乘、除、开偶次方根。
ai＋aj没问题，ai －aj没问题，若x=ai× aj，则有1/ai=aj/x ，作一个相似三角形即可。
同样，若x=ai÷aj则1/x=ai/aj，若x=√（ai），则x^2=ai/×a1，x 是ai/与a1的比例中项，仿照射影定理的模型可以作出。
三大几何难题
三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个 正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
谢谢
高斯的发现
按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了 一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔 马数，那么正P边形就可以用尺规作图法作出，否则 不能作出。 由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正 7边、11边、13边形等都不能作出。
最后的胜利
在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺 规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结 论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过 有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并 且取正值）所能作出的线段或者点。
他们在大量的画图经历中感觉到似乎只用直尺圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形因而种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形因而古希腊人就规定作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行并称之为尺规作图法
三大几何难题
主讲人：王庚 合作：于宏伟
尺规作图法
古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。他们在 大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两 种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而， 古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆 规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知 圆的面积相等。
2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。也提 出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等 人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的 勃洛特方法等等。可是，所有这些方法，不是不符合 尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解 决。
三大几何难题的不解与解──兼论数学的数与形
由于８ ６ ＋ 式 子 在有 理 数 范 围 内是 不 可约 的 （ 明略 ） 并且 ｘ－ ｘ １ ３ 证 ， 次数 不是 ２ 幂 ， 的 由作 图 定 理 可 知 ， 角 是 不 能 用 尺 规 作 图三 等 分 此
的。
２ 问题 的不 解与解
ｌ ３ 年 笛 卡 儿 创建 解 析 几 何 以 后 ， ６７ 尺规 作 图的 可 能性 有 了准 则。 ８ ７ ｌ ３ 年法 国数学 家 范齐 尔 （ ｎ ｚ ｉ １ １ ～１ ４ 年） 出 了倍 立 Ｗａ ｔｅ ， ８ ４ ８ 给 ８ 方 体 和 三 等 分 任 意 角 问 题 的 不 可 能 性 的 证 明 。 ７ 年 爱 米 特 １ ３ ８ （ ｒ ｔ ， ８ ２～ｌ ０ 年 ） 明 了 ｅ的超 越性 。 ８ ２ 德 国数 学家 林 Ｈｅ ｍｉｅ １ ２ ９１ 证 ｌ８年 德 曼 证 明 了 的 超 越 性 ， 而 使 化 圆为 方 问题 的 不 可 能性 得 以 确 从 立 。 ８ ５ 德 国数学 家克莱 因（ ｒｓｉｎ ｅｉ Ｋｌｉ １ ４ ～１ ２ ） １９年 Ｃｈ ｉｔａ Ｆ ｌ ｘ ｅｎ， ８ ９ ９ ５ 总结 了过 去 的 研 究 ， 出 了三 大 问题 不能 用 尺 规 作 图 的 简 明证 法 ， 给 似乎 彻 底 解 决 了２ ０ 多 年 的 悬案 ， ００ 而至 于 用 尺 规 以 外的 工具 ， 则早 有多种方法解决 。 ２ １问题不 解 的证明 ． （ ） 尺规 作 图解 决 “ １用 三等 分 任 意 角 ” 可能 性 证 明 ， 们 知 道 ， 不 我 些 诸 ￣ ９ 。 １ ０ 的 角 ， 尺规 作 图 三等 分在 中 学 已经 学 过 了 ， １０和 。 ８ 用 但三 等 任 意 角却 不 可 能完 成 ， 多都 用 １ ０ 或 ６ 。 大 ２ 。 ０ 角作 为 特 别 角证 明如下 ： 个 １ Ｏ 的 角 将 它三 等 分 后 每 个 角 应 为４ 。 ２。 ０ 我们 用 ０＝４ 。 ０ 作 直 角 三 角 形 ， 其 斜 边 为 １ 其 一 锐 角 为 ０， 是 有 一 直 角长 为 使 ， 于 Ｃ Ｓ 利 用 三 角恒 等 式 ： Ｏ ０，
初中几何的三大难题
初中几何的三大难题今天小编给大家整理了一篇有关暑假作业的相关内容，以供大家阅读参考，更多信息请关注学习方法网！数学是研究数量、结构、变化、空间等领域的一门学科。
数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
数学在历史长河发展中并不是一帆风顺，如经历数学史上三次数学危机，总的来说，和平年代数学发展相比战乱年代要快。
文明程度越高，数学发展速度和重要性日益体现出来。
在平面几何作图发展过程曾出现了三大几何难题，它们分别是：一、三等分任意角；二、化圆为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积；三、立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍。
这三个几何问题为何会成为三大几何难题？其中有一个限制条件是只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。
这种作图方式我们称之为尺规作图。
下面我一起来简单分析这三个问题为什么不能用尺规作图来解决。
一、三等分任意角问题：尺规作图对于所有角进行二等分并不难，可以说轻而易举。
如二等分360度、180度等，依照二等分这个原理我们就可以画出正2n边行（圆内接正多边形原理）。
同理所有角都可以三等分吗？例如90度角进行三等分，若能用尺规作图三等分则可以做出30度的角，答案显然是不行。
二、化圆为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积；圆与正方形都是常见的几何图形，我们设圆的半径为1，那么我们一起来看：显示只是用尺规作图是无法做出含π的线段。
三、立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍；这个问题刚出现时候，很多人主张将每边长加倍，经过计算发现是错的，因为体积已经变成原来的8倍。
如体积为1的立方体边长为1，边长加倍后就变成2，相应体积变成了8。
我们可以进一步这么研究：从这里我们就可以看出新立方体的边长无法用尺规作图进行作图。
曾经过去相当长一段时间里，这些问题困扰很多数学家都不得其解，从现代数学角度我们去看，实际上这三大问题都不可能用尺规作图经有限步骤可解决的。
初中最难几何题
初中最难几何题
初中几何题目的难度因地区和教材的不同而有所差异，但以下是一些可能被认为是较难的初中几何题目：
1. 三角形中的角度和问题：三角形内角和为180度，但有时题目会要求找到其他角度的和或差，这需要学生运用旋转、平移等技巧。
2. 相似三角形的问题：相似三角形是初中几何中的一个重要概念，但有时学生可能会在证明相似或全等时遇到困难。
3. 圆的问题：圆中的弦、弧、切线等概念常常会组合在一起形成复杂的题目，需要学生灵活运用定理和公式。
4. 立体几何的问题：立体几何是初中几何中的一个新领域，学生需要适应三维空间中的概念和问题解决方式。
5. 动态几何问题：这类问题通常涉及到图形在运动中产生的变化和规律，需要学生运用逻辑思维和推理能力。
这些题目可能被认为是较难的初中几何题目，但只要学生掌握了正确的解题思路和方法，就能够有效地解决问题。
高考数学经典问题汇总几何的三大问题
高考数学经典问题汇总——几何的三大问题平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。
用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。
有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。
几何三大问题是：1.化圆为方-求作一正方形使其面积等於一已知圆;2.三等分任意角;3.倍立方-求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢?若已知圆的半径为1则其面积为(1)2=，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为，也就是用尺规做出长度为1/2的线段(或者是的线段)。
三大问题的第二个是三等分一个角的问题。
对於某些角如90.、180.三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢?例如60.，若能三等分则可以做出20.的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了(注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360./18=20.)。
其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
第三个问题是倍立方。
埃拉托塞尼(公元前276年~公元前195年)曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
1882年林得曼(Linderman)也证明了的超越性(即不为任何整数系数多次式的根)，化圆为方的不可能性也得以确立。
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
简述三大几何难题
三大几何难题古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。
其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。
历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。
古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。
它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。
这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。
这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。
在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。
并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。
因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。
1.化圆为方圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。
2.三等分任意角用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？3.倍立方关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题.由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。
简述三大几何难题
三大几何难题古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。
其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。
历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。
古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。
它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。
这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。
这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。
在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。
并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。
因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。
1.化圆为方圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。
2.三等分任意角用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？3.倍立方关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题.由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。
平面几何三大难题
平面几何三大难题平面何三大难难几目难难藏[]尺难作难的限定三大何难难几难难难明难明难难本段 []尺难作难的限定平面何作难限制只能用直尺、难难～而难里所难的直尺是指有刻度只能直难的尺。
几没画用直尺难难然可以做出难多难之难形～但有些难形如正七难形、正九难形就做不出。
有些难难看起好像难难～但难与当来来很真正做出却困难～难些难难之中最有名的就是所难的三大难难。
来很难难本段 []三大何难难几化难难方,求作一正方形使其面难等于一已知难～ 1.三等分任意角～ 2.倍立方,求作一立方使其难是一已知立方的二倍。
体体体3.难难本段 []难难难明难正方形都是常难的何难形～但如何作一正方形和已知难等面难,若已知难的半难与几个呢径难其面难难～1π²所以化难难方的难难等于去求一正方形其面难难～也就是用尺难做出难度难的难段;或者是的难段,。
三大难难ππ½π的第二是三等分一角的难难。
难于某些角如个个、三等分不难～但是否所有角都可以三等分,例如并呢～若90?180?60?能三等分难可以做出。
的角～那难正难形及正九难形也都可以做出了;注,难接一正十八难形每一难所难的难周角来内2018难,。
其难三等分角的难难是由求作正多难形难一难难难所引起的。
来360?/18?=20?第三难难是倍立方。
埃拉托塞尼;公元前个年公元前年,曾难难述一神难提到难有一先知者得到神难必个个276~195难立方形的祭难的难加倍～有人主难每难难加倍～但我难都知道那是难难的～因难难已难难成原的将体将体来倍。
难些难难困难数8学决家一千多年都不得其解～而难难上难三大难难都不可能用直尺难难难有限步难可解的。
年笛难建解析何以后卡儿几～1637难多何难难都可以难化难代难难难难究。
几数来研年旺策难难出三等分任一角及倍立方不可能用尺难作难的难明。
1837(Wantzel) 年林得曼;,也难明了的超越性;即不难任何整系多次式的根,～化难难方的不可能性数数1882Lindermanππ也得以立。
39小知几何学中的三大难题
3.费尔马数的故事费尔马数是指形如P=n 22+1(n 为非负整数)的数，这个以十七世纪最杰出的法国数学家费马尔(P Fermat ，1601—1665)的名字而命名的数还有一段很有趣的故事呢！大家都知道，自然数可以分成三类：素数、合数和“1”。
这样分类以后，对自然数的性质的揭示和研究就大大地进了一步。
最杰出的最有成就的法国数学家费尔马1640年，大胆地提出了素数的公式：P=n 22+1(n 为非负整数)。
费尔马自已也验证了当n=0、1、2、3、4时，公式P=n 22+1(n 为非负整数)所表示的数分别是：3、5、17、257、65537。
这五个数显然都是素数。
费尔马就是根据这五个数是素数的事实而断言形如P=n 22+1(n 为非负整数)所表示的数都是素数。
其实，费尔马的这个论断是错误的。
到十八世纪，数学史上另一个显赫的伟大的瑞士数学家欧拉(Euler.L.1707—1783)就首先指出：当n=5时，即P=n 22+1=4294967297时能被641整除。
因此，它不是素数而是合数。
而后，欧拉又证明了当n=6、7、8、9、11、12、18、23、36、38、73时，P=n 22+1所表示的数亦不是素数而是合数。
欧拉的发现无疑地证明费尔马所提出的素数公式：P=n22+1(n 为非负整数)是不成立的。
费尔马数显然不能成为素数的一般公式。
但由于费尔马的大胆设想，引起数学家们的兴趣和进一步的悉心研究，无形中推动了对素数性质的进一步了解。
这不能不说是费尔马的功劳。
因为在科学的道路上，取得成果固然伟大，而为后人留下经验教训，使人少走弯路，这同样是十分宝贵的财富。
费尔马数，还有一个很有趣的特性，就是它的个位数的问题。
上面已经指出：n=2、3、4、5时，对应的P 是：17、257、65537、4294967297，这几个数的个位数都是7，那么能否断言：对于所有n ＞1的自然数，费尔马数，P=n 22+1的个位数都是7。
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。
这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。
这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。
三大难题的提出传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
用数学语言表达就是：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。
比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。
这三大难题在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
貌似简单其实难从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。
也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。
可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。
其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。
可是谁也想不出解决问题的办法。
三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。
后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。
几何学中的难题与解答
几何学中的难题与解答几何学是数学中的一个重要分支，它研究空间中的形状、大小、相对位置等性质。
在几何学的学习和研究中，难题的出现是常有的事情。
这些难题往往需要我们运用几何学的知识和技巧，以及思维的灵活性和创造性去解答。
本文将介绍几何学中的难题，并为大家提供一些解答思路和方法。
一、黄金分割问题在几何学中，黄金分割是一种神秘而有趣的比例关系，它可以用来构建一些美学上的平衡和和谐。
黄金分割问题常常考察我们对比例和几何图形的理解。
一个典型的黄金分割问题是：如何构造一个黄金长方形？解答思路：首先，我们需要了解什么是黄金分割。
黄金分割是指将一条线段分割成两部分时，较大部分与整条线段的比值等于较小部分与较大部分的比值。
设黄金长方形的长边为a，宽边为b，则有a/b = (a+b)/a，通过求解这个等式，可以得到黄金长方形的边长比例关系。
二、三角形内切圆问题在几何学中，内切圆是指一个圆完全位于三角形内部，并且和三角形的三条边都相切。
内切圆问题考察我们对三角形和圆的性质的理解，以及判断和构造的能力。
一个典型的内切圆问题是：如何构造一个三角形的内切圆？解答思路：要构造一个三角形的内切圆，首先需要找到三角形的三条边上的三个切点。
这三个切点可以通过连接三角形的顶点和内切圆心，从而构成三条辅助直线。
通过连线和角度的计算，我们可以求解出内切圆的圆心坐标和半径。
三、平面镶嵌问题在几何学中，平面镶嵌是一种将平面上的一些图形进行拼接的问题，要求图形拼接时不能重叠，也不能有任何间隙。
平面镶嵌问题考察我们对平面上图形的特性和对称性的理解，以及逻辑思维的能力。
一个典型的平面镶嵌问题是：如何用规则的六边形铺满一个平面？解答思路：要用规则的六边形铺满一个平面，我们可以采取一定的排列和组合方式。
以六边形的中心为起点，围绕这个中心依次排列六个六边形，然后在这个六边形的周围再排列其他六边形。
通过依次镶嵌，我们可以逐步扩展并填满整个平面。
四、平行线的证明问题在几何学中，平行线的判定和证明是一个重要的问题，它涉及到角度、直线和平面的性质和关系。
阅读材料由尺规作图产生的三大难题-华东师大版八年级数学上册教案
阅读材料：由尺规作图产生的三大难题本文内容来自《华东师大版八年级数学上册教案》，主要介绍尺规作图时可能遇到的三大难题。
一、立方不可能倍
立方不可能倍，这是由公元五世纪时柏拉图学派数学家希帕索斯发现的。
他试图用尺规作图将边长为1的正方体的体积倍增，但失败了。
后来，正如哥德尔证明数学的不完备性一样，费马、笛卡尔等数学家证明了希帕索斯定理的正确性。
二、圆面积无理可求
圆却是无理数和欧拉数e的悖论。
早在公元前四世纪时，希腊数学家麦涅尼斯发现了圆周率，但直到二千年后人们才发现，用尺规作图无法得到一个正方形面积与一个圆面积相等的长和宽比。
这是因为圆的面积是不可理解的数学悖论，一如虚数，永远无法表示为一个有限的小数，因此也不能使用尺规作图。
三、三等分角度难题
尺规作图可以将一个角度分成2、4、8等份，但无法分成3、5、6等份。
这
是因为尺规作图中基本构件只有直线和圆，而三等分角度需要平分圆周角，这实际上是一种立方根问题，即要求解三次方程的根，而尺规作图仅适用于一、二次方程。
结语
尺规作图虽然有其限制性和局限性，但古希腊数学家依然用它成功地解决了许多几何问题。
今天，尺规作图也是数学勾股定理，勾股题等几何问题的重要工具之一。
同时，三大难题的发现也让人们更加深入地理解了数学及其应用的局限性。
数学世界三大难题
数学世界三大难题位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。
大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
这延续了两千多年才得到解决的世界性难题:要求只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规进行几何作图：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵立方倍积问题：求作一个立方体，使它的体积是一个已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积是一个已知圆的面积。
它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
许多学者都致力于这三个问题的研究，企图用尺规作图来解决这些问题，但一直未获成功。
直到1887年23岁的万芝尔，首先证明“三等分角”和“立方倍积”都是尺规不能问题。
他的证明基础：解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。
而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。
具体方法是这样的：假设已知立方体的棱长为1，所求立方体的棱长为x，应有x3=2。
但此方程无有理根，32超出了有理数加、减、乘、除、开平方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。
1882年，林德曼借助于e iπ=—1证明了 是超越数，从而也证明了“化圆为方”是尺规不能问题。
虽然这三大问题已被解决，但是现在世界各地还有许许多多的数学爱好者还在研究它们，四川省乐山市叮咚街有一个租书的老汉就研究这三个问题三十年，痴心不改。
你打入“世界三大数学难题”去google搜索，572,000条有关信息马上就跳出来。
足见这三大问题在推动数学发展的同时，自身所具有的跨越时空的迷人魅力。
近代数学史有四色猜想、费马大定理，歌德巴赫猜想。
1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a n+b n=c n是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。
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三大几何难题
古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。
其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。
历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。
古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。
它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。
这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。
这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。
在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。
并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。
因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。
化圆为方
圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。
三等分任意角
用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？
倍立方
关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题.
由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。
而倍立方则是起源于建筑的需要，这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。
三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。
可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。
由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。
但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。
但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。
正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。
三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。
那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示：
1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?
2三等分角将三等分角的问题转化为方程的根能否用尺规作出.
3倍立方设给定的立方体的边为单位长,设边长为x的立方体的体积为2,则x满足: x3=2.即数x=32是否能用直尺和圆规作出?
1873年,法国数学家闻脱兹尔在研究阿贝尔定律化简时,首先证明了三等分角和倍立方是不能用尺规作图解决的;接着,1882年,德国数学家林德曼证明化圆为方问题也是不能用尺规作图解决的；1895年，德国数学家克莱因总结了前人的研究，给出三大问题不可能用尺规作图的简明证明，三大几何难题这才算彻底解决了。
尺规作图这是一个纯几何问题，但最终却是用代数的方法来解决的，这正是数形结合强有力的一个例子。
三大问题的解决，其实质是人们对数与形及其变换的认识问题。
到19世纪，数与形这两个数学的重要分支才算真正走到一起，并且密不可分起来。
现代数学问题中，有很多也是像尺规作图一样，看上去是一个几何问题，但其本质却是一个代数问题，只有抓住其本质，才能拂去眼前的重重迷雾，找出解决问题的方法。
三大难题的解决，也表示出当一个问题无论如何也找不到解决的方法，那我们就不必在一条死路上徘徊不定，而要大胆地探索，换个角度去思考问题，说不定就可以柳暗花明又一村。
在三大几何问题的探索过程中，有数不计数的数学家们前赴后继地为之努力，甚至为此耗费了一生的光阴。
在其中，则有不同的表现。
有的人坚信着问题一定会有解决的方法，他们认为只是还没有找到这个方法而已。
有的人则在解决问题的过程中灵活变通，巧妙地增加了一些条件，以此来帮助解答。
例如阿基米德在直尺上注明了两个点，解决了三等分角问题；柏拉图用了两块三角板解决了倍立方问题……还有的数学家在此基础上，探索出了一些新的数学问题与理论，例如柏拉图的学生门奈赫莫斯为了解决倍立方问题发现了圆锥曲线；在求解三等分任意角的过程中，希腊数学家相继发展了高等几何。
其中有尼科梅德斯的蚌线，希皮亚斯的割圆曲线，还有阿基米德的螺线等等，这些曲线都是从运动的观点来加以认识的。
其中割圆曲线发明最早，影响也最大。
但还有的人，时至今日，三大几何问题可以说是已彻底解决，他们不看这些证明，想独步古今中外，压倒所有前人的工作。
他们宣称自己已经解决了三大问题中的某一个，但其实他们并不了解问题不可解的道理，并不是所有的问题都可以解决的，困难和不可能之间也并不是等同的。
在事实真理面前，不能为了自己的私利，忽视真相，盲目地探索研究，结果只是做无用功，白白虚度了光阴。
更全面、更深刻地了解数学，总结经验教训，探索发展规律，这是我们学习数学史的目的，也能帮助我们更好地研究数学。
古希腊的三大几何作图难题，是数学史上璀璨的一笔，在整个数学史上很难找到这三个问题一样具有经久不衰的魅力。
其魅力不仅仅是体现在其问题本身，更多的是数学家们的不懈努力，希腊人的巧思，阿拉伯人的学识，西方文艺复兴时期大师们的睿智以及最终19世纪的完美解答，正是有他们一代一代的持之以恒，正是有前浪推后浪的探索研究，才会有绚丽的数学史，才会有数学的蓬勃发展。