简述三大几何难题

三大几何难题

古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。

古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。

这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。化圆为方

圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。

三等分任意角

用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？

倍立方

关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题.

由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。而倍立方则是起源于建筑的需要，这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。

三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。

三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示：

1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?

2三等分角将三等分角的问题转化为方程的根能否用尺规作出.

3倍立方设给定的立方体的边为单位长,设边长为x的立方体的体积为2,则x满足: x3=2.即数x=32是否能用直尺和圆规作出?

1873年,法国数学家闻脱兹尔在研究阿贝尔定律化简时,首先证明了三等分角和倍立方是不能用尺规作图解决的;接着,1882年,德国数学家林德曼证明化圆为方问题也是不能用尺规作图解决的；1895年，德国数学家克莱因总结了前人的研究，给出三大问题不可能用尺规作图的简明证明，三大几何难题这才算彻底解决了。

尺规作图这是一个纯几何问题，但最终却是用代数的方法来解决的，这正是数形结合强有力的一个例子。三大问题的解决，其实质是人们对数与形及其变换的认识问题。到19世纪，数与形这两个数学的重要分支才算真正走到一起，并且密不可分起来。现代数学问题中，有很多也是像尺规作图一样，看上去是一个几何问题，但其本质却是一个代数问题，只有抓住其本质，才能拂去眼前的重重迷雾，找出解决问题的方法。三大难题的解决，也表示出当一个问题无论如何也找不到解决的方法，那我们就不必在一条死路上徘徊不定，而要大胆地探索，换个角度去思考问题，说不定就可以柳暗花明又一村。

在三大几何问题的探索过程中，有数不计数的数学家们前赴后继地为之努力，甚至为此耗费了一生的光阴。在其中，则有不同的表现。有的人坚信着问题一定会有解决的方法，他们认为只是还没有找到这个方法而已。有的人则在解决问题的过程中灵活变通，巧妙地增加了一些条件，以此来帮助解答。例如阿基米德在直尺上注明了两个点，解决了三等分角问题；柏拉图用了两块三角板解决了倍立方问题……还有的数学家在此基础上，探索出了一些新的数学问题与理论，例如柏拉图的学生门奈赫莫斯为了解决倍立方问题发现了圆锥曲线；在求解三等分任意角的过程中，希腊数学家相继发展了高等几何。其中有尼科梅德斯的蚌线，希皮亚斯的割圆曲线，还有阿基米德的螺线等等，这些曲线都是从运动的观点来加以认识的。其中割圆曲线发明最早，影响也最大。

但还有的人，时至今日，三大几何问题可以说是已彻底解决，他们不看这些证明，想独步古今中外，压倒所有前人的工作。他们宣称自己已经解决了三大问题中的某一个，但其实他们并不了解问题不可解的道理，并不是所有的问题都可以解决的，困难和不可能之间也并不是等同的。在事实真理面前，不能为了自己的私利，忽视真相，盲目地探索研究，结果只是做无用功，白白虚度了光阴。更全面、更深刻地了解数学，总结经验教训，探索发展规律，这是我们学习数学史的目的，也能帮助我们更好地研究数学。

古希腊的三大几何作图难题，是数学史上璀璨的一笔，在整个数学史上很难找到这三个问题一样具有经久不衰的魅力。其魅力不仅仅是体现在其问题本身，更多的是数学家们的不懈努力，希腊人的巧思，阿拉伯人的学识，西方文艺复兴时期大师们的睿智以及最终19世纪的完美解答，正是有他们一代一代的持之以恒，正是有前浪推后浪的探索研究，才会有绚丽的数学史，才会有数学的蓬勃发展。