古希腊三大几何问题的解决
第9讲 1.古希腊三大几何作图难题的非尺规解法
数学名题欣赏第9讲1 . 古希腊三大几何作图难题的非尺规解法公元前四世纪，古希腊的智人学派(也称巧辩学派)提出并研究了三大几何作图问题：立方倍积问题、三等分角问题和化圆为方问题.立方倍积问题: 已知一个立方体. 仅用圆规和直尺, 作一个立方体, 使其体积等于已知立方体的体积的两倍.三等分角问题: 任意给定一个角. 仅用圆规和直尺, 把该角三等份.化圆为方问题: 已知一个圆. 仅用圆规和直尺, 作一个正方形, 使其面积等于已知圆的面积.直到十九世纪, 人们才证明了, 用圆规和直尺不可能解决上述三个几何作图问题. 1837年，旺策尔(P．Wantzel)证明了立方倍积和三等分角的不可能性. 1882年，林德曼(C. Lindemann)证明了 的超越性，从而推断，只用圆规和直尺不能化圆为方.虽然著名数学家克莱茵于1895年已经对三大作图问题作了总结，严格证明了, 仅用尺规绝不可解这些问题，彻底解决了两千多年的悬案，但用其他几何方法还是可以准确地(非测量地)解决这三个问题的.一立方倍积问题的丝线解法历史传说关于立方倍积问题的提出，传说很多. 埃拉托塞尼(Eratosthenes，公元前226年——公元前195年)在名著《柏拉图》一书中写道：太阳神阿波罗向提洛岛的人们宣布, 瘟疫即将流行. 为了摆脱灾难，必须把德里安祭坛的体积扩大，使之变为现在这个立方体祭坛的体积的两倍，而且要求仍然是一个立方体. 工匠们百般努力，百思不得其解，于是去请教柏拉图. 柏拉图提醒大家，神发布这个谕示，并不是想得到一个体积加倍的祭坛，而是以此难题来责难希腊人对数学的忽视和对几何学的冷淡.埃拉托塞尼是国王托勒密(Ptolemy)之子的家庭教师，他把自己关于立方倍积的工作上报给托勒密国王，引起了国王的重视，并在全国悬赏征解.又有一个传说, 说的是古代一位希腊悲剧诗人, 他描述过一位名叫弥诺斯的匠人为皇族格劳科斯修坟的故事. 弥诺斯说，原来设计的每边都是百尺的立方体坟墓，对于殉葬者众多的皇家而言还嫌太小，皇家要求他把其体积加倍.当时古希腊关于立方倍积的传说满天飞，可见人们对这一问题的重视和兴趣. 设k 是已知立方体的棱长，x 是所求立方体的棱长，于是, 332x k =.解法一 希腊数学家梅纳奇马斯(Menaechmus ，前375——前325)考虑了两条抛物线2x ky =和22y kx =的交点. 由于42232x k y k x ==，所以332x k =. 于是, 这两个抛物线的交点(非原点)的横坐标即为所求的立方体之棱长.解法二 笛卡儿(Descartes ，1596—1650)只用上面两条抛物线中的一条就求得了x . 事实上，上述两条抛物线的交点(), x y 满足222x y ky kx +=+, 此为中心在, 2k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭、的圆. 此圆过两抛物线的交点，所以为求两抛物线的交点的横坐标x ，只需求上述圆与两条抛物线之一的交点即可(圆比抛物线容易作出).解法三 在上述方法中要作抛物线，这件事用尺规不能完成. 下面介绍一种巧妙的“丝线作图法”.1. 作边长为k 的正三角形ABC ，延长CA 到D ，使得AD k =;2. 作直线DB 和AB ;3. 取丝线一条, 在其上标出两点E 和F ，使EF k =;4. 拉直丝线，使其通过C 点，且点E 和F 分别落在DB 和AB 上. 于是可证:x =，即x 为体积加倍的立方体的棱长.注 x 的求法如下. 由上图, ||GC BE ,故2x k ky=. 在BCF ∆中使用余弦定理, 得()2222222cos3x k k y ky k y ky π+=+-=++, 即222x kx y ky +=+. 于是得332x k =. 故x =.二 用木工尺三等分任意角木工尺就是图中所示的直角尺. 设尺的拐角内点为B , 在和BD 垂直的尺边上取一点C , 使BC 等于尺宽AB . 任意给定一角EOF ∠. 用木工尺作一条与OE 相距为尺宽AB 的平行线l . 令尺边上的点A 落在l 上, C 落在OF 上, 尺边DB 过点O , 则沿DB 画出的直线l '与OF 的夹角等于13EOF ∠.事实上, Rt CBO Rt ABO Rt AGO ∆≅∆≅∆, 于是αβγ==.三 用割圆曲线化圆为方割圆曲线是古希腊数学家希庇亚斯为解决化圆为方问题而发明的. 设点A 是已知圆的圆心,AB 为一条半径.把线段AB 绕点A 顺时针匀速旋转90 到AD 的位置,同时, 与AD 平行的直线BC 匀速平移到AD 位置, 且AB 和BC 同时到达AD . 可以证明, 在运动过程中, 线段AB 和直线BC 始终相交. 它们的交点的轨迹称为割圆曲线(图中的粗实线).由于此曲线把以A 为圆心、以AB 为半径的14圆切割成两块, 所以该曲线称为割圆曲线. 如图建立坐标系, 设AB a =, 则割圆曲线的方程为tan2yx yaπ=.于是002lim limtan2y y y aAG x yaππ→→===. 由于我们利用割圆曲线, 所以AG 是已知线段. 于是,我们可用尺规作出线段2222AB a al a AG ππ===和线段b , 使得222b al a π==. 于是, 以b 为一边的正方形的面积等于已知圆的面积2a π.注1 证明: 在运动过程中, 线段AB 和直线BC 始终相交.设AB 旋转的角速度为ω,BC 平移的速度为v ,则因AB 和BC 同时到达AD , 所以2a vπω=. 于是2v a ωπ=.在t 时刻, B ''的纵坐标cos a t ω=.B C ''的纵坐标221. ()y a vt a at a t ωωππ⎛⎫=-=-=-* ⎪⎝⎭今证2cos 1t t ωωπ>-. 令t ωα=, 则要证2cos 10. ()2παααπ⎛⎫>-<<** ⎪⎝⎭22cos 1sin ααααππ'⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭.当20arcsin απ<<时, 2cos 10αααπ'⎛⎫+-> ⎪⎝⎭; 当2arcsin 2παπ<<时, 2cos 10αααπ'⎛⎫+-< ⎪⎝⎭. 又在0α=或2π时, 2cos 10ααπ+-=, 所以2cos 1002παααπ⎛⎫+-><< ⎪⎝⎭. 即 ()**成立. 所以线段AB和直线BC 始终相交.注 2 由 ()*, 得22y t aππω=-, 所以22y t aππϕω=-=, 于是割圆曲线的方程为tan2yx yaπ=.2 . 捆绑立方体若把橡皮筋套在一个立方体的顶点A 的近旁， 使此橡皮筋成一个三角形，那么只要一松手，则橡皮筋会向A 的方向滑过去而脱落. 再看与此立方体的一个面平行的平面, 它截得的正方形MNPQ 若是橡皮筋，我们将它弄成不与立方体的面平行，它仍然会凭它的“收缩成面积最小的特性”而恢复成一个与该立方体的面平行的正方形. 可见, 与立方体的面平行的正方形MNPQ 是稳定的捆绑.上述这种与立方体的面平行的正方形橡皮筋共三族，每个面上有两族橡皮筋垂直地分布于该面上. 在立方体表面上的每个点处, 都通过两条稳定(最牢靠)捆绑的橡皮筋. 除此之外，是否还可能有牢靠捆绑的橡皮筋呢? 有!-的棱长为1. 考虑其表面上的六边形ABCDEF, 并设其六边分别在立方体的六个面上. 若ABCDEF是一条橡皮筋且是稳定的捆绑，则其长度将在弹力作用下变为最短. 考虑立方体的侧面展开图. 由于ABCDEF达到了最短, 故A、B、C、D、E、F、A共线. 于是, 直线ABCDEFA与AQ夹45 角, 六边形ABCDEF 的各边与所在面上的一条对角线平行. 这些对角线组成了展开图中的两条平行虚线, 它们是ABCDEFA的两个极端位置. 对应在正方体上，这两个极端位置是PRX∆和QWU∆.显然, 六边形ABCDEF的周长为32正方体的一个面的对角线长度23倍).另外, AB CD EF ==, BC DE FA ==, ||AB DE , ||BC EF , ||CD FA , 且ABCDEF 是每个角都是120 的平面六边形, 它所在的平面平行于平面QWU 和平面PRX .稳定的捆绑ABCDEF 的位置是可变的, 它所在的平面可以平行于平面QWU 而在平面QWU 和平面PRX 之间平移(但ABCDEF 的周长始终保持为常数而各边也在自身所在的面内平移且保持平行于同一条对角线. 在平面展开图上, 两条虚线之间的带状区域被缠绕在立方体上(三棱锥S PRX -以外的各面上).若把稳定捆绑的六边形ABCDEF 的各边延长，则可形成两个中心重合且对应边平行的正三角形, 它们所围成的区域的公共部分的边界即六边形ABCDEF .一共有四族捆绑六边形，每族所在的平面互相平行，且平行于立方体的三个面上的三条对角线. 这四族捆绑线和开头讲的三族捆绑线（平行于立方体的面）合起来, 共有七族捆绑线.在立方体的表面上的每一点处, 恰有四条捆绑线通过. 于是, 在立方体的表面上，共编织了四层捆绑线.若要把棉纱绕在一个立方体上且不致使棉纱松脱，则应垂直于立方体的棱缠绕或缠在三棱锥S PRX∆所在的平面平行. 共有七种缠-以外的表面上，每圈线与PRX绕方式. 用垂直于棱的方式(三种)缠了两层之后改用平行于PRX∆等三角形的方式(四种)再缠两层，以后周期性地重复进行，则可缠绕成一个十分别致而结实的线团.3 . 糕点售货员的打包技术顾客买了一盒点心，要求售货员把长方体的点心盒用尼龙绳捆紧，便于携带. 售货员至少有两种捆绑方式.一是正交十字法. 如图. 这是一种牢固的包扎方法.二是上下压角法(这与前面讲的捆绑立方体很类似). 如图. 捆扎的尼龙绳形成了一个空间八边形ABCDEFGH. 要使捆扎最紧, 必须使该空间八边形的周长最短. 我们从纸盒的平面展开图上来分析.在展开图上, 仅当A、B、C、D、E、F、G、H共线时, 封闭折线ABCDEFGHA(尼龙绳)才最短. 设上述八点共线. 则直线AB可在一定的范围内平移. 图中的两条虚线是AB 的极限位置, AB 可在这两条虚线所夹的范围内平移. 设纸盒的长、宽、高分别为a 、b 、c , 则不论AB 在上述范围内的哪个位置, 八边形ABCDEFGH 的周长都是同一值L =周长的最小值), 相应的捆扎都是牢固的.这种别致、最优的捆扎方式, 样式新颖, 使得绳子不仅可以沿着自身的走向移动, 而且可在盒子的表面平移, 平移时, 绳子的总长还保持不变, 恒为L =另外, 该方法所用的绳子的长度L =字法所用的绳子的长度224a b c ++.绳子的第一个极端位置 绳子的一般位置绳子的第二个极端位置 以上三个位置画在同一图上在绳子的一般位置的图示中, 注意||AB FE 且AB FE =, ||DC GH 且DC GH =,AH ED =且68AHP EDP ∠=∠, BC FG =且68BCP FGP ∠=∠.如用多条绳子捆紧盒子, 并使各条绳子的位置不同（彼此平行），则图示如上. 把上述平面展开图中的两条虚线所夹的区域视为一条宽带子, 则可用该带子牢固地捆紧纸盒, 这就好像用多条绳子捆扎一样.4 . 怎样判断一个自然数能否被2，3，5，7，9，11和13整除？设n 是自然数, 则(1)n 可以被2(或5)整除⇔n 的个位数可以被2(或5)整除.换言之, n 可以被2(或5)整除⇔n 的个位数是偶数(或0和5之一).例如, 9034可以被2整除, 但21537不能被2整除. 24910和7729215可以被5整除,但28849不能被5整除.该方法的意义(实用价值)在于: 不需要实际做除法即可判断一个数n 能否被2或5整除, 这比计算2n ÷和5n ÷简便.(2)n 可以被3(或9)整除⇔n 的各位数字之和可以被3(或9)整除.例如, 80274可被3整除, 但不能被9整除, 因为8027421++++=可被3整除, 但不能被9整除. 直接验证：80274326758÷=，8027498919÷=余3.35441不能被3整除, 因为3544117++++=不能被3整除. 直接验证: 35441311813÷=余2.2041857可被9整除, 因为204185727++++++=可以被9整除. 直接验证:20418579226873÷=.该方法的意义(实用价值)在于: 用较小的计算量即可判断一个数n 能否被3或9整除, 这比计算3n ÷和9n ÷简便. 以下各方法的用处类此.(3)n 可以被11整除⇔n 的偶位数字之和与奇位数字之和的差可以被11整除.例如，6283706可以被11整除，因为()()687623022+++-++=可以被11整除.52416不能被11整除, 因为()()5462112++-+=不能被11整除.(4)判断n 能否被7(或11, 13)整除的方法 方法一 n 可以被7(或11, 13)整除⇔n 的最后三位数字组成的数和其余各位数字组成的数的差可以被7(或11, 13)整除.例如, 30445828可以被7整除, 因为3044582829617-=可被7整除.208832不能被7整除, 因为832208624-=不能被7整除.575344可以被11整除,因为575344231-=可被11整除. 39901不能被11整除, 因为90139862-=不能被11整除.58513可以被13整除, 因为51358455-=可以被13整除.78310不能被13整除,因为31078232-=不能被13整除. 注意 上述方法可以反复使用, 能达到简化计算的效果. 如判断30445828可否被7整除时, 先求出3044582829617-=, 然后, 对29617, 再计算61729588-=, 它可以被7整除, 从而29617也可以被7整除, 于是,30445828可以被7整除. 方法二 从n 的个位起, 每3位分为一段, (例如,28702448n =可以写成28,702,448n =), 则n 能被7(或11, 13)整除⇔奇数段数字之和与偶数段数字之和的差可以被7(或11, 13)整除.例如, 3,998,460,228可以被7整除, 因为()()9982283460763+-+=可以被7整除.4,879,201,421不能被7整除,因为()()87942142011095+-+=不能被7整除. 9,880,409,341可以被11整除, 因为()()8803419409803+-+=可以被11整除.125,789,641,237不能被11整除, 因为()()789237125641260+-+=不能被11整除.801,139,985,200,009可以被13整除,因为()()80198591392001456++-+=可以被13整除. 5,784,269,131,458不能被13整除, 因为()()7841315269458183+-++=不能被13整除. 注意 上述方法也可以反复使用, 以达到简化计算的目的. 如上面判断801,139,985,200,009可以被13整除时, 先计算出()()80198591392001456++-+=, 然后, 可以对1,456, 计算4561455-=, 它可以被13整除, 所以1,456也可以被13整除, 从而801,139,985,200,009可以被13整除.5 . 消九验算法例1 56385215⨯=对不对？ 利用下面讲的消九验算法可以简便地加以验证.对乘数56，有5696÷=余2. 对乘数385, 有385942÷=余7.两个余数的乘积为14，1491÷=余5. 对乘积21560，有2156092395÷=余5.最后两个余数相同，我们可以基本．．断定5638521560⨯=是正确的(事实上, 此计算确实正确).说基本．．断定5638521560⨯=是正确的, 而不说肯定正确, 是因为可能有这种情况出现, 就是计算虽然有错, 但用上述方法仍然得到最后两个余数相同的结果.比如, 2417318⨯=显然是错的, 但2492÷=余6, 1791÷=余8, 6848⨯=, 4895÷=余3, 318935÷=余3. 最后两个余数相同.由此可见, 上述方法不是绝对可靠的!例2 38227103⨯=对不对?382942÷=余4, 2793÷=余0, 400⨯=, 090÷=余0, 1031291145÷=余7. 因07≠, 所以断定3822710312⨯=是错的.这就是说, 如果最后的两个余数不同, 则一定可以断定计算出错.例3 把消九验算法灵活变通一下, 可以简化验算时的计算.检验例1中的5638521560⨯=是否正确.对56: 5611+=;+=,112对385: 38516+=;++=,167+=;⨯=, 1452714对21560: 2156014+=.++++=,145最后的两个计算结果相同, 可基本断定5638521560⨯=正确.道理: 56被9除所得的余数=“5611+=”被9除所得的余+=”被9除所得的余数=“112数. 对385，14和21560有类似结果.我们看到, 本例中的方法比前两个例子中的方法在计算上简便多了!例4检验例2中的3822710312⨯=是否正确.对382: 38213+=;++=, 134对27: 279+=, 削去9, 得0;⨯=;400对10312: 103127++++=.最后的两个计算结果不同: 07≠, 于是可以断定3822710312⨯=是错的.6 . 素数的故事(1)名不符实的冠名素数并不素(朴素). 它的定义和名称似乎给人一种印象，认为素数是质朴简单的一种最基本的数. 其实, 算术中的麻烦事大都是由它惹起的. 例如，我们知道的哥德巴赫猜想和孪生素数的黎曼猜想就是典型的例子. 1989年，Amdabl Six小组在美国加利福尼亚圣克拉大学用Amdabl 1200超级计算机捕捉到一对孪生素数: 11235⨯±. 可见素数名不符实.170659521还有一个在数学史上贻笑大方的、名不符实的故事，它是关于威尔逊定理的. 有一个关于素数的定理，用英国法官威尔逊(J．Wilson，1741——1793)的名字冠名.威尔逊定理 若2p ≥为自然数，则p 是素数p ⇔整除()1!1p -+.事实上，这条定理是莱布尼茨首先发现，后经拉格朗日证明的. 但威尔逊的一位擅长拍马屁的朋友沃润(E ．Waring)在1770年出版的一本书中, 却吹嘘说是威尔逊发现的这一定理，而且还宣称这个定理永远不会被证明，因为人类没有好的符号来处理素数. 这种话传到高斯的耳朵里. 当时, 高斯也不知道拉格朗日证明了这一定理，他在黑板前站着想了五分钟，就向告诉他这一消息的人证明了这一定理! 高斯批评威尔逊说：“他缺乏的不是符号而是概念.”两百多年来，全世界的数论教科书上都照样把这一定理称为威尔逊定理. 看来还历史以本来面貌，更换本定理的冠名已无必要，也不易纠正这么多年来文献与教材上的称呼了.威尔逊定理应用很广. 例如, 对较大的素数p ，我们虽然无力算出()1!p -的值，但却知道()1!p -被p 除的余数是1p -.由于威尔逊定理的戏剧性的冠名以及它的内容的重要性，有人戏称：“如果一个人不知道威尔逊定理，那他就白学了算术.”(2)不能实施的素数判别法从字面上看，威尔逊定理已经明白无误地给出了一个简洁的四则运算算法，可以判断任何一个正整数是不是素数. 可惜()1!p -太无情了，它使得我们没有那么的多时间和抄写空间(纸张或计算机内存)来弄清()1!p -是几! 例如，1876年，法国数学家卢卡斯(A ．Lucas)用手和笔发现了一个39位的素数12721170141183460469231731687303715884105727p =-=.若用威尔逊定理来判断p 是否是素数, 就需要计算()()1271!211!p ⎡⎤-=--⎣⎦，以每页书可排2000个阿拉伯数字计算，()127211!⎡⎤--⎣⎦可以印成500页的书至少33210⨯本，这比全世界的总藏书量还多得多! 因此, 用威尔逊定理去判断一个大数是否是素数, 这是行不通的! 可见，威尔逊定理只有理论价值，它是一个无实施价值的判别法，或者说，它是一个无效的坏算法.我们渴望设计出一个有效算法, 来判别任给的正整数是否是素数. 这种迫切性从费马数和哥德巴赫猜想等问题上可以感觉到.所谓费马数，是指形如221n n F =+的数，其中0, 1, 2, n = . 03F =, 15F =, 217F =, 3257F =, 465537F =, 54294967297F =.从0F 到4F , 容易判定它们都是素数，5F 是42亿多的大数，费马当年无力判断5F 是否是素数，他只是大胆地猜想, 一切n F 都是素数. 1732年，欧拉算出56416700417F =⨯，从而否定了费马关于费马数素性的猜想.1880年，法国数学家卢卡斯算出627417767280421310721F =⨯.1971年，有人对7F 得出素因子分解.1981年，有人得出8F 的素因子分解.1980年，有人得出9448F 的一个因子是94501921⨯+.1984年，有人得出23471F 的一个因子是23473521⨯+.1986年，有人用超级计算机连续运算十天, 得知20F 是合数.人们至今知道的素费马数还只是03F =, 15F =, 217F =, 3257F =, 465537F =.这个问题不能彻底解决的要害, 是人们至今没有搞出判别素数的有效算法.也有一种潜在的厄运，那就是判定一个数是否是素数和移动河内塔上的盘子一样，本质上就不存在有效算法!(3)素数病毒越来越多把π的小数点删去，π就改写成了一个阿拉伯数字的无穷序列. 问：长几的前缀是素数? 例如，3与31是素数；314159是第三个素前缀；1979年美国数学家贝利(R ．Baillie)等人发现π上的第四个素前缀31415926535897932384626433832795028841. 敢问：π还有第五个素前缀吗? 第六个，第七个,……呢?把π换成 2.71828e =…,…, lg 2, lg 3,…, 再问同类问题，又该怎么解答呢? 即使是温和一些的问题，例如下面的问题, 其解答仍然是悬案!()121111110101011019n n n n --=++++=- 个. 问: 当n 为素数时，1111n 个是否是素数? 真是心血来潮! 随便一问就会难倒人! 这样提出问题会使人对素数产生一种反感. 在形形色色应接不暇的问题当中，似应首选那些具有重要应用背景或理论背景，又有能力解决的问题去研究.(4)重要的问题是落实算术基本定理算术基本定理告诉我们，任一大于1的整数n 都可以唯一地表成某些素数的乘积，即12m n p p p = , 其中1p , 2p , …, m p 是被n 唯一确定的素数.问题是，如何由n 具体地求出1p ,2p , …, m p ? 这是一个有重要实用背景和计算机计算的时间复杂度理论背景的大问题. 是数论的中心课题之一，也是计算机科学的主攻方向之一. 假设某年某人设计出了一个有效算法，能在多项式时间内求得12m n p p p = 中的1p , 2p , …, m p 的值，那么当n 是素数时，n 就是1p ，即此算法可以有效地判定素数，从而可以在多项式时间内解决前面提出的诸多问题. 例如, 费马数n F 是否为素数(n是任意给定的自然数)，无理数(例如π)的前缀是否是素数等问题. 这里说的“多项式时间”是指对一个问题，存在一个多项式()p n ，n 是要判定的整数的输入长，即它的位数的一个倍数.在实用上，例如在保密通讯与密码破译当中，需要对大合数进行素因子分解. 一般地, 这种大合数有百位之大，所以, 目前各军事大国都集中大量人力物力，研究这种合数的素分解问题，但至今并未听说有明显进展.如果真搞出素分解算法，则对任给定的大偶数，可以在多项式时间内把它表成两个素数之和或发现哥德巴赫猜想的反例.我们期望的这种素分解的有效算法能解决这么多非常之难的问题，可见设计出它的难度是诸多数论难题难度之集大成! 即使这种算法存在，也是很难设计出来. 我们甚至还应想到它根本就不存在，以免望梅止渴，水中捞月!7 . 蚂蚁在砖上爬行的最佳行迹一只蚂蚁从一块砖的一个顶点爬向对角顶点，它应沿着怎样的路线爬行，才能使其行迹(所用时间)最短？''''-. 蚂蚁欲从点A爬向对角顶点C'.它可以有种种不同的爬行方式. 如图所示. 不失一般性, 我们设蚂蚁沿路径A F C'→→爬行, 最后到达C'. 设AB a=, AD b=, AA c'=. 在长方体的侧面展开图上, 显然当点F使A、F、C'共线时，路径A F C'→→最短. 此时, 该路径的长度同理，AEC'=,AGC'在图示的从A 到C '的所有六条路径中, 最短者即为所求的最短路径. 另一方面, 由平面展开图可知,AHC AFC ''=且AFC H '是平行四边形, AJC AEC ''=且AEC J '是平行四边形, AIC AGC ''=且AGC I '是平行四边形. 因此, 我们只需考虑路径AFC '、AEC '和AGC ', 并从中挑选最短者. 设a b c >>, 则易知AFC '(也就是AHC ')是最短路径且AFC AHC ''=.一般地, 在展开图是平面图形的立体表面上，蚂蚁从一点爬向另一点时，其最省时的行迹皆为展开图上连接此两点的各直线段中的最短者对应的立体上的那条曲线段.例如, 在圆柱上，蚂蚁要从A点爬向B点. 把此圆柱的侧面展开, 则图中的两个线段AB中的较短者对应的圆柱面上的曲线(圆柱螺线)即为从A到B的最短路径.蚂蚁在圆锥上爬行的最佳路线也可用前面的展开图方法加以解决. 有趣的是，如果它是从圆锥底面圆周上一点A爬向此圆周上的另一点B，则最短路径不是沿圆周爬行，而是先向上爬，到达一个最高点后再向下爬行. 其最佳爬行路线在展开图上是直线段AB.对于不可展开成平面的曲面，寻求蚂蚁从其上一点爬向另一点的最佳路线就不像上面的解法那么方便了. 一般而言，不能用初等数学的方法来讨论. 例如在球面上，蚂蚁从一点A爬向另一点B，则应沿A、B所在的大圆上的劣弧AB爬行. 沿大圆爬行时，路径弯曲的程度最小，最接近直线段，但证明这一点并非易事.设在某曲面上存在一条蚂蚁的最佳行迹l ，使它从A 点爬到B 点, 所走路径最短. 现在l 上穿一个洞(点洞), 蚂蚁爬行时不能从该洞上走过, 则这时可能已不存在最佳行迹了. 事实上，设无洞时最佳行迹是唯一的. 因蚂蚁爬到洞附近时必须绕行，因此有无穷条行迹，都与无洞时的最佳行迹相差无几，且越来越接近于原最佳行迹，但哪一条也不是最佳的，都可以再缩短，可见这时已找不到最短行迹了.。
困扰世人三大数学几何问题，最后是怎么破
困扰世人三大数学几何问题，最后是怎么破众所周知，尺规作图要求只能用没有刻度直尺、圆规。
用没有刻度的直尺与圆规可以做出许多种图形，但有些图形很难画不出来。
数学几何作图发展史上有三大问题看似简单，但真正做出来却非常困难，这三大问题被称为最有名几何作图三大问题。
三大几何问题分别是是:1、化圆为方：求作一正方形使其面积等于一已知圆化圆为方是古希腊尺规作图问题之一，即：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。
由π为超越数可知，该问题仅用直尺和圆规是无法完成的。
圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。
2、三等分任意角；三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解。
该问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。
在尺规作图（尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题无解。
对于某些角如90度、180度三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60度，若能三等分则可以做出20度的角，那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360度/18=20度）。
其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
若将条件放宽，例如允许使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲线使用，可以将一给定角分为三等分。
3、倍立方：求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊提洛岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡。
岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。
人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。
古希腊三大几何难题
古希腊三大作图难题北京化工大学 殷光中概述：尺规作图，即只用直尺和圆规作几何图形，其来源于《几何原本》，以后在一个时期内成为数学中的重要研究课题[1]。
古希腊三大作图难题：1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。
众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。
而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。
直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。
到此，这一问题才告一段落。
期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等[2]。
人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……1、三等分任意角科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 1.1.1 n 倍角的正切值展开通式tan1α=t tan2α=212t t- tan3α=23313t t t --tan4α=4236144tt t t +-- tan5α=42535101105t t t t t +-+-tan6α=64253151516206t t t t t t -+-+- tan7α=64275373521121357t t t t t t t -+--+-tan8α=86427532870281856568t t t t t t t t +-+--+-…… 有如下特征：① 分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t 的奇次幂，分母上为t 的偶次幂。
② 我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系： 若tann α=...1......8463422194735231++-+-++-+-t m t m t m t m t n t n t n t n nt ; 则有，tan(n+1) α=...)()(1...)()()1(42121522311-+++--+++-+t m n t m n t m n t m n t n .即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数 。
古希腊三大“不可解”的数学问题，最后一个既简单又复杂
古希腊三大“不可解”的数学问题，最后一个既简单又复杂只用直尺和圆规能解决这三个问题吗今天，超模君想跟大家讲一下有关“古希腊三大几何问题”的故事……“倍立方体”问题Question：如何只用直尺和圆规作出一个立方体，使得该立方体的体积为已知立方体的体积的两倍。
原来这个问题源于古希腊的一次瘟疫。
传说在公元前429年，一场不知名的瘟疫袭击了希腊提洛岛（Delos），岛上四分之一的人都因为瘟疫而丧生。
面对可怕的瘟疫，岛上的居民们推举出一个代表，到神庙里去询问阿波罗的旨意。
太阳神阿波罗结果阿波罗传下旨意：想要遏止瘟疫，就把神殿前的祭坛加大一倍吧！听到阿波罗的旨意，人们便把祭坛的边长都加长了一倍。
但是，当新的祭坛做好时，瘟疫并没有得到控制，反而愈加严重。
此时有人质疑说这样做根本不对，阿波罗说的是把祭坛的体积变成原来的两倍。
于是人们又把祭坛的体积修改为原来的两倍，但是祭坛的形状变成了一个长方体，瘟疫依旧肆虐。
无奈之下，岛民们只好去雅典求助智者柏拉图。
一开始柏拉图和他的学生都认为这个问题很容易，因为他们已经知道如何只用直尺和圆规，来作出一个面积为已知正方形两倍的正方形。
但是他们发现，这个问题远比想象的要复杂，以至于最后柏拉图并没有成功地用尺规作图来解决这个问题。
柏拉图：这回丢脸丢大了……于是这个问题被保留了下来，直到1837年，法国数学家万芝尔成功证明：只用尺规作图，根本无法解决“倍立方体”问题。
万芝尔的大致证明过程是这样的：假设已知的正方体棱长为a，体积为已知正方体的正方体棱长为x，由问题的要求，列式得x^3=2a^3，解出x等于2a^3的三次方根。
由于2的三次方根是无理数，而尺规作图能够作出的线段长度均为有理数，所以“倍立方体”问题无法只用尺规作图解决。
这个证明被数学界普遍认可，可如果抛开尺规作图这个限制，那么要解决“倍立方体”问题其实并不难。
柏拉图当时就有这么一个解法：“倍立方体问题”可以转化为另一个问题：即在a与2a之间，插入x、y两个数，使a、x、y、2a成等比数列。
旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题
旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题古希腊三大几何难题提出者：智者学派展开雅典有一个智者学派，代表人物有希比阿斯、安提丰、普罗泰格拉等。
智者学派以诡辩著称，当时流行几何，哲学家、数学家常常看口闭口都是几何。
于是三大几何难题就诞生了。
（1）化圆为方：作一个正方形，使其面积与已知圆面积相等。
（2）倍立方：作一个正方体，使其体积是已知正方体的2倍（3）三等分角：三等分任意角于是呢，有一堆数学家就开始做。
题目规则是尺规作图。
可他们没做出来，于是就做，做呀做呀，他们殚精竭虑、千方百计，就是没做出来，一个都没有，但是一直有人做，于是阿基米德螺线诞生了，于是圆锥曲线诞生了……但是这么多几何线诞生，也没把题目做出来，于是两千年过去了。
19世纪有一个人叫旺策尔，证明了这个题目光用尺规是作不出来的。
证明这个几何题目的方法，竟然是代数。
推理方法很值得借鉴。
简单说一下---------------------------------------------------------------------------------推理第一步：尺规作图可以怎么折腾归纳只有5点：①做连接两点的直线段，或延长此线段；②作两直线的交点；③以已知点为圆心；④作圆与直线交点；⑤作两圆交点；第二步：只用尺规可以作出什么样的线段设a1、a2、a3、a4、…… an是已知线段，同时用ai表示它们的长度，并设a1=1. 则光用尺规只能将之进行＋、一、×、÷、√（根号），即进行加、减、乘、除、开偶次方根。
ai＋aj没问题，ai －aj没问题，若x=ai× aj，则有1/ai=aj/x ，作一个相似三角形即可。
同样，若x=ai÷aj则1/x=ai/aj，若x=√（ai），则x^2=ai/×a1，x 是ai/与a1的比例中项，仿照射影定理的模型可以作出。
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知识拓展
此外，为了解决三大几何问题，古希腊 人还利用多种其他曲线. 巧辩学派为了等分任意角发明了“割圆 曲线” .
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3.三大几何问题的最后解决
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传说大约在公元前400年，古希腊的雅 典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳 神阿波罗求助，阿波罗提出要求，必须将 他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否 则疫病会继续流行. 人们百思不得其解，不 得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏 拉图也感到无能为力. 这就是古希腊三大几 何问题之一的倍立方体问题.
古希腊三大几何问题的解决
旧知回顾
伽罗瓦彻底解决了高次方程可解性 的判别准则.
伽罗瓦才华横溢，但是他的一生却是怀才 不遇.
旧知回顾
历
伽罗瓦提出了“群”的概念.
史
留
对伽罗瓦一生的评价.
声
机
导入新课
2000多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终困绕着 数学家：
Ⅰ. 三等分任意角
------把一个已知角三等分
与它的二倍长线段之间的比例中项问题 :
a : x x : y y : 2a
2 . 柏拉图学派的门奈赫莫斯利用圆锥曲线
的交点解决本问题 .
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倍立方问题
柏拉图学派 圆锥曲线
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古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。
这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。
这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。
三大难题的提出传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
用数学语言表达就是：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。
比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。
这三大难题在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
貌似简单其实难从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。
也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。
可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。
其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。
可是谁也想不出解决问题的办法。
三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。
后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。
古希腊三大几何问题的解决
古希腊三大几何问题的解决【教学目标】1．知识与技能了解古希腊三大几何问题的解决的相关内容。
2．过程与方法用通俗易懂的语言，深入浅出地介绍该节课的基本教学内容及其基本思想。
引导学生简述相应的教学内容。
在学习过程中，可以针对学生的实际情况，布置不同的任务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。
3．情感、态度与价值观让学生对于数学的科学价值和文化价值有更多的认识，开阔学生的视野，从数学的发展或从一个具体的数学分支，来认识数学的魅力和价值。
【教学重难点】重点：古希腊三大几何问题的解决的相关内容的了解。
难点：简述古希腊三大几何问题的解决。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习古希腊三大几何问题的解决。
我们主要了解它的具体内容。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解古希腊三大几何问题的解决的内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习三大几何问题的由来。
我们知道，雅典素有民主的传统，所以政治清明，经济繁荣，学术自由，百家争鸣，创造了灿烂的古代文明。
当时出现了许多学派，巧辩学派就是其中之一，该学派的数学研究中心是如下的三大几何问题：①化圆为方，即求作一个正方形与给定的圆面积相等。
②三等分角，即把任意角分成三等份。
③倍立方，即求作一个正方体，使其体积是已知正方体体积的两倍。
这些问题的难度在于，作图只能用直尺和圆规。
在数学史上很难找到其他问题能像这三个问题那样具有经久不衰的魅力。
此类问题激发了整个古希腊时代数学家的研究兴趣。
由于古希腊人限制了作图工具，因此这些问题变得难以解决并富有理论魅力。
（3）接着，我们再来看解决三大几何问题的早期努力。
最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯（Anaxagoras,约公元前500-前428)，但具体细节不详。
巧辩学派的代表人物安蒂丰，他首先提出用圆的内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方。
关于倍立方问题，一个关键的进展是希波克拉底对这一问题的简化。
古希腊三大作图问题
作数对；
扩域“列”与扩域“树”
❖ “列”： 有理数域 ❖ “树”：
r1 r2 2(r1, r2 Q)
Q
2∈Q
3∈Q
5 ∈Q ......
F1={a+b 2 |a,b∈Q} F'1={a+b 3 |a,b∈Q} F''1={a+b 5 |a,b∈Q} ......
扩域“列”与扩域“树”
扩域“树”的基本特征： ❖ 每一支都是一个扩域“列”； ❖ 在这些扩域“列”中，每一个扩域中的数都
可以用尺规作出； ❖ 某一个扩域可能出现在不同的扩域“列”中.
只能作图
❖ 对尺规作图而言, 从单位1出发, 利用尺规作图, 可以 作出有理数域中的每一个数。然后, 我们可以选择 有理数域中的一个数, 作它的算术平方根(这里要求), 进而作出所有形如的数,其中是数域中的任意数。从 而，用尺规可以作出一个新的数域.重复这样的过程， 我们就可以作出数域“树”。
❖ 数域“树”中每一个数都可以用尺规作出，而且， 尺规所能作出数的范围仅限于数域“树”中的数。
❖ 我们可以把它写成一个定理： 尺规能且仅能作出的数的范围为数域“树”。
❖ 没有针对一个问题，去寻找解决这类问题的 方法。
不可作图问题是如何解决的呢？
思路：我们对尺规作图一类问题进行考虑。 ❖ 确定尺规作图的范围； ❖ 判断我们要求作的具体问题是否在这个范围
内。
不可作图问题证明的基本步骤
❖ 1）尺规作图代数化——几何问题代数化； ❖ 2）范围界定，与数域建立联系——数域与扩
尺规作图
❖ 古时候人们约定，所谓圆规直尺作图是指： 使用直尺，我们能过任何给定的不同两点， 作一条直线；使用圆规，我们能以给定点为 圆心，任意长为半径作一个圆. 在作图中，使 用的直尺是没有刻度标记的直尺；
几何三大难题的不能与“解决”
几何三大难题的不能与“解决”几何三大难题的不能与“解决” 作者：何莎莎文章来源：《数学教学》点击数：7237 更新时间：2007-3-152000多年来几何中尺规作图的三大难题引发了无数的数学爱好者为此前仆后继，投入了大量的时间和精力以至最终尘埃落定。
作为一名中学数学教师，笔者认为很有必要知道其中的一些概况，因此在查阅一些资料和文献后整理成此文与读者共享。
一、尺规能作哪些图所谓尺规作图就是仅用不带刻度的直尺和普通的圆规进行作图。
根据尺规的功能，我们得到如下的作图公法:①过两已知点可作一直线；②已知圆心和半径可作一圆；⑧已知两直线相交，可求其交点；④已知一直线与一圆周相交，可求其交点；⑤已知两圆周相交，可求其交点。
由这5条公法的有限次组合作出的图都称为尺规可作的图。
例如作一条线段与己知线段相等，作一个角与已知角相等，作一条已知线段的垂直平分线，作一个已知角的角平分线，过一已知点作已知直线的平行线等都是可以尺规作图的。
如果给定单位长度和长度为a、b的线段。
那么长度为a十b，a 一b(a>b), ab，b / a和都是可以尺规作图的，具体作法如下: 已知单位长度和长度为a, b的线段。
（l)作长度为a十b和a一b的线段(图略)。
(2)作长度为ab的线段。
AB＝1, AC＝b, ∠EAB＝450, AD=a,过点C作BD的平行线，交AE 于E，则AE=ab(如图1所示)。
(3)作长度为a / b的线段AE=1, AC=b,∠ EAS=450, AE=a，过点E作CE的平行线，交AE于D，则AB=a / b (如图2所示)。
(4)作长度为的线段(如图3所示)·由上述作图可知(1)如果给定单位长度，那么任一以正有理数为长度的线段都是可以尺规作图的。
(2)如果给定单位长度，那么以数集={a十b,a、b、c∈Q}中的任一个数为长度的线段都是可以尺规作图的（其中Q是有理集）。
(3)如果给定单位长度，那么以数集中的数经过有限次加、减、乘、除、开平方而得出的数为长度的线段都可用尺规作出。
四古希腊三大几何问题的解决-人教A版选修3-1数学史选讲教案
四古希腊三大几何问题的解决-人教A版选修3-1 数学史选讲教案前言几何学作为数学的一个重要分支，改变了人类的世界观。
古希腊时期，人们通过对几何学的研究，揭开了一个个神秘的面纱。
本文将以人教A版选修3-1《数学史选讲》为基础，探讨古希腊三大几何问题的解决。
一、如何用圆规和尺解决平面上的三等分角问题？1. 问题背景在平面几何中，平面角可分为三等分角、四等分角等。
其中，三等分角问题是最基础、最常见的问题之一。
在古希腊时期，人们发现用圆规和尺无法精确构造三等分角，这一难题一直困扰着人们。
2. 解决思路在公元前430年，一位叫作希平阿斯（Hippias）的数学家提出了一个无理数的解法，但是这个解法没有直观的几何图形，且无法通过圆规和尺来实现。
在此之后，古希腊的大数学家欧多克苏斯（Eudoxus）和亚历山大（Alexandria）的阿波罗尼乌斯（Apollonius）独立提出了一种圆锥曲线的解法，利用立体几何中的求交点，可以精确构造三等分角。
3. 解决方法总结通过圆锥曲线的解法，我们可以很好地解决平面上的三等分角问题。
从而，圆规和尺的限制被打破，几何学的研究也得到了强有力的支撑。
二、如何用圆的周长解决圆的面积问题？1. 问题背景在古希腊时期，人们经常需要计算各种图形的面积，其中包括圆的面积。
然而，由于圆规和尺的局限性，无法直接通过圆的半径或直径来求解圆的面积。
2. 解决思路公元前250年，大师阿基米德（Archimedes）提出了一种称作“阿基米德定理”的计算圆的面积公式。
这个公式的计算思路是先用圆规和尺求出圆的周长，再通过圆的周长计算出圆的面积。
具体运用时，将圆分割为许多小扇形，即可得到圆的周长和面积。
3. 解决方法总结通过阿基米德定理的发现，我们可以用圆的周长精确地计算出圆的面积。
这个定理在后来的几个世纪中得到了广泛的应用，为几何学和计算数学的发展做出了重要贡献。
三、如何用平面几何解决立体几何问题？1. 问题背景在古代，几何学的研究绝大部分都是基于平面几何的。
古希腊三大几何问题的解决
教学方案课题古希腊三大几何问题的解决学院：数学学院班级： 2010级师范3班姓名：学号：古希腊三大几何问题的解决教案安提丰在提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方.亚里士多德的《物理学》记载，安蒂丰从圆的内接正方形出发，将边数逐步加倍到正八边形、正十六边形……无限重复这个过程，随着圆面积的逐渐增大，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。
安蒂丰认为这个内接正多边形将与圆重合。
既然我们能做出一个等于任何已知多边形的正方形，那么实际上我们就能够做出等于一个圆的正方形。
这种推理当然没有真正解决化圆为方的问题。
但是安蒂丰却无心插柳柳成荫，提出了求圆面积近似值的方法，成为古希腊穷竭法的始祖，为阿基米德计算圆周率奠定了基础。
师：顺着时间的脚步，来到了公元前5世纪下半页（约公元前460-前377)希波克拉底解决了化月牙形为方.下面我们就来看一看，希波克拉底是如何化月牙形为方的。
师：如图所示，设以O为圆心的大圆半径为1，则线段AB的长度是2，以AB为直径的小圆面积应为大圆面积的一半。
特别的，以的来历，吸引学生的学习兴趣。
运用课件让学生们感受到安蒂丰化圆为方的方法。
通过简单的面积公式，让学生们感受希波克拉底研究化圆为方的艰难历运用圆规直尺，动手感受化圆为方仅限于尺规作图的困难。
学生自主探究希波克拉底研究化圆为方问题的进程。
通过试验的方法，让学生们感受安提丰研究问题时的基本进程。
通过试验的方法，让学生们感受希波克拉底研究问题时的基本进程。
AB 为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积。
由此可知：大圆之外，小圆之内的月牙区域的面积等于AOB的面积。
这说明由圆弧围成的区域的面积可以与一个正方形的面积相等。
这一结果，朝解决化圆为方的目标迈进了一步。
希波克拉底证明了一系列特殊月牙形的化圆为方，但是每次都利用两个圆相减，对于单个圆的化圆为方，最终并为解决。
师：达.芬奇的研究渐渐有了眉目，用已知圆为底，圆半径的１／２为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，所以所得矩形的面积＝ｒ／２．２πｒ＝πｒ2，然后再将矩形化为等积的正方形即可。
高等代数古希腊三大几何作图难题
在学习”平面几何“课程时，我们做过很多作图题，即用圆规和直 尺（没有刻度的直尺，只能画直线）作出要求的几何量或几何图形. 如平分给定的任意角、任意等分一个线段 · · · · · · . 在古希腊几何学 的研究中，曾提出了几何耐人寻味的”难题”，要求只用圆规和直 尺解决下列问题：
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
尺规作图能作出的量的分析
(α) 已定点 (x0, y0) 为中心，R 为半径的方程是 (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2;
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
(γ) 两点 (x1, y1), (x2, y2) 之间的距离为 √
. .. . . ..
尺规作图能作出的量的分析
(α) 已定点 (x0, y0) 为中心，R 为半径的方程是 (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2;
(β) 过点 (x1, y2) 和 (x2, y2) 的直线的方程是 (y2 − y1)(x − x1) − (x2 − x1)(y − y1) = 0;
1 三等分任意角问题；
2 倍立方问题：从一个给定的立方体，求作另外一个立方体，其 √
体积是原体积的两倍，亦即给定长度 u，求作另一长度 3 2u；
3 化圆为方问题：求作一个正方形，其面积等于一给定半径的圆 的面积，即已知半径 r，求作一个长度 a，使 a = r√π.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
于是求作角
古希腊几何三大问题——康明昌
古希腊几何三大问题康明昌▪ 1.前言▪ 2.几何三大问题简介▪ 3.为什么这些问题无解？▪ 4.超越数简介▪ 5.几何三大问题不是几何学研究的主流1.前言古希腊人在几何学的研究开创了一个辉煌的时代。
Euclid（欧基里德，约纪元前300年）的《几何原本》(Elements) 总结了当时希腊数学发展的成果。
由于几千年经验的累积，人类已经能够掌握许多几何知识。
如何有效的运用、正确的认识、以及更进一步的发展这些知识，促使希腊人有系统的去整理它们。
这个工作的结果，就是《几何原本》的纂成。
《几何原本》是希腊文明结晶品之一。
《几何原本》把纷杂的知识变成一个演绎系统，推演出来有条不紊的定理；而这个系统所根据的（也就是没有加以证明的）只是少数几个看来相当明显并且合乎人类经验的现象。
这几个「不证自明」的现象叫做「公理」(axioms 或postulates)；由这些公理出发，Euclid 可以推演出当时人类已经获得的几何知识。
几何作图是几何学研究的一个课题。
正如希腊人整理《几何原本》秉持的一贯精神，他们把几何作图的「竞赛规则」定得清清楚楚。
希腊人的几何作图只准用（没有刻划的）直尺和圆规。
据说，在纪元前351年的 Menaechmus 曾经建议把拋物线的制图仪也列入合法的作图工具，结果（根据 Plutarch 的说法）被Plato（柏拉图）痛斥一顿，Plato 认为使用陋俗工匠制造的仪器来作图，是在污辱几何学。
古希腊人在研究几何作图时，有三个问题无法解决，这就是通称的古希腊几何三大问题。
这些问题直到十九世纪才证明是无解的。
所谓无解并不是数学家不能答复这些问题，而是数学家能够证明这些作图问题是办不到的，就像一般人能够证明方程式x2+1=0没有实数根的情况一样。
既然这些问题是无解的，那么几何学家岂不是没事干了？事实恰恰相反，从十八世纪末期以来，几何三大问题就已经不是几何学研究的主流；十九世纪几何学研究的主流是，射影几何、非欧几何、微分几何与代数几何。
古希腊三大作图问题讲解
尺规作图
古时候人们约定，所谓圆规直尺作图是指： 使用直尺，我们能过任何给定的不同两点， 作一条直线；使用圆规，我们能以给定点为 圆心，任意长为半径作一个圆. 在作图中，使 用的直尺是没有刻度标记的直尺；
只用圆规、直尺，古希腊三大作图问题不可 作。
不限制用圆规和直尺，三大作图问题 是可作的
数域“树”中每一个数都可以用尺规作出，而且， 尺规所能作出数的范围仅限于数域“树”中的数。
我们可以把它写成一个定理： 尺规能且仅能作出的数的范围为数域“树”。
没有针对一个问题，去寻找解决这类问题的 方法。
不可作图问题是如何解决的呢？
思路：我们对尺规作图一类问题进行考虑。 确定尺规作图的范围； 判断我们要求作的具体问题是否在这个范围
内。
不可作图问题证明的基本步骤
1）尺规作图代数化——几何问题代数化； 2）范围界定，与数域建立联系——数域与扩
可以用尺规作出； 某一个扩域可能出现在不同的扩域“列”中.
只能作图
对尺规作图而言, 从单位1出发, 利用尺规作图, 可以 作出有理数域中的每一个数。然后, 我们可以选择 有理数域中的一个数, 作它的算术平方根(这里要求), 进而作出所有形如的数,其中是数域中的任意数。从 而，用尺规可以作出一个新的数域.重复这样的过程， 我们就可以作出数域“树”。
一、古希腊三大作图问题 与尺规作图
古希腊三大作图问题
古希腊有三个十分著名的作图问题，这三个作 图问题规定只能用圆规和直尺解决.它们分别是： 倍立方体：求作一个立方体的边，使该立方体的体 积为给定立方体的两倍. 化圆为方：求作一个正方形，使其面积与一个给定 的圆的面积相等. 三等分角：求作一个角，使其等于给定的角的三分 之一.
【精品】古希腊三大几何难题
【精品】古希腊三大几何难题古希腊是数学的发源地之一，许多重要的数学理论和问题都起源于古希腊。
在古希腊数学中，有三个著名的几何难题，分别是“倍立方问题”、“平方圆问题”和“黄金分割问题”。
这三个问题在古希腊数学中被认为是难以解决的难题，直到近代才被完全解决。
第一个问题是“倍立方问题”，也就是如何构造一个体积是已知立方体两倍的立方体。
根据欧几里得的《几何原本》，这个问题可以被转化为如何求解一个立方根。
然而，古希腊人发现无法通过直尺和圆规来完成这个任务。
这个问题一直困扰着古希腊的数学家，直到16世纪，意大利数学家费拉里解决了这个问题，他证明了立方根是无法用直尺和圆规来作图的。
第二个问题是“平方圆问题”，也就是如何构造一个面积等于给定圆面积的正方形。
这个问题的困难之处在于圆周长和正方形边长之间的关系。
古希腊数学家发现，无法通过直尺和圆规来构造一个面积等于给定圆面积的正方形。
这个问题一直没有被解决，直到19世纪，法国数学家阿贝尔证明了平方圆问题是无法解决的，即无法用直尺和圆规来作图构造一个面积等于给定圆面积的正方形。
第三个问题是“黄金分割问题”，也就是如何将一条线段分割成两段，使得整条线段与较短的一段之比等于较短的一段与较长的一段之比。
这个问题在古希腊数学中被广泛研究，许多数学家试图通过直尺和圆规来解决这个问题。
然而，他们发现无法用有限次的直尺和圆规作图来实现黄金分割。
这个问题一直困扰着数学家们，直到19世纪，法国数学家阿贝尔证明了黄金分割问题是无法用直尺和圆规来解决的。
这三个几何难题的解决对古希腊数学的发展有着重要的影响。
这些问题的无解性证明了直尺和圆规的局限性，进一步推动了数学研究的发展。
在这些问题的研究中，古希腊数学家们使用了精确的几何推理和严密的证明方法，为后来的数学研究奠定了基础。
总之，古希腊三大几何难题——倍立方问题、平方圆问题和黄金分割问题，是古希腊数学中的重要难题。
这些问题在古希腊时期被认为是无法解决的，直到近代才被完全解决。
高中数学新人教版A版精品学案《古希腊三大几何问题的解决》
古希腊三大几何问题的解决【学习目标】1．阐述出古希腊三大几何问题的产生于发展。
2．知道古希腊三大几何问题解决过程中的思想方法。
3．体会数学对人类文明发展的作用【学习重难点】重点：学习解决古希腊三大几何问题过程中，数学家的探索精神及给后人的启示与意义。
难点：解决古希腊三大问题的思想方法。
【学习过程】一、新课学习1．三大几何问题2021多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终围绕着数学家①化圆为方——___________________________________③三等分任意角——___________________________________②倍立方——___________________________________2．三大几何问题的由来化圆为方：___________________________________________三等分角：___________________________________________倍立方：___________________________________________3．解决三大几何问题的早期努力化圆为方：___________________________________________三等分角：___________________________________________倍立方：___________________________________________4．三大几何问题的最后解决化圆为方：___________________________________________三等分角：___________________________________________倍立方：___________________________________________二、学习探究1．简述古希腊三大几何问题的特色2．哪位数学家证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决？三、学习检测1．什么是古希腊三大几何作图问题？它们与高次方程公式可解性有怎样的联系？。
第13讲 古希腊三大几何作图难题与域的扩张理论
我们把这一过程抽象为域的扩张问题.
♥域的扩张理论
四、域的扩张理论 定义2.2.1 设F是域E的子域, 则称E是F的扩域. 设 S 是 E 的子集, 由F∪S 生成的 E 的子域(即 E 中包 含F∪S 的最小子域)称为添加S于F而得的扩域. 记为 F(S). E是F的扩域, A,B是E的子集, 则 命题2 F(A)(B)=F(A∪B). 证明 因为 F(A)(B) 是包含 F(A) 和 B 的子域, 进而是 包含 F 和 A∪B 的子域. 由 F(A∪B) 的最小性得 F(A)(B) F(A∪B). 另一方面, F(A∪B) 是包含 F 和 A∪B 的子域, 也就 包含 F∪A, 而 F(A) 是包含 F∪A 的最小子域, 故 F(A∪B) 包含 F(A) , 进而 F(A∪B) 是包含 F(A)∪B 的 子域, 由 F(A)(B) 的最小性得 F(A∪B) F(A)(B) 。
O a b P R A B X
?
二、圆规和直尺的延伸功能:
根据命题1, 我们初步分析一下圆规和直尺能作 出的数. 设已知一些数S, 利用这些已知数, 圆规和直 尺能作出的所有数之集记为F, 由命题1可知,
F关于数的加、减、乘、除运算是封闭的，
Ｆ 是 一 个 数 域 !
古希腊三大几何作图难题Fra bibliotek三、在平面解析几何中考察圆规和直尺的延伸功能: 1）已知两点Ａ( s, t )和 B( u, v ), 直尺可以画直线 AB, 其方程为 (I) ax + by + c = 0. 其中 a, b, c 由 A, B 两点的坐标完全确定, 是已知数. 2）已知定点Ａ(s,t)和半径 r, 圆规可以画圆C, 其方程为 (II)
♥域的扩张理论
当 S={a1, a2, …, an} 时, 记 F(S)=F(a1, a2, …, an), 并称为有限生成扩域. 特别称 F(a) 为单扩域. 定义2.2.2 设 E 是 F 的扩域, 则 E 也是 F 上的 向量空间, 其维数 dimEF 称为 E 对 F 的扩张次 数, 记为 [E:F]. 定理2.2.1 设FKE是域扩张, 则 [E:F]=[E:K][K:F].
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教学方案
课题
古希腊三大几何问题的解决
学院：数学学院
班级： 2010级师范3班
姓名：
学号：
古希腊三大几何问题的解决
教案
安提丰在提出用圆内接正多边形逼近圆面
积的方法来化圆为方.
亚里士多德的《物理学》记载，安蒂丰从圆的内接正方形出发，将边数逐步加
倍到正八边形、正十六边形……无限重复
这个过程，随着圆面积的逐渐增大，将得
到一个边长极微小的圆内接正多边形。
安
蒂丰认为这个内接正多边形将与圆重合。
既然我们能做出一个等于任何已知多边形
的正方形，那么实际上我们就能够做出等
于一个圆的正方形。
这种推理当然没有真
正解决化圆为方的问题。
但是安蒂丰却无
心插柳柳成荫，提出了求圆面积近似值的
方法，成为古希腊穷竭法的始祖，为阿基
米德计算圆周率奠定了基础。
师：顺着时间的脚步，来到了公元前5世纪下半页（约公元前460-前377)希波克拉底解
决了化月牙形为方.下面我们就来看一看，
希波克拉底是如何化月牙形为方的。
师：如图所示，设以O为圆心的大圆半径为1，则线段AB的长度是2，以AB为直径的小
圆面积应为大圆面积的一半。
特别的，以的来历，
吸引学生
的学习兴
趣。
运用课件
让学生们
感受到安
蒂丰化圆
为方的方
法。
通过简单
的面积公
式，让学
生们感受
希波克拉
底研究化
圆为方的
艰难历
运用圆规
直尺，动手
感受化圆
为方仅限
于尺规作
图的困难。
学生自主
探究希波
克拉底研
究化圆为
方问题的
进程。
通过试验的方
法，让学生们
感受安提丰研
究问题时的基
本进程。
通过试验的方
法，让学生们
感受希波克拉
底研究问题时
的基本进程。
AB 为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四
分之一大圆的面积。
由此可知：大圆之外，小圆之内的月牙区域的面积等于AOB
的面积。
这说明由圆弧围成的区域的面积
可以与一个正方形的面积相等。
这一结果，朝解决化圆为方的目标迈进了一步。
希波
克拉底证明了一系列特殊月牙形的化圆为
方，但是每次都利用两个圆相减，对于单
个圆的化圆为方，最终并为解决。
师：达.芬奇的研究渐渐有了眉目，用已知圆为底，圆半径的１／２为高的圆柱，在平面
上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆
的面积，所以所得矩形的面积＝ｒ／２．２
πｒ＝πｒ2，然后再将矩形化为等积的正
方形即可。
要想求得正方向形的面积，必须将π开方，所以，无解。
师：2000多年来，三大几何问题因其独特的魅力吸引了无数数学家投入其中，百折不挠，虽屡战屡败但仍前仆后继。
古希腊人的巧
思，阿拉伯人的学时，西方文艺复兴时期
大师们的睿智，都曾倾注于此，但最终还
是没有解决。
其实不是科学家们不够聪明，而是因为当时的条件还不够成熟。
就像在
锋利的刀也削不到自己的柄一样，一个科
学问题，往往需要借助其他科学的知识才
能够解决。
笛卡尔的解析几何创立之后，
尺规作图的可能性才有了准则。
这样徐东
几何问题就可以转化为代数问题来研究。
因为用圆规、直尺作图的每一步都需要找
一个支点这个点或者是属于两条直线的，
或者是一条直线和一个圆的。
由于引进了
解析几何，人们认识到，用代数术语说，
这样的步骤就意味着同时求解两个线性方程。
通过学生
们自己动
手计算，
感受到达
芬奇研究
化圆为方
时困难。
学生自主
探究达芬
奇研究化
圆为方的
进程。
教师整理
总结，在当
代化圆为
方的解决
办法。
通过试验的方
法，让学生们
感受达尔文研
究问题时的基
本进程。