古希腊三大几何问题的解决

教学方案

课题

古希腊三大几何问题的解决

学院：数学学院

班级： 2010级师范3班

姓名：

学号：

古希腊三大几何问题的解决

教案

安提丰在提出用圆内接正多边形逼近圆面

积的方法来化圆为方.

亚里士多德的《物理学》记载，安蒂丰从圆的内接正方形出发，将边数逐步加

倍到正八边形、正十六边形……无限重复

这个过程，随着圆面积的逐渐增大，将得

到一个边长极微小的圆内接正多边形。安

蒂丰认为这个内接正多边形将与圆重合。

既然我们能做出一个等于任何已知多边形

的正方形，那么实际上我们就能够做出等

于一个圆的正方形。这种推理当然没有真

正解决化圆为方的问题。但是安蒂丰却无

心插柳柳成荫，提出了求圆面积近似值的

方法，成为古希腊穷竭法的始祖，为阿基

米德计算圆周率奠定了基础。

师：顺着时间的脚步，来到了公元前5世纪下半页（约公元前460-前377)希波克拉底解

决了化月牙形为方.下面我们就来看一看，

希波克拉底是如何化月牙形为方的。

师：如图所示，设以O为圆心的大圆半径为1，则线段AB的长度是2，以AB为直径的小

圆面积应为大圆面积的一半。特别的，以的来历，

吸引学生

的学习兴

趣。

运用课件

让学生们

感受到安

蒂丰化圆

为方的方

法。

通过简单

的面积公

式，让学

生们感受

希波克拉

底研究化

圆为方的

艰难历

运用圆规

直尺，动手

感受化圆

为方仅限

于尺规作

图的困难。

学生自主

探究希波

克拉底研

究化圆为

方问题的

进程。

通过试验的方

法，让学生们

感受安提丰研

究问题时的基

本进程。

通过试验的方

法，让学生们

感受希波克拉

底研究问题时

的基本进程。

AB 为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四

分之一大圆的面积。由此可知：大圆之外，小圆之内的月牙区域的面积等于AOB

的面积。这说明由圆弧围成的区域的面积

可以与一个正方形的面积相等。这一结果，朝解决化圆为方的目标迈进了一步。希波

克拉底证明了一系列特殊月牙形的化圆为

方，但是每次都利用两个圆相减，对于单

个圆的化圆为方，最终并为解决。

师：达.芬奇的研究渐渐有了眉目，用已知圆为底，圆半径的１／２为高的圆柱，在平面

上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆

的面积，所以所得矩形的面积＝ｒ／２．２

πｒ＝πｒ2，然后再将矩形化为等积的正

方形即可。

要想求得正方向形的面积，必须将π开方，所以，无解。

师：2000多年来，三大几何问题因其独特的魅力吸引了无数数学家投入其中，百折不挠，虽屡战屡败但仍前仆后继。古希腊人的巧

思，阿拉伯人的学时，西方文艺复兴时期

大师们的睿智，都曾倾注于此，但最终还

是没有解决。其实不是科学家们不够聪明，而是因为当时的条件还不够成熟。就像在

锋利的刀也削不到自己的柄一样，一个科

学问题，往往需要借助其他科学的知识才

能够解决。笛卡尔的解析几何创立之后，

尺规作图的可能性才有了准则。这样徐东

几何问题就可以转化为代数问题来研究。

因为用圆规、直尺作图的每一步都需要找

一个支点这个点或者是属于两条直线的，

或者是一条直线和一个圆的。由于引进了

解析几何，人们认识到，用代数术语说，

这样的步骤就意味着同时求解两个线性方程。

通过学生

们自己动

手计算，

感受到达

芬奇研究

化圆为方

时困难。

学生自主

探究达芬

奇研究化

圆为方的

进程。

教师整理

总结，在当

代化圆为

方的解决

办法。

通过试验的方

法，让学生们

感受达尔文研

究问题时的基

本进程。