高斯型积分公式
高斯求积公式
x xj xi xj
ji
高斯求积公式具有较高的代数精度((2n+1)阶）, 并且是数值稳定的.
三、几种常见的高斯求积公式
1.高斯-勒让德求积公式
取( x) 1,积分区间为[1,1]上的高斯求积公式
称为高斯－勒让德公式。
1
f ( x)dx
1
n
i f ( xi )
i0
xi 勒让德多项式的零点
式 Ln( x)，
由插值原理，可用插值多项式Ln( x)作为 f ( x)的近似，由于多项式求导较为简单，
f (k ) ( x) L(nk ) ( x) (k 1,2, , n) 这 样 建 立 的 数 值 微 分 公式 称 为 插 值 型 数 值 微分公式。
应当指出，即使 f (x) 与 Ln( x)处处相差不多， f ( x) 与 Ln ( x) 在某些点仍然可能出入很大.
f
( x0 )
+
1
f
( x1 )
令f ( x) 1, x, x 2 , x 3 使上式成立，得非线性方程组
0＋1＝2
0
x0
+ 1 x1
0
0
x
2 0
0
x03
+ 1 x12 + 1 x13
2
3 0
0 1
1 1
x0
3 3
x1
3 3
由此得两点公式
1
f ( x)dx f (
3)+ f(
以高斯点 xk (k 0,1, , n)为零点的 n+1次多项式，
pn+1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
称为勒让德(Legendre)多项式。
数值分析4。4高斯型求积公式
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
华长生制作
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
华长生制作 17
2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
华长生制作
2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。
b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作 8
即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
积分间的关系-高斯公式
令
M (x, y, z)
P Q R
1
lim v ndS
x
y
z
V M
定义2 称 P Q R 为速度场v 在点 M 的通量密度
x y z
（或散度）记作 div v(M ). 即
div v(M ) P Q R . x y z
其中为柱面x2 y2 1及平面z 0，z 3 所围成的空间闭区域的整个边界曲面的 外侧.
5
解 P ( y z)x,Q 0, R x y, z
P y z, Q 0, R 0,
3
x
y
z
原式 ( y z)dxdydz
其中 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 均具有一阶连续偏导， 是场内的一片有向曲面，n 是 在点 (x, y, z) 处的单位 法向量，则积分
A ndS
称为向量场 A 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量）
注：通量
A ndS (P cos Q c积分之间的联系，又可以写成
A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy.
例3 求向量场
A(x, y, z) yzj z2k
穿过曲面 流向上侧的通量，其中 为柱面 y2 z2 1(z 0) 被平面 x 0, x 1 截下的有限部分.
第六节 高斯公式 通量与散度
一、高斯（Gauss)公式及其应用 二、通量与散度
一、高斯（Gauss)公式及其应用
牛顿—莱布尼兹公式
b
a
f
x dx
F
高等数学高斯公式(一)
高等数学高斯公式(一)高等数学高斯公式1. 高斯公式的表述高斯公式是数学中一个重要的积分公式，用于计算曲线或曲面上的积分。
在向量分析和复变函数等领域中有广泛应用。
2. 高斯公式的一维形式对于一维场景，高斯公式可以表示为：∫f b a (x)dx=−∫fab(x)dx其中，f(x)是定义在区间[a,b]上的可积函数。
3. 高斯公式的二维形式对于二维场景，高斯公式可以表示为：∬(∂P∂x+∂Q∂y)D dA=∮(Pdx+Qdy)C其中，D表示一个有向区域，C表示该区域的边界曲线，P和Q是定义在D上的一阶连续偏导数函数，dA表示二维区域D上的面积元素。
4. 高斯公式的三维形式对于三维场景，高斯公式可以表示为：∭(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)V dV=∯(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy) S其中，V表示一个有向空间区域，S表示该区域的表面，P、Q和R是定义在V上的一阶连续偏导数函数，dV表示三维区域V上的体积元素。
5. 高斯公式的应用举例一维场景假设有一个函数f(x)=x2，要计算在区间[1,4]上的积分。
根据高斯公式的一维形式，我们有：∫x2 41dx=−∫x214dx通过计算得到：∫x2 41dx=x33|14=643二维场景假设有一个二维区域D，其中D由曲线y=x2和y=1所围成。
现在需要计算在区域D上的积分，例如函数f(x,y)=x2+y2。
根据高斯公式的二维形式，我们可以将该积分转化为对边界曲线进行积分。
∬(2x+2y) D dA=∮(x2+y2)Cds具体计算方法可以使用参数方程对曲线进行参数化，然后进行积分计算。
三维场景假设有一个三维空间区域V，其中V为一个球体，半径为r。
现在需要计算在区域V上的积分，例如函数f(x,y,z)=x2+y2+ z2。
根据高斯公式的三维形式，我们可以将该积分转化为对球体表面进行积分。
∭(2x+2y+2z) V dV=∯(x2+y2+z2)SdS具体计算方法可以使用球坐标系下的公式对球体表面进行参数化，然后进行积分计算。
gauss型积分公式
gauss型积分公式
Gauss型积分公式是一种经典的积分计算方法，它是18世纪德国数学家克劳德高斯（Karl Friedrich Gauss）提出的数学方法，又称作高斯积分或高斯积分公式。
这种积分方法非常简单、实用，是数学及其相关学科研究时常用到的数学工具。
Gauss型积分公式的特点是它可以将复杂的一元定积分问题转化为解一个多项式方程组的几何问题，从而减少不少的计算量。
它的优势在于，无论是写出这种方程，结合数学技巧便可算出结果，还可用另一种方法，通过积分变换来完成积分计算，而且可以在结果上获得较高的精度。
Gauss型积分公式可简化定积分问题计算，但由于其复杂性，对多元积分这类计算量较大的问题无能为力。
在这种情况下，可以使用另外一种积分方法，即数值积分法，在这种方法中，采用多项式函数来模拟定积分问题，从而减少计算量，并可以得出比较准确的结果。
Gauss型积分公式在数学研究中具有重要意义，可求出很多有用的结果，尤其是在求解复杂的一元定积分问题上。
它的有效性可以通过用它来求曲线的极限等数学知识的计算来证明。
此外，它还可以用于计算椭圆积分，复数积分等。
Gauss型积分公式的应用范围十分广泛，它在数学研究中可以帮助研究者减少许多计算量，从而节省时间，使得数学研究变得更加有效率。
它在量子力学、电磁学、计算物理学、天文学、计算生物学以及统计学等领域也有着广泛的应用。
从以上可以看出，Gauss型积分公式在数学及其相关学科中具有重要意义，它可以帮助研究者提高研究效率，具备很多实用性，是一个重要的数学工具。
对于Gauss型积分公式的应用，学者们和工程研究者们都应该进行进一步的深入研究，从而更好地发挥它的作用。
高斯曲线积分
高斯曲线积分一、概述高斯曲线积分，也称为高斯积分，是一种特殊的定积分。
它是由德国数学家高斯在研究电磁场时引入的。
高斯曲线积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
二、基本概念1.曲线积分曲线积分是将一个向量函数沿着一条曲线进行积分，通常用于计算物理量在空间中的变化量。
2.高斯公式高斯公式是描述向量场与曲面之间关系的定理。
它将一个向量场通过曲面上的积分转化为该向量场在该曲面所包围区域内的散度值。
3.散度散度是描述向量场在某点处流出或流入该点的强度大小，通常用数值表示。
4.高斯积分高斯积分是对三维空间中一个标量函数或者一个向量函数沿着某个闭合曲面进行积分。
它可以通过高斯公式来计算。
三、计算方法1.标量函数的高斯积分设f(x,y,z)为定义在闭合曲面S上的连续可微函数，则S上f(x,y,z)的高斯积分为：∫∫S f(x,y,z)dS = ∫∫∫V (∇·f)dxdydz其中，V为曲面S所包围的空间体积，∇·f为f的散度。
2.向量函数的高斯积分设F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为定义在闭合曲面S上的连续可微向量函数，则S上F(x,y,z)的高斯积分为：∫∫S F(x,y,z)·dS = ∫∫∫V (∇·F)dxdydz其中，V为曲面S所包围的空间体积，∇·F为F的散度。
四、应用领域1.电磁学高斯曲线积分在电磁学中有广泛应用。
通过对电场、磁场进行高斯曲线积分，可以计算出它们在某个区域内的总量和强度大小。
2.流体力学在流体力学中，通过对速度场进行高斯曲线积分，可以计算出流体在某个区域内的总质量和流量。
3.工程领域高斯曲线积分也被广泛应用于工程领域。
例如，在材料科学中，通过对应力场进行高斯曲线积分，可以计算出材料在某个区域内的总应力。
五、总结高斯曲线积分是一种特殊的定积分，主要用于计算物理量在空间中的变化量。
它可以通过高斯公式来计算。
高斯型函数的积分公式
ii =
12
1 1 i1i2 = i1i2 (2 2 1)!! 3
ii i i
1234
1 { i1i2 i3i4 i1i3 i2i4 i1i4 i2i3 } (4 2 1)!!
=
1 { i1i2 i3i4 i1i3 i2i4 i1i4 i2i3 } 5 3 1
2A x B 0
注意 x 是 B 的函数。 2.
1 xA -1 x 2
f (x) （2） det A e
-n -1
dx xf (x)
n
x 0
1 1
dx n xxf (x) x x A dx n xxxf (x) x x x + x x x + x x x 0 dx n x x x x f (x) x x x x + x x x x + x x x x
ii i i i i
123456
1 { i1i2 i3i4 i5i6 i1i2 i3i5 i4i6 i1i2 i3i6 i4i5 7 5 3 1 i1i3 i2i4 i5i6 i1i3 i2i5 i4i6 i1i3 i2i6 i4i5 i1i4 i2i3 i5i6 i1i4 i2i5 i3i6 i1i4 i2i6 i3i5 i1i5 i2i3 i4i6 i1i5 i2i4 i3i6 i1i5 i2i6 i3i4 i1i6 i2i3 i4i5 i1i6 i2i4 i3i5 i1i6 i2i5 i3i4 }
1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 1 2 3 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2
4.3 高斯求积公式
解之得
A1 x1 0 2 2 A1 x1 3 3 A1 x1 0 3 3 A0 A1 1 x0 x0 3 3
A0 A x 0 0 2 A x 0 0 A x3 0 0
A1 2
代入(1)即得
1
1
可以验证，所得公式（2）是具有3次代数精度的插 值型求积公式。 这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点， 可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是 本节要介绍的高斯求积公式。
高斯求积公式的误差
定理： 设 f ( x )在[ a , b ]上 2 n +2 阶连续可微， ( x ) 0, 则带权函数 ( x )的 Gauss型求积公式的余项为
R ( f ) ( x ) f ( x ) dx Ak f ( xk )
a k 0 b n
f ( ) 2 ( x ) ( x ) dx ( a , b ) (2 n +2)! a
a b
b
( x )q ( x )
a n k 1 k k
b
n
( x ) dx ( x ) r ( x ) dx
a
b
( x ) r ( x )dx A r ( x
a
)
A
k 1
n
k
f ( xk )
结论：
区 间[ a , b ]上 关 于 权 函 数 ( x )的 正 交 多 项 式 系 中 的 n +1 次 正 交 多 项 式 的 根 就 是 Gauss点 。
a k 0
b
n
对 f ( x ) x l (l 0,1, , 2 n 1) 精确成立
高斯积分
所以，应取
H1 H 2 1.000,000,000,0
高斯积分法
n个插值结点非等距分布
结点和积分权系数可以查表
1
1
f ( )d Ai f (i )
i 1
n
高斯积分法
二维积分的高斯公式
以一维高斯积分公式为基础，导出二维及三维公式。求二维 重积分 1 1 f ( , )dd
n点高斯积分
若构造的n+1个节点的插值求积公式，则可将 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入求积公式可求解，
b a 1dx c0 c1＋＋cn b 不是线性方程组， xdx c0 x0 c1 x1＋＋cn xn a 不易求解。 b 2 n 1 2 n 1 x 2 n 1dx c0 x0 c1 x12 n 1＋＋cn xn a
高斯积分法
例如，n=1时 不论f(ξ )的次数是0还是1，只需取H１=2， ξ 1＝０，上式均是精确成立的。因为
I f ( )d H1 f (1 )
1 1
f ( ) C0 C1
I f ( )d 2C0 2 f (0)
1
1
高斯积分法
当n=2时，能保证式子精确成立所允许的多项式 的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为
1
1
1
1 1 1
f ( ,, )ddd
其中被积分函数f(ξ ，η ，ζ )一般是很 复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也 是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函 数的定积分。
高斯积分法
数值积分：在积分区域内按一定规则选出 一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ ， η ，ζ )在这些积分点处的值，然后再乘以相 应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
数值分析8-高斯型求积公式
1 −1
f ( 2 n+ 2) (η ) f ( x ) dx − ∑ ωi f ( xi ) = (2n + 2)! i =0
n
∫
1
−1
( x − xi ) 2 dx ∏
i =0
n
证明：以 x0 … xn 为节点，构造 f (x) 的 2n+1 次Hermite插值
多项式 H(x)，满足
1 d n+1 ( x 2 − 1) n+1 Pn+1 ( x ) = n+1 2 ( n + 1)! dx n+1
取其 n+1 个零点作为 Gauss 点，即可得 Gauss-Legendre 求积公式。
G-L 公式的余项
定理 设 f (x) ∈C 2n+2[-1, 1] ，则 G-L求积公式的余项为
i =0
n
注：(1)Gauss求积公式仍然是插值型求积公式； (2)Gauss系数可通过Gauss点和Lagrange基函 数得到；
高斯点的确定
定理 节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是求积公式(2-30)的Gauss
点的充要条件是：多项式 w( x) = ∏ ( x − xi ) 与任意次数不超 过 n 的多项式 p(x) 正交，即
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ ∑ Ai f ( x i ) = f ( −1 / 3 ) + f (1 / 3 )
i =0
n
n = 2: Pn+1(x) =
(5x3 -
3x)/2,
两点G-L公式
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ 5 f − 15 5 + 8 f ( 0 ) + 5 f 9 9 9
高斯公式 第二类曲面积分
高斯公式第二类曲面积分
高斯公式第二类曲面积分，又称高斯积分，是一种在微积分和几何中研究复杂曲面上的积分。
它是求解积分的一种重要方法，可以用来计算空间曲面的一些定义性积分值，例如，斯科特积分、椭圆曲线的表面积等。
高斯公式第二类曲面积分的历史可以追溯到18th世纪，由著名的德国数学家和天文学家卡尔高斯发现。
他是专注于几何和微积分研究的著名数学家，其发现的“卡尔高斯消除法”是现代计算机科学中一种重要的数值解决方案。
定义上，高斯公式第二类曲面积分可以表示为：
∫FdS =∫[(1/2)fσ + gτ]dxdy
其中，F是所要积分的函数，dS表示曲面面积的元，f和g分别是函数的分量，σ和τ是曲面的参数。
积分的方法可以简化为三个步骤：
1.曲面参数化：通过变换，将曲面由曲面公式表示变成参数方程形式，可以用来描述曲面S的位置和方向。
2.曲面分割成小部分：把曲面划分成小的四边形或者六边形，从而方便计算每一小部分的积分值。
3.解近似值：已知每一小部分的参数，利用卡尔高斯积分法求解积分的近似值。
此外，也可以用其他技术，例如多项式拟合法、积分表和数值积分法等，计算出曲面S的积分值。
总结一下，高斯公式第二类曲面积分是一种重要的积分方法，可以解决复杂曲面上的积分问题，已经广泛应用于微积分、几何和计算机科学等领域中。
它可以用多项式拟合法、积分表和数值积分法来计算曲面上的积分，从而获得积分值。
gauss高斯公式
I=
Σ1 : z =1 (x, y) ∈Dxy : x + y ≤1 取下侧.
2 2
Σ∪Σ 1
z
∫∫
Ω
− ∫∫
Σ 1
2
Σ
2 2
2 2
= ∫∫∫(3x z +1− x z − 2x z)dv−∫∫ −x z d xd y Σ1
1
= ∫∫∫ dv − (−1) ∫∫
Ω
∑1
D xy
(−x )1 d xd y
z 3
O 1 x
由三重积分的对称性
y
例2(P231) 其中Σ 为锥面 x2 + y2 = z2介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, α, β, γ 为法向量的方向角. 解 积分
z
Σ1 h
Σ
y
作辅助面 Σ1 z = h, (x, y) ∈Dxy : x2 + y2 ≤ h2, 取上侧 :
O x
2zdz −πh
4
= ∫∫ [h −(x + y )]dσ − πh
2 2 2
4
1 4 =− πh . 2
Dxy
例3. 计算 (1)其中Σ 为球面 x2 + y2 + z2 = R2外侧. (2)其中Σ 为上半球面 z = R − x − y 上侧. 解(1)
2 2 2
z
(2)加补曲面Σ 1: z = 0, 取下侧 Dxy : x + y ≤ R , I = ∫∫ − ∫∫
2 2 2
Σ ∪Σ1
∑ 1
Σ
O
−∫∫ (x + y + z )d xd y x
2 2 3 ∑1
Σ1 y
真空中高斯定理的积分形态是
真空中高斯定理的积分形态是高斯定理是电磁学中的一条重要定理，它与电荷和电场之间的关系有着密切的联系。
在空气中，电场的存在会产生电场强度的变化，而高斯定理则可以帮助我们理解这种变化的规律。
高斯定理可以简要地表述为：电场的通量与产生该电场的电荷之间存在一种直接的关系。
通量是一个描述电场通过某一曲面的电场线的数量的物理量。
根据高斯定理，该曲面围住的电荷数目与该曲面上的电场通量成正比。
那么，该如何理解高斯定理呢？我们可以将其比喻为一幅画：曲面就像是一张画纸，电荷就像是在画纸上的颜料点，而电场线则是从颜料点上飞溅出来的涟漪。
当我们把画纸放在水中，可以看到涟漪扩散开来，形成一个个同心圆。
这些圆代表的就是电场线，而画纸就是曲面。
根据高斯定理，我们可以通过计算曲面内外的电场通量来推导出曲面内的电荷数目。
实际中，我们往往采用积分的方式来计算电场通量。
积分形式的高斯定理公式是这样的：∮E⋅EE = E/ϵ₀其中，∮E⋅EE表示电场向量E与曲面微元EE的点积之和，E 表示曲面内的总电荷数目，ϵ₀为真空介电常数。
高斯定理的积分形式是我们理解电场与电荷之间关系的重要工具。
通过积分形式的高斯定理，我们可以计算特定情况下的电场强度分布。
例如，在一个球形容器中存在一个均匀分布的电荷，在真空中可以利用高斯定理进行计算。
我们可以选取球面作为积分曲面，电场线垂直入射球面，这样电场通量的计算就变得更加简洁。
高斯定理的应用不仅仅局限于球形容器，它适用于各种各样的电场分布情况。
通过选择合适的积分曲面，我们可以解析地计算电场分布，从而更好地理解电磁学中的相关现象。
总之，高斯定理是电磁学中非常重要的定理之一。
它以积分形式描述了电场与电荷之间的关系，通过计算电场通量，我们可以推导出曲面内的电荷数目。
无论是在教学、研究还是工程应用中，高斯定理都被广泛地运用。
了解和掌握高斯定理的积分形式，将能够帮助我们更好地理解电磁学中的电场分布规律，从而为电磁学的应用提供指导意义。
Gauss型积分公式
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。
由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。