流体力学

Daniel Bernoulli
伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究，其著名的《流体动力 学》一书影响深远。他同时是气体动力学专家。1782年3月17日，丹尼 尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。
伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或 截面上 p 、 及地势高度 h之间的关系。
v
一、 伯努利方程的推导
2、喷雾原理 因 SA 很小，vA很大；使 PA小于大 气压，容器内流体上升到 A 处，被高 速气流吹散成雾，这种现象又称为空 吸现象。
水流抽气机 当水从喉管的细口流出，由于流速 很大，在附近形成低压区；
该压强小于容器中的气体压强，使得容器中的气体在这里 集中，被流水吸入带走。 最终使容器中气体的压强降至大气压强的十分之一左右。
QA S A v A
§2.3
伯努利方程及其应用
丹尼尔· 伯努利 (1700~1782) ： 1700年1月29日生于 荷兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、先后就读于 尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学，学 习逻辑、哲学、医学和数学。1724年，丹尼尔获 得有关微积分方程的重要成果，从而轰动欧洲科 学界。
1 2 v PA PB gh 2
h
v 2 gh
4、文丘里流量计（测量管道中液体体积流量） 当理想流体在管道中作定常流动时， A、B 作为参考点，由伯努利方程得：
A
B
h
1 2 1 2 PA v A PB v B 2 2
由连续性原理 所以
SA SB
Q S Av A S B v B
1 2 1 2 Ek v2 V v1 V 2 2
流体经过△t 时间势能变化量：E p gh2 V gh1V Δt △t 时间内外力对该段流体做功：
A1 F1v1t P 1S1v1t P 1V A2 F2v2 t P2 S 2v2 t P2 V
P1 P2 gh2
s2
v2 h2
即
当水龙头完全打开后， 对 S1、S2 ，由伯努利方程： s1
1 2 1 2 P1 v1 P2 ' v 2 gh2 2 2 1 5 2 2 P2 ' P1 (v1 v2 ) gh2 2.3 10 Pa 2
Q S A SB 2 gh 2 2 SB SA
又
PB PA gh
若待测管道中横截面积为 S ，则管道中的流速为：
Q S A SB v S S
计示压强
2 gh 2 2 SB SA
文丘里流量计中利用连通器原理测量压强的方法被工程技 术上广泛应用。测出的管道或容器中的压强 p 称为绝对压强。 而竖直细管中的液柱产生的压强 p' p p0 ，为1标准大 气压为基准零点显示的压强，称为计示压强。
由功能原理 ：
Δt
S1
S2
P
h2
h1
1
A E k E p 即
1 2 2 (P P ) V ( v v 1 2 2 1 ) V g ( h2 h1 ) V 2
1 2 1 2 P1 v1 gh1 P2 v2 gh2 2 2 1 2 或 P v gh C 2
3、皮托管（流速计）
B A
选取 A、B 作为参考点
由伯努利方程，得：
h
PB
1 2 v PA 2
从 U 形管中左右两边液面高度差可知
PA PB gh
由上两式得
v 2 gh
为 U 形管中液体密度， 为流体密度。
上式较适合于测定气体的流速。
常用如图示形式的皮多管测液体的流速
1
1
S
2
v
2
t ，流入细流管的流体质量
m1 1V1 1 S1v1t
同理，流出的质量 m2 2 V2 2 S 2 v 2 t
流体作定常流动，故流管内流体质量始终不变，即 m1 m2
1 S1v1 2 S 2v 2
或
Sv 常量
上式称为连续性原理或质量守恒方程，其中 Sv 称为质 量流量。 对于不可压缩流体， 为常量，故有
问题 3： 足球香蕉球？乒乓球弧圈球？
问题4：汽车阻力来自前部还是后部？
(1) 汽车发明于19世纪末，当时人们认为汽车的阻力主要来自 前部对空气的撞击，因此早期的汽车后部是陡峭的，称 为箱型车，阻力系数CD很大，约为0.8。
(2) 实际上汽车阻力主要来自后部形成的尾流，称为形状阻力。
(3) 20世纪30年代起，人们开始运用流体力学原理改进汽车尾部 形状，出现甲壳虫型，阻力系数降至0.6。
如图，取一细流管，经过短暂时间 △t ，截
c S2
d
Δt
v
2
面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到
d， 流过两截面的体积分别为
b
v
S1
1
V1 v1S1t
由连续性原理得
V2 v2 S 2 t V1 V2 V
a
Δt
在b到ｃ一段中运动状态未变，流体经过△t 时间动能变化量：
流体: 具有流动性的物体。液体和气体都 是流体。由连续分布的流体质量元 组成的。
Introduction
主题: 连续性原理与伯努利方程. 方法: (1) 从理想化流体模型到实际流体. (2) 以功能原理或能量守恒求解问题.
本章内容：
§2.1 流体力学简介
§2.2 理想流体的定常流动
§2.3 伯努利方程及其应用 §2.4 黏性流体的定常流动 §2.5 泊肃叶定律 斯托克斯定律 §2.6* 生物流体力学简介
§2.1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
流体力学简介
流体: 具有流动性的物体。液体和气体都是流体。由连续分布 的流体质量元组成的。
流体质量元
1. 宏观上看为无穷小的一点，有确 定的位置 r 、速度 v 、密度 和 压强 P 等； 2. 微观上看为无穷大，不必深入研 究流体分子的无规则热运动；
流体力学
流体静力学（用 P、F浮、 等物理量描述）
1 ( v 22 v 12 ) 表示单位体积流体流过细流管 S1 S 2 后动能的变化量； 2
（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：
（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。 （4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。
（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v 之间的关系。
三、伯努利方程的应用
1、小孔流速
SA SB
如图所示。 SB << SA，以 A、B 两点为参考点 由伯努利方程： 1 2 1 2 PA v A ghA PB v B ghB 2 2 由 S Av A S B v B 可知， v A S B v B 0
SA
选取 B 处为参考点，其 hB = 0, hA= h 得
标有一道平行于铁轨的黄色的安 全线。当列车驶过时，不允许旅 客站在这条线内，以保证人体与 铁轨离开足够的距离；你知道这 是为什么吗？
问题 2：用手提着两张纸，让这
两张纸竖直地自由下垂，向两张纸之间 吹一口气，如图所示。这两张纸之间的 距离将怎样变化呢?记录所观察到的现 象，并思考为什么会出现这一现象。
Sv Q 常量
上式称为不可压缩流体的连续性原理或体积连续性方程，其 中 Q 称为体积流量。
对同一流管而言，C 一定。截面积 S 小处则速度大，截面积 S 大处则速度小
Sv C 是对细流管而言的。物理上的“细”，指的是截
面上各处速度一样，不论多大，均可看成“细流管”。
例 如图是一种自动冲水器的结构示意 图，进水管A 管口截面积为3cm2 ，出水 管B 管口截面积为22cm2 ，出水时速度 为1.5m·s-1,该冲水器每隔 5min能自动 持续出水0.5min. 求 进水速度
等物理量描述） 流体动力学（用 P、V、h 、
§2.2
理想流体的定常流动
一、 理想流体 （Ideal Fluid）
实际流体，除流动性以外，还具有可压缩性和黏滞性。 实际流体流动时，相邻流层之间存在着沿分界面切向 的摩擦力，这种力称为黏滞力，流体具有这种性质称为黏 滞性。 理想流体：绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体。 说明
第2章
流体力学基础
“哈勃”抓拍到的气体湍流风暴
类似海洋中的怒潮，该图片实际显示的是炽热的氢气和其它少量如氧或硫 元素组成的泡沫海洋。图片由美国国家宇航局的“哈勃”太空望远镜拍摄，表 现的恒星形成温床——天鹅星云的一小块区域，该星云位于人马座方向，距地 球约5500光年。
问题 1 ：在火车的站台上，
5 例 水管里的水在压强 p = 4.0×10 Pa 作用下流入室内，水管 的内直径为 2.0 cm ，引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内 直径为 1.0 cm 。当浴室水龙头完全打开时，浴室水管内水 的流速为 4.0 m· s-1 。
求 浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。 解 当水龙头关闭时，v1= v2= 0，由伯努利方程：
虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点。
B A hA hB C hc
水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理 可知 v A 0 ，所以此例实质为小孔流速问题
v 2 g ( hA hC )
如果 hA－hC＜ 0 ，管内流速没有意义。 如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可 能实现的。
1 2 PA gh PB v B 2
因 PA = P0 ，PB = P0 ，所以
vB
2( PA PB )

2 gh
v B 2 gh
--- 托里拆利公式
即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落 到小孔处的流速大小相等。
虹吸管
左图是利用虹吸管从水库引水的示意图。
流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。
流管内流体的质量是守恒的。 通常所取的“流管”都是“细流管”。 细流管的截面积 S 0，就称为流线。
五、连续性原理
描述了定常流动的理想流体任一流管中流体元在不同截面处 的流速 v 与截面积 S 的关系。 取一细流管，任取两个截面 S S 1 和 S 2 ，两截面处的流速分别为 v1 和 v2，流体密度分别为 1 和 2 。 经过时间 v
(4) 20世纪50~60年代改进为船型，阻力系数为0.45。
(5) 80年代经过风洞实验系统研究后，又改进为鱼型，阻力系 数为0.3。
(6) 以后进一步改进为楔 型，阻力系数为0.2。
(7) 90年代后，科研人员研制开发的未来型汽车，阻力系数仅为 0.137。
目前，在汽车外形设计中流体力学性能研究已占主导地 位，合理的外形使汽车具有更好的动力学性能和更低的 耗油率。
v1 v2
v3
作定常流动的流体，所有流体元的流速都相同。
×
？
三、流线
流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方 向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。 v1
流场中流线是连续分布的； 空间每一点只有一个确定的流速方向， 流速大 所以流线不可相交。
v2
流线密处，表示流速大，反之则稀。
四、流管
流体受压缩程度极小，其密度变化可忽略时，可看作不可压缩流体。 流体在流动时，若能量损耗可忽略不计，可看作非黏滞流体。
二、定常流动
流体流经的空间称为流体空间或流场 。 定常流动：流体流经空间各点的速度不随时间变化。
流体质量元在不同地点的速度
可以各不相同。 流体在空间各点的速度分布不变。 “定常流动”并不仅限于“理想流体”。
解 出水管的体积流量 0.5min. 出水量 进水管的体积流量 5.5min. 出水量 因 V V B A
A
h
B
QB S B vB
D = 0.8m
VB QBt B S B vBt B VA QA t A t B S Av A t A t B S B vB t B 所以 vA 1m s 1 S A t A t B
上式即为伯努利方程的数学表达式。
二、伯努利方程的意义
（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用
P1 P2表示单位体积流体流过细流管 S1 S 2 外压力所做的功；
1 2 P1 P2 g (h1 h2 ) (v 2 v12 ) 2
g( h1 h2 )表示单位体积流体流过细流管 S1 S 2重力所做的功；