呵呵

⒉ 两平面平行
几何条件： 几何条件： 若一个平面内的相交二直线与另一个 平面内的相交二直线对应平行，则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。 两平面平行的作图问题有： 两平面平行的作图问题有： 判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的 所缺投影。
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
n′
k′
n
c
求直线MN与平面 与平面ABC的交点 并判别可见性。 的交点K并判别可见性 例1 求直线 与平面 的交点 并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析: 空间及投影分析
4.4 直线与平面及两平面的相对位置 4. 4.1 平行问题 4.4. 2 相交问题 4.4. 3 垂直问题 4. 4.4 综合问题分析及解法
基本要求
（一）平行问题
熟悉线、面平行， 面平行的几何条件； 1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 熟练掌握线、面平行， 面平行的投影特性及作图方法。 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
② 判别可见性
直线与一般位置 直线与一般位置平面相交 位置平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
以正垂面为辅助平面求线面交点
示意图
A
Ⅱ
F
C
Ⅰ
B E
过EF作正垂面 作正垂面Q
以正垂面为辅助平面求直线EF与 以正垂面为辅助平面求直线 与∆ABC平面的交点 平面的交点
（二）相交问题
熟练掌握特殊位置线、面相交（ 1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。 面相交求交线的作图方法。 掌握利用重影点判别投影可见性的方法。 3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
2′
k′ 步骤： 步骤： 1．过EF作铅 ． 作铅 垂平面P。 垂平面 。 2．求P平面与 ． 平面与 ∆ABC的交线 的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ． ⅠⅡ与EF的交 的交 点K。 。 k
1′
PH
1
2
示意图
直线EF与平面∆ 相交， 直线 与平面∆ ABC相交，判别可见性。 与平面 相交 判别可见性。
m k b f c n
2. 判断平面的可见性
2. 判断平面的可见性
例3 求两平面的交线 空间及投影分析： 空间及投影分析： MN并判别可见性。 并判别可见性。 并判别可见性
⑴ a′
d′ a
●
′ ′ b′ m′(n′) e′ ●
f′ c′
e n c
平面ABC与DEF都为 与 平面 都为 正垂面，它们的交线为一 正垂面， 条正垂线， 条正垂线，两平面正面投 影的交点即为交线的正面 投影， 投影，交线的水平投影垂 直于OX轴。 直于 轴
QV
1′
k′
步骤： 步骤： 1．过EF作正 ． 作正 垂平面Q。 垂平面 。
2′
2．求Q平面与 ． 平面与 ∆ABC的交线 的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ． ⅠⅡ与EF的交 的交 点K。 。
2
k
示意图
1
以铅垂面为辅助平面求线面交点
E
示意图
A
K
Ⅱ
Ⅰ
C
B F
作铅垂 过EF作铅垂面P 作铅
以铅垂面为辅助平面求直线EF与 以铅垂面为辅助平面求直线 与∆ABC平面的交点 平面的交点
f′
( 2′ ) 1′ k′
4′
3′ 3′
e′
2
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
s′ f′ k′ e′
m′
n′ r′ r n
e k f s
m
[例4] 试判断两平面是否平行。 ] 试判断两平面是否平行。
结论：因为 平行S 结论：因为PH平行 H，所以两平面平行
4.4. 2 相交问题
• 直线与平面相交 • 两平面相交
1. 直线与平面相交
直线与平面相交， 直线与平面相交，其交点是直线与平面的 共有点。 共有点。 要讨论的问题： 要讨论的问题：
d′ ′ a′
●
h′ m′ ′
●
b′ e′
X
n′ ′
●
1'(2')
c′
f′ a m
●
平面DEFH是一铅垂面， 是一铅垂面， 平面 是一铅垂面 它的水平投影有积聚性， 它的水平投影有积聚性，其 的交点m 与ac、bc的交点 、n 即为 、 的交点 两个共有点的水平投影， 两个共有点的水平投影，故 mn即为交线 即为交线MN的水平投影。 的水平投影。 即为交线 的水平投影
⑵ 直线为特殊位置
b′ ′ k′ ′ a′ ′
X
m′
●
空间及投影分析: 空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其 为铅垂线， 直线 为铅垂线 水平投影积聚成一个点， 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 故交点 的水平投影也积聚 在该点上。 在该点上。 ① 求交点 ② 判别可见性 位于平面上， 点Ⅰ位于平面上，在 位于MN上，在 前，点Ⅱ位于 上 后，故k′1′为不可见。 ′ 为不可见。
4.4. 1 平行问题
• 直线与平面平行 • 两平面平行
⒈ 直线与平面平行
A B C P 几何条件： 几何条件： 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 则该直线与该平面平行。 则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作 图问题的依据。 图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有： 有关线、面平行的作图问题有： 判别已知线面是否平行； 判别已知线面是否平行； 过点作直线与已知平面平行； 过点作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。 D
(1) 求直线与平面的交点。 求直线与平面的交点。 (2) 判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。 挡关系，即判别可见性。
● ●
我们将分别讨论一般位置的直线与平 面或至少有一个处于特殊位置的情况。 面或至少有一个处于特殊位置的情况。
特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
1. 直线与特殊位置平面相交 直线与特殊位置 特殊位置平面相交
b′ a′ k′ m′ c′ a k m 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性 交点可直接求出。 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。 特殊位置 b c n n′
2. 判断直线的可见性
b′ a′ m′ c′ a k b m
b′ ′ d′ ′ c′ ′ a′ ′
X
n′ ′ m′ ′
●
b d a c 几个解？
●
n m
有无数解
点作直线MN平行于 面和 平行于V面和 [例3] 过M点作直线 点作直线 平行于 平面 ABC。 。
b′ ′ d′ ′ a′ ′
X
正平线
c′ ′ m′ ′
●
n′ ′
c a d m b
●
n
唯一解
直线与特殊位置平面平行
（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
熟练掌握点、 面的基本作图方法； 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 能对一般画法几何综合题进行空间分析， 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。 步骤和方法。
a′ c′ m′ e′ k′ f′ h′ O d a c e m f k h
X
b′ b
d′
由于ek不 由于 不 平行于ac, 平行于 , 故两平面 不平行。 不平行。
[例2] 试判断两平面是否平行 ]
s′ n′ m′ r′
n m s
r
结论：两平面平行 结论：
已知定平面由平行两直线AB和 给定 给定。 [例3] 已知定平面由平行两直线 和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。 作一平面平行于已知平面
C A B a(b) c d D F e(f) h(g) G a(b) E a' H b' X c e(f) d d' f' g' O c' e' h'
h(g)
当平面为投影面的垂直面时， 当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直 线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线， 线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面 必定平行。 必定平行。
[例1]
解题思 路：如 果平面 与直线 相互平 行，那 么此直 线必和 平面内 一直线 平行。 平行。
试判断直线AB是否平行于定平面 试判断直线 是否平行于定平面
g′
f′
f
g
结论：直线AB不平行于定平面 结论：
点作直线MN平行于平面 平行于平面ABC。 [例2] 过M点作直线 点作直线 平行于平面 。
2 ● h(f)
●
作图 ① 求交线 ② 判别可见性
c
b
n● d(e) ( )
1
点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在 上 FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在 在前， 上 可见。 后，故m c 可见。
并判别可见性。 例4 求两平面的交线 MN并判别可见性。 并判别可见性
b′ ′ f′ a′ ′ b m● a d