无理不等式的解法

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不等式的解法举例

x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式无理不等式
整式不等式分式不等式
一次二次
高次
初等超越不等式
指数不等式对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式无理不等式
整式不等式分式不等式
一次二次
高次
初等超越不等式
指数不等式对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围；不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x

高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析

高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。

本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。

难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。

一、高次不等式1．概念：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0（其中x1, x2, ……,x n是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。

2．解题思路：作出相应函数的图象草图。

具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。

然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。

3．例题：例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。

解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。

所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。

(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。

作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。

注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。

例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。

分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。

不等式的解法

复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。

复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。

（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。

2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。

易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。

如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。

3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。

4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。

<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。

5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。

<2>形如的基本解法：分段讨论；<ii>数形结合。

6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。

易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。

解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。

无理不等式的简捷解法

无理不等式的简捷解法
马公正
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1995(000)006
【摘要】无理不等式（g（x））1/2>Q（x）或（g（x））
1/2<Q（x）的解法,一般是转化为有理不等式求解,在这转化中,首先应考虑偶次根号下,x的允许值范围,又要考虑两端为正时,方可施行平方运算,进而需要分类讨论,因而步骤冗长,进程缓慢,学生总难得到完整解答,若能灵活应用函数,方程
【总页数】3页(P29-30,11)
【作者】马公正
【作者单位】重庆市北碚区实验中学 630700
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.一类无理不等式的换元解法 [J], 张建群
2.无理方程的几种简捷解法 [J], 刘寿康;
3.几类无理方程的简捷解法 [J], 王耀富
4.无理方程DE几种简捷解法 [J], 王守翰
5.几类无理方程的简捷解法 [J], 王耀富
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高一数学必修不等式第三讲简单的高次、分式和无理不等式

例 1. 不等式2x－＋x4 > 0 的解集是________．
易错提醒：把未知数前面的系数变为正值的时候不等号方向要改变．
例 2．已知 a，b，m 都是正数，并且 a < b，求证： a m a bm b
【解析】
证明： a m a b(a m) a(b m) m(b a)
特殊的高次不等式的解法
根轴法（零点分段法，穿针引线法）步骤： ① 不等式化为 ( x x1 )( x x2 )...(x xn ) 0( 0) 形式，并将各因式 x 的系数化“+”；（为了统一方便） ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；
典题剖析
题型一：分式不等式的解法
A．x|
34≤x≤2
B．x|
34≤x＜2
）
C．x|
x≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
例 4． 3 7
题型三：简单的无理不等式的解法
2 5 （填大于、等于或小于）
思路点拨：简单的无理不等式的解题关键是有理化．
技巧传播
陷阱规避
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
A．x|
34≤x≤2
Bx≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
简单的高次、分式和无理不等式
知识要点
分式不等式的解法
解分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ）的形式，
g( x)
g( x)
转化为：
f (x)g(x) g(x) 0
0
（或
f (x)g(x) g(x) 0
0
），即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式

无理方程怎么解教师巧用柯西不等式速解高中数学双根式方程

无理方程怎么解教师巧用柯西不等式速解高中数学双根式方程无理方程一般指含有无理数的方程，其中最常见的是双根式方程。

双根式方程是指方程的解可以表示为两个无理数的有理运算。

解决双根式方程的一种有效方法是巧用柯西不等式。

柯西不等式是数学中常用于解决无理不等式的方法之一，也适用于双根式方程的求解。

以下是如何巧用柯西不等式解决高中数学双根式方程的步骤：1.确定方程的形式：双根式方程一般可以写成√a+√b=c，其中a、b、c是已知的实数。

2.假设方程的解为x=√p+√q，其中p和q是要确定的实数。

3. 平方等式：将x = √p + √q 的两边平方，得到x² = (√p +√q)² = p + 2√pq + q。

4. 根据双根式方程的形式，将√a + √b = c 代入x² = p +2√pq + q，得到x² = a + 2√(ab) + b。

5.根据柯西不等式，对于任意两个实数p和q，有(p+q)²≤(1²+1²)(p²+q²)，即p+q≤√(2(p²+q²))。

6. 将x² = a + 2√(ab) + b 的两边应用柯西不等式，得到x² ≤a + 2√(2ab) + b，即x ≤ √(a + 2√(2ab) + b)。

7. 比较 x 和√(a + 2√(2ab) + b) 的形式，可以推断出 x 的取值范围为0 ≤ x ≤ √(a + 2√(2ab) + b)。

8. 根据x = √p + √q 的定义，可以得出√p ≥ 0，√q ≥ 0。

同时结合第7步的结论，可以推断出√(a + 2√(2ab) + b) ≥ 0。

9. 根据第8步的结论，可以得出a + 2√(2ab) + b ≥ 0。

10. 根据第9步的结论，可以将x² = a + 2√(ab) + b 改写为x² - (a + 2√(ab) + b) = 0。

无理方程怎么解？教师：巧用柯西不等式速解高中数学双根式方程

无理方程怎么解？教师：巧用柯西不等式速解高中数学
双根式方程
无理方程是指定义域内解不存在的方程组成的类，没有定义的实数解。

柯西不等式是一种有效解决无理方程的方法，也称为解析不等式。

其基本
思想是将表达式x未知变量分开，将两边分解成多个清晰的子问题，从而
解出无理方程。

要求解高中数学双根式方程，可以使用柯西不等式的技巧。

首先，将
双根式方程写成ax^2+bx+c = 0的形式，其中a、b、c是实数；若b^2-
4ac>0,则有二根，此时可以将双根式方程拆成ax^2+bx+c = 0和
ax^2+bx-c = 0两个不等式，并分别解出它们的根。

若b^2-4ac=0,则有一根，此时可以将双根式方程拆成ax^2+bx+c = 0和ax^2+bx+c≥0两个不
等式，并分别解出它们的根。

最后，由于无理方程没有定义的实数解，要
想得出有理方程的实数解，可以在双根式方程结果中进行限制条件排除，
确定有理解。

总之，运用柯西不等式解高中数学双根式方程，步骤如下：首先将双
根式方程写成ax^2+bx+c = 0的形式；其次，根据b^2-4ac的值，将双根
式方程拆分成不等式，并分别解出它们的根；最后，在双根式方程的解中
进行限制条件排除，得出有理解。

绝对值不等式和无理不等式-高中数学专题

绝对值不等式和无理不等式知识精要：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;一．基本解法与思想无理不等式解法：例1. 解无理不等式：(1)1-x >2; (2) 1-x >2x －4; (3) 1+x <2x +1.分析：(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎩⎨⎧>-≥-4101x x .(2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.解答： (1)化原不等式为:5514101>⇒⎩⎨⎧>≥⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x .(2)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(042012x x x x x x 或 817171218171722101717422+≤≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或. (3)化原不等式为两个不等式组:0034211)12(10120122>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≥-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+≥+x x x x x x x x x . 【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力. 绝对值不等式：解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

无理不等式的解法

⊙ 1 2
4 3
⊙
●
3
所以，原不等式的解集为
x | x 3
根式不等式的解法-------类型（1）
f ( x) g ( x)

f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) 0 f ( x) g ( x)
g(x) 0 f ( x) 0 或 2 f(x) [g(x)] g ( x) 0
根式不等式的解法------例3 解不等式 x 27 2x 3 0 解：原不等式可化为 x 27 2x 3
根据根式的意义及不等式的性质，得 x 27 0 2x 3 0 x 2 7 ( x 3) 2 解这个不等式组，得
小结：
1. 2. 3. 4.
f ( x) g ( x)

f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0 (1) f ( x) g( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 (2) f ( x) g( x) 0 或f ( x) 0 f ( x) 0
解这个不等式组（1），得

3 3 ● ● x | x 27 x | x x | 2 x 9 x | x 9 3 27 2 9 2 2 2
解这个不等式组（2），得

3 3 x | x 27 x | x x | 27 x 2 ●
无理不等式的解法

无理不等式的解法课件

答案解析
要点一
解析2
首先移项，然后两边平方，化简后求解。
要点二
解法
将原不等式变形为$\sqrt{3}x + \sqrt{2} - 2x - 1 > 0$，即$(\sqrt{3} - 2)x > - \sqrt{2} + 1$，两边平方得 $(\sqrt{3} - 2)^{2}x^{2} > (- \sqrt{2} + 1)^{2}$，化简得$(5 - 2\sqrt{6})x > - (5 - 2\sqrt{6})$，解得$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，即$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，所以原不等式的解集为$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$。
易错点分析
忽略根式非负性的限制
在解无理不等式时，学生容易忽略根式非负性的限制，导致解题错误。
忽视不等式的解集
在解无理不等式时，学生容易忽视不等式的解集，导致解题错误。
对绝对值的理解不准确
在将根式转化为绝对值时，学生容易对绝对值的意义理解不准确，导致解题错误。
对负数开平方的错误认识
学生容易认为负数不能开平方，从而在解无理不等式时出现错误。
中等难度无理不等式例题
总结词
掌握中等难度的无理不等式解题技巧，提高解题能力。
详细描述
通过几个中等难度的无理不等式例题，讲解如何利用平方差公式、不等式的基本性质等技巧解题，并注重解题思路和方法的讲解。
高难度无理不等式例题
总结词
深入探究高难度无理不等式的解法，拓展解题思路。

无理不等式的解法

无理不等式的解法河南省三门峡市卢氏一高高三数学组（472200）赵建文 Emial:zhaojw1968@ 无理不等式是一类常用的重要不等式，解无理不等式是不等式性质的一个重要应用，但课本上没有系统将无理不等式的解法，为了同学们更好的掌握无理不等式的解法，本文以高中阶段常遇到的二次根式型无理不等式为例，将无理不等式的解法作以介绍，供同学们学习时参考.一、乘方法例1 解下列不等式（22x -，（3）2x +分析：本题是二次根式不等式问题，用乘方法.解析：（1）原不等式等价于22321210x x x x ⎧-->-+⎨-+≥⎩，解得x ＜2-， ∴原不等式的解集为{x |x ＜2-}.（2）原不等式等价于2234(2)20x x x x ⎧+-≥-⎨-≥⎩或234020x x x ⎧+-≥⎨-<⎩，解得x ≤4-或x ≥2， ∴原不等式的解集为{x |x ≤4-或x ≥2}.(3)原不等式等价于22040(2)4x x x x⎧+≥⎪-≥⎨⎪+≥-⎩，解得0≤x ≤4，∴原不等式的解集为{x |0≤x ≤4}.点评：解无理不等式的实质就是将其化为有理不等式，化为有理不等式的关键就是去根号，去根号的策略之一是乘方，使用乘方法解无理不等式时，若要在不等式两边乘偶次方的时应注意：（1）不等式的偶次乘方是有条件的，即两边都必须为非负，故在乘方前必须考虑不等式两边必须非负这一条件，若含根式的为小的一端，则大的一端必须为非负；若含根式为大的一端，则需要分类讨论，当小的一端为非负时，才能乘方，当小的一端为负值时，是根式有意义和小的一端为负数的未知数的取值范围就是不等的解，此时不必乘方.（2）根号下部分必须有意义，即必须为非负值，故常将无理不等式化为有理不等式组解.对常见二次根式不等式，常见类型为下面三类，按如下同解变形原理求解:(1)＞⇔()0()()g x f x g x ≥⎧⎨>⎩,(2)＞()g x ⇔2()0()[()]g x f x g x ≥⎧⎨>⎩或()0()0f x g x ≥⎧⎨<⎩,(3)()f x⇔2()0()0[()]()f x g x f x g x ⎧>⎪≥⎨⎪>⎩.二、图像法例22x -.分析：本题是二次根式不等式，可用图像法.解析：在同一坐标系中作出y=和y =2x -的图像，由图像知4-≤x ＜1x 时原不等2x -得1x =5，∴原不等式的解集为{x |4-≤x ＜5｝.点评：对无理不等式，若两边式子简单且对应的函数图像易作出，则可以用图像法，在同一坐标系中作出两边对应的函数图像，通过观察图像找出不等式的解集，在找区间端点时，可通过解对应的方程解得.本题也可以用乘方法，但计算量较大，图像法直观明了，简化计算.三、补集法例3＞3x -.＞()g x()g x解集的补集，而≤()g x 解法简单，故可用补集法.有意义的解集为全集I,则I=[3,)-+∞≤3x -的解集为A3x -等价于230303(3)x x x x ⎧+≥⎪-≥⎨⎪+≤-⎩，解得A={x |x ≥6}， ∴原不等式的解集为{x |3-≤x ＜6｝.点评：()g x 问题，()g x 解集关x()g x 解法简单，故可用补集法.四、换元法例44x -..t ，则t ≥0，4x -=26t -，原不等式可化为206t t t ≥⎧⎨>-⎩，解得0≤t ＜3，即03，解得2-≤x ＜7，∴原不等式的解集为{x |2-≤x ＜7｝.点评：对易化为关于某根式的不等式问题，可用换元法，设这个根式为t ，将原不等式化为关于t 的不等式组问题，先解出t 的范围，即根式的取值范围，再用乘方法解出x 的取值范围，注意新变量t 的取值范围不能忘记.。

高中数学不等式与不等式组的解法

高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式主要问题包括：大小比较(方法有作差法，作商法，图象法，函数性质法);证明题(比较法，反证法，换元法，综合法…);恒成立问题(判别式法，分离参数法…)等，下面是店铺为大家精心推荐不等式与不等式组的解法，希望能够对您有所帮助。

不等式与不等式组的数轴穿根解法数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。

做法：1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的);2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根;3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍);4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。

例如不等式:x2-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的)⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;⒊画数轴,并把根所在的点标上去;⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸;⒌看题求解,题中要求求≤0的解，那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：1≤x≤2。

高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式：x(x+2)(x-1)(x-3)>0一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根x=0，x=1，x=-2，x=3在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1;继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2;继续向点-2的左上方无限延伸。

高三数学一轮复习——不等式的解法3

2 2
1 • x 2 • (5 − x 2 ) < 1 4
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{
(5 − x ) x > 0
2 2
等价吗？等价吗？
{x
1 2 2 • x • (5 − x ) < 1 4
{
5 − x2 > 0
2 2 2
且
x≠0
( x ) − 5x + 4 > 0
− 5<x<0
2
{ x < −2
∴ 数轴
− 5< x<0
t > 8或 t < −
5
x +1
+ 256 < 5 • (2 )
所以原不等式的解集为：
{x
x > 2}
(舍去)
2 x +1 > 8 = 23
x +1 > 3
∴
x>2
想一想，你能不能解出来？
例4:解不等式：
1 log 1 (5 − x ) + log 2 2 + 2 > 0 x 2
2
或
1 log 2 5 − x2
log a x − 1 > 3 − log a x
解:
（a>0,且a≠1) 且
{ {
原不等式等价于:
3 − loga x ≥ 0
或
log a x − 1 > (3 − log a x) 2 ∴ log a x > 2 2 3 − log x < 0 即: log a x > log a a
∴2 < log a
不等式的解法3 不等式的解法
无理不等式，指数、对数无理不等式，指数、不等式的解法

无理不等式的解法

无理不等式的解法无理不等式是根号内含有未知数的不等式。

无理不等式的基本形式如下：（1）)()(xgxf>（2）)()(xgxf<（3）)()(xgxf>（4）)()(xgxf<无理不等式的解法过程中我们利用如下思想方法：（1）转化与化归思想方法转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法。

数学中一切问题的解决都离不开转化与化归。

转化与化归思想的原则是将不熟悉和难解的问题转化为熟悉的易解的或已经解决过的问题；将一般性问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。

无理不等式一般转化为有理不等式（组）来解。

（1）)()(xgxf>⇒或（2）)()(xgxf<⇒（3）)()(x g x f >⇒（4）)()(x g x f <⇒（2）数形结合思想方法数与形是数学中两个基本的概念，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题，三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。

不仅是一种重要的方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要的地位。

数形结合的主要途径：（1）形转化为数。

即用代数方法研究几何问题。

（2）数转化为形。

即根据给出“数式”的机构特点，构造出与相应的几何图形，用几何方法解决代数问题。

（3）数形结合。

即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观，简单，思路易寻。

数形结合处理不等式问题即从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，从图形上找出解题的思路。

运用数形结合的思想解不等式题主要有以下几个步聚；（1）转化：即将代数式转化为几何式。

（2）构造：即构造图形或函数。

以下是用实际例题来解释具体方法。

例1. 解不等式152+>+x x 。

分析：原不等式的解集等介于不等式组或的解集。

解得21<≤-x解得125-<≤-x 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-225|x x设521+=x y ，12+=x y可知521+=x y 表示一个顶点在)0,25(-，以x 轴为对称轴的，开口向右的抛物线的上半部分。

根式不等式的解法

祝同学们学习愉快！
所以，原不等式的解集为
2 ●
27
2 3
2
3 3 x | 27 x x | x 9 2 2
x | 27 x 9
根式不等式的解法-------类型（2）
f ( x) g ( x)

f ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 或 g ( x) 0 2 f ( x) [ g ( x)]
x | x 27 x | x 3 x | x 2或x 9
x | x 9
-2

2
-27
3/2
9
根式不等式的解法-------类型（3）
f ( x) g ( x)

f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x ) [ g ( x )]2
x | x 1或x 3
● -3
-2
● 1
根式不等式的解法-------类型（4）
(1) f ( x) g ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0
(2) f ( x) g( x) 0
f ( x) 0 或f ( x) 0 g ( x) 0
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 或 f ( x) [ g ( x)]2 g ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x ) [ g ( x )]2
3x 4 x 3 0 解：原不等式可化为 3x 4 x 3

无理不等式解法乐乐课堂

无理不等式解法乐乐课堂(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则;;特别注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等同于、大于零展开探讨回去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

(3).所含多个绝对值符号的不等式需用“按零点分后区间探讨”的方法能解。

(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的数学分析：分别谋出来不等式组中，每个不等式的边值问题，然后谋其关连，即为就是这个不等式组的边值问题，在求交分散，通常把每个不等式的边值问题图画在同一条数轴上，挑它们的公共部分。

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端秦九韶一个不含参数的式子时，则须要探讨这个式子的也已、正数、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在求解所含字母的一元二次不等式时，须要考量适当的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时必须分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数，必须探讨1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化成ax>b或axb而言，当a>0时，其边值问题为(ab，+∞)，当a<0时，其边值问题为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集是r，当a=0，b≥0时，其边值问题为空集。

例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x求解：原不等式化成(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其边值问题为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其边值问题为r.任何一个一元二次不等式都可化为ax?2+bx+c>0或ax?2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

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