割补法和分割法优选稿
技法(五) 蹊径可辟 分割补形
2BG·BE·cos
135°＝5a2，所以cos∠EB1G＝
B1G2＋B1E2－GE2 2B1G·B1E
＝
1300，故B1E与A1F所成角的余弦值为 1300.
答案：
30 10
技法( 五) 蹊径可辟 分割补形
技法( 五) 蹊径可辟 分割补形
4．棱长为a的正四面体的内切球的体积为________．
解析：设内切球的半径为r，正四面体每个面的面积为12×a×a×
球的体积为43π× 126a3＝2166πa3. 答案：2166πa3
技法( 五) 蹊径可辟 分割补形
技法( 五) 蹊径可辟 分割补形 技法( 五) 蹊径可辟 分割补形
即x2＝
3 2＋
3 ＝3(2－
3
)．所以小区的面积为
1 2
×1×
3
＋
1 2
×
3(2－
3)×12＝2
3＋6－3 4
3＝6－4
3(km2)．
[答案] D
技法( 五) 蹊径可辟 分割补形
技法( 五) 蹊径可辟 分割补形
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已
知四边形ABCD是边长为1的正方形，且
△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥
即球半径R＝6，所以球的表面积S＝4πR2＝144π. [答案] 144π
技法( 五) 蹊径可辟 分割补形
技法( 五) 蹊径可辟 分割补形
[应用体验]
1.(2019·武汉 4 月调研)如图，在棱长为 1 的正
方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 CD 中点，
则四面体 A-BC1M 的体积为
技法( 五) 蹊径可辟 分割补形
2.如图，已知多面体 ABCDEFG，AB，AC，
小学五年级数学《组合图形面积的计算》优秀教案三篇
小学五年级数学《组合图形面积的计算》优秀教案三篇组合图形面积的计算是平面图形知识在小学阶段的综合应用。
计算一个组合图形的面积，有时可以有多种方法，下面就是我给大家带来的小学五年级数学《组合图形面积的计算》优秀教案三篇，希望能帮助到大家!小学五年级数学《组合图形面积的计算》优秀教案一教学目标：1、知道求组合图形的面积就是求几个图形面积的和(或差);能正确地进行组合图形面积计算，并能灵活思考解决实际问题。
2、注重对组合图形的分析方法与计算技巧，有利于提高学生的识图能力、分析综合能力与空间想象能力。
教学方法：讲解法、演示法教学过程：一、割补法这类方法一般是从组合图形中分割成几种不同的基本图形，这类图形的阴影部分面积就是求几个基本图形面积之和(或者差)。
Ppt演示变化过程，并出示解题过程。
二、等积变形法。
这类方法是将题中的条件或问题替换成面积相等的另外的条件或问题，使原来复杂的图形变为简单明了的图形。
Ppt演示变化过程，并出示解题过程。
三、旋转法。
这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图。
Ppt演示变化过程，并出示解题过程。
四、小结方法求组合图形面积可按以下步骤进行1、弄清组合图形所求的是哪些部分的面积。
2、根据图中条件联想各种简单图形的特征，看组合图形可以分成几块什么样的图形，能否通过割补、等积变形、旋转等方法使图形化繁为简。
小学五年级数学《组合图形面积的计算》优秀教案二教学内容：《义务教育课程标准实验教科书数学》(人教版)五年级上册“组合图形的面积”教学目标：1、明确组合图形的意义，掌握用分解法或添补法求组合图形的面积。
2、能根据各种组合图形的条件，有效地选择计算方法并进行正确的解答。
3、渗透转化的教学思想，提高学生运用新知识解决实际问题的能力，在自主探索活动中培养他们的创新精神。
教学重点：在探索活动中，理解组合图形面积计算的多种方法，会利用正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些平面图形面积来求组合图形的面积。
梯形面积公式的四种推导方法
梯形面积公式的四种推导方法一、引言梯形是一个只有两对平行边的四边形，其中上底和下底是平行的，而两腰不平行。
梯形的面积公式为（上底+下底）*高/2。
本篇文档将详细介绍如何通过不同的方式推导出这个公式。
二、平行线分割法首先，我们可以将梯形分割成两个三角形。
假设上底长为a，下底长为b，高为h，那么这两个三角形的面积分别为1/2ah和1/2bh。
因此，梯形的总面积就是这两个三角形的面积之和，即1/2ah + 1/2bh = (1/2)(a+b)h，这就是梯形面积公式。
三、矩形与三角形组合法另一种方法是将梯形视为一个矩形和两个等高的三角形的组合。
假设矩形的宽为(a-b)/2，那么矩形的面积就是((a-b)/2)*h。
另外两个等高的三角形的面积分别为1/2ah和1/2bh。
所以，梯形的总面积就是这三个图形的面积之和，即((a-b)/2)*h + 1/2ah + 1/2bh = (1/2)(a+b)h。
四、割补法第三种方法是利用割补法。
我们可以在梯形中画一条平行于上底和下底的线，将其分割成一个矩形和两个等高的三角形。
假设这条线离上底的距离为x，则矩形的宽为x，面积为xh；两个等高的三角形的面积分别为1/2( a-x)h 和1/2(b-x)h。
所以，梯形的总面积就是这三个图形的面积之和，即xh + 1/2( a-x)h + 1/2(b-x)h = (1/2)(a+b)h。
五、相似三角形法最后一种方法是利用相似三角形的性质。
我们可以发现，梯形中的任意一个小三角形都与整个梯形是相似的。
因此，它们的面积比等于对应的边长的平方比。
设小三角形的面积为S，那么有S/h^2=(a+b)/2h。
解得S=1/2(a+b)h，这就是梯形的面积。
六、结论以上就是推导梯形面积公式的四种方法，分别是平行线分割法、矩形与三角形组合法、割补法以及相似三角形法。
每种方法都有其独特的思路和应用场景，希望读者能从中受益，更深入地理解和掌握梯形面积的计算方法。
学生论文割补法运用
割补法解题思想的运用初一（2）班 柯登明数学就像风，无处不有，充塞四虚。
小学老师有向我介绍过割补法和分割法，我对她也十分感兴趣。
割补法和分割法用于几何题之中。
割补法就是把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答；分割法就是同样把图形切开，但是并不移动，使题目便于解答。
其实，在现实生活中，许多东西都是有图案的，一些不规则的图案，就是的我们深思熟虑。
最近又遇到了诸如此类的东西，我也稍有回忆——如果我问你长方形的面积该怎样计算时，恐怕你会很干脆地说出“用‘长方形面积＝长×宽’求出来呀。
”没错，你回答得很好。
好，下面请看这道题：某学校有一个长方形操场，它的长和宽相加的和是200米，现在学校要扩建这个操场，使得它的长和宽都增加20米。
那么，这个操场的面积将会增加多少平方米？初看这道题，你会觉得这道题不太难。
可是，当你提笔解答时，就会感觉有点不对劲：“要求长方形的面积，必须知道它的长和宽是多少，而现在知道的是长与宽的和，这该怎么做呢？”别急，遇到困难时，好好动脑筋想一想，准能想出好办法的。
你学过组合图形面积计算的方法吗？常用的“割、补、拼、凑”的方法你用过吗？那好，请看图1，图中长方形S 表示原操场的面积，S1、S2、S3分别表示增加的三个长方形面积，由图可知增加的面积为S1＋S2＋S3，如果我们用割补的方法把图1变为图 2，这时，你会发现什么呢？原来，增加的面积就是这个新长方形的面积，它的长是200＋20＝220（米），宽是20米，则增加的面积是4400平方米原来，增加的面积的大小与长和宽各是多少无关，而只与长加宽的和有关，这是为什么呢？请爱动脑筋的同学继续往下看。
假设原操场的长为a ，宽为b ，则扩大后操场的长为（a ＋20）米，宽为（b ＋20）米 原面积：S 原＝ab现面积：S 现＝（a ＋20）（b ＋20）增加的面积：图1图2S增＝S现－S原＝（a＋20）（b＋20）－ab＝ab＋20a＋20b＋400－ab＝20（a＋b）＋400＝20×200＋400＝4400（平方米）其实以上这种方法可以理解成“割”、“补”——把增加后的面积看成一个整体，原操场面积就是被割部分，增加的面积就是所求内容；倘若把原操场面积看做一个整体，那么，增加后的面积还可以分为三个整体，就是以上方法。
五年级几何奥数专题之第三讲 割补法(含答案)
五年级几何奥数专题之第三讲割补法（含答案）一、知识点1、割补法分割法是将几何体分割成若干部分，利用整体与部分的关系来解决所求问题。
2、分割成规则图形在组合图形中，除了多边形外，还有圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
二、学习目标1、我能够了解割补法。
2、我能够应用割补法解决图形面积问题。
三、典型例题例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。
练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。
如图所示，在正方形ABDC内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABDC的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米，求长方形EFGH的面积。
练习2（1）如图所示，在正方形ABCD内部有三角形CEF，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AF都等于2厘米，求三角形CEF的面积。
（2）如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长6厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
如图所示，大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米。
连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点。
已知左图中阴影部分的面积是48平方分米，请问：右图中阴影部分的面积是多少平方分米？如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和3×3的方格表，左图阴影部分的面积是162，请问右图中阴影部分的面积是多少？选讲题※求下图中四边形ABCD的面积（单位：厘米）。
图形割补活动材料
图形割补活动材料班级 姓名如图1，在ABC △和DEF △中，90A D ==∠∠，3AB DE ==，24AC DF ==． （1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ （2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC △分割成的两个三角形与DEF △分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．1、已知，如图甲Rt ΔABC 的两条直角边长分别为2，4，如图乙正方形DEFG 的边长为4，请设计两种不同的分法，将图甲、图乙分别分割成三个小三角形，使得图甲、图乙中的三个小三角形分别对应相似（画图工具不限，不要求写出画法，只需标上字母，并写出对应的相似三角形）图甲 图乙2、下列三角形纸片，能沿直线剪一刀得到等腰梯形的是（ ）50 70A ．50 80B ．50100C．50 D ．图1 E F3、例1、如图，把一个正方形割去四分之一，将如下的部分分成3个相同的部分（图甲）；将如下的部分分成4个相同的部分（图乙）。
仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分，（1）分成3个相同的部分（在图1中画出示意图）；（2）分成4个相同的部分（在图2中画出示意图）。
你还能利用所得的4个相同的部分拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致的示意图。
(图甲)(图乙)图 1图 2练习：1、如图，在△ABC中，∠A=110°，∠B=35°，请你应用变换的方法得到一个三角形使它与△ABC全等，且要求得到的三角形与原△ABC组成一个四边形。
(1)要求用两种变换方法解决上述问题；（写出变换名称，画出图形即可）(2)指出四边形是什么图形？（不要求证明）说明：如用两种平移变换方法解决此题算一种变换；两种变换是指平移，旋转等不同变换。
系中，直线y＝233kx＋m（－12≤k≤12）12、在平面直角坐标经过点A（23，4），且与y轴相交于点C．点B在y轴上，O为坐标原点，且OB＝OA ＋7－2 7．记△ABC的面积为S．（1）求m的取值范围；（2）求S关于m的函数关系式；（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到△AB′C，求点B′的坐标．30、（本小题满分8分）已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点．．P．第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点．．P．第一次回到原来的起始位置.A BCDPE14．一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是3、1、1，那么这个大长方体的表面积可能有 种不同的值，其中最小值为 .（2）若k =2，则n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置；若k =3，则 n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （3）请你猜测：使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置的n 值与k 之间的关系（请用含k 的代数式表示n ）.23.（10分）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形。
利用“分割法和填补法”计算多边形的面积PPT课件
340 + 70 + 70
A B
C 6cm = 480 cm2
6cm
10cm
10cm
14cm
下一題
填補法
大長方形的面積 : 34 x 24
=
梯形 P 的面積 : (10+14)x72 =
梯形 P, Q, R 和 S 的面積之和 : 84 x 4
=
7cm 10cm 7cm
816 cm2 84 cm2 336 cm2
3cm 3cm 4cm
分割法
4cm
2cm 3cm
填補法
請選擇那一種分割法
分割法一
分割法二
3cm 3cm 4cm
3cm 3cm 4cm
4cm 2cm 3cm
4cm 2cm 3cm
分割法一
長方形 A 的面積 : 4 x 3 = 12 cm2 長方形 B 的面積 : 6 x 2 = 12 cm2 長方形 C 的面積 : 10 x 3 = 30 cm2
填補法
填補法
大梯形的面積 : 梯形 A 的面積 :
(29 + 37) x 18 = 594 cm2
2
(8 + 12) x 9 2 = 90
cm2
12cm
12cm 5cm
A
8cm
9cm
全圖面積 :
594 - 90
= 504 cm2
37cm
下一題
18cm
請選擇以甚麼方法去計算左 圖的面積
7cm 10cm 7cm 14cm
長方形 D 的面積 : 4 x 3
= 12 cm2
長方形 E 的面積 : 6 x 4
= 24 cm2
3cm
巧割善补 灵活解题———割补法在职高物理教学中的应用例析
巧割善补灵活解题———割补法在职高物理教学中的应用例析摘要：本文以几个物理习题为例，从四个不同方面探讨了割补法在物理学中的应用，进而深化割补转化思想在物理解题过程中的应用，为解决物理学问题提供捷径。
关键词：割补法；割补意识；例析；物理模型；转化思想割补法是物理学中重要的解题方法，它的核心是变复杂为简单，变不规则为规则，即将复杂或不规则的图形，通过分割或补形变成规则的图形，从而避开繁琐的数学运算，使物理过程、意义更加清晰。
割补法在学习中多次出现，作为重要的物理学方法，我们应该掌握它的应用。
下面，笔者通过几个典型例子来谈谈割补法在物理学中的应用，以供读者参考。
例1.两个半球壳拼成的球形容器内部已抽成真空，球形容器的半径为R，大气压强为P。
为使两个半球壳沿图1中箭头方向互相分离，应该施加的力F至少为( )A . 4πR2P B. 2πR2PC.πR2PD.πR2P/2分析：本题取材于著名的“马德堡半球实验”，作用在半球壳上的力有拉力F和大气的压力F＇，刚能使半球壳分离须F＝F＇。
问题是如何计算大气对半球壳的压力F＇。
最典型的错解是选B，即F＝2πR2P。
这是用大气压强直接乘以半球壳的表面积所得结果．因为半球壳各部分受力均指向球心(方向不同)，不可以把球面各部分受到的压力直接相加，而必须按照力的平行四边形定则进行合成。
我们可以构建割补法模型来求解。
解答：将半球壳“取出”，再补上一个底面，如图2所示，显然，大气对此半球壳的压力为零，因此，大气对半球面的压力F＇与对底面的压力F＂必然等大反向，而F＂＝PπR２。
所以F＇＝PπR２。
根据以上分析，本题的正确答案为C。
点评：题目设计虽取自教材实验，但是它又进行了适当的拓展，如果采取常规的方法来解，可能无法下手，特别是大气对半球面压力的具体分析，而采取割补法则解决了这一难题，体现出割补法在解答物理问题上的灵活性。
例2.半径为R的均匀球内切去一个半径为R/2的小球后，质量为M，如图3已知两球内切，在两球心O1、O2的连线上距O1为2R处的质量为m的质点P受到的引力多大？分析：这是一个残缺的模型，球壳对P处质点的引力不能直接应用万有引力定律求解，但是如果将切去的部分填补上去，使其变成一个完整的均匀球体，一个均匀的球体与一个质点间的引力即可应用万有引力定律直接计算。
2020年高考物理电学十大方法精讲 方法01割补法(含解析)
方法01 割补法对某些物理问题，当待求的量A直接去解很困难或没有条件解时，可设法补上一个量B，割补的原理是使(A+B)成为一个完整的模型，从而使(A+B)变得易于求解，补上去的B也必须容易求解，那样，待求的量A 便可从两者的差值获得，问题就迎刃而解.这就是解物理题时常用的“割补法”.割补法本来是非对称性的物体，通过割补后构成对称性物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解.【调研1】如图所示，阴影区域是质量M半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心O′和大球心间的距离是2R,求球体剩余部分对球体外与球心O距离为2R、质量为m 的质点P的引力.解析：万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能看作质点来处理的，故可用割补法将挖去的球补上.将挖去的球补上,则完整的大球对球外质点P的引力为：F1=2(2)GMmR=24GMmR，半径为2R的小球的质量：M ' =43π(2R)3×ρ=π(2R)3×34()3MR=18M补上的小球对质点P的引力F2=2'5()2GM mR=24'25G M mR=250GMmR因而挖去小球的阴影对质点P的引力为：F=F1-F2=24GMmR-250GMmR=223100GMmR【调研2】如图所示，把金属丝AB弯成半径r=1m的圆弧，但在AB之间留出宽度为d=2cm、相对来说很小的间隙，将电荷量Q=3.13×10-9C的正电荷均匀分布在金属丝上，求圆心O处的电场强度.解析：中学物理中只讲点电荷场强及匀强电场的计算方法，一个不规则带电体（如本题的缺口的带点环）所产生的场强，没有现成的公式可用.但可以这样想：将圆弧的缺口补上，并且它的电荷密度与缺口的环体原有电荷密度是一样的，这样就形成了一个电荷均匀分布的完整的带电环，环上OdA B处于同一直径两端的微小部分可看作两个相应的点电荷，它们产生的电场在圆心O 处叠加后场强是零，根据对称性可知，带电圆环在圆心O 处的总场强是零.至于补上的带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆心O 处的场强为E 1是可求的，若题中待求场强为E 2，则由E 1+E 2 =0，便可求得E 2. 设原缺口环所带电荷的线密度为σ，σ=2Q r dπ-，则补上的金属小段带电量Q’=σd ，它在O 处的场强为E 1=k2'Q r= k2(2)Qd r d r π-，代入数据得E 1=9×10-2N/C. 设待求的场强为E 2，由E 1+E 2=0可得E 2=-E 1=-9×10-2N/C ，负号表示E 2与E 1方向相反，即E 2的方向向右，指向缺口.【调研3】静电学理论指出，对于真空区域，只要不改变该区域内的电荷分布及区域边界的电势分布，此区域内的电场分布就不会发生改变。
文科立体几何中的割补法教学 2019年精选文档
文科立体几何中的“割补法”教学立体几何是高中数学知识体系的重要知识模块之一，它也是历年高考必考的重点内容，且题型、难度与分值比例长期保持相对稳定，主要是集中考查空间位置关系的形化和量化，尤其是文科的教学中更关注空间中平行与垂直的关系。
但在教学实践中，我发现文科学生对垂直的证明，如线线垂直、线面垂直的证明或一些相关的计算题，如一类三棱锥的外接球的表面积、体积的计算往往不尽如人意，常常在这方面失分。
那么，如何更好掌握相关知识呢？结合教学实际，我提倡使用“割补法”，即以正方体或长方体为载体，在其中“裁剪”，找出合适的线线、线面、面面位置关系加以研究。
一、从“形”上割补1.割。
正方体是空间各种位置关系的“集合体”，通常可以通过将不规则或者特殊图形切割，构造为正方体关系，由此将题目难度降低。
例1（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（B）（A）372（B）360（C）292（D）280分析：由三视图可知该几何体是两个叠加的长方体，只需割成两个长方体即可，要注意其长宽高。
．例2（2010福建）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。
过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。
（2）设AB=2AA1=2a。
在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p。
当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。
分析：第（2）问是借考几何概形来考察几何体的体积，也即P=，而A1ABFE-D1DCGH=VABCD-A1B1C1D1-VBEF-C1HG，即把所求几何体的体积看成长方体的体积割去三棱柱的体积，而该三棱柱是倒放的。
当且仅当时等号成立所以，p的最小值等于2.补。
高考试卷中考查的立体几何图形，大多可以还原为立体几何图形，通过辅助方法，将不熟悉的图形还原为正方体关系，可找出相应题型要求。
求不规则图形面积的几种方法
求不规则图形面积的几种方法作者：白福花来源：《内蒙古教育·基教版》2012年第03期摘要：初三学习弧长及扇形的面积，在计算阴影部分的面积过程中，常遇到一些平面不规则图形的面积计算问题，对这类试题由于图形的不规则使学生在求解时往往感到茫然，不知所措；然而这类试题又能开发学生智力，能体现对数学思想方法、思维能力素质的考查，本文将结合具体实例谈谈把不规则图形的面积计算问题通过变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等方法，转化成规则图形面积的计算问题。
关键词：不规则图形面积求法一、割补法割补法是求解平面不规则图形面积问题最常用的方法之一，它包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二是粘补原有图形为规则图形；三是分割粘补兼而有之。
例1：当汽车在雨中行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。
如图1-1是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷器CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm，他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？也请你算一算雨刷CD扫过的面积 ______cm2 （π取3.14）略解，由于CD和AB在点B处固定连接（不能转动），所以在整个运动过程中，就有AC=AC′=115cm，AD=AD′=35cm，CD=CD′=80cm，因此△ACD≌△AC′D′，把△AC′D′割下，粘补到△ACD的位置（图1-2），则雨刷CD扫过的面积，就等于以A为圆心，AC、AD为半径的两个圆的面积差。
注：在应用割补法求解问题时，往往要综合应用“分割”与“粘补”两种技能方法兼用，对思维的灵活性和严密性有着较高的要求。
二、重叠法重叠法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”解决的一种方法。
中考数学复习：专题9-15 例谈求阴影部分面积的几种常见方法
例谈求阴影部分面积的几种常见方法【专题综述】在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．【方法解读】一、直接求解法例1 如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．解如图1，根据对称性可得AD＝AD1＝A1D1＝6．由已知条件易知：EC＝D1B＝4，BC＝6；Rt△FBA1∽Rt△FCE．设FC为x，则FB＝6－x．二、间接求解法例2 如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．分析这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．三、整体合并法例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和．分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．四、等积变换法例4 如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为3R，OA∥BC，求阴影部分面积．分析本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积，从而获解．解连接OC，OB，五、分割法例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．∵AC、BC是直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴A、D、B三点共线．设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．则六、转化法例6如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB ＝4cm，求阴影部分面积．分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作O E⊥AB于点E，则BE＝12AB＝2cm．设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有七、割补法例7 如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝12x与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积．分析阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单．解如图7，把右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB．易知：∵P(3a，a)在反比例函数y＝12x的图象上，∴3a＝12a．解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．连接OP，作PC⊥x轴于点C，得：八、方程建模法例8如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．根据题意得：因此阴影部分面积为．222aaπ-．【强化训练】1．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=42，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+12．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（）A．1B．12C．2D．223．（2017四川省资阳市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（）A．1312πB．34πC．43πD．2512π4．（2017衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π5. （2017云南省）如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为．6．（2017吉林省）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE，CE．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．7. （2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④32S阴影．其中正确结论的序号是．8. （2017湖北省恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=23，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）9. （2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：A M是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2017新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．。
割补法推导梯形面积
割补法推导梯形面积要推导梯形的面积，我们可以使用割补法。
首先，让我们考虑一个梯形，其上底为a，下底为b，高为h。
我们可以将这个梯形分割成n个小矩形，每个小矩形的宽度为Δx。
接下来，我们将这些小矩形的面积相加，然后取极限，即令n趋向于无穷大，得到梯形的面积。
首先，我们需要确定每个小矩形的高度。
由于梯形的两边是不平行的，我们需要找到一种方法来确定每个小矩形的高度。
我们可以使用割补法来解决这个问题。
我们将梯形的两边延长，使它们相交于一点O。
然后，我们从O 点向上作一条平行于底边的线段，与梯形的上底相交于点A。
接下来，我们将梯形的下底延长至与这条平行线相交于点B。
这样，我们得到了一个平行四边形OABD。
现在，我们可以观察到，每个小矩形的高度可以表示为梯形上底与平行四边形上底之间的距离。
记为Δh。
根据几何性质，我们可以得到Δh与Δx之间的关系，Δh = (h/AB) Δx。
现在，我们可以计算每个小矩形的面积。
小矩形的宽度为Δx，高度为Δh，因此每个小矩形的面积为ΔA = aΔh。
接下来，我们将所有小矩形的面积相加，即ΣΔA。
根据割补法，我们可以得到梯形的面积为A = lim(ΣΔA)。
当n趋向于无穷大时，ΣΔA趋向于积分∫abdx，因此梯形的面积可以表示为A =∫abdx。
最后，我们可以对上底a和下底b之间的x进行积分，得到梯形的面积公式为A = (1/2) (a + b) h。
这就是使用割补法推导梯形面积的过程。
希望我能够全面回答你的问题。
如果你还有其他问题，请随时提问。
割补法求面积总结
割补法求面积总结
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊这超有意思的割补法求面积！
咱就说啊，那求面积有时候就像打游戏过关，遇到难题了，割补法就好
比一把神奇的钥匙！比如说，有个不规则图形，歪七扭八的，看着就头疼，咋求面积呀？这时候割补法就闪亮登场啦！咱把它割成几块规则的图形，或者给它补上一块，让它变成咱熟悉的图形。
就像上次我遇到一个四边形，哎呀，那叫一个复杂！我就琢磨着，能不
能给它变一变呢？于是我就大胆地把它分割成了两个三角形和一个矩形，哇塞，瞬间感觉柳暗花明又一村啊！这不就好算多了嘛！
还有啊，有时候就像拼图一样，把那些零散的部分通过补的方式凑成完
整的形状。
好比有个图形缺了一角，咱给它补上，嘿，马上就能用熟悉的公式去计算啦！这多神奇呀！
割补法就像是一个魔法，能把那些让人头疼的面积问题变得轻松又有趣！它可不是死板的方法哦，是需要我们开动脑筋，大胆尝试的呢！想想看，当
你通过割补法成功求出一个复杂图形的面积时，那成就感，简直爆棚啊！难道不是吗？就像你解开了一道超级难的谜题，心里那个爽呀！
所以呀，大家可千万别小瞧了这割补法，它真的是我们求面积的得力小助手呢！只要我们勇于尝试，善于发现，用割补法就能轻松搞定那些看似不可能的面积问题啦！以后遇到求面积的难题，可别再犯愁咯，赶紧想起咱的割补法吧！。
二重积分割补法
二重积分割补法
二重积分割补法，也称为重积分割补法，是数学中常用的一种求解曲线下面积或曲面体积的方法。
通过将曲线或曲面分割成无数个小区域，并对每个小区域进行求和，从而得到最终的结果。
这种方法可以将复杂的曲线或曲面问题简化为求和问题，便于计算和理解。
在使用二重积分割补法时，首先需要将曲线或曲面分割成小区域。
这可以通过将整个区域分成多个小矩形或小三角形来实现。
然后，对每个小区域进行求和，即将每个小区域的面积或体积相加。
最后，将所有小区域的面积或体积相加，即可得到整个曲线下面积或曲面体积的近似值。
使用二重积分割补法时，需要注意选择合适的分割方式和求和方法，以保证结果的准确性和精度。
通常情况下，可以通过增加分割的小区域数量来提高结果的准确性。
此外，对于一些特殊的曲线或曲面，可能需要使用更复杂的分割方法或求和方法，以获得更准确的结果。
二重积分割补法在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在物理学中，可以使用二重积分割补法来计算物体的质量、重心和惯性矩等。
在经济学中，可以使用二重积分割补法来计算市场的消费总量、生产总量和收入总量等。
在工程学中，可以使用二重积分割补法来计算结构的受力和变形等。
二重积分割补法是一种重要的数学工具，可以帮助我们求解曲线下
面积或曲面体积的问题。
通过将曲线或曲面分割成小区域，并对每个小区域进行求和，可以得到近似的结果。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的分割方式和求和方法，以获得准确的结果。
割补法在学习中的体现 Microsoft PowerPoint 演示文稿
二 勾股定理
如图在四边形ABCD中,∠B=90度 AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形 ABCD的面积是多少?
A B D C
三 中位线
四 四边形面积
（2012南充 ）如图,四边形ABCD中,角BAD 等于角BCD等于90度,AB等于AD,若四边形 ABCD的面积是24平方厘米，则AC的长？
七 归纳 本节课我们有什么收获？
八 课外探究 1（2012咸宁）四边形ABCD,角A是135度，角B和 角D都是90度，边AD等于2厘米、边BC等于6厘 米，求四边形ABCD的面积？ 2（2010聊城）将一块三角板和半圆形量角器按图 中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器弧（） 对应的圆心角（∠AOB）为120°，AO的长为 4cm ，OC的长为2cm ，求图中阴影部分的面积 为多少？
F
E
解：
作AE⊥BC于点E。作AF⊥CD， 交CD的延长线于点F 则∠EAF=90° ∵∠BAD=90° ∴∠DAF=∠BAE ∵AB=AD，∠AEB=∠F=90° ∴△ABE≌△ADF ∴AE=AF，S△ABE=S△ADF ∴四边形AECF是正方形，S四边形ABCD=S正 方形AECF=24 ∴AE=2√6 ∴AC=√2AE=4√3cm
F
五 圆的有关面积
（2012烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，AB=2.将△ABC绕顶点A顺时针方向 旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则 线段题
（2012烟台）如图所示的圆面图案是用相同半径 的圆与圆弧构成的.若向圆面投掷飞镖，则飞镖 落在黑色区域的概率为 .
割补法在学习中的体现
阳谷实验中学 王宪坤
一 乘法公式 （2008聊城）在边长为a的正方形纸片中剪 去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿 虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个 图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式 是
割补法生活中的应用
割补法是一种常用的解题方法，在几何题中应用广泛，用于解决立体几何中的问题。
通过将一个空间多面体切割成小块，并在这些小块之间建立联系，以便进行计算或证明。
这种方法在许多几何问题中都有广泛的应用，如计算表面积、
体积、重心等。
在日常生活中，割补法也有一些应用。
例如，在装修房子时，可以通过切割和拼接不同形状的板材来制作出所需尺寸的壁橱、书架或桌子等家具。
在机械加工中，有时也需要使用割补法来调整或优化零件的设计，以满足加工工艺的要求。
此外，在一些手工制作或艺术创作中，割补法也可以被用来创造出特殊的艺术效果。
例如，在绘画中，艺术家可以通过割舍或补充画面的一部分来改变画面的构图和氛围；在服装设计中，设计师可以使用割补法来设计出独特的服装款式和造型。
总的来说，割补法在日常生活中的应用并不常见，但在某些领域和场景中，它仍然是一种有用的工具和方法。
割补法和分割法之欧阳文创编
割补法和分割法
什么叫做割补法和分割法？
割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。
在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。
割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。
平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。
（1）平行四边形割补后转化为长方形：
（2）梯形割补后转化为平行四边形：
分割法是指：对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。
这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。
下面两个图形就采用了分割法。
（1）
（2）
左图ABDE是一个不规则图形，用分割法可分成一个平行四边形ABDE，一个三角形BCD，把平行四边形和三角形的面积分别求出来，再把所得的结果加在一起，就是这个不规则图形的面积。
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割补法和分割法
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割补法和分割法什么叫做割补法和分割法？
割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。
在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。
割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。
平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。
（1）平行四边形割补后转化为长方形：
（2）梯形割补后转化为平行四边形：
分割法是指：对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。
这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。
下面两个图形就采用了分割法。
（1）
（2）
左图ABDE是一个不规则图形，用分割法可分成一个平行四边形ABDE，一个三角形BCD，把平行四边形和三角形的面积分别求出来，再把所得的结果加在一起，就是这个不规则图形的面积。