割补法
初中数学_割补法教案
教案：初中数学——割补法一、教学目标1. 让学生理解割补法的概念和意义，能够运用割补法解决实际问题。
2. 培养学生空间想象能力，提高解决问题的能力。
3. 培养学生合作交流意识，提高学生数学思维能力。
二、教学内容1. 割补法的定义及基本原理。
2. 割补法在实际问题中的应用。
3. 割补法与其他几何方法的对比。
三、教学重点与难点1. 割补法的理解和运用。
2. 割补法在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入割补法，让学生感受割补法在解决问题中的重要性。
2. 新课讲解：讲解割补法的定义、原理和操作步骤，让学生理解并掌握割补法。
3. 例题解析：通过典型例题，让学生学会运用割补法解决问题，并总结割补法的应用规律。
4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检验学生对割补法的掌握程度。
5. 拓展提升：引导学生思考割补法在其他几何问题中的应用，提高学生数学思维能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调割补法在实际问题解决中的重要作用。
五、教学方法1. 采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等多种教学方法，让学生在实践中掌握割补法。
2. 利用多媒体课件、实物模型等教学辅助工具，帮助学生直观地理解割补法。
3. 分组合作，让学生在讨论中互相学习，共同提高。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生对割补法的掌握程度。
2. 练习成果：检查学生完成的练习题，评估学生运用割补法解决问题的能力。
3. 学生互评：让学生互相评价，促进学生之间的交流与合作。
七、教学反思课后总结本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对割补法的理解和运用能力。
同时，关注学生在课堂上的表现，激发学生学习兴趣，提高学生数学思维能力。
平行四边形的割补法
平行四边形的割补法
平行四边形的割补法是指通过在平行四边形内切割一定形状的三角形或梯形，将其重新组合，形成一个矩形或正方形。
这一方法常用于几何问题的证明或解题中，特别是在研究平行四边形性质时。
下面是平行四边形的割补法的一般步骤：
1.标明平行四边形的顶点：给定平行四边形ABCD，标明其四个
顶点。
2.选择适当的割线：在平行四边形内部选择一条割线，通常是连
接非对角线上的中点。
3.进行割补：利用所选择的割线将平行四边形切割成两个三角形
或两个梯形。
4.重新组合：将割断的部分重新组合，形成一个矩形或正方形。
5.应用性质：利用矩形或正方形的性质，结合原平行四边形的性
质，推导或证明需要的结论。
这一方法的关键在于巧妙地选择割线，使得割补后的图形更容易处理。
这种方法在平行四边形的面积、角度、边长等性质的证明中经常被使用。
在使用割补法时，需要特别注意保持平行四边形的平行关系，以确保推导的结论是准确的。
割补法和分割法
割补法和分割法
什么叫做割补法和分割法？
割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。
在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。
割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。
平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。
（1）平行四边形割补后转化为长方形：
（2）梯形割补后转化为平行四边形：
分割法是指：对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。
这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。
下面两个图形就采用了分割法。
（1）
（2）
左图ABDE是一个不规则图形，用分割法可分成一个平行四边形ABDE，一个三角形BCD，把平行四边形和三角形的面积分别求出来，再把所得的结果加在一起，就是这个不规则图形的面积。
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
平面直角坐标系三角形面积割补法
平面直角坐标系三角形面积割补法
平面直角坐标系三角形的面积可以使用割补法来计算。
割补法是一种计算几何图形面积的方法，特别适用于计算不规则图形的面积。
在平面直角坐标系中，我们可以利用坐标点的位置关系来计算三角形的面积。
首先，我们假设三角形的顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3)。
然后，我们可以利用以下公式来计算三角形的面积：
S = |(x1(y2 y3) + x2(y3 y1) + x3(y1 y2))/2|。
其中，S表示三角形的面积，|...|表示取绝对值。
这个公式实际上是利用向量叉乘的方法来计算三角形的面积，具体推导过程可以参考向量的叉乘定义和性质。
另外，割补法还可以通过将三角形划分为多个简单形状的组合来计算面积。
例如，我们可以将三角形划分为一个矩形和两个三角形，然后分别计算这些简单形状的面积，最后将它们相加即可得到原三角形的面积。
除了割补法，我们还可以使用海伦公式或者行列式的方法来计算三角形的面积。
海伦公式适用于已知三边长度的情况，而行列式的方法则可以通过顶点坐标直接计算面积。
总之，平面直角坐标系三角形的面积割补法是一种简单而有效的计算方法，通过合理的划分和计算可以得到准确的结果。
希望这些信息能够帮助你理解如何使用割补法来计算三角形的面积。
三年级下册割补法求算周长和面积
三年级下册数学学习内容中，割补法求算周长和面积是一个重要的知识点。
通过割补法，学生能够更加直观地理解周长和面积的计算方法，并且培养他们的数学思维和逻辑推理能力。
接下来，我们将就割补法求算周长和面积的相关内容展开讨论。
一、割补法的概念割补法是指将一个形状复杂的图形，通过对角线或者横竖线的割补，将其分割成若干简单的图形，再求解每个简单图形的周长和面积，最后将各个部分的周长或面积相加得到最终结果的算法。
这种方法在三年级下册数学教学中被广泛应用。
二、割补法求算周长的步骤1. 将图形进行适当的割补，将其分解成若干简单的图形，比如矩形、三角形、正方形等；2. 计算每个简单图形的周长，根据周长的计算公式进行求解；3. 将每个简单图形的周长相加，即可得到原图形的周长。
举例说明：如图所示，一个不规则的四边形，我们可以通过割补法将其分割成三角形和矩形两个简单的图形。
接下来，分别计算三角形和矩形的周长，再将其相加，即可得到原图形的周长。
三、割补法求算面积的步骤1. 将图形进行适当的割补，将其分解成若干简单的图形，比如矩形、三角形、正方形等；2. 计算每个简单图形的面积，根据面积的计算公式进行求解；3. 将每个简单图形的面积相加，即可得到原图形的面积。
举例说明：如图所示，一个不规则的四边形，我们可以通过割补法将其分割成三角形和矩形两个简单的图形。
接下来，分别计算三角形和矩形的面积，再将其相加，即可得到原图形的面积。
四、割补法在教学中的意义1. 割补法能够帮助学生更直观地理解周长和面积的计算方法，培养他们的数学思维能力；2. 通过割补法，学生能够加深对基本图形的认识，从而拓展他们的数学视野；3. 割补法能够培养学生的逻辑推理能力，提高他们的数学解决问题的能力。
五、割补法课堂教学设计1. 通过图形展示，向学生介绍割补法的基本概念和步骤；2. 以具体的图形为例，讲解割补法求解周长和面积的具体方法；3. 给学生出示一些具体的图形题目，让他们应用割补法进行求解；4. 组织学生进行小组讨论和展示，共享他们使用割补法解题的过程和方法；5. 布置作业，让学生通过割补法进行周长和面积的计算，巩固所学内容。
三角形面积公式推导过程7种
三角形面积公式推导过程7种一、利用平行四边形面积推导（割补法1）1. 准备一个三角形，设三角形的底为b，高为h。
2. 用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
这个平行四边形的底就是三角形的底b，平行四边形的高就是三角形的高h。
3. 根据平行四边形的面积公式S = 底×高，即S = bh。
4. 因为这个平行四边形是由两个完全相同的三角形拼成的，所以三角形的面积S=(1)/(2)bh二、利用平行四边形面积推导（割补法2）1. 取一个三角形，沿三角形的中位线（连接三角形两边中点的线段）将三角形剪成两部分。
2. 然后将其中一部分旋转180°，与另一部分拼接，可以得到一个平行四边形。
3. 这个平行四边形的底是原三角形的底b，高是原三角形高h的一半(h)/(2)。
4. 根据平行四边形面积公式S = 底×高，可得平行四边形面积S=b×(h)/(2)，而这个平行四边形的面积就是原三角形的面积，所以三角形面积S = (1)/(2)bh三、利用长方形面积推导。
1. 对于一个直角三角形，设两条直角边分别为a和b（a为底，b为高）。
2. 可以将这个直角三角形补成一个长方形，这个长方形的长为a，宽为b。
3. 长方形的面积S = ab，而直角三角形的面积是长方形面积的一半，所以直角三角形面积S=(1)/(2)ab。
4. 对于任意三角形，都可以通过作高将其分成两个直角三角形，按照上述方法分别计算两个直角三角形的面积，再求和。
设三角形底为b，高为h，则S=(1)/(2)bh四、利用三角函数推导（已知两边及其夹角）1. 设三角形的两边为a、b，它们的夹角为C。
2. 三角形的面积S=(1)/(2)absin C。
3. 推导：过A点作AD⊥ BC于D点，在ABD中，sin B=(AD)/(AB)，即AD = ABsin B。
4. 对于ABC，S=(1)/(2)BC× AD=(1)/(2)acsin B，同理，当以a、b为边时，S = (1)/(2)absin C五、利用海伦公式推导（已知三边）1. 设三角形的三边分别为a、b、c，半周长p=(a + b+ c)/(2)。
定积分割补法求体积
定积分割补法是求旋转体体积的一种方法。
首先，我们需要理解旋转体的形成。
考虑一个平面曲线 y = f(x) (0 ≤ x ≤ a) 和直线 x = a 在第一象限的交点为 A(a, f(a))。
当这个平面曲线绕x轴旋转时，它形成一个旋转体。
旋转体的体积 V 可以用下面的定积分表示：
V = π∫(0, a) [f(x)]^2 dx
这就是旋转体的体积公式。
现在，我们可以用定积分割补法来求这个体积。
定积分割补法的基本思想是：将区间[0, a] 分成若干个子区间，在每个子区间上取一个点，计算该点处的函数值与该区间长度乘积的一半，然后将这些值加起来，最后乘以π并除以2，得到旋转体的体积。
具体步骤如下：
将区间 [0, a] 分成 n 个子区间，每个子区间的长度为Δx = a/n。
在每个子区间上取一个点 x_i (i = 1, 2, ..., n)，计算该点处的函数值 y_i = f(x_i)。
计算每个子区间的体积ΔV_i = π * (y_i)^2 * Δx / 2。
将所有子区间的体积加起来，得到 V = ΣΔV_i。
最后乘以π并除以2，得到最终的旋转体体积 V = π/2 * ΣΔV_i。
五年级几何奥数专题之第三讲 割补法(含答案)
五年级几何奥数专题之第三讲割补法（含答案）一、知识点1、割补法分割法是将几何体分割成若干部分，利用整体与部分的关系来解决所求问题。
2、分割成规则图形在组合图形中，除了多边形外，还有圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
二、学习目标1、我能够了解割补法。
2、我能够应用割补法解决图形面积问题。
三、典型例题例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。
练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积（单位：厘米）。
如图所示，在正方形ABDC内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABDC的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米，求长方形EFGH的面积。
练习2（1）如图所示，在正方形ABCD内部有三角形CEF，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AF都等于2厘米，求三角形CEF的面积。
（2）如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长6厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
如图所示，大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米。
连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点。
已知左图中阴影部分的面积是48平方分米，请问：右图中阴影部分的面积是多少平方分米？如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和3×3的方格表，左图阴影部分的面积是162，请问右图中阴影部分的面积是多少？选讲题※求下图中四边形ABCD的面积（单位：厘米）。
2020年高考物理电学十大方法精讲 方法01割补法(含解析)
方法01 割补法对某些物理问题，当待求的量A直接去解很困难或没有条件解时，可设法补上一个量B，割补的原理是使(A+B)成为一个完整的模型，从而使(A+B)变得易于求解，补上去的B也必须容易求解，那样，待求的量A 便可从两者的差值获得，问题就迎刃而解.这就是解物理题时常用的“割补法”.割补法本来是非对称性的物体，通过割补后构成对称性物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解.【调研1】如图所示，阴影区域是质量M半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心O′和大球心间的距离是2R,求球体剩余部分对球体外与球心O距离为2R、质量为m 的质点P的引力.解析：万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能看作质点来处理的，故可用割补法将挖去的球补上.将挖去的球补上,则完整的大球对球外质点P的引力为：F1=2(2)GMmR=24GMmR，半径为2R的小球的质量：M ' =43π(2R)3×ρ=π(2R)3×34()3MR=18M补上的小球对质点P的引力F2=2'5()2GM mR=24'25G M mR=250GMmR因而挖去小球的阴影对质点P的引力为：F=F1-F2=24GMmR-250GMmR=223100GMmR【调研2】如图所示，把金属丝AB弯成半径r=1m的圆弧，但在AB之间留出宽度为d=2cm、相对来说很小的间隙，将电荷量Q=3.13×10-9C的正电荷均匀分布在金属丝上，求圆心O处的电场强度.解析：中学物理中只讲点电荷场强及匀强电场的计算方法，一个不规则带电体（如本题的缺口的带点环）所产生的场强，没有现成的公式可用.但可以这样想：将圆弧的缺口补上，并且它的电荷密度与缺口的环体原有电荷密度是一样的，这样就形成了一个电荷均匀分布的完整的带电环，环上OdA B处于同一直径两端的微小部分可看作两个相应的点电荷，它们产生的电场在圆心O 处叠加后场强是零，根据对称性可知，带电圆环在圆心O 处的总场强是零.至于补上的带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆心O 处的场强为E 1是可求的，若题中待求场强为E 2，则由E 1+E 2 =0，便可求得E 2. 设原缺口环所带电荷的线密度为σ，σ=2Q r dπ-，则补上的金属小段带电量Q’=σd ，它在O 处的场强为E 1=k2'Q r= k2(2)Qd r d r π-，代入数据得E 1=9×10-2N/C. 设待求的场强为E 2，由E 1+E 2=0可得E 2=-E 1=-9×10-2N/C ，负号表示E 2与E 1方向相反，即E 2的方向向右，指向缺口.【调研3】静电学理论指出，对于真空区域，只要不改变该区域内的电荷分布及区域边界的电势分布，此区域内的电场分布就不会发生改变。
割补法求三角形面积
割补法求三角形面积
割补法是计算三角形面积的一种常用方法。
根据割补法，给定一个三角形，我们可以在三角形内部或外部构造一些辅助线段，将三角形分割成更简单的几何形状，以便计算其面积。
以下是使用割补法计算三角形面积的一般步骤：
1. 画出给定的三角形ABC，并确保已知三个顶点A、B、C。
2. 选择一个合适的点D，使得线段AD与线段BC平行。
3. 测量线段AD的长度，记为h。
4. 计算线段AD与线段BC的长度比值k。
这可以通过测量线段AD和线段AB的长度，并计算k = AD / AB来实现。
5. 计算三角形ABD的面积：SABD = (1/2) * AB * h。
6. 计算三角形ABC的面积：SABC = k^2 * SABD。
7. 得到三角形ABC的面积SABC。
请注意，割补法只是一种计算三角形面积的方法之一，具体的步骤可能会因情况而异。
对于不规则三角形或无法使用割补法的情况，可以尝试其他计算面积的方法，如海伦公式或向量法。
勾股定理三种证明方法割补法
勾股定理三种证明方法割补法嘿，朋友们！今天咱来聊聊勾股定理的三种证明方法之割补法。
你说这勾股定理啊，那可真是数学里的大宝贝呀！就好像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的大门呢。
咱先来说说第一种割补法。
想象一下，有一个直角三角形，就像一个稳固的小凳子。
我们把它这儿切一刀，那儿补一块，嘿，神奇的事情发生了！通过巧妙的切割和填补，就能发现那些边与边之间隐藏的关系。
这就好比是在玩拼图游戏，把那些碎片拼到一起，答案就呼之欲出啦！你说这妙不妙？再看看第二种割补法。
就像是在给这个直角三角形变魔术一样，通过不同的割补方式，又能得出同样神奇的结论。
这不是一般人能想到的呀，得是那些聪明的脑袋瓜子才能琢磨出来的呢！你难道不想试试自己能不能像那些数学家一样聪明？还有第三种割补法呢！哇哦，这一种更是让人惊叹不已。
就好像是给这个直角三角形穿上了一件特别的衣服，一下子就让它的秘密都暴露出来了。
你不觉得这很神奇吗？其实啊，勾股定理的割补法证明就像是一场奇妙的冒险。
每一次尝试都是一次探索，每一个新的发现都让人兴奋不已。
这可不仅仅是数学知识，更是一种智慧的体现呀！我们在这个过程中，可以尽情地发挥自己的想象力和创造力，就像在自己的小天地里自由翱翔一样。
想想看，几百年前的数学家们是怎么发现这些方法的呢？他们是不是也像我们现在这样，充满好奇地去尝试、去探索？他们的智慧真的让人佩服得五体投地呀！而我们现在有这么好的条件，更应该好好去研究、去体会这些神奇的证明方法呀。
所以啊，朋友们，不要小看了这勾股定理的割补法。
它就像是隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去挖掘、去发现。
让我们一起投入到这个奇妙的数学之旅中吧，去感受那无尽的乐趣和惊喜！我相信，只要我们用心去体会，一定能领略到勾股定理割补法的独特魅力！这就是我想说的，你们觉得呢？。
高考物理电学十大方法精讲 方法01割补法(1)
方法01 割补法对某些物理问题，当待求的量A 直接去解很困难或没有条件解时，可设法补上一个量B ，割补的原理是使(A+B )成为一个完整的模型，从而使(A+B )变得易于求解，补上去的B 也必须容易求解，那样，待求的量A 便可从两者的差值获得，问题就迎刃而解.这就是解物理题时常用的“割补法”.割补法本来是非对称性的物体，通过割补后构成对称性物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解.【调研1】 如图所示，阴影区域是质量M 半径为R 的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心O ′和大球心间的距离是2R ,求球体剩余部分对球体外与球心O 距离为2R 、质量为m 的质点P 的引力. 解析： 万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能看作质点来处理的，故可用割补法将挖去的球补上.将挖去的球补上,则完整的大球对球外质点P 的引力为：F 1=2(2)GMm R =24GMm R ，半径为2R 的小球的质量： M ' =43π(2R )3×ρ=π(2R )3×34()3M R =18M 补上的小球对质点P 的引力F 2=2'5()2GM m R =24'25G M m R =250GMm R 因而挖去小球的阴影对质点P 的引力为：F =F 1-F 2=24GMm R -250GMm R =223100GMm R 【调研2】 如图所示，把金属丝AB 弯成半径r =1m 的圆弧，但在AB 之间留出宽度为d =2cm 、相对来说很小的间隙，将电荷量Q =3.13×10-9C 的正电荷均匀分布在金属丝上，求圆心O 处的电场强度.解析： 中学物理中只讲点电荷场强及匀强电场的计算方法，一个不规则带电体（如本题的缺口的带点环）所产生的场强，没有现成的公式可用.但可以这样想：将圆弧的缺口补上，并且它的电荷密度与缺口的环体原有电荷密度是一样的，这样就形成了一个电荷均匀分布的完整的带电环，环上OdA B处于同一直径两端的微小部分可看作两个相应的点电荷，它们产生的电场在圆心O 处叠加后场强是零，根据对称性可知，带电圆环在圆心O 处的总场强是零.至于补上的带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆心O 处的场强为E 1是可求的，若题中待求场强为E 2，则由E 1+E 2 =0，便可求得E 2. 设原缺口环所带电荷的线密度为σ，σ=2Q r d π-，则补上的金属小段带电量Q’=σd ，它在O 处的场强为E 1=k 2'Q r = k2(2)Qd r d r π-，代入数据得E 1=9×10-2N/C. 设待求的场强为E 2，由E 1+E 2=0可得E 2=-E 1=-9×10-2N/C ，负号表示E 2与E 1方向相反，即E 2的方向向右，指向缺口.【调研3】静电学理论指出，对于真空区域，只要不改变该区域内的电荷分布及区域边界的电势分布，此区域内的电场分布就不会发生改变。
2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第34讲割补法与等积法含解析
第34讲 割补法与等积法一、知识与方法1 割补法割补法包括分割法和补体法,求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体,锥体,分别求出雉体和柱体的体积, 从而得出几何体的体积,这种方法称为分割法. 用于直接解题较困难,分割后化繁为简,使问题较易获得解快,但有时候,所给的几何体并不复杂,却很难直接计算求解,这类几何体实际上是一个常规几何体的一部分. 通过添补适当的几何体,将其扩展为新的、其特征为我们比较熟悉的几何体,以便于从整体上宏观把握,处理局部问题的一种方法称为补体法,体现了拓展空间, 从更广阁的范围内处理局部问题的整体思想.分割法与补体法合在一起称为割袳法. 2 等积法(又称等积变换法)（1）利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面. (1)求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算; (2)利用“等积法”可求“点到面的吟离”,关键是在面中选取 3 个点,与已知点构成三棱锥.(2) 等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.二、典型例题【例1 】(1) 如图384-所示,已知多面体ABC DEFG -中, ,AB AC ,AD 两两互相垂直,平面//ABC 平面DEFG , 平面//BEF 平面,2,1ADGC AB AD DG AC EF =====, 则该多面体的体积为 ( ). A. 2 B. 4C. 6D. 8(2) 如图385-所示,在多面体ABCDEF 中, 已知ABCD 是边长为 1 的正方形, 且,ADE BCF 均为正三角形. //,2EF AB EF =, 则该多面体的体 积为( ).A. 3C.43D.32【分析】本例两小题给出的都是不规则几何体,直接求体积比较困难,可以将这个几何体分割成若干规则的几何体,从而得出几何体的体积(求规则几何体的体积再合成)，也可认运用补体法补成一个规则几何体再求解,如第(1) 问,可把题中给出的几何体分割成两个三棱柱或补成一个正方体;第(2)问,不同的分割可以引发一题多解与发散思维,这种解法体现了割补思想和等积变换思想.【解析】 (1) 【解法一】(割)如图386-所示,过点C 作CH DG ⊥于H , 联结EH ,把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三 棱柱BEF CHG -. 于是所求几何体的体积为112122122DEHBEF V SAD SDE ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2 4.=【解法二】(补)如图387-所示. 将多面体补成棱长为 2 的正方 体. 显然所求的多面体的体积为该正方体体积的一半. 于是所求几何体的体积31242V =⨯=.(2) 【解法一】 (分割法一)如图388-所示,分别过,A B 作EF 的垂 线, 垂足分别为点,G H , 联结,DG CH .则原几何体分割为两个三棱雉和一个直三棱柱,锥高12, 柱高 1. AG ==取AD 中点M , 则2MG =111,12224434AGDSV =⨯⨯=∴=+⨯⨯⨯12=【解法二】 (分割法二)如图389-所示,取EF 中点P , 则原几何体分割为两个三棱雉和一个四棱雉,易知三棱雉P AED -和三棱雉P BCF -都是棱长为 1 的正四面体,四棱雉P ABCD -为棱长为 1 的正四棱雉.2111233V =⨯+⨯=【例 2】已知直三棱柱111ABC A B C -中, 222A B C 是用一平面截得的截面,且21AA h =,2223,BB h CC h ==, 若ABC 的面积为.S 求证:介于截面与下底面之间的几何体的体积为()12313V S h h h =++.【分析】由于几何体222A B C ABC -是一个不规则的几何体,为求得其体积不妨采用分割或补体的方法来求解和证明. 【解析】【证法一】 (分割)为了讨论方便, 不妨设123h h h , 可将几何体222ABC A B C -分割成一个小直三棱柱与两个三棱雉. 如图390-所示,过2A 作23//A B AB 交2B B 于3B , 过3B 作33//B C BC 交2C C 于3.C 联结23A C ,23B C , 则几何体222ABC A B C -被分割成直三棱柱233ABC A B C -、三棱雉2233B A B C -、二棱锥2A 232B C C -设,BC x A =到BC 的距离为d , 则12S xd =. 由于 ()23322331211,3ABC A B C B A B C V Sh V S h h --==-,()()223223231311111.3323A B C c B C C V Sd h h x d S h h -=⋅=⋅-⋅⋅=- 故()2222332233223212313ABC A B C ABC A B C B A B C A B C C V V V V S h h h ----=++=++. 【证法二】（补体)将几何体222ABC A B C -以ABC 为底面进行两次等几何体补形,使侧棱的长均为123h h h ++, 这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱. 而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的13， 故()222123 1133ABC A B C V V S h h h -==++新直三榬柱.【例 3】如图391-所示,三棱锥A BCD -中, AB ⊥平面BCD ,CD BD ⊥ (1) 求证: CD ⊥平面ABD ;(2) 若1,AB BD CD M ===为AD 中点,求三棱雉A MBC -的体积.【分析】利用三棱锥的“等积法”,即体积计算时,可以任一个面作为三棱锥的底面,利用“等积法”可求“点到面的距离”,关键是在面中选取三个点,与已知,点构成三棱锥.等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.【解析】(1) 证明: :AB ⊥平面,,BCD CD BD CD ⊥⊂平面,ABD BD ⊂平面ABD ,CD ∴⊥平面.ABD(2)【解法一】由AB ⊥平面BCD ,得AB BD ⊥,11,.2ABDAB BD S==∴= M 为AD 中点, ABM11.24ABDSS ∴==由()1知,CD ⊥平面ABD ,∴三棱锥C ABM -的高1h CD ==.因此三棱雉A MBC -的体积B 13A MBC C ABM A MV V S h --==⋅1.12=【解法二】由AB ⊥平面BCD 知,平面ABD ⊥平面BCD .又平面ABD ⋂平面BCD BD =, 过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N ,如图392-所示,则MN ⊥平面BCD , 且1122MN AB ==. 又1,1,2BCDCD BD BD CD S ⊥==∴=. ∴三棱倠A MBC -的体积1133A MBC A BCD M BCD BCDV V V AB S MN ---=-=⋅-. 112BCDS=.三、易错警示【例】正方体容器1AC 中盛满水, ,,E F G 分别是1111,,A B BB B C 的中点,若 3 个小孔分别位于,,E F G 三点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的( ).A.78B.1112C.56D.2324【错解】剩下的水的最大容积是截面EFG 以下几何体的体积,如 图393-所示,设1CC 的中点为11,M C D 的中点为N ,则截面EFG 在正方体1AC 的截面是EFMN , 设正方体1AC 的棱长为 1, 则三棱柱11B EF C MN -的体积 1111111.2228B EFC MN V =⨯⨯⨯=于是, 正方体的水最多会剩下原体积的17188-=, 故 选 A.【评析及正解】上迌解法是否正确,我们可认考查另一种情形.考虑由1,,B E C 确定的截面,如图394-所示.此时,另一个小孔在截面1BEC的上方,此时三棱锥11B BEC -的体积为1113B BEC V -=⨯ 111111.22128⎛⎫⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭于是, 正方体中的水最多会剩下原体 积的11111212-=, 故应选B . 1. 从选项看,还有2324, 那么,会不会是这个结果呢? 我们可以 考虑一般的情形.【正确的解法】如下:【解析】:我们注意到, 当正方体中剩下的水最多时,这时的水平面必定经过其中的两个小孔, 不妨设经过小孔,E G , 如图395-所示,另一个小孔F 在该平面的上方. 设过,E G 的平面与棱1111,,BB CC C D 的交点分别为,,H P Q , 则流出的水的最小体积是台体11B EH C QP -的体积.设正方体1AC 的棱长为 2 , 则11B E =, 设()112B H x x =, 则12C P x =-. 由11B EHC QP , 得12xC Q x-=. 于是, 台体11B EH C QP -的体积为112231(2) 31(2)14 2233121 222,3312B EHC QPx V x x x x x x x ⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫⋅==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当4x x =, 即2x =时,台体11B EH C QP -的体积最小, 为正方体体积的112. 此 时,点H 与点B 重合, 即截面为1BEC , 故选 B.四，难题攻略【例】在三棱台111ABC A B C -中, 111,2A B G AB =为1CC 的中点,截面1A BG 将棱台分成上、下两部分,求这两部分体积之比.【分析】由于合成的两部分都是不规则的几何体,故需将其分割成几个锥体（特别是三棱锥)的组合体才便于计算体积之比,需要提醒的是这里有等面积、等高,等体积的运用,使问题的解答别开生面.【解析】如图396-所示, 联结11,BC A C , 则棱台被分割成 4 个三棱锥的组合体, 注意到 3 个三棱锥11111,A BC G A BC B --,1A BCG -都等高, 因而其体积之比为底面面积之比.又在梯形11BCC B 中, 由111112B C A B BC AB ==, 且G 为1C C 的 中点, 有11.BCCBOGBC B SSS ==即111111ΛBCC A BCC A BC B V V V V ---===, 从而111112A BCC A BC B V V V V --=+=上,在三棱雉111B A B C -与三棱雉1A ABC -中, 它们的高相等, 且1114ABCA B C S S=,则1111111444A ABC B A B c A BC B V V V V ---===.从而1155A ABC A BCC V V V V --=+=下, 故t :2:5V V =下为所求.五、强化训练1.如图397-所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,12,,2AB BC AA ABC M π∠===是BC 中点.(1)求证:1//A B 平面1AMC ;(2)求直线1CC 与平面AMC 所成角的正弦值;(3)试问在棱11A B 上是否存在点N ,使得AN 与1MC 所成角为?3π若存在,确定点N 位置;若不存在,请说明理由.【解析】（1）如图①所示，联结，设与相交于点，则为中点，联结，则为的中位线，依据线面平行判定定理可得.（2）将图①补体为图②，设直线与平面所成角为，则.由题意，不1A C 1AC O O 1A C OM OM 1A BC 11111AB OM A B AMC A B AMC OM AMC //⎫⎪⊄⇒//⎬⎪⊂⎭平面平面平面1CC 1AMC α11sin C AMC h CC α-=11妨设，依据等体积法可得.（3）假设在棱上存在点，使得与成角，不妨设在棱上取点，使得，易得，如图③所示，故与成角.在中，由余弦定理可得.故在棱上存在点，且为棱的中点，使得与成角.122AB BC AA ===111111133C AMC C AMC AMC C AMC AMCC AMCV V Sh Sh ----=⇒=11122sin 33C AMC C AMC h h CC α--⇒=⇒==11A B N AN 1MC 3π1(02)A N t t =≤≤CD Q CQ t =1AN C Q //1C Q 1MC 3π1MQC 22222211112cos3MQ MC QC MC QC π=+-⇒=+1[0,2]t -=∈11A B N N 11A B AN 1MC 3π1213。
五年级数学上册《割补法求面积》带解析过程
五年级数学上册《割补法求面积》带解析过程例：步骤：1.切割成若干块规则图形2.每块图形的面积均可求3.求和得总面积切法一：步骤：1.切割成两块面积相同的梯形2.先计算-块的面积,列式:(10-2+10)x2÷2=18;3.再计算总面积,列式:18x2=36切法二：步骤：1.切割成两块面积不同的长方形;2.蓝色部分面积列式:(10-2)x2=163.红色部分面积,列式:10x2=204.计算总面积列式:16+20=36切法三：步骤：1.切割成两块面积不同的长方形;2.蓝色部分面积,列式:10x2=203.红色部分面积,列式:(10-2)x2=164.计算总面积,列式:20+16=36题1：求图中阴影面积。
（单位：厘米）【解析】：解法一：如下图，把图形分割后，将①号扇形拼到A处，将②号扇形拼到B处，把求阴影部分面积转化为求长为半圆直径、宽为半圆半径的长方形的面积。
所求阴影部分面积为：4×（4÷2）＝8（平方厘米）解法二：如下图，把图形分割后，将①号弓形拼到A处，将②号弓形拼到B处，把求阴影部分面积转化为求两个三角形的面积和。
拼成的每个三角形的底是半圆直径长4厘米，高为半圆半径长是直径的一半。
所求阴影部分面积为：4×（4÷2）÷2×2＝8（平方厘米）。
题2：求图中阴影面积。
【解析】：如下图，根据图形的对称性对图形进行分割，再将①号阴影部分拼到A空白处，把求阴影部分面积，转化为求长为b、宽为a的长方形的面积。
则所求阴影部分面积为ab。
题3：求阴影部分的面积。
（单位：分米）【解析】：如下图，根据图形的对称性对图形进行分割，再将①号弓形拼到A空白处，将②号弓形拼到B空白处，把求阴影部分面积，转化为求1/4圆周所对应的弓形的面积。
用上图1/4圆的面积减去三角形ABC的面积，可得所求阴影部分面积为：3.14×22÷4－2×2÷2＝10.56（平方分米）。
勾股定理割补法证明
勾股定理割补法证明
勾股定理是数学中的基础定理之一，用于求解直角三角形的边长和角度。
割补法是一种证明数学定理的方法。
本文将围绕勾股定理割补法证明展开讲解。
首先，我们来看一下勾股定理的表述：对于直角三角形来说，斜边的平方等于其两个直角边的平方和。
即：$c^2=a^2+b^2$。
其中a,b 为两直角边，c为斜边。
接下来，我们来演示一下割补法证明勾股定理的步骤：
第一步：画图并标出各边
我们画出一个直角三角形，标上两个直角边a,b和斜边c。
第二步：根据勾股定理列出方程式
根据勾股定理，$c^2=a^2+b^2$。
这就是我们要证明的式子。
第三步：割一块正方形区域
首先，我们在三角形外部割下一块正方形区域（如图所示）。
把三角形切成4个三角形，并将这些三角形旋转后放在正方形的四个不同角落。
第四步：计算出正方形面积
正方形的面积为$(a+b)^2$。
第五步：计算出三角形面积
三角形的面积为$\frac{ab}{2}$。
第六步：推导
根据第三步和第四步的结果，我们得到：
$(a+b)^2=4(\frac{ab}{2})+c^2$
即：$a^2+2ab+b^2=2ab+2c^2$
化简后可得：$c^2=a^2+b^2$。
证毕。
通过割补法证明勾股定理，我们可以更直观地理解和记忆这个基础定理。
也可以通过这种方法来证明其他数学定理。
曲线模型割补法
曲线模型割补法曲线模型割补法的基本原理是通过删除模型中的一部分来改善模型的性能。
在许多情况下，模型可能会包含一些过度拟合的特征，这些特征对模型的性能产生负面影响。
通过割补这些过度拟合的特征，我们可以提高模型的泛化能力，并最终实现更好的预测效果。
割补法的关键是确定哪些特征或参数应该被割除。
一种常用的方法是通过交叉验证来评估模型在不同特征组合下的性能。
通过比较不同特征组合下的性能，我们可以确定哪些特征对模型的性能有负面影响，从而选择性地割补这些特征，以达到优化模型的目的。
在实际中，曲线模型割补法可以应用于各种不同类型的曲线模型，包括线性回归、逻辑回归、决策树等。
下面我们将分别介绍如何在这些不同类型的模型上应用割补法。
对于线性回归模型，割补法的步骤如下：1. 首先，我们通过普通最小二乘法或其他回归方法拟合出原始的线性回归模型。
2. 然后，我们可以通过交叉验证等方法评估模型在不同特征组合下的性能，以确定哪些特征对模型的性能有负面影响。
3. 最后，我们可以选择性地割除这些负面影响的特征，并重新拟合模型，以达到优化模型的目的。
对于逻辑回归模型，割补法的步骤类似：1. 首先，我们通过最大似然估计或其他逻辑回归方法拟合出原始的逻辑回归模型。
2. 然后，我们可以通过交叉验证等方法评估模型在不同特征组合下的性能，以确定哪些特征对模型的性能有负面影响。
3. 最后，我们可以选择性地割除这些负面影响的特征，并重新拟合模型，以达到优化模型的目的。
对于决策树模型，割补法的步骤也类似：1. 首先，我们通过生成决策树或其他方法拟合出原始的决策树模型。
2. 然后，我们可以通过交叉验证等方法评估模型在不同特征组合下的性能，以确定哪些特征对模型的性能有负面影响。
3. 最后，我们可以选择性地割除这些负面影响的特征，并重新拟合模型，以达到优化模型的目的。
总结来说，曲线模型割补法是一种有效的优化模型性能的方法。
通过割补模型中的过度拟合特征，我们可以提高模型的泛化能力，并实现更好的预测效果。
长方形和正方形面积割补法
长方形和正方形面积割补法
长方形和正方形面积割补法是通过将一个长方形分割成若干个图形，然后将这些图形重新组合成一个正方形的方法。
具体的步骤如下：
1. 假设长方形的长为L，宽为W。
2. 计算长方形的面积，即S = L * W。
3. 如果L等于W，则长方形就是一个正方形，无需割补。
4. 如果L大于W，将长方形分割成两个部分：
- 第一部分为一个正方形，边长为W。
- 第二部分为一条长方形，宽度与第一部分相同，长度为L-W。
5. 此时第二部分的面积为S1 = (L-W) * W。
6. 重复步骤4和5，直到长方形剩余的部分为一个正方形。
7. 将所有的正方形的边长相加，得到一个正方形的边长S2。
8. 此时割补后的正方形的面积为S2 * S2。
9. 最后将S与S2 * S2进行比较。
如果S大于S2 * S2，则说明长方形不能被割补成一个正方形；如果S等于S2 * S2，则说明长方形可以被割补成一个正方形。
需要注意的是，长方形和正方形面积割补法只适用于长方形的长大于宽的情况，且适用于任意长方形，无论长宽比例如何。
割补法
“割补法”求解不规则几何体体积我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1 如图1，正四面体A BCD -中，E F G H ，，，分别是棱AB AC BD CD ，，，的中点，求证：平面EFHG 把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结CE CG AG AH ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2 如图2，已知多面体ABC DEFG -中，AB AC AD ，，两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，2AB AD DC ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点C 作CH DG ⊥于H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -．于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上 面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3． 于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=． 解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与 已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．。
七年级下册割补法
七年级下册割补法一、割补法的概念。
1. 定义。
- 割补法是数学中一种重要的几何解题方法。
它的基本思想是通过将一个复杂的几何图形分割成几个简单的图形（割），或者将几个简单的图形拼接成一个复杂的图形（补），从而使问题变得更容易求解。
例如，在计算一些不规则多边形的面积时，我们可以把这个不规则多边形割成三角形、矩形等我们熟悉的图形，分别计算它们的面积后再求和；或者把这个不规则多边形补成一个规则的图形，如把一个缺角的矩形补成完整的矩形，用补成后的图形面积减去补上部分的面积得到原图形的面积。
二、割补法在七年级下册人教版中的应用。
1. 三角形相关问题。
- 求三角形面积的拓展。
- 在人教版七年级下册中，当遇到一些三角形的高不容易直接求出时，我们可以使用割补法。
例如，有一个钝角三角形，它的钝角所对的边为底边，从这个钝角顶点向底边作高可能比较困难。
我们可以通过把这个钝角三角形补成一个平行四边形或者矩形（如果是直角三角形就补成矩形）。
假设三角形ABC是钝角三角形，∠A是钝角，延长BA到D，使AD = AC，过D作DE∥BC交AC的延长线于E，这样四边形BCED 就是平行四边形。
三角形ABC的面积就是平行四边形BCED面积的一半。
- 三角形全等中的应用。
- 在证明三角形全等时，有时候也会用到割补法。
比如有两个三角形，其中一个三角形的一部分形状和另一个三角形的一部分形状相似，但不完全相同。
我们可以通过割补的方式，将其中一个三角形的部分进行割下并补到合适的位置，使其与另一个三角形的对应部分能够更好地进行比较。
例如，有三角形ABC和三角形DEF，在三角形ABC中，∠A的角平分线AD将三角形ABC分成了两个三角形ABD和ACD。
如果要证明三角形ABC和三角形DEF全等，而三角形DEF中有类似的角平分线分割的情况，我们可以把三角形ABD割下，以AD为轴进行翻转后再补到三角形ACD的一侧，这样就可以更好地与三角形DEF进行对比，找出全等的条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点练习一、选择题1. 三平面，，两两互相垂直且交于点，空间一点到，，的距离分别为，，，则，两点间的距离为A. B. C. D.2. 已知三个平面两两互相垂直且交于一点，若空间一点到三个平面的距离分别为、、，则的长为A. B. C. D.3. 某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A. B. C. D.4. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是A. B. C. D.5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. B. C. D.6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是A. B. C. D.7. 已知在半径为的球面上有、、、四点，若，则四面体的体积的最大值为 ( )A. B. C. D.二、填空题8. 自半径为的球面上一点，作球的互相垂直的三条弦，，，则（用表示）．9. 若构成教室墙角的三个墙面记为，，，交线记为，，，教室内一点到三墙面，，的距离分别为、、，则与墙角的距离为．10. 如图是一个长方体截去一个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，，，．则这个多面体的体积为．11. 若三角形内切圆半径为，三边长分别为、、，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为，其四个面的面积分别为、、、，则四面体的体积．12. 已知正方形的一个面在半径为的半球底面上，，，，四个顶点都在此半球面上，则正方体的体积为．13. 在正四面体中，其棱长为，若正四面体有一个内切球，则这个球的表面积为．14. 如图，已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积是．15. 如图所示，正方体的棱长为，将该正方体沿对角面切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为．16. 如图，在多面体中，，，两两垂直，平面平面，平面平面，，，则该多面体的体积为．17. 已知平面，，且，则异面直线与所成角的余弦值等于．18. 已知，，，是球表面上的点，，，两两垂直，，，的面积分别为，，，则球的表面积为．19. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是．20. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为．21. 如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为．22. 半径为的球面上有，，，四个点，且满足，，，则的最大值为．23. 已知正三棱锥，点都在半径为的球面上．若两两互相垂直，则球心到截面的距离为．24. 设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是．25. 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是．三、解答题26. 已知是棱长为的正方体，与分别为棱、的中点，求四棱锥的体积．27. 如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且．(1)求证：平面；(2)求多面体的体积．28. 球面上有四个点，，，，且，，两两垂直，若，求这个球的表面积．29. 如图所示，在多面体中，已知面是边长为的正方形，，，与面的距离为，求该多面体的体积．30. 如图，在圆柱中，底面圆的半径为，母线长为，和的长均为所在圆周长的，若沿着平面将圆柱截开，试求所截得的体积较小的几何体的体积．31. 如图，已知斜三棱柱的侧面的面积为，侧棱到侧面的距离为，求该三棱柱的体积．32. 如图所示，三棱柱中，侧面的面积为，侧棱到此面的距离为，求这个三棱柱的体积．33. 三棱柱中，若、分别为、的中点，平面将三棱柱分成体积为和的两部分（如图），求．34. 已知四棱锥，其中，，面，，为的中点．(1)求证：面；(2)求证：面面；(3)求四棱锥的体积．35. 正方体中，连接，，，，，．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)设正方体的棱长为，求四面体的体积．36. 如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若，，求多面体的体积．37. 如图，已知多面体中，，，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，(1)试判断是否与平面平行？并说明理由；(2)求多面体的体积．38. 已知三棱台的上底面面积为，下底面面积为，作截面，设三棱锥的高等于三棱台的高，求的面积．39. 已知一几何体如图所示，正方形和梯形所在平面互相垂直，，，，，．(1)求证：平面；(2)求该几何体的体积．(1)如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；(2)给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离都为，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．答案第一部分1 B2 C3 A4 A5 A6 A7 B第二部分8910111213141516171819 ；202122232425第三部分26 由图可知棱锥棱锥棱锥棱锥27 (1) 因为，为中点，所以，又，又因为，所以面．所以．又，，所以面．(2) 多面体多面体的体积等于三棱柱的体积减去三棱锥的体积，即柱体 锥体28 将三棱锥 补成一个以 为顶点、以 ， ， 为点 发出的三条棱、棱长为 的正方体， 正方体的对角线长就是球的直径 ，可得， 所以 球．29 方法一（割）如图所示，在 ， 上分别取 ， ，使 ，则多面体 为斜三棱柱．设其直截面面积为 ，依题意．方法二（补）如图所示，延长 至 ，使 ，连 ， ，则多面体 为斜三棱柱．其直截面面积仍为 ， 则 ．又因为 平面 平面 ， 为 中点，所以．因此，．即，从而．故．30 如图，连接，，，，．由题意可得，，又和的长均为所在圆周长的，所以，所以，则三棱柱的体积为；．所以所截得的体积较小的几何体的体积为圆柱31 在斜三棱柱的一侧补上一个三棱柱，使之成为一个平行六面体．显然，这个平行六面体的体积为．于是，斜三棱柱的体积为．32 如图，将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于．很明显三棱柱与三棱柱的体积相等．所以三棱柱的体积等于．33 设三棱柱的高为，底面的面积为，．则的面积为，且柱左边是棱台，且，棱台，右边的体积为柱所以．34 (1) 取中点，连接，，，分别是，的中点，，且．，与平行且相等．面．(2) 为等边三角形，，又面，面，，垂直于面的两条相交直线，，面．，面，面，面面．(3) 连接，该四棱锥分为两个三棱锥和，所以35 (1) 因为，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．(2) 同理，．又平面，平面，所以平面平面．又平面，且，平面，平面，所以平面平面．(3) 记正方体体积为，四面体体积为，则．又，所以．36 (1) 连接交于，连接．因为，分别为和的中点，则．又平面，平面，所以平面．(2) 因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，平面，，所以平面．又平面，所以．因为，是的中点，所以．所以平面．所以平面平面．(3) 多面体为四棱锥截去三棱锥所得，所以．37 (1) 平面．因为平面平面，面面，面面，所以，同理．所以，因为，所以为平行四边形所以，因为面，面，所以平面．(2) 连接，，由已知可得，，因为，且，所以平面，同理可得面．因为，，，所以．38 如图，将三棱台分割成三个三棱锥，及．设三棱台的高为，则这三个三棱锥的高都是．由，得得，故的面积为．39 (1) 为正方形，，平面．，平面．，平面平面．平面，平面 ．(2) 连接 ， ．平面 平面 ， ， ，面 ， 面 ．， ， ，．，在正方形 中，，．该几何体的体积为40 (1) 如图所示，取 的三等分点 ， 的中点 ， 的中点 ．过三点 作平面 ，过三点 作平面 ，因为 ， ，所以平面 平面 ，再过点分别作平面与平面平行，那么四个平面依次相互平行，由线段被平行平面截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故为所求平面．(2) 如图，现将此正四面体置于一个正方体中，分别是的中点，和是两个平行平面，若其距离为，则四面体即为满足条件的正四面体．现设正方体的棱长为，若则有由得，于是正四面体棱长其体积春到四月，如火如荼，若诗似画，美到了极致，美到了令人心醉。
“你是一树一树的花开，是燕，在梁间呢喃，你是爱，是暖，是希望，你是人间的四月天”。
喜欢才女林徽因歌颂四月之美的这首《你是人间的四月天》，她将四月的万种风情描摹得淋漓尽致，读来如沐春风如饮甘露。
四月之美，美在清明。
时光刚刚跨入四月的门槛，清明就如期而至，“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。
”清明是一种传承了数千年的古老文化，是一场活着的人祭奠逝去的祖先的亲情style。
“风吹旷野纸钱飞，古墓垒垒春草绿”，每到清明，人们不会忘记在天堂的祖先，都会放下手中繁忙的工作，即便远离故土，也会怀揣湿漉漉的心事回到乡下，挑拣一个最宜祭祀的日子，赶往祖先墓地，虔诚地献上一捧鲜花，点上几支香火，烧上一些纸钱，将祖先的坟墓装扮一新，以表达对已逝亲人的思念和祝福。
清明时节，最容易勾起与已逝亲人一起度过的那些美好岁月的回忆，让人深刻体悟到亲情的可贵。
于是，亲情跨越了时空，泪水模糊了双眼。
在莹莹泪光中，就让活着的人好好活着，让已经逝去的人在天堂感到欣慰。
四月之美，美在祭祖的哀思，美在人间传递着的温情。
四月之美，美在谷雨。
“清明早、立夏迟，谷雨种棉正当时”，清明过后，雨水增多，有利于谷类作物的生长。
因此，谷雨是春播春种的关键时期。
在乡间，一到谷雨时节，村民们便忙了起来，房前屋后，田间地头，处处是村民们忙碌的身影，处处嘹亮起劳动的号角，处处律动着劳作的喜悦。
他们将生活的希望播撒，将幸福的种子栽种，早出晚归，乐而不疲，笑容满面。
他们洒下的是一粒粒咸涩的汗水，成就的将是整个秋天旷野上丰硕的果实。
累了，他们举头仰望绽开在湛蓝天空上多情的太阳；倦了，他们想一想等待在前方的耀眼金秋。
春风，贴着他们的身影吹过，将灼热的期盼和梦想带向遥远、遥远……他们劳动的姿势，仿佛在大地上书写一首生活的真爱长歌；他们奔忙的步伐，舞动出四月美妙和谐的韵律；他们洋溢在嘴角的笑意，仿佛闪烁在阳光下的一朵朵桃花。
四月之美，美在他们的不辍劳作，美在他们孜孜不倦地创造甜蜜生活的那颗淳朴心灵。
四月之美，美在花繁草盛。
“黄四娘家花满蹊，千朵万朵压枝低。