割补法

知识点练习

一、选择题

1. 三平面，，两两互相垂直且交于点，空间一点到，，的距离分别为，，，则，两点间的距离为

A. B. C. D.

2. 已知三个平面两两互相垂直且交于一点，若空间一点到三个平面的距离分别为、、，则的长为

A. B. C. D.

3. 某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是

A. B. C. D.

4. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是

A. B. C. D.

5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为

A. B. C. D.

6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是

A. B. C. D.

7. 已知在半径为的球面上有、、、四点，若，则四面体的体积的最大值为 ( )

A. B. C. D.

二、填空题

8. 自半径为的球面上一点，作球的互相垂直的三条弦，，，则（用表示）．

9. 若构成教室墙角的三个墙面记为，，，交线记为，，，教室内一点到三墙面，，的距离分别为、、，则与墙角的距离为．

10. 如图是一个长方体截去一个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，，，

．则这个多面体的体积为．

11. 若三角形内切圆半径为，三边长分别为、、，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为，其四个面的面积分别为、、、，则四面体的体积．

12. 已知正方形的一个面在半径为的半球底面上，，，，四个顶点都在此半球面上，则正方体的体积为．

13. 在正四面体中，其棱长为，若正四面体有一个内切球，则这个球的表面积为．

14. 如图，已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积是．

15. 如图所示，正方体的棱长为，将该正方体沿对角面切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为．

16. 如图，在多面体中，，，两两垂直，平面平面，平面平面，

，，则该多面体的体积为．

17. 已知平面，，且，则异面直线与所成角的余弦值等于．

18. 已知，，，是球表面上的点，，，两两垂直，，，的面积分别为，，，则球的表面积为．

19. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积

是；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是．

20. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为．

21. 如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，分别经过三条棱，，

作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为．

22. 半径为的球面上有，，，四个点，且满足，，，则

的最大值为．

23. 已知正三棱锥，点都在半径为的球面上．若两两互相垂直，则球心到截面

的距离为．

24. 设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用、

、分别表示、、的面积，则的最大值是．

25. 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是．

三、解答题

26. 已知是棱长为的正方体，与分别为棱、的中点，求四棱锥的体积．

27. 如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且

．

(1)求证：平面；

(2)求多面体的体积．

28. 球面上有四个点，，，，且，，两两垂直，若，求这个球的表面积．

29. 如图所示，在多面体中，已知面是边长为的正方形，，，与面的距离为，求该多面体的体积．

30. 如图，在圆柱中，底面圆的半径为，母线长为，和的长均为所在圆周长的，若沿着平面将圆柱截开，试求所截得的体积较小的几何体的体积．

31. 如图，已知斜三棱柱的侧面的面积为，侧棱到侧面的距离为，求该三棱柱的体积．

32. 如图所示，三棱柱中，侧面的面积为，侧棱到此面的距离为，求这个三棱柱的体积．

33. 三棱柱中，若、分别为、的中点，平面将三棱柱分成体积为和的两部分（如图），求．

34. 已知四棱锥，其中，，面，，为的中点．

(1)求证：面；

(2)求证：面面；

(3)求四棱锥的体积．

35. 正方体中，连接，，，，，．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)设正方体的棱长为，求四面体的体积．

36. 如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)若，，求多面体的体积．

37. 如图，已知多面体中，，，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，

(1)试判断是否与平面平行？并说明理由；

(2)求多面体的体积．

38. 已知三棱台的上底面面积为，下底面面积为，作截面，设三棱锥

的高等于三棱台的高，求的面积．

39. 已知一几何体如图所示，正方形和梯形所在平面互相垂直，，，，，

．

(1)求证：平面；

(2)求该几何体的体积．

(1)如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得

，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；