08-反常积分课件

b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x
a
a
c
反常积分 c f (x) d x 和 b f (x) d x 均收敛时，称反常
a
c
积分 b f (x) d x 收敛；
a
converge
否则，称反常积分 b f (x) d x 发散．
a
diverge
无界函数的 反常积分举例
dx
x
e
x
0
e x d x
0
e
x
0
1
注 对于反常积分，也可以使用换元法和分部积分 ， 但使用时，必须满足极限运算法则．
例如，由于
x
e
x
t 0
和
t ex d x 当 t 时极限
0
都存在，因此
x ex d x 0
x
ex
0
e x d x
0
例 分
解
讨论反常积
1
1 xp
d
x
(
p
0)
的收敛性．
a
f
(x) d x
收敛，并把此极
限称为该反常积分的值；
converge
若上述极限不存在，则称反常积分 f (x) d x 发散．
a
diverge
函数 f (x)在 (,b] 上的反常积分
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
t t
如果极限存在，则称反常积
分
b f (x) d x 收敛；
converge
否则，称反常积分 f (x) d x 发散．
diverge
无穷区间上的 反常积分举例
例 计算反常积
分
1 d x 1 1 x2
解
1 d x lim
1 1 x2
t
t 1 dx 1 1 x2
lim arctan t
t
2
lim
t
arctan
x
t
1
lim
t
arctan
t
4
当0 1
x1ppdx1时11
p
1 x p1
1
1 xp
d
x
当 p 1 时
当 p 1时
1 d x ln x
1x
1
1
1 xp
d
x
1 1 p
1 x p1
1
1． p 1
即
1
1 xp
dx
发散， p 1， 1 ， p 1
p 1
反常积分 f (x) d x ( f (x) 0) 的几何意义 a
converge
极限不存在，则称反常积分 b f (x) d x 发散．
diverge
函数 f (x)在(, ) 上的反常积分
0
f (x) d x f (x) d x f (x) d x
0
反常积分 0 f (x) d x 和 f (x) d x 均收敛时，称反常
0
积分 f (x) d x 收敛；
由曲线 y f (x) 和直线 x a 以及 x 轴所“ 围 成 ”的
图形的面积．
y
t
f (x) d x lim f (x) d x
a
t a
y f (x)
Oa
t
x
无界函数的
反常积分
Improper Integrals with an unbounded integrand
设函数 f C(a, b] ，且在点 a 的任一邻域内无界 ，
lim
t
f (x) d x
t a
称为函数 f (x)在 [a, ) 上的反常积分，记作
f (x) d x ， a
即
Hale Waihona Puke Baidu
t
f (x) d x lim f (x) d x
a
t a
定义 设函数 f C[a, ) ，如果
t
f (x) d x lim f (x) d x
a
t a
极限存在， 则称反常积分
反常积分
Improper Integrals
b
a f (x) d x
(1) 有限区间 [a,b] [b, a]
无穷区间上的反常积 分Improper Integrals with Infinite Limits
(2) 有界是可积的必要条件
无界函数的反常积分
Improper Integrals with an unbounded integrand
例 计算反常积
分
x e x2 d x
0
解
因为函数
x e x2
的原函数为
1 e x2 2
，所以
0
x e x 2
d
x
1 2
e x 2
0
1 2
x e x2 d x 1 ex2 d(x2 ) 1 e x2 C
2
2
例 计算反常积 分解
x ex d x 0
lim x e x lim x 0
解 注意到这是个无限区间上无界函数的反常积分
令 t ，
x
1 1
，则 x d x
1
t22，t 于是 dt
2
1
d t π
1 x x 1
0 t(1 t2 )
0 1 t2
lim x 1 0 lim x 1
x1+
x
例 讨论反常积 1 1 d x ( p 0) 的收敛性．
0 xp
分解
当0
； 3. 无界函数的反常积分；
4. 无界函数的反常积分举例．
例 求反常积分 a 1 d x (a 0)
0 a2 x2
y
解 注意到 a 为瑕点，因此
a
1
t
d x lim
1
dx
0 a2 x2
ta 0 a2 x2
lim
ta
arcsin
x a
t 0
O
ax
π 2
注 若函数 f (x) 存在原函数F (x) ，区间(a, b] 上的
反常积分常写成如下形
x
e x x
x e x 0
dx
[
x
e
x
e
x
]
0
1
x e x d x x d(ex ) x e x e x (1) d x x e x e x C
例 计算反常积 x ex d x 0
分 解由分部积分公 式
lim x e x lim x 0
x
e x x
x ex 0
p 1时
1 1
0 xp
d
x
1 1 p
1 1
x
p1
0
1
1 p
；
1 x
p
d
x
当 p 1时 当 p 1时
1 1 d x ln x1 ；
0x
0
1
1 0
1 xp
d
x
1
1 p
1 x p1
0
即
1 ，0 p 1，
1 1
0 xp dx
1 p 发散，
p 1
小结 1. 无穷区间上的反常积分； 2. 无穷区间上的反常积分举例
式
f (x) d x F(x)b ，
ab
a
其中 F(x)b 应理解为F (b) lim F (x)
a
xa
其它情形，类似理解．
例 计算反常积 1 d x
分
1 x x 1
注意到这是个无限区间上无界函数的反常积分 解，
1
21
1
1
x
d x x 1
1
x
x 1 d x 2
x
dx x 1
例 计算反常积分 1 d x 1 x x 1
无穷区间上的 反常积分
Improper Integrals with Infinite Limits
一物体从地面送到离地面 h 高度的地方所作的功 ， 可表为一个定积分
h f (x) d x ， 0
如果要发射一飞行器到火星，需要计 算
lim h f (x) d x ．
h 0
设函数 f C[a, ) ，
a
diverge
函数 f (x)在 [a, b)上的反常积分( b 为瑕点)
b
t
f (x) d x lim f (x) d x
a
tb a
如果极限存在，则称反常积 分
极限不存在，则称反常积 分
b f (x) d x 收敛；
a
converge
b f (x) d x发散．
a
diverge
函数 f (x)在 [a, b]上的反常积分( c (a, b) 为瑕点)
πππ 24 4
注 若 f (x) 存在原函数F(x)，则
f (x) d x lim
t f (x) d x lim F(x)t ，
a
t a
t
a
为方便计，常把上述式子写成
f (x) d x F(x) ，
a
a
其中F(x)应理解为极限 lim F(x) F(a)
a
x
其它情形，类似理解．
那么称 a 为函数 f (x) 的瑕点．
瑕积分
设函数 f C(a, b] ，a 为 f (x) 的瑕点，
b
lim f (x) d x
ta t
称为函数 f (x)在 (a, b] 上的反常积分， 记作
b f (x) d x ， a
即
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
a
ta t
定义 设函数 f C(a, b] ，a 为 f (x) 的瑕点，如果
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
a
ta t
极限存在，则称反常积 b f (x) d x 收敛，并把此极
分
a
converge
限称为该反常积分的值
； 若上述极限不存在，则称反常积 分
b f (x) d x 发散．