方阵-奥数-四年级

方阵（教师版）

知识点精讲

方阵问题应用题就是把人或物按照一定的条件排成正方形，再根据已知条件求出人或物的数量的应用题。

特点是：方阵每边的实物数量相等，同边上相邻两层的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差8。

数量关系：

（1）方阵每边人数和四周人数的关系：

（每边人数-1）×4=四周人数

四周人数÷4+1=每边人数

（2）方阵总人数的计算方法：

实心方阵：每边人数×每边人数=总人数

空心方阵：

1.外边人数×外边人数-内边人数×内边人数=总人数

2.若将空心方阵分成4个相等的矩形计算，则：

（外边人数-层数）×层数×4=总人数

3.逐层相加，则：

第一层人数+第二层人数+第三层人数+…=总人数

课堂例题与练习

1.四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。排列这个方阵共需要多

少名同学？

解题分析：

这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？

解：8×8=64（人）

答：排列这个方阵，共需要64名同学。

2.有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。问棋子的总数是多少？最外层有多少只

棋子？

解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。

解：（1）棋子的总数是多少？

6×6=36（只）

（2）最外层有多少只棋子？

（6-1）×4=20（只）

答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。

3.一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？

还剩下多少只棋子？

解题分析排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子总数，然后减去去掉的棋子数，就是剩下棋子数。

解：（1）去掉多少只棋子？ 8×2-1=15（只）

（2）还剩多少只棋子？ 8×8-15=49（只）

答：要去掉15只棋子，还剩下49只棋子。

4.育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排

成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。育英小学四年级有多少人？

解题分析排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数。因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人。

解：（1）原来方阵中每排有多少人？（5+26-1）÷2=15（人）

（2）四年级共有多少人？ 15×15+5=230（人）

答：育英小学四年级有230人。

5.同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？

6.一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那

么最外层应该有多少个圆片？

7.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，

变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？

8.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多

少人？

9.若干名同学站成一个15×15的实心方阵。请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有

多少层？从里向外算起的第七层有多少人？

10.红领巾小学四年级有120名学生，他们排成一个三层的空心方阵，请问：

（1）这个方阵最外层每边有多少人？

（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？

（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？

11.用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块大正方形墙面：由外向内算起，这个墙面最

外层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖……

依次铺下去，一共用了400块瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？

12.王老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来

了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵。那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？

13.如下图所示，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上

种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10多花。请问：整个绿地一共要种多少朵花？

图2-1

14.在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，从外

向内一共8层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学、两层三年级的同学，已知参加表演的六年级同学有126

（1）最外层有多少人？

（2）现在阵列中一共有多少人？

（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，

还需要多少人？

图2-2

15.小高用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来又多摆上去了28个棋子，使得图形变

成一个三层的空心方阵。开始时小高可能摆了多少个棋子？

16.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳

树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?

17.阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等。已知方阵最外面一

圈都是男生，往内一圈都是女生，然后是男生…如此下去直到最里面。如果男生总数比女生总数多52人，那么共有学生多少人？

18.如图，一些棋子摆成的正三角形点阵．和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”．

（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20个棋子，那么一共有多少枚棋子？

（2）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？

（3294枚棋子，不止一层，那么它最外层最多有多少枚棋子？

图2-3