辅助角公式习题PPT课件
简单的三角恒等变换第二课时辅助角公式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
辅助角公式
学习目标：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化成一个角的一个
三角函数的形式，并能解决有关周期、最值等题。
重点：通过两角和与差的正弦、余弦公式的变形，会把形如
= + 的三角函数转化为 = ( + )
2
a
2
b
b
其中：
cos =
，
sin =
（tan = )。
2
2
2
2
a
a b
a b
注意点：(1)该函数的最大值为 a2＋b2，最小值为－ a2＋b2；
(2)y＝asin x＋bcos x＝ a2＋b2cos(x－θ).
例1.求 = + 的周期，最大值和最小值
练习1：求 = + 的周期，最大值和最小值。
, =
其中 =
+
+
得到 a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：逆用公式化简得： asin x＋bcos x=
+ ( + )
知识点
a sin x b cos x a b sin( x )
解：原式=
=
=
（ + ）
（ + ）
( + )
= =
最大值为 ，最小值为-
例2.求 = 3 − 的单调递增区间
解：方法一
原式=2（
必修四第三章辅助角公式PPT优秀课件
6
课堂练习： 化简：（1） 2sin 2 cos
（2） 2sinx - 6 cos x
（3）sin 2x cos 2x
7
延伸拓展：
化简： 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1
解：原式 3 sin 2x cos 2x
（ 2 3 sin 2x 1 cos 2x）
2
2
（ 2 sin2x cos cos 2x sin ）
6
6
2sin 2x
6
8
作业： 必修四教材 第137页 第13题
(1) (2) (3) (4)
9
10
个人观点供参考，欢迎讨论
利用辅助角公式可以将形如式子转化为一个角的一种三角函数形式
1
复习： (1)正余弦和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
对于形如 a sin x b cos x 如何化简呢
5
辅助角公式
a sin x b cos x a2 b2 sin(x )
其中 cos a ,sin b .
a2 b2
a2 b2
(其中 tan = b ) 一般地，0
a
2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 a sin x b cos x 的
2
探究：
1.公式的逆用
sin cos cos sin sin( ) sin 3
12 4
12 4
辅助角公式及应用
6
6
（2）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（3）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（4）
3 2
sin
1 2
cos
sin cos cos sin
6
6
辅助角公式的推导及简单应用
导学达标
引例 例1:求证：
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b,2由三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
cos a a
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质 解决函数问题 ⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin cos cos sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
3.2辅助角公式 课件-人教版高中数学必修四
（Ⅱ）求 f (x) 的最大值和最小值。
20
3、已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx). (1)求f( 5) 的值.
4
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增
区间.
4、已知函数f(x)= sin x cos x cos 2 x－1.
22
2
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区
a2
b2
a sin x a2 b2
b a2
b2
cos x
a2 b2 sin x cos cos x sin
a2 b2 sin(x ) 其中 cos a ,sin
a2 b2
b .
a2 b2
辅助角公式
a sin x b cos x a2 b2 sin(x )
1.利用公式展开
sin( ) 2 sin 2 cos
4
2
2
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2 sin 2 cos sin( )
2
2
4
试一试：
将下面式子化为只含正弦的形式：
(1) 3 sin 1 cos
2
2
(2)sin 3 cos
(3)sin cos
a sin x b cos x
（2）.1 sin 2x 3sin2 x 2
针对练习
1、求下列三角函数的最值及最小正周期
12sin x 2 3 cos x; 2 1 sin x 1 cos x; 3 6 cos 2x 2 sin 2x
2
2
2、 已知函数 f (x) sin2 x 2sin x cos x 3cos2 x
另外，由
3.1辅助角公式及应用的公开课比赛课件
②从三角函数的定义出发进行推导
2019/10/10
小池中学 方国华
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b2 ,由三角函数 的定义知
小池中学 方国华
辅助角公式
a sin x bcos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
2019/10/10
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注意问题
①由点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角 可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三
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小池中学 方国华
课后作业
P.132 练习6
2019/10/10
小池中学 方国华
谢谢指导！
2019/10/10
小池中学 方国华
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，asin x bcos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
2019/10/10
小池中学 方国华
公式推导
例2：将 asin x bcos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asin x bcos x已经是一个角的
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
过怎样的平移和伸缩变换得到?
2019/10/10
辅助角公式11579
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中
华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
进
程的里程碑。
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
三角恒等变换及辅助角公式练习题课件.doc
三角恒等变换公式sin( ) ，cos( ) sin( ) cos( ) tan( ) tan( )1. 0 sin 26 cos 34 cos 260 0 0sin 34 = 2. sin 20 =0cos1100 cos1600 sin 70 00 cos1100 cos1600 sin 70 03. 若1tan( ) ，21tan ，则s in 274. 已知12sin( x) ，4 130 x ，求4cos2xcos(4x)=5. 已知4 34，5sin( ) ，则sin4 56. 已知2tan( ) ，51tan( ) ，则tan( )4 4 47.若5 10 3sin 2 ，sin( ) ，且[ , ] ，[ , ]，则的值为( )5 10 4 2A ．74B．94C．54或74D．54或94二倍角公式：降幂公式：辅助角公式：1. cos11 cos2113cos114cos115cos112. （2013 新课标）设当x 时，函数 f (x) sin x 2cos x 取得最大值，则cos2 x3. 已知函数f (x) 2 sin(2x ) 6 sin x cosx 2 cos 1，4（1）求 f (x) 的最小正周期（2）求 f (x) 在区间[0, ]上的最大值和最小值24. 已知函数 f (x) 4 cos x sin( x ) ，( 0) 的最小正周期为4（1）求的值（2）讨论 f (x) 在区间[0, ]上的单调性。
25. 已知函数 f (x) 2 s in x (sin x cos x)（1）求 f (x) 的最小正周期和最大值（2）画出函数 f (x) 在区间[ , ] 上的图像。
2 24 2 s in cos sin46. 已知函数 f (x) cos x x x x（1）求 f (x) 的最小正周期（2）当x [0, ] 时，求f (x) 的最小值以及取得最小值时x 的集合。
辅助角公式例题
辅助角公式例题
特殊三角形辅助角公式
1、什么是特殊三角形辅助角公式？
特殊三角形辅助角公式是由前苏联高等教育学者贝尔科夫提出的，用以解决特殊三角形中辅助角的问题，该公式可以有效地减少三角形中辅助角的计算步骤，极大地节省计算角度的时间。
2、特殊三角形辅助角公式的形式
特殊三角形辅助角公式是：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，γ为α加β所代表的辅助角.
3、应用特殊三角形辅助角公式解决问题的步骤
（1）找出全等三角形中的任意一个角的值。
（2）根据全等三角形的边的长度，找出另外一个角的值。
（3）将所求的角的值代入特殊三角形辅助角公式，计算出所求的辅助角的值。
4、应用实例
实例：一个直角三角形的两直角边长分别为3m和4m，求该三角形的斜边对应的锐角角度。
解：由直角三角形的两直角边长，可以求出斜边c为5m，a=3，b=4 带入特殊三角形辅助角公式可得：sinγ=sin45°/cos45°=1/1=1，
由此，该三角形的锐角角度为γ=45°.。
辅助角公式PPT课件
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2
2
sin(30o x) 4
(3) 3 sin x cos x
我们发现，式中sinx和cosx的两个系数 和 3 和 1 不可以作为某个角的正余弦值
但同时我们发现，如果我们对式子提取2
后，sinx和cosx的系数变成了 3 和 1
就可以看做特殊角30o的正余弦值2
2
(3) 3 sin x cos x 2( 3 sin x 1 cos x)
已知化简sin2cos2cossinsincosmaxmin由图像知10巩固练习11一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法那是极其令人高兴的
专题：辅助角公式的应用
1
学习目标
1、理解并记住辅助角公式；
2、会用辅助角公式进行化简（将asin x b cos x 化为 Asin(x ) 的形式
2
62
k x 2 k , k Z
6
3
f (x)的单调减区间为[ k , 2 k ], k Z
6
3
(3) x
4
3
2x 5
3
66
由图像知f (x)max 2
2 sin 2
2
2,
3
f (x)min 2
2
回顾练习
求值：(1)sin347 cos148 sin 77 cos 58 ； (2)sin164 sin 224 sin 254 sin 314 ;
(3)sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
2023届高考数学复习微难点6 辅助角公式(共13张PPT)
＋
sin2
x＋π4
＝
1－cos2x＋6π 2
＋
1－cos2x＋2π 2
＝
1
－
1 2
23cos2x－32sin2x ＝ 1 －
3 2
cos
2x＋π3
.
因
此
，
该
函
数
的
值
域
是
1－ 23，1＋ 23.
与解三角形有关的辅助角公式 1
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosC－2c＝b. (1) 求角 A 的大小； 【解答】由 acosC－12c＝b 得 sinAcosC－12sinC＝sinB.又 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC，所以12sinC＝－cosAsinC.因为 sinC≠0，所以 cosA＝－12.又因为 0<A<π，所 以 A＝23π.
与三角变换有关的辅助角公式
π 已知 f(x)＝4tanxcosxcosx－3－ 3.
(1) 求 f(x)的定义域与最小正周期； 【 解 答 】 f(x) 的 定 义 域 为 x|x≠π2＋kπ，k∈Z .f(x) ＝ 4tanxcosxcos x－π3 － 3 ＝
4sinxcos
x－π 3
－
3＝4sinx 12cosx＋ 23sinx －
主题二 函数 第四章 三角函数与解三角形
微难点6 辅助角公式
与向量有关的辅助角公式
已知向量 a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数 f(x)＝a·b，且 y＝f(x)的图象
π
2π
过点12， 3和点 3 ，－2.
(1) 求 m，n 的值； 【解答】 已知 f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为 y＝f(x)过点1π2， 3，23π，－2，所
辅助角公式及应用课件
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
[ 感谢观看 ]
辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
辅助角公式(教)
辅助角公式在高考三角题中的应用对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx=++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
由于上式中的a a b22+与ba b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，其中θ由a a bb a b2222+=+=cos ,sin θθ来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期例1 （2006年上海卷选）求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
解：)6x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x2sin 3)2x 2sin(x2sin 3)4x sin()4x cos(2y π+=+=+π+=+π+π+=所以函数y 的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值例2. （2003年北京市）已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x 。
若x ∈[,]02π，求f(x)的最大值和最小值。
解：f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=--224sin()x π。
由0242434≤≤≤≤x x ππππ⇒--。
当244x -=-ππ，即x=0时，sin()24x -π最小值-22；当24238x x -==πππ，即时sin()24x -π取最大值1。
必修4辅助角公式
02 辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
总结词
通过三角函数的和差化积公式，我们可以将复杂的三角函数式转化为单一的三角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的和差化积公式，我们可以将两个或多个三角函数的和差形式转化为单一的三角函数形式。例如， 利用正弦和差化积公式，我们可以将表达式$sin(x+alpha)-sin(x)$转化为 $2cos(x+frac{alpha}{2})sin(frac{alpha}{2})$，从而简化计算。
算精度来减小。
近似误差
由于辅助角公式是利用近似值进 行计算的，因此存在近似误差。 这种误差的大小取决于公式的近
似程度和角度的范围。
范围限制误差
由于辅助角公式适用于特定范围 内的角度，因此当角度超出这个 范围时，公式可能不准确，导致
误差。
辅助角公式的适用范围与局限性
适用范围
辅助角公式适用于解决一些特定类型 的三角函数问题，如求三角函数的值、 化简三角函数表达式等。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三 角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三角 函数形式。例如，利用正弦的倍角公式，我们可以将表达式$sin(2x)$转化为 $2sin(x)cos(x)$，从而简化计算。
03 辅助角公式的应用实例
三角函数图像的变换
辅助角公式在三角函数图像变换中的应用，可以将正弦、余 弦、正切函数等三角函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换 ，从而得到新的三角函数图像。
例如，利用辅助角公式可以将正弦函数图像向右平移，得到 余弦函数图像；也可以将正弦函数图像进行伸缩变换，得到 周期不同的三角函数图像。
辅助角公式通用课件
随着数学与其他学科的交叉融合 ，辅助角公式将会在更多领域发
挥其重要的作用。
未来研究的方向与展望
对于辅助角公式的深入研究，可以进一步探索其与其他数学知识的联系 和区别，促进数学知识的系统化。
可以尝试推广辅助角公式，将其应用于更广泛的数学问题中，以拓展数 学的应用领域。
可以结合现代数学技术和方法，研究辅助角公式的计算方法和算法，提 高其计算效率和精度。
角）的三角函数值。
辅助角公式在解决三角函数问题 时具有广泛的应用，可以简化计
算过程，提高解题效率。Fra bibliotek辅助角公式的推导过程涉及到三 角函数的诱导公式和和差公式等 基础知识，需要学生熟练掌握。
辅助角公式的应用前景展望
随着数学教育的普及和提高，辅 助角公式将会被更广泛地应用于
解决实际问题中。
在物理、工程、经济等领域，辅 助角公式也有着广泛的应用前景 ，可以用于解决各种涉及三角函
实际应用案例
通过实际应用案例，可以深入理解辅助角公式的应用场景和优势，如物理、工 程、经济等领域的问题解决。
05 辅助角公式的习题与解答
辅助角公式的常见习题
习题1
01
已知角α的终边在第二象限，求α的集合。
习题2
02
已知sinα=-√3/2，求α在哪个象限。
习题3
03
已知cosα=1/2，求α的值。
02 辅助角公式的推导与证明
三角函数的和差化积公式
三角函数的和差化积公式是三角函数 中非常重要的公式之一，它可以将两 个三角函数的和差形式转化为积的形 式，从而简化计算。
这个公式在解决三角函数问题时非常 有用，可以大大简化计算过程。
具体来说，对于任意两个角度α和β， 三角函数的和差化积公式为： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。