精品 辅助角公式及应用PPT课件
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
过怎样的平移和伸缩变换得到?
小池中学 方国华
小池中学 方国华
例5:如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，
3 C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记
∠COP= ，问当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？
并求出这个最大面积。
Q
D
C
OA
小池中学 方国华
BP
分析:在求当α 取何值时,矩形ABCD的面积S 最大 ,可分二步进行:
32
2
6
= 1 sin(2α + π) - 3
3
66
小池中学 方国华
由0 < α < π ,得 o < 2α < 2π 进而 π < 2α + π < 5π
3
3
6
66
所以当2α
+
π 6
=
π 时，即α 2
=
π 6
时,
S最大
=
13
3= 6
3. 6
因此，当α = π 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 3
设矩形ABCD的面积为S，则
S = AB×BC
= (cosα - 3 sinα)sinα 3
小池中学 方国华
= sinαcosα - 3 sin2α 3
= 1 sin2α - 3 (1 - cos2α)
2
6
= 1 sin2α + 3 cos2α - 3
2
6
6
= 1 ( 3 sin2α + 1 cos2α) - 3
的形式
⑴ 3 sin 1 cos ⑵ 2 sin 6 cos
2
2
⑶ 3 sin cos ⑷ 2 sin( ) 6 cos( )
63
63
答案：
⑴ sin( ) 6
⑶ 2sin( 5 ) 6
小池中学 方国华
⑵ 2 2 sin( ) 3
2
2
sin cos cos sin 3 sin 1 cos
6
62
2
小池中学 方国华
思考： 通过前面四个题目我们发现，是不是任
何一个同角的异名函数可以转换成一个角的 三角函数值呢？如果能，那么又是怎么转化 的呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。
小池中学 方国华
辅助角公式的推导及简单应用
⑷ 2 sin(7 ) 36
例4：求函数y = sinx + 3cosx的周期，最大值和最小值。
解：y = sinx + 3cosx
= 2( 1 sinx + 3 cosx)
2
2
= 2(sinxcos π + cosxsin π)
= 2sin(x + π3)
3
3
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为- 2。
6
6
小池中学 方国华
达标测评
1.把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos (2)- sin cos
(3)-2sin
2 cos
(4)-3sin( ) 3 cos( )
6
6
2已知函数 y＝ 3sinx＋cosx，x R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
小池中学 方国华
导学达标
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，a sin x b cos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5 3 sin 1 cos
6
6
a sin x b cos x a2 b2 sin( x )
小池中学 方国华
认定目标
1、了解辅助角公式 a sin x b cos x a2 b2 sin( x 的) 推导过程
2、 会将 a sin x b cos x（a、b不全为零）化为只含 有一个正弦的三角形式 3、会利用辅助角公式解决三角函数问题
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
a
小池中学 方国华
辅助角公式
a sin x b cos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
小池中学 方国华
例3：试将以下各式化为 Asin(x ),(A 0, )
(1)找出S与α 之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S的最大值。
解：在RtΔOBC中，OB = cosα, BC = sinα 在RtΔOAD中，DA = tan60o = 3 OA
小池中学 方国华
所以OA = 3 3 DA = 3 BC = 3 sinα
3
3
3
所以AB = OB - OA = cosα - 3 sinα 3
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边Biblioteka Baidu
y
P(a,b)
r
OP=r,r= a2 ,由b2 三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
cos a a
小池中学 方国华
公式推导
例2：将 a sin x b cos x 化为一个角的三角函数形式 解：①若a=0或b=0时，a sin x b cos x已经是一个角的
三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
②从三角函数的定义出发进行推导
小池中学 方国华
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
学前测评
1.两角和与差的正弦公式
sin sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2.两角和与差的正弦公式的应用
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin
小池中学 方国华
小池中学 方国华
例5:如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，
3 C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记
∠COP= ，问当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？
并求出这个最大面积。
Q
D
C
OA
小池中学 方国华
BP
分析:在求当α 取何值时,矩形ABCD的面积S 最大 ,可分二步进行:
32
2
6
= 1 sin(2α + π) - 3
3
66
小池中学 方国华
由0 < α < π ,得 o < 2α < 2π 进而 π < 2α + π < 5π
3
3
6
66
所以当2α
+
π 6
=
π 时，即α 2
=
π 6
时,
S最大
=
13
3= 6
3. 6
因此，当α = π 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 3
设矩形ABCD的面积为S，则
S = AB×BC
= (cosα - 3 sinα)sinα 3
小池中学 方国华
= sinαcosα - 3 sin2α 3
= 1 sin2α - 3 (1 - cos2α)
2
6
= 1 sin2α + 3 cos2α - 3
2
6
6
= 1 ( 3 sin2α + 1 cos2α) - 3
的形式
⑴ 3 sin 1 cos ⑵ 2 sin 6 cos
2
2
⑶ 3 sin cos ⑷ 2 sin( ) 6 cos( )
63
63
答案：
⑴ sin( ) 6
⑶ 2sin( 5 ) 6
小池中学 方国华
⑵ 2 2 sin( ) 3
2
2
sin cos cos sin 3 sin 1 cos
6
62
2
小池中学 方国华
思考： 通过前面四个题目我们发现，是不是任
何一个同角的异名函数可以转换成一个角的 三角函数值呢？如果能，那么又是怎么转化 的呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。
小池中学 方国华
辅助角公式的推导及简单应用
⑷ 2 sin(7 ) 36
例4：求函数y = sinx + 3cosx的周期，最大值和最小值。
解：y = sinx + 3cosx
= 2( 1 sinx + 3 cosx)
2
2
= 2(sinxcos π + cosxsin π)
= 2sin(x + π3)
3
3
所以，所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为- 2。
6
6
小池中学 方国华
达标测评
1.把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos (2)- sin cos
(3)-2sin
2 cos
(4)-3sin( ) 3 cos( )
6
6
2已知函数 y＝ 3sinx＋cosx，x R.
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经
小池中学 方国华
导学达标
引例 例1:求证： 3 sin x cos x 2sin(x )
6
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地，a sin x b cos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
2
2
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5 3 sin 1 cos
6
6
a sin x b cos x a2 b2 sin( x )
小池中学 方国华
认定目标
1、了解辅助角公式 a sin x b cos x a2 b2 sin( x 的) 推导过程
2、 会将 a sin x b cos x（a、b不全为零）化为只含 有一个正弦的三角形式 3、会利用辅助角公式解决三角函数问题
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
a
小池中学 方国华
辅助角公式
a sin x b cos x a2 b2 sin( x )
(其中tan = b )
a
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
小池中学 方国华
例3：试将以下各式化为 Asin(x ),(A 0, )
(1)找出S与α 之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S的最大值。
解：在RtΔOBC中，OB = cosα, BC = sinα 在RtΔOAD中，DA = tan60o = 3 OA
小池中学 方国华
所以OA = 3 3 DA = 3 BC = 3 sinα
3
3
3
所以AB = OB - OA = cosα - 3 sinα 3
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边Biblioteka Baidu
y
P(a,b)
r
OP=r,r= a2 ,由b2 三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
cos a a
小池中学 方国华
公式推导
例2：将 a sin x b cos x 化为一个角的三角函数形式 解：①若a=0或b=0时，a sin x b cos x已经是一个角的
三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
②从三角函数的定义出发进行推导
小池中学 方国华
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一
学前测评
1.两角和与差的正弦公式
sin sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2.两角和与差的正弦公式的应用
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin