驻波知识点
普通物理学-机械波-2-6-驻波
2– 6 驻 波
第2章 机械波
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射
到波密介质时形成波腹。入射波与反射波在此处的 相位时时相同，即反射波在分界处不产生相机械波
四、驻波的能量
位移最大时
波 节
x
dWp
(y )2 x
波
腹
x
A B C 平衡位置时
第2章 机械波
2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节
π 两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 。
（与行波不同，无相位的传播）。
y 2Acos2π x cos2π t
例 x 为波节
4
y
2
2
o
x
cos2π x 0, x ,
44
y 2Acos 2π x cos 2π t
（4）驻波中驻波中各质点同时达到各自的最大位移，同时经 过各自的平衡位置，因此我们称驻波各质点作同步振动。
（5）没有振动状态或相位的逐点传播，即没有“跑动”的波 形，也没有能量的传播。
2– 6 驻 波
驻波的形成
第2章 机械波
2– 6 驻 波
第2章 机械波
二、驻波方程
正向
y1
A c os2π
(t
x
)
负向
y2
A c os2π
(t
x)
y y1 y2
Acos2π (t x ) Acos2π (t x )
2 Acos2π x cos2π t
驻波的振幅 与位置有关
各质点都在作同 频率的简谐运动
2– 6 驻 波
第2章 机械波
讨论 ➢ 1）振幅
驻波方程 y
生活中的驻波
生活中的驻波 1、 琴弦 由于弦线两端为波节，所以，应满足下列关系：,1,2,3, (2)==l n n λ 则 2=n l nλ 两端固定的弦中激起的驻波，其波长不是任意的.必须满足上述条件.由于 n 是自然数，波长为一系列分立值（波长量子化）. 由 =u νλ 及 =T u ρ 得 2=n n T l νρ（ 1,2,3,...=n ） 即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。
这些频率称为弦振动的本征频率，对应的振动方式称为该系统的简正模式（Normal mode).系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。
一般是各种简正模式的叠加.在有界弦上，之所以只存在一些特定的振动模式，是边界条件要求的结果.振动的简正模式演示 ：两端固定的弦线形成驻波时，波长n λ和弦线长l 应满足2n n l λ=，),2,1(2Λ==n lu n n ν 由此频率决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式.2.空气柱的振动当声波被限制在管子、圆筒或共它空腔内部时，可以获得共振。
形成的稳定驻波则由管端情况（边界条件）决定.管乐器分为开管、闭管两种，频率主要由管长决定.改变指位就是调节管长.美图欣赏：移动48个Fe原子形成“量子围栏”电子“驻波”清晰可见谈谈乐器的音调和音色.音调弦乐器的几根弦质量密度ρ不同，ρ越大，发出的音调就越低.如低音贝斯用很粗的牛筋或干脆用簧作弦.演奏准备时调弦，改变张力 T 的大小，张力越大音调越高.演奏过程中，演员不断变换指位奏出不同的音符，那是在改变弦长l .l 越短，音调越高，小提琴内弦的最低几个指位上能发出非常尖锐的高音调.音色不同乐器尽管它们奏出相同的音调，但仍发出不同的声音，我们很容易将它们区分出来。
这是因为它们的音色不同.每个人讲话的音色也不相同，各有各的特征，就像指纹一样.配音演员的幕后表演，我们一下就能辨认出来.声音辨认已经作为重要的侦察手段，其结论与指纹辨认一样具有同等的法律效力.不同的音色由什么决定呢？见下：2=n n l ν ,(1,2,3,...=n ) 1ν—基频, 212=νν—第二谐频,…只有基频的音响称为“纯音” —听上去单调、干涩; 含有谐频的音响称为“泛音” —听上去丰满、圆润 .一般情形，弦上能激起的驻波可以是基频的驻波和各次谐频的驻波的叠加。
第五节 驻波
§ 9.5 驻波驻波(standing wave)：波形不传播，媒质质元的一种集体振动形态。
一、驻波的形成驻波是由两列 频率相同、振动方向相同、且振幅相等，但传播方向相反的行波叠加而成的。
图中红线即驻波的波形曲线。
可见，驻波波形原地起伏变化。
即驻波波形不传播这是“驻”字的第一层含义。
二、驻波表达式 两列行波的表达式 正向驻波的形成11cos 2π()x y A t νφλ=-+反向适当选择坐标原点和时间零点，使 ϕ1、ϕ2均等于零，则表达式变为 两行波叠加得驻波表达式：三、驻波的特点1 频率特点：由图及式知，各质元以同一频率作简谐振动。
2 振幅特点：(1)各点的振幅|2A cos kx |和位置x 有关，振幅在空间按余弦规律分布。
(2)波节：有些点始终静止，这些点称作波节(node)。
波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，故波节处静止不动。
由cos 2π/x ＝0得波节位置，两相邻波节间的距离为 λ /2。
(3)波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹(antinode)。
波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强，故波腹处振幅最大。
由|cos kx |＝1得波腹位置，两相邻波腹间的距离亦为 λ /2。
3 相位特点驻波波形曲线分为很多“分段”(每段长λ/2)，同一分段中的各质元振动相位相同；相邻分段中的质元振动相位相反。
驻波相位不传播()m210,1,02im x k k A λ'=±+== 22cos 2π()xy A t νφλ=-+2cos 2π()xy A t νλ=+2cos 2πcos 2πxA tνλ=12y y y =+cos 2π()cos 2π()x xA t A t ννλλ=-++1cos 2π()xy A t νλ=+max0,1,22x kk A A λ'=±==这是“驻”字的第二层含义。
例： 为波节结论相邻波节间的各点同相 ,波节两边的各点振动反相 4 能量特点驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波腹间 的λ/4的范围内，在此范围内有能量的反复 流动，但能量不能越过波腹和波节传播。
6驻波
l = n
千斤
λ
2
n = 1, 2 , ⋯
波速 u =
nu 频率 ν = = λ 2l
u
T
ρ
l
码子
1 基频 n = 1 ν 1 = 2l
T
n 谐频 n > 1 ν n = 2l
ρ T
= 262 Hz
ρ
± ( k + ) k = 0,1,⋯ Amin = 0 2 2 相邻波腹 波腹（ 相邻波腹（节）间距 = λ 2
波节
而异， 与时间无关. 随 x 而异， 与时间无关
相邻波腹和波节 相邻波腹和波节间距
=λ 4
3）相位分布 相邻两波节之间质点振动同相位，任 ） 相邻两波节之间质点振动同相位， 一波节两侧振动相位相反， 波节处产生 一波节两侧振动相位相反，在波节处产生 π 的相位 跃变 .（与行波不同，无相位的传播）. （与行波不同，无相位的传播）
一端固定一端自由 一端固定一端自由 固定一端 的弦振动的简正模式
l=n
λn
2
n = 1, 2,⋯
l=
1 λn l = (n − ) n = 1,2,⋯ 2 2
λ1
2
l=
λ1
4
2λ 2 l= 2
3λ3 l= 2
3λ2 l= 4 5λ 3 l= 4
讨论 如图二胡弦长 l = 0.3 m ，张力 T = 9.4 N . 密度 ρ = 3.8 × 10 −4 kg m . 求弦所发的声音的基频和谐频 求弦所发的声音的基频和谐频. 弦两端为固定点，是波节. 解 ：弦两端为固定点，是波节
四、振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时， 两端固定的弦线形成驻波时，波长 λn 和弦线长 l 固定的弦线形成
大学物理：Chapter 13-驻波
2
2
A驻 cos ( t )
A驻
2 Acos (2 x 2 1 ) 2
★ 说明：
(1) A驻 是 x 的周期函数，决定 x 处质点的振幅。
(2) (t ) 决定 x 处质点的振动状态。
(3) 各点作频率相同、振幅不同的谐振动。
(4) 方程中不含 (t x u) 项，非行波，没有波形的传播。
无半波损失时，应满足：
t kx0 0反 t kx0 0入
0反 0入 2kx0
有半波损失时，应满足：
t kx0 0反 t kx0 0入 0反 0入 2kx0
驻波在生活中的 应用
• 首先举几个生活中常见驻波的例子： • 以弦乐器的弦来说明。当拨动琴弦，产生一个波，遇到两
无半波损失时，
若入射波函数为：u入 ( x , t ) A cos(t kx) 则反射波函数一定为：u反 ( x , t ) A cos(t kx)
若入射波函数为：u入 ( x , t ) A cos(t kx 0 )
则反射波函数一定为：u反 ( x ,t ) A cos(t kx 0 )
解： (1)
y入
A cos
2
(
t T
x
)
入射波 O
反射波
P
波密 介质
x
y入O
A cos
2
t T
L = 5λ
波由O 传至P 再返回O ，引起O 点振动相位比 y入O 落后了：
2
2L
由半波损失引起的相位差
所以反射波在O点的振动方程为：
y反O
A cos[ 2
t T
(2
2L
)]
Acos[2 t (2 10 )] Acos[2 t 21 ]
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驻波详细资料大全驻波（stationary wave）频率相同、传输方向相反的两种波（不一定是电波），沿传输线形成的一种分布状态。
其中的一个波一般是另一个波的反射波。
在两者电压（或电流）相加的点出现波腹，在两者电压（或电流）相减的点形成波节。
在波形上，波节和波腹的位置始终是不变的，给人“驻立不动的印象，但它的瞬时值是随时间而改变的。
如果这两种波的幅值相等，则波节的幅值为零。
基本介绍•中文名：驻波•外文名：stationary wave (standing wave)•套用学科：物理•特点：波面水平时，流速绝对值最大使用,特性,产生驻波的条件,特点,举例,套用,驻波比,使用由于节点静止不动，所以波形没有传播。
能量以动能和位能的形式交换储存，亦传播不出去。
驻波测量两相邻波节间的距离就可测定波长。
各种乐器，包括弦乐器、管乐器和打击乐器，都是由于产生驻波而发声。
为得到最强的驻波，弦或管内空气柱的长度L必须等于半波长的整数倍，即，k为整数，λ为波长。
因而弦或管中能存在的驻波波长为kλ/2，相应的振动频率为2*3.14u/λ，υ为波速。
k=1时，称为基频，除基频外，还存在频率为kn1的倍频。
特性入射波（推进波）与反射波相互干扰而形成的波形不再推进（仅波腹上、下振动，波节不移动）的波浪，称驻波。
驻波多发生在海岸陡壁或直立式水工建筑物前面。
紧靠陡壁附近的海水面随时间虽作周期性升降，海水呈往复流动，但并不向前传播，水面基本上是水平的，这就是由于受岸壁的限制使入射波与反射波相互干扰而形成的。
波面随时间作周期性的升降，每隔偶数个半个波长就有一个波面升降幅度为最大的断面，称为波腹；当波面升降的幅度为0时的断面，称为波节。
相邻两波节间的水平距离仍为半个波长，因此驻波的波面包含一系列的波腹和波节，腹节相间，波腹处的波面的高低虽有周期性变化，但此断面的水平位置是固定的，波节的位置也是固定的。
这与进行波的波峰、波谷沿水平方向移动的现象正好相反，驻波的形状不传播，故名驻波。
5驻波
1
•如果 •如果
2
2u2 1u1 2u2 1u1
界面处出现半波损失；则介
质1称为波疏媒质，介质2称为波密媒质。 界面处不出现半波损失；则介 质1称为波密媒质，介质2称为波疏媒质。
2.相位突变
界面处为波节时，反射波相位突变了，相当半 个波长的波程----半波损失。
11
五、弦线上驻波形成条件
§ 5.6
驻波
1
一、驻波
1.驻波的产生 驻波是两列振幅、频率和传播速率都相同的相干 波在同一直线上沿相反方向传播时波的叠加而形成的现 象。（由于其波动看起来处于静止状态，与行波相对称 为驻波。） 当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠加 可产生驻波----波形不传播。
2
二 、驻波方程
t x 正行波（入射波） y1 A cos2 T t x 负行波（反射波） y2 A cos2 T
合成波 由三角公式：
y y1 y2
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[ (α-β)/2]
t x t x y A cos2 A cos2 T T
t 2 A cos 2 cos 2 T
4.波节、波腹位置 ①.波节位置
波腹
x 0
2 A cos 2
2
x
(2k 1)2x (2k 1)
4
( k 0,1,2)
5
/2
波节
②.相邻波节距离
波腹
x (2k 1)
4
x k1 x k [2( k 1) 1] (2k 1) 4 4 2 x cos 2 1 ③.波腹位置
大学物理 驻波(一)2024
大学物理驻波（一）引言概述：驻波是在介质中传播的波在与逆向传播的波相遇时形成的一种特殊波动现象。
它在大学物理中有着重要的应用和理论意义。
本文将从驻波的基本概念和特点入手，详细介绍了驻波的形成条件，驻波的数学描述以及驻波的实验观察等。
正文：1. 驻波的基本概念和特点- 驻波是由两个相同频率、振幅相等而方向相反的波在空间中相遇而形成的。
- 驻波的震动节点是固定不动的，而虚节点一直在不断地交替出现。
- 驻波是由于波的干涉而形成的，不会传输能量或物质。
2. 驻波的形成条件- 驻波形成的必要条件是波的传播速度相同，波长相等且频率相同。
- 在一维情况下，驻波形成的充分条件是两波的幅值、频率、相位相同。
3. 驻波的数学描述- 驻波可以用数学方程来描述，常用的方程为y(x,t) = Acos(kx)cos(ωt + φ)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率，φ为初相位。
- 驻波方程中的k和ω与波长λ和周期T之间有着确定的关系：k = 2π/λ，ω = 2π/T。
4. 驻波的实验观察- 驻波可以通过在一定条件下的波的传播介质中观察到，如绳上的驻波、声管中的驻波等。
- 在实验观察中，可以通过调节波的频率、振幅、传播介质的长度等参数来观察驻波的形成与特性。
5. 驻波的应用- 驻波在声学、光学、电磁学以及其他物理学领域中有着广泛的应用，如乐器共鸣现象、干涉仪的工作原理等。
- 驻波还可以用于测量波的参数，如测量波速、波长等。
总结：驻波是在介质中传播的波在与逆向传播的波相遇时形成的一种特殊波动现象。
它具有震动节点固定、虚节点不断交替出现的特点，是由波的干涉形成的。
驻波的形成需要满足波的传播速度相等、波长相等且频率相同的条件。
驻波可以通过实验观察到，并可用数学方程进行描述，有着广泛的应用价值。
驻波复习资料
驻波复习资料驻波复习资料驻波是物理学中一个重要的概念，它在电磁学、声学、光学等领域都有广泛应用。
在这篇文章中，我们将回顾一些关于驻波的基本知识和相关概念，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
1. 驻波的定义和特点驻波是指在一定空间范围内，由于波的传播和反射导致的波干涉现象。
它的特点是波节和波腹的存在，波节是指波的振幅为零的点，而波腹则是振幅达到最大值的点。
驻波的形成需要两个波源，它们之间的距离和波长有关。
当两个波源的波长相等且振幅相反时，就会形成驻波。
2. 驻波的数学表达驻波可以用数学方程来描述，其中最常见的是正弦函数。
对于一维驻波，它的数学表达式为y(x, t) = A sin(kx) sin(ωt)，其中A为振幅，k为波数，x为位置，ω为角频率，t为时间。
这个方程可以用来描述驻波在空间和时间上的变化。
3. 驻波的节点和腹部驻波中的节点和腹部是非常重要的概念。
节点是波的振幅为零的点，而腹部则是振幅达到最大值的点。
在一维驻波中，节点和腹部的间距为半个波长。
这些点的位置决定了驻波的形状和特性。
4. 驻波的应用驻波在许多领域都有广泛的应用。
在声学中，驻波可以解释乐器的共鸣现象，例如弦乐器和管乐器。
在光学中，驻波可以用来解释干涉和衍射现象，也是激光的基本原理之一。
在电磁学中，驻波在天线和微波炉等设备中起着重要的作用。
此外，驻波还可以用于粒子悬浮和操纵，以及微流控芯片等领域的研究。
5. 驻波的实验观测为了观测和研究驻波现象，科学家们进行了许多实验。
其中最著名的是杨氏双缝实验，它通过在光源前放置两个狭缝来产生驻波。
这个实验不仅证明了光的波动性，也为后来的干涉和衍射理论奠定了基础。
除了杨氏双缝实验，还有许多其他实验可以用来观测和研究驻波，例如声波在管道中的传播和反射等。
6. 驻波的数值模拟除了实验观测，科学家们还可以利用计算机进行驻波的数值模拟。
通过数值模拟，可以更深入地理解驻波的特性和行为。
数值模拟还可以用来优化驻波的应用，例如在天线设计和光学器件中。
大学物理：Chapter 13-驻波
)
y驻
2 A cos(2
x
)cos(2
2
t T
)
2
(3) 波节点： 2 Acos(2 x ) 2
0,
2 x (2k 1)
2
2
2 x k , x k (k 0, 1, 2,) (0 x 5 )
垂直入射中，入射波和反射波的合成
四、半波损失 (相位跃变）
1. 波阻：ρ u 其中，ρ — 介质密度；u — 波速。 两介质相比较，ρ u 大者称波密介质，小者称波疏介质。
2. 半波损失
— 当波由波疏介质向波密介质垂直入射，在两介质界面
反射时相位突变π ，称为“半波损失”。
★ 1v1 2v2 时，有半波损失，
A驻 2 A
2 x 2 1 k (k 0, 1, 2,)
2
★ 相邻两波节(或波腹)间的距离： Δx xk 1 xk 2
t 0
tT 4
tT 2
t 3T 4
波节:始终 不动的点。 红色虚线对 应的位置。
波腹:振幅 始终最大的 点。黑色虚 线对应的位 置。
2. 驻波中各点的相位关系
2π
2
半波损失: 反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反相.
两端固定的弦 振动的简正模式
l n n n 1,2,
2
l 1
2 l 22
2
l 33
2
1）弦上的驻波
A
弦
B
L n n
L
2
n
2L n
n=1 n=2 n=3
n
u
n
n u n=4 2L
1
u 2L （基频）
2
u L
3
3u 2L
第七节 驻波
第七节驻波
学习目标：
1．知道驻波现象，知道波腹和波节.
2．知道驻波是怎样产生的.
3．知道驻波是一种特殊的干涉现象.学习重点：驻波的概念及产生
学习难点：驻波的形成过程.
学习内容：
一、驻波
1．波节和波腹
(1)波节:以弦线驻波为例,弦线上始终静止不动的点叫做波节.
(2)在波节和波节之间,振幅最大的那些点叫做波腹.
2．在相邻的两波节和波节之间,质点振动方向是相反的,相邻的两个波节(或波腹)之间的距离等于半个波长.即λ/2
3．驻波:两列波沿相反方向传播的振幅相同,频率相同的波的叠加时形成的波叫做驻波.
4．驻波的形成是两列波沿相反方向传播的振幅相同,频率相同的波叠加的结果.
二、驻波是一种特殊的干涉现象
1．波源特性:驻波是由频率相同、振幅相同而传播方向相反的两列波的叠加而成.
2．波形特殊:波形虽然随时间而改变,但不向任何方向移动．
三、空气柱内的驻波
1．空气柱内产生驻波的条件:空气柱的长度l跟声波波长λ间满足l=(2n+1)λ/4时,在空气柱内产生驻波.(n =0、1、2、3……)
2．利用空气柱内产生的驻波能测出声波的速度．自我检测：
1．下列说法中正确的是（）
A．弦线上的驻波其总长为半个波长的自然数倍
B．用驻波的规律可测波形的波长
C．驻波上处于波节的点位移始终为零,处于波腹的点位移始终处于最大
D．弦乐器发声使弦上形成驻波.
2．下列说法中正确的是（）
A．两列和相反方向传播的波叠加就一定产生驻波
B．在驻波中有些质点始终静止不动,相邻的两个这样的质点的距离相距半个波长
C．驻波中各质点都有相同的振幅
D．驻波中两波节间各质点的振动频率相同.。
驻波的概述
即
y1
Acos(2 t
2
x)
y2
A c os(2 t
2
x)
两波相遇，其合成波为
y
y1
y2
A c os(2 t
2
x)
A c os(2 t
2
x)
2Acos 2 x cos2 t (x) (t)
变量分离 2
2、驻波特征
① 振幅分布的特点
➢波线上各点都在自己平衡位置附近作周期为T的谐振动，各
x
0
Dy2
A c os2
t T
x
解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节， 说明有半波损失。
故应选 (D)
12
例 5－1０ 某时刻驻波波形曲线如图所示，则a,b两点位相差是
（Ａ）
a
（B） 2
A
b
（C）5 4
o
（D） 0
A
2
9
8
解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。
5
／4
(x) ＞0 (x) < 0 3／4
5／4
相邻两个波节之间的所有各点振动位相相同，同步振动。任 一波节两侧的点，振动位相正好相反，相差π ，
──即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相 邻两段位相相反。
6
③、驻波能量分布特点：
y(t t, x x) 2Acos2 (x x) cos2 (t t) y(t, x)
驻波的概述
一、驻波现象
在同一介质中，两列振幅相同的相干平面简谐波，在同一 直线上沿相反方向传播时叠加形成的波，称为驻波。
P
A
B
m
绳上的驻波
16--6驻波
解释： 解释： C a a
v F
u
C
v F
C’ v
结论； v b质点 要带动 向上运 结论； 质点b要带动 要带动a向上运 v F' 作为反射波的波
动b却受一反作用力 F' 却受一反作用力
F'
源C’点的位移总 点的位移总 C’给C一作用力 不 是与入射波在C’ 一作用力,C’不 是与入射波在C 给 一作用力 而给C一反作用力 动，而给 一反作用力 v 点的位移反向。 点的位移反向。 点产生一 F' ，使C’点产生一 --半波反射。 --半波反射 半波反射。 向下的反向位移。 向下的反向位移。
2
O1m+mP=8 λ，O1P=3 λ，求（1）两列波分别在P点引起 的振动的振动方程；（2）P点的合振幅（设介质无吸 收）
2.一平面简谐波沿x轴正向传播，如图所示，振幅为 A，频率为ν，传播速度为v， （1）t=0时，在原点O处的质元由平衡位置向x轴正方向运 动，试写出此波的波函数； （2）若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等， 试写出反射波的波函数，并求在x轴上因入射波和反射 波叠加而静止的各点的位置。
>0
λ π x 3π ≤ 2π ≤ 2 λ 2
2Acos 2π
x
λ
<0
节点两侧质点反相
总之：相邻两节点间的质点同相， 总之：相邻两节点间的质点同相，节点两侧质 点反相。 点反相。 纵驻波： 纵驻波： X 节点 3）驻波的能量 Y X 节点
驻波中的能流密度为零， 驻波中的能流密度为零，实际上是系统的一 种稳定的振动状态。 种稳定的振动状态。
1.0 0.5 0 1.0 0.5 0 1.0 0.5 0 1.0 0.5 0 0 1000
驻波
x
λ
cos 2πνt
波= 2 A cos 2π x cos 2πνt 波 y = y1 + y2 腹 节 λ
1）频率特点： 所有质元作同频率的简谐振动 2）振幅特点：各质元振幅不同，且不随时间变化， 存在波腹与波节 x Ax = 2 A cos 2π 波节 波腹 λ 2πx 2πx π = k π , k = 0,±1,±2 L = (2 k + 1) , k = 0,±1,±2 L λ λ 2
频率降低
三、波源和观察者同时相对于介质运动 三、波源和观察者同时相对于介质运动
u + vR νR = νS u − vs
波源与观察者相互接 近时，频率升高；波 源与观察者彼此分离 时，频率降低。
vR ：观察者向着波源运动时为正，观
察者背着波源运动时为负； vs ：波源向着观察者运动时为正，波源 背着观察者运动时为负。 •利用声波的多普勒效应可以测定流体 的流速，振动体的振动和潜艇的速度 •用来报警和监测车速 •在医学上，如做超声心动、多普勒血 流仪。
vS > 0
一、 波源不动，观察者相对介质运动 一、 波源不动，观察者相对介质运动
若观察者以速度vR向着波源运动
νR =
u + vR
λ
u + vR u + vR νw = = u νw u
λ
S
u + vR = νS u u + vR νR = ν S 频率升高 u
若观察者以速度vR离开波源运动， 同理可得观察者接受到的频率：
入射波和反射波的波形
波疏介质 波密介质 波节 x 驻波 位相突变π 波密介质
λ
2
波疏介质 波腹
“半波损失” half-wave loss
驻波经典知识介绍
L
1 2 A
x
解 （a）设反射波方程为 ）
x y2 = 10 cos[200π(t + ) + ϕ 0 ] (m) 200 x −3 y1 = 10 cos[ 200 π( t − )] 200 由式（ ） 由式（1）得A点的反射振动方程 L −3 y1 A = 10 cos[200π(t − ) + π] (m) 200 由式（ ） 由式（2）得A点的反射振动方程 点的反射振动方程 舍 L −3 y2 A = 10 cos[200 π(t + ) + ϕ0 ] 去 (m) 200 π ϕ 0 = −2 πL + π = -3.5π = -4π + 2
Q − cos( 2 π ν t ) = cos( 2 π ν t + π )
(1) 两相邻波节间的点（同一段的点） 两相邻波节间的点（同一段的点） 驻波波形曲线 x cos( 2π ) 符号相同，相位相同。 分为很多“分段” 符号相同，相位相同。 分为很多“分段” λ (每段长 λ /2 ); 波节两边的点（相邻段的点） (2) 波节两边的点（相邻段的点） x 符号相反，相位相反。 cos( 2π ) 符号相反，相位相反。 λ 驻波相位不传播 ---"驻"字的第二层含义。 ---" 字的第二层含义。
驻波的能量被“封闭” 驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波腹间的 λ 的范围内，在此范围内有能量的反复流动， /4 的范围内，在此范围内有能量的反复流动，但能 量不能越过波腹和波节传播, 量不能越过波腹和波节传播,驻波没有单向的能量传 输。 形成驻波的两个行波的能流密度数值相等，方 形成驻波的两个行波的能流密度数值相等， 向相反，因此它们叠加而成的驻波能流密度为零， 向相反，因此它们叠加而成的驻波能流密度为零， 驻波不传播能量 ---“驻”字的第三层含义。 ---“ 字的第三层含义。
驻波计算公式
驻波计算公式摘要：一、前言二、驻波概念介绍三、驻波计算公式1.驻波的产生原理2.驻波计算公式推导3.常见驻波计算公式类型四、驻波计算公式的应用1.无线通信系统中的应用2.声学系统中的应用3.地震学领域中的应用五、总结正文：【前言】驻波计算公式是物理学中的一个重要概念，涉及到声学、电磁学、地震学等多个领域。
本文将对驻波计算公式进行详细介绍，包括其产生原理、计算公式推导以及在不同领域的应用。
【驻波概念介绍】在了解驻波计算公式之前，我们需要先了解什么是驻波。
驻波，又称为静波或稳定波，是指在同一介质中，两个传播方向相反、振幅相同、频率相同的波相互叠加而形成的。
简单来说，驻波是一种特殊的波动现象，表现为波的振幅在某一范围内来回震荡。
【驻波计算公式】1.驻波的产生原理要理解驻波计算公式，我们首先要了解驻波是如何产生的。
假设有一列波沿着介质传播，当这列波遇到一个边界时，部分波将被反射回来。
如果反射波与入射波在同一介质中相遇，且二者具有相同的振幅和频率，那么它们就会相互叠加，形成驻波。
2.驻波计算公式推导驻波的计算公式涉及到波动方程，我们可以根据波动方程来推导驻波计算公式。
假设某一介质中的波速为v，波长为λ，则波动方程可以表示为：u/t = -ku/x其中，u表示波的振幅，t表示时间，x表示空间坐标，k = (2π/λ)v。
当波遇到边界并发生反射时，反射波的振幅与入射波的振幅之间的关系为：A_r = A_i * (1 - r)其中，A_i表示入射波的振幅，A_r表示反射波的振幅，r表示反射系数。
当反射波与入射波在同一介质中相遇时，它们会相互叠加，形成驻波。
设驻波的振幅为A_s，则有：A_s = A_i + A_r3.常见驻波计算公式类型在实际应用中，驻波计算公式有很多种，常见的有洛伦兹方程、尼克尔森方程等。
这些方程的具体形式可能因应用场景和问题的具体需求而有所不同，但它们的基本原理都是基于波动方程和反射系数来推导的。
10-5驻波
) cos
2x
2x
2x
k ;
k x 2
( 2k 1 )
2
;
x (2k 1)
4
②反射端是固定端， 入 A cos( t
2x
当 x 0 时， 0 A cos( t
2
)
2 2x 反 A cos(t ) 2
) ，考虑半波损失
入 反 2 A sin(
波腹位置：
2x
2x
2x k ; 波节位置：
( 2k 1 )
2
;
) cost
x (2k 1)
4
k x 2
例 3:设距某一反射壁 L 处有一波源,如图,发出圆频率 , u 振幅为 A 的平面波,波的传播速度是 ,若选波源处为坐 标原点 O,求:1)此平面波的表达式;2)反射波的表达式, 设反射处有半波损失;3)合成波的表达式 4)在距 O 为 L 3 处的振动方程
解：设 O 点的振动方程
A cost
L
1)入射波方程
1
x
B
2)反射波方程
x A cos ( t ) u
o
x
2L x x 2L 2 A cos t A cos t u u u
反射波到 点相位落后于原点 P 设d OA 2.25m, 则t 2d-x u
Y
u
2d x y反 10 3 cos 200 t 200
3
第10讲 驻波
(2) 振幅最强
A = 2A1位置: 波腹
振动相消
A = 0 位置： 波节
两相邻波腹(或波节)位置:
相距/2
例：上图中合成波：
1
2
2 A 1 cos
2 x
2 x
cos t
求波腹和波节的位置 解：
由 A max 2 A1
| cos 2 x
| 1
k
得波腹位置：
驻波的应用
弦乐发声：一维驻波；
鼓面：二维驻波；
微波振荡器，
激光器谐振腔
量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波…...
半波损失
3) 半波损失 波在两种不同介质界面上的反射 自由端反射 全波反射 波密 波疏界面反射 特征阻抗： z u 大
z u小
反射波与入射波 在反射点同相 波腹 反射波与入射波 在反射点反相 波节 相位突变 半波损失
疏
u入
密
x
O
3 4
P
解：1)
t=0时
0 0,
疏 密 原点处
v0 0,
u入
O
3 4
P
x
原点初相 0
0
2
A cos( 2 t
x u
2
)
]
Ψ 入 A cos[ 2 ( t
)
2
Ψ 入 A cos[ 2 ( t
x u
)
2
u入
Ψ P Ψ 入P Ψ 反P 0
x 2 v t u 2
3 / 4 x A cos 2 v t A cos u
§7-6 驻波
比较
驻波和行波的区别
(a) 振幅分布 平面简谐行波：振幅与x 平面简谐行波：振幅与x无关 驻波：振幅随x 驻波：振幅随x呈周期性分布 (b)位相分布 (b)位相分布 2π x 行波：位相随x 行波：位相随x均匀变化 Φ( x, t ) = ωt − 驻波：两波节间相同，波节两侧相反。 驻波：两波节间相同，波节两侧相反。 (c) 行波传播能量，驻波不传播能量。 行波传播能量，驻波不传播能量。 驻波是一种稳定的振动状态。 驻波是一种稳定的振动状态。
3 驻波的形成
t=0 t = T/ 8 t = T/4 t = 3T/8 t = T/2 振动范围 波腹
y 0 0 0 0 0
2A x x x x x 2A x 波节
0 -2A -λ /4 λ /4 λ/2
二 驻波方程 设正向： y1 = A0 cos(ωt − 2π ) 设正向： λ x 反向： 反向： y2 = A0 cos(ωt + 2π ) 合成波： 合成波：
练习：试画出同一时刻反射波的波形图（ 练习：试画出同一时刻反射波的波形图（设振 幅相同）(导学练 幅相同） 导学练P36，4） ， ） 导学练 y
B P
波密媒质
x
C
分析： 判断入射波在P点引起的振动的方向 点引起的振动的方向； 分析：(1) 判断入射波在 点引起的振动的方向；
(2)反射波在 点引起的振动方向，结合 反射波在P点引起的振动方向 反射波在 点引起的振动方向， 波的传播确定反射波波形。 波的传播确定反射波波形。
§7-6 驻波
一 驻波的形成 A 音叉 u B u
1 条件：两列振幅相同的相干波相向传播， 条件：两列振幅相同的相干波相向传播， 相向传播 形成特殊的干涉现象。 形成特殊的干涉现象。
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驻波知识点
驻波是波动现象中的一个重要概念，广泛应用于电磁波、声波等领域。
了解驻波的基本概念和特性对于理解波动现象以及在实际应用中的运用具有重要意义。
本文将从基础概念、形成机制、特性以及实际应用等方面，分步骤地介绍驻波的知识点。
第一步：基础概念
驻波是由两个相同频率、振幅相等但传播方向相反的波叠加而形成的一种特殊波动现象。
在驻波中，波动的节点（波幅为零）和波动的腹部（波幅最大）交替出现。
节点和腹部之间的距离被称为波长，而节点之间的距离则是半波长。
第二步：形成机制
驻波的形成机制涉及波动的传播和干涉。
当两个波在同一介质中传播时，它们会相互干涉，形成驻波。
在这个过程中，来自两个方向的波经过反射、折射、散射等现象后，在特定位置上出现波动的叠加，形成了节点和腹部。
第三步：特性
驻波具有一些独特的特性，其中最重要的特性是节点和腹部的分布。
节点是波动的位置，波幅为零。
相邻两个节点之间的距离是半波长。
相反，腹部是波动的位置，波幅达到最大。
腹部和节点之间的距离也是半波长。
此外，驻波还具有波动的稳定性和固定的频率。
第四步：实际应用
驻波在实际应用中有广泛的用途。
其中一个重要应用是在电磁波领域中，如微波炉和天线。
微波炉利用驻波的节点和腹部形成热点，使食物迅速加热。
天线利用驻波的特性来增强信号的传输效果。
此外，在声学领域，如乐器制作和音响系统设计中，驻波也扮演着重要的角色。
总结
驻波是一种特殊的波动现象，通过两个相同频率、振幅相等但传播方向相反的波叠加而形成。
了解驻波的基本概念、形成机制、特性以及实际应用对于理解波动现象和在实际应用中的运用具有重要意义。
驻波的知识点在电磁波、声波等领域中有广泛的应用，如微波炉和天线等。
通过深入学习和研究驻波，我们可以更好地理解波动现象，并在各个实际领域中应用这一知识点。