推理理论离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑
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离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
14
1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
离散数学-第一部分 数理逻辑-第三章 命题逻辑的推理理论
前提引入 前提引入 ⑤⑥假言推理 ⑦ ④合取引入
22
附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…Ak)(CB)
说明：1. 由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是否正确与诸 前提的排列次序无关，前提是一个有限集的公式集合。前提 A1, A2, …, Ak推出结论B记为{A1, A2, …, Ak} B
推理的形式结构 1. {A1, A2, …, Ak} B
若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B
前提：p q, p 结论：q
推理的形式结构: (p q) p q.
用等值演算判断形式结构是否是重言式。
10
（3）下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影。所以 ，她去游泳了。
解：设 p:马芳下午去看电影 . q:马芳下午去游泳.
前提： p q, p 结论： q 推理的形式 结构：( (p q) p ) q . 用等值演算来判断式子是否 为 等值式。 ( (p q) p ) q ( ( p p ) ( qp )) q ( q p ) q ((q p ) q p q q 1 所以 形式 结构 为 重言式，推理 正确。
定理说明：
. {A1, A2, …, Ak} B 等同于蕴含式A1A2…AkB {A1, A2, …, Ak} B 等同于 A1A2…Ak B
6
推理的形式结构
推理的形式结构 1. {A1, A2, …, Ak} B
若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B 2. A1A2…AkB
(完整版)离散数学-数学逻辑(课件模板)
第一篇数理逻辑数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。
十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。
冯·诺意曼，图灵，克林，…等人研究了逻辑与计算的关系。
基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。
除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。
不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。
计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。
现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。
第1-1章命题逻辑学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。
表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。
本章就是讨论逻辑学中的对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。
§1-1-1 命题逻辑联结词与真值表一、命题的基本概念首先我们从下面的例子加以分析。
例1-1-1.1人总是要死的。
例1-1-1.2苏格拉底是人。
例1-1-1.3苏格拉底是要死的。
例1-1-1.4中国人民是勤劳和勇敢的。
例1-1-1.5鸵鸟是鸟。
例1-1-1.6 1是质（素）数。
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A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
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离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集
3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
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复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
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例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
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联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
离散数学-第一部分-数理逻辑-第五章 一阶逻辑等值演算与推理
(4) 量词分配等值式 ① x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) ② x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)
注意：对，对无分配律
5
量词分配等值式证明
设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
（1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)
置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则
设(A)是含A的公式, 那么, 若AB, 则(A)(B).
2. 换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A，则AA.
3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中 未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A，则AA.
14
实例
解法二
xy(F(x)G(y)) x(F(x)yG(y))
辖域缩小等值式
x(F(x)G(a)G(b)G(c))
(F(a)G(a)G(b)G(c))
(F(b)G(a)G(b)G(c))
(F(c)G(a)G(b)G(c))
15
实例
(2) xyF(x,y) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))
而
x(F(x)G(x))
x(F(x)y(G(y)H(x,y))) 不是前束范式，
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前束范式存在定理
定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例4 求下列公式的前束范式 (1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))
注意：对，对无分配律
5
量词分配等值式证明
设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
（1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)
置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则
设(A)是含A的公式, 那么, 若AB, 则(A)(B).
2. 换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A，则AA.
3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中 未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A，则AA.
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实例
解法二
xy(F(x)G(y)) x(F(x)yG(y))
辖域缩小等值式
x(F(x)G(a)G(b)G(c))
(F(a)G(a)G(b)G(c))
(F(b)G(a)G(b)G(c))
(F(c)G(a)G(b)G(c))
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实例
(2) xyF(x,y) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))
而
x(F(x)G(x))
x(F(x)y(G(y)H(x,y))) 不是前束范式，
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前束范式存在定理
定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例4 求下列公式的前束范式 (1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))
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联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
离散数学课件 第一章 命题逻辑_1
第一章内容提要
1 命题及其表示法
2
3
命题联结词
命题公式与翻译
4
5 6 7 8
真值表与等价公式
重言式与蕴含式 其他联结词 对偶与范式 推理理论
1-1 命题及其表示法
1、命题
具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以 取一个“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，分别用 “Ｔ”(或“１”)和“Ｆ”(或“０”)表示。
等价公式
观察表中公式┐(PQ)和公式(┐P┐Q)，它们的 真值完全相同（这两个公式对任何解释都必同为真 假），称┐(PQ)和(┐P┐Q)是相等（等价、等 值）的。 定义1-4.2 设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ下， G与H的真值相同，则称公式G、H是等价的，记作 G = H （或 G H）。
显然(1), (4)两种情况父亲都没失信。 情况(2)正好对应定义中“当前件P为真, 后件Q为假 时, (3)的情况与这位父亲原来的话没有抵触, 当然也不算失信。 命题P Q取值为假”的规定。
只有情况(2), 答应的事却没有做到, 应该算失信了。
5、双条件联结词
设P、Q是任意两个命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作PQ ，“”称为 当且仅当联结词。 PQ为真当且仅当P、Q同为真假。 若 则 P：2+2=4；Q：雪是白的。 PQ：2+2=4当且仅当雪是白的。
(P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R) 3. 如果明天上午七点下雨或下雪，则我将不去学校
命题联结词的应用
联结词“∧”、“∨”、“┐”与构成计算机 的与门、或门和非门电路是相对应的，从而命题逻 辑是计算机硬件电路的表示、分析和设计的重要工 具。
命题联结词的应用
离散数学课件第一章(第5讲)
§6 推理理论
按公认的推论规则，从前提集合中推导出一个结论， 这样的推导过程称为演绎，或者叫形式证明。
根据逻辑规则推导出来的任何结论称为有效结论。
《定义》：给定二个命题公式Ａ和Ｂ，当且仅当Ａ →Ｂ是一个永真式，则AB，可以称Ｂ是从Ａ推 导出来的，或称Ｂ是前提Ａ的有效结论。
《定义》：设H1，H2,…Hm,Ｃ都是命题公式，当且 仅当H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm Ｃ，则可以称Ｃ是前提 集合｛ H1，H2,…Hm ｝的有效结论。
P P T(1)(2) I P T(3)(4) I
例2 证明：P∨Q , P R , Q S S∨R
证:
(1) P∨Q P
(2) P Q T(1) E
(3) Q S P
(4) P S T(2)(3) I
(5) S P T(4) E
(6) P R
P
(7) S R T(5)(6) I
式永真蕴含S，则可以把S引入推导过程。或两个 公式等价，将等价的公式引入推导过程。
例1 证明：PQ, Q R, P R 证：
(1) PQ (2) P (3) Q (4) Q R (5) R 也可以这样推理： (1) PQ (2) Q R (3) PR (4) P (5) R
P P T (1)(2) I P T(3)(4) I
证:(1) P
附加前提
(2) PQ
P
(3) Q
T(1)(2) I
(4) P ∧Q
T(1)(3) I
(5) P(P ∧Q) CP
3．反证法（归谬法）
反证法的证明思想是：将结论取反，作为附加前 提，和原有的前提集合一起推导出矛盾的结论， 则原前提集合推导出结论是成立的。 反证法也是一种间接证明法。
按公认的推论规则，从前提集合中推导出一个结论， 这样的推导过程称为演绎，或者叫形式证明。
根据逻辑规则推导出来的任何结论称为有效结论。
《定义》：给定二个命题公式Ａ和Ｂ，当且仅当Ａ →Ｂ是一个永真式，则AB，可以称Ｂ是从Ａ推 导出来的，或称Ｂ是前提Ａ的有效结论。
《定义》：设H1，H2,…Hm,Ｃ都是命题公式，当且 仅当H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm Ｃ，则可以称Ｃ是前提 集合｛ H1，H2,…Hm ｝的有效结论。
P P T(1)(2) I P T(3)(4) I
例2 证明：P∨Q , P R , Q S S∨R
证:
(1) P∨Q P
(2) P Q T(1) E
(3) Q S P
(4) P S T(2)(3) I
(5) S P T(4) E
(6) P R
P
(7) S R T(5)(6) I
式永真蕴含S，则可以把S引入推导过程。或两个 公式等价，将等价的公式引入推导过程。
例1 证明：PQ, Q R, P R 证：
(1) PQ (2) P (3) Q (4) Q R (5) R 也可以这样推理： (1) PQ (2) Q R (3) PR (4) P (5) R
P P T (1)(2) I P T(3)(4) I
证:(1) P
附加前提
(2) PQ
P
(3) Q
T(1)(2) I
(4) P ∧Q
T(1)(3) I
(5) P(P ∧Q) CP
3．反证法（归谬法）
反证法的证明思想是：将结论取反，作为附加前 提，和原有的前提集合一起推导出矛盾的结论， 则原前提集合推导出结论是成立的。 反证法也是一种间接证明法。
离散数学PPT课件 12数理逻辑介绍(ppt文档)
数理逻辑把推理符号化之二
• 设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜.
例2的推理过程表示为：
前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.)
前提:M(a)
(铜是金属.)
结论:C(a)
(铜能导电.)
(其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二
• 正确的思维： 概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑。
• 人们是通过各种各样的学习(理论学习和 从实践中学习)来掌握许多概念和判断。
• 而形式逻辑主要是研究推理的。
• 推理： 是由若干个已知的判断(前提)，推出新 的判断(结论)的思维过程。
推理方法
• 类比推理：由个别事实推出个别结论。 如：地球上有空气、水，地球上有生物。 火星上有空气、水。
第一篇 数理逻辑
• 逻辑--是研究人的思维的科学。 它包含：
• 1.辩证逻辑：是研究人的思维中的辩证法。 例如：用全面的和发展的观点观察事物； 具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。
• 2.形式逻辑：是研究人的思维的形式和一 般规律。
• 这里我们只关心形式逻辑。
一 .形式逻辑
• 人的思维过程： 概念 判断 推理
• 这里只讨论“命题逻辑”和“谓词逻辑”。 • 下面就前面两个例子，说明如何将推理符
号化的。
数理逻辑把理符号化之一
• 设 P表示：天下雨。 设Q表示：路上有水。 设表示：如果…则… 例1的推理过程表示为： 前提1:PQ (如果天下雨,则路上有水。) 前提2：P (天下雨了。) 结 论：Q (路上有水。) (这就是第一章命题逻辑中要讨论的问题)
章“谓词逻辑”中所讨论的内容.）
2019离散数学-耿素云PPT(第5版)1.1-2.ppt
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
18
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价联结词“” 定义 设p，q为二命题，复合命题 “p当且仅当q”称 作p与q的等价式，记作pq. 称作等价联结词. 并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为 假. 说明: (1) pq 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件
解令 (1) (2) (3) p：王晓用功，q：王晓聪明，则 p∧ q p∧ q p∧ q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是 一个简单命题.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q 为二命题，复合命题 “如果 p, 则 q”
称作 p 与 q 的蕴涵式，记作 pq ，并称 p 是蕴涵式
的前件， q 为蕴涵式的后件 . 称作蕴涵联结词，
并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
6
命题与真值
命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是 命题
7
例 下列句子中那些是命题？
(1)
2 是无理数.
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句
离散数学ppt
如果X Y，则将A中的X用Y置换所得到 的命题公式B与A等价。 例题： 1、证明：(PQ) (P Q) P 2、证明：(PQ) (Q R) (P Q) R 对偶式： 对偶的概念： 对偶定理：设A，B是命题公式，如果 A B，则A* B*
第四节 主析取范式与主合取范式 命题公式的规范化 1、命题联结的归约：最小命题联结词组 2、命题范式 定义1：一个命题公式称为合取范式，如果它具 有如下形式：A1 A2 …An，其中A1 ， A2 ， …，An都是由命题变元或其否定所组成 的析取式。 定义1：一个命题公式称为析取范式，如果它具 有如下形式：A1 A2 … An，其中A1 ，
注： ①双条件联结词与自然语言中的
“当且仅当”，“充分必要”类似， 但也不尽相同。
②二元运算
命题联结词除了上述五个之外，还有不可 兼析取、条件否定、与非、或非联结词。 在一个复合命题中往往含有多个命题联结 词，其运算的次序是：、、、、 第二节 命题公式及其分类 直观地说，由命题变元、命题常量、命题 联结词、括号组成的一个有意义的式子 成为命题公式。
类似于主析取范式，也有主合取范式。 定义：n个命题变元的析取式，称为布尔大 项或析取，如果每个命题变元或其否定 不能同时出现，但二者必须出现且仅出 现一个。 注：①n个命题变元构成的布尔 大项有2n个 ②布尔大项的编码：命题变元-0，其否定-1 布尔大项的常见性质： 1、每个大项当其真值指派与编码相同时，
的量词。 例子： 所有人都要呼吸：(x)M(x)H(x) 每个学生都要参加考试： (x)P(x)Q(x) 2、存在量词－ 用以表示“有一些”，“至少有一个”等 概念的量词。 例子： 有些人是聪明的：
有的人早饭吃面包： 全称量词与存在量词统称为量词。 在上面的例子中，每个由量词确定的表达 式，都与个体域有关。我们通常总是在 全总个体域中考虑问题，因此就要通过 相应的谓词对个体变元的取值范围加以 说明，这就是特性谓词。一般地，对全 称量词，特性谓词常做蕴含的前件；对 存在量词，特性谓词常作合取项。
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第一章 命题逻辑
例1： 1. 2是素数。 2. 雪是黑色的。 3. 2+3=5 。 4. 明年十月一日是晴天。 5. 这朵花多好看呀！ 6. 3能被2整除. 7. 明天下午有会吗？ 8. 请关上门！ 9. x+y>5 。 10. 地球外的星球上也有人。
命题判断的关键： 1.是否是陈述句； 2.真值是否是唯一的。
1
前件，q称为条件命题p→q的后
1
件。
表1.4 q p→q 01 11 00 11
【例】 p：小王努力学习。q：小王学习成绩优秀。 p→q：如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀。 联 结 词 “ → ” 与 汉 语 中 的 “ 如 果 … ， 那 么 …” 或
“若…，则…”相似，但又是不相同的。
• 例11：用等值演算法解决下面问题. A、B、C、D四人百米竞赛.观众甲、乙、丙预测比 赛名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四. 比赛结束后发现甲、乙、丙每人预测的情况都各对 一半，试问实际名次如何（假设无并列情况）？
1.4 联结词全功能集
• 一个n(n≥1)维卡氏积{0,1}n到{0,1}的函数称为一个 n元真值函数。设F是一个n元真值函数，则可记 为F：{0,1}n→{0,1}
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A,B为两个命题公式，若等价 式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记 作A⇔B.
• A⇔B不是命题公式 • 可通过判断A与B的真值表是否相同，来判
断A与B是否等值。
• 例8：判断下列命题公式是否等值 （1） ¬(p∨q)与¬p∨¬q ； （2） ¬(p∨q)与¬p∧¬q ；
• 在一个联结词的集合中，如果一个联结词可由集 合中的其他联结词定义，则称此联结词为冗余的 联结词，否则称为独立的联结词。
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推理的形式结构为 前提：(pq)r, rs, s 结论：pq
11
直接证明法 (续)
证明 ① rs ② s ③ r ④ (pq)r ⑤ (pq) ⑥ pq
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤置换
12
构造证明之二——附加前提证明法
欲证明
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
15
构造证明之三——归谬法(反证法)
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确. 理由:
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为 重言式
6
推理定律——重言蕴涵式
重要的推理定律 A (AB) (AB) A (AB)A B (AB)B A (AB)B A (AB)(BC) (AC) (AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD)
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难
16
归谬法 (续)
例 构造下面推理的证明
前提：(pq)r, rs, s, p
结论：q
证明（用归缪法）
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ sΒιβλιοθήκη 前提引入④ r②③拒取式
17
归谬法 (续)
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
4
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所
以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 推理的形式结构为: (pq)pq 证明（用等值演算法）
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
5
2
推理的形式结构
定义 若对于每组赋值，或者A1A2… Ak 均为假， 或者当A1A2…Ak为真时, B也为真, 则称由A1, A2, …, Ak推B的推理正确, 否则推理不正确（错误）. “A1, A2, …, Ak 推B” 的推理正确
当且仅当 A1A2…AkB为重言式. 推理的形式结构: A1A2…AkB 或
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
请用直接证明法证明之
18
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由： (A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
13
附加前提证明法 (续)
例 构造下面推理的证明: 2是素数或合数. 若2是素数，则 2是无理数. 若 2是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是 素数，则2是合数. 用附加前提证明法构造证明
(11) 破坏性二难推理 规则
AB CD BD \AC (12) 合取引入规则 A B \AB
10
构造证明之一——直接证明法
例 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课， 今天必备课. 我今天下午没备课. 所以， 明天不是星期一和星期三.
解 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三， r：我有课，s：我备课
(2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则
AB A \B (5) 附加规则
AB
\A
(7) 拒取式规则 AB B
\A (8) 假言三段论规则
AB
A
BC
\AB
\AC 9
推理规则(续)
(9) 析取三段论规则 AB B \A
(10)构造性二难推理 规则
AB CD AC \BD
前提： A1, A2, … , Ak 结论： B 若推理正确，则记作：A1A2…AkB.
3
判断推理是否正确的方法
• 真值表法
• 等值演算法
判断推理是否正确
• 主析取范式法
• 构造证明法
证明推理正确
说明：用前3个方法时采用形式结构
“ A1A2…AkB” . 用构造证明时, 采用
“前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
解 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 2是无理数，s：4是素数
推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
14
附加前提证明法 (续)
证明
①s
附加前提引入
② pr
前提引入
③ rs
前提引入
④ ps
②③假言三段论
⑤ p
①④拒取式
⑥ pq
前提引入
⑦q
⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
7
推理定律 (续)
(AB)(AB) B 构造性二难（特殊形式） (AB)(CD)( BD) (AC)
破坏性二难
证明:描述推理过程的命题公式序列，其中每个命 题公式或者是已知的前提，或者是由前面的命题 公式应用推理规则得到的结论.
8
推理规则
(1) 前提引入规则
(6) 化简规则
1.7 推理理论
推理的形式结构 判断推理是否正确的方法 推理定律与推理规则 构造证明
直接证明法, 附加前提证明法, 归缪法
1
推理的形式结构—问题的引入
推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界. (2) 若ACBD，则AB且CD.
推理: 从前提出发推出结论的思维过程 上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理. 证明: 描述推理正确的过程.
实例 (续)
(2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设p：今天是1号，q：明天是5号.
推理的形式结构为: (pq)qp 证明（用主析取范式法）
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确.
11
直接证明法 (续)
证明 ① rs ② s ③ r ④ (pq)r ⑤ (pq) ⑥ pq
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤置换
12
构造证明之二——附加前提证明法
欲证明
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
15
构造证明之三——归谬法(反证法)
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确. 理由:
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为 重言式
6
推理定律——重言蕴涵式
重要的推理定律 A (AB) (AB) A (AB)A B (AB)B A (AB)B A (AB)(BC) (AC) (AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD)
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难
16
归谬法 (续)
例 构造下面推理的证明
前提：(pq)r, rs, s, p
结论：q
证明（用归缪法）
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ sΒιβλιοθήκη 前提引入④ r②③拒取式
17
归谬法 (续)
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
4
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所
以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 推理的形式结构为: (pq)pq 证明（用等值演算法）
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
5
2
推理的形式结构
定义 若对于每组赋值，或者A1A2… Ak 均为假， 或者当A1A2…Ak为真时, B也为真, 则称由A1, A2, …, Ak推B的推理正确, 否则推理不正确（错误）. “A1, A2, …, Ak 推B” 的推理正确
当且仅当 A1A2…AkB为重言式. 推理的形式结构: A1A2…AkB 或
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
请用直接证明法证明之
18
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由： (A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
13
附加前提证明法 (续)
例 构造下面推理的证明: 2是素数或合数. 若2是素数，则 2是无理数. 若 2是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是 素数，则2是合数. 用附加前提证明法构造证明
(11) 破坏性二难推理 规则
AB CD BD \AC (12) 合取引入规则 A B \AB
10
构造证明之一——直接证明法
例 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课， 今天必备课. 我今天下午没备课. 所以， 明天不是星期一和星期三.
解 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三， r：我有课，s：我备课
(2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则
AB A \B (5) 附加规则
AB
\A
(7) 拒取式规则 AB B
\A (8) 假言三段论规则
AB
A
BC
\AB
\AC 9
推理规则(续)
(9) 析取三段论规则 AB B \A
(10)构造性二难推理 规则
AB CD AC \BD
前提： A1, A2, … , Ak 结论： B 若推理正确，则记作：A1A2…AkB.
3
判断推理是否正确的方法
• 真值表法
• 等值演算法
判断推理是否正确
• 主析取范式法
• 构造证明法
证明推理正确
说明：用前3个方法时采用形式结构
“ A1A2…AkB” . 用构造证明时, 采用
“前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
解 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 2是无理数，s：4是素数
推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
14
附加前提证明法 (续)
证明
①s
附加前提引入
② pr
前提引入
③ rs
前提引入
④ ps
②③假言三段论
⑤ p
①④拒取式
⑥ pq
前提引入
⑦q
⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
7
推理定律 (续)
(AB)(AB) B 构造性二难（特殊形式） (AB)(CD)( BD) (AC)
破坏性二难
证明:描述推理过程的命题公式序列，其中每个命 题公式或者是已知的前提，或者是由前面的命题 公式应用推理规则得到的结论.
8
推理规则
(1) 前提引入规则
(6) 化简规则
1.7 推理理论
推理的形式结构 判断推理是否正确的方法 推理定律与推理规则 构造证明
直接证明法, 附加前提证明法, 归缪法
1
推理的形式结构—问题的引入
推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界. (2) 若ACBD，则AB且CD.
推理: 从前提出发推出结论的思维过程 上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理. 证明: 描述推理正确的过程.
实例 (续)
(2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设p：今天是1号，q：明天是5号.
推理的形式结构为: (pq)qp 证明（用主析取范式法）
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确.