有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧

有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧

黄 菊 娣

（浙江省上虞市上虞中学 312300）

弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合kx F -=（x 指离开平衡位置的位移）

；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的．

在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹簧问题就无从入手的一种恐惧心理．

一、弹簧振子及解题方法

在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用图象法解，会使问题更简单化．

例1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是………………………………………（ ）

A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍

B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于

2

T

的整数倍 C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等

D ．若Δt ＝2T

，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹

簧的长度一定相等

解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置．

对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相

同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．

对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是

2

T

，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C 正确．

对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为

2

T

，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ．

解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确．

图1

况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．

二、利用弹簧振子作简谐运动过程中的位移、能

量变化特征来巧解题

例2 物体A 与滑块B

一起在光滑水平面上做简谐振动，如图所示，A 、B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数k ，

A 、B

的质量分别m 和M ，则A 、B （看成一个振子）的回复力由 提供，回复力跟位移的比为 ，物体A 的回复力由 提供，其回复力跟位移的比为 ，若A 、B 之间的静摩擦因数为μ，则A 、B 间无相对滑动的最大振幅为 ．

解析：因水平面光滑，平衡位置在弹簧原长处． （A ＋B ）作为整体，水平方向只受弹簧弹力，故

Kx F -=，由牛顿第二定律得：a m M F )(+=，

x m

M k

a +-=．

对于A 物体，水平方向只受B 对A 的静摩擦力F f ，故F f 即为A 的回复力．由于A 、B 间无相对滑动，所以任何时候A 与B 的位移x 和加速度a 都相同，故有

kx

F -=和

x m

M mk

ma F f +-

==，

k m

M m

K +=

．当mg F F f f μ=→max 时，

m a x x →，k

g

m M x )(max +=

μ．

例3 （2004年石家庄市试题）如图所示，一轻弹簧的左端固定在

竖直墙上，右端与质量为M 的滑块相连，组成弹簧振子，在光滑的水平面上做简谐运动．当滑块运动到

右侧最大位移处时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子，继续做简谐运动．新振子的运动过程与原振子的

运

动

过

程

相

比……………………………………………（ ）

A ．新振子的最大速度比原振子的最大速度小

B ．新振子的最大动能比原振子的最大动能小

C ．新振子的振动周期比原振子的振动周期大

D ．新振子的振幅比原振子的振幅小

解析：滑块振动到最大位移处加放木块，相当于

增大滑块质量后从最大位移处由静止释放，振动过程中总能量不变，振动过程中仍能恰好到达该位置，即振幅不变，振子的最大弹性势能不变．由简谐运动中机械能守恒，故振子的最大动能不变，但最大速度变小（因振子质量变大了），可见选项A 对BD 错；又由周期随振子质量增大而增大，故知选项C 正确．

注：若改为“当滑块运动到平衡位置时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子”，那由于碰撞使总机械能减小．

例4 一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k ，一端固定，另一端与质量为m 、带正电荷、电量为q 的小球相连，静止在光

滑绝缘水平面上，当施加水平向右的匀强电场E 后，（如图所示）小球开始做简谐运动，关于小球的运动有如下说法，正确的是 （填序号）．

①球的速度为零时，弹簧伸长qE /k ； ②球做简谐运动的振幅为qE /k ； ③运动过程中，小球的机械能守恒；

④运动过程中，小球动能改变量、弹性势能改变量、电势能改变量的代数和为零．

解析：由水平面光滑施加水平向右的匀强电场E ，而q 带正电，故平衡位置在原长右边，当qE ＝kx 0