机器人学_机器人雅可比矩阵
机器人雅可比矩阵知识讲解
x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
机器人雅可比矩阵
两自由度机器人
对于一个两自由度的机器人，其 雅可比矩阵是一个2x2矩阵，其 中包含了机器人的两个关节角度 和两个关节速度之间的线性关系
。
矩阵形式
雅可比矩阵的矩阵形式为：J = [[a, b], [c, d]]，其中a、b、c、d 是机器人关节角度和关节速度之
间的线性关系系数。
计算方法
对于两自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到
解析机器人模型
计算偏导数
雅可比矩阵描述了机器人末端与控制输入 之间的关系，通过直接计算机器人关节变 量对末端位置和姿态的偏导数得到。
根据机器人的几何模型和关节类型，解析 机器人的运动学模型，得到末端位置和姿 态与关节变量的关系。
利用解析得到的运动学模型，计算机器人 末端位置和姿态对关节变量的偏导数，得 到雅可比矩阵的元素。
参数优化
调整雅可比矩阵的参数
通过对雅可比矩阵的参数进行调整，如增加或减少矩阵的行 或列，能够优化矩阵的计算过程，提高计算效率。
优化迭代算法的参数
对于使用迭代算法计算雅可比矩阵的情形，通过调整迭代算 法的参数，如增加迭代次数、改变收敛准则等，能够提高计 算精度和速度。
控制策略改进
引入新的控制策略
针对具体应用场景，引入新的控制策略，如采用模糊控制、神经网络等，能够更好地解决机器人控制问题，进而 改进雅可比矩阵的计算效果。
计算方法
对于四自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到 雅可比矩阵。
05
雅可比矩阵的优化与改进
优化算法选择
选用高效算法
对于雅可比矩阵的计算，选用高效的算法能够显著提升计算速度和精度，例如采 用数值差分法、有限元法等。
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
第五章 机器人雅可比
(5.18)
第五章
第二节
5.3 雅可比矩阵的构造法
• 1、概述 • 2、矢量积的方法 • 3、微分变换法
第五章
既可当成是从关节空间向 操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微 分运动转换的线性关系，即
雅可比矩阵
J (p )
1、概述
V J (q )q
D J (q )dq
其中:q是关节空间位移矢量
x l1c1 l2 c12 y l1 s1 l2 s12
平面2R机械手的运动学方程为：
求其雅可比矩阵。 其雅可比矩阵为：
平面2R机械手
解：对运动学方程两端分别对时间t求导，则得
l1s1 l2 s12 J (q ) l1c1 l2 c12 l2 s12 l2c12
i
0 d 0 dd i ,δ 1
0 0 , 0
抓手相应的微分运动矢量为
T dx T nz d y oz T d z a z dd T 0 i x T y 0 T 0 z
第五章
第二节
对于任何3维矢量 p [ px , py , pz ]T ，其反对称矩阵 定义为:
0 S ( p ) pz p y pz 0 px py px 0
S (p )
(5.16)
它具有以下性质： （1） S ( p ) p , S ( p ) p ； （2） T S ( p ) ( p )T , T S ( p ) ( p )T ；
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
34机器人运动学雅可比矩阵
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧
3.4 机器人的雅可比矩阵
1、 微分运动与速度
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。
机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。
前面介绍过机器人运动学正问题
r f ( )
一般情况：
n
Rmn
fm
n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 ：基准坐标系 Oe xe ye ze ：指尖坐标系
ze
z0
Pe
Oe
ye
xe
O0
r f ( )
r r1, r2,
, rm T Rm1
1,2 , , n Rn1
rj f j (1,2, ,n ) j 1, 2, , m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新
(完整版)机器人学_机器人雅可比矩阵
dy
,
dz
)Rot(k, d)
I 44
k z d
k y d
0
kzd
0
k x d
0
k y d kxd
0
0
dx
dy
dz
0
四. 微分旋转的无序性 当θ→0 时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，
δz=dθz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为
1 0 0 0
例 :如图3-18所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪
作用于外界环境的力为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，若关节无摩擦
力存在，求力 的等效关节力矩
。
解：由前面的推导知
0F [Fx , Fy ]T
所以得：
y0
2
1
x0
图3-18 关节力和操作力关系
例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩
传感器，若已测出传感器上的力和力矩
只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即
可求出，即
。
上例平面2R机械手的逆雅可比
J
1
1 l1l2s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12
l1s1
l2s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。
解：因为已知
，可以根据前面的公式求得dA和δA。也可
根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即
求得
，
4.2 机器人的静力学
v F
[
v f,
2.1机器人的雅可比与静力分析
• 反之，假如给定机器人手部速度，可由逆 雅可比解出相应的关节速度。
（一）雅可比矩阵的定义
• 在数学上，机器人终 端手爪的广义位姿向
量 V 可写成：
x(q1, q2 , , qn )
y(q1, q2 ,
机器人工作空间的边界上或边界附近，出现逆雅可比奇异，机器人运 动受到物理结构的约束。这时相应的机器人形位叫做边界奇异形位。
(2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运 动相互抵消，不产生操作运动。这时相应的机器人形位叫做内部奇异 形位。
• 当机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。 这意味着在工作空间的某个方向上，不管怎样选择机器人关节速度， 手部也不可能实现移动。
• (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F， (即手部端点力F-F′)，利用力雅可比可求得 相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
• (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部 对外界环境的作用力或负载的质量。
• 第二类问题是第一类问题的逆解。
力雅可比
例：2自由度机械手如图所示。取θ1＝0（rad）， θ2＝π/2（rad）的姿态时，分别求解生成手爪
V Jq• q J q• q
q J 1 V J• q
选择=结果
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结论
• 雅可比（Jacobian）矩阵反映了机械臂末端速度 和各关节速度之间的关系；
• 雅可比（Jacobian）矩阵不是一个常数矩阵，它 与关节变量有关，机械臂工作时，各关节协调运 动，关节变量是变化的，雅可比（Jacobian）矩 阵也是变矩阵；
机器人雅可比矩阵
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可比矩阵的维度， 以适应不同情况下的计算需求。
雅可比矩阵的奇异性问题
1 2
奇异值分解
利用奇异值分解（SVD）等技术处理雅可比矩阵 的奇异性问题，提高矩阵的稳定性和可靠性。
冗余自由度
合理配置机器人的冗余自由度，避免产生奇异位 姿，提高机器人的运动能力和灵活性。
。
逆向运动学
03
已知机器人在笛卡尔空间中的位姿，求解关节空间的运动变量
，进而得到雅可比矩阵。
03
雅可比矩阵的应用
机器人的运动学正解与逆解
01
02
03
运动学正解
通过给定的关节角度，计 算机器人末端执行器的位 置和姿态。
运动学逆解
已知末端执行器的位置和 姿态，反推出各关节角度 。
求解方法
通过几何学和线性代数的 方法，建立机器人运动学 模型，并使用数值计算方 法求解正解和逆解。
3
动态调整
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可 比矩阵的结构，以避免奇异性问题。
雅可比矩阵的实时计算优化
并行计算
采用并行计算技术，将雅可比矩阵的计算任务分解为多个子任务， 提高计算效率。
预计算和缓存
对雅可比矩阵进行预计算和缓存，减少实时计算量，提高计算速度 。
自适应算法
采用自适应算法优化雅可比矩阵的计算过程，根据机器人运动状态和 任务需求动态调整计算参数，提高计算精度和响应速度。
力矩控制
通过调节施加在机器人关节上的力矩，实现对机器人运动的精确控 制。
控制方法
基于反馈的力/力矩控制方法，如PID控制器、模糊控制器等。
04
雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的降维处理
雅可比矩阵在机器人运动中的应用
雅可比矩阵在机器人运动中的应用
1、什么是离散雅可比矩阵
离散雅可比矩阵(Discrete Jacobian Matrix)是一种矩阵，它可以用来在机器人运动中表征机器人关节的变化。
它的各元素表示的是每个关节的误差，当关节变动时它们之间以特定的函数或将坐标变换。
它是一个多列多行的矩阵，是一种具有变换性质的矩阵，具有不好求解的变换能力。
2、雅可比矩阵在机器人运动中的应用
a. 雅可比矩阵可用于机器人运动的运动规划。
例如，对于一个六轴机器人，可以利用雅可比矩阵计算出一组关节变换，实现机器人从起始点移动到目标点的运动规划。
b. 雅可比矩阵可以用来计算每个关节的变化，这有助于机器人可编程实现直线和曲线运动。
c. 雅可比矩阵可用于分析转动角速度和角度变化。
d. 雅可比矩阵可用于计算相关度，判断机械臂移动是否稳定。
e. 雅可比矩阵可用于某些运动学算法中，用来计算机器人关节的运动学参数，例如机械臂的位置，速度，加速度以及操纵力和力矩。
f. 雅可比矩阵可用于计算右手法则，以计算机器人操纵力和力矩及其变化。
3、雅可比矩阵的优缺点
a. 优点：雅可比矩阵具有变换性，可以用来计算任意一个关节变动所带来的影响，可实现微小调节以改变机器人空间位姿，有助于更好地控制和定位机器人，并为机器人运动规划提供可靠的参考值；
b. 缺点：离散雅可比矩阵的求解速度较慢，而且有时由于机器人17极空间非线性特征而造成求解精度偏差。
机器人动力学 雅克比-概念解析以及定义
机器人动力学雅克比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述机器人动力学是研究机器人运动过程中的力学和动力学特性的学科，主要涉及机器人的姿态、速度、加速度、力和力矩等相关物理量。
机器人动力学一直以来都是机器人领域的关键问题之一，对于机器人的运动控制和路径规划具有重要的指导意义。
雅克比矩阵是机器人动力学中一项关键的工具，用于描述机器人多自由度系统中各关节之间的运动传递关系。
通过雅克比矩阵，我们可以计算出机器人末端执行器在给定关节角速度下的线速度和角速度，从而实现对机器人运动的精确控制。
机器人动力学的研究在实际应用中有着广泛的意义。
首先，深入理解机器人的动力学特性可以帮助我们设计出更加高效、灵活的机器人控制算法，从而提升机器人的运动精度和速度。
其次，机器人动力学的研究还可以为机器人路径规划、障碍物避障等问题提供重要的理论支持和指导。
此外，随着机器人应用领域的拓展，如医疗、教育、家庭服务等，机器人动力学的研究也将在未来发挥更加重要的作用。
总结起来，机器人动力学是研究机器人运动特性的学科，雅克比矩阵则是机器人动力学中的重要工具。
通过研究和应用机器人动力学，我们可以实现对机器人运动的精确控制，提升机器人的运动效率和准确性，并且为机器人的应用和发展打下坚实的基础。
未来，机器人动力学的研究将随着机器人技术的不断发展而不断探索新的方向，并为更广泛的机器人应用提供理论支持和指导。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应当包括对整篇文章的组织和章节安排进行介绍。
可以按照以下方式编写文章结构的内容：2. 文章结构本文共分为以下几个部分：引言、正文和结论。
2.1 引言部分将对机器人动力学的概念进行概述，介绍机器人动力学的背景和意义。
在此部分还将阐述本文的目的和结构。
2.2 正文部分将重点讨论雅克比矩阵的概念和应用。
首先，将介绍雅克比矩阵的定义和性质，以及其在机器人动力学中的重要作用。
接着，将探讨雅克比矩阵在路径规划、运动控制和力学分析等方面的应用。
机器人的雅可比矩阵
机器人学院
机器人学技术基础
——雅可比矩阵
LOGO
机器人学院
一、引入
Tn T1T2 Tn
运动学方程只限于静态位 置问题的讨论，未涉及机 器人运动的速度、加速度 和力等动态过程。
nx ox ax px
Tn
ny n0z
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
动力学主要研究运动和 力的关系。
Tq F T D
机器人学院
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与机器 人手部端点力F的关系可用下式描述：
τ = JTF
式中： JT为n*6阶机器人力雅可 比矩阵，并且是机器人 速度雅可比J的转置矩阵。
它表示静态平衡状态下，操作力 向关节力映射的线性关系。
思考与速度雅可比有什么不同
机器人学院
机器人学院
• 上述计算中，当θ2趋于0°或180°时，机械手的雅可比行列式 为0，其逆不存在，此时机械手处于奇异状态，相应关节速度 将趋于无穷大。
• 从几何上看，机械手完全伸直或完全缩回时，机械手末端丧失 了径向自由度，仅能沿切向运动。在奇异形位时，机械手在操 作空间的自由度将减少。
机器人学院
)
速度雅可比矩阵反映了关节空间的微小 运动dθ与手部空间（操作空间）微小位 移dX的关系。
dX
X
1
d1
X
2
d2
dY
Y
1
d1
Y
2
d2
X
dX dY
1
Y
1
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法是机器人控制理论中的重要内容，它是用于描述机器人末端执行器在各个自由度上的速度与关节角度变化之
间的关系的一个矩阵。
雅可比矩阵的求法可以采用数值计算、解析计算等方法。
数值计算法主要是通过数值逼近法求得机器人末端执行器的速度与关节角
度变化之间的关系，而解析计算法则是采用数学公式推导出雅可比矩阵的表达式。
在实际机器人控制中，雅可比矩阵的求法非常重要，因为它可以帮助控制系统实现机器人的运动控制、路径规划和动态仿真等功能。
同时，雅可比矩阵的求法也是机器人控制理论的重要研究方向之一，目前已经有很多学者在这方面做出了重要的贡献。
总之，机器人雅可比矩阵求法是机器人控制领域中的一个重要课题，它为实现机器人的高效控制和智能化应用提供了重要的理论基础。
- 1 -。
机器人雅可比矩阵课件
雅可比矩阵的求解
利用运动学逆问题的解，可以求得人形机器人的雅可比矩 阵。
人形机器人控制
通过雅可比矩阵，可以实现对人形机器人的控制，例如轨 迹跟踪和力控制。同时，还可以进行步态规划和平衡控制 等高级应用。
05
雅可比矩阵的优化与 控制
雅可比矩阵的优化算法
基于梯度下降法的优化算法
利用梯度下降法，通过迭代计算出雅可比矩阵的最优解，使得机器人的运动轨迹 更加平滑和准确。
基于运动学的方法
通过已知的关节变量和运动学模型计算雅可比矩阵 优点：简单、易于计算
缺点：仅在理想情况下考虑了关节变量对雅可比矩阵的影响，忽略了动力学效应
基于动力学的方法
根据动力学模型和已 知的关节变量计算雅 可比矩阵
缺点：计算复杂度较 高，需要更多的计算 资源
优点：考虑了动力学 效应，更准确
基于逆向运动学的方法
雅可比矩阵的求解
利用运动学逆问题的解，可以求得机 械臂的雅可比矩阵。
机械臂控制
通过雅可比矩阵，可以实现对机械臂 的控制，例如轨迹跟踪和力控制。
人形机器人的雅可比矩阵求解
人形机器人模型建立
建立一个具有多个自由度的人形机器人模型，包括多个旋 转关节和多个连杆。
运动学逆问题求解
通过给定人形机器人的末端位置和姿态，求解人形机器人 各关节的旋转角度。
雅可比矩阵的求解
利用运动学逆问题的解，可以求得机械臂的 雅可比矩阵。
机械臂控制
通过雅可比矩阵，可以实现对机械臂的控制 ，例如轨迹跟踪和力控制。
四自由度机械臂的雅可比矩阵求解
四自由度机械臂模型建立
建立一个四自由度的机械臂模型，包 括四个旋转关节和三个连杆。
运动学逆问题求解
通过给定机械臂的末端位置和姿态， 求解机械臂各关节的旋转角度。
机器人雅可比矩阵的微分
机器人雅可比矩阵的微分摘要：1.引言2.机器人雅可比矩阵的概念3.雅可比矩阵的微分4.微分对机器人运动的影响5.结论正文：1.引言随着科技的发展，机器人在各个领域中的应用越来越广泛。
为了使机器人能够更加精确地完成各种任务，研究者们不断地探索如何提高机器人的运动性能。
其中，对机器人雅可比矩阵的研究具有重要意义。
本文将介绍机器人雅可比矩阵的微分，以及微分对机器人运动的影响。
2.机器人雅可比矩阵的概念雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述机器人臂关节角度变化引起末端执行器位姿变化的矩阵，通常表示为J。
在三维空间中，一个机器人臂由n 个关节组成，假设每个关节的角度分别为q1, q2,..., qn，末端执行器的位姿由基座标系下的位置向量和姿态向量表示，即x = [x_1, x_2, x_3]^T 和R = [R_1, R_2, R_3]^T。
根据链式法则，雅可比矩阵可以表示为：J = [x/q1, x/q2,..., x/qn]^T[R/q1, R/q2,..., R/qn]^T3.雅可比矩阵的微分雅可比矩阵的微分是指在给定关节角度变化时，雅可比矩阵元素关于关节角度的微分。
对于单个关节，其微分可以表示为：J/q_i = [x/q_i, R/q_i]^T对于多个关节，可以使用链式法则计算雅可比矩阵的微分：J/q = J/q1 * J/q2 *...* J/qn4.微分对机器人运动的影响研究雅可比矩阵的微分对机器人运动控制具有重要意义。
在机器人运动控制中，通常采用逆运动学方法计算关节角度。
逆运动学方法基于雅可比矩阵的逆矩阵，即：J^-1 * [x - x_0, R - R_0]^T = [q1, q2,..., qn]^T其中，x_0 和R_0 分别是目标位姿与基座标系的关系。
计算逆运动学时，需要对雅可比矩阵进行微分：dJ^-1/dq = -J^-1 * dJ/dq * J^-1通过计算微分，可以得到关节角度关于位姿变化的敏感性，从而提高机器人运动控制的精度。
机器人雅可比矩阵
上式中，66的偏导数x 矩阵J(Jq (q)q ) 叫做雅可比矩阵。其中
Ji
jq
xi q
qj
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
C再对时间求导，得到：
C Jq J q
J是雅克比矩阵对时间的导数，可记为
J J / q q。
用系统的运动方程替代 q，得到 C Jq J W(Q Qˆ )
设 C为零，有
J W Qˆ Jq J W Q
如果未知量数目大于方程数目，需要引入虚功原理。合法速度（不改变约束C 的速度）必须满足J q＝0。为确保约束力不做功，要求
Qˆ T q 0 q| J q 0 Qˆ 矢量满足上式要求的充分必要条件，可以表示为下面的形式
Qˆ ＝JT 其中， 是一个与C 的维数相同的矢量，JT 为 J 的转置矩阵。
为了要理解这个表达式的含义，可把矩阵 JT 视为矢量 的集合
JT
C1
q
C2 q
Cm
q
其中，每个矢量Ci/q是标量约束函数Ci的梯度矢量。 既然我们的基本要求是C＝0，这些梯度是约束超曲面的
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和
外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用雅可比矩阵在机器人静力学中扮演了关键的角色，它用于描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
下面我将逐个回答你的问题，并用易于理解的术语解释。
1. 雅可比矩阵是什么雅可比矩阵是一个将机器人的关节速度与其末端执行器速度之间的关系进行描述的矩阵。
它将机器人关节空间中的速度转化为末端执行器空间中的速度。
雅可比矩阵的每个元素代表了末端执行器速度对于关节速度的敏感程度。
2. 机器人的静力学是什么机器人的静力学研究的是机器人系统在静止或匀速运动时所受到的力学影响。
它关注的是机器人系统在特定关节角度下的受力情况，包括关节力和末端执行器力等。
3. 雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是什么雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是用于分析机器人系统中的力学平衡和力的传递。
通过雅可比矩阵，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以控制机器人系统中的力分配。
4. 如何利用雅可比矩阵进行力的传递分析在机器人静力学中，我们可以利用雅可比矩阵来分析力的传递和分布。
具体而言，我们可以通过雅可比矩阵将末端执行器上的力转化为关节空间中的力。
这样，我们可以对机器人系统进行力分析，包括力矩的计算和力的传递路径的分析等。
5. 为何需要力的传递分析力的传递分析对于机器人的应用非常重要。
它可以帮助我们理解机器人系统中的力分配情况，从而进行力控制和路径规划等。
通过力的传递分析，我们可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，以及力的传递路径是否满足设计要求。
总结起来，雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
它帮助我们分析机器人系统中的力学平衡和力的传递，从而进行力控制和路径规划等。
通过雅可比矩阵的应用，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，从而进行力的传递分析。
这对于机器人的应用非常重要，能够帮助我们优化机器人的设计和控制，提高其性能和安全性。
机器人雅各比矩阵
速度雅可比矩阵与速度分析
机器人雅可比矩阵（简称雅可比，Jacobian Matrix）揭示了操 作空间与关节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关
机器人速度分析
对前式左、右两边各除以dt，得 或表示为 式中：V
dX dq =J (q) dt dt
V = X =J （q )q
为机器人末端在操作空间中的广义速度； 为机器人关节在关节空间中的关节速度；
q
J(q) 为确定关节空间速度
q
,与操作空间
速度V之间关系的雅可比矩阵。
对于2R机器人
V 1 x V = =J （q ) Vy 2
即
x x (1 , 2 ) y y (1 , 2 )
x x dx d1 d 2 1 2 y y dy d1 d 2 1 2
x 1 dx dy y 1 x 2 d1 y d 2 2
将其微分得
写成矩阵形式为
令
x J 1 y 1
x 2 y 2
前式简写为
dX Jd
d1 d d 2
式中
dx dX dy
J称为2R机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动 dθ与手部作业空间微小位移dX的关系。
可见，J 阵的值是关于θ1及θ2的函数。
对于n自由度机器人 广义关节变量: q= [q1, q2, …, qn]T
scara机器人运动学方程雅可比矩阵
scara机器人运动学方程雅可比矩阵
Scara机器人是一种广泛应用于工业领域的机器人，它的运动学方程雅可比矩阵是描述其运动学性能的重要工具。
通过雅可比矩阵，我们可以了解到Scara机器人在不同关节位置和速度下的末端执行器的速度和位置关系。
雅可比矩阵是一个2x3的矩阵，其中的元素代表了末端执行器位置和速度相对于关节角度和速度的变化率。
简单来说，雅可比矩阵可以帮助我们理解Scara机器人的动力学特性和运动规律。
通过对雅可比矩阵的分析，我们可以得到一些有用的信息。
首先，我们可以确定Scara机器人的工作空间范围，即机器人可以到达的位置和姿态。
其次，我们可以根据雅可比矩阵来计算机器人在不同关节角速度下的末端执行器速度，从而实现机器人的精确控制。
除此之外，雅可比矩阵还可以用于路径规划和碰撞检测。
通过计算机器人在不同关节位置下的雅可比矩阵，我们可以确定机器人在执行任务过程中是否会发生碰撞，从而避免潜在的安全风险。
Scara机器人的运动学方程雅可比矩阵是研究机器人运动学行为和控制的重要工具。
通过对雅可比矩阵的研究和分析，我们可以深入理解机器人的运动规律，并实现对机器人的精确控制和路径规划。
机器人雅可比矩阵分析
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速 T 度运动，求相应的关节速度 q 1 2 解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
1 J (q) l1l2 s2
1
l2c12 l c l c 1 1 2 12
T
l1s1 l2 s12 l2 s12
[1,0] 相应的关节速度 于是得到与末端速度 x 反解为 c12 c1 c12 1 ; 2 l1s2 l2 s2 l1s2
讨论：机械手接近奇异形位时， 关节速度将趋于无穷大。
关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置
x x( q )
运动学正解
q
关节空间
操作空间 x x(q)
运动学反解
关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度
运动学正解
关节空间
操作空间
运动学反解
4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix)
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变 换。
J (q)q x
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。 必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和 外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1
(x,y) y l1
平面2R机械手的运动学方程为
l2
2
x l1c1 l2c12 y l1s1 l2 s12
对于m=1, （标量对矢量的导数） y y1 y1 y1 u u1 u2 un
y1 un y2 un J(u) R mn y J(u)u ym un
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0 0 0 1
若Rot（δx，δy，δz） 和Rot（δx‘，δy’，δz‘） 表示两
个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：
1 (z z ' ) y y ' z z ' 1 (x x' ) Rot(x, y, z ) Rot(x' , y ' , z ' ) (y y ' ) x x' 1 0 0 0 0 0 0 1
Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44
于是得微分算子Δ
0 k d z k y d 0
k z d 0 k x d 0
k y d k x d 0 0
dx dy dz 0
四. 微分旋转的无序性 当θ→0 时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy， δz=dθz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为
0 0 1 0
0 0 0 1
略去高 阶无穷 小量
0 y 1 xy 1 x Rot( x, x) Rot( y, y ) y x 1 0 0 0 1 xy y 0 1 x Rot( y, y ) Rot( x, x) y x 1 0 0 0
令 Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44 为微分算子
则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi 。这里Δ的下标不同是由 于微运动相对不同坐标系进行的。
三.微分平移和微分旋转 微分平移变换与一般平移 变换一样，其变换矩阵为:
1 0 Trans(dx, dy, dz) 0 0 0 1 0 0 0 dx 0 dy 1 dz 0 1
0 0 1 0
1 10 0 5 0 0 0 1
解：
0 z y 0
0 0 A 0.1 0
z 0
y x
0 0
x
0
dx 0 0 dy d z 0 .1 0 0
的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。
对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比 矩阵的行列式为：
det(J)=l1l2s2
当θ2=0°或θ2=180°时，机械 手的雅可比行列式为0，矩阵的秩 为1，因此处于奇异状态。在奇异
上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代 数和，即微分旋转是可加的。
由等效转轴和等效转角与 Rot( x, x) Rot( y, y) Rot( z, z ) 等效，有
Rot(k , d ) Rot( x, x) Rot( y, y) Rot( z, z )
即
由于微分旋转θ→0 ，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，将 它们代入旋转变换通式(p27)中得微分旋转表达式:
1 k d Rot(k , d ) z k y d 0 k z d 1 k x d 0 k y d k x d 1 0 0 0 0 1
1 k d z k y d 0
k z d 1 k x d 0
k y d k x d 1 0
0 1 z y z 0 1 x 0 y x 1 1 0 0 0
0 0 0 1
所以有
kxdθ=δx， kydθ=δy ，
根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系）
进行的(右乘)，则T+dT可以表示为
T dT T Trans(dx , d y , dz )Rot (k , d )
所以得 dT T Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44
第四章 机器人雅可比
4.1 微分变换与雅可比矩阵
4.1.1 雅可比矩阵
(1 , 2 )
vy v
存在 怎样 的关 系
2
1
x
( x, y)
两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可 比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比， 同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。
两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。
结论：
微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋 转）的一个重要区别。 同理可得
z y 1 z 1 x Rot( x, x) Rot( y, y ) Rot( z, z ) y x 1 0 0 0
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
形位时，机械手在操作空间的自
由度将减少。
只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即
可求出，即
。
上例平面2R机械手的逆雅可比
J
1
1 l2c12 l1l2 s2 l1c1 l2c12
l1s1 l2 s12 l2 s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图3-17所示。
x l1c1 l2 c12 容易求得 y l1s1 l2 s12
将其微分得
图3-17 两自由度平面机械手
写成矩阵形式
dx l1 s1 l 2 s12 dy l c l c 1 1 2 12
对dx=Jdθ两边同除以dt，得
x J
v J
因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空
间速度的线性变换。 （或v）称为手爪在操作空间中的广义速度， 简称操作速度， 为关节速度。 J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ：
xi (q ) J ij (q ) , i 1,2,...,6; j 1,2,...,n q j
0 0 1 0
0 0 .1 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0
dA
0 0.1 1 0 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0
0 1 1 10 0 0.1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0.1 0.5 0 0 0 1 0 0
l 2 s12 d1 d l 2 c12 2
简写成 ： dx=Jdθ。 可以更一般的写成
。
式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，
y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运
动dx之间的关系。 假设关节速度为 ，手爪速度为 。
0 z i i yi 0 Nhomakorabeayi xi
0 0
dxi dyi dzi 0
将它们代入前面的方程 0 0iT 0iTi
i 0iT 10 0iT
整理得到：
得
dxi nx dy o i x dzi ax xi 0 yi 0 zi 0
式中，x代表操作空间，q代表关节空间。
若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二 列矢量，即
x [ J1
J 2 ] 1 2
可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以
单位速度运动产生的端点速度。
l1 s1 l 2 s12 J l c l c 由 1 1 2 12 l 2 s12 ，可以看出，J阵的值随手爪位置 l 2 c12
二. 微分运动
设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动
后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对
于基坐标系（静系）进行的(左乘)，总可以用微小的平移和旋转 来表示，即
T dT Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d )T
所以得
dT Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44 T
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应
的关节速度将趋于无穷大。
4.1.2 微分变换
为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以
及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人 杆件在作微小运动时的位姿变化。 一.变换的微分 假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是 该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变
和 d 合称为微分运动矢量，可表示为
D (d x , d y , d z , x , y , z )T
例：已知一个坐标系A ，相对固定系的微分平
0 1 移矢量 d i 0.5k ，微分旋转矢量 0.1 j ， A 0 求微分变换dA。 0
kzdθ=δz
将它们代入Δ得
0 z y 0
z 0
x
0
y dx x dy
0 0 dz 0
因此Δ可以看成由 和 d 两个矢量组成， 叫微分转动矢量， d
叫微分平移矢量。分别表示为 xi y j z k d d xi d y j d z k
0 1 0 y 0 0 0 1 x 0 0 y x 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 y 0 0 0 1 x 0 0 y x 1 0 1 0 0 0 1
量的微分。
例如给定变换T为：