算 符 假 设

ˆ H E
ˆ H
E
能量本征方程,

Hamilton 算符 能量 定态波函数
11
(ii) 力学量算符,
特征与条件
(a)
本征值为实数, 本征值 = 可能值 = 实数 力学量算符的本征值为该力学量的可能值,

必须为实数
12
(b) 本征函数系
力学量算符的不同本征值的全体本征函数 组成一个正交归一的完备集, 称为本征函数系
, 且 a 为常数
ˆ 常数 a 为算符 A 的 本征值 ˆ ( x ) 为算符 A 的本征值为 a 的 本征函数

(x)
描写的状态为 本征态 , 同一本征值的线性独立本征函数为简并态 degeneracy
ˆ 此方程称为 A 的 本征方程
10
当把算符作用于一函数时, 一般得到另一个不同的函数, 得到一常数乘以同一函数的情况是特有的,或本征的, eigenfuncti on 特征的, 特有的。
27
量子纠缠态
D. Leibfried, E. Knill, S. Seidelin, J. Britton, R. B. Blakestad, J. Chiaverini, D. B. Hume, W. M. Itano, J. D. Jost, C. Langer, R. Ozeri, R. Reichle, and D. J. Wineland, "Creation of a six-atom 'Schroedinger cat' state, " Nature. 438, 639-642 (2005).
ˆ A 为线性算符
量子力学中的算符都是线性算符 线性算符
x, y, z, d dx , , fd ,
2
非线性算符
Sin , cos,
, lg
7
(d) 厄密算符 Hermite 若
ˆ U A Vd
*
=
* ˆ V ( AU ) d
ˆ 则 A 为厄密算符
*表示原函数(算符)的共轭函数(算符)
Be+
28
29

x
xi
x
i
ˆ ˆ [ X , Px ] i 不 对 易 , 不 可 同 时 确 定
例:
ˆ ˆ [ X , Py ] 0
ˆ ˆ [ Px , P y ] 0
, 对易, 可同时确定
6
(c )线 性 算 符 ：
若： 则
ˆ ˆ ˆ A (C 1 1 C 2 2 ) C 1 A 1 C 2 A 2
Principle,
算符对易是两力学量可同时确定的充分必要条件。 17
(iii) 力学量到算符的变换
(a) 时空算符为其自身
ˆ x x
,
ˆ y y
ˆ , z z,
ˆ q q (广义)
tˆ t
18
(b )动 量 算 符 ,
ˆ PX i
x
,
ˆ Py i
y
1 0 i j i j

i j d ij
*
归一性，本征态本身是归一的 正交性，不同本征态是正交的
13
(c) 任意一个波函数 可以用 任一力学量的本征函数 n 的 线性迭加来表示, （ 可建立任意坐标系）

C
n
n

n
14
ˆ (d) 若 F ( q , t ) f ( q , t ) 成立
F

ˆ F d
*
16
(f)
ˆ ˆ [ A, B ] 0 ,
ˆ ˆ A , B 对易,
ˆ ˆ A , B 具有共同本征函数, 两力学量可同时确定,
例
X , Py
ˆ ˆ A , B 不对易,
ˆ ˆ [ A, B ] 0 ,
ˆ ˆ A , B 无共同本征函数, 两力学量满足 Uncertainty 例 X , Px
也是一个可能的
23
态迭加原理：
如果 ψ1 和 ψ2 是体系的可能状态， 那么它的线性迭加也是此体系的一个可能状态
c 1 1 c 2

2
i
( c 1 , c 2 为复数）

i
c i
只要知道体系的某些态可以推出各种可能的态，
24
反之, 当粒子处于态 1 和态 2 的线性迭加 时, 粒子是既处在
1 态,
又处在

2
态

2
c1 1 c 2
* * *
2 2 *
( c1 1 c 2 2 )( c1 1 c 2 2 ) c1 1
2
c 2
2 2
c1 c 2 1
* *
2
c1 c 2 1
*
* 2
25
量子力学基本原理之
叠 加 原 理 (S u p e r p o sitio n Pr in c ip le )
,
ˆ i Pz z
,
ˆ i P q
(广 义 )
19
(c)其 它 力 学 量 算 符
ˆ ( i , q , t ) F ( p, q, t) F q
ˆ ( 2 V ) V H 例 E 2m 2m P
2 2
20
Operators 经典力学: 与 x, p 等一些可测量的量打交道,可以把它们看作 函数, 由 Newton 定律可以求出这些量, 或写出这些函数
分配律 结合律
ˆ ˆ ˆ C U A( BU )
， 则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ˆ ˆ ˆ C AB
ˆ ˆ AU BU
ˆ ˆ U AAU
ˆ ˆ ， 则 A B
ˆ2 ˆ ˆ ， 则 A AA ，
ˆ ˆ ˆˆ ABU BAU
， 即 ， 则
ˆ ˆ ˆˆ AB BA
ˆ ˆ ˆˆ AB BA
， ，
若
ˆ ˆ ˆˆ ABU BAU
算符假设
力学量与算符假定
力学量(可观测量)在量子力学中 用算符表示, 算符理论是量子理论的核心。
1
算符假设，
对于体系的每一个可观测的力学量 F,
ˆ 都有一个对应的线性, 厄密算符 F ,
ˆ F
的本征值为 f ,本征函数为 ,
ˆ F f
则
本征方程成立。
2
i. 算 符
(a )定 义 ： 把 一 个 函 数 变 为 另 一 个 函 数 的 数 学 运 算 或 者 操 作
ˆ FU V
ˆ F 称为算符

例
x
, , x,
2
, sin, log .c . f ( x )
ˆ X ，
ˆ PX
坐标算符，
， 动量算符
3
算符运算规则
算符和， 若 算符积， 若 算符相等，若
ˆ 算符平方， A 算符对易， 一般
2
ˆ ˆ ˆ CU AU BU
，则
ˆ ˆ ˆ C A B
ˆ ˆ [ X , Px ] i
已知算符，态， 可测量值就是该算符的本征值， 若不是本征态， 实验的结果由算符的期望值确定。
22
（3）态迭加原理 （假定）
Hü ggens 原理; 空间一点波的强度, 是由波源上各点传播到 此点的迭加而得到。
I
i
b 2
波迭加原理： 两个波动 1 , 2 线性迭加的结果 a 1 波动过程。
即：算符在此态中有本征值 则：力学量在此态中有确定值＝本征值 力学量 F 在 态中有确定值 f 。
其必为实数 （f）
15
(e ) 若
ˆ F ( q , t ) f ( q , t ) ， 找 不 到 本 征 值
即： 不是力学量 F 的本征态
F 不具有确定值
则可求平均值或称期望值 F
8
厄密算符有两个特征： A. 其本征值为实数 B. 不同本征值的本征函数是正交的 而这两点正好是量子力学中的算符所必须的。 量子力学中的算符是表示力学量的， 它所代表的值必须是实数。

量子力学中的算符都是 Hermite
Operator
9
(e) 算符的本征问题
若 则
ˆ A ( x) a ( x)
如果某一情况是由许多基本情况组成的, 则其幅值等于 各组成的幅值的叠加
26
薛定谔的猫
这个猫十分可怜，她（假设这是一只雌性的猫，以引起更多怜悯）被封 在一个密室里，密室里有食物有毒药。毒药瓶上有一个锤子，锤子由一 个电子开关控制，电子开关由放射性原子控制。如果原子核衰变，则放 出阿尔法粒子，触动电子开关，锤子落下，砸碎毒药瓶，释放出里面的 氰化物气体，雌猫必死无疑。这个残忍的装置由薛定谔所设计，所以雌 猫便叫做薛定谔猫。原子核的衰变是随机事件，物理学家所能精确知道 的只是半衰期——衰变一半所需要的时间。如果一种放射性元素的半衰 期是一天，则过一天，该元素就少了一半，再过一天，就少了剩下的一 半。但是，物理学家却无法知道，它在什么时候衰变，上午，还是下午。 当然，物理学家知道它在上午或下午衰变的几率——也就是雌猫在上午 或者下午死亡的几率。如果我们不揭开密室的盖子，根据我们在日常生 活中的经验，可以认定，雌猫或者死，或者活。这是她的两种本征态。 但是，如果我们用薛定谔方程来描述薛定谔猫，则只能说，她处于一种 活与不活的叠加态。我们只有在揭开盖子的一瞬间，才能确切地知道雌 猫是死是活。此时，猫的波函数由叠加态立即收缩到某一个本征态。量 子理论认为：如果没有揭开盖子，进行观察，我们永远也不知道雌猫是 死是活，她将永远到处于半死不活的叠加态。这与我们的日常经验严重 相违，要么死，要么活，怎么可能不死不活，半死半活？ 《寻找薛定谔的猫》，约翰· 格利宾著 Ｒ·
量子力学：认为体系的全部信息都包含在波函数中， 为了抽出 可测量数值的信息，必须对 做数学运算，实际上量子力学可以 归结为正确选择适合可测量量的运算。
ˆ X
自变量
i x
2
ˆ P 波函数的梯度决定
ˆ E 波函数的曲率决定


2 2
2m x
21
原则： ① 算符所产生的可测量的值应为实数， ② ③
ˆ ˆ 称 A B 对易
4
(b) 对易
Commitation Relation
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ [ A, B ] A B B A 定义：
ˆ ˆ A B 算符的对易关系, 称为
称对易子
ˆ ˆ [ A, B ] 0 若
, 则A


B
对易。
5
例：
ˆ , P ] x ( i ) ( i )( x ) [ X ˆx x x xi i