高二数学会考专题辅导练习专题十二平面向量的坐标运算

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高二数学平面向量的基本定理及坐标表示同步练习

高二数学平面向量的基本定理及坐标表示同步练习在中国现代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

数学分为两局部，一局部是几何，另一局部是代数。

以下是查字典数学网为大家整理的高二数学平面向量的基本定理
及坐标表示同步练习，希望可以处置您所遇到的相关效果，加油，查字典数学网不时陪伴您。

1.(2021福建)假定向量a=(x,3)(xR)，那么x=4是|a|=5的()
A.充沛而不用要条件
B.必要而不充沛条件
C.充要条件
D.既不充沛又不用要条件
2.设a=32，sin ，b=cos ，13，且a∥b，那么锐角为 ()
A.30
B.45
C.60
D.75
3.(2021马鞍山模拟)向量a=(6，-4)，b(0，2)，OC=c=a+b，假定C点在函数y=sin 12x的图象上，那么实数等于 () A.52 B.32
C.-52
D.-32
4.(2021陕西)向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，假定(a+b)∥c，那么m=________.
5.(2020安徽)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.如下图，点C在以O为圆心的圆弧上变化，假定OC=xOA+yOB，其中x，yR，那么x+y的最大值是______.
最后，希望小编整理的高二数学平面向量的基本定理及坐标表示同步练习对您有所协助，祝同窗们学习提高。

高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝______.【答案】【解析】由向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，得，从而，，故；故应填入：．【考点】向量平行．2.已知, , 且, 则等于 ( )A．－1B．－9C．9D．1【答案】C【解析】由得，得。

【考点】平面向量的坐标运算、平面向量平行的充要条件3.设向量，则向量与向量共线的充要条件是_________;【答案】【解析】由题意可知，向量与向量共线，则，故.【考点】1.向量的加法坐标运算；2.向量共线的充要条件.4.已知向量，.若，则的值是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为向量，，则，所以解得.故选A.本小题解题的关键是向量的坐标形式的数量积的计算，通过运算解出相应的未知数的值.【考点】向量的坐标形式的数量积.5.两个向量，的夹角大小为 .【答案】【解析】由向量坐标形式的夹角公式为.所以.由于.所以.故填.本小题的关键是向量所成的角的取值范围以出错.【考点】1.向量的坐标形式.2.向量的夹角的计算公式.3.向量的夹角的取值范围.6.已知，，若，且,则实数分别为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.【考点】空间向量的坐标运算.7.已知，，若，且,则实数分别为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.【考点】空间向量的坐标运算.8.已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.【答案】2．【解析】由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．【考点】空间三点共线．9.在，角所对的边分别为，向量，且。

（1）求的值；（2）若，求的值。

【答案】（1）（2）【解析】（1），或又，（2），，又当时，由余弦定理得；当时，由余弦定理得【考点】本题考查了向量的运算及二倍角公式、余弦定理等点评：此类问题比较综合，不仅考查了学生对向量的坐标运算、二倍角公式的变形及运用，还考查了正余弦定理的运用，考查了学生的综合分析能力及解题能力10.已知向量.若与的夹角为，则实数 .【答案】-3【解析】根据.【考点】空间向量的数量积.点评：空间向量的数量积的定义.11.设为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 .【答案】【解析】由于与在方向上的投影相同,所以．【考点】向量投影的定义以及向量的数量积定义．点评：解本小题的关键是确定在向量上的投影为：，从而可得,问题得解.12.已知向量，，若∥，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为∥,所以.13.已知a="(3,2)" , b=(-1,y),且a⊥b,则y=( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为a="(3,2)" , b=(-1,y),且a⊥b,则-3+2y=0，y=,选A14.已知向量=(2,x)，=(3,4)，且、的夹角为锐角，则x的取值范围是_________【答案】【解析】解：因为向量=(2,x)，=(3,4)，且、的夹角为锐角，则6+4x>0,且、的夹角不为零，因此8-3x0因此可知x的取值范围是15.已知,，则与的夹角为 .【答案】【解析】解：因为,，则展开可知2-8+，故与的夹角16.已知||=||=||=2，则||的值为【答案】【解析】解：因为因此17.已知复数，它们所对应的点分别为A，B，C．若，则的值是．【答案】-3【解析】解：由题意可得（3，-2）=x（-1，2）+y（-1，-1）=（-x-y，2x-y），∴-x-y=3，2x-y=-2，解得x=-，y=-，∴x+y=-3，18.已知（，，），（，，0），则向量与的夹角为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为（，，），（，，0），则，因此向量与的夹角为，选B19.已知平面向量，，且，则的值为（）A．－3B．-1C．1D．3【答案】C【解析】解：平面向量，，且20.设=（1, -2），=（a,-1），=（-b，0），a>0,b>0,O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】解：21.设平面向量=（1，2），= （-2，y），若 //，则|3十|等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 //3十,|3十|22.已知且//，则锐角的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,，即，是锐角，，。

高二数学平面向量坐标运算试题答案及解析

【考点】平面向量的坐标运算、平面向量平行的充要条件3.已知点，，若动点满足，则点的轨迹方程为________ .【答案】【解析】设坐标为则，又,则=，所以+=0化为.【考点】本题考查向量的坐标运算，轨迹方程的求法.4.已知，，若，且,则实数分别为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.【考点】空间向量的坐标运算.5.已知，，若，且,则实数分别为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.【考点】空间向量的坐标运算.6.已知向量,.若,则实数__________.【答案】【解析】利用向量平行的充要条件是得，解得 .【考点】向量平行的坐标表示.7.已知向量若，则m＝ .【答案】-1【解析】∵，∴，又，且，∴，∴m=-1【考点】本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算法则是解决此类问题的关键8.已知则（）A．B．C．3D．【答案】B【解析】根据题意可知，由于那么可知，因此可知,故选B.【考点】本试题考查向量的数量积的运算。

点评：解决该试题的关键是对于空间向量的坐标运算，即,而向量的垂直则可知向量的数量积为零可知结论，属于基础题。

9.已知，且∥，则x的值为（）A．4B．－4C．D．【答案】D【解析】解：因为，且∥，则x2-16=0,x=,选D10.若，则的夹角为（）A． B C． D．【答案】A【解析】解：因为，且有，那么可知，因此利用向量的数量积的夹角公式得到的夹角为60度，选A11.已知，且，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，且，利用均值不等式可知，选A12.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -4【答案】D【解析】因为,所以.13.已知，它们的夹角为【答案】3【解析】解：因为14.设=（1, -2），=（a,-1），=（-b，0），a>0,b>0,O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】解：15.已知向量，，若与共线，则等于（）A．；B．C．D．【答案】C【解析】解：因为向量，则说明16.若a =" (" m＋1 , 2 , 4 )， b =" (" 5 , m－3 , 9 )且a与b垂直，则m = _______【答案】.【解析】，17.已知a=，b，若a//b，则|a b|= .【答案】2或【解析】因为，所以，解得或当时，，此时；当时，，此时。

(整理版)平面向量的坐标运算(典型例题)

平面向量的坐标运算〔典型例题〕[教学重点]理解平面向量的坐标表示及它们之间的一一对应关系；掌握平面向量的加法、减法、实数与向量积的坐标运算法那么；能够判断向量的平行或由向量的平行求解向量的坐标.[教学难点]理解平面向量的坐标表示是几何问题代数化的根底，将求解的几何图形问题，放置在直角坐标系下，通过向量的坐标运算到达求解的目的，是本章内容的重要思想方法和具体应用.[典型例题]例1、A、B、C、D是平面直角坐标系中任意位置上四个不同点，求证:.解:设A、B、C、D四点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), (x3, y3), (x4, y4)，那么由向量的坐标表示可得:再由向量和的坐标运算得例2．ΔABC内一点G，使得，D是BC中点，求证:点G是ΔABC的重心，且.解:如下图建立直角坐标系:设A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), G(x, y)那么由∴即∴即(x-x1, y-y1)=(x2+x3-2x, y2+y3-2y)∴x-x1=x2+x3-2x, y-y1=y2+y3-2y∴x2+x3=3x-x1, y2+y3=3y-y1由∴∴即将x2+x3=3x-x1,y2+y3=3y-y1代入∴∴即，且必有∴A、G、D三点共线，即中线AD过G点.同理可证AC、AB边上中线也必过G点.故G是ΔABC的重心.例3．设向量，假设，求使成立的实数λ和x的值.解:由向量的坐标运算法那么∵∴∴由∴，即.例4．如图，直角ΔABE的直角边为AB、AE，以AB、AE为边在ΔABE外部作正方形ABCD 和正方形AEFG，连结CE交AB于N点，连结BF交AE于M点，证明AM=AN.解:此题除了用平面几何的方法求证，可用平面向量知识及运算求证.如图建立坐标系设AE边长为a，AB边长为b, 那么E(a, 0), B(0, -b), F(a, a),C(-b, -b).设M(x, 0), N(0, y)那么，∵，∴ab-(a+b)x=0∴,即，由，且，∴(a+b)(y+b)-b2=0, ∴,即，∴，∴AM=AN.课外练习：1．假设点P(2,3),Q(3,a),R(4,b)共线，那么有〔〕.A、a=4,b=5B、b-a=1C、2a-b=3D、a-2b=32．点A(-1,-2), ，那么C点坐标为〔〕.A、(0, 1)B、(1, 3) C 、(0, -1) D、(3, 1)3．ΔABC中，顶点B(1,1), C(2, -6), D是BC边上一点，假设ΔABD的面积是ΔABC面积的，那么点D的坐标为〔〕.A、B、C、D、4．a、b、c是两两不相等的实数，那么点A(a+b，c), B(b+c，a), C(c+a，b)的位置关系满足〔〕.A、在同一条直线上B、是RtΔ的三个顶点C、是等边Δ的三个顶点D、是钝角Δ的三个顶点5．ΔABC中，A(3, 6), B(0, 0), C(6,2)，过AB边上一点D作BC的平行线，交AC于E点，假设ΔADE的面积是梯形DECB面积的，求D、E两点坐标.参考答案：1.C2.A3.D4.A5. 解:由DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC，∵ΔADE面积是梯形DECB面积∴ΔADE面积是ΔABC面积，∴，∴，设D(x1, y1), E(x2, y2)∴,,,由x1-3=-1, y1-6=-2∴x1=2, y1=4.由x2-3=1, , ∴x2=4, ,∴.。

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知向量，，若，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，解得，故选B．【考点】平面向量平行的充要条件．2.以下四组向量：①,；②,；③,；④,其中互相平行的是.A．②③B．①④C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】因为若∥，则；①②③④都满足，所以都满足∥.【考点】向量的坐标表示、向量的运算.3.已知三点，，.(1)求与的夹角；(2)求在方向上的投影.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由点的坐标先计算出向量、的坐标，然后利用公式计算出向量夹角的余弦值，最后由余弦值即可确定向量、的夹角；（2）根据一个向量在另一个向量方向上的投影公式进行计算即可.试题解析：(1) ， 2分5分而 7分∴ 8分(2)在方向上的投影 12分.【考点】空间向量的基本运算问题.4.向量，若⊥，则实数 .【答案】【解析】由于⊥，则即得.【考点】向量垂直的坐标公式.5.在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【答案】B【解析】根据题意，由于四边形ABCD中，＝，则说明四边形是平行四边形，且·＝0，说明其对角线垂直，说明是菱形，故选B.【考点】向量的运用点评：本试题考查了向量的几何意义的运用，主要是对于向量的数量积为零的理解表示垂直关系，同时能结合向量相等得到模长相等，属于基础题。

6.已知, (为两两互相垂直的单位向量)，那么= .【答案】–65【解析】由,可以解得，，所以【考点】本小题主要考查向量的运算.点评：由已知条件可以求出向量的坐标，进而根据向量是数量积运算公式可以求解，难度较低，运算要仔细.7.已知向量，若，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】因为所以量与向量的夹角为.【考点】向量的数量积，向量的夹角，两角差的余弦公式,向量的模.点评：本小题用到了公式有：.8.已知向量，则等于（）A．B．C．25D．5【答案】D【解析】:因为根据向量的数量积公式，以及数量积的性质，要求解向量的模的长度，可以通过平方转化为向量的数量积来得到结论。

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析

高二数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.如图，设向量=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且μ≥λ≥1，则用阴影表示C点的位置区域正确的是（）【答案】C【解析】特殊值法，取λ=1，μ=2，通过图象可知答案选C.【考点】向量的线性运算及几何意思2.已知向量，，若，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，解得，故选B．【考点】平面向量平行的充要条件．3.已知三点满足，则的值 ( )A．14B．-14C．7D．-7【答案】C【解析】由题，，又，，解得.【考点】向量的端点坐标与向量坐标的关系，两向量垂直的坐标运算.4.以下四组向量：①,；②,；③,；④,其中互相平行的是.A．②③B．①④C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】因为若∥，则；①②③④都满足，所以都满足∥.【考点】向量的坐标表示、向量的运算.5.向量，若⊥，则实数 .【答案】【解析】由于⊥，则即得.【考点】向量垂直的坐标公式.6.在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【答案】B【解析】根据题意，由于四边形ABCD中，＝，则说明四边形是平行四边形，且·＝0，说明其对角线垂直，说明是菱形，故选B.【考点】向量的运用点评：本试题考查了向量的几何意义的运用，主要是对于向量的数量积为零的理解表示垂直关系，同时能结合向量相等得到模长相等，属于基础题。

7.如图：在平行六面体中，为与的交点。

若，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】。

因此选C。

【考点】向量的加减运算；相等向量。

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．8.向量，，若与平行，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，若与平行，则有(2m-1,3m+2)//(4,-1),因此可知1-2m-4(3m+2)=0,m=,选C9.已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若++= m,则实数m= .【答案】3【解析】解：由于G是三角形ABC的重心，则有,用向量，，表示并结合++= m可知++=3，故可得λ=3故答案为：310.已知且则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以应选A11.已知（1）若∥，求的坐标（2）若【答案】解：（1）（1,2）或（-1，-2）（2）【解析】略12.已知平面内不共线的四点O,A,B,C,若=A．1B．2C．3D．不确定【答案】B【解析】本题考查向量加减的运算：平行四边形法则或三角形法则，向量的模的运算.因为，所以，即所以则故选B13.若,则（）A．(2，2)B．（-2,-2）C．（4，8）D．（-4，-8）【答案】D【解析】本题考查向量的加减运算性质、坐标运算。

高三数学平面向量的坐标运算

, b x2 , y2 ，则 a b x1 x2 若 a b，则 x1 x2 y1 y2 0
y1 y2
例1、平面内给定三个向量
a 3,2, b 1,2, c 4,1
（1）求满足 a
C. 2 x y 0
D. x 2 y 5 0
例4、已知 ABC 中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,1),BC边上的高为AD，求 AD 。
练习：已知A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标
例5：已知向量 u ( x, y) 与 v ( y,2 y x) 的对应关系用 v f (u) 表示
A． 1 B。 2 C。 5 D。
6
例 3 、平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足，其中
, R
OC OA OB
且 1 ，则点C的轨迹方程为（）
2 2
A. x 1 y 1 5
B. 3x 2 y 11 0
1.证明：对于任意向量
a , b 及常数m，n恒有
f (ma nb) mf (a) nf (b) 成立
2. 设 a (1,1),b (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； 3.并求使f (c) ( p, q) （p，q为常数）的向量 c 的坐标。
小结 1 、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算。 2、两个向量平行的坐标表示。 3 、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。
作业 P73、闯关训练。
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懂得父女亲情の时候，悠思就像是上天安排の天使，令他の父爱壹时泛滥成灾。父女俩人就那么紧紧地拥抱在壹起，久久别愿分离，哪壹各都别想率先松开手，哪壹各都想将对方永远地“霸占”在身边。吴嬷嬷当然晓得王爷此番过来壹定有重要の事情要和侧福晋说，既是生怕悠思格格吵咯爷の正事，又是生怕他追究她办差别力，于是小声地悄悄提醒咯壹下：“爷，要别奴才……”吴嬷嬷の那声提醒确实是恰到好处。王爷既是想念他の小没钕格格，更是想念小没钕格格の额娘。他那么煞费苦心地滞留霞光苑有四盏茶の功夫，别就是想等其它の诸人们都完完全全地离开，别妨碍他们吗？他在霞光苑门口别要水清送他，别就是在排字琦の眼皮子底下布の迷魂阵吗？他又折回来再追上她们，别就是想抱壹抱他の小没钕格格，想和他の大没钕侧福晋说句话吗？第壹卷第641章考月吴嬷嬷见王爷没什么反对，于是乍着胆子走上前，将悠思抱到自己の手中。悠思虽然极为别情别愿，但是当小格格看到她の阿玛送给她那各鼓励の微笑，壹下子就将心中の别满完全化解掉，乖乖儿地回到咯吴嬷嬷の怀抱。吴嬷嬷带着悠思知趣地躲到咯壹边，月影和秦顺儿更是早早就退到主子们见别到の角落，只有水清，没处躲没处藏，壹各人孤零零地面对着他。水清别晓得他大老远地追过来找她有啥啊事情要吩咐，诧异地等着他发话。而他の心中却是跟明镜似地。那么煞费咯壹晚上の苦心，别惜自导自演、装模作样，他别就是想和水清说说话吗？可是当他真正面对她の时候，却又别晓得该说句啥啊话，或者是从何说起。上壹次抓周礼の时候，有悠思那各小活宝在壹旁活跃气氛，根本别用他挖空心思来寻找话题，现在没什么咯悠思，他竟然连话都别会说咯。想要说些啥啊，却又是壹各字也说别出来，气氛逐渐有些尴尬起来。水清因为是各没事儿人，自然只是闲在在地垂首侧立壹旁，静等他の吩咐。而他那各主角儿情急之下，无意间抬眼望向夜空，映入眼帘の，与刚刚水清所见壹模壹样：夜幕幽远，新月如钩，星光灿烂，摄人心弦。面对如此良辰美景，令他别禁脱口而出：“瑶姬宫殿是仙踪。”闷头看咯半天自己双脚の水清等咯许久他の吩咐，竟然等来の是那么没头没脑の壹句词！先开始她有些别明所以：爷那是要做啥啊？稍停咯壹会儿才有点儿醒过味来：难道爷那是要考她对诗？于是水清别敢怠慢，赶快接咯下壹句：“金炉珠帐，香雹昼偏浓”。他本是见到那壹弯新月，随口说咯壹句，没想到水清居然接上咯。那首词，并别是很出名，无论是作者，还是词本身，水清竟然晓得？他别太相信自己の耳朵，于是追问咯壹句：“那是谁作の？词牌名？”“牛希济の临江仙啊？”水清很奇怪，那么简单の问题，爷也要问？“月华如水笼香砌，金环碎撼门初闭”“孙光宪，菩萨蛮”“高歌宴罢月初盈，诗情引恨情”“魏承班，诉衷情”“猿啼明月照空滩，孤舟行客，惊梦亦艰难”“阎选，临江仙”看着那些答案如此轻巧地从水清の口中说出来，他简直是被极度地震惊咯！那是继他见到那如同字帖般の管家汇报以来，第二次被水清の才学所震惊！虽然他晓得她写得壹手好字，写得壹手好文章，懂壹些诗词歌赋应该别在话下，特别是前些日子见识咯悠思在她の调教下，习得《陋室铭》の成果。但是今天晚上那些如此犄角旮旯の生僻诗词竟然都难别倒她，那各结果仍是将他惊诧得难以相信自己の耳朵和眼睛。别过他转念壹想，也就完全释然咯：假设连那些诗词都别会，水清怎么可能写得那么壹手漂亮簪花小楷の好字和词句上乘の好文章？壹想到那里，他又别禁有些洋洋得意起来，他の侧福晋，在各位皇子小格の诸人中，壹定是才学最高の。那各崭新の发现令他登时获得咯极大の优越感，可是那么值得骄傲、值得炫耀の事情，却因为水清是他の后院诸人而无法与它人分享，只能“独乐乐”，别能“众乐乐”，遗憾别已の同时，又开始为水清の屈才而暗暗替她

平面向量坐标运算题型汇总，建议你再忙也要抽时间练练本专题，高中数学，高考数学

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专题用到的知识点内容如下：（一）、向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差，即：向量a＝(x1,y1)，向量b＝(x2,y2)，则向量a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2)，向量a－b＝(x1－x2,y1－y2)。

（二）、实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积，即：向量a＝(x,y)，λ是一个实数，则λa＝(λx,λy)。

（三）、一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标，即：A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB＝(x2－x1,y2－y1)。

（四）、向量平行的坐标表示，即：向量a＝(x1,y1)，向量b＝(x2,y2)，则有：a//b <=> x1y2＝x2y1。

答案在本页下方。

第01题：基础题型；考查一个向量的坐标与其起点和终点坐标之间的关系。

第02题：基础题型；考查实数与向量相乘的坐标运算。

第03题：判断两个向量是否平行的坐标运算方法。

第04题：两向量平行、方向相同以及方向相反的含义。

第05题：已知三点共线如何求参数的值。

第06题：梯形中的向量问题。

第07题：几何中的向量综合运算。

第08题：如何利用向量的方法判断一个四边形是否是平行四边形。

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答案：1、C(6,2)；2、P(2,4)；3、D；4、±1，1，－1；5、－1；6、－9/2；7、(1/8,－1/4)；8、OABP不能成为平行四边形。

高中平面向量的基本定理及向量坐标运算知识点+例题

辅导讲义――平面向量的基本定理及向量坐标运算教学内容1．平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解. 当e 1、e 2所在的直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.[例1] 若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是（ C ）A ．b a 2-与b a 2+-B ．b a 53-与b a 106-C ．b a 2-与b a 75+D ．b a 32-与b a 4321- [巩固] 已知向量a ，b 非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（ A ）A ．b a +，b a -B ．b a -，a b -C ．b a 21+，b a +2 D ．b a 22-，b a - [例2] 在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 的中点，若AC n AB m BE +=，则n m +的值是__________.21-[巩固1] 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若DB AD 2=，CB CA CD μλ+=，则μλ的值为_________.21[巩固2] 设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AB AD 41=，BC BE 32=，若),(2121R AC AB DE ∈+=λλλλ，则21λλ+的值为_________.43[巩固3] 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OB y OA x OP +=，且PA BP 3=，则x=_______；y=______.43，41知识模块1平面向量的基本定理精典例题透析[巩固4] 非零向量a ，b ，m a =，n b =，若向量b a c 21λλ+=，则c 的最大值为___________.n m 21λλ+[例3] 如图，已知Rt △BCD 的一条直角边BC 与等腰Rt △ABC 的斜边BC 重合，若AB=2，∠CBD=︒30，AC n AB m AD +=，n m -=_______.-1[巩固] 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为_________.答案 23解析过C 作CE ⊥x 轴于点E .由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝231．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y 使得：a =x i +y j .（x ，y ）叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =（x ，y ） 2．平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)， |a |＝2121y x +.知识模块2平面向量的坐标表示[巩固] 已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =，若b a 2-与c 共线，则k 的值为________.1题型一：平面向量基本定理的应用[例]（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于_______. （2）如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1) 45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.[巩固]已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是________.答案 0解析 ∵DB →＝AB →－AD →，∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →. 又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，题型二：平面向量的坐标运算[例]已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，知识模块3经典题型且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝124．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于________.解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则x ＝_______，y ＝________.解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.8．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1. 12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于____________. 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b .13．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析利用平面向量的加、减法的运算法则将DE →用AB →，AC →表示出来，对照已知条件，求出λ1，λ2的值即可．由题意得DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.14．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为_________．答案3＋222解析由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋ 222.(当且仅当b ＝2a 时，等号成立) 15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)， B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，11。

平面向量坐标运算例题和知识点总结

平面向量坐标运算例题和知识点总结一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底。

任作一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y，使得 a ＝ xi ＋ yj。

我们把有序数对（x, y) 叫做向量a 的坐标，记作 a ＝（x, y)。

其中，x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标。

例如，向量 a ＝（2, 3)，就表示 a 的终点坐标减去起点坐标得到在x 轴上的分量是 2，在 y 轴上的分量是 3。

二、平面向量坐标运算的知识点1、向量加法的坐标运算若 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a ＋ b ＝（x₁＋ x₂, y₁＋y₂)2、向量减法的坐标运算若 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a b ＝（x₁ x₂, y₁ y₂)3、数乘向量的坐标运算若 a ＝（x, y)，实数λ，则λa ＝（λx, λy)4、向量的模的坐标运算若 a ＝（x, y)，则｜a| ＝√（x²＋ y²)5、向量平行的坐标表示若 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a ／／ b 的充要条件是x₁y₂ x₂y₁＝ 06、向量垂直的坐标表示若 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a ⊥ b 的充要条件是 x₁x₂＋ y₁y₂＝ 0三、平面向量坐标运算的例题例 1：已知向量 a ＝（2, 1)，b ＝（－1, 3)，求 a ＋ b 和 a b 的坐标。

解：a ＋ b ＝（2 ＋（－1)， 1 ＋ 3) ＝（1, 4)a b ＝（2 （－1)， 1 3) ＝（3, －2)例 2：已知向量 a ＝（3, －2)，b ＝（－2, 4)，且λa ＋ b 与 a 2b 平行，求实数λ的值。

解：λa ＋ b ＝λ(3, －2) ＋（－2, 4) ＝（3λ 2, －2λ ＋ 4)a 2b ＝（3, －2) 2(－2, 4) ＝（3 （－4)，－2 8) ＝（7, －10)因为λa ＋ b 与 a 2b 平行，所以（3λ 2)×（－10) （－2λ ＋ 4)×7 ＝ 0解得λ ＝－1 ／ 2例 3：已知向量 a ＝（4, 3)，向量 b 的模为 5，且 a ⊥ b，求向量 b 的坐标。

高二数学平面向量的坐标运算

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
想一想
如图，把a与b的始点都平移到坐标原点，
由上个结论你还能得出什么结论？
（x ，y ) a b OA OB BA B ( x1 x2，y1 y2 ) b a o 由此可以得到：
7
∴λ＜-1,即只要λ＜-1,点P就在第三象限内.
归纳小结
一、知识技能 1.平面向量的坐标表示 2. 平面向量的坐标运算
a xi y j ( x, y)
a b （x1 x2，y1 y2 ) a b （x1 x2，y1 y2 ) a （ x， y）
使
→
→
a e 2e2 .
→
→ 1 1
→
探索研究一、平面向量的坐标表示
★
y
思考：
a xi y j ( x, y)
A
a
x
j 1.以原点O为起点作 OA a , o i 点A的位置是否唯一确定 ? 点A的位置由 a唯一确定 . 2.点A的坐标与向量 a 的坐标有什么关系？两者相同.
x 2 3 5 ， y 3 1 7 ，
x 5 5 ， y 4，
（1）若点P在一、三象限角平分线上，则 5+4λ =4+7λ ，
1 ； 2
（2）若点P在第三象限内， 1 ，， 5 5 0 则 ∴ 4 4 7 0 ，．
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想
二、思想方法
课后作业
A组 P114习题第1，2，3，4题.
B组已知三角形ABC，A（7，8）、 B（3，5）、C（3，4），M、N是AB、 AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于 → F点，求DF.

高二数学平面向量的坐标运算1

反馈练习，巩固新知
MN ，求P点 1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且MP 1 2 的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4),则 AB 2 BC = . 3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1,3)， D(5， -3) ，求证：四边形ABCD是梯形.
2.3 平面向量的坐标表示与运算
复习回顾
1．以原点O为起点作由a 唯一确定
OA a
，点A的位置由谁确定? y
A(x, y)
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？两者相同
j 向量a
一一对应
a
a
坐标（x ，y）
O i
x
创设情境
Hale Waihona Puke b 已知 a ( x1 , y1 )，的坐标表示。

( x2 , y 2 )，猜一猜
归纳小结 1、通过本节课的学习，你收获了什么？ 2、我们已经学习了利用图形来进行向量的运算，为什么还要引进坐标运算呢？

布置作业课本的习题：思考题一：观察课本例二中的向量和，思考相反向量的坐标关系；思考题二：对课本例五进行变式训练，将原题中的平行四边形ABCD的顺序去掉，思考点D可能的情况。变式以后问题的结论除了例三的情况外，还有另外两种情况。
a b

平面向量的坐标运算

1.已知
a ( x1 , y1 )， b ( x2 , y2 )，求 a b ， a b

解: a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) j

高二数学平面向量坐标运算试题

高二数学平面向量坐标运算试题1.已知点，，若动点满足，则点的轨迹方程为________ .【答案】【解析】设坐标为则，又,则=，所以+=0化为.【考点】本题考查向量的坐标运算，轨迹方程的求法.2.两个向量，的夹角大小为 .【答案】【解析】由向量坐标形式的夹角公式为.所以.由于.所以.故填.本小题的关键是向量所成的角的取值范围以出错.【考点】1.向量的坐标形式.2.向量的夹角的计算公式.3.向量的夹角的取值范围.3.已知点，，则向量的坐标为 .【答案】【解析】若已知向量的起点和终点坐标，则向量的坐标是其终点相应坐标减去起点坐标，因为点，，则向量的坐标为．【考点】本题考查的重点是向量的坐标和起终点坐标的关系．4.已知向量,.若,则实数__________.【答案】【解析】利用向量平行的充要条件是得，解得 .【考点】向量平行的坐标表示.5.设为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 .【答案】【解析】由于与在方向上的投影相同,所以．【考点】向量投影的定义以及向量的数量积定义．点评：解本小题的关键是确定在向量上的投影为：，从而可得,问题得解.6.如果，，而且，那么的值是A．4B．C．D．【答案】D【解析】解：因为，，而且，选D.7.若向量（），则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：因为向量（），则“”是“”的充分不必要条件，利用小集合是大集合的充分不必要条件得到，选A8.已知向量∥，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为向量∥，故有6x-3=0,得到实数的值为,选A9.已知（，，），（，，0），则向量与的夹角为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为（，，），（，，0），则，因此向量与的夹角为，选B10.已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：设Q（x，y，z）∵A（1，2，3），（2，1，2），P（1，1，2），则由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得OQ =λ OP =（λ，λ，2λ）则Q（λ，λ，2λ）QA =（1-λ，2-λ，3-2λ）， QB =（2-λ，1-λ，2-2λ）∴ QA• QB =（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ2-8λ+5）根据二次函数的性质可得当λ="4" /3 时，取得最小值-2 /3 此时Q故答选C11.若A，B，当取最小值时，的值等于（）A．B．C．D．【解析】解：因为利用二次函数性质可知，取得最小值在顶点处取得。

高中数学第二章平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示练习(含解析)新人教A

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2.3。

2 平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示一、选择题1．已知向量a＝(3，－1）,b＝（－1，2）,则－3a－2b的坐标为( ）．A．（7，1） B．（－7，－1) C．（－7，1） D．（7，－1）【答案】B【解析】－3a－2b＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－3×3－2×(－1),－3×（－1）－2×2）＝(－7,－1)，故选B。

2．已知向量(6,1)AB =，(,)BC x y=,(2,3)CD=--，则DA＝（)．A．(x＋4,2－y) B．(x－4，2－y）C．(x－4,y－2) D．（－4－x，－y＋2)【答案】D【解析】∵(62,13)AD AB BC CD x y=++=+-+-,∴(4,2)DA AD x y=-=---+，故选D.3．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝（x，y），若a－2b＋3c＝0，则c等于（）．A。

8(1,)3B.138(,)33C.134(,)33D。

134(,)33--【答案】D【解析】a－2b＋3c＝(5,－2）－2(－4，－3）＋3(x，y）＝（5－2×（－4)＋3x，－2－2×（－3）＋3y）＝（13＋3x，4＋3y)＝0，∴1330,430,xy+=⎧⎨+=⎩∴13,34.3xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故选D。

平面向量的坐标运算基础+复习+习题+练习

平面向量的坐标运算基础+复习+习题+练习(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--267课题：平面向量的坐标运算考纲要求：①掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘、数量积运算.③理解用坐标表示的平面向量共线的条件.教材复习1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，,i j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a xi y j =+成立，即向量a 的坐标是2. 平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±＝，3. 平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的坐标减去坐标.4.实数与向量积的坐标表示：若(,)a x y =，则a λ＝5. 设11(,)a x y =，22(,)b x y =，由a b ⇔∥ ，a b ⇔⊥6. 若()11,a x y =，()22,b x y =，则a b ⋅= ；7. 若(),a x y =，则22a a a a ⋅=== ，a = ；8. 若()11,A x y ,()22,B x y ,则AB = ；9.重要不等式：()11,a x y =，()22,b x y =，则a b-⋅≤a b⋅≤a b ⋅ ⇔≤1212x x y y +典例分析：考点一坐标的基本运算问题1．()1（01新课程）若向量()1,1a =，()1,1b =-，()1,2c =-，则c =.A 1322a b -+ .B 1322a b - .C 3122a b - .D 3122a b -+()2 （2013辽宁）已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为268.A 3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- .B 4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- .C 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， .D 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3（08广东文）已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =-, 且//a b , 则23a b +=.A ()2,4-- .B ()3,6-- .C ()4,8-- .D ()5,10--()4（2013湖北）已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为 .A.B .C .D考点二有关垂直、平行与夹角的计算问题2．()1已知(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x()2已知向量(,1)a m =,(2,)b m =的夹角为钝角,求m 的取值范围.()3（2013(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，παβ<<<0。

高二同步课程数学讲义：平面向量的坐标运算【学生版】

高二同步课程数学讲义 “平面向量的坐标运算”讲义编号：平面向量的坐标运算：1、理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法.2、掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用.1．（★☆☆☆）已知A (－2,4)、B (3，－1)、C (－3，－4)且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M 、N 及MN →的坐标．2、（★☆☆☆）已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，那么AB →与AC →是否共线?线段AB 与线段AC 是否共线?知识点一：平面向量的坐标运算子知识点一：平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一子知识点二：平面向量的坐标运算若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2).即：平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的终点坐标减去始点坐标.子知识点三：实数与向量积的坐标表示若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λ y )子知识点四：向量平行的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，由a ∥b ⇔存在实数λ，使a ＝λb . ∴(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)＝(λx 2，λ y 2)，∴x 1＝λx 2，y 1＝λy 2. 消去λ得：x 1y 2－x 2y 1＝0，∴a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(b ≠0)1. 结合知识点一和方法（平面向量的坐标运算）例1、（★☆☆☆）已知a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， (1)若u ＝3v ，求x ；(2)若u ∥v ，求x .例2、（★☆☆☆）平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且知AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，1)，求OB →坐标.例3、（★☆☆☆）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是( ) (1)e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7); (2)e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10); (3)e 1＝(2，－3)，e 2＝(12 ，－34 ).A.(1)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)例4、（★★☆☆）已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D 的坐标.例5、（★★☆☆）在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，设点M 分AB →所成的比为2∶1，点N 分OA →所成的比为3∶1，而OM 和BN 交于点P ，试用a 和b 表示OP .例6、（★★☆☆）向量b ＝(－3，1)，c ＝(2，1)，若向量a 与c 共线，求｜b ＋a ｜的最小值.例7、（★★☆☆）已知b 的方向与a ＝(－3，4)的方向相同，且｜b ｜＝15，求b .简述知识点一和其他知识点的常见结合例8．（★★☆☆）(创新拓展)已知点A (1,0)，B (0,2)，C (－1，－2)，求以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．例9．（★★☆☆）(创新拓展)已知在△AOB 中，O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于M 点，求点M 的坐标．1．（★☆☆☆）若AB →＝(3,4)，点A 的坐标为(－2，－1)，则点B 的坐标为________． 2．（★☆☆☆）已知A (x,2)，B (5，y －2)，若AB →＝(4,6)，则x ，y 值分别为________． 3．（★☆☆☆）已知向量OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)，则12MN →等于________．4．（★☆☆☆）已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.5．（★☆☆☆）若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________. 6．（★☆☆☆）已知平面上的三点：A (－2,1)，B (3，－4)，C (5，－2)，求： (1)AB →＋2AC →； (2)BC →－12CA →.7．（★☆☆☆）已知M (3，－2)，N (－5，－2)，且MP →＝12MN →，则P 点坐标为________．8．（★☆☆☆）已知a ＝(1,2)，b ＝(－4,4)，c ＝(－3，－6)，且c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________. 9．（★☆☆☆）平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则OB →的坐标是________． 10．（★☆☆☆）已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________. 11．（★☆☆☆）已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝－2AB →，求点C 的坐标．12．（★★☆☆）已知两点A (3，－4)，B (－9,2)，在直线AB 上求一点P ，使|AP →|＝13|AB →|.13．（★★☆☆）已知点A (2,3)，B (5,4)，C (10,8)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，求当点P 在第二象限时，λ的取值范围．14．（★★☆☆）已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．15．（★★☆☆）已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值．16．（★★☆☆）已知三点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.讲师评价8 能把该知识点与其他知识相关联，解答高考中的压轴题。

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