高中数学《复合函数的导数》教案
《复合函数的导数》教案
《复合函数的导数》教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解复合函数的概念，记住复合函数的求导公式，以及会利用基本初等函数的求导公式求复合函数的导数。
【过程与方法】
通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备简单的形如的复合函数的导数的能力。
【情感态度与价值观】
在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。
二、教学重难点
【重点】
会分解简单的复合函数及会求导。
【难点】
正确分解复合函数的复合过程。
三、教学过程
(五)小结作业
小结：通过这节课的学习，求复合函数的导数，关键在于搞清楚
复合函数的结构，明确复合次数，由外向内层逐层求导，直到关
于自变量求导，同时注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果。
作业：想一想，生活中还有哪些量是成正比例的量?
四、板书设计
五、教学反思。
人教版高一数学教案-复合函数的导数
§1.2.3複合函數的導數
【學情分析】：
在學習了用導數定義這種方法計算常見函數的導數,而且已經熟悉了導數加減運算法則後.本節將繼續介紹複合函數的求導方法.
【教學目標】：
(1)理解掌握複合函數的求導法則.
(2)能夠結合已學過的法則、公式，進行一些複合函數的求導
(3)培養學生善於觀察事物，善於發現規律，認識規律，掌握規律，利用規律．
【教學重點】：
簡單複合函數的求導法則，也是由導數的定義匯出的，要掌握複合函數的求導法則，須在理解複合過程的基礎上熟記基本導數公式，從而會求簡單初等函數的導數並靈活應用.
【教學難點】：
複合函數的求導法則的導入,複合函數的結構分析,可多配例題,讓學生對求導法則有一個直觀的瞭解.
【教學過程設計】：
32(32)31812u x x =-=-，x u u y ''⋅
對於一般的複合函數，結論也成立，以y ′x 時，就可以轉化為求y u ′和的乘積，關鍵是找中間變數，隨著中間變數的不同，難易程度不同.。
《简单复合函数的导数》教学设计
3
所以
3
所以曲线 y 3 x 1 在点(2/3，1)处的切线斜率
k y
x
2
3
1
所以曲线在点(2/3，1)处的切线方程为 y-1=1×(x-2)即 3x 3 y
1 0
例 4.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的
【设计意图】：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数
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学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
二、新知探究
探究 1： y ln( 2 x 1) 函数的结构特点.
1
若设 u = 2x − 1 (x > ) , 则 y = lnu 从而 y = ln(2x − 1) 可以看成是由 y = lnu 和 u
2.(1)-2
1
3.a=-4
2 ax
3
2
在点（0，1）处与直线 2x-y+1=0 垂直，求 a 的值
( 2) 6(1 2 x ) 2
5
(2）7
(3)
2
( 2 x 1) ln 2
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2.运用复合函数的导数运算法则求函数的导数，要关注中间变量的作用.
（1）运算过程中依靠中间变量识别构成复合函数的基本初等函数的结构.
（2）运算结果应表示为原来自变量的函数.
【设计意图】：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
四、作业布置
基础训练：1.求下列函数的导数：
(1) y
2
2.掌握复合函数的求导法则，能够利用求导法则求复合函数 的导数，提升数学运算的素养.
教学内容
高三数学 复合函数的导数(第一课时)大纲选修
芯衣州星海市涌泉学校复合函数的导数课时安排 2课时 沉着说课本节讲述复合函数的微分法，先通过实例，引出复合函数的求导法那么，接下来对法那么进展了证明，然后通过三个例题说明法那么的使用.对于复合函数，以前学生只是见过，但书没有专门介绍过它的概念，教学时，可以先由引入求导法那么的实例，让学生对复合函数的概念有一个初步的认识，再结合后面的例题、习题，逐步理解.也可以将2021年高考〔卷〕试题中y=〔x-a 〕n 的导数，从复合函数的角度来求导，让学生认识到其作用，大大缩短理解题链.在进展复合函数的求导法那么教学时，首先通过课本的实例，让学生对求导法那么有一个直观的理解，如求y=〔3x-2〕2的导数y′时，分两组求解，一是先展开后求导再合并，二是把3x-2看成整体u,先对u2求导,再求u 的导数〔关于x 〕，比较2u·u′x 与y′的关系.再举几个实例，让学生发现规律，由学生提出法那么:y=f ［u 〔x 〕］,那么y′=f′u·u′x,然后让学生探究证明过程.要把握好教学的尺度.在处理“当Δx→0时Δu→0”的时候，可以指出，其根据是“可导函数的连续性〞.又如，推导)(lim lim00x uu y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆时，要求Δu≠0.复合函数求导法那么的应用是本节的教学重点，在教学时应注意：①选定中间变量要适当;②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆;③复合函数的求导法那么还可以应用于一个方程来确定变量间的函数关系的情况.例如，y2=2px ，求y′x.第八课时课题3.4.1 复合函数的导数〔一〕教学目的一,教学知识点复合函数的求导法那么.二,才能训练要求1.理解掌握复合函数的求导法那么.2.可以利用上述公式，并结合已学过的法那么、公式，进展一些复合函数的求导.三,德育浸透目的1.培养学生擅长观察事物，擅长发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律.2.培养学生归纳、猜想的数学方法.3.加深学生对一般和特殊的理解，培养学生用联络的观点看问题.4.培养学生的创新才能，进步学生的数学素质.教学重点复合函数的求导法那么的概念与应用，复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.教学难点复合函数的求导法那么的导入与理解.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，求导时对哪个变量求导要写明.可以通过详细的例子，让学生对求导法那么有一个直观的理解.教学方法建构主义式由几个详细的实例，通过学生自己动手计算，比较结果，进展观察、总结，可以自己发现规律，得到结论.让学生主动地进展学习，而不是被动地承受知识.培养学生的创新意识.教具准备实物投影仪先由几个例子，引出复合函数的求导法那么.几个例子可以先写在纸上，用表格的形式写出，分别让学生求y′x,y′u,u′x和y′u·u′x，答案写入表格中，让学生将y′x与y′u·u′x的结果进展比较.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了一些根本初等函数的导数.根本初等函数一一一共有六种：①常量函数y=C〔C 是常数〕，②幂函数y=xa〔a∈R〕,③指数函数y=ax〔a>0,a≠1〕,④对数函数y=logax〔a>0,a≠1,x>0〕,⑤三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,⑥反三角函数y=arcsinx，y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.其中常量函数、幂函数、三角函数的导数已经学过了，指数函数和对数函数的导数下几节课学.这节课我们来学习由根本初等函数复合而成的函数的导数.Ⅱ.讲授新课〔一〕复合函数的导数［师］我们来看几个函数.〔由实物投影仪投影出来〕y〔3x-2〕2〔sinx〕2〔x+1〕3〔x-1〕3sin2xu3x-2sinx x+1x-12x y〔u〕u2u2u3u3sinu y′x18x-122sinxcosx3〔x+1〕23〔x-1〕22cos2x y′u2u2u3u23u2cosu u′x3cosx112y′u·u′x18x-122sinxcosx3〔x+1〕23〔x-1〕22cos2x ［师］这五个函数都是由一些一次函数、二次函数、三次函数和三角函数复合而成的.像这种形式的函数，即由几个函数复合而成的函数，就叫做复合函数，下面来求一下y′x,y′u,u′x和y′u·u′x，并且y′u·u′x用x表示.〔给学生时间是是做题，做好了，让学生答复，说出答案，老师用笔写在纸上，让投影仪投影出来，再让学生观察表格中的数据有什么关系.虚框内的是后来填上去的〕［生］这几个函数y′x与yx′·u′x的值是一样的.［师］我们把u 称为中间变量，那对于一般的复合函数是不是有一样的结论呢？要求y′x，只要求y′u 与u′x 的乘积，也就是说y′x=y′u·u′x.我们来证明一下下面的一个命题.［板书］1.设函数u=φ〔x 〕在点x 处有导数u′x=φ′〔x 〕，函数y=f 〔u 〕在点x 的对应点u 处有导数y′u=f′〔u 〕,那么复合函数y=f ［φ〔x 〕］在点x 处也有导数，且y′x=y′u·u′x 或者者f′x［φ〔x 〕］=f′〔u 〕φ′〔x 〕.证明：设x 有增量Δx，那么对应的u,y 分别有增量Δu,Δy,因为u=φ〔x 〕在点x 处可导，所以u=φ〔x 〕在点x 处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.〔为了证明起来比较方便，而且在不影响结论的情况下，我们只考虑〕当Δu≠0时，由x u u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆，且uyu y x x ∆∆=∆∆→∆→∆00limlim ， ∴x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim =xu u y x x ∆∆⋅∆∆→∆→∆00lim lim =xu u y x x ∆∆⋅∆∆→∆→∆00lim lim ， 即y′x=y′u·u′x.［师］所以对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x 时，就可以转化为求yu′和u′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度也不同.上述证明的命题就是复合函数的求导法那么.2.复合函数的求导法那么复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数. 〔二〕课本例题［例1］求y=〔2x+1〕5的导数.〔让学生设中间变量〕解：设y=u5,u=2x+1，∴y′x=y′u·u′x=〔u5〕′u·〔2x+1〕′x=5u4·2=5〔2x+1〕4·2=10〔2x+1〕4.注意：在利用复合函数的求导法那么求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.［师］有时复合函数可以由几个根本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些根本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.〔三〕精选例题［例1］［2021年高考21〔1〕］a＞0，n为正整数，设y=〔x-a〕n.证明：y′=n〔x-a〕n-1.分析：设y=un，u=x-a.∴y′x=y′u·u′x=nun-1·〔x-a〕′=n·〔x-a〕n-1·1=n〔x-a〕n-1.解：∵y=〔x-a〕n，可以设y=un，u〔x〕=x-a，∴y′x=y′u·u′x=〔un〕′·〔x-a〕′=n·un-1〔x′-a′〕=n〔x-a〕n-1·1=n〔x-a〕n-1.［例2］〔2021年高考模拟题〕设y=f〔sinx〕是可导函数，那么y′x等于〔〕A.f′〔sinx〕B.f′〔sinx〕cosxC.f〔sinx〕cosxD.f′〔cosx〕·cosx分析：该函数分两层，中间变量u=sinx，外层f〔u〕对u求导为f′〔u〕，而不是f′〔u′〕，内层函数u=sinx 对x 求导为cosx.解：令u=sinx,∴y′x=f′〔u 〕·u′x=f′〔sinx 〕·〔sinx 〕′=f′〔sinx 〕·cosx. 应选B.［例3］求f 〔x 〕=sinx2的导数.〔让学生设中间变量〕解：令y=f 〔x 〕=sinu,u=x2.∴y′x=y′u·u′x=〔sinu 〕′u·〔x2〕x′ =cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2.∴f′〔x 〕=2xcosx2.［例4］求y=sin2〔2x+3π〕的导数. 分析：设u=sin 〔2x+3π〕时，求u′x,但此时u 仍是复合函数，所以可再设v=2x+3π. 解：令y=u2,u=sin 〔2x+3π〕,再令u=sinv,v=2x+3π.∴y′x=y′u·u′x=y′u·〔u′v·v′x〕. ∴y′x=y′u·u′v·v′x=〔u2〕′u·〔sinv 〕′v·〔2x+3π〕′x =2u·cosv·2=2sin 〔2x+3π〕cos 〔2x+3π〕·2 =4sin 〔2x+3π〕cos 〔2x+3π〕=2sin 〔4x+32π〕,即y′x=2sin〔4x+32π〕.［例5］求y=32c bx ax ++的导数.［学生板演］解：令y=3u,u=ax2+bx+c.∴y′x=y′u·u′x=〔3u〕′u·〔ax2+bx+c 〕′x=31u 32-·〔2ax+b 〕 =31〔ax2+bx+c 〕32-·〔2ax+b 〕 =322)(32c bx ax b ax +++,即y′x=322)(32c bx ax b ax +++.［例6］求函数y=〔2x2-3〕21x +的导数.分析：y 可看成两个函数的乘积，2x2-3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y=uv,u=2x2-3,v=21x +.令v=ω,ω=1+x2.v′x=v′ω·ω′x=〔ω〕′ω·〔1+x2〕′x=21ω21-〔2x 〕=2122x x +=21xx +.∴y′x=〔uv 〕′x=u′xv+uv′x=〔2x2-3〕′x·21x ++〔2x2-3〕·21xx +=4x21x++23132xx x +-=2316xx x ++，即y′x=2316xx x ++.Ⅲ.课堂练习1.求以下函数的导数.〔先设中间变量，再求导〕〔1〕y=〔5x-3〕4;〔2〕y=〔2+3x〕5;〔3〕y=〔2-x2〕3;〔4〕y=〔2x3+x〕2.解：〔1〕令y=u4,u=5x-3.∴y′x=y′u·u′x=〔u4〕′u·〔5x-3〕′x=4u3·5=4〔5x-3〕3·5=20〔5x-3〕3.〔2〕令y=u5,u=2+3x.∴y′x=y′u·u′x=〔u5〕′u·〔2+3x〕′x=5u4·3=5〔2+3x〕4·3=15〔2+3x〕4.〔3〕令y=u3,u=2-x2.∴y′x=y′u·u′x=〔u3〕′u·〔2-x2〕′x=3u2·〔-2x〕=3〔2-x2〕2〔-2x〕=-6x〔2-x2〕2.〔4〕令y=u2,u=2x3+x.∴y′x=y′u·u′x=〔u2〕′u·〔2x3+x〕′x=2u·〔2·3x2+1〕=2〔2x3+x〕〔6x2+1〕=24x5+16x3+2x.2.〔1〕函数y=〔x+1〕2〔x-1〕在x=1处的导数为〔〕A.1B.2C.3D.4解析：∵y′=2〔x+1〕〔x-1〕+〔x+1〕2,∴y′|x=1=4,应选D.〔2〕〔2021年高考题〕函数f〔x〕在x=1处的导数为3,那么f〔x〕的解析式可能为〔〕A.f〔x〕=〔x-1〕3+3〔x-1〕B.f〔x〕=2〔x-1〕+3C.f〔x〕=2〔x-1〕2+3D.f〔x〕=x-1解析：检验每个选项,看哪一个函数在x=1处的导数为3.当f〔x〕=2〔x-1〕+3时,f′〔x〕=2;当f〔x〕=2〔x-1〕2+3时,f′〔x〕=4〔x-1〕;当f〔x〕=x-1时,f′〔x〕=1.故只有A适宜,所以选A.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了复合函数的求导法那么.复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y′x=y′u·u′x,并且在利用复数的求导法那么求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数.复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或者者多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P123习题1〔1〕〔2〕，2〔1〕〔2〕，3〔2〕.〔二〕1.预习内容：课本P122～123例2、例3.2.预习提纲：预习例2、例3的解题过程，复习稳固复合函数的求导法那么.板书设计3.4.1 复合函数的导数〔一〕1.设函数u=φ〔x 〕在点x 处有导数u′x=φ′〔x 〕，函数y=f 〔u 〕在点x 的对应点u 处有导数y′u=f′〔u 〕,那么复合函数y=f ［φ〔x 〕］在点x 处也有导数，且y′x=y′u·u′x 或者者f′x ［φ〔x 〕］=f′〔u 〕φ′〔x 〕.2.复合函数的求导法那么.复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数. 课本例题例1.求y=〔2x+1〕5的导数. 精选例题求以下函数的导数.例1.〔2021年高考题〕 例2.〔2021年高考模拟题〕 例3.f 〔x 〕=sinx2. 例4.y=sin2〔2x+3π〕. 例5.y=32c bx ax ++.例6.y=〔2x2-3〕21x +.课堂练习1.求以下函数的导数. 〔1〕y=〔5x-3〕4; 〔2〕y=〔2+3x 〕5; 〔3〕y=〔2-x2〕3; 〔4〕y=〔2x3+x 〕2. 2.课时小结课后作业。
高三数学复习教案：简单复合函数的导数
高三数学复习教案：简单复合函数的导数【高考要求】：简单复合函数的导数(B).【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数.2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征.3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值.【知识复习与自学质疑】1.复合函数的求导法则是什么?2.(1)若，则 ________.(2)若，则 _____.(3)若，则___________.(4)若，则 ___________.3.函数在区间_____________________________上是增函数, 在区间__________________________上是减函数.4.函数的单调性是_________________________________________.5.函数的极大值是___________.6.函数的值,最小值分别是______,_________.【例题精讲】1. 求下列函数的导数(1) ;(2) .2.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同,求的值.【矫正反馈】1.与曲线在点处的切线垂直的一条直线是___________________.2.函数的极大值点是_______,极小值点是__________.(不好解)3.设曲线在点处的切线斜率为 ,若 ,则函数的周期是____________.4.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直, 为原点,且 ,则的面积为______________.5.曲线上的点到直线的最短距离是___________.【迁移应用】1.设 , , 若存有 ,使得 ,求的取值范围.2.已知 , ,若对任意都有 ,试求的取值范围.。
【教案】简单复合函数的导数教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用《5.2.3简单复合函数的导数》教学设计 1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．教学重点：复合函数的概念及求导法则教学难点：简单复合函数的导数PPT 课件． 【新课导入】 问题1：阅读课本第78~80页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．）本节课主要学习简单复合函数的导数；（函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：导数的四则运算法则是什么？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：[()()]()()f x g x f x g x +='+''；[()()]()()f x g x f x g x -='-''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 特别地[()]()cf x cf x '='.设计意图：复习前节课的主要知识，温故而知新．◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标问题3：如何求函数y ＝ln （2x -1）的导数呢？设计意图：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：复合函数的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) ．【说一说】（1）函数y ＝ln （2x -1）是由哪些函数复合而成的？（2）函数y ＝sin2x 是由哪些函数复合而成的？师生活动：学生回答．预设的答案：（1）函数y ＝ln （2x -1）是由y ＝ln u 和u ＝2x -1复合而成．（2）函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成．问题5：如何求函数y ＝sin2x 的导数呢？师生活动：教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．预设的答案：(sin 2)(2sin cos )2(sin cos )y x x x x x ''''===2[(sin )cos sin (cos )]x x x x ''=+2[cos cos sin (sin )]2cos2x x x x x =⋅+-=追问：函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成的，如果以x y '表示y 对x 的导数，u y '表示y 对u 的导数，x u '表示u 对x 的导数，那么x y '与u y '及x u '有什么关系呢？师生活动：学生先求出u y '和x u '然后找关系．教师完善、讲解．预设的答案：(sin )cos u y u u ''==，(2)2x u x ''==，又x y '2cos2x =，所以x u x y y u '''=⋅．知识点2：复合函数的求导法则一般地，对于由函数y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))，它的导数与y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．设计意图：通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．【练一练】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin(πx )的复合过程是y ＝sin u ，u ＝πx ． ( )(2)f (x )＝ln(3x －1)则f ′(x )＝1()31f x x '=-． ( ) (3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( )师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：(1)√ (2) × (3) ×【巩固练习】 例1求下列函数的导数（1）y =（3x +5）3；（2）y =e -0.05x +1；(3) y =ln(2x -1)．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：（1）函数y =（3x +5）3可以看作函数y =u 3和u =3x +5的复合函数，根据复合函数求导法则，有322()(35)339(35)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+=⋅=+；（2）函数y =e -0.05x +1可以看作函数y =e u 和u =-0.05x +1 的复合函数，根据复合函数求导法则，有0.051()(0.051)(0.05)0.05u u x x u x y y u e x e e -+'''''=⋅=⋅-+=⋅-=-；（3）函数y =ln(2x -1)可以看成是由y =ln u 和u =2x -1的复合函数，根据复合函数求导法则，有11(ln )(21)221x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅-=⋅=-． 设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．2．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．例2某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm)关于时间t (单位:s)的函数满足关系式218sin()32y t ππ=- .求函数在t =3s 时的导数，并解释它的实际意义． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答；教师完善．预设的答案：函数218sin()32y t ππ=-可以看作函数y =18sin u 和232u t ππ=-的复合函数，根据复合函数的求导法则，有222(18sin )()18cos 12cos()32332t u t y y u u t u t ππππππ'''''=⋅=⋅-=⋅=-， 当t =3时，2312cos(3)12cos 0322t y πππππ'=⨯-==． 它表示当t =3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s ．设计意图：通过弹射振子的位移问题，体现了复合函数求际的实际应用．发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．方法总结：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．（2）三角函数型函数的求导要求：对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.练习：教科书P 81练习1、2逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1． 板书设计：5. 2.3简单复合函数的导数新知探究巩固练习 知识点1：复合函数的概念例1 知识点2：复合函数的求导法则例22．总结概括：简单复合函数的求导法则师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 81习题5.22、5教科书P 81 练习3 【目标检测设计】1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( )A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1设计意图：进一步巩固复合函数的概念．2．函数y ＝x 2 sin 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x sin 2x －x 2 cos 2xB ．y ′＝2x sin 2x －2x 2 cos 2xC ．y ′＝x 2 sin 2x －2x cos 2xD ．y ′＝2x sin 2x ＋2x 2 cos 2x设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则．3．已知f (x )＝ln(3x －2021)，则f ′(1)＝________.设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则以及求导数值．4．已知f (x )＝x e －x ，则f (x )在x ＝2处的切线斜率是________． 设计意图：进一步巩固复合函数的导数以及导数的几何意义． 参考答案：1．A2．D y ′＝(x 2)′sin 2x ＋x 2(sin 2x )′＝2x sin 2x ＋x 2(cos 2x )•(2x )′＝2x sin 2x +2x 2cos 2x .3．32018-∵13()33202132021f x x x '=⋅=--，∴3(1)2018f '=-. 4．21e -∵f (x )＝x e －x ，∴f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，∴21(2)f e '=-. 根据导数的几何意义知f (x )在x ＝2处的切线斜率为k ＝21e -.。
高二数学选修2-2复合函数的导数教案
高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y ＝sin 43 x cos 3 4 x 的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式． 例3求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y ＝A A sin 1sin 1++- （0＜A ＜2π) 【解法一】y ＝A A sin 1sin 1++-（0＜A ＜2π) ∴ y ＝)2πcos(1)2πcos(1A A -++--＝2sin （24πA -）＋2cos （24πA -） ＝2 [22sin （24πA -）＋22cos （24πA -）]＝2 sin （22πA -）＝2 cos 2Ay ′＝(2 cos 2A )′＝－sin 2A ． 【解法二】y ′＝(A sin 1-)′＋(A sin 1+)′ ＝21(1－sin A )21-(－cos A )＋21(1＋sin A )21-cos A ＝AA A A cos 2)sin 1sin 1(cos +-- ∵ A ∈（0，2π） ＝21[（cos 2A －sin 2A ）－（cos 2A ＋sin 2A ）] ＝－sin 2A ． 【解法三】∵ 0＜A ＜2π y ＝A sin 1-＋A sin 1+＝（cos 2A －sin 2A ）＋（cos 2A ＋sin 2A ）＝2 cos 2A ． y ′＝－sin 2A ． 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 xy ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．。
高中数学复合函数导数教案
高中数学复合函数导数教案一、复合函数简介复合函数是由一个函数和另一个函数通过代入的方式构成的，其导数可以通过链式法则计算得出。
具体地说，如果函数 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，那么复合函数(f ∘ g)(x) 的导数可以表示为(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。
二、复合函数导数的计算方法1. 确定被复合的两个函数 f(x) 和 g(x)。
2. 计算两个函数的导数 f'(x) 和 g'(x)。
3. 将两个函数的导数代入链式法则公式中计算复合函数的导数。
三、具体例题讲解例题1：设 f(x) = 2x^2，g(x) = 3x - 1，求复合函数(f ∘ g)(x) 的导数。
解：首先计算函数 f(x) 和 g(x) 的导数：f'(x) = 4x，g'(x) = 3。
然后代入链式法则公式计算复合函数的导数：(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)= f'(3x - 1) * g'(x)= 4(3x - 1) * 3= 12(3x - 1)。
四、练习题1. 设 f(x) = x^2，g(x) = 2x + 1，求复合函数(f ∘ g)(x) 的导数。
2. 设 f(x) = e^x，g(x) = x^2，求复合函数(f ∘ g)(x) 的导数。
3. 设 f(x) = sin(x)，g(x) = x^3，求复合函数(f ∘ g)(x) 的导数。
五、总结反思通过学习复合函数导数的计算方法，我们可以更好地理解函数之间的关系，并在实际问题中灵活运用导数知识。
希望同学们能够认真学习，并在练习中不断提高自己的数学能力。
复合函数求导法-教案
2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。
但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。
二、复合函数的求导法则1、比如求函数x y 2sin =的导数。
错误解答：x y 2cos ='正确解答：()()()x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='='='对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。
我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。
x u dxdu du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。
第二步：逐一分步求导。
复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以0lim 0=∆→∆u x ，)(lim lim00x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆ x uu y x u ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim x u u y '⋅'= 即 x u x u y y '⋅'='.现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即（对u 求导)(对x 求导) （回代）(sin )(2)2cos 2cos2u x y u x u x '''=⋅==如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。
高中数学1.23复合函数的导数导学案新人教A版选修22
高中数学1.23复合函数的导数导学案新人教A版选修221．2.3复合函数的导数【学习目标】明确复合函数的定义及构成，掌握复合函数的求导法则【重点难点】复合函数求导法则的运用（多层复合，求导彻底）一、自主学习要点1 对于函数y ＝f [φ(x )]，令u ＝φ(x )，若y ＝f (u )是中间变量u 的函数，u ＝φ(x )是自变量x 的函数，则函数y ＝f [φ(x )]是自变量x 的要点2 复合函数y ＝f (g (x ))是y ＝f (u )，u ＝g (x )的复合，那么y ′x ＝二、合作，探究，展示，点评题型一明确复合关系例1 指出下列函数的复合关系：(1)y ＝(2－x 2)3； (2)y ＝sin x 2； (3)y ＝cos(π4－x ); (4)y ＝ln sin(3x －1)．思考题1 (1)指出下列函数的复合关系．①y ＝(sin x )2；②y ＝sin 3(1－1x)； (2)若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝________，φ[f (x )]＝________.题型二求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x2； (2)y ＝sin x 2； (3)y ＝a cos x (a >0，a ≠1)； (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．思考题2 求下列函数的导数：(1)y ＝cos(3x 2－π6)； (2)y ＝ln(ln x )； (3)y ＝11＋5x3. 题型三切线问题例3 求曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线方程．思考题3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．(2)y ＝11－x2的水平切线方程是________．三、知识小结复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．《导数的四则运算》课时作业1．函数y ＝2sin x cos x 的导数为 ( )A ．y ′＝cos xB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin 2x －cos 2x )D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是 ( ) A.1x 3＋2x ＋12 B.3x 2＋2x 3＋2x ＋12 C.－3x 2－2x 3＋2x ＋12 D.－3x 2x 3＋2x ＋123．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b4．函数y ＝x ·ln x 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x 5．函数y ＝cos x x的导数是 ( ) A ．－sin x x 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2 D ．－x cos x ＋cos x x 26．曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1 7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103 8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 ( )A.23π，πB.? ????π2，56πC.0，π2∪? ????56π，πD.0，π2∪23π，π 9．函数y ＝xcos x的导数是 ( ) A.1＋x cos x B.cos x －x sin x cos 2x C.cos x ＋x cos 2x D.cos x ＋x sin x cos 2x10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于 ( )A ．0B ．－4C ．－2D ．211．已知f (1x )＝x 1＋x，则f ′(x )＝ ( ) A.11＋x B ．－11＋x C.11＋x 2 D ．－11＋x2 12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为 ( )A ．4B ．－14C ．2D ．－1213．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．14．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________. 15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (2)f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (3)f (x )＝ln x ＋2x x 2. 16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值．18．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．319．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．。
高中数学：1.2《简单复合函数的导数》教案(苏教版选修2-2)
课 题：§简单复合函数的导数教学目的：知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导情感、态度与价值观：培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
教学过程：学生探究过程： 一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=-，从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x y u y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xuu y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解X 例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成； ⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成；⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成． 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =． 解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数． 解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数. 解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2 例5求y =sin 2(2x +3π)的导数.分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2=4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π) 例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax bax +++即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x--''-------=⋅=⋅21x -=== 即y ′x =－542)(51x x x -例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sinx 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x -=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x=22211122)2(21xxx x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++即y ′x =2316xx x ++四、巩固练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4(2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )2 解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4 (3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2 (4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x=2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx(2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx(3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(uucos sin )′u ·n=2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nxnn u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nxn2sin =－n csc 2nx 五、教学反思 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代六、课后作业：。
简单复合函数的导数教学设计
简单复合函数的导数教学设计
一、教学目标
1.了解复合函数的定义;
2.熟练掌握求解简单复合函数导数的技巧;
3.在熟悉的背景下建立简单复合函数的直观印象;
4.学会分类求复合函数的导数。
二、教学方法
首先利用PPT呈现复合函数的基本定义，通过问答形式进行一定的知
识点的讲解，来协助学生对复合函数的结构逻辑的形成比较准确的认识。
之后利用课本上的题例，并发放已完成部分的学习练习，引导学生结
合实例掌握简单复合函数的导数求解技巧。
最后结合习题，让学生运用所学技巧，建立简单复合函数的直观印象，达到提升个人解题技能的目的。
三、教学过程
1. 呈现复合函数：了解基本定义和函数结构，简单讲解已有函数的求
导法与复合函数求导法的不同。
2. 学习练习：给出学习练习，向学生展示给定函数的函数表达式，引导学生根据函数表达式求求解复合函数的导数步骤。
3. 探究题：利用引导性探究题，让学生通过比较同类型函数，对复合函数形式和求导规律进行归纳，结合习题在熟练的背景里建立简单复合函数的直观印象。
4. 练习：结合习题，让学生掌握求解简单复合函数的技巧，学会分类求复合函数的导数，提升个人解题技能。
五、教学反思
复合函数的导数的求解在数学里有较多的定理和技巧，建议多利用实际案例，让同学们熟练掌握技巧，提高解题能力。
2022年 《学案5.2.3简单复合函数的导数》优秀教案
简单复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数＝f u和u＝g，如果通过中间变量u，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数＝f u和u＝g的复合函数，记作＝f g．思考：函数＝og2＋1是由哪些函数复合而成的？[提示]函数＝og2＋1是由＝og2u及u＝＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法那么复合函数＝f g的导数和函数＝f u，u＝g的导数间的关系为′＝′u·u′，即对的导数等于对u的导数与u对的导数的乘积．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1函数＝inπ的复合过程是＝in u，u＝π．2f ＝n3－1那么f ′＝错误!．3f ＝2co2，那么f ′＝2co2＋22in2．[提示]2中f ′＝错误!3中，f ′＝2co 2－22in 2[答案]1√2×3×2．函数＝的导数是A．B．C．－D．－C[∵＝，∴′＝－2×错误!×3－1′＝－]3．以下对函数的求导正确的选项是A．＝1－23，那么′＝31－22B．＝og22＋1，那么′＝C．＝co错误!，那么′＝错误!in错误!D．＝22－1，那么′＝22n 2D[A中，′＝－61－22，∴A错误；B中，′＝，∴B错误；C中，′＝－错误!in错误!，∴C错误；D中′＝22－1n 2×2－1′＝22n 正确．]1＝e2＋1；2＝；3＝5og21－；4＝错误![解]1函数＝e2＋1可看作函数＝e u和u＝2＋1的复合函数，∴′＝′u·u′＝e u′2＋1′＝2e u＝2e2＋12函数＝可看作函数＝u－3和u＝2－1的复合函数，∴′＝′u·u′＝u－3′2－1′＝－6u－4＝－62－1－4＝－3函数＝5og21－可看作函数＝5og2u和u＝1－的复合函数，∴′＝′u·u′＝5og2u′·1－′＝错误!＝4∵n 3′＝错误!×3′＝错误!∴′＝错误!＝错误!＝错误!1．解答此类问题常犯两个错误1不能正确区分所给函数是否为复合函数；2假设是复合函数，不能正确判断它是由哪些根本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[跟进训练]1．求以下函数的导数：1＝103－2；2＝ne＋2；3＝错误![解]1令u＝3－2，那么＝10u所以′＝′u·u′＝10u n 10·3－2′＝3×103－2n 102令u＝e＋2，那么＝n u∴′＝′u·u′＝错误!·e＋2′＝错误!3′＝错误!′＝错误!＋错误!′＝错误!＋错误!＝错误!1＝co错误!错误!；2＝2＋tan[思路探究]先将给出的解析式化简整理，再求导．[解]1∵＝co错误!错误!＝co错误!in错误!－co2错误!＝错误!in －错误!1＋co ＝错误!in －co －错误!，∴′＝＝错误!in －co ′＝错误!co ＋in ．2因为＝2＋错误!，所以′＝2′＋错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误![解]由题意可知，设切点＝2错误!，解得m＝8或－12即实数m的值为8或－122．变条件、变结论把本例1条件变为“假设直线＝＋b是＝n ＋2的切线，也是＝n＋1的切线〞，求b的值．[解]函数＝n ＋2的导函数为′＝错误!，函数＝n＋1的导函数为′＝错误!设曲线＝n ＋2和曲线＝n＋1上的切点横坐标分别为m，n，那么该直线方程可以写成＝错误!·－m＋n m＋2，也可以写成＝错误!－n＋n n＋1．整理后比照得错误!解得错误!因此b＝1－n 2利用导数的几何意义解题时的注意点1求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出2切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组3如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件4与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为根本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．2．和与差的运算法那么可以推广[f 1±f 2±…±f n]′＝f ′1±f ′2±…±f ′n．1．函数＝2－1n的复合过程正确的选项是A．＝u n，u＝2－1B．＝u－1n，u＝2C．＝t n，t＝2－1n D．＝t－1n，t＝2－1[答案]A2．函数＝2co 2的导数为A．′＝2co 2－2in 2B．′＝2co 2－22in 2C．′＝2co 2－2in 2D．′＝2co 2＋22in 2B[′＝2′co 2＋2co 2′＝2co 2＋2－in 2·2′＝2co 2－22in 2]3．f ＝n3－1，那么f ′1＝________错误![f ′＝错误!×3－1′＝错误!，∴f ′1＝错误!＝错误!]4．f ＝e－，那么f 在＝2处的切线斜率是________．－错误![∵f ＝e－，∴f ′＝e－－e－＝1－e－，∴f ′2＝－错误!根据导数的几何意义知f 在＝2处的切线斜率为＝f ′2＝－错误!]5．求以下函数的导数：1＝e2；2＝1－33[解]1′＝e2·2′＝e2·2＝2e22′＝31－321－3′＝－91－32或′＝－812＋54－9。
高三数学 复合函数的求导法则教案
芯衣州星海市涌泉学校高考资源网§1.2.2复合函数的求导法那么教学目的理解并掌握复合函数的求导法那么．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，纯熟，正确． 一．创设情景 〔一〕根本初等函数的导数高考资源网公式表〔二〕导数的运算法那么〔2〕推论：[]''()()cf x cf x =〔常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数〕 二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，假设通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数复合函数的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．假设()()y f g x =，那么()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin 〔tanx2〕的导数． 【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的构造，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝axx a x 22--的导数．【点评】此题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin4x ＋cos4x 的导数．【解法一】y ＝sin4x ＋cos4x ＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x ＝1－21sin22x ＝1－41〔1－cos4x 〕＝43＋41cos4x ．y′＝－sin4x ． 【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx ＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x －cos2x)＝－2sin2xcos2x ＝－sin4x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x 〔x ＋1〕〔2－x 〕有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的间隔． 【解】y ＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x ＋2 令y′＝1即3x2－2x －1＝0，解得x ＝－31或者者x ＝1． 于是切点为P 〔1，2〕，Q 〔－31，－2714〕， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即x －y ＋1＝0．显然两切线间的间隔等于点Q 到此切线的间隔，故所求间隔为2|1271431|++-＝22716． 四．课堂练习1．求以下函数的导数(1)y=sinx3+sin33x ；〔2〕122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x的导数五．回忆总结 六．布置作业。