化工传递过程 第三章 连续和运动方程的应用

ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
uz
Z
1
p z
v
2u y x2
2u y y 2
2u y z 2
变量数：ux，uy，uz，p；方程数：4
第三章 连续和运动方程的应用
方程组求解的分类： （1）对于非常简单的层流，方程经简化后，其形式非常
简单，可直接积分求解—解析解； （2）对于某些简单层流，可根据流动问题的物理特征进
P1
z
h
x
h
P2
L
上平板以速度u0向右运动，求速度分布、流量及切应力分布。
§ 3-1.两平壁间的稳态层流
设ρ=常数；稳态；远离流道进、出口；流体仅沿 x方向
流动：uy=uz=0 （1）连续性方程的简化
ux uy uz 0 x y z
（2）运动方程的简化
ux 0 x
ux仅是y的函数
x 方向：
第三章 连续和运动方程的应用
本章讨论重点流体作简单层流流动时，动量传递方
程的典型求解。主要包括：
§ 3-1.两平壁间的稳态层流； § 3-2.圆管内的稳态层流； § 3-3.套管环隙间的稳态层流； § 3-4.同轴环形空间的流动； § 3-5.自由表面的稳态层流； § 3-6.不稳态层流； § 3-7. 极慢粘性流动（爬流或蠕动流） § 3-8.理想流体的流动
u
ur
u r
u r
u
uru r
uz
u z
1 r
p
v
r
1 r
r
ru
1 r2
2u 2
2 r2
ur
2u z 2
p 0
dp dz
1 r
d dr
r
du dr
边界条件(B.C.)： r r0 u 0 壁面无移动
r 0
du 0 对称或极值条件 dr
§ 3-2.圆管内的稳态层流
§ 3-3.套管内的稳态层流
套管环隙中层流的变化方程与圆管相同，即
积分，得
dp dz
1
r
d dr
r
du dr
du dr
1
2
dp dz
r
C1
1 r
再次积分，得
u
1
4
dp dz
u y y
uz
u y z
uy
Y
1
p y
v
2u y x2
2u y y 2
2u y z 2
p Y g
y
§ 3-1.两平壁间的稳态层流
p x
2ux y 2
（a)
（b）对 y 积分得 p(x, y) gy k(x)
p Y g (b)
y
对x 微分得
p 0 z
(c)
p dk(x) f (x)
行化简。简化后，积分求解—物理近似解； （3）对于复杂层流，可采用数值法求解；将方程离散化，
然后求差分解； （4）对于湍流，可先进行适当转换，再根据问题的特点，
结合实验，求半理论解。
§ 3-1.两平壁间的稳态层流
粘性不可压缩流体在两个无
y
限大的水平平行平板间做稳态层流流
u0
动，已知板间距为2h，某两个距 离为L的横截面上的压力分别 为P1，P2，且下平板固定不动，
两次积分得到:
u
1
4
dp dz
r2
C1 ln
r
C2
代入边界条件：
C1 0
C2
1
4
dp dz
r02
所以：
u 1 dp 4 dz
r 2 r02
1
4
P1 P2 L
r 2 r02
速度分布
§ 3-2.圆管内的稳态层流
r=0，u=umax=
1
4
dp dz
r02
r=r0，u=0
u
um ax1
r2 r02
速度分布
Q r0 2rudr r04 P1 P2
0
8 L
流量
ub
Q r02
1
8
P1
L
P2
r02
1 2
u
max
平均流速
§ 3-3.套管内的稳态层流
粘性不可压缩流体在两 根同心套管内沿轴线稳态层 流流动，已知内层圆管半径 为r1，外层圆管半径为r2， 某两个距离为L的截面上的压力 分别为P1，P2，假定所考察的位置远离管道进、出口， 求流体速度分布、流量分布。
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ux
X
1
p x
v
2ux x2
2ux y 2
2ux z 2
p x
2ux y 2
§ 3-1.两平壁间的稳态层流
z 方向：
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
uz
Z
1
p z
v
2uz x2
2uz y 2
2uz z 2
p 0 z
y 方向：
ux
u y x
uy
第三章 连续和运动方程的应用
动量传递方程的分析（不可压缩流体）
ux uy uz 0 x y z
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ux
X
1
p x
v
2ux x2
2ux y 2
2ux z 2
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
u y
Y
1
p y
v
2u y x2
2u y y 2
2uy z 2
uz
ur z
1
p r
v
r
1 r
r
rur
1 r2
2ur 2
2 r2
u
2ur z 2
z 分量:
p 0 r
uz
ur
uz r
u r
uz
uz
uz z
1
p z
v1r
r
r
uz r
1 r2
2uz
2
2uz z 2
p z
1 r
r
r
uz r
§ 3-2.圆管内的稳态层流
θ 分量:
C2
u0 2
1
2
dp dx
h2
u 1 dp y2 h2 u0 y u0
2 dx
2h 2
u u0
1 2
D 1
y2 h2
1 2
1
y h
其中：D
h2
u0
dp dx
速度分布
§ 3-1.两平壁间的稳态层流
据牛顿粘性定律
dux dy
P1 P2 L
y
2h u0
z方向以一个单位长度计
剪应力分布
θ
的压力分别为P1，P2，假定所考察的位置远离管道进、出口，
不考虑重力因素影响，求流体速度分布、流量分布。
柱坐标连续性方程的简化
1 r
(rur
r
)
1 r
(u
)
z
( u z
)
0
uz 0 z
§ 3-2.圆管内的稳态层流
N-S柱坐标方程简化
r 分量:
ur
ur
ur r
u r
ur
u2 r
Q
h h
udy
2 3
P1
L
P2
h3
u0h
流量
um
Q 2h 1
1 3
P1
L
P2
h2
u0
平均流速
当上板停止时，u0=0
u 1 dp y2 h2 2 dx
速度分布
§ 3-2.圆管内的稳态层流
无限长水平圆管内的粘性不可 压缩流体稳态层流流动，已知圆管
r z
半径为r0，某两个距离为L的截面上
x dx
因 ux 0
x ux 0 z
d 2ux 1 p 常数
dy2 x
(d)
§ 3-1.两平壁间的稳态层流
（d）对 y 积分得
du 1 dp
dy dx y C1
u
1
2
dp dx
y2
C1 y
C2
源自文库
边界条件： y h u u0 y h u 0
壁面无移动
代入： 所以：
C1
u0 2h