长春市2020届高三质量监测数学理科(一)

长春市 2020 届高三质量监测（一） 理科数学

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合{|||2}A x x =≥，2

{|30}B x x x =-> ，则A

B =

A. ∅

B. {|3,x x >或x ≤2}-

C. {|3,x x >或0}x <

D. {|3,x x >或2}x ≤ 2. 复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 已知3

1()3a =，1

33b =，13

log 3c =，则

A. a b c <<

B. c b a <<

C. c a b <<

D. b c a << 4. 已知直线0x y +=与圆2

2

(1)()2x y b -+-=相切，则b = A. 3- B. 1 C. 3-或1 D.

5

2

5. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直

线ˆ13.7433095.7y

x =+，其相关指数2

R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是

①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个

③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51

2

-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为

A. (35)π-

B. 51)π

C. 51)π

D. 52)π

7. 已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是 ① ,a b αα⊥⊥，则//a b ② ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③ //,//a b αα，则//a b ④

//,//αγβγ，则//αβ

A. ① ② ③

B. ② ③ ④

C. ① ③

D. ① ④

8. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S = A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-

9. 把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+

(0,||)2

π

ωϕ><

的图象（部分图象如图所示） ，则()y f x =的解析式为

A. ()2sin(2)6

f x x π

=+ B. ()2sin()6

f x x π

=+

C. ()2sin(4)6f x x π

=+

D. ()2sin()6

f x x π

=- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，

2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为

A. 8-

B. 1-

C. 0

D. 1

11. 已知椭圆22

143

x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则

||

||

AF BF 的值为 A.

3 B. 2 C. 3 D. 4

12. 已知函数2

1

()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为

A. m ≤1

B. m <-1

C. m >-1

D. m ≥1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 3

8

1(2)x x

-展开式中常数项为___________.

14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1

()3

AP AB AC =

+，则BP BC ⋅=_________. 15.平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折

起，使二面角A BD C --大小为

23

π

，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为________. 16.已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足112a =-,且122

2n n a a n n

++=+，则2n S = __________，n a =

__________.

三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分）

△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan ()a b A a b => . （Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；

（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围. 18. （本小题满分 12 分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，22AB AD DC ===，E 为PB 中点.

（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；

（Ⅱ）若4PA =，求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小. 19.（本小题满分 12 分）

某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确 的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分；不选或选错得 0 分. 某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．

（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得 50 分的概率；

（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 20.（本小题满分 12 分）

已知点(1,0),(1,0)M N -若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）过点(3,0)Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分 12 分）

已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln e

g x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；