高中数学教案：1.3.1 二项式定理

1.3.1 二项式定理

学习目标：

1掌握二项式定理和二项式系数的性质。

2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程： 一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n

r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++

+∈，

（2）1

(1)1n r r

n n n x C x C x x +=++

++

+.

2．二项展开式的通项公式：1r n r r

r n T C a b -+=

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

4 二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表

中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

5．二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r

n C 可以看成

以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点

（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．

直线2

n

r =

是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n

C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项

12n n

C

-，12n n

C

+取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵1

(1)1n r r n n n x C x C x x +=++++

+，

令1x =，则012

2n r

n

n n n n n C C C C C =+++

++

+

二、讲解范例：

例1． 设()()()()2

3

1111n

x x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x +++

+，

当012254n a a a a ++++=时，求n 的值

解：令1x =得：

23

0122222n

n a a a a +++

+=+++

+2(21)25421

n -==-，

∴2128,7n

n ==，

点评：对于1

01()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-+

+，令1,x a -=即1x a =+可得各项系

数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项

和的关系

例2．求证：123

1232n

n n n n n C C C nC n -++++=⋅．

证（法一）倒序相加：设S =123

23n

n n n n C C C nC ++++ ①

又∵S =12

21

(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+

++ ②

∵r n r n n C C -=，∴011

,,

n n n n n n C C C C -==，

由①+②得：(

)012

2n n n n n S n C C C C =+++

+，

∴11222

n n S n n -=

⋅⋅=⋅，即123

1232n

n n

n n n C C C nC n -++++=⋅．

（法二）：左边各组合数的通项为

r n rC 1

1!(1)!!()!(1)!()!

r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅

==---，

∴ ()123

012

1

112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----+++

+=+++

+12

n n -=⋅． 例3．已知：2

23

(3)n

x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项

解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n

+=，

又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22

2992n

n -=，5n =．

（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223

22

6

335

()(3)90T C x x x ==，22232

23

33

45

()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则2

1045233

15

5

()

(3)3r r

r

r r

r r T C x x C x

+-+==，

∴115511

55

33792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，226424

3

3

55

()(3)405T C x x x

==．

例4．已知)(122

221

2211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除

分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式 ∵1122

122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+3n =，

∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*

k N ∈）， ∴14--n S n 2381k

k =--(81)81k k =+--

011

1888181k k k k k k C C C k --=++

++-- 011

228(88)8k k k k C C C -=++

+ （*） ，

当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，

所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除

三、课堂练习： 1

．

)

()

4

5

1

1x -展开式中4

x 的系数为 ，各项系数之和为 ．

2．多项式12233

()(1)(1)(1)(1)n

n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-+

+-（6n >）的展开式

中，6

x 的系数为 3．若二项式2

31(3)2n

x x

-

（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ）