高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答案新人教A版必修2
高中数学4.1.2圆的一般方程导学案新人教A必修2
浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 4.1.2 圆的一般方程导学案
新人教A 版必修2
一、【课前预案】 【学习目标】
1.掌握圆的一般方程，圆的一般方程和圆的标准方程之间的互化。
2.会用待定系数法求圆的一般方程。
【重点，难点】
重点：圆的一般方程与圆的标准方程互化。
难点：选择适当的方式求圆的方程。
1、已知圆的方程为4)1()
2(22=-++y x ，写出圆心坐标和半径；并将其展开。
二、【课中导案】
（一）、合作探究
归纳： 方程
满足的条件 暗示图形 022=++++F Ey Dx y x
（二）、当堂检测
1、判断下列二元二次方程是否暗示圆，若是，写出圆心与半径；反之说明理由
06420642320342220
34222222222=-+-+=-+-+=-+-+=-+-+y xy y x y x y x y x y x y x y x ④③②①
2、求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的方程，并求出圆心和半径.
归纳求圆的方程的方式：
练习、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程，并求出圆心和半径.
(三)课堂小结
1、知识点
2、方式
3、思想
三、【课后作业】
5、已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C的方程.。
高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答案新人教A版必修2
4.1.2圆的一般方程自学导读：问题1： 圆的标准方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 ， 问题2：把圆的标准方程展开，得 ，令-2a=D,-2b=E,a 2+b 2-r 2=F ,结论：任何一个圆可以写成下面的形式x 2+y 2+Dx+Ey+F=0问题3：是不是任何一个形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？把方程: x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方可得：（1）当D 2+E 2-4F>0时，表示以（ ， ）为圆心，以（ ）为半径的圆 （2）当D 2+E 2-4F=0时，方程只有一组解x = 2-D， y = 2-E ，表示一个点（ ， ）.（3）当D 2+E 2-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形.新课：1:圆的一般方程的定义： 2：圆的一般方程的特点：x 2与y 2系数相同并且不等于0，没有xy 这样的二次项，D 2+E 2-4F>0 练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1) x 2+2y 2-6x +4y -1=0 (2) x 2+y 2-3xy +5x +2y =0 (3) x 2+y 2-2x +4y -4=0(4) x 2+y 2-12x +6y +50=0 (5) 2x 2+2y 2-12x +4y =03：例题讲解阅读第122页例4、例5完成下列习题 1、求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程小结：求圆的方程的方法2、如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的方程是什么？小结：求轨迹方程的方法三、自学检测1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：① x 2+y 2-6x=0 ② x 2+y 2+2by=0 ③ x 2+y 232=02..判断下列方程分别表示什么图形：① x 2+y 2=0 ② x 2+y 2-2x+4y-6=0 ③ x 2+y 2+2ax-b 2=0课本第123页练习1.2.3四、巩固训练课本第124页习题4.1 A 组 1.、2、3、4五、拓展延伸课本第124页习题4.1 B 组 2、3课堂小结（1）圆的一般方程的定义及特点（2）圆的一般方程与圆的标准方程的联系（3）用待定系数法，求圆的一般方程（4）用相关点法，求点的轨迹方程22224()()224D E D E F x y +-+++=。
高中数学第4章圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
示，又因为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、 C 三点不共线．即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两个端点．
因为 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)． 又因为 B、C 不能为一直径的两个端点， 所以x＋2 3≠4，且y＋2 5≠2， 即点 C 不能为(5，－1)． 故端点 C 的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨 迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
新课标导学
数学
必修② ·人教A版
第四章 圆的方程
4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若是 圆，它的圆心坐标和半径分别是什么？
1．圆的一般方程
(1)方程：当 D2＋E2－4F>0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方 程，其中圆心为__C_(_－__D2_，__－__E2_)_，半径为 r＝__12___D_2_＋__E_2_－__4_F_____.
① ②
，
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0，
由已知得|x1－x2|＝6(其中 x1、x2 是方程 x2＋Dx＋F＝0 的两根)，∴D2－4F＝36
③
由①②③联立组成方程组，解得
D＝－2
D＝－6
E＝－4 ，或E＝－8 .
F＝－8
F＝0
∴所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0.
高中数学必修二41圆的方程412圆的一般方程导学案
4.1.2 圆的一般方程一、学习目标：1、正确理解圆的一般方程及其特点；2、会求圆的一般方程；3、能进行圆的一般方程和标准方程的互化；4、初步了解用代数方法处理几何问题，把握求点的轨迹方程的思想方法。
二、课前导学：学问回忆：1、 圆的圆心为(1,2)C ，半径为2 ，那么圆的标准方程为222(1)(2)4x y -+-= ，将此方程绽开得222410x y x y +--+=问题导入：问题1、方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222450x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？〔1〕表示以)2,1(-为圆心，2为半径的圆；(2)表示点〔1，2〕〔3〕不表示任何图形问题2、方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ （1） 配方44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ （2） 当0422>-+F E D 时，方程表示 以(,)22D E --为圆心，2422F E D -+为半径的圆 （3） 当0422=-+F E D 时，方程表示 一个点(,)22D E -- （4） 当0422<-+F E D 时，方程表示 不表示任何图形 问题3、圆的一般方程的定义：当2240D E F +->时， 220 x y Dx Ey F ++++= 称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？问题4：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？练习1、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，在什么条件下表示圆的方程？220040A C B D E AF =≠=+->，，练习2、圆22210240x y x y +-+-=的圆心为：___)51(-，_____，半径为：___25_____。
三、合作探究：探究一、圆的一般方程的概念例1：以下二元二次方程能否表示圆？假设能表示圆，求出其圆心和半径。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的方程教案 新人教A版必修2(2021年最新整理)
高中数学第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第四章圆与方程4.1.1 圆的标准方程教案新人教A版必修2的全部内容。
圆的标准方程教学目标（1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点,理解方程中各个字母的含义,能合理应用平面几何中圆的有关性质,结合方程解决圆的有关问题．（2）理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．教学重点和难点重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．（已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．难点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．教学过程设计(一）导入新课，教师讲授．同学们，前面我们研究了直线（特殊的曲线）的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．“平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆”．定点就是圆心，定长就是半径．根据圆的定义，我们来求圆心是c（a,b）,半径是r的圆的方程．（引导学生推导)设 M(x，y)是圆上任意一点，圆心坐标为（a，b）,半径为r．则│CM│=r,两边平方．（x-a)2+（y—b）2=r2，我们得到圆的标准方程，这就是圆心为C(a，b）,半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．如果圆的圆心在原点．O(0，0)．即a=0．b=0．问题1．说出下列圆的方程：（1)圆心在点C(3, -4)，半径为7。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程教案 新人教A版必修2(2021年整理)
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圆的标准方程课时教学目标1.知识与技能目标：回顾圆的几何要素,在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程；会根据已知条件求圆的标准方程；能准确判断点与圆的位置关系。
2.过程与方法目标：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力和解决问题的能力，将几何问题转化为代数问题,渗透数形结合的思想，注意培养学生观察，分析和解决问题的能力.3。
情感与态度目标：树立学好数学的自信心，培养学生主动探究,合作交流。
教学重点、难点重点:圆的标准方程的推导步骤；掌握并会求圆的标准方程。
难点：根据具体条件正确写出圆的标准方程．教具投影仪，幻灯片教师教学活动设计设计意图（一）引入展示生活中平面图形为圆的实物在平面直角坐标系，两点确定一条直线,一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？确定圆的几何条件：圆心（定位置) 半径（定大小）(二）自学探究：阅读课本118页由生活实物感知圆.类比于确定一条直线位置的几何要素，引导学生明确确定圆的几何要素。
问题：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a ,b ），半径为r.（其中a 、b 、r 都是常数,r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点,观察圆的图形，圆上的点M （x ，y ）与圆心C(a ,b ）的距离有什么关系？ 圆心C 是定点，圆周上的点M 是动点，它们到圆心距离都相等且等于定长｜CM ｜=r 圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学
圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。
高二数学必修二 第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案
高二数学必修2 第四章 圆与方程第四章 圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上⇔2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外⇔2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内⇔2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径⇔点在圆外⇔_________________.2°点到圆心的距离等于半径⇔点在圆上⇔_________________.3°点到圆心的距离小于半径⇔点在圆内⇔_________________.二、合作探究例1：ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的 方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆； (ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________； (ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ∆的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三 线段 AB 中垂线的方程为 2x＋y＋4＝0.它与直 线 x－2y－3＝0 的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离 得 r2＝10，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(2)法一 设圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(*)
D＝2， 所以E＝4， F＝－5.
所以圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
（2－a）2＋（－3－b）2＝r2， a＝－1，
（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，⇒b＝－2，
a－2b－3＝0，
r2＝10.
类型 2 求圆的方程 [典例 2] (1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)， 若圆心在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程； (2)求过点 A(－1，0)，B(3，0)和 C(0，1)的圆的方程． 解：(1)法一 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则
4＋（－3）2＋2D＋（－3）E＋F＝0， （－2）2＋（－5）2＋（－2）D＋（－5）E＋F＝0， －D2 －2·－E2－3＝0.
把 A、B、C 三点坐标代入方程(*)得
1－D＋F＝0， D＝－2，
9＋3D＋F＝0，所以E＝2，
1＋E＋F＝0， F＝－3.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋2y－3＝0.
法二 线段 AB 的中垂线方程为 x＝1，线段 AC 的中
垂线方程为 x＋y＝0，
x＝1，
解析：由－D2＝2，－E2＝－4，12 D2＋E2－4F＝4， 解得 F＝4.
答案：4
高中数学 第四章 圆与方程 4.1 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2-新人教A版高一必
4.1.2 圆的一般方程目标定位 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.3.体验求曲线方程(点的轨迹)的基本方法，概括其基本步骤.自 主 预 习1.圆的一般方程的定义(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为D 2＋E 2－4F2.(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形. 2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点M 在圆外 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0 点M 在圆上 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0 点M 在圆内x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <01.判断题(1)方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的是一个圆.(×)(2)点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，满足x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√) (3)给出圆上三个点的坐标时，用一般方程求圆的方程.(√)(4)二元二次方程Ax 2＋By 2＋Cxy ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是A ＝B ≠0，C ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.(√)提示 (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，当D 2＋E 2－4F ＜0时，不表示任何几何图形，当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆.2.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2，3)B.(－2，3)C.(－2，－3)D.(2，－3)解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).答案 D3.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A.以(a ，b )为圆心的圆 B.以(－a ，－b )为圆心的圆 C.点(a ，b )D.点(－a ，－b )解析 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b ). 答案 D4.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 解析 因(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.答案114类型一 圆的一般方程的概念【例1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径. (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆. (2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项. ∴它不能表示圆.(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5，∴它不能表示圆.(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，∴它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径长的圆. 规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.【训练1】 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________.解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，54 类型二 求圆的一般方程【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1，4)，B (－2，3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径. 解 法一 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二 设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，（4－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【训练2】 已知A (2，2)，B (5，3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程. 解 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 类型三 求动点的轨迹方程(互动探究)【例3】 等腰三角形的顶点是A (4，2)，底边一个端点是B (3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么. [思路探究]探究点一 直接法求轨迹方程的一般步骤是什么？ 提示 求轨迹方程的一般步骤： ①建系：建立适当的平面直角坐标系；②设点：用(x ，y )表示轨迹(曲线)上任一点M 的坐标； ③列式：列出关于x ，y 的方程； ④化简：把方程化简为最简形式；⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤⑤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明.探究点二 动点的轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？提示 (1)求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时会根据已知条件先判断出轨迹图形，然后再由图形求方程.(2)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.解 设另一端点C 的坐标为(x ，y ).依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得（x －4）2＋（y －2）2＝（4－3）2＋（2－5）2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4，2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线.即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点.因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3，5). 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1).故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4，2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.③相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.【训练3】 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1，0)和B (3，0)，求直角顶点C 的轨迹方程. 解 法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3. 且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).[课堂小结]1.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.1.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12B.k ＝12C.k ≥12D.k <12解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.答案 D2.若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( ) A.D ＝E B.D ＝F C.E ＝FD.D ＝E ＝F解析 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.答案 A3.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 解析 圆心(1，2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3.答案 34.求过三点A (0，5)，B (1，－2)，C (－3，－4)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为点A ，B ，C 在圆上，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D ，E ，F 的三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，3D ＋4E －F －25＝0，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，F ＝－15. 于是得到所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0.基 础 过 关1.已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是( ) A.(2，－1)，3 B.(－2，1)，3 C.(－2，－1)，3D.(2，－1)，9解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. 答案 A2.若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A.－2或2 B.12或32 C.2或0D.－2或0解析 由圆的方程得圆心坐标为(1，2).再由点到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，解得a＝2或a ＝0. 答案 C3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1，2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案 C4.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________. 解析 由表示圆的条件知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0， 即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.答案 －2＜a ＜235.点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________.解析 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 答案 x 2＋y 2＝46.设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3，1)，求直线AB 的方程.解 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2，0)，半径为r ＝3. (2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ， ∴k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即：x ＋y －4＝0.7.已知一曲线是与两个定点O (0，0)、A (3，0)距离的比为12的点的轨迹，求出曲线的方程.解 在给定的坐标系中，设M (x ，y )是曲线上的任意一点，点M 在曲线上的条件是|MO ||MA |＝12.由两点的距离公式，上式用坐标表示为 x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12. 两边平方并化简，得曲线方程x 2＋y 2＋2x －3＝0. 将方程配方，得(x ＋1)2＋y 2＝4.∴所求曲线是圆心C (－1，0)，半径为2的圆(如图).能 力 提 升8.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A. 答案 A9.已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( ) A.3－ 2 B.3＋ 2 C.3－22D.3－22解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到l 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1. ∴S min ＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案 A10.光线从点A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于________.解析 ∵A (1，1)关于y 轴对称点为A ′(－1，1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2，|A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2. 答案 62－211.动点M 到点A (2，0)的距离是它到点B (8，0)的距离的一半，求： (1)动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹.解 (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 适合的条件可表示为 （x －2）2＋y 2＝12（x －8）2＋y 2平方后再整理，得x 2＋y 2＝16. 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程.(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1). 由于A (2，0)，且N 为线段AM 的中点， 所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12.所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y .① 由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点， 所以M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.② 将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以M 的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆.探 究 创 新12.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆. (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围.解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0， 由二次函数的图象解得－17＜t ＜1.(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167，∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大， 所对应的圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9＜0时，点P 恒在圆内，∴8t 2－6t ＜0，∴0＜t ＜34， 即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.。
高中数学 第四章 圆与方程导学案 新人教A版必修2
§4.1圆的标准方程1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2. 会用待定系数法求圆的标准方程.124127，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学※ 学习探究新知：圆心为(,)A a b ，半径为r 的圆的方程222()()x a y b r -+-=叫做圆的标准方程.0a b ==，则圆的方程就是222x y r += 特殊：若圆心为坐标原点，这时探究：确定圆的标准方程的基本要素？※ 典型例题例 写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.小结：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：⑴2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外；⑵2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上；⑶2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内.变式:ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B -(2,8)C -，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r 的方程组，求,,a b r 或直接求出圆心(,)a b 和半径r .2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r 的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r 的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例2 已知圆C 经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在直线:10l x y -+=上,求此圆的标准方程.※ 动手试试练1. 已知圆经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -的圆的标准方程.练2.求以(1,3)C 为圆心，并且和直线3470x y --=相切的圆的方程三、总结提升※ 学习小结一．方法规纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. .）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知(2,4),(4,0)A B -，则以AB 为直径的圆的方程（ ）.A ．22(1)(2)52x y ++-=B ．22(1)(2)52x y +++=C ．22(1)(2)52x y -+-=D ．22(1)(2)52x y -++=2. 点2(,5)P m 与圆的2224x y +=的位置关系是（ ）.A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定3. 圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --，则圆C 的方程为（ ）.A ．22(2)(3)5x y -+-=B ．22(2)(3)25x y -+-=C ．22(2)(3)5x y -++=D ．22(2)(3)25x y -++=4. 圆关于22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程5. 过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程 .20x y +=上，且与直线10x y +-=切于点(2,1)-，求圆的标准方程.2. 已知圆2225x y += 求：⑴过点(4,3)A -的切线方程. ⑵过点(5,2)B -的切线方程§4.1圆的一般方程1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件；2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程；3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力127130，找出疑惑之处）1．已知圆的圆心为),(b a C ，半径为r ，则圆的标准方程 ，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.二、新课导学※ 学习探究问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以(,)22D E --为圆心 ⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2D x =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当2240D EF +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？※ 典型例题例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例 2 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.※ 动手试试练1. 求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2. 已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.三、总结提升※学习小结1．方程220x y Dx Ey F++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握. 3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r或,,a b r或,,D E F，代入标准方程或一般方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若方程220x y x y m+-++=表示一个圆，则有（）.A．2m≤ B.2m< C．12m< D．12m≤2. 圆22410x y x+--=的圆心和半径分别为（）.A．(2,0),5B．(0,-．．(2,2),53. 动圆222(42)24410x y m x my m m+-+-+++=的圆心轨迹是（）.A．210x y+-= B．210x y-+=C．210x y-+= D．210x y--=4. 过点(1,1),(1,3)C D-，圆心在x轴上的圆的方程是 .5. 圆22450x y x+--=的点到直线3420x y-+=的距离的最大值为 .1. 设直线2310x y++=和圆22230x y x+--=相交于,A B，求弦AB的垂直平分线方程.2. 求经过点(2,4)A--且与直线:3260B的圆的方程.l x y+-=相切于点(8,6)§4.2直线、圆的位置关系1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．133136，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()-+-=整理为圆的一般方程 .x a y b r把2222++++=+->整理为圆的标准方程为 .x y Dx Ey F D E F0(40)2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学※ 学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： ⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点； ⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※ 典型例题例1 用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例2 如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为,求l 的方程变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++0=所得的弦长.※ 动手试试练1. 直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2. 求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升※ 学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法① 判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交 b 无解,则直线与圆相离② 如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =.⑴如果d r < 直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切; .）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心 2. 若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（ ）.A ．0或2B ．2CD ．无解 3 已知直线l 过点(2,0)-，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）.A ．(-B ．(C ．(D ．11(,)88- 4. 过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为.5. 圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为 .1. 圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=.2. 若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.§4.2圆与圆的位置关系1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3．会用连心线长判断两圆的位置关系．136137，找出疑惑之处）1．直线与圆的位置关系 ，， .2．直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长 .3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？4. 设圆两圆的圆心距设为d.当d R r >+时，两圆当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+ 时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆二、新课导学※ 学习探究探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决※ 典型例题例1 已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++ 50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.※ 动手试试练1. 已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=问m 取何值时，两圆相切.练2. 求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程三、总结提升※ 学习小结1．判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系.2．对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.3．一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.4．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知01r <<，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是（ ）.A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含2. 两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长（ ）.A B ．1 C D ．2 3. 两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有（ ）.A ．1条B ．2条C ．4条D ．3条4. 两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是 .5. 两圆221x y +=和()2234x y -+=的外公切线方程 .1. 已知圆C 与圆2220x y x +-=相外切,并且与直线0x =相切于点,求圆C 的方程.2. 求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.§4.2.3直线与圆的方程的应用1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．138140，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有.2．圆224450+-+x y x yx y x y++--=和圆2284+=的位置关系为 .703．过两圆22640++-x y y+--=和22628x y x=的交点的直线方程 .二、新课导学※学习探究1．直线方程有几种形式? 分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? 4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※ 典型例题例1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m =,拱高4OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱22A B 的高度(精确0.01m)变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※ 动手试试练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2. 讨论直线2=+与曲线y.y x三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 一动点到(4,0)B的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）.A-的距离是到(2,0)A．()22x y-+=416-+= B．()22x y442. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x的最大值为（ ）A ．3. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 .5. 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 .1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.§4.2.3直线，圆的方程（练习）1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．（预习教材P 124~ P 140，找出疑惑之处）一．圆的标准方程例1 一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线3100x y --=上,求此圆的方程二．直线与圆的关系例2求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离三．轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式. 例3 求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程四 弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算例4 直线l 经过点()5,5，且和圆2225x y +=相交，截得的弦长为l 的方程.五．对称问题（ 圆关于点对称，圆关于圆对称）例5 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.练习1. 求圆()()22114x y -+-=关于直线220x y --=对称的圆的方程2. 由圆外一点(2,1)P 引圆22:4O x y +=的割线交圆于A,B 两点,求弦AB 的中点的轨迹.3. 等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?4．已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点的量长的弦所在的直线方程是（ ）. A 30x y +-= B 30x y --=C 260x y --=D 260x y +-=2. 若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ）.3. 已知点()1,1A -和圆C ：22(5)(7)4,x y -+-=一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是（ ）.A ．10 B.226- C.64 D.84. 设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点P （3，1），则直线AB 的方程为__________________.5. 圆心在直线y x =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程_______________________.1. 从圆外一点(1,1)P 向圆221x y +=引割线,交该圆于,A B 两点,求弦AB 的中点的轨迹方程.2．2. 2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为.§4.3 空间直线坐标系1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标142144，找出疑惑之处）1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、新课导学※ 学习探究1.怎么样建立空间直角坐标系？2.什么是右手表示法？3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O 的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程※ 典型例题例1在长方体OBCD D A B C ''''-中，3,4OA OC ==2.OD '=写出,,,D C A B '''四点坐标.反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标.讨论：若以C 点为原点，以射线,,BC CD CC '方向分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？变式：已知(2,3,4)M -，描出它在空间的位置例2 V ABCD -为正四棱锥，O 为底面中心，若2,3AB VO ==，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.※ 动手试试练1. 建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.练2. 已知ABCD A B C D ''''-是棱长为2的正方体，,E F 分别为BB '和DC 的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标三、总结提升※ 学习小结1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.4.关于一些对称点的坐标求法(,,)P x y z 关于坐标平面xoy 对称的点1(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面yoz 对称的点2(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面xoz 对称的点3(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于x 轴对称的点4(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于y 对轴称的点5(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于z 轴对称的点6(,,)P x y z --；）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（ ）.A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2. 已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）.A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)-D ．(4,1,3)-3. 已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，则ABC ∆的重心坐标为（ ）.A ．7(6,,3)2B ．7(4,,2)3C ．14(8,,4)3D ．7(2,,1)64. 已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1)A B -，5. 方程222(2)(3)(1)36x y z -+++-=的几何意义是 .(1,2,3)M -，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.2. 设有长方体ABCD A B C D ''''-，长、宽、高分别为 4,3,5,AB cm AD cm AA cm N '===是线段CC '的中点.分别以,,AB AD AA '所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.⑴求,,,,,,,A B C D A B C D ''''的坐标；⑵求N 的坐标；§4.3.2空间两点间的距离公式1. 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2. 掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.145146，找出疑惑之处）1. 平面两点的距离公式？2. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、新课导学※ 学习探究1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？33.3.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中1212,,,x x y y12,z z 可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=.探究：⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)o 的距离？⑵如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？※ 典型例题例1 求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离变式：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离例2 在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --.求证：ABC ∆是直角三角形.※ 动手试试练1. 在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.练2. 试在xoy 平面上求一点，使它到(1,1,5)A -,(3,4,4)B 和(4,6,1)C 各点的距离相等.三、总结提升※ 学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.※ 知识拓展1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.平面上1122(,),(,)P x y Q x y 两点间的距离公式d3.平面上圆心在原点的圆的方程222x y r +=.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．空间两点(3,2,5),(6,0,1)A B --之间的距离（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．92．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P ，则点P 为（ ）.A ．(9,0,0)B ．(1,0,0)-C ．(9,0,0)(1,0,0)-D ．都不是3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB =（ ）.A ．10B ．384．已知(3,5,7)A -和点(2,4,3)B -，则线段AB 在坐标平面yoz 上的射影长度为 .5．已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)A B --，(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为 .(1,2,3),(7,10,3)A B 和(1,3,1)C -.试证明A 角为钝角.2. 在河的一侧有一塔5CD m =，河宽3BC m =，另侧有点A ，4AB m =，求点A 与塔顶D 的距离.第四章圆与方程复习1. 掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2. 掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3. 掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.124152，找出疑惑之处）复习知识点1.圆的方程⑴标准式：圆心在点(,)a b，半径为r的圆的标准方程为当圆心在坐标原点时，圆的方程为 .⑵一般式：.⑶圆的一般式方程化为标准式方程为.⑷是求圆的方程的常用方法.2.点与圆的位置关系有，判断的依据为：3.直线与圆的位置关系有，判断的依据为：4.圆与圆的位置关系有，判断的依据为：5.空间直角坐标系⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对 表示.⑵空间两点间的距离公式，如果1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z ，则两点间的距离为12PP = .⑶点(,,)M a b c 关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标⑴关于坐标平面xoy 对称的点 ；⑵关于坐标平面yoz 对称的点 ；⑶关于坐标平面xoz 对称的点 ；⑷关于x 轴对称的点 ；⑸关于y 对轴称的点 ；⑹关于z 轴对称的点 .※ 典型例题例1 求经过(2,4),(3,1)P Q --两点,并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例2 在圆224x y +=上与直线43120x y +-=距离最短的点是.※ 动手试试练. 求过直线240x y ++=和圆2224x y x y ++-10+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.⑴过原点；⑵有最小面积.三、总结提升※ 学习小结1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程.2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来判断更方便.4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写现圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率k 的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上.5.学习过程中要注意数形结合思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量、节省时间，提高准确度，※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆方程是2210x y +-=，则实数a 的值是（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．2±2. 圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）.A ．2B ．1．2+ D ．1+3. 2kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（ ）.A ．k =B ．(2,2)k ∈-C ．2k <-或2k >D ．2k <-或2k >或k =4. 如果直线l 将圆22460x y x y +-+=平分，那么坐标原点到直线l 的距离最大值为 .5. 若圆2221:()()1O x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4O x y +++=的周长，则实数,a b 的关系是 .1. 讨论两圆：221:16161632610C x y x y +++-=与2221:(sin )(1)16C x y α-+-=的位置关系.2. 已知点(,0),(0,)A a B b （其中,a b 均大于4），直线AB 与圆22:4440C x y x y +--+=相切 ⑴求证：(4)(4)8a b --=；⑵求线段AB 的中点M 的轨迹方程.。
高中数学 第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程教案 新人教A版必修2
4.1.2圆的一般方程三维目标：知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 课题引入：问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D，-2E ）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程导学案(无答案) 新人教A版必修2(2021年
江苏省海门市包场镇高中数学第四章圆与方程4.1.2 圆的一般方程导学案（无答案）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省海门市包场镇高中数学第四章圆与方程4.1.2 圆的一般方程导学案（无答案）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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圆的一般方程总课题圆与方程总课时第12课时分课题圆的一般方程分课时第 2 课时教学目标掌握圆的一般方程,会判断二元二次方程22=++++FEyDxyx是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.重点难点会判断二元二次方程022=++++FEyDxyx是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.引入新课问题1．已知一个圆的圆心坐标为)11( ，，半径为2,求圆的标准方程．问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC∆的顶点坐标)34( ，A，)25( ，B，)01( ，C，求ABC∆外接圆方程．这道题怎样求？有几种方法？问题3．要求问题2也就意味着圆的方程还有其它形式？1．圆的一般方程的推导过程．2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程,有什么要求？例题剖析例1 已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．例 2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3 （精确到需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长m 01.0）． 2P PB A O yx 2A例3 已知方程0834222=+++++k y kx y x 表示一个圆，求k 的取值范围．变式训练：若方程02)1(22222=+-+-+m y m mx y x 表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，求实数m 的取值范围．例4：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系?并说明该关系表示什么曲线？巩固练习1．下列方程各表示什么图形？（1）0)2()1(22=++-y x ;（2）044222=-+-+y x y x ； （3)0422=-+x y x ； （4）052422=+--+y x y x ．2．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直线x y =对称,那么必有（ ）A ．E D =B ．F D =C ．F E =D ．FE D ==3．求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程．课堂小结 圆的一般方程的推导及其条件;圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程．课后训练 班级：高一（ )班 姓名：____________ 一 基础题1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为 ．2．若方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，则m 的取值范围是 ．3．圆的方程为22220x y kx y k ++++=，当圆面积最大时，圆心坐标为4．若圆0342222=++-+m my x y x 的圆心在直线20x y ++=上，则该圆的半径等于______．5．过点)11( -，M 且与已知圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心相同的圆的方程是 ．6．若圆022222=++++b by x y x 关于直线0=+y x 对称，则=b ．7．方程3222++--=y y x 表示的曲线与直线2x =围成的图形面积是 ．8．已知点M 是圆2286250x y x y +-+-=上任意一点，O 为原点,则OM 的最大值为_ _，最小值为____ __．9．若直线10x y +-=与圆22210x y tx ty t +-+++=相切，则实数t 等于__________．二 提高题10．求过三点)51( -，A ，)55( ，B ，)26(- ，C 的圆的方程．11．求圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程．12．若圆022=++++F Ey Dx y x 过点(0,0)，(1,1)，且圆心在直线30x y --=上,求该圆的方程，并写出它的圆心坐标和半径．三 能力题13．已知点)(y x M ，与两个顶点)00( ，O ,)03( ，A 的距离之比为21,那么点M 的坐标满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．14。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程学案(无答案)新人教A版必修
浙江省台州市高中数学第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学案（无答案）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省台州市高中数学第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学案（无答案）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1 圆的标准方程【目标】1。
掌握圆的定义及标准方程;2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．【预习学案】1、圆的定义:1．圆的标准方程2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔ ;点在圆上⇔ ;点在圆外⇔3、点M(x0，y0)与圆（x－a）2＋（y－b)2＝r2的位置关系如何判断?思考：从圆的标准方程所含的参数上,你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗？【课内探究一】点与圆的位置关系例1 写出圆心为A（2,－3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M1（5，－7)，M2(－错误!，－1)是否在这个圆上．练习1 已知点A（1,2)在圆C：（x＋a)2＋（y－a)2＝2a2的内部，求a的取值范围．【课内探究二】求圆的标准方程例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是A（5,1），B(7，－3），C(2，－8）．求它的外接圆的方程．例3、已知圆心为C的圆经过点A（1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．练习2 在平面直角坐标系中，求与x轴相交于A（1，0)和B（5,0）两点且半径为错误!的圆的标准方程．【课内探究三】圆的标准方程的应用例4 已知隧道的截面是半径为 4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，一辆宽度为3 m,高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？【课外作业】一、基础过关1、(x＋1)2＋（y－2）2＝4的圆心与半径分别为________．2、圆心是O（－3，4),半径长为5的圆的方程为3．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．4．若点（1,1)在圆(x－a）2＋（y＋a)2＝4的内部,则实数a的取值范围是________．5．已知圆C经过A(5，1），B(1，3)两点，圆心在x轴上,则圆C的方程为______________．6．圆的一条直径的两个端点是(2，0），(2，－2),则此圆的方程是____________________．7．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2）的圆的方程为______________________．8、圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25,点(2,3）到圆上的最大距离为________．9．圆（x－3）2＋(y＋1）2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．10．求满足下列条件的圆的方程:（1)经过点P(5,1）,圆心为点C(8，－3）；（2)经过点P（4,2)，Q（－6，－2)，且圆心在y轴上．二、能力提升11．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b ＝0一定不经过第________象限．12．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆（x＋a)2＋(y＋b）2＝1的圆心位于第________象限．13、求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2错误!的圆的方程。
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高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程导学案无答
案新人教A 版必修2
自学导读：
问题1： 圆的标准方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 ， 问题2：把圆的标准方程展开，得 ，
令-2a=D,-2b=E,a 2+b 2-r 2
=F ,
结论：任何一个圆可以写成下面的形式x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0
问题3：是不是任何一个形如x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？
把方程: x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0配方可得：
（1）当D 2+E 2
-4F>0时，表示以（ ， ）为圆心，以（ ）为半径的圆 （2）当D 2
+E 2-4F=0时，方程只有一组解x = 2-D
， y = 2
-E ，表示一个点（ ， ）. （3）当D 2
+E 2
-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形.
新课：
1:圆的一般方程的定义： 2：圆的一般方程的特点：x 2与y 2系数相同并且不等于0，没有xy 这样的二次项，D 2+E 2
-4F>0 练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径
(1) x 2+2y 2-6x +4y -1=0 (2) x 2+y 2-3xy +5x +2y =0 (3) x 2+y 2
-2x +4y -4=0
(4) x 2+y 2-12x +6y +50=0 (5) 2x 2+2y 2
-12x +4y =0
3：例题讲解
阅读第122页例4、例5完成下列习题 1、求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程
小结：求圆的方程的方法
2、如图，已知点P 是圆x 2+y 2
=16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为（12,0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的方程是什么？
小结：求轨迹方程的方法
三、自学检测
1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：
① x 2+y 2-6x=0 ② x 2+y 2+2by=0 ③ x 2+y 232=0
2..判断下列方程分别表示什么图形：
① x 2+y 2=0 ② x 2+y 2-2x+4y-6=0 ③ x 2+y 2+2ax-b 2=0
课本第123页练习1.2.3
四、巩固训练
课本第124页习题4.1 A 组 1.、2、3、4
五、拓展延伸
课本第124页习题4.1 B 组 2、3
课堂小结
22224()()224
D E D E F x y +-+++=
（1）圆的一般方程的定义及特点
（2）圆的一般方程与圆的标准方程的联系（3）用待定系数法，求圆的一般方程（4）用相关点法，求点的轨迹方程。