高中数学必修2《点直线平面之间的位置关系》知识点
高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点
高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点高中数学必修的《点直线平面之间的位置关系》是一个重要的几何知识点，主要涉及直线与平面、点与直线、点与平面之间的位置关系。
这个知识点对于理解几何图形的形状和性质具有重要作用，也为后续的三角函数、向量等知识打下基础。
下面将详细介绍该知识点的内容。
一、直线与平面的位置关系1.平面方程：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为不能同时为0的实数，A、B、C为平面的法向量，D为常数项。
2.直线与平面的位置关系：(1)直线与平面相交：直线与平面相交可以有一个交点，也可以有无穷多个交点。
(2)直线含于平面：如果直线的所有点都在平面上，则直线被称为含于平面。
(3)直线与平面平行：如果直线与平面的交点集为空集，则直线与平面平行。
(4)直线与平面垂直：如果直线与平面的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
二、点与直线的位置关系1.点与直线的距离：点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
2.点到线段的距离：点P到线段AB的距离：(1)如果P在AB的延长线上，则距离为AP或BP的长度。
(2)如果P在线段AB的两边，则距离为点P到线段AB所在直线的距离。
(3)如果P在线段AB上，则距离为0。
三、点与平面的位置关系1.点在平面上：点P(x0,y0,z0)在平面Ax+By+Cz+D=0上的充要条件是Ax0+By0+Cz0+D=0。
2.点到平面的距离：点P到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)。
3.点关于平面的对称点：点P(x0,y0,z0)关于平面Ax+By+Cz+D=0的对称点的坐标为：(x',y',z')=(x0-2*Ax0/（A^2+B^2+C^2）,y0-2*By0/（A^2+B^2+C^2）,z0-2*Cz0/（A^2+B^2+C^2）)。
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点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：1、平行关系与平行关系互推；2、垂直关系与垂直关系互推；线面垂直判定定理线面垂直的定义两平面的法线垂直则两平面垂直面面垂直判定定理线面平行判定定理线面平行性质定理线面平行转化面面平行判定定理面面平行性质定理3、平行关系与垂直关系互推。
以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。
线线平行传递性：；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫面面平行传递性：；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫线面垂直、线面垂直线面平行：；⇒ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥线面垂直线线平行（线面垂直性质定理）：；⇒b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα线面垂直面面平行：；⇒βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a 线面垂直、面面平行线面垂直：；⇒βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //线线平行、线面垂直线面垂直：；⇒αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //线面垂直、线面平行面面垂直：。
⇒βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。
符号化语言一览表①线面平行；；；ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥②线线平行:；；；；////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫③面面平行:；；；,////,//a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫④线线垂直:；b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα⑤线面垂直:；；,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭ ；；βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //⑥面面垂直：二面角900; ；；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //二、立体几何中的重要方法1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角）⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系．注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin ；③三线三角公式．θ12cos cos cos θθθ=注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；②垂面法：作面与二面角的棱垂直； ③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法．注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线面距离、点面距离；⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：．||n d =3、证明平行、垂直的理论途径：①证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；（2）转化为两直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行．②证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行．③证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直．④证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直．⑤证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直．。
高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。
2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。
数学必修二直线与平面位置关系知识点
数学必修二直线与平面位置关系知识点
在数学必修二中，直线与平面的位置关系是一项重要的知识点。
下面是一些常见的直
线与平面的位置关系：
1. 直线与平面相交：当一条直线与一个平面有一个公共点时，我们称这条直线与平面
相交。
2. 直线在平面上：当一条直线的所有点都在一个平面上时，我们称这条直线在平面上。
3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面的所有点都不相交时，我们称这条直线与
平面平行。
4. 直线垂直于平面：当一条直线与一个平面的每一条与其有公共点的直线都垂直时，
我们称这条直线垂直于平面。
此外，还有一些特殊情况需要注意：
1. 平面平行于坐标轴：当一个平面与某一个坐标轴平行时，在该坐标轴上方的所有点
的坐标都相同，可以利用这个特点来求解一些几何问题。
2. 平面与平面相交：当两个平面相交时，它们的交线是一条直线。
可以根据平面的方
程来求解平面与平面的交线。
3. 平面与平面平行：当两个平面平行时，它们的法向量相互平行。
可以根据平面的法
向量来判断平面与平面的位置关系。
掌握这些直线与平面的位置关系知识点，可以帮助我们解决更复杂的几何问题，如求解直线与平面的交点、确定直线与平面的位置关系等。
点直线平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点第二章点、直线、平面之间的位置关系一、平面及其表示平面是指在三维空间中的一个无限大的平面，可以用点和直线来表示。
平面的基本性质可以通过三条公理来描述：①公理1：如果一个点A在直线l上，另一个点B也在直线l上，且A在平面α上，那么B也在平面α上。
②公理2：如果三个不共线的点A、B、C确定一个平面α，那么这三个点必在平面α上。
③公理3：如果一个点P在平面α上，又在平面β上，那么P一定在它们的交线l上。
二、点与面、直线位置关系1、点与平面有两种位置关系：①点A在平面α上；②点B不在平面α上。
2、点与直线有两种位置关系：①点A在直线l上；②点B不在直线l上。
三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线是指不在同一平面内的两条直线。
2、直线与直线的位置关系包括相交、共面和平行三种情况。
3、公理4和定理：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
四、空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系可以分为三种情况：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
五、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面的位置关系可以分为平行和相交两种情况。
其中，平行的两个平面没有公共点，而相交的两个平面有一条公共直线。
直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定方法有三种：利用定义、利用判定定理、利用面面平行的性质。
其中，面面平行的性质可以推导出直线与平面平行的性质。
证明面面平行的常用方法有以下几种：①利用面面平行的定义，一般与反证法结合使用；②利用判定定理；③证明两个平面垂直于同一个平面；④证明两个平面同时平行于第三个平面。
直线与平面垂直的判定方法如下：若直线l与平面α所成角α∈(0,90)，则PO⊥α，AO为___在平面α上的投影，故∠α为直线l与平面α所成角。
二面角α-l-β的平面角为∠___，其中BO⊥l，___。
线面垂直的判定方法如下：___⊥α，___α，且a∩b=A，则___⊥α。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
必修二数学点直线平面位置关系知识点
必修二数学点直线平面位置关系知识点编辑短评提高数学考试成绩诀窍方法之一是，在考试前进行高水平高效率的复习和知识点总结，花时间去攻克自己不熟悉的题目，不断地把陌生转化为熟悉。
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esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
高中数学必修知识点总结：第二章直线与平面的位置关系
高中数学必修2知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示<1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长<如图）b5E2RGbCAP <2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
p1EanqFDPw 3 三个公理：<1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A∈LB∈L => L αA∈α B∈α公理1作用：判断直线是否在平面内<2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。
D CBA αLA· α C ·B·A· α公理2作用：确定一个平面的依据。
<3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L ，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a∥b c∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；DXDiTa9E3d ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， >；P· α Lβ 共面直=>a ∥c③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高中必修二 第二章 知识点
二点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质1.平面——无限延展，无边界1.1三个定理与三个推论公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明直线在平面内.图形语言：符号语言：公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 图形语言：推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：用途：用于确定平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言：符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：（二）空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系：平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表述： 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； （2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。
图形语言：符号语言：异面直线所成的角：（1）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法. 如右图，在空间任取一点O ，过O 作，则所成的角为异面直线所成的角。
特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.2.直线与平面的位置关系：图形语言：3.平面与平面的位置关系：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.⎧⎨⎩ 共面:a b=A,a//b 异面:a与b异面//,////a b b c a c ⇒PA a P A a A a ααα∉⎫⎪∈⎪⇒⎬⊂⎪⎪∉⎭与异面(]0,90θ∈︒︒'//,'//a a b b ','a b θ,a b //l l A l l αααα⊂⎧⎪=⎧⎨⊄⎨⎪⎩⎩αβαβαβ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⊥⎩⎩平行：//斜交：=a 相交垂直：②判定定理：（线线平行线面平行）【如图】③性质定理：（线面平行线线平行）【如图】④判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：（用于判断）；（ii ）判定定理：“线线平行面面平行”（用于证明）；（iii ）“面面平行线面平行”（用于证明）；（4）（用于判断）；2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
高中数学必修二点线面知识点及练习
第一节空间点、直线、平面的位置关系精讲公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内符号语言表示： A 三1, B 三1, Aw 很，B ： = 1 二很公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行1. 空间直线与直线之间的位置关系2. 空间直线与平面之间的位置关系3. 平面与平面之间的位置关系:4. 空间中的平行问题线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交, 平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理1. 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行2. 如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
3. 垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理1. 如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
2. 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
5. 空间中的垂直问题线面垂直平面和平面垂直垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面, 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
点线面位置关系精炼1. 下列命题中，错误的是............................... ( )A. 平行于同一个平面的两个平面平行B. 平行于同一条直线的两个平面平行C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D. —条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交2. 直线a,b,c及平面a , B , Y ,下列命题正确的是.................... ( )A、若a：_ a， b：_ a ,c 丄a, c丄b 贝U c丄aB、若b：_ a , allb贝U all aC 若all a , aAp =b 则allbD 、若a丄a , b 丄a 则allb3. 下列命题中正确的是.......................... ( )A. 如果一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行。
高中数学必修知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系
第二章直线与平面的位置关系1. 三个公理：<1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理1作用：判断直线是否在平面内<2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理2作用：确定一个平面的依据。
<3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
3.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；b5E2RGbCAP② 两条异面直线所成的角θ∈(0， >；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
6.直线与平面有三种位置关系：<1）直线在平面内——有无数个公共点<2）直线与平面相交——有且只有一个公共点<3）直线在平面平行——没有公共点7.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
8.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
9.定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
10.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：1、平行关系与平行关系互推；2、垂直关系与垂直关系互推；线面平行线面平行面面平行定线面平面面平行面面平行3、平行关系与垂直关系互推。
以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。
线线平行传递性：b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫； 面面平行传递性：γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫；线面垂直、线面垂直⇒线面平行：ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥；线面垂直线面垂面面垂直性质定理两平面面面垂直两平面内分别垂直于交线的面面垂线面垂直⇒线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；线面垂直⇒面面平行：βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ；线面垂直、面面平行⇒线面垂直：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //； 线线平行、线面垂直⇒线面垂直：αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行⇒面面垂直：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //。
备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。
符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂；αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂；ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫；③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭；βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫；④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα； ⑤线面垂直:,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭；,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭；βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a ba //； ⑥面面垂直：二面角900;βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；二、立体几何中的重要方法1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角） ⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形； ②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系． 注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ；③三线三角公式12cos cos cos θθθ=．注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解； ②垂面法：作面与二面角的棱垂直； ③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法． 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线面距离、点面距离；⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：d=．3、证明平行、垂直的理论途径：①证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；（2）转化为两直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行．②证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行．③证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直．④证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直．⑤证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直．。
高中数学必修2第2章点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面间的位置关系一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2.三、直线与平面的位置关系四、平面与平面的位置关系1.三个公理的作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线． 2．异面直线的有关问题(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．(2)所成的角的求法：平移法．典题导入[例1] (2012·湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点，求证：CE ，D 1F ，DA 三线共点． [自主解答] ∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交． 设D1F ∩CE ＝P ，∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD . ∴P ∈AD .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．本例条件不变试证明E ，C ，D 1，F 四点共面． 证明：∵E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC .∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. ∴EF 与CD 1确定一个平面． ∴E ，C 1，F ，D 四点共面．由题悟法1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．以题试法1．(1)(2012·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()A．对边相等的四边形一定是平面图形B．四边相等的四边形一定是平面图形C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确．答案：(1)C(2)①④第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面1．下列符号语言表述正确的是()A．A∈l B．A⊂αC．A⊂l D．l∈α2．若一直线a在平面α内，则图示正确的是()3．(2013年安徽)在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间上述关系的集合表示是() A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α5．如图K2-1-1，用符号语言可表达为()图K2-1-1A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n6．过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是()A．3 B．4 C．5 D．67．E，F，G，H是三棱锥A-BCD棱AB，AD，CD，CB上的点，延长EF，HG交于点P，则点P()A．一定在直线AC上B．一定在直线BD上C．只在平面BCD内D．只在平面ABD内8．下列推理错误的是()A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂αB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若l∈α，A∈l，则A⊂αD．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合9．如图，ABCD -A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的序号是________．①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1四点共面；③A，O，C，M四点共面；④B，B1，O，M四点共面．10．如图K2-1-3，在正方体ABCD -A′B′C′D′中，E，F分别是AA′，AB上一点，且EF∥CD′，求证：平面EFCD′，平面AC与平面AD′两两相交的交线ED′，FC，AD交于一点．图K2-1-3异面直线的判定典题导入[例2](2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[自主解答]图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．由题悟法1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．以题试法2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．则四个结论中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1．下面结论正确的是()A ．空间四边形的四个内角和等于180°B ．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C ．空间四边形的两条对角线可以相交D ．空间四边形的两条对角线不相交2．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或异面 D ．相交或异面 3．直线a ∥b ，b ⊥c ，则a 与c 的关系是( ) A ．异面 B ．平行 C ．垂直 D ．相交4．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 5．如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1O 和C 1O 的中点，长方体的各棱中与EF 平行的有( )A ．一条B ．两条C ．三条D ．四条6．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，而α∩β＝c ，则直线c ( ) A ．一定与a ，b 中的两条相交 B ．至少与a ，b 中的一条相交 C ．至多与a ，b 中的一条相交 D ．至少与a ，b 中的一条平行7．AB ，CD 是夹在两平行平面α，β之间的异面线段，A ，C 在平面α内，B ，D 在平面β内，若M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则有( )A ．MN ＝12()AC ＋BDB ．MN >12()AC ＋BD C ．MN <12()AC ＋BD D ．MN ≤12()AC ＋BD8．如图K2-1-5是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题正确的序号有________．①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直．图K2-1-5 图K2-1-69．如图K2-1-6，过正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作________条．10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)求直线AB 1和CC 1所成的角的大小； (2)求直线AB 1和EF 所成的角的大小．2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1．若直线m∥平面α，直线n∥平面α，则直线m与直线n的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能2．长方体中ABCD -A1B1C1D1，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3条B．4条C．5条D．6条3．b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是()A．b与α内一条直线不相交B．b与α内两条直线不相交C．b与α内无数条直线不相交D．b与α内任意一条直线不相交4．若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是()A．三个平面共线B．有两个平面平行且都与第三个平面相交C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交D．三个平面两两相交5．对于直线m，n和平面α，下列说法中正确的是()A．如果m⊂α，nα，m，n异面，那么n∥αB．如果m⊂α，nα，m，n异面，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n6．已知直线a⊂平面α，直线b与a没有公共点，则()A．b⊂αB．bαC．b∥αD．以上都有可能7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是()A．平行B．相交C．重合D．平行或相交8．下列四个命题：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内所有直线都没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确命题的序号是__________．9．若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．10．图K2-1-8是一个正方体(如图K2-1-7)的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M-NPQ的体积与正方体的体积之比．图K2-1-7 图K2-1-82.2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面、平面与平面平行的判定1．若直线与平面没有交点，则这条直线与这个平面内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交D．三条直线不相交2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b∥α或b与α相交D．b⊂α3．已知三条互相平行的直线a，b，c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α，β的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定4．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，下列四对截面彼此平行的一对截面是()A．面A1BC1和面ACD1B．面BDC1和面B1D1CC．面B1D1D和面BDA1D．面A1DC1和面AD1C5．设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β6．若a，b是异面直线，过b且与a平行的平面()A．不存在B．存在但只有一个C．存在无数个D．只存在两个7．如图K2-2-1，在长方体ABCD -A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是：________；(2)与直线AA1平行的平面是：________；(3)与直线AD平行的平面是：________.图K2-2-1 图K2-2-28．如图K2-2-2，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点．图中EO与哪个平面平行___________．9．(2013年山东节选)如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：CE∥平面P AD.10．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BB1D1D.图K2-2-41．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点2．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是()A．过点A有且只有一个平面平行于a，b B．过点A至少有一个平面平行于a，b C．过点A有无数个平面平行于a，b D．过点A且平行a，b的平面可能不存在3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α，β都平行于直线l，m B．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β5．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．6．如图已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH ∥FG.求证：EH∥BD.7．如图，已知在四面体A-BCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，则与MN 平行的平面是____________________．8．求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．已知：如图，α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.9．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，E是侧棱PD上一点，且PB∥平面EAC.求证：E是PD的中点．1．下列说法正确的是()A．如果两个平面有三个公共点，则它们重合B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线3．已知α∥β，下面正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，则a，b异面C．若a⊂α，b∥β，则a∥b D．若a⊂α，b⊂β，则a∥β，b∥α4．过平面α外一点P与平面α平行的平面的个数为()A．只有一个B．至多一个C．至少一个D．无数个5．以下能得到平面α∥平面β的是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α6．已知点A，B，C不共线，AB∥平面α，AC∥平面α，则BC与平面α的位置关系是() A．相交B．平行C．直线BC在平面α内D．以上都有可能7．如图，一个四面体S -ABC的六条棱长都为4，E为SA的中点，过点E作平面EFH ∥平面SBC.且平面EFH∩平面ABC＝FH.则三角形HFE面积为__________．8．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有______条．9．如图(1)，在透明塑料制成的长方体ABCD -A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图(2)时，EB·BF是定值．其中正确说法的序号是__________．10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点．求证：AC1∥平面CDB1.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2．3.1 直线与平面垂直的判定1．下面条件中，能判定直线l ⊥平面α的一个是( )A ．l 与平面α内的任意一条直线垂直B ．l 与平面α内的无数条直线垂直C ．l 与平面α内的某一条直线垂直D ．l 与平面α内的两条直线垂直 2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条弦；④正六边形的两条边． 不能保证该直线与平面垂直的是( )A ．①③B ．①②C ．②③④D ．①②④3．已知直线a ，b 和平面α，则下列结论错误的是( )A. ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥bB. ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥αC. ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b b ⊥α⇒a ∥α或a ⊂α D.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊂α⇒a ∥b 4．下列说法中正确的是( )A ．平面外的点和平面内的点之间的线段叫平面的斜线段B ．过平面外一点和平面内一点的直线是平面的斜线C ．过平面外一点的平面的垂线有且只有一条D ．过平面外一点的平面的斜线有且只有一条5．若斜线段AB 是它在平面α内的射影长的2倍，则AB 与平面α所成的角为( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．120°6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.638．如图K2-3-1，平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1；②2；③3；④4.以上结论正确的为__________(写出所有正确结论的序号)．图K2-3-1 图K2-3-29．已知：如图K2-3-2，在空间四边形ABCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，取BC 中点E ，连接AE ，DE ，求证：BC ⊥平面AED .10．如图K2-3-3，已知点P 是△ABC 所在平面外一点，P A ，PB ，PC 两两垂直，点H为△ABC 的垂心，求证：PH ⊥平面ABC .图K2-3-32.3.2平面与平面垂直的判定1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2．下列说法正确的是()A．二面角的大小范围是大于0°且小于90°B．一个二面角的平面角可以不相等C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，其中正确的命题是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β4．在三棱锥A-BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么() A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面BCD⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BCD5．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，DC＝AD，点E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是__________．7．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是__________．8．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图K2-3-4，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P为△ABC所在平面外一点，P A＝PB ＝PC，求证：平面P AC⊥平面ABC.图K2-3-410．如图K2-3-5，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B∥平面ADC1.图K2-3-52.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质1．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( )A ．a ⊥βB ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能2．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a 垂直于第二个平面内的一条直线b ，那么( )A ．直线a 垂直于第二个平面B ．直线b 垂直于第二个平面C ．直线a 不一定垂直于第二个平面D ．过a 的平面必垂直于过b 的平面 3．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是( ) ①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线； ③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 4．在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行 5．如图K2-3-6，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( )图K2-3-6A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60°6．已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，并且P A ＝6，AB ＝3，AD ＝4，则点P 到BD 的距离是( )A.6 295B ．6 29C ．3 5D ．2 137．已知△ABC 所在平面外面一点V ，VB ⊥平面ABC ，平面VAB ⊥平面VAC 平面． 求证：AC ⊥BA .8．如图K2-3-7，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .则以下命题中：图K2-3-7①点H 是△A 1BD 的垂心；②AH 垂直平面CB 1D 1；③AH 的延长线经过点C 1；④直线AH 和BB 1所成角为45°； 其中正确的命题的序号是____________． 9．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 到平面B 1C 的距离为________，A 到平面BB 1D 1D 的距离为________，AA 1到平面BB 1D 1D 的距离为________．10．如图K2-3-8，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.图K2-3-8第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．1.1 平面1．A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.④10．证明：∵E ，F 分别是AA ′与AB 上一点，∴EF ≠CD ′. 又∵EF ∥CD ′，∴四边形EFCD ′是梯形，直线ED ′和FC 相交于一点，设此点为P ， ∵P ∈ED ′⊂平面AA ′D ′D ，P ∈FC ⊂平面ABCD ， ∴P 是平面AA ′D ′D 与平面ABCD 的公共点． ∵平面AA ′D ′D ∩平面ABCD ＝AD ，∴P ∈AD . ∴ED ′，FC ，AD 交于一点P .2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1．D 2.C 3.C 4.C 5.B6．B 解析：若c 与直线a ，b 都不相交，由公理4可知三条直线平行，与题设矛盾．故选B.7．C 解析：如图D52，连接AD ，取AD 中点G ，连接MG ，NG ，显然M ，N ，G 不共线，则MG ＋NG >MN ，即MN <12()AC ＋BD .图D528．③④ 9.410．解：(1)如图D53，连接DC 1，图D53∵DC 1∥AB 1，∴DC 1 和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角． ∵∠CC 1D ＝45°，∴AB 1 和CC 1所成的角是45°. (2)如图45，连接DA 1，A 1C 1， ∵ EF ∥A 1D ，AB 1∥DC 1，∴∠A 1DC 1是直线AB 1和EF 所成的角． ∵△A 1DC 1是等边三角形， ∴∠A 1DC 1＝60°，即直线AB 1和EF 所成的角是60°.2．1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1.D2．C 解析：如图D54，用列举法知符合要求的棱为：BC ，CD ，C 1D 1，BB 1，AA 1，故选C.图D543．D 4.C 5.C 6.D 7.D 8．④ 9.无数10．解：(1)MN 与PQ 是异面直线，如图D55，在正方体中，PQ ∥NC ，∠MNC 为MN 与PQ 所成角，因为MN ＝NC ＝MC ，所以∠MNC ＝60°.图D55(2)设正方体棱长为a ，则正方体的体积V ＝a 3， 而三棱锥M -NPQ 的体积与三棱锥N -PQM 的体积相等，且NP ⊥面MPQ ，所以V N -PQM＝13·12MP ·MQ ·NP ＝16a 3， 即四面体M -NPQ 的体积与正方体的体积之比为1∶6.2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．2.1 直线与平面、平面与平面平行的判定 1．C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7．(1)面A 1C 1，面DC 1 (2)面BC 1，面DC 1 (3)面BC 1，面A 1C 18．平面P AD 与平面PCD 9．证明：∵四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点，取P A 的中点H ，则由HE ∥AB ，HE ＝12AB ，而且CD ∥AB ，CD ＝12AB ，可得HE 和CD 平行且相等，故四边形CDHE 为平行四边形，故CE ∥DH .由于DH ⊂P AD ，而 CE P AD ，故有CE ∥平面P AD .10．证明：E ，F 分别为BC ，DC 为中点，EF 为△BCD 中位线，则EF ∥BD . 又EF 平面BB 1D 1D ，BD ⊂平面BB 1D 1D ， 故EF ∥平面BB 1D 1D .连接SB ，同理可证EG ∥平面BB 1D 1D .又EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG ∥平面BB 1D 1D . 2．2.2 直线与平面平行的性质 1．D 2.D 3.B 4.D 5．BD 1∥平面AEC 6．证明：⎭⎪⎬⎪⎫EH ⊄平面BCD FG ⊂平面BCD EH ∥FG⇒EH ∥平面BCD ， 平面BCD ∩平面ABD ＝BD ⇒EH ∥BD .7．平面ABD 与平面BCD8．证明：过a 作平面γ交平面α于b ， ∵a ∥α，∴a ∥b .同样，过a 作平面δ交平面β于c ， ∵a ∥β，∴a ∥c .∴b ∥c . 又∵b β，且c ⊂β，∴b ∥β.又平面α经过b 交β于l ，∴b ∥l . 又a ∥b ，∴a ∥l .9．证明：连接BD ，设AC 与BD 交于点O ，连接EO ， ∴EO 是平面PBD 与平面EAC 的交线．∵PB ⊂平面PBD ，PB ∥平面EAC ，∴PB ∥EO . 又∵O 为BD 中点，∴E 为PD 中点．2．2.3 平面与平面平行的性质 1．C 2.D 3.D 4.A 5.D 6.B 7.3 8.69．①③④ 解析：对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确．10．证明：设B 1C 与BC 1相交于点D 1，连接DD 1. ∵点D ，D 1分别是AB ，BC 1的中点， ∴DD 1∥AC 1.又∵AC 1平面CDB 1，DD 1⊂平面CDB 1. ∴AC 1∥平面CDB 1.2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 2．3.1 直线与平面垂直的判定 1．A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B7．D 解析：取AC 的中点O ，连接D 1O ，过点D 作DE ⊥D 1O .在正方体中，DD 1⊥面ABCD ，∴DD 1⊥AC ，又AC ⊥OD ，∴AC ⊥面DD 1O .∴AC ⊥DE .∴DE ⊥面ACD 1，即∠DD 1O 是D 1D 与平面ACD 1所成的角．又BB 1∥DD 1，∴BB 1与平面ACD 1所成角即为DD 1与平面ACD 1所成角．设DD 1＝a ，则DO ＝22a ，D 1O ＝62a ，所求角的余弦值为DD 1D 1O ＝63.8．①③ 解析：若点B ，D 到平面α的距离分别为1,2，则点D ，B 的中点到平面α的距离为32，所以点C 到平面α的距离为3；若点B ，C 到平面α的距离分别为1,2，设点D 到平面α的距离为x ，则x ＋1＝2或x ＋2＝1，即x ＝1.所以点D 到平面α的距离为1；若点C ，D 到平面α的距离分别为1,2，同理可得，点B 到平面α的距离为1.故选①③. 9．证明：∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，E 为BC 中点， ∴AE ⊥BC ，DE ⊥BC .又∵AE 与DE 交于点E ，∴BC ⊥平面AED . 10．证明：如图D56，连接AH ，图D56⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥PBP A ⊥PC PB ∩PC ＝P ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥面PBC BC ⊂面PBC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥BC点H 为垂心⇒AH ⊥BC P A ∩AH ＝A ⇒⎭⎪⎬⎪⎫BC ⊥面P AH PH ⊂面P AH ⇒PH ⊥BC .同理可证PH ⊥AC ，又AC ∩BC ＝C ， 所以PH ⊥平面ABC .2．3.2 平面与平面垂直的判定 1．D 2.D 3.B 4.C5．C 解析：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β不正确；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β正确；③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β正确，所以正确的命题有2个．6．垂直 解析：∵AD ＝DC ，点E 是AC 的中点，∴DE ⊥AC .同理BE ⊥AC .又BE ∩DE ＝E ，∴AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面BDE . 7．60°8．B 解析：只有①④是正确命题．9．证明：取AC 的中点O ，连接PO ，OB . ∵AO ＝OC ，P A ＝PC ，∴PO ⊥AO . 又∵∠ABC ＝90°，∴OB ＝OA . 又∵PB ＝P A ，PO ＝PO ，∴△POB ≌△POA ，∴PO ⊥OB .又∵OA ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，且OA ∩OB ＝O ， ∴PO ⊥平面ABC . 又∵PO ⊂平面P AC ， ∴平面P AC ⊥平面ABC .10．证明：(1)因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为DC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥DC 1.(2)如图D57，连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OD ，则O 为A 1C 的中点． 因为D 为BC 的中点，所以OD ∥A 1B . 因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B 平面ADC 1， 所以A 1B ∥平面ADC 1.图D572．3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质1．D 2.C3．B 解析：画正方体验证α内可以有直线不与β垂直，或平行或相交，③错误．4．D 5.D 6.A7．证明：如图D58，过点B 作BD ⊥VA 于D .∵平面VAB ⊥平面VAC ，∴BD ⊥平面VAC .∴BD ⊥AC .又∵VB ⊥平面ABC ，∴VB ⊥AC .又∵BD ∩VB ＝B ，∴AC ⊥平面VBA .∴AC ⊥BA .图D588．①②③ 9.a 22a 22a 10．证明：(1)如图D59，取EC 中点F ，连接DF .∵EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，∴DB ⊥平面ABC .图D59∴DB ⊥AB ，EC ⊥BC .∵BD ∥CE ，BD ＝12CE ＝FC ， ∴四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC .又BA ＝BC ＝DF ，∴Rt △DEF ≌Rt △ABD ，故DE ＝DA .(2)取AC 中点N ，连接MN ，NB ，∵M 是EA 的中点，∴MN 綊12EC .由BD 綊12EC ， 且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形．于是DM ⊥MN .∵DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴DM ⊥EA .又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA.而DM⊂平面BDM，则平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM⊥平面ECA，DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.。
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
必修二第二章点、直线、平面的位置关系知识总结
空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l. 直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α. （2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内.（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：检验桌面是否平 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面. 两相交直线确定一平面. 两平行直线确定一平面.公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a. 符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈ 公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点. （教科书习题2.1 B 组3题）③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据. （教科书习题2.1 B 组2题）（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交.③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义（反证法）②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关.(3)求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角.C、利用三角形来求角.（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补.（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a⊂α a∩α＝A a∥α（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点.α∥β相交——有一条公共直线.α∩β＝b5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行⇒线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），以下书上没有：（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行）以下书上没有：（2）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直.（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.9、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 0.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角. ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角. （2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0. ②平面的垂线与平面所成的角：规定为90.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”. 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线. （3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角.垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平 面角.1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4 (a//b,b//ca//c)线面平行判定αβαγβγ//,//==⇒⎫⎬⎭a ba b面面平行判定1a ba ba//,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a ba b Aa b⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////线面平行性质aaba b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪面面平行性质1αβαβ////aa⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβabα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理PA AO POaa OA a POa PO a AO⊥⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥ααα,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定a ba b Ol a l bl,,⊂=⊥⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ααaa⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αβαβ线面垂直定义lal a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ba a ba,αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪aa面面垂直定义αβαβαβ=--⇒⊥⎫⎬⎭l l，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2线面垂直性质2面面平行性质3a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αββ//a⊥⎫⎬a一、选择题：1. 已知βα,为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是（ ）A. βββ⊂⇒∈∈∈∈a B a B A a A ,,,B. MN N N M M =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C. A A A =⇒∈∈βαβα ,D. 重合、不共线、、，且、、、、βαβα⇒∈∈M B A M B A M B A ,2. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知棱长为a ，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°3. 设P 是异面直线a 、b 外的一点，则过P 点且与a 、b 都平行的平面（ ）A. 有且只有一个B. 恰有两个C. 没有或只有一个D. 有无数个4. 若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（ ）A. 三个平面共线B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交C. 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交D. 三个平面两两相交二、填空题：5. 用符号语言表示下列语句：（1）点A 在平面α内，但在平面β外 ；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a 。
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、平面
1、平面及其表示
2、平面的基本性质 ①公理1：
②公理2：不共线的三点确定一个平面
③公理3：
A l
B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪
⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭
P l P l P ααββ∈⎫
⇒⋂=∈⎬∈⎭
则
二、点与面、直线位置关系
1、点与平面有2种位置关系
2、点与直线有2种位置关系
三、空间中直线与直线之间的位置关系
1、异面直线
2、直线与直线的位置关系
⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩相交共面平行异面
3、公理4和定理 公理4：
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
12A B αα
∈⎧⎨∉⎩、、12A l
B l
∈⎧⎨
∉⎩、、1312
23l l l l l l ⎫
⇒⎬⎭
P P P
4、求异面直线所成角的步骤： ①作：作平行线得到相交直线；
②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角； ③构造三角形求出该角。
提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是 。
四、空间中直线与平面之间的位置关系
位置关系
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
图形表示
五、空间中平面与平面之间的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点
有一条公共直线
符号表示
αβP a αβ=I
图形表示
(
000,90⎤⎦a α直线与平面平行
a α直线与平面相交
a 直线在平面内
a α
⊂a α
P a A
α=I
直线、平面平行的判定及其性质
一、线面平行
1、判定：
（线线平行，则线面平行）
2、性质：
（线面平行，则线线平行）
二、面面平行
1、判定：
（线面平行，则面面平行）
2、性质1：
（面面平行，则线面平行）
b a b b a ααα⊄⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⎭
P P a a a b b α
βαβ⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⋂=⎭
P P a b a b P a b β
ββα
α
α⊂⎫
⎪⊂⎪⎪
⋂=⇒⎬⎪⎪
⎪⎭
P P P a a b b αβαγβγ⎫
⎪
=⇒⎬⎪=⎭
P I P I
性质2：
m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭
P P
（面面平行，则线面平行）
说明（1）判定直线与平面平行的方法：
①利用定义：证明直线与平面无公共点。
②利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。
③利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（2）证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。
②利用判定定理。
③证明两个平面垂直于同一个平面。
④证明两个平面同时平行于第三个平面。
三、线线平行、面面平行、面面平行间的关系
直线与平面垂直的判定及其性质
一、直线与平面所成的角
00--0,180l αβ⎡⎤∈⎣⎦
二、二面角
三、线面垂直
1、判定：
2、性质1：
3、性质2：
0,90α⎡⎤∈⎣⎦
,
PO AO PA l αααα⊥∴∴∠Q 证明过程为在平面上的投影，为直线与平面所成的角。
,,
--BO l AO l BOA l αβ⊥⊥∴∠Q 证明过程是二面角的平面角。
a b a b A l l a l b
α
αα⊂⎫⎪⊂⎪⎪
⋂=⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭
a a
b b αα⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
P a a b b αα⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
四、面面垂直
1、判定：
文字表达：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2、性质：
说明：（1）判定直线与平面垂直的方法： ①利用定义（可用反证法）。
②利用判定定理。
③利用性质定理。
④结合平行关系： （2）判定平面与平面垂直的方法：
①利用定义判断（证）二面角的平面角是直角。
②利用平面与平面垂直的判定定理。
l l αβαβ⊥⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
AB AB AB CD αβ
αβ
β
α⊥⎫⎪⋂⎪
⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭
,a b a b αα⊥⇒⊥P。