高中数学必修2《点直线平面之间的位置关系》知识点

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

一、平面

1、平面及其表示

2、平面的基本性质 ①公理1：

②公理2：不共线的三点确定一个平面

③公理3：

A l

B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪

⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭

P l P l P ααββ∈⎫

⇒⋂=∈⎬∈⎭

则

二、点与面、直线位置关系

1、点与平面有2种位置关系

2、点与直线有2种位置关系

三、空间中直线与直线之间的位置关系

1、异面直线

2、直线与直线的位置关系

⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩相交共面平行异面

3、公理4和定理 公理4：

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

12A B αα

∈⎧⎨∉⎩、、12A l

B l

∈⎧⎨

∉⎩、、1312

23l l l l l l ⎫

⇒⎬⎭

P P P

4、求异面直线所成角的步骤： ①作：作平行线得到相交直线；

②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角； ③构造三角形求出该角。

提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。 2、异面直线所的角的范围是 。

四、空间中直线与平面之间的位置关系

位置关系

公共点

有无数个公共点

有且只有一个公共点

没有公共点

符号表示

图形表示

五、空间中平面与平面之间的位置关系

位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点

有一条公共直线

符号表示

αβP a αβ=I

图形表示

(

000,90⎤⎦a α直线与平面平行

a α直线与平面相交

a 直线在平面内

a α

⊂a α

P a A

α=I

直线、平面平行的判定及其性质

一、线面平行

1、判定：

（线线平行，则线面平行）

2、性质：

（线面平行，则线线平行）

二、面面平行

1、判定：

（线面平行，则面面平行）

2、性质1：

（面面平行，则线面平行）

b a b b a ααα⊄⎫

⎪

⊂⇒⎬⎪⎭

P P a a a b b α

βαβ⎫

⎪

⊂⇒⎬⎪⋂=⎭

P P a b a b P a b β

ββα

α

α⊂⎫

⎪⊂⎪⎪

⋂=⇒⎬⎪⎪

⎪⎭

P P P a a b b αβαγβγ⎫

⎪

=⇒⎬⎪=⎭

P I P I

性质2：

m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭

P P

（面面平行，则线面平行）

说明（1）判定直线与平面平行的方法：

①利用定义：证明直线与平面无公共点。

②利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。

③利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （2）证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。 ②利用判定定理。

③证明两个平面垂直于同一个平面。 ④证明两个平面同时平行于第三个平面。

三、线线平行、面面平行、面面平行间的关系

直线与平面垂直的判定及其性质

一、直线与平面所成的角

00--0,180l αβ⎡⎤∈⎣⎦

二、二面角

三、线面垂直

1、判定：

2、性质1：

3、性质2：

0,90α⎡⎤∈⎣⎦

,

PO AO PA l αααα⊥∴∴∠Q 证明过程为在平面上的投影，为直线与平面所成的角。

,,

--BO l AO l BOA l αβ⊥⊥∴∠Q 证明过程是二面角的平面角。

a b a b A l l a l b

α

αα⊂⎫⎪⊂⎪⎪

⋂=⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭

a a

b b αα⊥⎫

⇒⎬⊥⎭

P a a b b αα⊥⎫

⇒⊥⎬⊂⎭

四、面面垂直

1、判定：

文字表达：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2、性质：

说明：（1）判定直线与平面垂直的方法： ①利用定义（可用反证法）。 ②利用判定定理。 ③利用性质定理。

④结合平行关系： （2）判定平面与平面垂直的方法：

①利用定义判断（证）二面角的平面角是直角。 ②利用平面与平面垂直的判定定理。

l l αβαβ⊥⎫

⇒⊥⎬⊥⎭

AB AB AB CD αβ

αβ

β

α⊥⎫⎪⋂⎪

⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭

,a b a b αα⊥⇒⊥P