《线性代数(一)》2011年下半年第一次

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2011考研数学1线性代数教材上要学习的任务和课后题

《考研数学学习进程监控习题汇编》线性代数部分
第二章
2.5小时
第3章第1节
n维向量及其线性相关性
n维向量的概念，n维实向量空间Rn的定义
向量的加法、数乘运算及其运算规则
向量的线性组合和线性表示的定义
向量组的线性相关、线性无关的定义
向量组线性相关性判定的几个定理
第3章习题
1,3,5,8,9,10,11★
26,27,28,29
25
3小时
第6章
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法，总结归纳单元测试题中错题的知识点、题型
《考研数学学习进程监控习题汇编》线性代数部分
第五章
4
3(2)(3)
1．了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．
2．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．
3．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．
4．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．
第4章第2节
Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵
内积的定义和运算性质
2．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.
3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．
4．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．
第3章第5节
非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
非齐次线性方程组有解的几个等价命题（定理3.15）和推论
非齐次线性方程组的解的性质
2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．
3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．
第6章第2节
化二次型为标准形

线性代数第一章

第一章行列式(determinant)
一、二阶、三阶行列式的定义
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表
a11 a12
a 21 a 22
表达式 a11a 22 a12 a 21称为数表所确定的二阶行列式，并记作 a11 a 21 a12 a 22
该式称为数表所确定的三阶行列式.
a13
三阶行列式的计算：
对角线法则 a11 a12
a21 a31 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 行标按照从小 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . 到大排列注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．
线性代数的第个问题是关于解线性方程组的问题。历史上线性方程组理论的发展促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。
逆序 0 1 0 3 1 于是排列 32514 的逆序数为讨论其奇偶性
t
t 01 0 31 5 .
t
i 1
n
i
标准排列：无逆序的排列。如：1234是4级标准排列
对换：在一个排列中，对调了两个数码，其他数码不变，这种变换称为一个对换。对23154 施以（1，4）对换得到23451。两个结论： 1）对一个排列，经过一个对换，奇偶性改变。

2024考研数学一线性代数历年考题详解

2024考研数学一线性代数历年考题详解线性代数是2024考研数学一科目中的一个重要内容，对于考生来说，掌握线性代数的知识点和解题技巧非常关键。

本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年考题进行详解，帮助考生更好地备考。

一、第一节：向量与矩阵1. 2010年考题考题描述：已知向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性无关，向量\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]可由向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性表示，且\[{\beta}_1 = 2{\alpha}_1 +3{\alpha}_2\]，\[{\beta}_2 = 4{\alpha}_1 + 5{\alpha}_2 + {\alpha}_3\]，\[{\beta}_3 = 7{\alpha}_1 + 10{\alpha}_2 + 2{\alpha}_3\]，则向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为多少？解题思路：根据题意，我们可以建立如下矩阵：\[A =\begin{bmatrix}2 &3 & 0 \\4 &5 & 1 \\7 & 10 & 2 \\\end{bmatrix}\]然后通过对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形。

最后，行最简形的矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩。

在本题中，通过计算可知行最简形为：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]因此，向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为3。

2. 2014年考题考题描述：设矩阵\[A =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]，若矩阵\[B = (A - 2I)^2 - I\]，其中\[I\)为单位矩阵，求矩阵\[B\)的秩。

化学工业出版社《线性代数》第1章习题解答

《线性代数》第一章习题解答1．确定下列排列的逆序数，并指出它们是奇排列还是偶排列.（1） 41253 （2）654321 （3）(1)(2)321n n n --⋅⋅ 解：（1）(41253)4τ=偶排列（2）(654321)15τ=奇排列（3）12((1)321)(1)n n n n τ-⋅⋅=- ，当441n =ℜℜ+或时：偶排列当4243n =ℜ+ℜ+或时，奇排列.2．设四阶行列式1325127064311916231419--，试求：142232,,A A A .解：14141270(1)4311908162314A +=--=， 2222125(1)4119803161419A +-=--=-，2332125(1)1206660161419A +-=-=-3．设四阶行列式1241111125683152----，试求：41424344.A A A A +++ 解：4142434412411111025681111A A A A -+++==-.4．计算下列行列式：（1）352423124-（2）11121321223100a a a a a a （3）1210032141031263------（3）14232432333441424344000000a a a a a a a a a a （5）100110011001a b c d ---（6）0000a b aa ab b a a a b a （7）1111111111111111x xy y+-+-解：（1）-69 （2）132231a a a -（3）0 （4）14233241a a a a（5）1abcd ab cd ad ++++（6）222(4)b b a -（7）22x y 5．证明：（1）22322()111a ab b aa b b a b +=-（2）33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b y zx az bxax by ay bz zxy++++++=++++ （3）222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++(4)222244441111()()()()()()()a b c da b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++解：证明略. 6．已知：0231111xy z=，求下列各行列式的值. （1）11133323111xyz （2）111134111x y z --- （3）33436111xyzxy z x y z +++++解：（1）13（2）1 （3）2 7．n 阶行列式111213121222323132333123nnn n n n n nna a a a a a a a D a a a a a a a a =中，若： ,1,2,,ij ji a a i j n =-= 那么称n D 为反对称行列式（n 阶）.证明：奇数阶反对称行列式等于零.证明：11213111112131122232221222321132********333123123nn n n n n n nnn nnn nnnna a a a aaa a a a a a a a a aD a a a a a aa a a a a a a a a a --------==--------21(1)(1)n n n n D D D ℜ+=-⋅=-=-，0n D ∴=.8．计算n 阶行列式（1）00010200100000n n-（2）010000200010n n-（3）000000000x y x x y yx（4）121212n nn mx m x x x x m x x x x ---（5）12311100002200011n n n n-----（6）1231111111111111111na a a a ++++（7）01211111001001n a a a a -(120n a a a ⋅≠ ) 解：（1）(3)2(1)!n n n +-⋅（2）1(1)!n n +-⋅ （3）1(1)nn nx y ++-（4）11()()nn i i m x m -=--∑（各列加到第一列）（5）1(1)(1)!2n n -⋅⋅+（各列加到第一列）（6）112211111111111100111n n a a a a D a ++++=+12111210000111n n n n n a a a D a D a a a ---=+=+12122121[]n n n n n a a D a a a a a a ----=++12123122121n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---==++++111(1)n ni i i ia a ===⋅+∏∑ (7) 1121011()n n n i ia a a a a a --=-∑ (各列乘1i a -加到第一列11i n ≤≤-) 9．证明：（1）（2）cos 100012cos 100cos()012cos 00012cos n ααααα=（3）123112231111000000(1)00000n n nin i in n na x a a a a x x x x a x x x x x x -=--+--=+-∑，这里 1230n x x x x ⋅⋅⋅⋅≠ .（4）11000100()01000001n n a b ab a b aba b a b a ba ba b++++-=≠+-+证明：（1）左121212110000100001n n nn n xx C xC a a a x a x a x a -----+-+++211211010000010001n n nn in i i C xC C xC x a x x a ---=--++-++∑111(1)()(1)nn nn i n i i x a x +--==-+⋅-∑111n n n x a x a x x --=++++ =右（2）当1n =时成立，设当n k =时成立，则当1n k =+时，行列式按第1k +行展开1cos 1012cos 02cos 2cos 011D D θθθθℜ+ℜ=⋅-12cos 2cos cos cos(1)cos(1)D D k k k θθθθθℜℜ-=⋅-=⋅--=+故命题成立. （3）.31121231121110001100(1)()0001000011n n n na a a a a x x x x x n j n x x x χ--+--≤≤-j 各列提出因子左32231121210100)()011001in inna a a a x x x x i n n C C C x x x =++++-∑121()(1)ii na n x i x x x ==+∑ =右（4） 00001000000001n a a b ab D a b ab a b+==+++左 00010000001b ab a b ab a b ab a b+++=110001000001n a a b ab a D ba b -+⋅++1100001000001n b ab a D ba b-=⋅++ 1n n a D b -=⋅+同理由,a b 的对称性，可得：1n n n D b D a -=⋅+两式联立消去1n D -，得11n n a b n a bD ++--=10．利用范德蒙行列式计算（1）1111437516949256427343125--（2）1111234514916182764解：（1）10368 （2） 12 11．用拉普拉斯定理计算下列行列式（1）560001560015600015600015（2）a a a b x y yb y x y byy xλ解：（1）56016056501560561516015015D =⋅-⋅=665 （2）0000000a a a a bx y y y y x x y D y x x y x yλ--=---(1)(2)00000000000n a a a a b x n yy y y x y x y x yλ-+--=--00000000(1)0000(2)00000x y x y n a x y bx n yx y x yλ----=⋅+---2[(2)(1)]()n x n y n ab x y λλ-=+-⋅---12. 用克莱姆法则解下列线性方程组（1）123412423412342583682254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩（2）123412341234123425323321348256642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=-⎪⎨-++-=-⎪⎪--+=⎩解：（1）123427,81,108,27,27∆=∆=∆=-∆=-∆=12343,4,1,1x x x x ==-=-=（2）123417,34,0,17,85∆=∆=-∆=∆=∆= 12342,0,1,5x x x x =-===13. 求k 的值，使下列方程组有非零解0020kx y z x ky z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩解：211113404 1.211kk k k k ∆=-=--=∴==--或k 14．设有方程组33331x y z ax by cz d a x b y c z d ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩试求它能用克莱姆法则求解的条件，并求出解. 解：333111()()()()0a bc b a c a c b a b c a b c ∆==---++≠,,,0a b a c b c a b c ∴≠≠≠++≠时有解，且解为：123()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()b dcd c b d b c x b a c a c b a b c d a c a c d d b c x b a c a c b a b c b a d a d b a b c x b a c a c b a b c ---++=---++---++=---++---++=---++14. 设121222212111111211111()n n n n n n n xa a a F x xa a a x a a a -------=，其中11,n a a - 互不相同。

《线性代数第1讲》课件

03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判断矩阵的稳定性，从而了解系统的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值和特征向量的方法进行信号的滤波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值和特征向量的方法进行数据的压缩和重构，提高数据的存储和传输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、

线性代数(陶长琪等主编华南理工大学出版)

2.三阶行列式的引入
当D 0时，方程组（）的解为： 2
a11 令D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
x
1
D
1
D
,
x
2
D
2
D
，x
3
D3
D
行列式引入图
a11 a31
a13 a23 a33 a11
a12 a32
b1 a13 a23 a33
a13 a23 a33
1 2
（练习1： 13 (2n 1)2n(2n 2) 42) 2n 2） (2n 4) 4 2 （ n(n 1)
2
练习2：求i，j使25i4j1为偶排列。解：6元排列使i、j只能取3或6；由于 253461 ) 7， 256431 ) 10 （（（偶数）所以，i=6,j=3。练习3: 若 j1 j2 jn ) s，求 jn jn1 j1 ) （（解：a. 若j1 j2 jn都是顺序，则 jn 对换到j1前的逆序数为n 1; jn 1对换到j1前的逆序数为n 2, , 依此类推，得到逆序数为
Dn a21 an1 a22 a2 n

j1 j2 jn
(1)
an 2 ann
( i1i2 in ) ( j1 j2 jn )
ai1 j1 ai2 j2 ain jn ai11 ai2 2 ain n
2. n阶行列式的特点（1）一般项：取自不同行列的n个元素之积；（2）各项下标：使行标自然序，则列标为n元排列，共有n!项，奇偶排列各半；（3）各项符号：列下标奇排为负，偶排为正。 3. n阶行列式的定义

线性代数第一章ppt

线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量a和b，存在唯一的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的应用，例如机器学习、图像处理、数据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax=λx来计算特征值和特征向量。这种方法适用于较小的矩阵，但对于大规模矩阵来说效率较低。

Mqfiul2011年考研数学线性代数打印资料

|||生活|一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..|-----郭敬明线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。

换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。

我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。

我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

系数矩阵和增广矩阵。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。

阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。

换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。

线性代数1a

0 a2 0
22
线性代数
第一章 n阶行列式
第二节 n阶行列式的性质
定理1.2 对任意 n 阶行列式 D ，总可以经过若干次行倍加运算化为上三角行列式，也可以经过若干次列倍加运算化为上三角行列式．例8 证明 r s 阶准上三角行列式的结果。
a11 a1r a r1 a rr D 0 0 0 0 c11 c1s c r1 b11
a11 as1 as' 1 an1 a12 a1n ' as 2 as' 2 asb asn an 2 ann
a11 as1 an1
a12
a1n
a11
a12
a1n
as 2 asn as' 1 an1 an 2 ann
a12 a11 a22 a21 , x2 a12 a11 a22 a21
b1 b2 a12 a22
线性代数
第一章 n阶行列式
第一节 n阶行列式的定义
定义1.2 九个数排成三行三列的方形数表，加上记号“| |”，表示一个三阶行列式：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
x1
b1a22 b2 a12 b a b a , x2 2 11 1 21 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
4
线性代数
第一章 n阶行列式
第一节 n阶行列式的定义
定义1.1 四个数排成二行二列的方形数表，加上记号“| |”，表示一个二阶行列式 a11 a12 ，其值为 a11a22 a12a21 ，即 a21 a22
的值也可同理求得。

兰大《线性代数》一

线性代数一一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.设行列式|1212k 0110|，则k 的取值为（ C ）A. -1B.0C. 2D. 12.设k 为不为零的实数，则k ×|1234|=（ B ） A.|1k 234| B.|1k 2k 34| C.|1k 2k 3k 4| D.|1k 2k 3k 4k|3.设矩阵A=[-1 2]，B=[1 -1]T ，则AB=（ D ）A. 1B. -3C. [-2]D. [-3]4.对任意n 阶方阵A 、B ，总有（B ）A. AB=BAB.|AB|=|BA|C. (AB)T =A T B TD. |A T |=-|A|5.矩阵A=[143286012] 的秩为（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知A 是三阶矩阵，则|-2A|=（C ）A. -2|A|B. -6|A|C. -8|A|D. 6|A|7.当k=（ B ）时，方程组{kx1+x2+x3=02x1+x2+x3=0x1−x2+3x3=0有非零解A. 1B. 2C. 3D. -18.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，1，0，则|A+E|=（ B ）A. 3B. 6C. 9D. 129.若A 和B 相似，则下列说法错误的为（ B ）A. A 与B 等价B. A 与B 合同C. |A|=|B|D. A 与B 有相同的特征值10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，3，0，则（ A ）A. A 正定B. A 半正定C. A 负定D. A 半正定二、填空题（每空2分，共10分）1. |311131113|=（ 45 ）2. A= [23−1312]，B=[−12342−1]，A-B=（ [31−4−1−13] ）3. 设向量（2,4,-1）与（-2，k,1）线性相关，则k=（ -4 ）4. 设矩阵A=[101210010]，已知α=[121]是A 的一个特征向量，则α所对应的特征值为（2）5矩阵A=[10202020−3]所对应的二次型X T AX=（ x 2+2y 2-3z 2+4xz）三、简答题（每小题10分，共40分）1.通过对线性代数的学习，请谈谈对矩阵和行列式的理解。

线性代数中国农业出版社郑大川吴瑞武主编课后答案

线性代数中国农业出版社郑大川吴瑞武主编课后答案线性代数第一章第一节 1. 求排列的逆序数（1）321)2)(1( --n n n （2）n n 2246)12(135 -，（3）531)32)(12(642)22(2 ---n n n n解：（1）在排列(1)(2)321n n n -- 中，1的左边比它大的数有1n -个，故1的逆序数为1n -；2的左边比它大的数有2n -个，故2的逆序数为2n -个，……，1n -的左边比它大的数有1个，故1n -的逆序数为1；4的左边比它大的数有1个，故4的逆序数为1；1的左边比它大的数有4个，故1的逆序数为4。

所以，排列321)2)(1( --n n n 的逆序数：(1)((1)(2)321)(1)(2)3212n nn n n n n τ---=-+-++++=(2) 135(21)n - 的逆序数为0，2462n 的逆序数为0，2的左边比它大的数有1n -个，4的左边比它大的数有2n -个，……，22n -的左边比它大的数有1个，所以排列n n 2246)12(135 -的逆序数：(1)(135(21)2462)(1)(2)3212n nn n n n τ--=-+-++++=(3) 2(22)642n n - 的逆序数为(1)2n n -，(21)(23)531n n -- 的逆序数为(1)2n n-，21n -的逆序数为1，23n -的逆序数为2，……，1的逆序数为n ，所以，(2(22)642(21)(23)531)n n n n τ---(1)(1)2(1)53((1)(2)321)2222n n n n n n n n n n n ----=+++-+-++++=+= 2.写出四阶行列式中含有2311a a 的项。

解：121234()1234(1)n p p p p p p p D a a a a τ⋅⋅⋅=-∑，含有2311a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a ，(1324)0101τ=++=，(1342)0022τ=++=，所以，四阶行列式中含有2311a a 的项为 1123324411233442a a a a a a a a -+。

《线性代数》第1章习题详解

一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253；（2）3712456；（3）57681234；（4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列（4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－（2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－（3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？解因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解（1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明（1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。

线性代数(1)

(除1之外)
4前面比4大的数有n 2个
2(n 1)前面比2(n 1)大的数有1个 : 2n 1 •

(除1,3之外)
(135 (2n 1)246 2n) 1 (n 1) (n 2) 2 1 0 n(n 1) 2
例2：求i,j。使排列3972i15j4是偶排列解:由定义:i,j只能取6,8两个数当i=6 τ
a11a22 a33 a21a32 a13 a31a12 a23 a13a22 a31 a23a32 a11 a12 a21a33
（展开式）
对角线展开法则：主对角线的元素乘积之和减去次对角线元素乘积之和
注意：1.对角线法则只适用二阶、三
阶行列式。 2.展开式的每一项都是由不同的行，不同的列的元素相乘而得的。 3.符号规律：主对角线方向为正，次对角线方向为负。换个说法，当行标按自然数排列排好后，列标为偶排列取正号，列标为奇排列取负号。

为奇数时，称为奇排列
( j1 j2 jn )
公式
=kn+kn-1+…+k2
其中kn是第k个数前面比它大的数的个
数。注意：由定义可知，一个n元排列的逆序数的计算方法：先算出jn前面比jn大的数kn。然后数出jn-1前面比jn-1大的数 kn-1……。从后向前，用类似方法计算
(行标按自然排列)
τ
(52143)=2+1+2+1=6
∴选(D)

例7
下列各项，哪些是五阶行列式
a11 a 21 a 51 a12 a 22 a 52 a15 a 25 a 55
的项？若是，决定该项的符号：（1）a13a25a32a41a54 （2）a31a12a43a52a24 （3）a43a21a35a12a54 （4）a21a42a53a14a25 解：（2），（4）不是五阶行列式的项而（1），（3）是五阶行列式的项（1）的符号为正号，（3）的符号为负号

2011年自考线性代数真题

全国2010年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A T表示矩阵A 的转置，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式（）A.32 B.1 C.2D.382.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（）A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ 3 =（）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡96642621 D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2011年考研数学线性代数考点分析-姜亚健

2011年考研数学线性代数考题特点分析万学教育·海文考研---姜亚健2011年考研已经落下帷幕，对考研数学线性代数的解析也已初步完成，想必参加考试的同学对自己的成绩都非常的关心，而计划2012年参加考研的考生则更关心今年考试的难度、考点等一些试卷的概况。

下面就今年线性代数的概况做一下分析：首先从整体上来看一下今年的线代试题。

应该可以这么说，线性代数在数一、数二和数三中的考试内容基本一致，2011年的考题中除了客观题目有一点区别，两个大的计算题是完全一样的。

事实上，2011年线性代数数一、数二和数三的考研大纲也是基本一致的，唯一不同的是数一多要求了一个向量空间。

今年的考研线代题给我们的整体感觉是计算量不大，难度也不大。

线性代数具有这样一个特点，它的各个章节彼此联系，这样的特点反应到考研中就是出题人极容易出一题多点的题，事实上今年的考研线代题出题人也是这样出的。

线性代数是一个整体，所以考生们在复习的时候一定要注意了，要将各个知识点联系起来理解，只有这样才能将线性代数复习考。

下面我们来说说两个大题，数一、数三就是第20、21题，数二是22、23题。

首先来看第一个线性代数的大题。

这是一个有关线性表出的题，这个题不难，如果我没有记错的话，海文的VIP讲义上面有类似的题，那个题我们是作为基础题来讲解的，我想对于认真听讲的学生做这个题是绝对没有问题的，因为今年考得这个题比我们在讲义上讲的那个题还要简单。

本题主要考查的是线性表出与线性方程组之间的关系，线性表出问题转化为方程组的求解问题。

第一问可以根据以方程组无解的条件求得，也可以通过方阵的秩或者行列式求解，这也是本题比海文VIP讲义上的例题简单的一个原因，有多种解法。

下面我们来看一下后面那个大题，这个题考查实对称矩阵的相似对角化的基本知识点。

其实这个题也很简单，-1，1这两个特征值及其他门对应的特征向量的求解比较简单，要说称的上这个题的难点的是那个0特征值的特征向量的求解。

线性代数第一次作业

学号：______________ 班级：______________ 姓名：______________第1次作业一. 填空题1、排列25431的逆序数为 7 ，为奇（奇偶）排列；2、排列217986354的逆序数为 18 为偶（奇偶）排列；3、行列式4253-= 22 ；4、设a,b 为实数，则当a= 0 ,b= 0 时10100---a b ba=0。

二、选择题1、若44535231a a a a a j i 是五阶行列式中带有正号的一项，则i ，j 的值为：（ C ）（A ）i=1，j=3； (B) i=2，j=3； (C) i=1，j=2； (D) i=2，j=1。

2、下列各项中为某五阶行列式中带有正号的项是：（ D ）（A ）5541324413a a a a a ；（B ）；5415413221a a a a a （C ）5214432531a a a a a ；（D ）5344223115a a a a a 。

三、利用对角线法则计算下列行列式：1、ba b a ab a --+2； 2、412153231-；解：)()2)((b a a b a b a D ---+= 解：1*3*22*1*34*)5(*1++-=D222b ab a -+= 251*1*14*3*32*)5(*2-=----3、ba c a c bcb a 。

解：222b ac cba bac acb D ---++=2223c b a abc ---=四、解下列方程：1、421x =0； 2、xx--211111111=0。

解：方程左端行列式x D 24-= 解：方程左端行列式由024=-x ，解得2=x -++--=11)2)(1(x x Dx x x x -=----21)2()1( 由02=-x x ，解得10==x x 或五、求排列1，3，)2(,,4,2),12(,n n ΛΛ-的逆序数。

线性代数第一章第一节PPT课件

01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩阵中的每一行可以看作是一个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切相关的概念，矩阵可以看作是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、分配律等。
向量可以用有向线段、坐标系中的点或有序数对来表示。
向量有大小和方向两个基本属性，大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示二维数组。

线性代数第一次答疑

线性代数第一次语音答疑答疑提纲一、关于课程自学线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量。

这三种对象在一定情况下可以相互转化。

熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。

也是大家应该掌握和熟悉的。

三种对象表述问题的形式不同，视角也不同，向量偏向于从整体性和结构性考虑方面来考虑问题，矩阵则是更易于表示和操作的方式，而线性方程组则是一种更为直观、清楚地表示方式。

大家掌握矩阵、方程组和向量其中的的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易。

在学习的过程中，大家对书中的一些定义定理及重要结论，首先记忆、在记忆的基础上理解、通过做题练习来巩固所学。

不能硬背，数学课程的考试不会纯考概念、定理的证明等，一定是在具体的题目中应用这些概念。

因此大家一定要多动手练习，同一类型的题目反复练习，做到熟能生巧。

二、课程资源教材课本《线性代数》杨荫华著这本书是我们课程的主要教材，大家需要认真阅读，弄懂书上面的定义、定理，能够独立做出书上面的例题，对于课后主要习题认真练习。

完成这些，线性代数基本上就学的不错了。

课程录像自学时可以参照课程录像学习，关于课程录像的下载地址，找相关老师询问。

课程论坛，上面公共课程->线性代数板块这是我跟大家沟通交流的主要场所，大家在学习中遇到什么问题可以在论坛上提出来，我会帮大家进行解答。

面授课这是根据大纲的内容来对课程做一个讲解，对于北京地区的的学生，有时间希望大家周六上午尽量来北大听课，本学期有五次面授课程，听课之前最好做好预习，课上有问题可以随时提问，这样效率也会比较高。

作业作业希望大家一定要独立完成，弄懂作业中的问题，学会举一反三，灵活运用。

三、课程主要内容《线性代数》书本总共七章，学习范围是前六章，考试范围是前五章，重点是行列式计算，线性方程组求解，线性相关与无关，矩阵的计算及矩阵逆的求法。

行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

段正敏主编《线性代数》习题解答教学教材

段正敏主编《线性代数》习题解答线性代数习题解答1张应应胡佩2013-3-1目录第一章行列式 (1)第二章矩阵 (22)第三章向量组的线性相关性 (50)第四章线性方程组 (69)第五章矩阵的相似对角化 (91)第六章二次型 (114)附录：习题参考答案 (129)1教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。

第一章行列式1．填空题：（1）3421的逆序数为 5 ；解：该排列的逆序数为00235t =+++=. （2）517924的逆序数为 7 ；解：该排列的逆序数为0100337t =+++++=. （3）设有行列式2311187001234564021103152----=D =)(ij a ∆，含因子543112a a a 的项为 -1440，0 ；解：(23154)31223314554(1)(1)526831440t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=-(24153)41224314553(1)(1)506810t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=所以D 含因子543112a a a 的项为-1440和0.（4）若n 阶行列式=-∆==∆=)(,)(ij ij n a D a a D 则()1na -；解：行列式D 中每一行可提出一个公因子1-，()()()1()1nnij ij D a a a ∴=∆-=-∆=-.（5）设328814412211111)(x xx x f --=，则0)(=x f 的根为 1，2，-2 ；解：()f x 是一个Vandermonde 行列式，()(1)(2)(2)(21)(22)(21)0f x x x x ∴=--+-----=的根为1，2，-2.（6）设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式=132213321x x x x x x x x x 0 ；解：根据条件有332123123123()()()()x px q x x x x x x x x x x x ax x x x ++=---=-+++-比较系数可得：1230x x x ++=，123x x x q =-再根据条件得：311322333x px q x px q x px q⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩ 原行列式333123123123=3()33()0x x x x x x p x x x q q ++-=-++--⋅-=. （7）设有行列式100132x x x -=0，则x = 1，2 ；解：2231032(1)(2)001x x x x x x x -=-+=--=1,2x ∴=.（8）设=)(x f 444342343331242221131211a a a xa a x a a x a a xa a a ，则多项式)(x f 中3x 的系数为 0 ；解：按第一列展开11112121313141()f x a A a A a A xA =+++，112131,,A A A 中最多只含有2x 项，∴含有3x 的项只可能是41xA()()12134141222433343123413242233132234122433(1)a a x xA x a x a xa a x x a a a a a a x a a a a a a +=-⎡⎤ =-++-++⎣⎦41xA 不含3x 项，∴()f x 中3x 的系数为0.（9）如果330020034564321x =0，则x = 2 ；解：12346543122(512)(63)000265330033xx x =⋅=--= 2x ∴=.（10）000000000000dc ba = -abcd ；解：将行列式按第一行展开：1400000000(1)0000000000a b b a cabcd cdd+=⋅-=-. （11）如果121013c b a =1，则111425333---c b a = 1 ；解：1323323133301302524121111111Tr r AA r r a a b c a b c b c -=+---=.（12）如333231232221131211a a a a a a a a a =2，则333232312322222113121211222222222222a a a a a a a a a a a a ---= -16 ， 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------= -4 ，3212000332313322212312111a a a a a a a a a= -4 ；解：1112131121312122231231222321233132331323332T a a a a a a A a a a A a a a a a a a a a αααβββ======()()1112121332122222312231223313232331221232222222222222222288016a a a a a a a a a a a a A αααααααααααααα--=-=-- =+-=-=-()1121112131122212223212123121231323132333122311232323232323232a a a a a a a a a a a a a a a ββββββββββββββββββ----=--=---- =-+-- =()1223122123224T A ββββββββββ-=- =-=-11213114122232132333000212423T a a a A a a a a a a + ⋅=-按第一行展开（-1）.（13）设n 阶行列式D =0≠a ，且D 中的每列的元素之和为b ，则行列式D 中的第二行的代数余子式之和为=ab；解：11121111211112121222121212111=n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a ab b b ba a a a a a a a a 每行元素加到第二行()212220n b A A A a+++=≠按第二行展开∴212220,0n b A A A ≠+++≠且 21222n a A A A b∴+++=实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和12,1,2,,i i in aA A A i n b+++==.（14）如果4443423433322423221413121100a a a a a a a a a a a a a =1，则2423121144434234333224232200a a a a a a a a a a a a a = -1 ， 443424433323423222a a a a a a a a a =111a ；解：令222324323334424344a a a B a a a a a a =，则 111213142223241111113233341142434401(1)10,000a a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-= ⇒ ≠=≠且 2223243233344111114243441112232400(1)10a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-=-=-223242233343112434441T a a a a a a B B a a a a ===. （15）设有行列式1001321x x -，则元素1-的余子式21M =231x ，元素2的代数余子式12A（16）设3214214314324321=D =)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则=+++44342414432A A A A 0 ；解：方法一：14243444234A A A A +++可看成D 中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为0.方法二：11424344412312342234034134124A A A A +++=推论.（17）设cdb a a cbda dbcd c b a D ==)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则=+++44342414A A A A 0 ；解：1424344411011a b c c b d A A A A dbc a bd +++=推论4.（18）设600000000000200023002342345)(x x xx x x f --=，则5x 的系数为 6 ；解：方法一：54255254320543243200432032000()66(1)(1)632002000020000000000006x x x xx f x x x x x x x x ⨯--===⋅-⋅-⋅=--方法二：()f x 只有一项非0()()54321615243342516610255543204320032000()12000000000000006(1)(1)66t x x x f x a a a a a a x x x x -∴==-- =-⋅-⋅⋅=综上所述：5x 的系数为6.（19）设111212122212111211112121222212221212m m m m mm n m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =，且111212122212m m m m mma a a a a a a a a a =111212122212n n n n nnb b b b b b b b b b =，则D =()1mnab - ；解：方法一：令111212122212m m m m mma a a a a a A a a a a ==，111212122212n n n n nnb b b b b b B b b b b ==则1A O D A B ab CB==⋅=,()()211mnmnO AD A B ab B C==-⋅=-证明：根据行列式性质2和5，将行列式A 变成下三角行列式，得到：11112121222212121212m m m m m mmm m ma a a a a a a a a A a a a a a a a a a a '====''行列式1D 、2D 的变换和行列式A 的变换完全相同，得到：1212121111211112121222212221212m m m m n m n n n nm n n nna a a a a a D c c cb b bc c c b b b c c c b b b '''='''''''''1212122111211112121222212221212m m m n m n m n n nnn n nm a a a a a a D b b b c c c b b b c c c b b b c c c '''='''''''''分别将1D 、2D 第一次按第一行展开（2a 变成第一行），第二次按第二行展开（3a 变成第一行），……，总共进行m 次第一行展开，得到：112m D a a a B A B ab ==⋅=；()()()()()11111121211111n n n mn mnm D a a a B A B ab ++++++=-⋅--⋅=-⋅⋅=-证毕.方法二：设()ij m m A a ⨯=，()pq n n B b ⨯=，()()()ij m n m n A O D d C B +⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭其中：(), 1:,1:, 1:,1:,, , 1:,1:, ij ij pq pja i m j m db i m m n j m m n p i m q j mc i m m n j m p i m ==⎧⎪==++=++=-=-*⎨⎪=++==-⎩那么：()(){}{}1111111,,,,1,,1m m m n m m m n m n t p p p p p mp m p m n p p p m n A OD d d d d C B +++++++=+==-∑()()()()(){}{}{}{}()()()(){}{}{}{}()(){}{}()(){}11111111111111111111,,1,,,,1,,11,,1,,,,1,,11,,1,,,,11111m n m n m m n n m n m m n n m n m m t p p m l m l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l a a b b a a b b a a b b *++=====-⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由{}1,,n A B ab=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=⋅=∑1112121222122111211112121222212221212m m m m mmn m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =2D 中m a 依次与12,,,n b b b 对换，使得m a 在n b 下面；()1m a - 依次与12,,,n b b b 对换，使得()1m a - 在n b 下面，在m a 上面；……1a 依次与12,,,n b b b 对换，使得1a 在n b 下面，在a 2 上面；总共进行了mn 次对换。

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《线性代数（一）》2011年下半年第一次作业
一.填空题（4x6=24分）
1.计算3阶行列式
2
311273
8
2
-=- 。

2.已知排列1r46s97t3为奇排列，则r ，s ，t 的取值分别为。

3.用行列式的性质计算：=++
+1
11
c
b
a b a
c a c
b 。

4.设A 为3阶方阵，而且
9A =-，
则
=
A A T
；
*
A A
= ；
=
*
*
)
(A ；
1
*
4A
A
--=
.
（注：*
A 为A 的伴随矩阵.） 5.设11140012
5A
B ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，, 则
=
AB ；
T
B A =
；=
2
A
；n
A
=。

6. 设
2
()53p t t t =-+与矩阵3
162A -⎛⎫=
⎪-⎝⎭
，则2
2()53p A A A I =-+= 。

二.选择题（4x9=36分） 1.
120
2
1
k k -≠-的充分必要条件是（）。

A 、1k ≠-
B 、3k ≠
C 、31k
k ≠≠-且
D 、31k k ≠≠-或
2、如果11
1213
21
222331
32
33
1a a a D
a a a a a a ==，1D =1131
1232
1333
31323321
22
23
441631228652015a a a a a a a a a a a a +--+---，那么
1D =（）。

A 、80
B 、-120
C 、120
D 、60
3.如果30
40
50x ky z y z kx y z +-=⎧⎪
+=⎨⎪--=⎩
有非零解，则（）
A 、01k k ==或
B 、01k k ==-或
C 、11k k ==-或
D 、31k k =-=-或
4.设c
d
b
a
a c
b d a d b
c
d c b a D =
4
，则=
+++44342414
A A A A ( )。

A 、0;
B 、1；
C 、2()a b c d +++
D 、22
2
2
2
()
a b c d +++.
5.设,(2)A B n n ≥为阶方阵，则必有（）.
A 、A
B A B +=+ B 、A B B A =;
C 、
A
B B A =; D 、
BA
AB =.
6．设,,A B A B +以及1
1
A
B
--+均为n 阶可逆矩阵，则1
1
1
()
A
B ---+等于（）
A 、11
A B
--+
B 、A B +
C 、1
()A A B B -+ D 、1
()A B -+
7.设A 是s p ⨯的矩阵，B 是n m ⨯的矩阵，如果B AC T 有意义，则C 是（）矩阵.
A 、n p ⨯
B 、m p ⨯
C 、
s
m ⨯ D 、
m
s ⨯.
8．设A 为n 阶对称可逆矩阵，则以下哪一项错误（）
A 、11
()()
T T
A A
--= B 、1
T
A A
-=；
C 、|
|||T
A A =; D 、T A 可以表示为一些初等矩阵的乘积
9．下列矩阵中与矩阵1111
2123
5A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭同秩的矩阵是（） A 、 ()3
4
7 B 、2
401
5
1⎛⎫
⎪-⎝⎭
C 、1302
1240
1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ D 、21142213
5⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
三．（8分）计算行列式：
1211
211211231
2
3
n n n n n n n n
x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x
---……………………………
四．（8分）若齐次线性方程组
(3)1420
2(8)023(2)0x y z x y z x y z λλλ+++=⎧⎪
-+--=⎨⎪--+-=⎩
有非零解，求λ的值。

五．（8分）设
.,221743
531
X X A ，AX A 求矩阵-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=
六．（8
分）设.2)(21
321
211
=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=A R k ，k k A 为何值时问
七. (8分) 设B A ,为n 阶方阵，若B
A AB
+=,证明：E
A -
可逆，且BA AB =.。