2011年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)word版
2011年高考四川卷理科数学(WORD版)及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5) 2 [15．5,19．5) 4 [19．5，23．5) 9 [23．5,27．5) 18 [27．5，31．5) 1l [31．5，35．5) 12 [35．5．39．5) 7 [39．5,43．5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5)的概率约是 (A)16(B )13(C)12（D ）23答案：B解：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==．2．复数1i i-+=(A )2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i答案：A 解：12i i i i i-+=--=-3．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥1l ⇒∥3l （B ）12l l ⊥，2l ∥3l ⇒13l l ⊥ (C) 1l ∥2l ∥3l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B解：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= (A)0 (B)BE (C)AD(D )CF答案D解：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 5．5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B )必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B解：连续必定有定义，有定义不一定连续．6．在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 (A)(0，6π] (B)[6π，π) (C )(0，3π] (D) [3π，π)答案：C解：由题意正弦定理22222222211cos 023b c aa b c bc b c a bc A A bcπ+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是答案：A解：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域． 当10,0()1,122xx y ><<⇒<<，故选A8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ ．若则32b =-，1012b =，则8a =（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 答案：B解：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 答案：C解：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =．10．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x=的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 答案：A解：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a k a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)ba =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）32 答案：D解：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n n n f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-12．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn = （A ）415（B ）13（C ）25（D ）23答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) 其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3) 其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5) 其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5) 其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．计算121(lg lg 25)100=4--÷ ．答案：20- 解：12111(lglg 25)100lg20410010--÷=÷=-14．双曲线22xy=1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 ．答案：16解：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为20，所以205164c d da==⇒=15．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 ．答案：22R π解：22222max 224()S r R r r R r S ππ=⋅-=-⇒侧侧时，22222222Rr R r r r R =-⇒=⇒=，则222422R R R πππ-=16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称函数()f x 为单函数．例如，函数()21f x x =+（x R ∈）是单函数．下列命题： ①函数2()f x x =（x R ∈）是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若f ：A B →为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 答案：②③解 ：①错，12x x =± ;④错()f x 在某区间上具有单调性，不一定在整个定义域上单调．故②③正确．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题共12分）已知函数73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识及基本运算能力 ，函数与方程、化归与转化等数学思想． 解：(Ⅰ) 7733()sin coscos sincos cossin sin4444f x x x x x ππππ=+++2sin 2cos 2sin()4x x x π=-=-m ax 2,()2T f x π∴==（Ⅱ）因为4cos()cos cos sin sin (1)5βααβαβ-=+=4cos()cos cos sin sin (2)5βααβαβ+=-=-又0cos 022ππαβββ<<≤⇒=⇒=cos cos 0αβ= 2()2(())20f f ββ∴=⇒-=18．（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ；本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等到概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅=则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=(Ⅱ)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅= 故ξ的分布列为 ξ0 2 4 6 8P18516 5163161165591784822E ξ=+++=19．(本小题共l2分)如图，在直三棱柱AB-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA ． (I)求证：CD=C 1D ；(II)求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值； (Ⅲ)求点C 到平面B 1DP 的距离．本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．解：：（I ）连接1B A 交1BA 于O ,1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D O D ⊂= 1面面面BA1//B P O D ∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中点，1C ∴1为A P ,1AC D PC D ∴∆≅∆1C D C D ∴=,D 为1C C 的中点．（II ）由题意11,AB AC AB AA AB C C ⊥⊥⇒⊥1面AA ,过B 作AH AD ⊥,连接B H ，则BH AD ⊥,AH B ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D ∆中，11551,,22AA AD A D ===,则25253525,,cos 553355AH AH BH AH B BH==∠===(Ⅲ)因为11C B PD B PC D V V -=，所以1111133B P D PCD h S A B S ∆∆⋅=⋅,111A B =11111244P C D P C C P C D S S S ∆∆∆=-=-=,在1B D P ∆中，11119553525544,5,.cos ,sin 32255252B D B P PD DB P DB P +-===∠==∠=⋅⋅，1135315,22543B PD S h ∆∴=⋅⋅⋅==解法二：如图，以1A 为原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系111A B C A -，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ．（Ⅰ）设1C D x =，A C ∥1PC ，111C P C D x A CC Dx∴==-．由此可得(0,1,)D x ，(0,1,0)1x P x+-，1(1,0,1)A B ∴= ，1(0,1,)A D x ∴= ，1(1,1,0)1x B P x=-+-．设平面1BA D 的一个法向量为1(,,)n a b c =，则111100n A B a c n A D b cx ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ 令1c =-，则1(1,,1)n x =-．1PB ∥平面1BA D ， 111(1)(1)(1)001x n B P x x∴=⨯-+⋅++-⨯=-由此可得12x =，故1C D C D =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面1BA D 的一个法向量为11(1,,1)2n =- ，又2(1,0,0)n =为平面1A A D 的一个法向量．12121212cos ,33||||12n n n n n n ∴<>===⨯．故二面角1A A D B --的平面角的余弦值为23．（Ⅲ）1(1,2,0)PB =- ，1(0,1,)2P D =-设平面1B D P 的一个法向量为3111(,,)n a b c =， 则31111312002n PB a b c n PD b ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩令11c =，可得31(1,,1)2n = ．又1(0,0,)2D C = ，C ∴到平面1BD P 的距离33||13||D C n d n ==．20．(本小题共12分) 设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n n n n n n a C d C dn C dnC d n N n--=+++-+∈(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设*()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力,分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想．解：（Ⅰ）由已知可得2123,(1),(1)a d a d d a d d ==+=+．当n ≥2，k ≥1时，因为11kk nn k CCn--=，所以111111(1)nn nk kk kk kn n nn n k k k k a C dCdd C dd d n----=======+∑∑∑由此可见，当1d ≠-时，{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列； 当1d =-，11a =-，0n a =（n ≥2），此时{}n a 不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(1)n n a d d -=+，从而21(1)n n b nd d -=+20212221(1)2(1)3(1)(1)n n S d d d d d d nd d -=++++++++20121[(1)2(1)3(1)(1)]n d d d d n d -=++++++++ ①当1d =-时，21n S d ==．当1d ≠-时，①式两边同乘以1d +得2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)]nn d S d d d d n d +=++++++++ ②由②-①得：2221(1(1))[(1)()(1)1(1)nn n n d dS d d n d d d n d d d ⋅-+=-++=+-+-+化得即得：1(1)(1)n n S dn d =+-+ 综上，1(1)(1)n n S dn d =+-+．21．(本小题共l2分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ． (I)当|CD | =322时，求直线l 的方程；(II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P O Q ⋅为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基础知识，考查平面解几何的思想方法及推理运算能力． 解：由已知可得椭圆方程为2212yx +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率．则1212222222212122242122(2)2101221222k y kx y y x x kk k x kx y k x x x y y k k ⎧⎧=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪+⎩+⎩2422221212222288889()()22(2)(2)2k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=±++l ∴的方程为21y x =+或21y x =-+为所求．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+，(01)k k ≠≠±且，所以P 点坐标为1(,0)k-． 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由（Ⅰ）知12222k x x k+=-+，12212x x k=-+，直线A C 的方程为11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为12(1)1y y x x =--将两直线方程联立，消去y 得2112(1)11(1)y x x x y x ++=--．因为121,1x x -<<，所以11x x +-与21y y 异号．222222121122222121212(1)22(1)(1)(1)1()1(1)22(1)(1)(1)y x x x x x x x y x x x x x +-++++==⋅=------22222211122()211122k k k k kk k k --++-++==--+-+++． 又22121212222(1)(1)2(1)1()1221k k k k y y k x x k x x k k k -++-=+++==-⋅+++．11k k -∴+与12y y 异号，11x x +-与11k k -+同号，1111x k x k +-∴=-+，解得x k =-因此Q 点坐标为0(,)k y -，01(,0)(,)1O P O Q k y k=--=故O P O Q为定值．22．(本小题共l4分)已知函数21(),()32f x x h x x =+=(I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x x --=---(Ⅲ)试比较1001(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）由21()()()32F x f x g x x x =-=+-，（x ≥0）知，21()32F x x'=-，令()0F x '=，得916x =当9016x ≤<时，()0F x '<；当916x >时，()0F x '>；故当9[0,)16x ∈时，()F x 单调递减；当9(,)16x ∈+∞时，()F x 单调递增；所以916x =是其极小值点，且极小值为9()16F 18=．第11页（共11页） （Ⅱ）因为33(1)124f x x --=-,故原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-； 即2221log (1)log 4log 2x x a x -+-=- 等价于:10400(1)(4)x x a x x x a x->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩214(3)5x x aa x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ 故画出函数图象后,由方程与函数的思想,讨论得:(1)当14a <≤时,原方程有一解35x a =--;(2)当45a <<时,原方程有两解1,235x a =±-;(3)当5a =时,原方程有一解3x =;(4)当15a a ≤>或时,原方程无解．(Ⅲ) 由已知得10010011()k k h k k ===∑∑．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n g n =-，*()n N ∈． 从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341166k k k k k a S S k k -+-=-=--， 又1[(43)(41)1]6k a k k k k k -=----221(43)(41)(1)6(43)(41)11106(43)(41)1k k k k k k k k k k k k ----=-+--=>-+--则对任意的2100k ≤≤，有k a k >． 又因为111a ==，所以10010011k k k a k ==>∑∑，故10011(100)(100)()6k f h h k =->∑．。
2011年高考真题（河北省）——理科数学（河北省） Word版含解析
2011年高考全国卷I 理科数学试题详细解析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。
【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B .在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选D .22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
2011年高考理科数学安徽卷(word版含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试题分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1、 答题前，务必在试题卷，答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2、 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。
3．、． 答Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔记清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写．．．．．．．．的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4、 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么 锥体积V=13Sh, 其中S 为锥体的底面面积， P(A+B)=P(A)+P(B) h 为锥体的高如果事件A 与B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，复数2i ai i+-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 （B ）-2 （C ）12- （D ）12 （2）双曲线2228x y -=的实轴长是（Ａ）２ （Ｂ） （Ｃ）４ （Ｄ）（３）设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-，则()1f = （Ａ）－３ （Ｂ）－１ （Ｃ）１ （Ｄ）３（４）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ (5) 3π 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）（（6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）48（B ）32+8,17（C ）48+8,17（D ）50(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数（D ）存在一个不能被2整除的数都不是偶数 （8）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且SB Z ≠的集合S 为（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8 （9）已知函数()sin(2)f x x φ=+为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭（10）函数()()1n m f x nx x =-在区间[]0,1上的图像如图所示，则,m n 得知可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n ==(C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．．上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
郑州市2011年高中毕业年级第一次质量预测数学(理科)试题(含答案)(word典藏版)
郑州市2011年高中毕业年级第一次质量预测数学试题（理科）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数i R a iia ,(213∈-+为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ．2-B ．4C ．6-D ．62．若向量、满足1||||==b a ，且20)5()3(=+⋅+b a b a ，则向量、的夹角为A ．030B ．045C ．060D ．0903．已知集合}3,2{=A ，}06|{=-=mx x B ，若A B ⊆，则实数=mA ．3B ．2C ．2或3D ．0或2或34．若nxx )2(+的展开式中的第5项为常数，则=n A ．8B ．10C ．12D ．155．已知R a ∈，则“2>a ”是“a a 22>”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ，则=-b aA ．4-B ．1-C ．3D ．2-7．设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是A ．若α//a ，α//b ，则b a //B ．若α//a ，β//b ，b a //，则βα//C ．若α⊥a ，β⊥b ，b a ⊥，则βα⊥D ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则b a ⊥ 8．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3184=S S ，则=168S S A ．81 B ．31 C ．91D ．103正视图 侧视图俯视图9．右图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角 边长均为1，那么这个几何体的外接球的表面积为A ．πB ．π3C ．π4D ．π1210．将函数)46sin(π+=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中 心是A ．)0,2(πB ．)0,4(πC ．)0,9(πD ．)0,16(π11．已知双曲线的方程为)0(12222>>=-b a by a x ，它的一个顶点到一条渐近线的距离为c 32（c 为半焦距），则双曲线的离心率为 A ．3或26 B ．26 C ．773D ．312．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是A ．多于4个B ．4个C ．3个第Ⅱ卷（非选择题 共二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共2013为81，则输入的实数x 值为 ． 14．已知2tan =α，计算αα2tan 2cos 1+15．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤---≥≤032y x x y x y 示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为 ．16．已知抛物线x y 42=的焦点为F ，△ABC 三个顶点均在抛物线上，若。
高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案
广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 （ ） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （ ）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （ ）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。
2012年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)
绝密★启用前 试卷类型：A2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2012.2参考公式：如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()； 如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()； 若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．若(1i)i z =+（i 为虚数单位），则z 的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥，直线a c ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan()αβ+=A ．73- B ．73C ．57D ．14．执行图1的程序框图，如果依次输入函数：xx f 3)(=、x f sin )(=3)(x x f =、xx x f 1)(+=，那么输出的函数()f x 为A ．3xB ．sin xC ．3x D ．1x x+5．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．1图1NABCDM6．已知变量 x y ,满足约束条件23033010x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z y ax =-仅．在点(3,0)-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 A ．(3,5)B ．1(,)2 +∞C ．(1,2) -D ．1(,1)37．“2012”含有数字0, 1, 2，且有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且有两个相同数字的四位数的个数为 A ．18B ．24C ．27D ．368．设S 是实数集R 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有,a b S a b S +∈-∈，则称S 是一个“和谐集”．下面命题为假命题．．．的是 A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集”B ．对任意无理数a ，集合{},x x ka k =∈Z 都是“和谐集”C ．若21S S ≠，且12,S S 均是“和谐集”，则12S S ≠∅D ．对任意两个“和谐集”12,S S ，若12,S S ≠≠R R ，则12S S =R二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．π40cos xdx =⎰ ．10．某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图（如图2），其中成绩的范围是[50，100]，样本数据分组为[50，60），[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在)90,60[内的学生人数为 ．11．已知抛物线28y x =的准线l 与双曲线222:1x C y a-=相切，则双曲线C 的离心率e = ． 12．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎛⎫⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a = ．13．如图3所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面ABE ，已知2=AB ，3==BE AE ，且当规定主（正）视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左（侧）视图的面积为22．若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，则NB MN AM ++的最小值图2为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点π(1,)2P到曲线π:c o s(24lρθ+=上的点的最短距离为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，,A B是圆O上的两点，且O A O B⊥，2O A=，C为O A的中点，连接B C并延长交圆O于点D，则C D=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A xωϕ=+，x∈R（其中ππ0,0,22Aωϕ>>-<<），其部分图像如图5所示．（1）求函数()f x的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M、N、P都在函数()f x的图像上，求sin M N P∠的值．17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；图4DCO AB图5（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：18．（本小题满分13分）如图6，平行四边形A B C D 中，A B B D ⊥，2A B =，BD =BD 将B C D ∆折起，使二面角A B D C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？ （2）当A D B C ⊥时，求α的大小．ABDCOABCD图6如图7，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M N ，的任意一点，且直线,M P NP 分别与x 轴交于点R S ，，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．20．（本小题满分14分）已知函数d cx bxx x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ； （2）设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n nn a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）． （1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n n S n ， 2e n n T ->．2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．9．2；10． 90； 11．2； 12．259；13．3； 14． 15．三、解答题16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求 sin M N P ∠的值．解：（1）由图可知，1A = ， ………………………………………………………1分最小正周期428,T =⨯= 所以2ππ8,.4T ωω===…………………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<所以ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+==…………………5分所以π()sin (1)4f x x =+． ……………………6分 (2) 解法一: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin(11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin(51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分MN MP PN ===，从而3cos 5M N P ∠==-， ………………………………………………10分由[]0,πM NP ∠∈，得4sin 5M N P ∠==. …………………12分解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin(51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分 (2,1),(4,2)N M N P =--=-,6NM NP ⋅=-,N M N P ===则63cos 5N M N PM N P N M N P⋅-∠===-⋅ . ………………………10分由[]0,πM NP ∠∈，得4sin 5M N P ∠==. ……………12分【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关3看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++．解：（为56p =． …………………………………………2分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ，7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴25216125372252725121610=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． ……………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分kk k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． ……………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式有关”． ………………………13分 【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．18．（本小题满分13分）如图，平行四边形A B C D 中，A B B D ⊥，2A B =，BD =BD 将B C D ∆折起，使二面角A B D C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？（2）当A D B C ⊥时，求α的大小．解：（1）由题知O D 为C D 在平面ABD 上的射影，∵BD C D ⊥，C O ⊥平面ABD ，∴B D O D ⊥，∴O D C α∠=， ………………………2分111332C A OD A O D V S O C O D B D O C -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅ A BDC O BCDsin cos 66O D O C C D C D αα=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ………………4分sin 23α=⋅3≤， ……………………5分当且仅当sin 21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥O A C D -的体积最大，最大值为3． …………6分(2)(法一)连接O B ， ……………………7分 ∵C O ⊥平面ABD ，A D B C ⊥，∴AD ⊥平面B O C ，∴AD O B ⊥， ………………………9分 ∴90O B D A D B ∠+∠=︒， 故O B D D A B ∠=∠，∴R t A B D R t B D O ∆∆∽， ………………11分 ∴O D B D B DA B=，∴212BDO D AB ===， …………………………………………………12分在R t C O D ∆中，1cos 2O D C Dα==，得60α=︒(法二) 过O 作O E A B ⊥于E ，则O E B D 为矩形，以O 为原点，O E ，O D ，O C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则)0,2cos 2,2(),0,cos 2,0(),0,0,0(-ααA D O )sin 2,0,0(),0,cos 2,2(ααC B ， ………9分 于是)0,2,2(-=AD ，)sin 2,cos 2,2(αα--=BC ， ……………10分 由A D B C ⊥，得0=⋅BC AD ，∴0sin 20)cos 2(2)2()2(=⨯+-⨯+-⨯-αα， ……………………12分 得21cos =α，又α为锐角，∴60α=︒ ． ………………………………13分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． 19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；ABDCO（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,M P NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．解：（1）依题意，得2a =，2c e a==， 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214xy += ． ………………………………………3分（2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=． （*） ……………………4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴ 3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x ． ……………………………………6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ……………………8分方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM 3c o s 8c o s 5s i n )2c o s 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ． ……………………………………………………6分故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-，此时83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ……………………8分(3) 方法一：设),(00y x P ，则直线M P 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， ……………………10分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） ……………………11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，……………………12分 代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分 方法二：设(2c o s,s i n ),(2c o s ,M N θθθθ-，不妨设s i n0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαs i n s i n ±≠．则直线M P 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ，同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， …………………………12分故4sin sin )sin (sin4sin sin )sin cos cos (sin42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直 线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想． 20．（本小题满分14分）已知函数d cx bxx x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ； （2）设()g x =，0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）2()2f x x bx c '=++， ………………………………1分)()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．……2分 直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)， ∴(3)0f =，且(3)4f '=，即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-． …………………………………………4分 则321()33f x x x x =-+-． …………………………………………5分（2）22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩ ………………………………………7分 其图像如图所示． 当214x x -=时，12x ±=，根据图像得：（ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m -；（ⅱ）当122m <≤()g x 最大值为14；（ⅲ）当12m +>时，()g x 最大值为2m m -．10分（3）方法一：2()ln(1)2ln 1h x x x =-=-， (1)2ln hx t x t +-=-，(22)2ln 21h x x +=+，当[0,1]x ∈时，2121x x +=+，∴不等式2ln 2ln 21x t x -<+恒成立等价于21x t x -<+且x t ≠恒成立，由21x t x -<+恒成立，得131x t x --<<+恒成立，当[0,1]x ∈时，31[1,4]x +∈，1[2,1]x --∈--，∴11t -<<， ……………………………………………12分又 当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分 方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12∈+=x x y 的图像，其图像为线段AB （如图），t x y -=的图像过点A 时，1-=t 或1=t ，∴要使不等式21x t x -<+对[0,1]x ∈恒成立，必须11t -<<， …………………………………12分 又 当函数)1(t x h -+有意义时，x t ≠，∴当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分 方法三：2()ln(1)h x x =- ， ()h x 的定义域是{1}x x ≠，∴要使(1)h x t +-恒有意义，必须t x ≠恒成立，[0,1]x ∈，[0,1]t ∴∉，即0t <或1t >． ………………① …………………12分由(1)(22)h x t h x +-<+得22()(21)x t x -<+， 即223(42)10x t x t +++->对[0,1]x ∈恒成立， 令22()3(42)1x x t x t ϕ=+++-，()x ϕ的对称轴为23t x +=-，则有20,3(0)0t ϕ+⎧-<⎪⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0t t t +⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩或21,3(1)0tϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩ 解得11t -<<． ………………②综合①、②，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识． 21．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n n n a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n n S n ， 2enn T ->．解：（1）1e en n nn a a a +=+ ，11e e nn n a a +∴=+，即11111e enn n na a -+=+． …………………………………3分 令11en n nb a -=，则11+=+n n b b ，2111==a b ，因此，数列}{n b 是首项为2，公差为1的等差数列．11)1(2+=⋅-+=n n b n ， …………………………………5分1111e(1)en n n n a b n --∴==+． …………………………………6分（2）（方法一）先证明当*n ∈N 时，1e n n -≥．设1()e ,[1,)x f x x x -=-∈+∞，则1()e 1x f x -'=-，当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),1(+∞上是增函数，则当1≥x 时，01)(=≥）（f x f ，即1ex x -≥．………8分 因此，当*n ∈N 时，1e n n -≥，11111(1)e(1)1n n a n n nnn -=≤=-+++， …………9分当*n ∈N 时，1e n n +<，(21)1111e(1)ee en n n nn a n ----=>=+⋅． …………………10分1111)111()3121()211(21+=+-=+-++-+-≤+++=∴n n n n na a a S n n ．…………………………12分2135(21)[13521)]123eeeeeen n nn n T a a a a ----+-++++--∴=⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅== （．………………………14分（方法二）数学归纳法证明（1）2111==a S ，211=+n n ，∴当1=n 时，1+≤n nS n 成立；2111==a T ，21e e n -=，又e 2> ，112e∴>， ∴当1=n 时，2e nn T ->成立． ……………………………………………8分（2）设k n =时命题成立，即1+≤k k S k ，2e kk T ->，当1+=k n 时，1111(2)e k k k kk S S a k k ++=+≤+++，要证211++≤+k k S k ， 即证111(2)e2kk k k k k ++≤+++，化简，即证e 1kk ≥+． …………………………9分设()e 1,0,)x f x x x =--∈+∞（，则()e 1xf x '=-， 当0>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),0(+∞上是增函数，则当0≥x 时，00)(=≥）（f x f ，即e 1xx ≥+． 因此，不等式e 1kk ≥+成立，即当1+=k n 时1+≤n n S n 成立． …………………11分当1+=k n 时，22111ee (2)e2k kkk k k kT T a k k ---++=⋅>⋅=++，要证2(1)1ek k T -++>， 即证22(1)ee2k kk k ---+>+，化简，即证1e 2k k +>+． 根据前面的证明，不等式1e2k k +>+成立，则1+=k n 时2e nn T ->成立．由数学归纳法可知，当*n ∈N 时，不等式1+≤n nS n ，2e nn T ->成立．……………14分 【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识，考查学生的构造数列和函数解决问题的意识，考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识．。
2011年高考理科数学试卷(及答案)_全国卷(word版)[1]1
![2011年高考理科数学试卷(及答案)_全国卷(word版)[1]1](https://img.taocdn.com/s3/m/526dfd11866fb84ae45c8d1b.png)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x =≥(C)()24y xx R =∈ (D)()240y xx =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22(B)33(C)63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)试题参考答案及评分标准(word版)
2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照 评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部 分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.题号答案1A 2C 3B 4C 5B 6A 7B 8D二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题5 分，满分 30 分．其中 14～15 题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第 10 小题写对一个答案给 3 分. 9. 32514.10. x 115. 2 32y 2 2 9211. 33 12.313. 10三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分 12 分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解:f x 2sin x cos x cos2xsin2x cos2x22 2 sin 2x2 2 cos 2x考查化归与转化⋯⋯ 1分 ⋯⋯ 2 分2 sin 2x4 .⋯⋯ 3 分∴当 2x 2k ,即 xk (k Z ) 时,函数 f x 4 28 取得最大值,其值为 2 .⋯⋯ 5分(2)解法 1:∵ f82 3, ∴ 2sin 22 32. ⋯⋯ 6 分1∴ cos 2 .3∵ 为锐角，即 0 ,2∴sin 2 1 cos22∴ tan 2∴ sin 2cos 22 ∴ 02 . 2 2⋯⋯ 7分.⋯⋯ 8分 32 .⋯⋯ 9 分⋯⋯ 10 分2 tan 21 tan2 2 2 . ∴ ∴2 tantan 2 0. 2 tan1 tan 20 .∴tan∴tan222 2或 tan 2 (不合题意,舍去)⋯⋯ 11分.⋯⋯ 12分解法 2: ∵ f∴ cos2 .3 2 8 1 2 3 , ∴ 2sin 2 2 32. ∴2cos 1 . 3∵ 为锐角，即0 ,2∴ cos6 3.1⋯⋯ 7 分⋯⋯ 8 分⋯⋯ 9 分2∴ sin 1cos33. ⋯⋯ 10 分∴tan sincos22 .⋯⋯ 12分解法 3:∵ f∴ cos 2. 38 12 3 , ∴ 2 sin 2 2 32 . ⋯⋯ 7 分∵ 为锐角，即 0 ,2∴sin 2 1 cos22∴tansincos2sin cos 22cossin 21 cos 22 2 .∴ 02 . 2 2.⋯⋯ 8分 3⋯⋯ 9 分⋯⋯ 10 分⋯⋯ 12分17．（本小题满分 12 分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 运算求解能力和应用意识)考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、（ 1）解：设 1 件产品的利润为随机变量 ，依题意得 的分布列为：P60.6 5a 40.1 1b∴ E 6 0.6 5a 4 0.1 b 4.9 ,即5a b 0.9.∵ 0.6 a 0.2 0.1b 1, 即 a b 0.3,解得 a 0.2,b 0.1.∴ a 0.2,b 0.1 .⋯⋯ 2 分⋯⋯ 3分⋯⋯ 4分 ⋯⋯ 6 分(2)解：为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 17 元，则这 3 件产品可以有两种取法：3 件都是一等品或 2 件一等品，1 件二等品.3 2 2故所求的概率 P 0.6 C 3 0.6 0.2 0.432.18. （本小题满分 14 分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, ⋯⋯ 8分⋯⋯ 12 分考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（ 1）证明: 连接 B 1C ,设 B 1C 与 BC 1 相交于点O ,连接 OD ,∵ 四边形 BCC 1B 1 是平行四边形,∴点 O 为 B 1C 的中点.∵ D 为 AC 的中点，∴ OD 为△ AB 1C 的中位线,∴ OD // AB 1 .A 1AE⋯⋯ 2 分D∵ OD 平面 BC 1D , AB 1 平面 BC 1D ,∴ AB 1 // 平面 BC 1D .(2)解: 依题意知， AB BB 2 ，1⋯⋯ 4 分B 1BGOF∵ AA 1 平面 ABC , AA 1 平面 AA 1C 1C ,∴ 平面 ABC 平面 AA 1C 1C ，且平面 ABC 平面 AA 1C 1C AC .作 BE AC ，垂足为 E ，则 BE 平面 AA 1C 1C ，设 BC a ，在 Rt △ ABC 中， AC AB BC4 a ， BE 22 2AB BC AC C 1C⋯⋯6 分2a4 a 2，∴四棱锥 B AAC D 的体积V AC AD AA BE 1 11 11263 1 32 4 a 2 22a 4 a 21 1a .⋯⋯ 8分 依题意得， a 3，即 BC 3.(以下求二面角C BC 1 D 的正切值提供两种解法)⋯⋯ 9 分解法 1:∵ AB BC , AB BB 1, BC BB 1 B , BC 平面 BB 1C 1C ，BB 1 平面 BB1C 1C ，∴ AB 平面 BB 1C 1C .1 取 BC 的中点 F ，连接 DF ，则 DF // AB ,且 DF AB 1.2∴ DF 平面 BBC C .1 1 作 FG BC 1，垂足为G ，连接 DG ，由于 DF BC 1 ，且 DF FG F ，∴ BC 1 平面 DFG .∵ DG 平面 DFG ,∴ BC 1 DG .∴ DGF 为二面角C BC 1 D 的平面角.由 Rt △ BGF ～Rt △ BCC ,得1GFCC 1 BF BC 1, ⋯⋯ 12分得GFBF CC 1 BC 1 32 213 3 1313,在 Rt △ DFG 中, tan DGFDFGF 13 3 . ∴二面角C BC D 的正切值为113 3.⋯⋯ 14 分解法 2: ∵ AB BC , AB BB 1, BC BB 1 B , BC 平面 BB 1C 1C ， BB 1 平面 BB1C 1C ，∴ AB 平面 BB 1C 1C .以点 B 1为坐标原点,分别以 B 1C 1 , B 1B , B 1 A 1 所在直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 B 1 xyz .则 B 0,2,0 , C 1 3,0,0 A 0,2,2 D , , ∴ BC 13,2,0 BD ,0,1 3,232z A 1A,2,1 .DB 1设平面 BC D 的法向量为 n x , y , z , 1由 n BC 1 0 及 n BD 0 ,得3x 2y 0,3 2x z 0.B yOC 1 Cx令 x 2 ,得 y 3, z 3.故平面 BC D 的一个法向量为 n 2,3,3 ,1⋯⋯ 11 分又平面 BC C 的一个法向量为 AB 0,0,2 ,1∴ cos n , ABn ABn AB20 0 3 2 3 2 22 2. 322. ⋯⋯ 12 分∴ sin n , AB 1∴ tan n ,AB133 22. 3 1322 ⋯⋯ 13分∴二面角C BC D 的正切值为 1 133.⋯⋯ 14 分19．（本小题满分 14 分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解:设点 P 的坐标为x , y∵OP OQ , ∴ k OP k OQ ,则点Q 的坐标为x ,2 .当 x 0 时,得 1,化简得 x 2 2y .x x当 x 0 时, P 、 O 、 Q 三点共线，不符合题意，故 x 0 .∴曲线 C 的方程为 x 2y x 0 .(2) 解法 1:∵ 直线 2l 与曲线 C 相切,∴直线 2l 的斜率存在.设直线 2l 的方程为 y kx b ,2y kx b , 2 x 2y ,由 2 得 x 2kx 2b 0 .1.y 2⋯⋯ 2分⋯⋯ 4分⋯⋯ 5分∵ 直线 2l 与曲线 C 相切,∴ 4k 8b 0 ,即b .2 2点 0,2 到直线 2l 的距离d2 bk 2 1 k 2⋯⋯ 6分2 21 k 42k 1⋯⋯ 7 分k 21 2 1 223 .32 k 11 3⋯⋯ 8分k 2 1 k 2 1 3 k 2 1 ⋯⋯ 9 分 ⋯⋯ 10 分2当且仅当k 1，即 k 2 时，等号成立.此时b 1. ⋯⋯12 分∴直线 2l 的方程为 2x y 1 0 或 2x y 1 0 .解法 2：由 x 2y ，得 y x ，∵直线l 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为x , y 2 ' 2 则直线l 的方程为： y y x x x2 x 122 1 1112 点 0,2 到直线l 的距离 d 2 1 1⋯⋯ 14分⋯⋯ 5 分，其中 y 1 x 1 ， 2 2 1，化简得 x 1x y x 10 . 221⋯⋯ 6分⋯⋯ 7分1 2 12 23 .32 x 1 1x 121 x 21 11 2 x 2 41 2 x 1 13 ⋯⋯ 8 分x 21 1 x12 13 x 12 1 ⋯⋯ 9 分 ⋯⋯ 10 分2当且仅当 x11，即 x 1 2 时，等号成立. ⋯⋯12 分∴直线 2l 的方程为 2x y 1 0 或 2x y 1 0 .解法 3：由 x 2y ，得 y x ，∵直线l 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为x , y 2 ' 2 则直线l 的方程为： y y x x x 2 1 111 1⋯⋯ 14分⋯⋯ 5分 ，其中 y 1 x 10 ，2 21⋯⋯ 6 分，化简得 x 1x y y 1 0 .点 0,2 到直线l 的距离 d2 2 y 12x 1 11y 1 22y 1 1 ⋯⋯ 7分2y 1 2 12 23 3 .1 3 ⋯⋯ 8 分2y 1 1 2y 1 132y 1 1 ⋯⋯ 9 分 当且仅当 2y 11⋯⋯ 10 分2y 1 1 ∴直线 2l 的方程为 2x y 1 0 或 2x y 1 0 . 20．（本小题满分 14 分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识,，即 y 11 时，等号成立,此时 x 12 . ⋯⋯12 分⋯⋯ 14分考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解：∵ f 0 0 ，∴ c 0 .∵对于任意 x R 都有 f x f x , 1 2 1 2 ∴函数 f x 又 f x x 1的对称轴为 x ，即 2b 2a ，得 a b . 2 1 ⋯⋯ 1分⋯⋯ 2分，即 ax b 1 x 0 2对于任意 x R 都成立， ∴ a 0 ,且 b 1 0 ． 2∵ b 1 0 ，2 2∴b 1, a 1．∴ f x x x ．⋯⋯ 4分(2) 解： g x f x x 1x 1 x 1, x ,2 x 1 x 1, x . 21 1⋯⋯ 5分① 当 x 时，函数 g x x 1 x 1 2 若 1 2 1，即 0 2，函数 g x在 1 1的对称轴为x12， , 上单调递增；⋯⋯ 6 分1 2 1 ，即 2 ，函数 g x1 2 在 , 上单调递增，在1 12 , 若上单调递减． ⋯⋯ 7 分② 当 x 时，函数 g x x 1 x 12 则函数 g x 在1 1 , 21的对称轴为 x 1 1 2 ，上单调递增，在 , 12 上单调递减． ⋯⋯ 8 分 1 2 综上所述，当 0 2时，函数 g x , 12 单调递增区间为,，单调递减区间为 ；⋯⋯ 9 分当 2 时，函数 g x,单调递增区间为1 1 1 ,2 和2, ，单调递减区间为 1 1 1 , 2 和 2 ． ⋯⋯ 10分(3)解：① 当 0 2时，由(2)知函数g x在区间 0,1 上单调递增，又g 0 1 0, g 1 2 1 0，故函数g x 在区间 0,1 上只有一个零点．⋯⋯ 11分② 当 2 时，则 1，而g 0 1 0, g21 （ⅰ）若2 3，由于2且 g1 12 21 21， 1 11 12 0 ， 11 11 4 21 2 1 0 ， 此时，函数 g x 在区间 0,1 上只有一个零点；⋯⋯ 12分 ，此时，函数 g x 在区间0,1（ⅱ）若 3，由于 1 2 1且 g 1 2 1 0 上有两个不同的零点．综上所述，当 0 3时，函数g x当 3时，函数g x⋯⋯ 13 分在区间0,1 上只有一个零点；在区间 0,1 上有两个不同的零点．⋯⋯ 14 分21．（本小题满分 14 分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 证明：对任意 x 1, x 2 R ，有f x f x 1 x 1 x 21 1 2221 x 1 1 x 2x 1 x 2 x 1 x 2 221 x 1 1 x 22x 1 x 2 22 2 .⋯⋯ 2分由 f x f x L x x 1 212 当 x x 时,得 L1 2,即 x 1 x 2 x 1x 22 1 x 1 1 x 2 2 .L x 1 x2 . 1 x 1 x 1 , 1 x 2 x 2 ,且 x 1 x 2 x 1 x 2 ，대2 1 x 11 x 222x 1 x 22 ∴ 1 x 1 1 x 2 2x 1 x 2 2 1 x 1 x 2x 1x 2. ⋯⋯ 4 分∴要使 f x f x L x x 1 212对任意 x 1, x 2 R 都成立,只要L 1.当 x x 时, f x f x L x x∴ L 的取值范围是 1, .1 21 212 (2) 证明：①∵ a n 1f a n ， n 1,2, ,f a f a L a a n 1 nn 1 n恒成立.⋯⋯ 5分故当 n 2 时， a n a n 1 L f a f a L a aL a a 2n 1n 2 n 1 n 2 n 1 12k 1 a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a n a n 11 L LL 2n 1n1 L 1 L a a .12a a12.⋯⋯ 6分n∴k 1a k a ⋯⋯ 7分 ⋯⋯ 8 分= k 2 +1 + 2 1 ≥ ×2 2 = 3. 3 k +1 1 3 k 2 +1 k 2 +1γ 3 k 2 +1…… 8 分2…… 9 分 …… 10 分 当且仅当 k +1 = ，即 k = ± 2 时，等号成立.此时b = −1. ……12 分 ∴直线 2l 的方程为 2x − y −1 = 0 或 2x + y +1 = 0 .2解法 2：由 x = 2y ，得 y = x ， ∵直线l 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为(x , y2 ' 2)则直线l 的方程为： y − y = x (x − x)2 1 1 1− 2 − x121 2点 0,2 到直线l 的距离 d =2( )1 1…… 14 分 …… 5 分 ，其中 y 1 =2x 1，2 1，化简得 x 1x − y −2x1=0.2 1…… 6 分 …… 7 分1 2 ≥ 1 2 = 3. 32×2x1+1 x2 1+1= 1x 2 +1 +1 = γ 2 x2 + 41 2x 3 1+1…… 8 分x 2 +1γ1x2 1+1 3x2 1…… 9 分 …… 10 分 当且仅当 x 1 +1 = ，即 x 1 = ± 2 时，等号成立. ……12 分 ∴直线 2l 的方程为 2x − y −1 = 0 或 解法 3：由 x = 2y ，得 y = x ， ∵直线l 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为(x , y2 ' 2 2+12x + y +1 = 0 .)则直线l 的方程为： y − y = x (x − x2 1 1 1 1 1)…… 14 分 …… 5 分 ，其中 y 1 =2x1>0，2 1…… 6 分 ，化简得 x 1x − y − y71=0.点 0,2 到直线l 的距离 d =2( )2− 2 − y1 x1+11 = y 1 +2 2y…… 7 分1+1= 2y +1 + 2 ≥ = 3 3.11 2×23…… 8 分 2y 1 +1 2y +1γ13 2y…… 9 分 当且仅当 2y +1 =1 1+1…… 10 分2y∴直线 的方程为1+1 2x + y +1 = 0 .2l2x − y −1 = 0 或20．（本小题满分 14 分） (本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, ，即 y 1 = 1 时，等号成立,此时 x 1 = ± 2 . ……12 分 …… 14 分 考查函数与方程、分 类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解：∵ f (0) = 0 ，∴ c = 0 .∵对于任意 x ∈R 都有 f− +x = f − −x , 1 2 1 2∴函数 f (x) 又 f (x ) ≥ x的对称轴为 x = −1，即 −2 b 2a = − ，得 a = b . 2 1…… 1 分 …… 2 分2，即 ax +(b −1) x ≥ 0∴ a > 0 ,且 ∆ = (b −1) ≤ 0 ．2对于任意 x ∈ R 都成立，∵ (b −1) ≥ 0 ，2 2∴b =1, a =1． …… 4 分∴ f (x ) = x + x ．(2) 解： g(x) = f (x) − λx −1 = x +(1− λ) x +1,2x≥ x<, . λx +(1+ λ) x −1,2λ 1 1…… 5 分① 当x≥2λ时，函数 g(x) = x +(1−λ) x +1若λ −12 1 ≤在λ，即 0 <λ ≤ 2，函数 g(x)1 λ81的对称轴为 x =λ −12，, +∞ 上单调递增； …… 6 分λ −12 1 >λ λ −1 2在，即λ > 2 ，函数g( x ), +∞ 上单调递增，在 1 λ −1 λ , 2 若 上单调递减． …… 7 分 ② 当x<2λ时，函数g(x) = x +(1+ λ) x −1g( x ) 在 − 1+ λ 1 , 2 λ 1 的对称轴为 x = − 1+ λ 1 2 < ， λ 上单调递增，在 −∞, − 1+ λ 2 上单调递减． …… 8 分 1+ λ则函数2综上所述，当 0 < −∞, − 1+ λ λ ≤ 2时，函数 g(x)2单调递增区间为 − , +∞ ，单调递减区间为 ； …… 9 分 当λ > 2 时，函数 −∞, − g( x )单调递增区间为 − 1+ λ 1 λ −1 , 2 和 λ 2 , +∞ ，单调递减区间为 1+ λ 1 λ −1 , 2 和 λ ．…… 10 分 (3)解：① 当 0 < λ ≤ 2时，由(2)知函数 在区间 0,1 上单调递增，2g( x )又g(0) = −1< 0, g(1) = 2− λ −1 > 0， g( x ) 0,1 上只有一个零点．( )故函数 在区间…… 11 分( )② 当λ > 2 时，则<1，而 g(0) = −1< 0, g 2 1 （ⅰ）若 2 < λ ≤ 3，由于 < λ < λ2且g λ −1 2 = λ −1 2 λ −1 2 ≤ 1， 1 1 1 1 = λ λ λ 2 + >0， 1 +(1− λ)γ +1=−(λ −1)42λ −12 +1≥0，此时，函数 g(x) 在区间 0,1 上只有一个零点； …… 12 分( )，此时，函数 在区间 0,1g( x )（ⅱ）若λ > 3，由于( )λ −121 > 且 g(1) = 2− λ −1 < 0上有两个不同的零点． 综上所述，当 0 <当λ > 3时，函数 g(x) …… 13 分 在区间 0,1 上只有一个零点；λ ≤ 3时，函数 g(x)( ) ( )在区间0,1 上有两个不同的零点．9…… 14 分21．（本小题满分 14 分） (本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以 及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明：对任意 x 1, x2f2 1 1 2 2 2(x )− f(x )∈R，有= 1+ x − 1+ x= = 1+ x1+ 1+ x2x 1 − x 2 γ x 1 + x2 1+ x2 2 1+ 1+ x22x2 21− x22. …… 2 分 由 f1 2 1 2(x )−f (x )≤Lx −x当 x ≠ x 时,得 L ≥1 2,即x 1 − x 2 γ x 1 + x221+ x21+ 1+ x2.≤Lx 1−x 2 . 1+ x 1 > x 1 , 1+ x22> x2,且 x1+ x2≥ x 1+x2，대1+ x2 21+ 1+ x2x 1 + x22∴1+ x21+ 1+ x2x 1 + x22< ≤1 x 1 + x2 x.1+ x2…… 4 分 ∴要使 f1 2 1 2(x )−f (x )2≤Lx −x对任意 x 1, x∈R 都成立,只要 L ≥1.当 x = x 时,f(x )−f (x )≤Lx −x∴ L 的取值范围是[1,+∞ .)1 1 2 1 2 2(2) 证明：①∵ an+1= f (an) ) − f (a )， n =1,2,Λ,= f (an−1 n n−1 n≤La−a恒成立. …… 5 分 故当 n ≥ 2 时， an+1n−a ≤L a −a ≤Λ ≤ L a −a= L f (a2 n−1 n−2 n−1 n−2 n−1 1 2 k +1) − f (a )= a 1−a2+ a 2−a3+ a 3 − a 4 +Λ + a n − a n+1≤ 1(2 n−1+nL + L +Λ+ L= 1− L 1− L a −a .1 2)a1 2 n−a. …… 6 分 ∴∑kk =1a−a…… 7 分 …… 8 分10∵ 0 < L < 1,n∴∑k =1 k +1ak − a ≤ 1 1− L a 1 − a 2 ( 当 n =1时,不等式也成立 ) .…… 9 分 ②∵ A =ka 1 + a 2 +Λak k, ∴ A −Ak k +1= − = a 1 + a 2 +Λ+ ak k 1 k (k +1) 1 k (k +1) 1 k (k +1) a 1 + a 2 +Λ+ a k +1k +1= ≤(a(a1 k k +1 1 2 3 3 4 k k +1+ a +Λ+ a − ka)) + 3( a−a−a2 2) + 2( a−a) +Λ+ k (a−a)(1a − a + 2 a − a + 3 a − a +Λ+ k a − a2 2 3 3 4k).k +1 n…… 11 分 ∴∑+ A 2−A +Λ+ A n − Ak =1 k +1A k−A = A 1−An+1 2 3 ≤ a 1 − a2 1 + 1× 2 1 2×3 +Λ+ 1 + 3 a 3 − a4 1 + = a −a1 1− 3× 4 1 1 4×5 +Λ+ n(n +1 ) 1 + 2 a 2 − a3 1 + 2×3 1 3× 4 +Λ+ 1 n(n +1 ) n +1 + a 2 − a3 1− n(n +1 ) 2 +Λ+ n a n − a n+1 × 1n(n +1) 1− 2 n +1 +Λ+ a n − a n+1 n +1 n ≤ a 1 −a 2 + a 2 −a 3 +Λ+ a n −an+1≤ 1 1− L a −a .1 2……14 分11。
2011年全国卷1高考理科数学试题含答案word版
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2011年江西省高考理科数学试卷及答案(word版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试题分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3页至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，若在试题卷上作答，答题无效。
3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：样本数据()()1122x y x y +++，…，()n n x y +的线性关系数()()nii xx y y r --=∑ 锥体体积公式V=13Sh其中 ,nnx x x y y y x y nn1212++++==L L 其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若12i z i+=，则复数z -=A. 2i --B. 2i -+C. 2i -D. 2i + 2.若集合{}1213A x x =-≤+≤，20,x B xx-⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则A B⋂=A.{}10x x -≤<B..{}01x x <≤C. {}02x x ≤≤D. {}01x x ≤≤ 3.若()f x =()f x 的定义域为A. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()0,+∞ 4.若()224ln f x x x x =--则()f x ＞0的解集为 A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-⋃+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-5.已知数列 ∣n a ∣的前n 项和n s 满足：n s +m s =n m s +，且1a =1，那么10a =( ) A.1 B.9 C.10 D.556.变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5），变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数 ( )A. 2r < 1r <0B. 0<2r < 1rC. 2r <0<1rD. 2r =1r7、观察下列各式：55=3125, 56=15625, 57=78125，···，则52011 的末四位数字为( _A 、3125B 、5625C 、0625D 、8125 8、已知123,,ααα是三个相互平行的平面，平面12,αα之间的距离为1d ，平面23,a α之前的距离为2d ，直线l 与123,,ααα分别相交于123,,P P P .那么“123,,P P P ”是“12d d =”的( )A 、充分不需要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 9. 若曲线1C ：x 2+y 2—2x=0与曲线C 2:y(y+mx-m)=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 （ ）A. (—33，33） B. （—33，0）∪（0，33）C. [—33，33]D.( －∞, －33)∪(33,+∞)10.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点。
2011年高考数学江苏卷理科(word完美解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式：（1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高试卷总分200 试卷时间 150一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在题中横线上)1.已知集合A ＝{-1,1,2,4}，B ＝{-1,0,2}，则A∩B＝________.【答案】{-1,2}【解析】由交集的定义知A∩B＝{-1,1,2,4}∩{-1,0,2}＝{-1,2}. 【失分警示】把“∩”，“∪”意义混淆，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查“∩”的含义的理解及运算能力，正确识读“∩”符号的含义是解答本题的关键，属容易题. 2.函数的单调增区间是________.注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
h ttp://【答案】1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使有意义，则2x+1>0，即x>-12，而y ＝为(0，+∞)上的增函数，当x>-12时，u ＝2x+1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【失分警示】忽视2x+1>0这一约束条件是失分的主要原因. 【评析】本题主要考查复合函数单调性的判断方法及定义域的求解，考查学生逻辑推理及运算求解能力，属中等难度试题.3.设复数z 满足i(z+1)＝-3+2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________. 【答案】1【解析】解法一：∵i(z+1)＝-3+2i ， ∴z＝32i i -+-1＝-(-3i-2)-1＝1+3i ， 故z 的实部是1.解法二：令z ＝a+bi(a ，b∈R)，由i(z+1)＝-3+2i 得i[(a+1)+bi]＝-3+2i ， -b+(a+1)i ＝-3+2i ，∴b＝3，a ＝1， 故z 的实部是1.【失分警示】误区一：误认为i 2＝1；误区二：忽视复数相等的条件，运算失误导致求解结果错误.【评析】本题考查复数的有关概念及运算，将复数问题实数化是解决此类问题的关键，属容易题.4.根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2,3时，最后输出的m 的值为________.【答案】3【解析】由已知可知，m 为a ，b 中的最大值，故最后输出的m 值为3.【失分警示】读不懂程序语句，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查程序语句，对程序中条件语句的正确理解是解答本题的关键，属容易题.5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.【答案】13【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为24C ＝6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为26＝13.【失分警示】把24C 误认为24A 是导致本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查组合知识和古典概型，考查学生逻辑能力和分析问题、解决问题的能力，属容易题.6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.【答案】165【解析】记星期一到星期五收到的信件数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则X ＝∴s 2＝15[(x 1-X )2+(x 2-X )2+(x 3-X )2+(x 4-X )2+(x 5-X )2]＝15[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]＝165.【失分警示】误区一：X 求解错误.误区二：方差公式记忆错误导致s 2求解结果错误.【评析】本题主要考查方差的公式，考查学生的运算求解能力.公式记忆准确，运算无误是解答本题的关键，属中等难度试题.7.已知tan 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2，则tan tan 2x x的值为________. 【答案】49【解析】【失分警示】两角和或差的正切公式记忆错误是学生丢分的主要原因.【评析】本题主要考查两角和或差的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力，本题中由tan 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭x π＝2正确求得tanx ＝13是解答本题的关键，属中等难度试题.8.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________. 【答案】4【解析】假设直线与函数f(x)＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍. 假设P 点的坐标为002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|PQ|＝2|OP|＝≥4.当且仅当20x ＝204x ，即x 0＝2时，取“＝”.【失分警示】误区一：将线段PQ 的长误认为是|PQ|2. 误区二：将|OP|最小值误认为是所求线段PQ 长的最小值.【评析】本题考查两点间距离公式及均值定理等相关知识，考查学生分析问题、解决问题的能力，将最值问题转化为均值定理来求解是解答本题的关键，属中等难度试题.9.函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________.【答案】62【解析】由图可知A ＝2，，∴T＝π.又2πω＝T ，∴ω＝2ππ＝2. 根据函数图象的对应关系得2×3π+φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ-23π(k∈Z).取φ＝3π，则f(x)223x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f(0)＝23π6【失分警示】误区一：误将2π作为函数的周期，导致求ω出错. 误区二：不能根据题意正确求得φ的值，进而导致函数解析式求错，从而求错f(0)的值. 【评析】本题主要考查y ＝Asin(ωx+φ)的图象与性质以及三角函数周期公式T ＝2πω(ω>0)的求法，属理解层次，由图象准确确定φ的值是解答本题的关键.10.已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，a ＝1e -22e ，b ＝k 1e +2e .若a ·b＝0，则实数k 的值为________. 【答案】54【解析】由题意a ·b ＝0即有(1e -22e )·(k 1e +2e )＝0，∴k 21e +(1-2k) 1e ·2e -222e ＝0.又|1e |＝|2e |＝1，〈1e ，2e 〉＝23π，∴k -2+(1-2k)·cos23π＝0，∴k -2＝122k -，∴k＝54. 【失分警示】误区一：向量内积的定义理解不到位； 误区二：运算失误，例如将cos23π误认为是12导致求解结果错误.【评析】本题主要考查向量内积的运算，考查学生的运算求解能力.属中等难度试题.11.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1-a)＝f(1+a)，则a 的值为________. 【答案】-34【解析】分类讨论：(1)当a>0时，1-a<1,1+a>1. 这时f(1-a)＝2(1-a)+a ＝2-a ； f(1+a)＝-(1+a)-2a ＝-1-3a.由f(1-a)＝f(1+a)得2-a ＝-1-3a ，解得a ＝-32， 不符合题意，舍去.(2)当a<0时，1-a>1,1+a<1， 这时f(1-a)＝-(1-a)-2a ＝-1-a ； f(1+a)＝2(1+a)+a ＝2+3a ，由f(1-a)＝f(1+a)得-1-a ＝2+3a ，解得a ＝-34.综合(1)，(2)知a 的值为-34【失分警示】由f(1-a)＝f(1+a)，误认为函数f(x)的周期为1，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查分段函数的相关知识，能根据题目要求对a 进行分类讨论是解答此题的关键，属中等难度试题.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f(x)＝e x(x>0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M.过点P 作l 的垂线交y 轴于点N.设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________. 【答案】2e +12e【解析】设P(x 0，0x e)(x 0>0), f ′(x)＝(e x )′＝e x，∴点P 处的切线l ，其斜率为f ′(x 0)＝0x e ，过点P 作l 的垂线l′，其斜率为-0x 1e .∴直线l 的方程为，令x ＝0得直线l′的方程为，令x ＝0得由题意令∴当x0<1时，g ′(x0)>0，函数g(x0)为增函数.当x0>1时，g ′(x0)<0，函数g(x0)为减函数.∴g(x0)在x0＝1处取极大值，亦即x0>0时t的最大值.【失分警示】误区一：导数的几何意义掌握不到位，不能求出y M，y N.误区二：求得函数关系t＝g(x0)后，不能利用导数求t的最值.【评析】本题考查导数的几何意义、直线方程、导数的应用等相关知识，知识点较多，难度偏大，考查学生的运算求解能力、分析问题解决问题的综合能力.13.设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.33【解析】∵a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a1＝1，∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3，又a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a4＝a2+1，a6＝a2+2.由1＝a1≤a2≤a3≤…≤a7，即有解得33≤q≤3，故q 的最小值为33.【失分警示】不理解题意，无法获得相应的不等关系是学生失分的主要原因.【评析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式，考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，属中等难度试题. 14.设集合，B ＝{(x ，y)|2m≤x+y≤2m+1，x ，y∈R}.若A∩B≠∅，则实数m 的取值范围是________.【答案】【解析】由A≠∅可知m 2≥2m ，解得m≤0或m≥12.由题意知，若A∩B≠∅， 则有(1)当2m+1<2，即m<12时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m+1的距离为d 1＝≤|m|，化简得2m 2-4m+1≤0， 解得1-22≤m≤1+22，所以1-22≤m<12.(2)当2m≤2≤2m+1，即12≤m≤1时，A∩B≠∅恒成立.(3)当2m>2，即m>1时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m 的距离为d 2＝≤|m|，化简得m 2-4m+2≤0， 解得2-2≤m≤2+2， 所以1<m≤2+2.综上可知：满足题意的m 的取值范围为.【失分警示】读不懂题意，分析不彻底是解答本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查圆与直线的位置关系，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.能根据圆心与直线的位置关系分类讨论是解答本题的关键，本题属较难题目.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(Ⅰ)若sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos A ，求A 的值；(Ⅱ)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值. 【解析】(Ⅰ)由题设知sin Acos 6π+cos Asin 6π＝2cos A.从而sin A ＝3cos A ，所以cosA≠0，tan A ＝3.因为0<A<π，所以A ＝3π.(Ⅱ)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2+c 2-2bccos A ，得a 2＝b 2-c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝2π.所以sin C ＝cos A ＝13.【失分警示】由余弦定理及b ＝3c ，求得a ＝22c 后，方向不明确，思维受阻.事实上有两个方向均可，一是注意到a 2+c 2＝9c 2＝(3c)2＝b 2，出现直角三角形，二是利用正弦定理，并由a ＝22c>c ，直接求解.当然方法二要注意到a>c ，角C 不可能是钝角，不需要分类讨论. 【评析】本题考查同角三角函数的关系，两角和公式，正弦定理，余弦定理，对运算能力有较高要求，对解题程序设计能力考查较为深入，不同的思路运算量差别较大.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点.求证：(Ⅰ)直线EF∥平面PCD ； (Ⅱ)平面BEF⊥平面PAD.【解析】(Ⅰ)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(Ⅱ)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.【失分警示】证明过程中关键步骤省略或遗漏常导致无谓失分，此外学生对如何证面与面垂直认识模糊、思路不清也是失分的原因之一.【评析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定、性质，对考生的文字或符号表达能力、空间想象能力、推理论证能力均有较高要求，难度中等偏难.17.(本小题满分14分)请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).(Ⅰ)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(Ⅱ)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得a＝2x，h＝6022x-＝2 (30-x)，0<x<30.(Ⅰ)S＝4ah＝8x(30-x)＝-8(x-15)2+1 800，所以当x＝15时，S取得最大值.(Ⅱ)V＝a 2h ＝22(-x 3+30x 2)，V′＝62x(20-x). 由V′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值. 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.【失分警示】应用问题的难点是建立适当的数学模型.对变量取值范围的限制不准确常常导致失分.对实际问题求最值时，也易犯经验主义错误，想当然地认为正方体时取最值.【评析】本题考查函数的概念、导数求法等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力、运算能力及解决实际问题的能力等，要求高，难度较大，易错点颇多.18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆24x +22y ＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限.过P 作x 轴的垂线，垂足为C.连结AC ，并延长交椭圆于点B.设直线PA 的斜率为k.(Ⅰ)若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； (Ⅱ)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (Ⅲ)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.【解析】(Ⅰ)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(-2,0)，N(0，-2)，所以线段MN 中点的坐标为21,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝221--＝22. (Ⅱ)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得24x +242x ＝1，解得x ＝±23，因此P 24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 24,33⎛⎫--⎪⎝⎭.于是C 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率为＝1，故直线AB 的方程为x-y-23＝0.因此，.(Ⅲ)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入24x +22y ＝1，解得x ＝±.记μ＝，则P(μ，μk)，A(-μ，-μk).于是C(μ，0).故直线AB 的斜率为，其方程为y ＝2k(x-μ)，代入椭圆方程得(2+k 2)x 2-2μk 2x-μ2(3k 2+2)＝0，解得或x ＝-μ.因此.于是直线PB 的斜率因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB.解法二：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A(-x 1，-y 1)，C(x 1,0).设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以从而k 1k+1＝2k 1k 2+1＝2因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB.【失分警示】第(Ⅰ)小问常见错误是联解直线AP 与直线MN 的方程组.求出交点坐标(用k 表示)，再由中点坐标公式构建关于k 的方程求k.运算复杂，步骤较多，易造成计算错误或耗时失分.处理第(Ⅱ)小问思维受阻后，如果利用第(Ⅲ)小问的结论通过面积法求点P 到直线AB 的距离，事实上并不太容易，需要联解方程组,当然利用k PB ＝-12可较快求出B 点坐标.【评析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求，对考生的心理素质的要求也较高，属难题.19.(本小题满分16分)已知a ，b 是实数，函数f(x)＝x 3+ax ，g(x)＝x 2+bx, f ′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数.若f ′(x)g′(x)≥0在区间I 上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I 上单调性一致.(Ⅰ)设a>0.若f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求b 的取值范围； (Ⅱ)设a<0且a≠b.若f(x)和g(x)在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值. 【解析】f ′(x)＝3x 2+a ，g′(x)＝2x+b.(Ⅰ)由题意知f ′(x)g′(x)≥0在[-1，+∞)上恒成立.因为a>0，故3x 2+a>0，进而2x+b≥0，即b≥-2x 在区间[-1，+∞)上恒成立， 所以b≥2.因此b 的取值范围是[2，+∞).(Ⅱ)令f ′(x)＝0，解得x 3a -若b>0，由a<0得0∈(a，b).又因为f ′(0)g′(0)＝ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a ，b)上不是单调性一致的.因此b≤0.现设b≤0.当x∈(-∞，0)时，g′(x)<0； 当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)>0.因此，当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)g′(x)<0. 故由题设得a≥3a -b≥3a -从而-13≤a<0，于是-13≤b≤0.因此|a-b|≤13，且当a ＝-13，b ＝0时等号成立.又当a ＝-13，b ＝0时，f ′(x)g′(x)＝6x 219x ⎛⎫-⎪⎝⎭，从而当x∈1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭时f ′(x)g ′(x)>0，故函数f(x)和g(x)在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调性一致.因此|a-b|的最大值为13.【失分警示】当a<0时，由于f ′(x)的符号不确定，容易误认为先对a进行分类讨论，其次再对b进行分类讨论时，分类标准难以确定，导致分类混乱，也是常见的失分原因. 【评析】本题考查函数的概念、性质及导数等基础知识，对数形结合思想、函数与方程思想均有考查，对分类讨论思想的考查要求很高，要求考生具备较强的综合思维能力和运算能力，属难题.20.(本小题满分16分)设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1＝1，前n项的和为S n，已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，S n+k+S n-k＝2(S n+S k)都成立.(Ⅰ)设M＝{1}，a2＝2，求a5的值；(Ⅱ)设M＝{3,4}，求数列{a n}的通项公式.【解析】(Ⅰ)由题设知，当n≥2时，S n+1+S n-1＝2(S n+S1)，即(S n+1-S n)-(S n-S n-1)＝2S1.从而a n+1-a n ＝2a1＝2.又a2＝2，故当n≥2时，a n＝a2+2(n-2)＝2n-2.所以a5的值为8.(Ⅱ)由题设知，当k∈M＝{3,4}且n>k时，S n+k+S n-k＝2S n+2S k且S n+1+k+S n+1-k＝2S n+1+2S k，两式相减得a n+1+k+a n+1-k＝2a n+1，即a n+1+k-a n+1＝a n+1-a n+1-k.所以当n≥8时，a n-6，a n-3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n-6，a n-2，a n+2，a n+6也成等差数列.从而当n≥8时，2a n＝a n+3+a n-3＝a n+6+a n-6，(*)且a n+6+a n-6＝a n+2+a n-2.所以当n≥8时，2a n＝a n+2+a n-2，即a n+2-a n＝a n-a n-2.于是当n≥9时，a n-3，a n-1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n+3+a n-3＝a n+1+a n-1，故由(*)式知2a n＝a n+1+a n-1，即a n+1-a n＝a n-a n-1.当n≥9时，设d＝a n-a n-1.当2≤m≤8时，m+6≥8，从而由(*)式知2a m+6＝a m+a m+12，故2a m+7＝a m+1+a m+13.从而2(a m+7-a m+6)＝a m+1-a m+(a m+13-a m+12)，于是a m+1-a m＝2d-d＝d.因此，a n+1-a n＝d对任意n≥2都成立.又由S n+k+S n-k-2S n＝2S k(k∈{3,4})可知(S n+k-S n)-(S n-S n-k)＝2S k，故9d＝2S3且16d＝2S4.解得a4＝72d，从而a2＝32d，a1＝2d.因此，数列{a n}为等差数列.由a1＝1知d＝2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n-1.【失分警示】使用S n与a n之间的关系式时，易忽略n≥2的条件.此外，对题意的理解困难导致思维受阻也是本题的失分之处.【评析】本题考查数列的概念，数列的通项与前n项和之间的关系，以及等差数列、等比数列的基础知识，对考生的分析探究能力、运算能力、逻辑推理能力均有较高要求.数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．．其中两题，并在答题卡指定．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。
2011深一模理科数学参考答案
2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．9． (,1]-∞ ． 10．8 ． 11．4π． 12．(,3)(1,)-∞-+∞． 13． 192-． 14． 12-． 15．773． 三、解答题 16．（本小题满分12分）已知函数)sin()42cos()42sin(32)(πππ+-++=x x x x f ． （1）求)(x f 的最小正周期；（2）若将)(x f 的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间],0[π上的最大值和最小值．解：（1）x x x f sin )2sin(3)(++=πx x sin cos 3+= …………………………………………………2分)3sin(2π+=x ． …………………………………………………4分所以)(x f 的最小正周期为π2． …………………………………………………6分 （2） 将)(x f 的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象， )6sin(2π+=x ． …………………………………………………8分[0,]x π∈时，]67,6[6πππ∈+x ， …………………………………………………9分 ∴当26ππ=+x ，即3π=x 时，sin()16x π+=，)(x g 取得最大值2． …………10分当766x ππ+=，即x π=时，1sin()62x π+=-，)(x g 取得最小值1-．………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，调查发现，这30名志愿者的身高如下：（单位：cm ） 男 女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………………………1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=， …………………………2分 所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36118=⨯人．…………………3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-12523C C 1071031=-=． ………………………………5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是107． ……………………………6分 （２）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ……………………………7分5514C C )0(31238===ξP ， 5528C C C )1(3122814===ξP ， 5512C C C )2(3121824===ξP ， 551C C )3(31234===ξP ． …………………………9分 因此，ξ的分布列如下：………………10分15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………………………12分 【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识． 18．(本小题满分14分)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，︒=∠30BAC ，AC BM ⊥交AC 于点 M ，⊥EA 平面ABC ，EA FC //，134===FC EA AC ，，． （1）证明：BF EM ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 解：（法一）（1）⊥EA 平面ABC ，⊂BM 平面ABC ， BM EA ⊥∴．……………1分 又AC ，BM ⊥ A AC EA =⋂，⊥∴BM 平面ACFE ，而⊂EM 平面ACFE ，EM BM ⊥∴． ………………………………………3分AC 是圆O 的直径，90ABC ∴∠=． 又，BAC ︒=∠30 4=AC ， ，，BC AB 232==∴1,3==CM AM ． ⊥EA 平面ABC ，EA FC //，1=FC ， ⊥∴FC 平面ABCD ．∴EAM ∆与FCM ∆都是等腰直角三角形． ︒=∠=∠∴45FMC EMA ． ︒=∠∴90EMF ，即MF EM ⊥（也可由勾股定理证得）．………………………………5分 M BM MF =⋂ ， ⊥∴EM 平面MBF ． 而⊂BF 平面MBF ，⊥∴EM BF ． ………………………………………………………………………………6分 （2）延长EF 交AC 于G ，连BG ，过C 作CH BG ⊥，连结FH ． 由（1）知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ， FC BG ∴⊥．而FC CH C ⋂=，BG ∴⊥平面FCH ． FH ⊂平面FCH ， FH BG ∴⊥，FHC ∴∠为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角． ……………………8分 在ABC Rt ∆中， ︒=∠30BAC ，4=AC ，330sin =⋅=∴AB BM ．由13FC GC EA GA ==，得2GC =． 3222=+=MG BM BG ．又GBM GCH ∆∆~ ，BM CH BG GC =∴，则13232=⨯=⋅=BG BM GC CH ． ………………………………11分 FCH ∴∆是等腰直角三角形， 45=∠FHC ．A BC E F M O ∙ HGABC EFMO ∙∴平面BEF 与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为2． ………………………12分 （法二）（1）同法一，得33==BM AM ，． ………………………3分如图，以A 为坐标原点，垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系． 由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),A M EB (0,3,3),(3,1,1)ME BF ∴=-=-． ………4由(0,3,3)(0ME BF ⋅=-⋅=，得⊥， BF EM ⊥∴． ……………（2）由（1）知(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=-设平面BEF 的法向量为),,(z y x n =， 由0,0,n BE n BF ⋅=⋅= 得3300y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令3=x 得1,2y z ==，()3,1,2n ∴=， …………………………9分由已知⊥EA 平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =， 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ， 则cos cos ,2n AE θ→=<>==， …………………………11分 ∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为2． ……………………12分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． 19．(本小题满分14分)已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解：（1） 椭圆)0(11222>=++a y a x 右焦点F 的坐标为(,0)a ，………………1分 (,)NF a n ∴=-． (,)MN m n =-，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ． …………………………3分设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． …………………………5分 （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． ………………………………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．…………………………8分214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． ………9分 由⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． ……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分 (法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩ 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--．由2,y x x a =-⎧⎨=-⎩得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-．(2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=． ………………………………………7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a y A 、),4(222y ayB ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． …………………………………10分由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．……………………11分 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想． 20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（法一）在221n n a S -=中，令1=n ，2=n ，得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a ……………………………………2分解得11=a ，2=d ， ………………………………………3分21n a n ∴=-． 111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 111111(1)2335212121n nT n n n ∴=-+-++-=-++． ……………………5分 （法二） {}n a 是等差数列， n n a a a =+∴-2121 )12(212112-+=∴--n a a S n n n a n )12(-=． …………………………2分 由221n n a S -=，得 n n a n a )12(2-=，又0n a ≠，21n a n ∴=-，则11,2a d ==． ………………………3分(n T 求法同法一)（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n nλ++<=++恒成立． …………………………………6分828n n+≥，等号在2n =时取得． ∴此时λ 需满足25λ<． …………………………………………7分②当n 为奇数时，要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n nλ-+<=--恒成立． …………………………………8分82n n -是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n-取得最小值6-．∴此时λ 需满足21λ<-． …………………………………………9分综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． …………………………………………10分（3）11,,32121m n m nT T T m n ===++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++．…11分 （法一）由2244163m n m m n =+++， 可得2232410m m n m-++=>， 即22410m m -++>， (12)分∴11m <<+ ……………………………………13分 又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．…………14分（法二）因为1136366n n n =<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<，∴11m <<+（以下同上）． …………………………………………13分 【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ． （1）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小； （3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）． 解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分 当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． ……………4分)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．……………5分 （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ……………12分 ∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( ，1215131)1ln(++++>+∴n n ． ……………………………………14分 (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ………………………………10分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln35211k k k +>++++++． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立．……………13分 因此，由数学归纳法可知不等式成立．（法三）如图，根据定积分的定义， 得1121171151⨯+++⨯+⨯n ⎰+<n dx x 1121．……11分]3ln )12[ln(21)12ln(211-+=+=n x n ， ]3ln )12[ln(2131-++=n ． 11[ln(21)ln 3]ln(1)32n n ++--+=223ln 31[ln(21)ln(21)]62n n n -++-++， 又3ln 332<< ，)12ln()12ln(2++<+n n n ，)1ln(]3ln )12[ln(2131+<-++∴n n ． )1ln(1215131+<++++∴n n ． …………………………………14分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．命题人：喻秋生 周后来 李樱梅 殷木森。
2008年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)
2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）2008.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．1. 设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B = ð（ ）A ．∅B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2,3,4}2. 复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 （ ）A ．3π2B ．2πC ．3πD ．4π4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则(2)f -=（ ） A ．1B ．14C ．1-D ．114-5. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．126. 函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)7. 为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间X （单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是 （ ）A ．3800B ．6200C ．0.38D ．0.628.如图，已知(4,0)A、(0,4)B，从点(2,0)P射出的光线经直线AB反向后再射到直线O B 上，最后经直线O B反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．B．6C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中13～15小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分．9.在ABC∆中，a、b分别为角A、B的对边，若60B=︒，75C=︒，8a=，则边b的长等于．10.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是．（用数字作答）11. 在R t ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111hab=+，由此类比：三棱锥S A B C -中的三条侧棱S A 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面A B C 上的高为h ，则 ．12. 已知定义在区间[0,1]上的函数()y f x =的图像如图所示，对于满足1201x x <<<的任意1x 、2x ，给出下列结论： ① 2121()()f x f x x x ->-； ② 2112()()x f x x f x >；③1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是 ，它与方程π4θ=（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是 ．14. （不等式选讲选做题）已知点P是边长为的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x 、y 、z ，则x 、y 、z 所满足的关系式为 ，222x y z ++的最小值是 ．15. （几何证明选讲选做题）如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线T A 、T B 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA = ，TE AD= ．P三、 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅． （Ⅰ）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若8()5f θ=，求πcos 224θ⎛⎫-⎪⎝⎭的值．17. （本小题满分12分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在 下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A ；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望E ξ．如图所示的几何体A B C D E中，DA⊥平面EAB，C B∥D A，2EA D A AB C B===，EA AB⊥，M是E C的中点．（Ⅰ）求证：DM EB⊥；（Ⅱ）求二面角M BD A--的余弦值．B19.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A、(2,0)B-，P是平面内一动点，直线PA、PB的斜率之积为34 -．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线M A的斜率k的取值范围．已知()ln f x x =，217()22g x x m x =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；（Ⅱ）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当0b a <<时，求证：()(2)2b a f a b f a a-+-<．21. （本小题满分14分）如图，111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<< ）是曲线C ：23y x = （0y ≥）上的n 个点，点(,0)i i A a （1,2,3,,i n = ）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是正三角形（0A 是坐标原点）．（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；（Ⅱ）求出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式2126n t m t b -+>恒成立，求实数t 的取值范围．2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中13～15小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分．9．10．1611．22221111habc=++12．②③13．(1,0)，π4⎫⎪⎭14．3x y z ++=，3 152三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解：（Ⅰ）因为(1sin 2,sin cos )a x x x =+- ，(1,sin cos )b x x =+，所以22()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2f x x x x x x =++-=+-π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，当ππ22π42x k -=+，即3ππ8x k =+（k ∈Z ）时，()f x 1；（Ⅱ）由()1sin 2cos 2f θθθ=+-及8()5f θ=得3sin 2cos 25θθ-=，两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=．因此，ππ16cos 22cos 4sin 44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 17. 解：（Ⅰ）记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故33111()224P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而13()1()144P A P B =-=-=；（Ⅱ）显然，随机变量34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故 3343127(3)4464P C ξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 3434E ξ=⨯=．18. 解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 并设22EA D A AB C B ====，则（Ⅰ）31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(2,2,0)EB =- ，所以0DM EB ⋅=，从而得DM EB ⊥；（Ⅱ）设1(,,)n x y z =是平面BDM 的 法向量，则由1n D M ⊥ ，1n DB ⊥及31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0,2,2)D B =-得11302220n D M x y z n D B y z ⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎩可以取1(1,2,2)n = ． 显然，2(1,0,0)n =为平面ABD 的法向量．设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值121212||1cos |cos ,|3||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅． 19. 解：（Ⅰ）依题意，有3224PA PB y yk k x x ⋅=⋅=--+（2x ≠±），化简得22143xy+=（2x ≠±），这就是动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）依题意，可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --，则有2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，两式相减，得4430014342EF mx n n x y k myx -+=⇒==-=-，由此得点M 的轨迹方程为226830x y x +-=（0x ≠）．设直线M A ：2x my =+（其中1m k=），则22222(68)211806830x m y m y m y x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩， 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥，即18k ≥，解之得k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 20. 解：（Ⅰ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x m x =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）；（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-），所以1()111x h x x x -'=-=++．当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<． 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． 因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； （Ⅲ）当0b a <<时，102b a a--<<．由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln (1)x x +<．因此，有()(2)lnln 1222a bb a b a f a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭．21. 解：（Ⅰ）12a =，26a =，312a =；（Ⅱ）依题意，得12n nn a a x -+=，12n n n a a y --=，由此及23n n y x =得2113()22n n n n a a a a ---⎫=+⎪⎭， 即211()2()n n n n a a a a ---=+． 由（Ⅰ）可猜想：(1)n a n n =+（n *∈N ）． 下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及211()2()k k k k a a a a ++-=+得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，解之得1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去）， 即当1n k =+时，命题成立．由（1）、（2）知：命题成立． （Ⅲ）12321111n n n n nb a a a a +++=++++111(1)(2)(2)(3)2(21)n n n n n n =++++++++2111112123123n n n n n n n =-==++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭．令1()2f x x x=+（1x ≥），则21()2210f x x'=-≥->，所以()f x 在[1,)+∞上是增函数，故当1x =时，()f x 取得最小值3，即当1n =时，m ax 1()6n b =．2126n t m t b -+>（n *∀∈N ，[1,1]m ∀∈-）2m ax 112()66n t m t b ⇔-+>=，即220t mt ->（[1,1]m ∀∈-）2008年深圳市高三年级第一次调研考试·数学第11页222020t t t t ⎧->⎪⇔⎨+>⎪⎩． 解之得，实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞ ．。
2011年高考真题——理科数学（山东省） Word版含答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4πR 2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]（2）复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为： （A ）0 （B ）33（C ）1 （D ）3 (4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴”是“y=f （x ）是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元 （B ）65.5万元 （C ）67.7万元 （D ）72.0万元（8）已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -= （C ）221x y 36-= （D ）221x y 63-= （9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是（10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 （A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（A ）3 （B ）2（C ）1 （D ）0（12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 （A ）C 可能是线段AB 的中点 （B ）D 可能是线段AB 的中点（C ）C ，D 可能同时在线段AB 上（D ）C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入2l =，m=3，n=5，则输出的y 的值是 .(14)若62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .（15）设函数()2xf x x =+（x ＞0），观察： ()()12x f x f x x ==+ f 2 (x)=f(f 1（x ）)= 34xx +f 3 (x)=f(f 2（x ）)= 78xx +f 4 (x)=f(f 3（x ）)= 1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m （x ）=f （f m-1（x ））= . （16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
2011年海淀区高三第一学期(理科)数学期末题word
北京市海淀区2011届高三年级第一学期期末练习数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．sin 600︒的值为 （ ）AB．C ．12-D ．122．若0.32121,0.3,log 2,,,2a b c a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为 （ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．24．如图，半径为2的O 中，90AOB ∠=︒， D 为OB 的中点，AD 的延长线交O 于 点E ，则线段DE 的长为 （ ）ABCD5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是（ ）A ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列6．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．127．已知椭圆22:14x y E m +=，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与:1l y kx =+被椭圆E 截得的弦长不可能．．．相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=8．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{2}B ．C ．{}2t t ≤≤D ．{|2}t t ≤≤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
2015年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学试题答案及评分标准
2015年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9．23； 10． 18； 11．9； 12．13．2； 14．2； 15． 4． 三、解答题 16．（本小题满分12分）函数π()2sin()3f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π． （1）求5π()12f 的值；（2）若0sin x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值．解：（1）()f x 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………………1分2ω∴=±，由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ……………………………………3分5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分（2）由0s i n 3x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分 ∴0sin 2x ==…………………………………………9分 000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+112223=+⨯=．00π()2sin(2)33f x x ∴=+=． …………………………………………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据上表中的数据，完成下列表格： （2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望． 解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分 （2）按分层抽样的方法，ξξ从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ………………………………… 3分 从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分 所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===, 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分 ξ∴的分布列为：所以1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分 答：的数学期望为2个． …………………………………………………12分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（本小题满分14分）在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC -的直观图补充完整（其中点P 在xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B PA C --的正切值； （3）求点C 到面PAB 的距离．ξξ解：（1）三棱锥P ABC -直观图如图1所示；由三视图知ABC ∆和PCA ∆是直角三角形． （2）（法一）：如图2，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H 由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，PH =4PB PC BC ∴===，取PC 的中点E ，过E 作EF PA ⊥且交PA 于点F ，连接BE ，BF ，因为BE PC ⊥，由三视图知AC ⊥面PBC ， 且BE ⊂面PBC ，所以AC BE ⊥，又由AC PC C =，所以BE ⊥面PAC ， 由PA ⊂面PAC ，所以BE PA ⊥， BE EF E =，所以PA ⊥面BEF ，由BF ⊂面BEF ，所以PA BF ⊥，所以BFE ∠是二面角B PA C --~PEF PAC ∆∆，PE EFPA AC∴=， 2,4,PE AC PA ===EF ∴=， ∴在直角CFE ∆中，有tan BEBFE EF∠== 所以，二面角B PA C --． ………………………………………9分 （法二）：如图3，过P 作PH BC ⊥交BC 于点H ，由三视图知PBC ∆为等腰三角形，4BC =，PH =由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：(0,0,0)B ，(4,0,0)C ，P ，(4,4,0)A ，则(4,4,0)BA =，BP =，(0,4,0)CA =， (CP =-,设平面PAB 、平面PAC 的法向量分别为m 、n ． 设111(,,)x y z =m ，由0BA ⋅=m ，0BP ⋅=m ，得11420x ⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =， 得1x =1y =，即(=m ． …………………6分设222(,,)x y z =n ，由0CA ⋅=n ，0PA ⋅=n，得2224020y x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21=z ，得2x =，20y =，即=n ． ………………………7分cos ,⋅∴<>===m n m n m n，tan ,m n <>=8分 而二面角B PA C --的大小为锐角，所以二面角B PA C --9分 （3）（法一）：记C 到面PAB 的距离为h ，由（1）、（2）知4PA AB PB ===，PAB S ∆∴=133C PAB PAB V S h h -∆=⋅=， ………………………………12分 三棱锥-P ABC的体积133-∆=⋅=P ABC ABC V S PH ， ……………………13分 由P ABC C PAB V V --=，可得：7=h ． ………………………………………14分 （法二）：由（2）知，平面PAB的法向量(=m ，(0,4,0)CA = 记C 到面PAB 的距离为h ，CA h ⋅∴=mm=7=． ………………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19． （本小题满分14分）已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列满足：，，，其中． ①求数列的通项；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）（法一）：数列{}n a 的首项10a >，公差1d =，{}n b 11b =-2b λ=111(1)n n n nn b b n a -+--=+2n ≥{}n b n b∴1(1)n a a n =+-，11111n n n n a a a a ++=-， ………………………………………2分 12231223111111()()a a a a a a a a ∴+=-+-131********a a a a =-=-=+， ……………3分 整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）． ……………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分 （法二）：由题意得1312231231123a a a a a a a a a ++==， …………………………………1分 数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=， ……………………………2分∴2123223a a a a =，即133a a =． ………………………………………………………3分又10,1a d >=，∴11(2)3a a +=，解得11a =或13a =-（舍去）． …………………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =． ………………………………………5分（2）①， ． ……………………………………………………6分 令，则有，．当时，，． ………8分因此，数列的通项． (9)分②，，， ………………………………………10分 111(1)n n n n b b n n-+--=+11(11(1)(1)n nn nnb n b ++-∴=+--）(1(1)nn nn b c -=-）2c λ=11n n c c +=+(2)n ≥∴2n ≥2(2)2n c c n n λ=+-=-+(21nn n b n λ-+=-)(-1){}n b 1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)11b =-2b λ=312b λ+=-若数列为等比数列，则有，即， 解得或． …………………………………………………………11分 当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列． ………………………………14分 【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想． 20．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221(0)+=>>x y a b a b，过左焦点倾斜角为45︒的直线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作l 的垂线垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解：（1）因为椭圆E的离心率为2=222a b =，故椭圆E 的方程可设为222212x y b b+=，则椭圆E 的右焦点坐标为(),0b ， 过右焦点倾斜角为45︒的直线方程为:l y x b '=-． ………………………………………2分设直线l '与椭圆E 的交点记为,A B ，由22221,2,x y b b y x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2340x bx -=，解得1240,3b x x ==，因为12AB x =-==1b =． 故椭圆E 的方程为2212+=x y ． ……………………………………………………4分 ∴{}n b 2213b b b =21(1)()2λλ+=--1λ=12λ=-12λ=-(252)21nn n b n n -=≥-)(-1)（（）+1n n b b {}n b 1λ=11b =-(1)(2)nn b n =-≥{}n b 1λ={}n b（2）（法一）（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，联立直线l 和椭圆E 的方程，得2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ……………………………………5分消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=， …………………………6分 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()222216421220k m k m ∴∆=-+-=， ………………………………………7分化简并整理，得2221m k =+． …………………………………………8分 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x ky kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得221,1,1km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩………………………9分222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1km k m k m k m k m m x y k k k k -++++++++∴+====++++，把2221m k =+代入上式得222x y +=． ① …………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合①式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(，符合①式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法二）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，同解法一，得22210k m -+=， ① …………………………………………8分因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--， 联立()11,,y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ 解得002200001,,x k y x x y m y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩② …………………9分②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，由点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③ ……………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分 （iii ）当切线l的斜率不存在时，此时Q或(，符合③式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 （法三）：设点Q 的坐标为00(,)Q x y ，（i ）当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为00()-=-y y k x x ，整理，得l 的方程为00=-+y kx kx y ， ……………………………………………………………5分联立直线l 和椭圆E 的方程，得002212=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx kx y x y ， 消去y 并整理，得()()()2220000214220++-+--=k x k y kx x y kx ， ……………………6分因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，()()()222200001682110⎡⎤∴∆=--+--=⎣⎦k y kx k y kx ， ………………………7分化简并整理，得22200002210--+++=y x kx y k ， ① ………………………8分 因为MQ 与直线l 垂直，有01-=x k y ， ②……………………………………9分 ②代入①并整理，有()()()4222200000002212120+--+-+-=y x x y x x x ，…10分 即()()2222000002210+-+-+=y x yx x ，点Q 与点M 不重合， ()2222000002110y x x y x ∴+-+=+-≠，220020x y ∴+-=， ③………………………………………………………………11分（ii ）当切线l 的斜率为0时，此时(1,1)Q ，符合③式． …………………………12分（iii ）当切线l 的斜率不存在时，此时Q 或(，符合③式． ………13分 综上所述，点Q 的轨迹方程为222x y +=． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（本小题满分14分）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ． （1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数； ②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中 1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）． 解：（1）()f x 为奇函数，(0)0f ∴=．当时，，则()()()(2)(2)f x f x x x x x =--=----=-+，∴ ………………………………………2分 [0,2]x ∈时，，，，()f x ∴的值域为． …………………………………………………3分（2）①函数()f x 的图象如图a 所示，当0t =时，方程 有三个实根；当1t =或1t =-时，方程只有一个实 根；当(0,1)t ∈或(1,0)t ∈-时，方程有两个实根．（法一）：由()0g x =，解得ln(2)2x a x +=+，()f x 的值域为，∴只需研究函数ln(2)2x y x +=+设ln(2)()([1,1])2x h x x x +=∈-+，(1)0h -=，21ln(2)()(2)x h x x -+'=+， [)2,0x ∈-(]0,2x -∈[][)(2)0,2,()(2)2,0,x x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈-⎪⎩[]()1,0f x ∈-[)2,0x ∈-[]()0,1f x ∈[]1,1-f ()f x t =()f x t =[]1,1-令()0h x '=，得e 2(0,1)x =-∈，1(e 2)eh -=． 当1e 2x -<<-时，()0h x '>，当e 21x -<<时，()0h x '<， 又32ln 2ln 3<，即ln 2ln 323<，由ln 2(0)2h =，ln 3(1)3h =，得(0)(1)h h <， ()h x ∴的大致图象如图b 所示．根据图象b 可知，当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、直线y a =与函数()y h x =的图像仅有一个交点，则函数()g x 在[1,1]-上仅有一个零点，记零点为t ，则t 分别在区间(1,0)-(0,1)、(0,1)上，根据图像a ，方程()f x t =函数()(())F x g f x =有两个零点． …………………………………………5分类似地，当ln 22a =时，函数()g x 在[1,1]-上仅有零点0，因此函数()F x 有1-、0、1这三个零点． ………………………………………………………………6分当时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在(0,1)内，因此函数()F x 有三个零点． …………………………………………………………7分当时，函数()g x 在[1,1]-上有两个零点，且这两个零点均在(0,1)内，因此函数()F x 有四个零点． ……………………………………………………………8分当时，函数()g x 在上没有零点，因此函数()F x 没有零点． ………9分 （法二）：1()2g x a x '=-+ ，令0()0g x '=，得012x a=-， 0a >，()02,x ∴∈-+∞．当1(1,2)x a ∈--时，，当1(2,)x a∈-+∞时，， ∴当0x x =时，()g x 取得极大值01()ln 1g x a=-．（Ⅰ）当()g x 的极大值，即时，函数在区间上无零点，ln 33a =ln 313ea <<1ea >[]1,1-()0g x '>()0g x '<1ln10a -<1e a >()g x 1,1-因此函数无零点．（Ⅱ）当()g x 的极大值，即时，02(0,1)x e =-∈，函数的图像如图c 所示，函数()g x 有零点2e -．由图a 可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．（Ⅲ）当()g x 的极大值且0121x a=->，即时，()g x 在[1,1]-上单调递增，因为，，函数的图像如图d 所示，函数在存在唯一零点1t ，其中．由图a 可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点． （Ⅳ）当()g x 的极大值且0121x a=-<，即时：由(0)ln 220g a =-=，得ln 22a =，由(1)ln 330g a =-=，得ln 33a =， 根据法一中的证明有1ln 2ln 31323e<<<． （ⅰ）当1ln 232a <<时，(0)ln 220g a =->，(1)ln 330g a =->，函数的图像如图e 所示，函数在区间[1,1]-有唯一零点2t ，其中2(1,0)t ∈-．由图a 可知方程2()f x t =有两不等的实根，因此 函数有两个零点． （ⅱ）当ln 22a =时，(0)ln 220g a =-=， ()(())F x g f x =1ln10a-=1e a =()g x ()e 2f x =-()(())F x g f x =1ln 10a ->103a <≤()10g a -=-<222(0)ln 22ln 2ln ln10333g a =->-=>=()g x ()g x []1,1-1(1,0)t ∈-1()f x t =()(())F x g f x =1ln10a ->113e a <<()g x ()g x ()(())F x g f x =(1)ln 330g a =->，函数的图像如图f 所示，函数在区间[1,1]-有唯一零点0．由图a 可知方程()0f x =有三个不等的实根，因此函数有三个零点． （ⅲ）当ln 2ln 323a <<时，(0)ln 220g a =-<，(1)ln 330g a =->，函数的 图像如图g 所示，函数在区间[1,1]-有唯一零点3t ，其中3(0,1)t ∈．由图a 可知方程3()f x t =有两个零点．（ⅳ）当ln 33a =时，(0)0g <，(1)ln 330g a =-=，函数的图像如图h 所示，函数在区间[1,1]-有 两个零点，分别是1和4t ，其中4(0,1)t ∈．由图a 可知方程()1f x =有一个实根1-，方程()f x t =有两个非1-的不等实根，因此函数（ⅴ）当时，(0)0g <，(1)ln 33g a =-<函数的图像如图i 所示，函数在区间[1,1]-有两个零点5t 、6t ，其中56,(0,1)t t ∈．由图a 可知方程5()f x t =、6()f x t =且这四个根互不相等，因此函数综上可得： 当ln 2ln 2ln 310223a a a e<<<<=、、时，函数()F x 有两个零点；………………5分 当ln 22a =、时，函数()F x 有三个零点； ………………………………7分当时，函数()F x 有四个零点； ……………………………………8分 ()g x ()g x ()(())F x g f x =()g x ()g x ()(())F x g f x =()g x ()g x ()(())F x g f x =ln 313ea <<()g x ()g x ()(())F x g f x =ln 33a =ln 313ea <<当时，函数()F x 无零点． ………………………………………………9分 ②因为k11+是函数))(()(x f g x F =的一个零点，所以有1((1))0g f k +=，(]110,2k +∈，211(1)1f k k∴+=-，2221111((1))(1)ln(1)(1)0k g f g a k k k k ∴+=-=+-+=，21ln(1)11k k a k +∴=+，1,2,,k n =． …………………………………………10分 记()ln(1)m x x x =+-，1()111x m x x x -'=-=++， 当(]0,1x ∈时，()0m x '<，∴当(]0,1x ∈时，()(0)0m x m <=，即ln(1)x x +<．故有2211ln(1)k k+<，则22211ln(1)111111k k k a k k k +=<=+++()1,2,,k n =⋅⋅⋅． …11分 当1n =时，11726a <<； 当2n ≥时， （法一）：2211221121214k k k k <=-+-+-， ………………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n 1222222()()()235572121n n <+-+-+⋅⋅⋅+--+ 12272723216216n n =+-=-<++． 综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分（法二）：当2n =时，12117725106a a +<+=<； 当3n ≥时，2211111()11211k k k k <=-+--+， ………………………13分 123a a a ∴+++…++++++<+131121111222n a (11)2++n 1ea >111111111[()()()]252243511n n <++-+-+⋅⋅⋅+--+ 111111167111677[]()2522316021606n n n n =+++--=-+<<++．综上，有++21a a (6)7<+n a ，*N ∈n ． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．命题：喻秋生 黄文辉 袁作生 审题：魏显锋。
(完整版)深圳市2019届高三第一次调研考试数学理科试题
1深圳市2019届高三第一次调研考试数学理试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1、复数z ＝i （2＋i ）的共轭复数是（A ） 1＋2i （B) 1－2i （C) －1＋2i （D ） －1－2i 2、已知集合A ＝｛x|lg(2)y x =-｝，B ＝｛2|30x x x -≤}，则A ∩B ＝ （A ） ｛x ｜0＜x ＜2} （B) {x ｜0≤x ＜2} (C) {x ｜2＜x ＜3} （D) ｛x ｜2＜x ≤3｝3、设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和．若S 5＝25，a 3＋a 4＝8，则｛a n ｝的公差为 （A)－2 （B ）－1 （C)1 （D ）2 4．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5y x a =+，则预计当广告费用为6万元时的销售额为（A ）42万元 （B)45万元 （C)48万元 （D ）51万元 5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为 (A)72 （B)64 （C ）48 （D ）32 6．己知直线6x π=是函数f （x ）=sin(2)(||)2x πϕϕ+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数y ＝f （x)的图象,可把函数y ＝sin2x 的图象（A ）向左平行移动6π个单位长度 （B ）向右平行移动6π个单位长度 （C ）向左平行移动12π个单位长度 (D)向右平行移动12π个单位长度7．在△ABC中,∠ABC=60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则AB BE＝（A）一2 （B）一l （C)0 (D)l8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割"的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝12AB，连接AC；（2)以C为圆心,BC为半径画弧，交AC于点D；(3)以A为圆心,以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F,则使得BE≤AF≤AE的概率约为(5≈2。
【恒心】山东省实验中学2011级高三第一次模拟考试数学(理科)试题及参考答案(Word版)
山东省实验中学2011级高三第一次模拟考试 数学试题（理科） (2014.3)第I 卷（选择题 50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}211,log 1,M x x N x x M N =-<<=<⋂则等于 A.{}01x x << B.{}1x x -<<2 C.{}x x -1<<0 D.{}11x x -<<2.设()()()1111201411n n i i f n n Z f i i -++-⎛⎫⎛⎫=+∈= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，则 A.2 B.2- C.2i D.2i -3.下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的函数是A.()tan 2f x x =B.()1f x x =-+C.()()1222x x f x -=-D.()322log 2x f x x-=+ 4.下列有关命题的说法正确的是A.命题“若211x x ==，则”的否命题为：“若211x x =≠，则”；B.“1m =”是“直线00x my x my -=+=和直线互相垂直”的充要条件C.命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”；D.命题“已知x,y 为一个三角形的两内角，若x=y ，则sin sin x y =”的逆命题为真命题.5.已知正三棱锥V-ABC 的主视图、俯视图如下图所示，其中4,23VA AC ==，则该三棱锥的左视图的面积为A.9B.6C.33D.396.已知x 、y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且0.95,y x a a ∧=+=则A.2.2B.2.9C.2.8D.2.6 7.定义行列式运算()12343sin2142 3.1cos2a a x a a x a a a a f x =-=将函数的图象向右平移()0m m >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值为 A.12π B. 6π C. 3π D. 23π 8.已知函数()()()2,ln ,1x f x x g x x x h x x x =+=+=--的零点分别为123123,,,,x x x x x x ，则的大小关系是A.123x x x <<B. 213x x x <<C. 132x x x <<D. 321x x x << 9.八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有A.24种B.30种C.20种D.36种10.若()1,2,3,,i A i n AOB =⋅⋅⋅∆是所在的平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅ .给出下列说法： ①12n OA OA OA OA ==⋅⋅⋅==； ②1OA 的最小值一定是OB；③点A 、i A 在一条直线上；④向量i OA OA OB 及在向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.阅读右面的程序框图，执行相应的程序，则输出k 的结果是_______12.设函数()3f x x x a =+--的图象关于点（1，0）中心对称，则a 的值为_______13.在()60a x a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含常数项的系数是60，则0sin axdx ⎰的值为_______14.已知点(),p x y 满足条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y =+的最大值为8，则k=_________.15.双曲线22221x y a b-=的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线左支上一点，满足2221122PF F F PF x y a =+= ，直线与圆相切，则双曲线的离心率e 为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题满分12分）已知函数()()22sinsin cos 0,263x f x x x x R ωππωωω⎛⎫⎛⎫=-++-+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()f x 的最小正周期为π。
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绝密★启用前 试卷类型：A
2011年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科） 2011.3
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：
如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()； 如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()； 若柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为V Sh =；
若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为1
3
V Sh =．
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则
A ．11a b =-=，
B ．11a b =-=-，
C ．11a b ==-，
D ．11a b ==，
2．已知p ：
“a =，q ：“直线0x y +=与圆221x y a +-=()相切”．则p 是q 的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424S
S =，则64
S S 的值为
A ．
9
4
B ．
32
C ．
54
D ．4
4．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围
成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 A ．24
π B ．34π C ．
2
2π
D ．
3
2π 5．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是
A ．450元
B ．500元
C ．550元
D ．600元
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）为
A ．2
B ．1
C ．23
D ．13
10040
020一号 二号 三号 四号
五号
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
7．设平面区域D 是由双曲线2
2
14
y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的
边界及内部．当,x y D ∈()时，222x y x ++的最大值为
A ．24
B ．25
C ．4
D ．7
8．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '
=()的图象如图所示．
下列关于函数f x ()的命题： ①函数y f x =()是周期函数； ②函数f x ()在0 2[，]是减函数；
③如果当 1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点． 其中真命题的个数有 A ．4个 B ．3个 C ．2个
D ．1个
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题
两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．已知全集U =R ，集合A 为函数ln 1f x x =-()()的定义域，则U A ð= ． 10．设随机变量2~N 1 3X (，)，且06P X P X a ≤=>-()()，则实数a 的值为 ． 11．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若
向量222
4 1p a b c q S =+-= ()
()，，，满足//p q ，则C ∠= ． 12．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．
13．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，
则二项式6
(的展开式中含2x 项的
系数是 ．
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 “：=” ）
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题
的得分．
14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P 是直线 :cos sin 4l ρθθ+=()上任一点，Q
是圆24cos 3C ρρθ=-:上任一点，则PQ 的最小值是 ．
15．（几何证明选讲）如图，割线PBC 经过圆心O ，
1OB PB ==，OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE = ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步
骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数cos sin 2424
x x f x x ππ
=++-+π()()()()．
（1）求f x ()的最小正周期； （2）若将f x ()的图象向右平移6
π
个单位，得到函数g x ()的图象，求函数g x ()在区间0π[，]上的最大值和最小值．
B
C
D
E
P
O
第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm），这30名志愿者的身高如下：
男女
9 15 7 7 8 9 9
9 8 16 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 3 4 5 6
7 4 2 1 18 0 1
1 19
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，30
BAC
∠=︒，BM AC
⊥交AC于点M，EA⊥平面ABC，//
FC EA，431
AC EA FC
===
，，．
（1）证明：EM BF
⊥；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
A
B C
E
F
M
O
∙
已知点F 是椭圆2
22
101x y a a +=>+()的右焦点，点 0M m (，)、0 N n (，)分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅= ．若点P 满足2OM ON PO =+
．
（1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA ，OB 与直线
x a =-分别交于点S ，T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足
2
21n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=
⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．
（1）求1a ，d 和n T ；
（2）若对任意的n *N ∈，不等式81n n T n λ<+⋅-()恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数m n ，1m n <<()，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有
m n ，的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数ln 1
a
f x x a x =+∈+R ()()． （1）当9
2
a =
时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；
（3）求证：1111
ln 135721
n n +>+++++ ()n ∈*N ()．。