重庆科技学院高数考试题库
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ex(ln x)2
B.
).
dx
丄
x(ln xp
C.
dx
xl n x
D.
In x ,
dx
x
10.非齐次微分方程
3y
2y
x的一个特解y
应设为(
A. y xex
b.y
A2
Ax e
C. y Ae
D. y Axex
A.
lim xsin—
x 0x
lim
x 0
x lim sin—
x 0x
0 lim sin-0
x 0x
B.
x叫xsin
.1 sin—l=limxxx 01
C.
lim xs in丄
x
.1
sin
x
~T~
D.
lim xsin
x
12、
曲线y 2
1 1 lim x lim sin-xx xx
3. x 1在点(1,2)处的切线方程为(
lim
x
A.不存在
B.x 1
C.y 2
D.y 2-(x
3
1)
13、设函数f(x)连续，且g(x)
C.axe2x
D.ax
则f '(0)
2、 函数f(x) ln(2x 1)在［1,2］内满足拉格朗日中值定理的.
3、函数y 3x2x3的凹区间为
x2
4、 函数(x)etdt，贝U'(x).
a
5、 微分方程yex y通解是.
6.设y arcsin忑，贝U dy_ __ __.
e3x1
7.若函数f(x)x 0在x 0处连续，则a.
等价无穷小
设函数f(x)在点x
重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、 证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量． 知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。
重庆大学高数(下)期末试题六(含答案) (自动保存的)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设函数),(y x f 在曲线弧L上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ (),t αβ≤≤其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且22()()0,t t ϕψ''+≠则曲线积分(,)().L f x y ds =⎰(A)⎰βαψϕdt t t f ))(),(( (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22(C) ⎰αβψϕdt t t f ))(),(( (D) ⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22知识点：对弧长曲线积分公式；难度等级：1 答案: D2. 设级数∑∞=1n n a 为一交错级数,则().(A)该级数必收敛 (B)该级数必发散(C)该级数可能收敛,也可能发散(D)若0(),n a n →→∞则必收敛知识点：级数收敛的判断；难度等级：1 答案: C3. 下列方程中,设21,y y 是它的解,可以推知21y y +也是它的解的方程是().(A)0)()(=++'x q y x p y (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y(C) ()()()y p x y q x y f x '''++= (D) ()()0y p x y q x '''++=知识点：线性微分方程的解的性质；难度等级：1答案 答案: B微答4. 设函数(,)F x y 可微,如果曲线积分(,)()C F x y xdx ydy +⎰与路径无关,则(,)F x y 应满足().(A)(,)(,)y x yF x y xF x y ''= (B)(,)(,)y x F x y F x y ''=命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密(C)(,)(,)yy xx yF x y xF x y ''''= (D)(,)(,)y x xF x y yF x y ''= 知识点:曲线积分与路径无关；难度等级:1；答案: D 分析: 由曲线积分与路径无关的条件,计算可得. 5. 设2222:,x y z R Ω++≤则⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22().=(A) 538R π (B) 534R π (C)5158R π (D) 51516R π 知识点:三重积分计算；难度等级:2；答案: C 6. 已知曲线)(x y y =经过原点且在原点处的切线与直线062=++y x平 行,而)(x y 满足微分方程250,y y y '''-+=则曲线的方程为=y().(A)x e x 2sin - (B) )2cos 2(sin x x e x -(C) )2sin 2(cos x x e x - (D)x e x 2sin知识点:二阶线性齐次微分方程的通解；难度等级:1；答案: A二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设2,yzt xz u e dt =⎰则__________.uz ∂=∂知识点:多元函数的偏导数，变限函数求导；难度等级:1。
重庆科技学院习题
※<习题一>1. 何谓金属？金属具有哪些特性？2. 何谓晶体、晶格、晶胞、晶面、晶向和晶格常数？3. 试计算BCC和FCC晶胞的致密度。
4. 绘出立方晶胞中的（1 1 1）、（112）晶面及[1 1 0]、[1 1 2]和[2 1 1]晶向。
5※<习题二>实际晶体中存在哪几种缺陷？这些缺陷对金属的性能有什么影响？5※<习题三>1.液态金属结晶时，为什么必须过冷？2.液态金属结晶的条件是什么？3.简述纯金属的结晶过程？5※<习题四>1.决定晶粒度的因素是什么？2.生产中，细化晶粒的常用方法有哪些？为什么要细化晶粒？3.何谓平面长大、枝晶长大方式？5※<习题五>1.简述金属铸锭三个晶粒区形成的原因。
2.铸造缺陷的类型有哪些？5※<习题六>1、在正温度梯度下，为什么纯金属凝固时不能呈树枝状成长，而固溶体合金却能呈树枝状成长？2、何谓平衡相图，相图能给出任一条件下合金的显微组织吗？3、两个形状、尺寸均相同的Cu-Ni合金铸件，其中一个铸件的含镍量W Ni=90%，另一个铸件的W Ni=50%，铸后自然冷却。
问凝固后哪一个铸件的偏析严重？为什么？找出消除偏析的措施。
※<习题七>1、何谓成分过冷？成分过冷对固溶体结晶时晶体长大方式和铸锭组织有何影响？2、共晶点和共晶线有什么关系？共晶组织一般是什么形态？如何形成的？3、铋（熔点271.5℃）和锑（熔点630.7℃）在液态和固态时均能彼此无限互溶，W Bi=50%的合金在520℃时开始凝固出成分为W Sb=87%的固相。
W Bi=80%的合金在400℃时开始凝固出成分为W Sb=64%的固相。
根据上述条件，要求：（1）绘出Bi –Sb相图，并标出各线和各相区的名称；（2）从相图上确定含锑量为W Sb=40%的合金开始结晶和结晶终了温度，并求出它在400℃时的平衡相成分及其含量。
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《高数１》课后练习题一、选择题1、0x =是函数1()sin f x x x=的( ).A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、第二类间断点2、下列各极限均存在，则下列等式成立的是( ).A 、000h 0()()lim '()f x f x h f x h →-+=B 、0000()()lim '()h f x f x h f x h →--=C 0000()()lim '()h f x h f x f x h →--=D 、0000(2)()lim '()h f x h f x f x h →+-=3、1cos dxx+⎰= ( ).A 、tan sec x x C -+B 、cot csc x xC --+C 、tan 2x C +D 、tan()24x C π-+4、对反常积分0x e dx +∞-⎰敛散性的描述正确的是 ( ).A 、发散B 、收敛于0C 、收敛于1D 、收敛于1- 5、设x e -是()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰( )。
A 、(1)x e x c --+B 、(1)x e x c -++C 、(1)x e x c --+D 、(1)x e x c --++6．当0→x 时，x x sin -是2x 的（ ）.A ．等价无穷小B ．同阶但不等价的无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小7．设函数)(x f 在点1=x 处可导，且1)1()21(lim 0=∆-∆-→∆xf x f x ，则)1(f '等于( ) .A ．21B ．21- C ．2 D ． 2-8．若)()(x f x F ='，则⎰dx x f )(=（ ）. A. )(x FB. )(x fC. c x f +)(D. c x F +)(9．下列反常积分收敛的是（ ）. A.⎰∞+ex x dx2)(ln B.⎰+∞ex x dx 21)(ln C.⎰∞+exx dxln D. ⎰∞+edx xxln 10．非齐次微分方程x e yy y -=+'+''23的一个特解*y 应设为（ ）.A ．x xe y -*=B ．x e Ax y -*=2C ．x Ae y -*=D ．x Axe y -*= 11、下列计算正确的是（ ）A ．xx x 1sinlim 0→01sin lim 01sin lim lim 00x 0=⋅==→→→x x x x xB ． xx x 1sin lim 0→=111sin lim 0=→x x x C ． 111sinlim 1sin lim ==∞→∞→xx x x x xD ．x x x 1sinlim ∞→==→∞→∞x x x 1sin lim lim x 00lim =⋅=∞→x x 12、曲线132-+=x y 在点)2,1(处的切线方程为（ ）A ．不存在 B.1=x C.2=y D.)1(312-=-x y13、设函数)(x f 连续，且3()()x ag x f t dt =⎰，则()g x '= （ ）A.)(x fB.)(3x fC.)(32x f xD.)(332x f x 14、反常积分2122dx x x +∞++⎰( ) A. 收敛于4π B. 收敛于2πC. 收敛于πD.发散 15、微分方程263xy y y e-'''--=- 的特解*y 的形式为( )A.2x ae -B.2x ae --C.x axe 2-D.xe ax 22-二、填空题1、设()(1)(2)()f x x x x x n =---，则'(0)_____f =.2、函数()ln(21)f x x =-在[1,2]内满足拉格朗日中值定理的________ξ=.3、函数233y x x =-的凹区间为_______4、函数2()x t a x e dt Φ=⎰，则'()________x Φ=.5、微分方程x y y e -'=通解是____________________________. 6．设x y arcsin =，则dy =_______ _ _ ___.7．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=001)(3x ax x e x f x 在0=x 处连续，则a = .8．函数x x y ln 22-=单调增加的区间是________ ____. 9．定积分 31max(2,)x dx =⎰ .10．微分方程0y y '+=的通解为 .11.设⎰=x dt ttx F 1sin )(，则____________)2(='πF 12、设)(x f 在0x 点可导，且0)(0=x f ，则02lim ()h hf x h→∞-=_____________.1、函数3212--+=x x x y 的连续区间是2、设2y =,则=dy3、不定积分=-⎰dx xx 21arcsin4、设)(x f 的一个原函数为2)(xe x F x=，则⎰=+dx x xf )1(25、微分方程230y y y '''+-=的通解为___________________ 三、计算下列极限1.求3113lim()11x x x →---. 2.求tan 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭ 3.求极限xx x 3sin )21ln(lim0+→4．求极限)arctan 2(lim x x x -+∞→π， 5、lim 1)x x →∞6.设()f x 在[)0,+∞内连续,且lim ()1x f x →+∞=,求函数0()xxt ee f t dt -⎰的导数及极限0lim ()xx t x e e f t dt -→+∞⎰。
高职高数下补考复习试题
重庆科创职业学院2009 ∽2010 学年第 2 学期《 高等数学（下） 》课程期末补考复习试题适用班级：电子信息ZK0901、应用电子ZK0901、电气自动化ZK0901、数控技术ZK0901+模具设计与制造ZK0901、建筑工程ZK0901-2 一、选择题： 1. 若2()5f x dx xc =+⎰，则)(x f =（ ）.A. 10xB. 5xC. 25x D. 5 2.299cos x d tdt dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰=（ ）. A. 299cos x B. 299cos t C. 2cos t D. 2cos x 3．若()cos f x dx x c =+⎰，则=)(x f （ ）.A sin x -B sin xC cos xD cos x - 4．cos x xdx =⎰（ ）.A C x x x +-cos sinBC x x x +-sin sinC C x x x ++cos sinD C x x x ++sin sin 5．函数)(x f 在闭区间[0,3]上连续是定积分3()f x dx ⎰存在的（ ）.A 必要条件B 充分条件C 充要条件D 无关条件6.1sin xd tdt dx=⎰ （ ）. A sin 1x - B sin x C 0 D cos x7. 下列函数中，（ ）是sin x 的原函数.A sin x c +B sin x c -+C cos x c -+D cos x c + 8．下列凑微分正确的是（ ）.A sin (cos 3)xdx d x =+5)d = C 211arcsin xdxdx -= D 222(4)x x xe dx d e =+9. 下列分部积分中，u 和'v 选择正确的有（ ）.A 'sin ,,cos x xdx u x v x ==⎰B 'cos ,cos ,x xdx u x v x ==⎰C ln ,ln ,xdx u x v x ==⎰D ⎰==x v x u xdx x ln ,,ln '22 10．10arcsin d xdx dx⎰=（ ）.A 0B 211x + C arcsin x D arcsin1 11.121sin x xdx -=⎰（ ）.A. 3B. １C. ２D. ０12. 21cos xd t tdt dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰=（ ）. A. 2cos x B. 2cos t C. 2cos x x D. 2cos t t13．矩阵2311-⎛⎫⎪-⎝⎭的逆矩阵为（ ）.A 2311-⎛⎫⎪-⎝⎭ B1312-⎛⎫ ⎪-⎝⎭C 2311⎛⎫⎪--⎝⎭D 1312--⎛⎫⎪⎝⎭ 14. 已知行列式10513020a=0，则数a =（ ）A -10B -3C 10D 3 15. 设A 为2阶矩阵，若|2A |=4，则|3A |=（ ） A13 B 9 C 43D 316. 若三阶方阵的秩为2，则（ ） A A 为可逆阵B 齐次方程组Ax =0有非零解C 齐次方程组Ax =0只有零解D 非齐次方程组Ax =b 必有解 17．矩阵2347-⎛⎫⎪-⎝⎭的逆矩阵为（ ）.A 7342--⎛⎫ ⎪⎝⎭B 732221⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ C 732221⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭D 7342-⎛⎫ ⎪-⎝⎭18. 设行列式4622334031,104111111x y zx y z==则行列式（ ）.A12 B 1 C 2 D 1419. 设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（ ）. A AB BA = B AB A B =C ()A B C AB AC +=+D ()T T T AB B A =20. 由m 个方程n 个未知量构成的齐次线性方程组0Ax =，若m n <则（ ）. A 有零解 B 有非零解 C 无解 D 无穷个解 二、填空题：21. 设111dx x -=⎰_____________.22. 2(3cos )x x dx +=⎰ _____________.23. 设11(),()e f x f x dx x==⎰则__________.24. cos xdx =⎰ __________.25.设()f x ='()fx dx =⎰ .26. ()(),F x f x '=则cos (sin )xf x dx =⎰ .27. 91-=⎰ .28．arcsin 3d x ⎰= .29．2xxe dx ⎰ = . 30．3113()()f x dx f x dx +⎰⎰= .31．矩阵310211211344⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩为 .32. 若110310,22k k==则 . 33. 设[]211A =-，[]30B =，则TA B = .34．矩阵310211211344⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩为 .35. 行列式320451231= . 36. 若两个矩阵5m l n A B ⨯⨯与相乘，要求l = . 三、不定积分的计算：（每小5分题，共计15分） 37.求积分. 38. 求极限21cos 2d limt xx e t x -→⎰.39. 已知()f x 的原函数为sin xx，求不定积分()xf x dx '⎰.40. 计算抛物线22y x =与直线4y x =-所围成图形的面积.41.计算不定积分53(2)x x dx -⎰. 42.求不定积分sin(ln 2)3x dx x ⎰.43.求不定积分cos 2x xdx ⎰. 44. 计算45. 求不定积分32)x x dx -+. 46. 求不定积分sin x e xdx ⎰.47. 求积分⎰.49. 已知()f x 的原函数为2xe -，求定积分1()xf x dx '⎰的值.50. 求三次抛物线3x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积.四、定积分及定积分应用的计算： 51.计算271⎰． 52. 计算42cos x xdx ππ⎰.53. 求203(1)sin limxt x e t dtx →-⎰. 54. 求函数21()ln xf x tdt =⎰的极值点与极值.55.计算曲线21y x =-+与x 轴及直线3x =围成的图形的面积. 56.求25cos 2limt xx te dtx →⎰的值. 57.计算94⎰.58. 设201()512x x f x x ≤≤⎧=⎨≤≤⎩，计算20()f x dx ⎰的值.59.求函数20()(2)xf x t t dt =+-⎰的极值.60.求由曲线2y x =与2y x =所围成的平面图形的面积.五、线性代数部份：（每小7分题，共计14分）61．利用初等行变换求方阵121351212-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭的逆矩阵. (本小题8分)62．求矩阵501410110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.63．当λ取何值时，方程组2 1231231231x x xx x xx x xλλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩（1）无解（2）有唯一解（3）有无穷多解.64.已知矩阵1237A-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，矩阵31B⎛⎫= ⎪⎝⎭，且AX B=，求矩阵X.65.求矩阵12102242662102333334A--⎛⎫⎪--⎪=⎪-⎪⎝⎭的秩.。
《高等数学2》期末考试B卷
重庆三峡学院《高等数学（2)》期末考试B 卷总 分 题号 一 二 三 四 核分人 题分 15 12 58 15 复查人得分一、单项选择题（每题3分，共15分）1．级数1ln1n nn ∞=+∑是（ ) A ．发散的 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．无法判断2．极限224(,)(0,0)limx y xy x y →=+（ ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．不存在3．三个单位向量a ,b ，c 满足0a b c ++=,则a b b c c a ++=( ） A ．12 B ．12- C ．32 D ．32- 4．若n a 与n b 符合( ），则可由1nn a∞=∑发散推出1nn b∞=∑发散。
A ．n n a b ≤B ．n n a b ≤C ．n n a b ≤D ．n n a b ≤ 5．函数223(,)33f x y x y x =+-的极小值点是（ ） A ．(2,0) B ．(0,0) C ．(0,1) D ．(1,0)二、填空题（每题3分,共12分）6．给定两点()1,3,21-M ，()24,1,5M ，与21M M 同向的单位向量为 。
7．12201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰交换积分次序后变为 .8．幂级数02nn n x n∞=∑的收敛域是 。
9．sin x 的幂级数展开式为(包括收敛域） （写到前三项即可)。
三、计算题（共7题，共58分）10．已知||3a =，||26b =，||72a b ⨯=,求a 与b 的点积.（７分）11．求过点(2,1,1)P 且与直线⎩⎨⎧=++-=-+-025404632z y x z y x 垂直的平面。
（7分）12．求曲线2223023650x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在(1,1,1)处的切线与法平面方程。
（7分）13．计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )ln(22，其中D 为2224e x y e ≤+≤。
重庆专升本高等数学模拟试题一(各种题精心整理)【精选文档】
重庆市专升本高等数学模拟试卷（一)一．选择题（本大题共5小题,每小题4分,共20分，每项只有一个正确答案，请把所选项前的字母填在括号内）1.)(2sinlim =∞→xx x π（A) 0 （B ） 1 (C ） ∞ （D) π22。
设)(x F 是)(x f 在()+∞∞-,上的一个原函数，且)(x F 为奇函数,则)(x f 是( ）（A) 奇函数 (B ） 偶函数 （C) 非奇非偶函数 （D) 不能确定3.⎰=)(tan xdx(A) c x +cos ln （B) c x +-cos ln (C ） c x +-sin ln （D) c x +sin ln4.设)(x f y =为[]b a ,上的连续函数,则曲线)(x f y =，a x =，b x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为( ) (A) ⎰b a dx x f )( (B)⎰b adx x f )((C)⎰b adx x f )( (D) ⎰-badx x f )(5.下列级数发散的是（ )A ．2134(1)(1)(2)nn n n n ∞=--++∑ B ．11(1)1nn n ∞=-+∑C ．111(1)3n n n ∞-=-∑ D ．3121(21)n n ∞=+∑二．填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分，请把正确结果填在划线上） 1.方程 0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数为 2。
)3(tan 312y x y +='的通解为 3.。
若lim n n nu k →∞=（0k >),则正项级数∑∞=1n nu的敛散性为 ．4。
积分⎰-21121dx x ＝5。
二次积分⎰⎰10024x xdy dx ＝三．计算题(本大题共10题，1-8题每题8分, 9题9分，10题7分） 1、求极限11lim 31--→x x x2、已知x x xy y x sin )ln(22+=+，求0=x dx dy3.⎰10arctan xdx x4、求方程22x y y y =-'+''的通解5、求幂级数∑∞=+-01)2(n nn x 的收敛域．6、.求二重积分σd yx D⎰⎰22，其中D 是由直线2=x ，x y =及直线1=xy 所围成的闭合区域。
重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos0β=时有().(A) a⊥xoy面(B) a//xoz面(C) a⊥yoz面(D) a xoz⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:cos0,β=,2πβ=a垂直于y轴,a//xoz面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,y C C x C x=++其中123,,C C C为独立的任意常数,则该方程为().(A)0y y'''+=(B) 30yy'''+'=(C)0y y'''-=(D) 0y'''=知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D)分析:由通解中的三个独立解21,,x x知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y'''=故应选(D).3. 设D由14122≤+≤yx确定.若1221,DI dx yσ=+⎰⎰222(),DI x y dσ=+⎰⎰223ln(),DI x y dσ=+⎰⎰则1,I2,I3I之间的大小顺序为().(A)321III<<(B)231III<<(C)132III<<(D)123III<<知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域D由22114x y≤+≤确定.在D内,2222221ln(),x y x yx y+<+<+故321.I I I<<只有D符合.4．设曲线L是由(,0)A a到(0,0)O的上半圆周22,x y ax+=则曲线积分命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.(sin )(cos )().xx Ley my dx e y m dy -+-=⎰(A)0 (B)22m a π (C)28m a π (D)24m a π知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)分析:补充直线段1:0(:0),L y x a =→则1L L +为封闭曲线在上使用格林公式可得12,2L L Dm mdxdy a π+==⎰⎰⎰而10.L =⎰选B.5. 已知向量23,a m n =+则垂直于a 且同时垂直于y 轴的单位向量().e =(A))i j k ++ (B))i j k -+ (C))2i k ±- (D)()2i k ±+知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量111010i j ki k =-+垂直于a 且同时垂直于y 轴,其模为6. 设∑为球面2222,x y z R ++=则22()().84x y I dS ∑=+=⎰⎰(A)24R π (B)545R π (C)24R π (D)R π4知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4.333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰利用上述结论所求I 为23.8x dS ∑⎰⎰故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数21!n nn n x n ∞=∑的收敛半径为__________.知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案分析:1`22222(1)(1)(1)!lim lim 1!n n n n n n n n n xn n x ex x n n x n ++→∞→∞+++==<⇒< 8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(c b a ,此平面的方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:1.答案:23120.x y z -+-=分析:该平面的法向量为22350,x y z -+-=且过点22350,x y z -+-=则其平面的方程23120.x y z -+-=9. 设L 为椭圆221,34x y +=其周长记为,a 则求22(243)Lxy x y ds ++⎰__________.=知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12.a10. 设区域D 为222,x y R +≤则()DR y dxdy +⎰⎰__________.=知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:3.R π分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.3222(2cos )(12sin 3)__________,Lxy y x dx y x x y dy -+-+=⎰其中为抛物线22x y π=上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:2.4π解: 322cos ,P xy y x =-2212sin 3,Q y x x y =-+262cos .Q P xy y x x y∂∂⇒=-=∂∂ 3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy ⇒-+-+⎰与积分路径无关.⇒取L 为由(0,0),(,0),(,1)22ππ组成的折线,则2132222203(2cos )(12sin 3)0(12).44L xy y x dx y x x y dy y y dy ππ-+-+=+-+=⎰⎰12. 设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,则333I x dydz y dzdx z dxdy∑=++⎰⎰__________.=知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:12.5π分析: 由高斯公式,2122240123()3sin .5I x y z dV d d r dr ππθϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题2(2)|1x ydy x y dxy ==+⎧⎨=⎩的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yu x=化为可分离变量的微分方程. 解:将方程改写为2.dy x y dx y+= 这是齐次方程.令,y xu =则.dy du u x dx dx=+ 代入上式得L (0,0))1,2(π21.du u xdx u+=+ 这是变量分离方程,且有(2)1(2).22y u ==积分得21ln |2|ln |1|0.33x u u C +-+++= 代入初值可解得32ln .2C =--故原方程的特解为213ln |2|ln |1|2ln 0.332y y x x x +-++--=14. 求级数11(4)!n n ∞=∑的和. 知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 0,.!nx n x e x R n ∞==∈∑(1),.!n nx n x e x R n ∞-=-⇒=∈∑20,.(2)!2n x xn x e e x R n -∞=+⇒=∈∑又 20(1)cos ,.(2)!n nn x x x R n ∞=-=∈∑ 40cos 2,.(4)!2x xn n e e x x x R n -∞=++⇒=∈∑ 111cos112.(4)!2n e e n -∞=++⇒=∑ 15. 计算222()L ydx xdy x y -+⎰,其中L 为圆周22(1)2,x y -+=L 的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.解:当(,)(0,0)x y ≠时,22222.2()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂作小圆222:,C x y ε+=取逆时针方向,则222222222112.2()2()22L C Cx y ydx xdy ydx xdy ydx xdy dxdy x y x y επεε+≤--==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰16. 求力(,,)F y z x =沿有向闭曲线L 所作的功,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z 轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取∑为平面1x y z ++=的下侧被L 所围的部分,∑1,1,1).--- 力F 所做的功为LW ydx zdy xdz =++⎰x y y z ∑---=∂∂∂∂⎰⎰3.2===⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(),u yxf z =其中()f z 二阶可导,(,)z z x y =由方程2ln 10x y z +-+=所确定,求22.ux∂∂知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 分析:()u yxf z =对x 求二阶偏导数得22,ux ∂∂但其中会包含z 对x 的二阶偏导数22zx ∂∂.2ln 10x y z +-+=两边对x两次求偏导数,可求出22zx∂∂.解:()(),u z yf z xyf z x x∂∂'=+∂∂ 222222()()()(),u z z zyf z xyf z xyf z x x x x∂∂∂∂''''=++∂∂∂∂221,1,z z x zz zz x x∂==∂∂∂==∂∂2222()()().uyzf z xyz f z xyzf z x∂''''=++∂ 18. 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设222:,0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩取下侧,则∑与S 围成的区域为,ΩS 在xoy 面的投影区域为.D 于是323232()()()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰22223()Dx y z dv ay dxdy Ω=+++⎰⎰⎰⎰⎰222222203sin sin a a d d r r dr a d r rdr πππθϕϕθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰555615429.20a a a πππ=+=五、 证明题(每小题6分,共12分)19. 证明:()()0()()().ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量,y 先对y 积分,故将积分区域D 由y 型区域化为x 型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为,0,{()0|},D x y y a x y =≤≤≤≤并且D 又可表示为,0,{(}.)|D x y x a x y a =≤≤≤≤ 所以()()()0()()()().ay a a am a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰20. 设在半平面0x >内有力3()kF xi yj ρ=-+构成力场,其中k 为常数,ρ=证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明 场力所作的功2232,()Lxdx ydyW k x y +=-+⎰其中L 为力场内任一闭曲线段.223222523;()()Q y xyx x x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 223222523.()()P x xy y y x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 可见,,P Qy x∂∂=∂∂且,P Q 在半平面0x >内有连续偏导数,所以0.W =即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n 年取出109n +万元,问a 至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值,则(1)(109).n n A r n -=++ 故1111110919102009.(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1(),(1,1),n n S x nx x ∞==∈-∑ 则21()()(),(1,1).1(1)n n x x S x x x x x x x ∞=''===∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+万元,故20094203980A =+⨯=万元,即至少应存入3980万元.22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30,︒物体在15分钟内从100︒冷却到70︒时,求物体冷却到40︒时所需要的时间？知识点:微分方程数学模型,难度等级:2分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t 时,物体的温度为.T C ︒ 根据冷却定律列出方程(30).dTk T dt=-- 分离变量,并积分得,30dTkdt T =-- ln(30)ln .T kt c -=-+故有0.3kt T ce -=+由初始条件:015|100,|70.t t T T ==== 代入可解得1770,ln ,154c k ==即有 17(ln )154.3070t T e-=+当40T =时,由上式可解得15ln 7527ln 4t ==(分).。
重庆科技学院综合题答案110
1、某周期信号的傅立叶级数展开式为：00()105cos 10cos(3)2x t t t πωω=+-+，(1)求其均值；(2)画出该信号的幅值图和相位谱；（3）该谱图有何特点。
2、一汽车司机座的振动较大，试设计测试方案寻找振源。
（1）给出可能的振源；（2）列出测试方案框图，并作简要说明 （3）给出判断方法及判断原则。
3、图1所示矩形函数x(t)的频谱为()sin(/2)X A ωτωτ=，求图2所示信号y(t)的频谱，并画出其幅值谱图。
(sin sin /cx x x =)4、已知某信号的傅里叶级数展开式为x (t )=1n ∞=∑4A n πsin 2n πcos n ω0t ，试求该信号的直流分量，第一至第五次谐波分量的幅值，并绘出其幅值谱图。
5、什么是信噪比SNR ？假如用某仪器测量某信号时的信噪比为60dB ，已知噪声为0.01V ，则信号电压为多少？6、已知信号x(t)为矩形信号，其时域表达式如图所示，试求信号x(0.5t)的傅里叶变换。
7、用应变电桥测量力F ，如图所示，电阻应变片1R 、2R 、3R 、4R 已分别粘在试件上。
分别画出（a ）和（b ）两种情况的电桥连接图（要求既能测出力F ，又能进行温度补偿可接固定电阻），并进行必要的说明。
8、由RC 组成无源低通滤波器，已知R=500(Ω)，C=10(μF)，试求：（1）求截止频率f0，并画出该滤波器的幅频示意图。
（2）设输入信号()0.2cos(125.6/4)x t t π=-，判断该 信号是否在该滤波器的通频带内。
9、已知某信号111()0t T x t t T ⎧<⎪=⎨>⎪⎩， （1）定性画出该信号的幅值谱密度图；（2）求信号x(0.5t)，x(2t)的傅立叶变换。
10、某地下输油管道由于管道破损而发生漏油，现采用相关理论来探测漏损位置。
列出测试方案框图，并作简要说明（在图中要作出相应标记）；五、分析题（10分）在输油管道上，常装有监测装置用以监测管道的裂损或泄漏，并能确定损伤位置，如图5-21所示。
重庆科技学院高数考试题库
重庆科技学院高数考试题库《高数１》课后练习题一、选择题1、0x =是函数1()sin f x x x=的( ).A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、第二类间断点2、下列各极限均存在，则下列等式成立的是( ).A 、000h 0()()lim '()f x f x h f x h →-+=B 、0000()()lim '()h f x f x h f x h →--=C 0000()()lim '()h f x h f x f x h →--=D 、0000(2)()lim '()h f x h f x f x h →+-=3、1cos dxx+?= ( ).A 、tan sec x x C -+B 、cot csc x xC --+C 、tan 2x C +D 、tan()24x C π-+4、对反常积分0x e dx +∞-?敛散性的描述正确的是 ( ).A 、发散B 、收敛于0C 、收敛于1D 、收敛于1- 5、设x e -是()f x 的一个原函数，则()xf x dx =?( )。
A 、(1)x e x c --+B 、(1)x e x c -++C 、(1)x e x c --+D 、(1)x e x c --++6．当0→x 时，x x sin -是2x 的（）.A ．等价无穷小B ．同阶但不等价的无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小7．设函数)(x f 在点1=x 处可导，且1)1()21(lim 0=?-?-→?xf x f x ，则)1(f '等于( ) .A ．21B ．21- C ．2 D ． 2-8．若)()(x f x F ='，则?dx x f )(=（）. A. )(x FB. )(x fC. c x f +)(D. c x F +)(9．下列反常积分收敛的是（）. A.∞+ex x dx2)(ln B.+∞ex x dx 21)(ln C.∞+exx dxln D. ?∞+edx xxln 10．非齐次微分方程x e yy y -=+'+''23的一个特解*y 应设为（）.A ．x xe y -*=B ．x e Ax y -*=2C ．x Ae y -*=D ．x Axe y -*= 11、下列计算正确的是（）A ．xx x 1sinlim 0→01sin lim 01sin lim lim 00x 0=?==→→→x x x x x B ． xx x 1sin lim 0→=111sin lim 0=→x x x C ． 111sinlim 1sin lim ==∞→∞→xx x x x xD ．x x x 1sinlim ∞→==→∞→∞x x x 1sin lim lim x 00lim =?=∞→x x 12、曲线132-+=x y 在点)2,1(处的切线方程为（）A ．不存在 B.1=x C.2=y D.)1(312-=-x y13、设函数)(x f 连续，且3()()x ag x f t dt =?，则()g x '= （）A.)(x fB.)(3x fC.)(32x f xD.)(332x f x 14、反常积分2122dx x x +∞++?( ) A. 收敛于4π B. 收敛于2πC. 收敛于πD.发散 15、微分方程263xy y y e-'''--=- 的特解*y 的形式为( )A.2x ae -B.2x ae --C.x axe 2-D.xe ax 22-二、填空题1、设()(1)(2)()f x x x x x n =---，则'(0)_____f =.2、函数()ln(21)f x x =-在[1,2]内满足拉格朗日中值定理的________ξ=.3、函数233y x x =-的凹区间为_______4、函数2()x t a x e dt Φ=?，则'()________x Φ=.5、微分方程x y y e -'=通解是____________________________. 6．设x y arcsin =，则dy =_______ _ _ ___.7．若函数≤>-=001)(3x ax x e x f x 在0=x 处连续，则a = .。
重庆大学高等数学(工学类)课程试卷
2.若2lim ()x x a x x a xe dx x a
+∞-→+∞-=+⎰，求a 的值。
3、设函数()y y x =由方程322
2221y y xy x -+-=所确定，试求()y y x =的驻点，并判断它是否是极值点。
4. 计算
22(tan 1)x e x dx +⎰。
5. 设12
01()()1x f x xe f x dx x =-+⎰，求(),()f x f x '。
6. 已知1(2),(2)02
f f '==及20()1f x dx =⎰，求120(2)x f x dx ''⎰。
四、证明题（每小题9分，本题共18分）
1、证明方程0ln x x e π=
-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同的实根。
2、设()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可微，且0()sin 0f x xdx π
=⎰，0()cos 0f x xdx π
=⎰。
证明：在(0,)π内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=。
五、应用题（本题共10分）用自重200N 的抓斗将井深30米内开始时重2000N 的污泥提升到井口，已知铁链每米重50N ，提升速度为每秒3米，提升过程中污泥以每秒20N 的速度从抓斗的漏孔中漏掉，问克服重力作功多少焦耳？。
重庆科技学院_线性代数考题及答案
试 卷 一一（33%）填空题（E 表示单位矩阵）：1． 设),(21=α，),(11-=β，则=T αβ -1 ； =999)(βαT ；2． 设矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=031130021A ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=700650432B ，则行列式=-1AB -1/70 ；3． 若向量组⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=11123321321k ααα,,，则当参数k =0 时，321ααα,,线性相关； 4． 22⨯矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的伴随矩阵*A = d b c a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； 5． 设矩阵A 及E A +均可逆，1-+-=)(E A E G ，则-1G 1E A -+ ；6． 分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡O E E A 的逆矩阵为OE E A ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； 7． 设56⨯是A 矩阵。
若齐次线性方程组θ=Ax 的解空间是2维的，则齐次线性方程组θ=x A T的解空间是 3 维的；8． 与向量T ),,(101=α，T ),,(111=β均正交的一个单位向量为1,0,1)2T - ；9． 已知矩阵⎪⎭⎫ ⎝⎛=k M 3412，TMM A =，则当数k 满足条件 k ≠1 时，A 是正定的；10． 若实对称矩阵A 有两个不同的特征值, 且O E A A =+-232则当参数k 满足条件 k>-1/2 时，矩阵kA E +是正定的。
二（12%）求矩阵方程B X XA +=2的解，其中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123101300010113B A , 三（12%）设3阶方阵A 有特征值11-和二重)(，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=11011121αα,是其相应于特征值1 的特征向量，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1003α是其相应于特征值1-的特征向量。
1.求9999AA 及。
2. 若3阶实对称矩阵B 的特征值也是11-和二重)(，证明：A 与B 必定相似。
重庆大学高数(工学下)期末试题七(含答案)
答案:
分析:设动点的坐标为 根据题意得到 两边平方化简得到
9．设 交换积分次序后,
知识点:交换积分顺序；难度等级:2。.
答案:
10.设 则
知识点:一阶偏微分计算；难度等级:1。答案:
11.设 为取正向的圆周 则曲线积分
知识点:曲线对坐标的积分计算，格林公式；难度等级:1.答案:
分析:先求出对应的齐次线性方程的通解,再定出相应的特解形式.
解:对应的齐次方程的特征方程为: 故可得特征根为
原方程右端的函数 其中
方程 的一个特解为
方程 的一个特解为
利用叠加原理,得原方程的特解
故方程的通解为
15.计算曲面积分 其中 为曲面 的上侧.
知识点:对坐标曲面积分计算，高斯公式；难度等级:2.
(A)
(B)
(C)
(D)
知识点:对坐标曲面积分计算,高斯公式；难度等级:1。答案:B
分析:A中右边被积函数错误,B正确,C符号错误,D被积函数错误.
二、填空题(每小题3分,共18分)
7.微分方程 的通解为
知识点:齐次微分方程；难度等级:1。答案:
8.平面 与一动点的距离等于动点与原点间的距离,动点的轨迹表达式为
证明:令
显然 在正方形域 上连续,且
由连续函数的介值定理知 在 上至少有一个零点,即方程 在 上至少有一组解.
20.设曲面 证明:
知识点:对面积的曲面积分,对称性,轮换性；难度等级:3。
分析:据题目的特点,注意对称性的使用
证明: 关于 面对称, 为连续的奇函数,故
由轮换性对称性知 于是
在八个卦限中都是以边长为 的等边三角形,其面积为 故
重庆科技学院高数题
高等数学（上册）考试试卷（一）一、填空1．设c b a,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2．xx e 10lim +→= ，xx e 10lim -→= ，x x e 1lim →=3．设211)(xx F -='，且当1=x 时，π23)1(=F ，则=)(x F4．设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0，则)(x f '=5．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b二、选择1．曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。
（A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x2．2)11(lim xx x x -∞→-+=（ ）。
（A ）1 （B ）21e （C ）0 （D ）1-e 3．设函数)(xf 具有连续的导数，则=+'⎰dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)(4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）a b a f b f f --=')()()(ξ（C ）0)(=ξf （D ）ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题1． 求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。
重庆高等数学试题及答案
重庆高等数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数\( y = e^x \)的导数是（）。
A. \( e^x \)B. \( -e^x \)C. \( \ln e^x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)4. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)的拐点坐标是（）。
A. (0,2)B. (1,0)C. (2,-2)D. (3,6)5. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值为（）。
A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{5} \)6. 微分方程\( y'' + 4y' + 4y = 0 \)的特征方程是（）。
A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)7. 函数\( f(x) = \ln(x+1) \)的不定积分是（）。
A. \( x\ln(x+1) - x + C \)B. \( x\ln(x+1) + x + C \)C. \( x\ln(x+1) + \ln(x+1) + C \)D. \( x\ln(x+1) - \ln(x+1) + C \)8. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)的和是（）。
A. \( \frac{\pi^2}{6} \)B. \( \frac{\pi^2}{4} \)C. \( \frac{\pi^2}{3} \)D. \( \frac{\pi^2}{2} \)9. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是（）。
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《高数１》课后练习题一、选择题1、0x =是函数1()sin f x x x=的( ).A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、第二类间断点 2、下列各极限均存在，则下列等式成立的是( ).A 、000h 0()()lim '()f x f x h f x h →-+=B 、0000()()lim '()h f x f x h f x h →--=C 0000()()lim '()h f x h f x f x h →--=D 、0000(2)()lim '()h f x h f x f x h →+-=3、1cos dxx+⎰= ( ).A 、tan sec x x C -+B 、cot csc x xC --+C 、tan 2x C +D 、tan()24x C π-+4、对反常积分0x e dx +∞-⎰敛散性的描述正确的是 ( ).A 、发散B 、收敛于0C 、收敛于1D 、收敛于1- 5、设x e -是()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰( )。
A 、(1)x e x c --+B 、(1)x e x c -++C 、(1)x e x c --+D 、(1)x e x c --++ 6．当0→x 时，x x sin -是2x 的（ ）.A ．等价无穷小B ．同阶但不等价的无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小7．设函数)(x f 在点1=x 处可导，且1)1()21(lim 0=∆-∆-→∆xf x f x ，则)1(f '等于( ) .A ．21B ．21- C ．2 D ． 2-8．若)()(x f x F ='，则⎰dx x f )(=（ ）.A. )(x FB. )(x fC. c x f +)(D. c x F +)(9．下列反常积分收敛的是（ ）.A. ⎰∞+ex x dx 2)(ln B. ⎰+∞e x x dx21)(ln C. ⎰∞+e x x dx ln D. ⎰∞+edx xxln 10．非齐次微分方程x e y y y -=+'+''23的一个特解*y 应设为（ ）.A ．x xe y -*=B ．x e Ax y -*=2C ．x Ae y -*=D ．x Axe y -*=11、下列计算正确的是（ ）A ．xx x 1sinlim 0→01sin lim 01sin lim lim 00x 0=⋅==→→→x x x x xB ． xx x 1sin lim 0→=111sin lim 0=→x x x C ． 111sinlim 1sin lim ==∞→∞→xx x x x xD ．x x x 1sinlim ∞→==→∞→∞x x x 1sin lim lim x 00lim =⋅=∞→x x 12、曲线132-+=x y 在点)2,1(处的切线方程为（ ）A ．不存在 B.1=x C.2=y D.)1(312-=-x y13、设函数)(x f 连续，且3()()x ag x f t dt =⎰，则()g x '= （ ）A.)(x fB.)(3x fC.)(32x f xD.)(332x f x 14、反常积分2122dx x x +∞++⎰( ) A. 收敛于4π B. 收敛于2πC. 收敛于πD.发散 15、微分方程263xy y y e -'''--=- 的特解*y 的形式为( )A.2xae - B.2xae-- C.xaxe 2- D.x e ax22-二、填空题1、设()(1)(2)()f x x x x x n =---，则'(0)_____f =.2、函数()ln(21)f x x =-在[1,2]内满足拉格朗日中值定理的________ξ=.3、函数233y x x =-的凹区间为_______4、函数2()x t a x e dt Φ=⎰，则'()________x Φ=.5、微分方程x y y e -'=通解是____________________________. 6．设x y arcsin =，则dy =_______ _ _ ___.7．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=001)(3x ax x e x f x 在0=x 处连续，则a = . 8．函数x x y ln 22-=单调增加的区间是________ ____. 9．定积分31max(2,)x dx =⎰.10．微分方程0y y '+=的通解为 . 11.设⎰=x dt ttx F 1sin )(，则____________)2(='πF 12、设)(x f 在0x 点可导，且0)(0=x f ，则02lim ()h hf x h→∞-=_____________.1、函数3212--+=x x x y 的连续区间是2、设2y =,则=dy3、不定积分=-⎰dx xx 21arcsin4、设)(x f 的一个原函数为2)(xe x F x=，则⎰=+dx x xf )1(25、微分方程230y y y '''+-=的通解为___________________ 三、计算下列极限1.求3113lim()11x x x →---. 2.求tan 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭ 3.求极限xx x 3sin )21ln(lim0+→4．求极限)arctan 2(lim x x x -+∞→π， 5、lim 1)x x →∞6.设()f x 在[)0,+∞内连续,且lim ()1x f x →+∞=,求函数0()x x t e e f t dt -⎰的导数及极限lim ()xxtx ee f t dt -→+∞⎰。
7求极限x x x x --+→112tan lim，8xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim9、求极限x x x x --+→112tan lim10、求极限 xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim11、由方程sin cos()0y x x y --=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx. 12、求函数ln (0)x y x x =>的导数dy dx. 13.求参数方程32ttx e y e-⎧=⎨=⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d ydx14.求由方程y x xe ye +=1所确定的隐函数的微分dy15.已知函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy.16.设y =，求0x dy=.17.设函数21()1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 在1=x 处可导，求b a ,的值.18.设ln(y x =，求22d ydx.19.设()y y x =满足方程arctanyx=，求'y . 20、设)ln(2222222a x x a a x x y -+--= ，求dx dy 21、设220u tt x e du y te ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰，求22dx y d五、计算下列不定积分和定积分1.求22|sin |x x dx ππ-⎰. 2.求. 3.求220cos x e xdx π⎰.4.⎰xdx x sec tan 3, 5.dx x x ⎰-2)1ln(, 6.⎰+1041dx x x7.x ⎰. 8.求10x ⎰ 9.ln 0⎰ 10.设x e -是)(x f 的一个原函数，求⎰dx x xf )( 11、计算积分⎰--1124dx x 12、计算积分2arctan x x dx ⎰六、1.求微分方程：03'"=+y xy 的通解.2.设连续函数)(x f 满足方程⎰+=xx dt t f x f 02)(2)(，求)(x f ．3.求微分方程200''|'|0yx x y e y y ==⎧=⎨==⎩的特解4.求微分方程2'(1)y x y x y =-++-的通解.5.求微分方程x xy y x sin 22=+'的解.6.求微分方程：082=-'-''y y y 的通解.7、求微分方程cos (1)sin 0x ydx e ydy -++=在00x y ==时的特解；8、求微分方程1y y x x'''+=的通解 七、应用题1、设排水阴沟的横断面积一定，横断面的上部是半圆形，下部是矩形（矩形的宽等于圆的直径），问圆半径r 与矩形高h 之比为何值时，建沟所用材料（包括顶部、底部及侧壁）为最省.2、一物体按规律3x ct =做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0x =移至x a =时，克服介质阻力所做的功.3．一窗户下部为矩形，配以透明玻璃，上部为半圆形，其直径等于矩形的底，上部配以彩色玻璃，已知窗户周长为P ，彩色玻璃透光度（单位面积所透过的光线多少的一种度量）是透明玻璃的一半，求矩形底为多少时，该窗户透光量最大？4.设平面图形由x y ln =, 0=y 及曲线x y ln =过原点的切线所围成，求该图形的面积．5.求由抛物线y =与直线y x =所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.6.用铁皮制作一个容积为8立方米的有盖圆柱形桶，问桶底半径与桶高等于多少时，所用铁皮的面积最小？7．质量为m 千克的物体位于粗糙的平面上，须用力才把物体从原位置移动。
已知摩擦系数为33，问作用力对水平面的倾斜角为多大时，才能使所须的力量为最小？8、设两个非负数之和为8，其中一个为x ，()s x 是这两个非负数的立方和。
求()s x 的最大值和最小值.9、平面图形由抛物线25y x =与21y x +=所围成 （1）求该图形的面积；（2）求该图形绕 x 轴旋转所而成的旋转体的体积。
八、证明题1.设函数()f x 有一阶连续导数，又(0)a a >为函数220()()'()xF x x t f t dt =-⎰的驻点.试证：在(0,)a 内至少有一点c ，使'()0f c =. 2.当20π<<x 时,证明331tan x x x +>3. 当e x >时，证明不等式⎰⎰++>x e xedt tt dt t t1)1ln(ln .4、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(,0)()(≠==x g b f a f ，试证：至少存在一个),(b a ∈ξ，使)()()()(ξξξξf g g f '='.5、设)(x f 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且0)1(=f 。