重庆大学高数(下)期末试题四(含答案)

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2020年度大学高等数学(下)测试题及答案4

高等数学（下）试题四一、填空题（18分）1 设yxy x f arctan),(=，则=)1,1(df 。

2 曲面1222=++z y x 2在点(2,-2,2)处的切平面方程为。

3 设{}2,20:),(≤≤≤≤=y x x y x D ，则=⎰⎰-Dy dxdy e 2。

4 如果Γ是从点(1,2,3)到点(0,0,0)的直线段，则=++⎰Γydz x dy y dx x 2233 。

5幂级数∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为。

6以xx e y xe y ==,为特解的二阶线性齐次微分方程为。

二、选择题（18分）1 在点处),(y x f 可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 的所有二阶偏导数连续（B ）),(y x f 连续（C ）),(y x f 的所有一阶偏导数连续（D ）),(y x f 连续且),(y x f 对y x ,的偏导数都存在。

2 已知222),,(z y x z y x u ++=，则=u （）（A ）{}z y x 2,2,2 （B ）222444z y x ++ （C ）{}z y x ,, （D ）{}1,1,1。

3 设D ：4122≤+≤y x ，则=+⎰⎰dxdy y x D22（）（A ）dr r d ⎰⎰10220πθ （B ）dr r d ⎰⎰41220πθ （C ）dr r d ⎰⎰21220πθ （D ）dr r d ⎰⎰2120πθ。

4 设L 是圆周：x y x 222-=+的正向，则=-+-⎰dy y x dx y x L)()(33（）（A ）π2- （B ）0 （C ）π3 （D ）π2。

5 将函数2)(x ex f -=展开成x 的幂级数得到（）（A ）∑∞=02!n nn x （B ）∑∞=-02!)1(n n n n x （C ）∑∞=0!n n n x （D ）∑∞=-0!)1(n n n n x6 函数xx ec e c y -+=21是微分方程（）的通解（A ）0''=+y y （B ）0''=-y y （C ）0'''=+y y （D ）0'''=-y y三、计算与求解（49分）1 设方程z y x z y x 32)32sin(2-+=-+确定函数),(y x z z =，求yz x z ∂∂+∂∂。

2023-2024学年重庆市部分学校高一(下)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年重庆市部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足(1+i)z =2i ，则|−z |=( )A.22B. 1C.2 D. 22.7.8，7.9，8.1，8.1，8.3，8.5，8.7，8.9，9.0，9.0，9.1，9.1，9.4的第60百分位数是( )A. 8.7B. 8.9C. 9.0D. 9.13.在△ABC 中，记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c 2−ab =(a−b )2，则C =( )A. π6B. π4C. π3D. 2π34.下列说法正确的是( )A. 若空间四点共面，则其中必有三点共线B. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面C. 若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面D. 若空间四点不共面，则任意三点不共线5.某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨、西安、兰州、济南、延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 456.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若atanB =btanA ，cosA +cosB =1，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.在△ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC =60°，且AE =23AB ,AF =14AC ，则CE ⋅BF =( )A. −2B. −3C. −4D. −58.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1，F 为BB 1的中点，过A 1作平面α满足条件，D 1F ⊥α，则α截正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1所得截面为( )A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。

重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量．知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。

重庆大学高数工学下期末试题五含答案

-- -XX 大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分钟一、选择题(每小题3分,共18分)1. 如果,a b 为共线的单位向量,则它们的数量积().a b ⋅=(A)1 (B) 0 (C) 2- (D) cos(,)a b知识点:向量的数量积,难度等级:1. 答案:D分析:||||a b a b ⋅=cos(,)a b =cos(,).a b 2.微分方程21x y '=的通解是().(A) 1y C x =+(B) 1y C x=+ (C)1C y x =-+ (D) 1y xC =-+知识点:微分方程,难度等级:1. 答案:D分析:将方程改写为21,dy dx x =并积分,得通解1,y C x=-+故应选(D).3.设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则().Ω=(A) 4R π(B)443R π;(C)4 32 R π(D)42 R π 知识点:三重积分计算,难度等级:2. 答案:A4．若L 是上半椭圆cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩取顺时针方向,则L ydx xdy -⎰的值为().(A)0 (B)2ab π(C)ab π (D)ab π-知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案: C分析:题中半椭圆面积为,2ab π要用格林公式,添有向线段1:0(:).L y x a a =-→112,0.DL L L dxdy ab π-+===⎰⎰⎰⎰故选C.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号 X X 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密5.设函数(),0f x x >连续,并对0x >的任意闭曲线,L 有34()0,Lx ydx xf x dy +=⎰且(1)2,f =则()f x =().(A)242412423-+-x x x (B)324122424x x x -+- (C)31x +(D)xx 13+知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.答案:D分析:由条件知,积分与路径无关,有3(4)(()).x y xf x y x ∂∂=∂∂即34()().x f x xf x '=+A,B 选项显然不满足方程,而C 含常数,也不能满足方程,故选D.验证D 满足,或用一阶线性微分方程求出为D. 6.曲面z =包含在柱面222x y x +=内部那部分面积().=(A) π(C)知识点:曲面面积,难度等级:2. 答案:B分析:在xOy 投影区域22:2,D x y x +≤化为二重积分为D,选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7.级数12(2)!nn n n ∞=∑的和为__________.知识点:级数的和.难度等级:2. 答案:e分析:11121.(2)!!(1)!n n n n n n e n n n ∞∞∞======-∑∑∑8. 222()__________,c x y z ds ++=⎰其中c 为螺线cos ,sin ,(02).x a t y a t t a bt π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩的一段.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案：2222(343a b ππ+ 解:弧长的微分为,ds =于是222222222202()()(343cx y z ds a b t dt a b πππ++=+=+⎰9. 过已知点A )1,2,1(-和B )7,2,5(-作一平面,使该平面与x 轴平行,则该平面方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:2.答案:20.y -=分析:平面的法向量n AB ⊥,且n i ⊥,取606(0,6,0),100i j kn AB i =⨯=-=过点A (1,2,1),-平面方程为0(1)6(2)0(0)0,x y z ⋅-+⋅-+⋅-=即20.y -= 10. 函数zy u x =在点(1,2,1)-处沿(1,2,2)a =-方向的方向导数为______.知识点:函数的方向导数.难度等级:1 答案：1.6解:(1,2,2)a =-⇒122cos ,cos ,cos .333αβγ-===1(1,2,1)(1,2,1)1(1,2,1)(1,2,1)1;2ln 0;z z z y y z uy x x ux x zy y ------∂=⋅=∂∂=⋅=∂(1,2,1)(1,2,1)ln ln 0.zy z u x x y y z --∂=⋅=∂111.236u a ∂⇒=⨯=∂ 11.设∑为平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧,将⎰⎰∑++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对面积的曲面积分的结果为__________.知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2. 答案:32().555P Q R dS ∑++⎰⎰ 分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为{,长度为5故得结果.12.设∑是圆锥面z =被圆柱面ax y x 222=+所截的下部分,则()xy yz zx dS ∑++⎰⎰__________.=知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3. 答案4. 分析:曲面关于x 轴对称,xy yz +为关于y 的奇函数,故只需算zx的积分值,2cos 3422cos .xya D zxdS d dr θππθθ-∑===⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算积分(2),c a y dx xdy -+⎰其中c 为摆线(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤的一拱.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分. 解:由题设(1cos ),sin .dx a t dt dy a tdt =-=于是{}20(2)[(2(1cos )](1cos )(sin )sin ca y dx xdy a a t a t a t t a t dt π-+=---+-⎰⎰[]2202202sin cos sin 2.a t tdt a t t t a πππ==--=-⎰14. 求32sin (2cos cos )0x d x x dx θθθθ+-+=的通解.知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2 分析:sin cos d d θθθ=,若令cos z θ=,原方程可化为一阶线性方程.解:将原方程改写为2sin cos 2cos .x d dx dx xdx x θθθθ+-+= 令cos ,y xθ=则2sin cos .x d dxdy xθθθ+=-于是方程化为 2.dyxy x dx+= 这是一阶线性非齐次方程.由通解公式2221().2x x x y e xe dx C Ce --=+=+⎰ 故21cos .2x x Cxe θ-=+15. 计算,2222⎰⎰∑+++z y x dxdy z xdydz 其中∑是由曲面222R y x =+及平面,(0)z R z R R ==->所围成立体表面外侧.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3 分析:利用高斯公式并注意对称性.解:利用高斯公式,并注意对称性,知22222222222()0.()z dxdy z x y dV x y z x y z ∑Ω+==++++⎰⎰⎰⎰⎰ 又dydz z R y R dydz z R y R z y x xdydz⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+--++-=++212222222222222212yzD RR RdzR z --==+⎰⎰⎰⎰2212[arctan ]2.2R R z R R R R ππ-=⋅=22222.2xdydz z dxdy R x y z π∑+⇒=++⎰⎰ 16. 计算第二类曲线积分222,Ly dx z dy x dz ++⎰其中L 为球面2222R z y x =++与柱面对)0,0(22>≥=+R z Rx y x 的交线,其方向是面对着正x 轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3 分析:利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.解:222222L dydz dzdx dxdy y dx z dy x dz x y z y z x ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰dxdyy yx R xy x ydxdyxdzdx zdydz xyD ⎰⎰⎰⎰+--+-=++-=∑)(222222xyD xdxdy =-⎰⎰(∵xy D 关于x 轴对称,(,)f x y y 是关于y 的奇函数)⎰⎰--=22cos 02cos 2ππθθθR dr r d342034cos 3.4R d R πθθπ=-=-⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．判断级数111(1)nn e n∞=--∑的敛散性.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 分析:取211n n ∞=∑用比较判别法的极限形式. 解: 1200211111limlim lim .122nx xn x x e e x e n x x n →∞→→-----===由于211n n∞=∑收敛,故级数111(1)n n e n ∞=--∑收敛.18．求函数2232z x y x =+-在闭域22(,)|194x y D x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭上的最大值和最小值.知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.解:由22060x yz x z y =-=⎧⎨==⎩得D 内驻点(1,0),且(1,0) 1.z =-在边界22194x y +=上()21121233.3z x x x =--+-≤≤1220.3z x '=--< 11(3)15(3) 3.z z -==比较后可知函数z 在点(1,0)取最小值(1,0)1z =-在点(3,0)-取最大值(3,0)15.z -=五、证明题(每小题6分,共12分)19．设函数(,,)F x y z 具有一阶连续偏导数,且对任意实数t 有(,,)(,,)(k F tx ty tz t F x y z k=是自然数),试证曲面(,,)0F x y z =上任一点的切平面都通过一定点(设在任一点处,有2220.x y z F F F ++≠).知识点:齐次函数,切平面.难度等级:2 分析:曲面(,,)0F x y z =在一点000(,,)x y z 的切平面方程为000()()()0,x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=求出此方程,可以发现坐标原点(0,0,0)满足方程.证明:由已知条件可得.x y z xF yF zF kF ++=曲面上点000(,,)x y z 处的切平面方程为000()()()0.x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=即000000(,,)0.x y z x y z xF yF zF x F y F z F kF x y z ++=++==易知0,0,0x y z ===满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点()000,,.20. 设0,n P >n P 单调增,且11n nP ∞=∑收敛.证明:(1)12n nn u P P P =+++单调减.(2)21n n u ∞=∑收敛.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2证:(1)1121121n n n nn nu u P P P P P P +++-=-++++++1212112121(1)()()()()n n n n n P P P n P P P P P P P P P ++++++-+++=++++++121121210()()n n n n P P P nP P P P P P P +++++-=<++++++12n nnu P P P ∴=+++单调减.(2)2122222,n n n n n n u P P P nP P =≤=+++而11n nP ∞=∑收敛,由比较判别法,21n n u ∞=∑收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21. 设在xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片,占有平面闭域222,,0{()|},D x y x y R y =+≤≥过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点,P .OP a =求半圆形薄片对质点P 的引力.知识点:平面薄片对质点的引力,难度等级:3 分析:由引力公式,建立二重积分计算解:设P 点的坐标为(0,0,.)a 薄片的面密度为222.12M MRR μππ== 设所求引力为,,().x y z F F F F =由于薄片关于y 轴对称,所以引力在x 轴上的分量0,x F =而2223/2()y Dm yF G d x y a μσ=++⎰⎰2223/2sin ()Rm G d d a πρθμθρρ=+⎰⎰2223/22223/2sin ()2()RRm G d d a m G d a πρμθθρρρμρρ=+=+⎰⎰⎰24(ln GmM R R a π= 2223/2()z Dm aF G d x y a μσ=-++⎰⎰2223/2()Rm Ga d d a πρμθρρ=-+⎰⎰2223/22()2(1Rm Ga d a GmM R ρπμρρ=-+=-⎰22．一质量为m 的船以速度0v 沿直线航行,在0t =时,推进器停止工作(动力关闭). 假设水的阻力正比于,n v 其中n 为一常数,v 为瞬时速度,求速度与滑行距离的函数关系.知识点:微分方程模型.难度等级:2分析:据牛顿第二定律建立微分方程.解:船所受的力=向前推力-水的阻力=0,n kv -加速度为.dvdtα=于是,由题设有 00,|.n t dvmkv v v dt==-= 设距离为()x x t =,则上述方程化为.n dv dv dx dvmm mv kv dt dx dt dx=⋅=⋅=- 故有1.n mv dv kdx -=-当2n ≠时,两边积分得,22.2nmv kx c n-=-+- 代入000|,|0,t t v v x ====得20.2n mv c n-=-故220.(2)n n k n v x v m---=-+ 当2n =时,同理可解得0.k x mv v e-=。

【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案

第 1 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名：学号：命题：审题：审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名：学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页（共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。

2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。

3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名：学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。

【经典期末卷】大学高数(下)期末单元测试卷及详细解答

学生填写）：姓名：学号：命题：审题：审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）：姓名：学号： ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）4．求方程y y y y '='+''2)(的通解．(4分)5. 求微分方程 2d 22d x yxy xe x -+=的通解。

(4分)6. 求微分方程09422=+y dxyd 满足初始条件23,20====x x dxdy y的特解。

（4分）班级（学生填写）：姓名：学号： ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）)7. 求x e y dx dy-=+微分方程的通解。

(4分)8. 求微分方程的一条积分曲线，使其在原点处与直线相切. (4分)9. 求微分方程x y y x sin =+'满足0)(=πy 的特解．(4分)10. 求微分方程430,(0)6,(0)10y y yy y ''''-+===的特解.(4分)11. 求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解。

重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos0β=时有().(A) a⊥xoy面(B) a//xoz面(C) a⊥yoz面(D) a xoz⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:cos0,β=,2πβ=a垂直于y轴,a//xoz面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,y C C x C x=++其中123,,C C C为独立的任意常数,则该方程为().(A)0y y'''+=(B) 30yy'''+'=(C)0y y'''-=(D) 0y'''=知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D)分析:由通解中的三个独立解21,,x x知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y'''=故应选(D).3. 设D由14122≤+≤yx确定.若1221,DI dx yσ=+⎰⎰222(),DI x y dσ=+⎰⎰223ln(),DI x y dσ=+⎰⎰则1,I2,I3I之间的大小顺序为().(A)321III<<(B)231III<<(C)132III<<(D)123III<<知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域D由22114x y≤+≤确定.在D内,2222221ln(),x y x yx y+<+<+故321.I I I<<只有D符合.4．设曲线L是由(,0)A a到(0,0)O的上半圆周22,x y ax+=则曲线积分命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.(sin )(cos )().xx Ley my dx e y m dy -+-=⎰(A)0 (B)22m a π (C)28m a π (D)24m a π知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)分析:补充直线段1:0(:0),L y x a =→则1L L +为封闭曲线在上使用格林公式可得12,2L L Dm mdxdy a π+==⎰⎰⎰而10.L =⎰选B.5. 已知向量23,a m n =+则垂直于a 且同时垂直于y 轴的单位向量().e =(A))i j k ++ (B))i j k -+ (C))2i k ±- (D)()2i k ±+知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量111010i j ki k =-+垂直于a 且同时垂直于y 轴,其模为6. 设∑为球面2222,x y z R ++=则22()().84x y I dS ∑=+=⎰⎰(A)24R π (B)545R π (C)24R π (D)R π4知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4.333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰利用上述结论所求I 为23.8x dS ∑⎰⎰故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数21!n nn n x n ∞=∑的收敛半径为__________.知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案分析:1`22222(1)(1)(1)!lim lim 1!n n n n n n n n n xn n x ex x n n x n ++→∞→∞+++==<⇒< 8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(c b a ,此平面的方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:1.答案:23120.x y z -+-=分析:该平面的法向量为22350,x y z -+-=且过点22350,x y z -+-=则其平面的方程23120.x y z -+-=9. 设L 为椭圆221,34x y +=其周长记为,a 则求22(243)Lxy x y ds ++⎰__________.=知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12.a10. 设区域D 为222,x y R +≤则()DR y dxdy +⎰⎰__________.=知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:3.R π分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.3222(2cos )(12sin 3)__________,Lxy y x dx y x x y dy -+-+=⎰其中为抛物线22x y π=上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:2.4π解: 322cos ,P xy y x =-2212sin 3,Q y x x y =-+262cos .Q P xy y x x y∂∂⇒=-=∂∂ 3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy ⇒-+-+⎰与积分路径无关.⇒取L 为由(0,0),(,0),(,1)22ππ组成的折线,则2132222203(2cos )(12sin 3)0(12).44L xy y x dx y x x y dy y y dy ππ-+-+=+-+=⎰⎰12. 设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,则333I x dydz y dzdx z dxdy∑=++⎰⎰__________.=知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:12.5π分析: 由高斯公式,2122240123()3sin .5I x y z dV d d r dr ππθϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题2(2)|1x ydy x y dxy ==+⎧⎨=⎩的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yu x=化为可分离变量的微分方程. 解:将方程改写为2.dy x y dx y+= 这是齐次方程.令,y xu =则.dy du u x dx dx=+ 代入上式得L (0,0))1,2(π21.du u xdx u+=+ 这是变量分离方程,且有(2)1(2).22y u ==积分得21ln |2|ln |1|0.33x u u C +-+++= 代入初值可解得32ln .2C =--故原方程的特解为213ln |2|ln |1|2ln 0.332y y x x x +-++--=14. 求级数11(4)!n n ∞=∑的和. 知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 0,.!nx n x e x R n ∞==∈∑(1),.!n nx n x e x R n ∞-=-⇒=∈∑20,.(2)!2n x xn x e e x R n -∞=+⇒=∈∑又 20(1)cos ,.(2)!n nn x x x R n ∞=-=∈∑ 40cos 2,.(4)!2x xn n e e x x x R n -∞=++⇒=∈∑ 111cos112.(4)!2n e e n -∞=++⇒=∑ 15. 计算222()L ydx xdy x y -+⎰,其中L 为圆周22(1)2,x y -+=L 的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.解:当(,)(0,0)x y ≠时,22222.2()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂作小圆222:,C x y ε+=取逆时针方向,则222222222112.2()2()22L C Cx y ydx xdy ydx xdy ydx xdy dxdy x y x y επεε+≤--==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰16. 求力(,,)F y z x =沿有向闭曲线L 所作的功,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z 轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取∑为平面1x y z ++=的下侧被L 所围的部分,∑1,1,1).--- 力F 所做的功为LW ydx zdy xdz =++⎰x y y z ∑---=∂∂∂∂⎰⎰3.2===⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(),u yxf z =其中()f z 二阶可导,(,)z z x y =由方程2ln 10x y z +-+=所确定,求22.ux∂∂知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 分析:()u yxf z =对x 求二阶偏导数得22,ux ∂∂但其中会包含z 对x 的二阶偏导数22zx ∂∂.2ln 10x y z +-+=两边对x两次求偏导数,可求出22zx∂∂.解:()(),u z yf z xyf z x x∂∂'=+∂∂ 222222()()()(),u z z zyf z xyf z xyf z x x x x∂∂∂∂''''=++∂∂∂∂221,1,z z x zz zz x x∂==∂∂∂==∂∂2222()()().uyzf z xyz f z xyzf z x∂''''=++∂ 18. 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设222:,0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩取下侧,则∑与S 围成的区域为,ΩS 在xoy 面的投影区域为.D 于是323232()()()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰22223()Dx y z dv ay dxdy Ω=+++⎰⎰⎰⎰⎰222222203sin sin a a d d r r dr a d r rdr πππθϕϕθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰555615429.20a a a πππ=+=五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明:()()0()()().ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量,y 先对y 积分,故将积分区域D 由y 型区域化为x 型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为,0,{()0|},D x y y a x y =≤≤≤≤并且D 又可表示为,0,{(}.)|D x y x a x y a =≤≤≤≤ 所以()()()0()()()().ay a a am a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰20. 设在半平面0x >内有力3()kF xi yj ρ=-+构成力场,其中k 为常数,ρ=证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明场力所作的功2232,()Lxdx ydyW k x y +=-+⎰其中L 为力场内任一闭曲线段.223222523;()()Q y xyx x x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 223222523.()()P x xy y y x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 可见,,P Qy x∂∂=∂∂且,P Q 在半平面0x >内有连续偏导数,所以0.W =即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n 年取出109n +万元,问a 至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值,则(1)(109).n n A r n -=++ 故1111110919102009.(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1(),(1,1),n n S x nx x ∞==∈-∑ 则21()()(),(1,1).1(1)n n x x S x x x x x x x ∞=''===∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+万元,故20094203980A =+⨯=万元,即至少应存入3980万元.22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30,︒物体在15分钟内从100︒冷却到70︒时,求物体冷却到40︒时所需要的时间？知识点:微分方程数学模型,难度等级:2分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t 时,物体的温度为.T C ︒ 根据冷却定律列出方程(30).dTk T dt=-- 分离变量,并积分得,30dTkdt T =-- ln(30)ln .T kt c -=-+故有0.3kt T ce -=+由初始条件:015|100,|70.t t T T ==== 代入可解得1770,ln ,154c k ==即有 17(ln )154.3070t T e-=+当40T =时,由上式可解得15ln 7527ln 4t ==(分).。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABC

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．将函数(,)x f x y y =在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解：(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x y f y y f xy-====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+2．求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e t x =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e tx =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d ty y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y = 故 223223121211ee e .55tt t y c c c x c x x --=++=++3．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xxxy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式，得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭.4．计算下列对坐标的曲面积分：(1)22d d x y z x y ∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x , y , z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧； (4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面z =z = h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x y y xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．((()()()()()()22222π422002π2222222002π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yr r rR R r r R R R R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=---⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：x =(y ,z )∈D yz，故30d d d d 3yzD x y z y z z y y∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为： y =(x ,z )∈D xz，故3d d d d 3xzD y z x z x z x x∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z x x x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为cos α=，cos β=cos γ=图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰ 因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ．由高斯公式有()()()()()220200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5．求下列齐次方程的通解：(1)0xy y'-=;解：d d y y x x =令 d d d d y y u u u x x x x=⇒=+ 原方程变为d xx=两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x +==即通解为：2y cx =d (2)ln d y yxy x x =; 解：d ln d y y y x x x= 令y u x =，则d d d d y uu x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln 1u cxycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解：2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =，则d d d d y uu x x x=+原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x xu u x u x == 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x=+故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=; 解： 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx代替u ，并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-; 解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =，则d d d d y uu x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u++=- 分离变量,得211d d 1u u x u x-=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ，并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解：d d y yx=即d d x x y y =令x v y =，则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+即d d vyy=分离变量，得d y y= 积分得ln(ln ln v y c +=-.即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式，得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.6．从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：220(1),5;x x y C y =-==解：当0x =时，y =5.故C =-25 故所求曲线为：2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =.7．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==．由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ（是一个边长为2的正六边形）； Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡++----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑8．设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：(1)D:22221x ya b+≤，求I y;(2)D由抛物线292y x=与直线x=2所围成，求I x和I y；(3)D为矩形闭区域：0≤x≤a, 0≤y≤b,求I x和I y.解：（1）令x=arcosθ ,y=br sinθ,则在此变换下D ：22221x y a b+≤变化为D '：r ≤1,即 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π, 且(,)(,)x y abr r θ∂=∂, 所以2π12222323032π30d d cos d d cos d d 1(1cos 2)d π.84y DD I x x y a r abr r a b r ra b a b θθθθθθ'====+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 闭区域D 如图10-35所示图10-353222220005222220272d d 2d d d ;3596d d 2d d .7x Dy DI y x y x y y x x I x x y x x y x x ========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)32220d d d d d ,3a bbx Dab I y x y x y y a y y ====⎰⎰⎰⎰⎰322200d d d d d .3abay Da bI x x y x x y bx x ====⎰⎰⎰⎰⎰9．求锥面z被柱面z 2 = 2x 所割下部分的曲面面积。

高数下册期末考试题及答案

高数下册期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $ 的导数是：A. $ 2x/(x^2 + 1) $B. $ 2x/x^2 + 1 $C. $ 2x/(x^2 - 1) $D. $ 2x/(x^2 + 1)^2 $答案：A2. 已知 $ e^x $ 的泰勒展开式为 $ 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots $，那么 $ e^{-x} $ 的泰勒展开式是：A. $ 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots $B. $ 1 + x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots $C. $ 1 - x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots $D. $ 1 + x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots $答案：A3. 若 $ \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} $，则 $ \int_0^1 x^3 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{4} $B. $ \frac{1}{5} $C. $ \frac{1}{6} $D. $ \frac{1}{7} $答案：A4. 曲线 $ y = x^3 - 3x^2 + 2x $ 在 $ x = 2 $ 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B5. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，则$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} $ 等于：A. 1B. 2C. 4D. 8答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 若 $ f(x) = x^3 - 2x^2 + x $，则 $ f'(x) = $ ________。

重庆大学高数(下)期末试题11(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设,yu xy x =+则22u x ∂=∂__________.答案:32.y x难度等级：1；知识点：偏导数.2. 已知级数1nn n a x ∞=∑满足11lim ,3n n na a +→∞=且lim 2,n n n ab →∞=则级数1n n n b x ∞=∑的收敛半径为__________.答案:3.难度等级：2；知识点：幂级数分析:1111111limlim 2, 3.233n n n n n n n n n n b b a a R b a a b +++→∞→∞+==⨯⨯== 3. 若曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率等于(1),yx-+且过点(2,1),则该曲线方程是__________.答案:14.2y x x =-+难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程4. 设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)__________.Lxy y dx x x dy -+-=⎰答案:18.π-难度等级：2；知识点：格林公式分析:利用格林公式可化为被积函数为2-的二重积分,而积分区域面积为9,π故得.5. 设()f t 具有连续导数, (0)0,(0)1,f f '=={}2222(,,)|,x y z x y z t Ω=++≤则1lim40I f d t t V π==⎰⎰⎰+Ω→__________. 答案:1.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密难度等级：2；知识点：三重积分6. 求以向量23a m n =+和4b m n =-为边的平行四边形的面积为，其中,m n 是互相垂直的单位向量. 答案：11.难度等级：2；知识点：向量代数.分析：为了便于计算,令,m i n j ==,则23a i j =+,4b i j =-,230(0,0,11),140i j ka b ⨯==--平行四边形的面积为20011a b ⨯=+=二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设非零向量,,a b c 满足条件0a b c ++=,则a b ⨯().=(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯ 答案:(B).难度等级：1；知识点：向量代数分析:在0a b c ++=的两边左乘以b得到()0,b a b c b ⨯++=⨯0,b a b b b c ⨯+⨯+⨯=即0.a b b c -⨯+⨯=于是.a b b c ⨯=⨯8. 设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处沿任何方向有方向导数,则z f x y =(,)在点(,)x y 00处().(A)偏导数存在(B)可微 (C)偏导数不一定存在 (D)偏导数连续答案:(C).难度等级：2；知识点：偏导数与方向导数分析:函数z =(0,0)处沿任何方向的方向导数均为1,但偏导数不存在,所以应选(C).9. 微分方程22x y y '''=的通解是().(A)1221ln(1)C x y x C C -=--+ (B) 1211ln(1)C x x y C C C -=--+ (C)12211ln(1)C x x y C C C -=-+ (D) 12211ln(1)C x x y C C C -=--+ 答案: (D).难度等级：2；知识点：可降阶微分方程分析:方程为二阶非线性方程.令,u y '=则方程降为一阶方程22,x u u '=这是变量可分离方程.分离变量得22,du dxu x=积分得111.C u x =+将u y '=代入并积分可得12211,ln(1)C x x y C C C -=--+故应选(D).10.曲线2,x t y z t ===在点(4,8,16)处的法平面方程为().(A) 8132x y z --=- (B) 8140x y z ++= (C)x-y+8z=124 (D) 8116x y z +-=答案:(B).难度等级：1；知识点：多元微分学在几何上的应用分析:法平面的法向量就是曲线的切向量,为(1,1,8),n =所以法平面方程为:(4)(8)8(16)0.x y z -+-+-=即 8140.x y z ++= 与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选B).11. 设有一分布非均匀的曲面,∑其面密度为(,,),x y z ρ则曲面∑对x 轴的转动惯量为().(A)xdS ∑⎰⎰ (B)(,,)x x y z dS ρ∑⎰⎰(C)2x dS ∑⎰⎰ (D)22()(,,)y z x y z dS ρ∑+⎰⎰答案:(D).难度等级：1；知识点：曲面积分的应用分析:A,C 明显不对,B 被积函数不对,D 是转动惯量. 12. 设流速场{0,0,1},v =则流过球面2222x y z R ++=的流量值为().(A)0 (B)24R π (C)334R π (D)1 答案:(A).难度等级：2；知识点：第二型曲面积分的应用.分析:通量00.dxdy dV ∑ΩΦ===⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求微分方程3dy y dx x y =+的通解. 难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析方程为一阶非线性方程，需变形为一阶线性方程求解.解方程改写为21dx x y dy y-=, 这是关于()x x y =的一阶线性非齐次方程，故通解为2()dydyyyx ey edy C -⎰⎰=+⎰ 21()2y y C =+即32y x Cy =+.14. 设(,)z z x y =由方程(,)0f y x yz -=所确定，其中f 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂.难度等级：2；知识点：隐函数的高阶偏导数. 分析由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数的偏导数xzFz x F ∂=-∂，求出zx∂∂后再对x 求偏导数即可得22z x ∂∂.解11221f f z x yf y f -∂=-=∂ 21112221221222()()1z zf yf f f yf f z x x x y f ∂∂-+--+∂∂∂=⋅∂ 211121221232222f f f f fyf yf yf=-+-15.将函数()ln(f x x =+展成关于x 的幂级数. 难度等级：2；知识点：函数展开成幂级数分析:有对数,反三角函数需要求导后展开,然后逐项积分解:()f x '====0(21)!!(1).(2)!!n nn n x n ∞=-=-∑20(21)!!(),.(2)!!n n n f x x x R n ∞=-'⇒==∈∑ 21(21)!!()(1),.(2)!!21n knn n x f x dx x R n n +∞=-'⇒=-∈+∑⎰21(21)!!()(1),.(21)(2)!!nn n n f x x x R n n ∞+=-⇒=-∈+∑16. 计算2232(()(2),xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰其中∑为上半球体0z ≤≤表面的外侧.难度等级：2；知识点：高斯公式分析:题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解: 2232(()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222205sin 2.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求函数),(y x z z =的极值点和极值.难度等级：3；知识点：多元函数极值解:方程0182106222=+--+-z yz y xy x 两边分别对,x y 求偏导数得到26220,(1)6202220.(2)x x y y x y yz zz x y z yz zz ---=⎧⎪⎨-+---=⎪⎩令00x yz z =⎧⎪⎨=⎪⎩得260,62020x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩即3.x yz y =⎧⎨=⎩ 代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x 得 3.y =±因此有两个驻点(9,3),(9,3).--相应的函数值为3, 3.-方程(1),(2)两边再次分别对,x y 求偏导数得到22222()20(3)622220(4)20422()20.(5)xx x xxx xy y x xy y yy y yy yz z zz z yz z z zz z yz z zz ⎧---=⎪⎪-----=⎨⎪----=⎪⎩将9,3,3,0,0x y x y z z z =====代入(3),(4),(5)得到21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==>==-==->故点(9,3)是(,)z z x y =的极小值点,极小值(9,3) 3.z = 同样将9,3,3,0,0x y x y z z z =-=-=-==代入(3),(4),(5)得到 21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==-<====--> 故点(9,3)--是(,)z z x y =的极大值点,极大值(9,3) 3.z --=-18. 计算23,ydx xzdy yz dz Γ-+⎰其中Γ为圆周222, 2.x y z z +==若从z 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.难度等级:2,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的概念,二重积分的性质分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式化为对面积的曲面积分.解:取∑为平面2z =被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为(0,0,1),n =其方向余弦为(cos ,cos ,cos )(0,0,1).αβγ=于是23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰2cos cos cos 3(3)dS x y z yxzyzz dSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂-=--⎰⎰⎰⎰ 2245520.x y dSdxdy π∑+≤=-=-=-⎰⎰⎰⎰五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明下列第二类曲线积分的估计式: .L xdx ydy LM +≤⎰其中L 为积分路径L 的弧长,M 为函数22y x +在L 上最大值.难度等级：3；知识点：第二类曲线积分分析:将题设积分转化为对弧长的积分,再进行估值,并注意将被积函数表成向量的点积.证明:设路径L 上的单位切向量为(cos ,sin ).αα利用两类曲线积分的联系可得(cos sin )LL xdx ydyx y dsαα+=+⎰⎰cos sin {,}{cos ,sin }LLx y ds x y dsαααα≤+=⋅⎰⎰.LMdsML =≤=⎰⎰20. 设函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,10()(),1,2,.xn n f x f t dt n -==⎰证明:(1)1001()()(),1,2,;(1)!xn n f x f t x t dt n n -=-=-⎰ (2)对于区间),(+∞-∞内的任意固定的,x 级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.难度等级：3；知识点：无穷级数证明:(1)由函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,1011000()(),1,2,()();(0)lim ()0,,(0)0(2).xn n nn xk x f x f t dt n f x f x f f t dt f k --→=='=⎧⎪⇒⎨===≥⎪⎩⎰⎰11()()(1)!xn f t x t dt n -⇒--⎰ 1101()()(1)!xn x t df t n -=--⎰ 1110102101(()()()())(1)!1()()(2)!xn x n xn x t f t f t d x t n f t x t dt n ---=----=--⎰⎰().n f x ==(2) 函数0()f t 在t x ≤上连续,⇒存在0()0,,()().M x t x f t M x >∀≤≤由(1),1001001()()()(1)!1()()()(1)!xn n xn n f x f t x t dt n f x f t x t dt n --=--⇒=--⎰⎰10()()()().(1)!!n xn n M x x M x f x x t dt n n -⇒≤-=-⎰ 由于0()!nn M x x n ∞=∑收敛,故级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设均匀柱体密度为,ρ占有闭区域222,,{()|,0,}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤ 求它对于位于点00,0(),)(M a a h >处单位质量的质点的引力. 分析:由空间物体引力公式和对称性,利用直角坐标计算即可解:由柱体的对称性可知, 沿x 轴与y 轴方向的分力互相抵消, 故0,x y F F ==而 2223/2[()]z z aF G dv x y z a ρΩ-=++-⎰⎰⎰2222223/20()[()]hx y R dxdyG z a dzx y z a ρ+≤=-++-⎰⎰⎰ 2223/2000()[()]hRrdrG z a dz d r z a πρθ=-+-⎰⎰⎰012()[hG z a dz a z πρ=--⎰2[G h πρ=-22. 按P.F.Verhulst 人口增长规律:当人口数充分大时,大致按有机增长规律随时间成正比例增长(设比例系数为a ).如考虑到疾病和其它原因,有一个与人口数的平方成反比的的负增长率(设比例系数为b ).已知0t =时,人口数为0,x 求在时刻t 时的人口数(),x t 并问当t →∞时人口数如何？难度等级:3;知识点:常微分方程模型,可分离变量的微分方程的初值问题.分析:只需将二阶导数表示出来就可证之. 解:据题意可得如下初始值问题200.t dx ax bxdtx x =⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 将方程分离变量,积分得020,xt x dxdt ax bx =-⎰⎰ 即有 00()1ln.()x a bx t ax a bx -=-解出x 得000.atatax e x a bx bx e=-+ 而且,当t →∞时,.a x b→。

高等数学下册试题及答案解析

高等数学〔下册〕试卷〔一〕一、填空题〔每题3分，共计24分〕1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 那么弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的局部的外侧，那么=++⎰⎰∑ds y x )122（。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题〔每题2分，共计16分〕1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是〔〕〔A 〕),(y x f 在),(00y x 处连续；〔B 〕),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域存在；〔C 〕y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；〔D 〕0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，那么2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于〔〕〔A 〕y x +；〔B 〕x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 那么三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于〔〕〔A 〕4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；〔B 〕⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；〔C 〕⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；〔D 〕⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案

第 1 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名：学号：命题：审题：审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）第 2 页（共10 页）第 3 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）第 4 页（共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。

2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。

3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。

重庆大学高数(工学下)期末试题七(含答案)

知识点:空间解析几何；难度等级:2。.
答案:
分析:设动点的坐标为根据题意得到两边平方化简得到
9．设交换积分次序后,
知识点:交换积分顺序；难度等级:2。.
答案:
10.设则
知识点:一阶偏微分计算；难度等级:1。答案:
11.设为取正向的圆周则曲线积分
知识点:曲线对坐标的积分计算，格林公式；难度等级:1.答案:
分析:先求出对应的齐次线性方程的通解,再定出相应的特解形式.
解:对应的齐次方程的特征方程为: 故可得特征根为
原方程右端的函数其中
方程的一个特解为
方程的一个特解为
利用叠加原理,得原方程的特解
故方程的通解为
15.计算曲面积分其中为曲面的上侧.
知识点:对坐标曲面积分计算，高斯公式；难度等级:2.
(A)
(B)
(C)
(D)
知识点:对坐标曲面积分计算,高斯公式；难度等级:1。答案:B
分析:A中右边被积函数错误,B正确,C符号错误,D被积函数错误.
二、填空题(每小题3分,共18分)
7.微分方程的通解为
知识点:齐次微分方程；难度等级:1。答案:
8.平面与一动点的距离等于动点与原点间的距离,动点的轨迹表达式为
证明:令
显然在正方形域上连续,且
由连续函数的介值定理知在上至少有一个零点,即方程在上至少有一组解.
20.设曲面证明:
知识点:对面积的曲面积分,对称性,轮换性；难度等级:3。
分析:据题目的特点,注意对称性的使用
证明: 关于面对称, 为连续的奇函数,故
由轮换性对称性知于是
在八个卦限中都是以边长为的等边三角形,其面积为故

2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A4(含答案)

2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A4适用专业：考试日期：试卷类型：闭卷考试时间：120分钟试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1. 方程7100y y y '''++=的通解为2. 求Lds ⎰= 其中22:9L x y +=3.改变积分顺序220(,)xxdx f x y dy ⎰⎰= .4.级数013nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑的和为5.()()(),0,0sin lim→=x y xy xy. 二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1. 设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2. lim 0n n u →∞=是级数∑∞=1n n u 收敛的( )(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件. 3.积分 ()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )(A)P Q y x ∂∂=∂∂ (B) P Q y x∂∂=-∂∂ (C) P Q x y ∂∂=∂∂ (D)P Q y y ∂∂=∂∂ 4. 函数223246ux y y x z 在原点沿(2,3,1)l 方向的方向导数u l（）(A).(B).(C).(D). 5. 级数111(1)n n n ∞-=-∑为（）级数(A).收敛 (B). 发散 (C).既不收敛也不发散 (D)既收敛也发散三、解下列各题。

(共4小题，每小题10分，共40分)1. 设2sin =z x y ，求全微分dz 。

2.证明曲线积分()()()()2,02,0sin cos xx ey y dx e y x dy -+++⎰在整个平面内与路径无关，并计算积分值3．求过点12,1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的平面，使它与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积最小。

重大高数期末试题及答案

重大高数期末试题及答案第一章：微分学1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+5$的导数。

解答：对于函数$f(x)=3x^2-2x+5$，利用导数的定义可以求得其导数为$f'(x)=6x-2$。

2. 计算曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程。

解答：首先求得曲线$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。

然后通过点斜式切线方程的公式$y-y_1=y'(x-x_1)$，代入点$(0,1)$和导数$y'=e^x$，可得切线方程为$y-1=e^x(x-0)$。

第二章：积分学1. 计算定积分$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx$。

解答：对于多项式函数$2x^3-3x^2+4x-1$，我们可以按照幂次递减的顺序进行积分。

首先对$x^3$进行积分可得$\frac{1}{4}x^4$，对$x^2$进行积分可得$\frac{1}{3}x^3$，对$x$进行积分可得$2x$，对常数$-1$进行积分可得$-x$。

将这些结果依次代入积分的上下限进行计算，最终得到定积分的结果为$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+2-1=\frac{5}{12}$。

2. 求解微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，其中$y(0)=3$。

解答：对于微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，我们可以通过直接积分的方法求解。

对方程两边同时进行积分可得$y=x^2+C$，其中$C$为常数。

由于已知$y(0)=3$，代入初始条件可得$3=0^2+C$，解得$C=3$。

于是原微分方程的解为$y=x^2+3$。

第三章：级数1. 判断级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性。

解答：对于级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$，我们可以利用比较判别法来判断其收敛性。

重庆高数期末真题答案解析

重庆高数期末真题答案解析1. 引言高等数学是大多数理工科专业学生的必修课，对于学生来说，期末考试是一个重要的评判学习成绩的机会。

而本文将为您解析重庆地区某高校的高等数学期末试卷答案，希望能够帮助广大学生更好地理解和掌握相关知识。

2. 解析第一题第一题是一道极限题，考察学生对极限概念的理解和运用能力。

题目要求求极限lim（n->∞）(sqrt(n^2+3n)-n)。

解答过程中，可以先对根式内进行化简，得到sqrt(n^2(1+3/n)-n)。

然后利用极限的性质进行进一步的运算，即sqrt(n^2(1+3/n)-n)=sqrt(n^2(1+3/n))-sqrt(n)=n(sqrt(1+3/n))-sqrt(n)。

由于n趋向于无穷大，所以sqrt(1+3/n)趋向于1，故极限值为lim（n->∞）(n-sqrt(n))=0。

3. 解析第二题第二题是一道求解方程的题目，考察学生对方程的处理和解法的掌握。

题目要求解方程sec^2x+2tanx=0。

解答过程中，可以首先化简方程，得到1+tan^2x+2tanx=0。

然后利用tanx=t/sqrt(1-t^2)的关系进行替换，得到1+(t/sqrt(1-t^2))^2+2(t/sqrt(1-t^2))=0。

接着整理方程并化简，得到1+t^2+2t=0。

求解该二次方程，可得t=-1或t=-2。

再利用tanx=t/sqrt(1-t^2)的关系，求出对应的角度值。

最终，得到方程的解为x=arctan(-1)和x=arctan(-2)。

4. 解析第三题第三题是一道求曲线长度的题目，考察学生对曲线长度的计算方法的理解和运用能力。

题目给出曲线y=e^(-x)在x=0到x=1之间的一段弧，要求求出该曲线段的长度。

解答过程中，可以利用曲线长度公式进行计算，即L=∫(0->1)sqrt(1+(dy/dx)^2)dx。

首先求出dy/dx，即dy/dx=-e^(-x)。

重庆高等数学试题及答案

重庆高等数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数$ f(x) = x^2 - 4x + 4 $的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 3D. 42. 极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数$ y = e^x $的导数是（）。

A. $ e^x $B. $ -e^x $C. $ \ln e^x $D. $ \frac{1}{e^x} $4. 曲线$ y = x^3 - 3x^2 + 2 $的拐点坐标是（）。

A. (0,2)B. (1,0)C. (2,-2)D. (3,6)5. 定积分$ \int_{0}^{1} x^2 dx $的值为（）。

A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ \frac{1}{4} $D. $ \frac{1}{5} $6. 微分方程$ y'' + 4y' + 4y = 0 $的特征方程是（）。

A. $ r^2 + 4r + 4 = 0 $B. $ r^2 - 4r + 4 = 0 $C. $ r^2 + 4r - 4 = 0 $D. $ r^2 - 4r - 4 = 0 $7. 函数$ f(x) = \ln(x+1) $的不定积分是（）。

A. $ x\ln(x+1) - x + C $B. $ x\ln(x+1) + x + C $C. $ x\ln(x+1) + \ln(x+1) + C $D. $ x\ln(x+1) - \ln(x+1) + C $8. 级数$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $的和是（）。

A. $ \frac{\pi^2}{6} $B. $ \frac{\pi^2}{4} $C. $ \frac{\pi^2}{3} $D. $ \frac{\pi^2}{2} $9. 矩阵$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $的行列式是（）。

2023-2024学年重庆市主城区四区高一(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市主城区四区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的第50百分位数为( )A. 30B. 31C. 32D. 362.若复数z 满足z +2−z =6−3i ，则z 1+i =( )A. −72+52iB. 52−72iC. 52+12iD. −12+52i 3.已知向量a =(1,−1)，b =(1,3)，则a 与b 夹角的余弦值为( )A. − 55 B. 55 C. − 1010 D. 10104.某小区花园内现有一个圆台形的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为3，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为2，则这个圆台的表面积为( )A. 9 13πB. 42πC. (45+9 13)πD. 126π5.掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为P(A)，事件B 的概率为P(B)，则1−P(A ∩B)=( )A. 18B. 14C. 12D. 346.某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为( )A. 20B. 30C. 40D. 457.在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2，AD = 2，CD =1，∠BAD =45°，P ，Q 分别为线段AD 和线段AC上(包括线段端点)的动点，则AP ⋅AQ 的最大值为( )A. 2 5B. 2 2C. 10D. 38.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E 是棱CD 的中点，P 为四边形CDD 1C 1内(包括边界)的一动点，且满足B 1P//平面BA 1E ，B 1P 的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为( )A. 8 6πB. 24πC. 18πD. 3 2π二、多选题：本题共3小题，共18分。

重庆大学高数(下)期末试题十五(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 向量3124a i j k=-+r r r r在向量(2)(34)b i k i j k =-⨯+-r r r r r r上的投影为().(A) -67 (B) 76 (C) 67 (D) -67难度等级:2;知识点:向量代数答案:(C).分析:102(6,2,3),134i j k b =-=-rr r r 6Prj .7||b a b a b ⋅==r r rr 2. 设()f u 具有连续导数,若L 为221,x y +=则必有().(A)22()()0L f x y xdx ydy ++=⎰Ñ (B)22()()0L f x y xdy ydx ++=⎰Ñ (C)22()()0L f x y dx ydy ++=⎰Ñ ()D 22()()0L f x y xdx dy ++=⎰Ñ难度等级:2;知识点:格林公式答案: (B).分析:22221,()(1),x y f x y f +=+=积分值为0.积分与路径无关,只有B 满足.3. 若1(),y x ϕ=2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解,则该方程的通解为().(A)12()()x x ϕϕ- (B)12()()x x ϕϕ+ (C)121(()())()C x x x ϕϕϕ-+ (D)12()()C x x ϕϕ+ 难度等级:1;知识点:微分方程答案: C.分析:由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知,其通解应是对应的齐次方程的通解与原各的一个特解之和.而12ϕϕ-是齐次方程的解,因此齐次方程的通解应为12().y C ϕϕ=-因此非命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密齐次方程的通解应是121()y C ϕϕϕ=-+或122().y C ϕϕϕ=-+故应选(C).4. 设222: (1)1,x y z Ω++-≤则2(3)().x xyz dV Ω+-=⎰⎰⎰(A)0 (B)3π (C)3π- (D)4π- 难度等级:2;知识点:三重积分答案:(D).分析:积分区域关于yoz 面对称,2x xyz +为关于x 的奇函数,积分值为0,余下为3-倍体积,球体体积为4/3,π故选D.5. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为（）.(A) x y z --=-8132 (B) x y z ++=8140 (C)x -y +8z =124 (D) x y z +-=8116答：（B ）难度等级：1；知识点：曲线的法平面.分析法平面的法向量就是曲线的切向量，为(1,1,8)n =r，所以法平面方程为：(4)(8)8(16)0x y z -+-+-= 即 x y z ++=8140 与(A)、(B)、（C)、（D)比较后知，应选（B).6. 设22()x f x x e =，则(16)(0)f =______(A)17!(B) 16! (C) 16!7! (D) 7!16!答案：(C)难度等级2; 知识点：幂级数分析：因为22220()!n x n x f x x e x n ∞===∑的16x 的系数为17!，即(16)(0)116!7!f =，故 (16)16!(0)7!f =二、填空题(每小题3分,共18分)7. 已知sin(21),xy u e x y =++则__________.du = 难度等级1; 知识点：全微分答案: ([sin(21)][2cos(21)].xy xy ye y dx xe x y dy +++++8. 已知幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,则213nn n n a x ∞=∑的收敛半径为__________.难度等级2; 知识点：幂级数答案:R =分析:由1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,故 2.x <即223x x <⇒<9.设向量场()()(23)32,A z y i x z j y x k =-+-+-v v v v则旋度_______.v rotA =难度等级1; 知识点：旋度答案:234.vv v i j k ++10. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,y C C x =+其中12,C C 为独立的任意常数,则该方程为__________.答案:0.y ''=分析:由通解可得特征方程为20,λ=其对应的二阶线性常系数齐次微分方程0.y ''=11.设:0,D y x a ≤≤≤≤则__________.D=难度等级2; 知识点：二重积分答案:316a π分析:由几何意义知,该积分为顶为z =底为坐标面的四分之一园面曲顶柱体体积,即为一半径为a 的球体的八分之一,得结果. 12. 函数0()0x x f x x πππ-<≤⎧=⎨<≤⎩在[],ππ-上的傅立叶级数的系数__________.n b =答案:21(1).n n n-- 分析:1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 00000021(sin sin )11(cos cos )111((1)1)cos cos 1(1)1((1)1)sin 21(1).n n nn nxdx x nxdx nx xd nx n n x nx nxdx n n n nx n n n n nππππππππππππππ-----=+=--=---+-=--++=--⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？难度等级2; 知识点：级数的敛散性解:由11lim lim ln(1)lim ln(1)10,nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>知级数1n n u ∞=∑发散.--------3分又111||ln(1)ln(1)||,1n n u u n n +=+>+=+1lim ||lim ln(1)0.n n n u n→∞→∞=+=故所给级数收敛且条件收敛．---3分14. 方程组01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩确定隐函数(,),(,),u u x y v v x y ==求2,u x y ∂∂∂2.v x y ∂∂∂ 难度等级2; 知识点：隐函数的偏导数分析:用,x y 解出,,u v 再求偏导数.解: 2222,;y xu v x y x y==++222222222,;()()u xy v y xx x y x x y ∂∂-=-=∂+∂+ 22222222232232(3)2(),.()()u x y x v y x y x x y x y x y ∂-∂-==∂+∂∂+ 15. 计算二重积分cos(),Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为0,0,()(),0π和(),ππ的三角形闭区域难度等级2; 知识点：二重积分解 :积分区域可表示为:0,0.D x y x π≤≤≤≤ 于是cos()Dx x y d σ+⎰⎰00cos()xxdx x y dy π=+⎰⎰ []00sin()xx x y dx π=+⎰(sin 2sin )x x x dx π=-⎰01(cos 2cos )2xd x x π=--⎰1(cos 2cos )|2x x x π=--+01(cos 2cos )2x x dx π-⎰3.2π=- 16.计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ+++++⎰其中Γ是球面x z y x 4222=++与柱面x y x 422=+的交线,从Oz 轴正方向看进去为逆时针(0).z ≥难度等级2; 知识点：第二类曲线积分分析:用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,并计算此曲面积分.解: 222222()()()L y z dx z x dy x y dz +++++⎰ 2()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰2()2xyxyD D x y dxdy xdxdy =-=⎰⎰⎰⎰4cos 22022cos d r dr πθπθθ-=⎰⎰342224cos 16.3d ππθθπ-⨯==⎰或解:22cos 2sin 020x ty tt z π=+⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩222222()()()y z dx z x dy x y dzΓ+++++⎰23208[sin (1cos )cos ]16t t t dt ππ=-++=⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设函数()x ϕ为已知的一阶导数连续的函数，求微分方程()()()dy d x d x y x dx dx dxϕϕϕ+=的通解. 难度等级2; 知识点：一阶非齐次线性微分方程分析: 因为()x ϕ是已知函数,故方程为一阶非齐次线性微分方程. 解: 由通解公式可得()()(()())x x y e x x e dx C ϕϕϕϕ-'=+⎰()()(()())x x e x e d x C ϕϕϕϕ-=+⎰()()()(())x x x e x e e C ϕϕϕϕ-=-+即()()1.x y x Ce ϕϕ-=-+18. 函数z z x y =(,)由方程F x z yy z x(,)++=0所确定，其中F 有连续的一阶偏导数，计算: z z x yx y∂∂+∂∂难度等级：2，知识点：多元隐函数的偏导数、复合函数的偏导数.分析由方程(,)zz F x y y x++=(,,)0G x y z =确定的隐函数z z x y =(,)的偏导数x zG zx G ∂=-∂，y zG zy G ∂=-∂，求出,,x y z G G G 后可得,z z x y ∂∂∂∂，代入z zx y x y∂∂+∂∂即可得到结论.解12212221()1yF zF yF zF zx xxF F x-++∂=-=∂112211F F zx y F F x -∂=-=-∂1212yF zF yF z z xy z x y F +-∂∂+==∂∂五、证明题 (每小题6分,共12分)19. 设向量(1,1,1)a =-r,(3,4,5)b =-r ,x a b λ=+r r r ,λ为实数，试证：其模最小的向量x r垂直于向量b r .难度等级：2；知识点：向量代数.分析先计算出x a b λ=+r r r ，再求出它的模x r ，何时x r达到最小值？证设x a b λ=+r r r ，于是22222()x a b a b λλ=++⋅r r r r r ，将a b r r 、的坐标代入得，222633245050().2525x λλλ=++=++r当256-=λ时，模x r 最小，这时6715(1,1,1)()(3,4,5)(,,).25252525x ---=-+-=r且有0x b ⋅=rr .故结论正确.20. 验证曲线积分(2,3)(0,1)()()x y dx x y dy ++-⎰的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分. 难度等级：2；知识点：第二类曲线积分.2分析:可利用曲线积分与路径无关找被积函数的原函数. 证:显然,()()x y dx x y dy ++- ()()xdx ydy ydx xdy =-++2222()2().2x y d d xy x y d xy -=+-=+是全微分.于是(2,3)22(2,3)(0,1)(0,1)()() 4.2x y x y dx x y dy xy ⎡⎤-++-=+=⎢⎥⎣⎦⎰六、应用题 (每小题8分,共16分)21.求抛物面224y x z ++=的切平面,π使得π与该抛物面间并介于柱面1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小.难度等级3; 知识点：综合题，多元函数的几何应用、二重积分和多元函数的极值。

重庆市2024届高三下学期强化考试(四)数学试题含答案

重庆市高2024届高三下学期强化考试（四）数学试题（答案在最后）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合11,,,3663n n M x x n Z N x x n Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则下列关系正确的是（）A.M N ⊆B.M N ⋂=∅C.N M ⊆D.M N Z⋃=【答案】C 【解析】【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.【详解】221,,,66n n M x x n N x x n ++⎧⎫⎧⎫==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，2n +表示整数，21n +表示奇数，故N M ⊆，故A 错误，B 错误，C 正确，而M N ⋃中的元素有分数，故D 错误.故选：C ．2.已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(2,)+∞ B.[2,)+∞ C.(5,)+∞ D.[5,)+∞【答案】D 【解析】【分析】首先求出op 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <-所以op 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.3.假设,A B 是两个事件，且()()0,0P A P B >>，则下列结论一定成立的是（）A.()()P AB P BA ≤∣B.()()()P AB P A P B =C.()()P BA P AB =∣∣D.()()P B P BA =∣【答案】A 【解析】【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A 选项，由()()()P AB P B A P A =，()01P A <≤，可知()()P AB P B A ≤，故A 正确；对于B 选项，()()()P AB P A P B =成立的条件为,A B 是两个独立事件，故B 错误；对于C 选项，由()()()P AB P B A P A =，()()()P AB P A B P B =，故当()()P A P B =时才有()()P B A P A B =，故C 错误；对于D 选项，若要()()()()P AB P B P B A P A ==成立，需要()()()P AB P A P B =，即()()P B P BA =∣成立的条件为,AB 是两个独立事件，故D 错误.故选：A ．4.已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++= ，且1,a b == ，若a 与b 的夹角为75，则a 与c 的夹角为（）A.60oB.120C.135D.150【答案】C 【解析】【分析】首先求出2c +=，进一步求得12a c +⋅=- ，结合向量夹角公式即可求解.【详解】由题意abc +=-，所以c c =-==2=，注意到a c b +=-，两边平方得21222a c ⎛+++⋅=⎪⎝⎭，解得811422a c +-+⋅==-，a 与c的夹角的余弦值为12cos ,22a c a c a c+-⋅===-⋅ ，注意到[],0,πa c ∈ ，所以,135a c =.故选：C.5.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由()()11a b +⋅+的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”表示把红球和蓝球都取出来，以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑球中取出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.()()()2233111a a a b c +++++B.()()()2323111ab bb c +++++C.()()()3232111a b b bc +++++D.()()()332111ab c c ++++【答案】A 【解析】【分析】分三步处理问题，分别表示出取红球、篮球、黑球的表达式，相乘即可求得.【详解】第一步，从3个无区别的红球中取出若干球，则有231a a a +++；第二步，从3个无区别的蓝球中都取出或都不取出，要满足题意，只有31b +；第三步，从2个有区别的黑球中取出若干个，则有()()()2111c c c ++=+.根据分步计数原理，则要满足题意的取法有：()()()2233111a a a b c +++++.故选：A.6.设12log 11a =，13log 12b =，0.12log 0.11c =，则（）A.<<c a bB.<<b c aC.b a c<< D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】由对数函数性质知01a <<，0b a <<，1c >，然后由基本不等式证明2lg11lg13(lg12)<，再用作差法比较,a b 大小后可得．【详解】由对数函数性质知121212log 1log 11log 12<<，即01a <<，同理01b <<，又0.120.12log 0.11log 0.12>，即1c >，2222lg11lg13lg143lg144lg11lg13()(()lg 12222+<=<=，所以()2lg11lg13lg12lg11lg120lg12lg13lg12lg13a b --=-=<，即a b <，综上a b c <<，故选：D ．7.圆台上、下底面半径分别为,r R ，作平行于底面的平面α将圆台分成上下两个体积相等的圆台，截面圆的半径为（）.A.2B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设截面半径为x ，上，下圆台的高分别为1h ，2h ，上，下圆台的体积分别为12,V V ，则12h x r h R x-=-，而21V V =，利用圆台体积公式建立方程，化简求解即可得到答案．【详解】设截面半径为x ，上、下圆台的高分别为1h ，2h ，上，下圆台的体积分别为12,V V ，则12h x r h R x-=-，又21V V =，则()()22222111ππππππ33R x Rx h x r rx h ++=++，于是221222h R x Rx x rx r xr h R x++-==++-，则3333R x x r -=-，得3332x R r =+，故x =故选：B ．8.设直线:10l x y +-=，一束光线从原点O 出发沿射线()0y kx x =≥向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N .若6MN =，则k 的值为（）A.32B.23C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求O 关于直线l 的对称点A ，后求直线AP ，可得M 、N 两点坐标，进而由6MN =可得k .【详解】如图，设点O 关于直线l 的对称点为()11,A x y ，则()1111102211x y y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪⎩得1111x y =⎧⎨=⎩，即()1,1A ，由题意知()0y kx x =≥与直线l 不平行，故1k ≠-，由10y kx x y =⎧⎨+-=⎩，得111x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即1,11k P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线AP 的斜率为111111AP k k kk k -++==-，直线AP 的直线方程为：()111y x k-=-，令0y =得1x k =-，故()1,0M k -，令0x =得11y k =-，故由对称性可得10,1N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由6MN =得22113(1)136k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即21113236k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1136k k +=，得23k =或32k =，若32k =，则第二次反射后光线不会与y 轴相交，故不符合条件．故23k =，故选：B.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列关于{}n a 的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（）（注：其中n 为大于1的整数，n S 为{}n a 的前n项和．）A.1S 与2SB.2a 与3SC.1a 与n aD.q 与na 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据1S 与2S 可知21a q a =为唯一定值；对于B ：根据题意可得232110S q q a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，结合一元二次方程分析判断；对于CD ：结合等比数列的通项公式分析判断.【详解】对于选项A ：已知1S 与2S ，则11221a S a S S =⎧⎨=-⎩，可知21a q a =为唯一定值，即1S 与2S 为基本量，故A 正确；对于选项B ：已知2a 与3S ，则()212311a a qS a q q =⎧⎪⎨=++⎪⎩，整理得232110S q q a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，令232140S a ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，解得321S a =-或323S a =，当且仅当321S a =-或323Sa =，关于q 的方程232110S q q a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭有唯一解，可知2a 与3S 不为基本量，故B 错误；对于选项C ：已知1a 与n a ：因为11n n a a q-=，虽然已知1a ，也不能确定唯一的q 值，例如131,4==a a ，可知2q =±，所以1a 与n a 不为基本量，故C 错误；对于选项D ：已知q 与n a ：则11n n a a q -=，则1a 唯一确定，所以q 与n a 为基本量，故D 正确；故选：AD.10.如图，角α，()0πβαβ<<<的始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．N 为 AB 的中点，则下列说法中正确的是（）A.N 点的坐标为cos ,sin 22βαβα--⎛⎫⎪⎝⎭B.cos 2OM βα-=C.()1cos cos coscos 222βααβαβ+-+=D.若αβ+的终边与单位圆交于点C ，分别过A ，B ，C 作x 轴的垂线，垂足为R ，S ，T ，则CT AR BS <+【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角函数定义可求得N 点的坐标为cos,sin 22αβαβ++⎛⎫⎪⎝⎭，可知A 错误；易知||||coscos 22OM OA βαβα--==，B 正确；求得M 点横坐标cos cos 22M x βααβ-+=，再利用中点坐标公式可得C 正确；分别表示出各线段长度利用三角恒等变换和三角函数值域可得D 正确.【详解】由N 为 AB 的中点，则122AON BON AOB βα-∠=∠=∠=，可得22xON βααβα-+∠=+=，由三角函数定义可得N 点的坐标为cos,sin 22αβαβ++⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误；由OM AB ⊥，可得||||cos cos 22OM OA βαβα--==，故B 正确；易知cos coscos 22M x OM xOM βααβ-+=∠=，又因为(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，M 为线段AB 的中点，则cos cos sin sin ,22M αβαβ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(cos cos )cos cos cos cos 22222βααβαβαβαβ-++-+==，故C 正确；由0παβ<<<易知线段sin AR α=，sin BS β=，则sin sin cos cos sin 1sin 1sin s (in sin )CT αβαβαβαβαβ=+=+<⨯+⨯=+，所以CT AR BS <+，故D 正确，故选：BCD ．11.P 为椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上一点，12,F F 为Γ的左、右焦点，延长1PF ，2PF 交Γ于A ，B 两点、在12PF F 中，记12PF F α=∠，21PF F β=∠，若()sin sin αβαβ+=+，则下列说法中正确的是（）A.12PF F 面积的最大值为2bB.Γ的离心率为12C.若12PF F 与12AF F △的内切圆半径之比为3：1，则PA l 的斜率为1±D.1212||||6||||PF PF F A F B +=【答案】ACD 【解析】【分析】在12PF F 中由正弦定理结合条件可得出e 的值，由面积公式可判断面积的最值，设:PA l x my c =-与椭圆方程联立得出韦达定理，利用等面积法结合韦达定理可判断选项C ，作椭圆的左准线，D ，E ，G 分别为P ，A ，1F 在左准线上的投影，设111PF F Aλ=，222PF F Bλ=，利用椭圆的第二定义可判断选项D.【详解】如图，在12PF F中，由正弦定理，2112sin sin sin()PF PF F F αβπαβ==--，则1212sin sin sin()PF PF F F αβαβ+=++，即22sin sin sin()a cαβαβ=++，所以sin()2sin sin 2c e a αβαβ+===+，由)222222b ac c c =-=-=所以b c =，则12212||2PF F P S c y b b c ≤=⋅⋅=△，则12PF F S 最大值为2b ，故A 正确，B 错误；由题意可得，PA l 的斜率不为0，设:PA l x my c =-，联立方程222222,0,x my c b x a y a b =-⎧⎨+-=⎩得222222222()20b m a y mcb y b c a b +-+-=，0∆>恒成立，22222A P mcb y y b m a +=+，4222A P b y y b m a-=+，设12PF F 与12AF F △的内切圆半径分别为1r ，2r ，因为121112||(22)22PF F p S c y a c r ==+△，122112(22)22AF F A S c y a c r ==+ ，所以123P P A A r y y r y y ==-=，即3p A y y =-，222222A p A mcb y y y b m a +=-=+，2222A mcb y b m a =-+，22223p mcb y b m a =+，所以()422422222223A p b m c b y y b m a b m a -==-++，即2222231m c b m a =+，222222132a a m c b c===-，所以1PA k =±，C 正确；作椭圆的左准线，D ，E ，G 分别为P ，A ，1F 在左准线上的投影，设111PF F A λ=，222PF F B λ=，11PF AF c e a PD AE ===，所以1PF PD e =，111AF PF AE e eλ==，则21111121111111PF a c PF PD GF PD GF PF a ec e c PF PF F A GF EA a a ec c c e λλλ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭====-⎛⎫---- ⎪⎝⎭∣∣-∣∣∣∣，得1121PF a ec λ=--，同理可得2221PF λ=--，所以2121222()42()2(1)2261PF PF a a ec e a ec a ec a ec eλλ++++=-=-===----，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线()2ln2f x mx x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数m 的取值范围是____.【答案】(),0-∞【解析】【分析】求导后，将问题转换为函数方程有解问题、参变分离即可得解.【详解】()()2122,02f x mx mx x x x'=+=+>，由题意曲线()2ln2f x mx x =+存在垂直于y 轴的切线，所以120mx x +=在()0,∞+上有解，即212m x=-在()0,∞+上有解，而212y x =-在()0,∞+上的值域为(),0-∞，则实数m 的取值范围是(),0-∞.故答案为：(),0-∞.13.已知复数12,z z满足12123,2z z z z ==+=-，则12z z -=______.【答案】【解析】【分析】可以采用向量方法求解，原问题等价于：已知3a b == ，(2,a b += ，求a b - .【详解】原题等价于3a b == ，(2,a b += ，求a b - .222222292936a b a b a b ++-=+=⨯+⨯= ，2||459a b +=+= ，2||36927a b ∴-=-= ，a b ∴-= .故答案为：14.已知二面角l αβ--为60º，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ︒∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为______________.【答案】4【解析】【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线AB 与CD 所成的角,利用解直角三角形,可求出问题的答案.【详解】如图所示:过D 作DE α⊥于E ,DF l ⊥于F ,再过E 作l 的平行线与过C 作l 的垂线交于G ,连接,EF DG ,则DFE ∠为二面角l αβ--的平面角,易知四边形EFCG 为矩形.由AB l ⊥知////AB EF CG ,所以DCG ∠为AB 与CD 所成的角,设1EF =,因为DFE ∠60= ,则2,1DF CG ==,又由条件知18013545DCF ∠=-= ,且DF l ⊥,所以在Rt △DCF 中,DC =,所以在Rt △DCG 中,2cos4CG DCG DC ∠===.故答案为:4.【点睛】本题主要考查异面直线所成角,二面角,直线与平面间的垂直关系,属于中档题.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()22cos 2cos 3,A C B b ac -+==.求B 与A .【答案】ππ,33B A ==【解析】【分析】由三角恒等变换以及正弦定理得sin 2B =，对B 分类讨论即可得解.【详解】()()()2cos 2cos 2cos 2cos πA C B A C B -+=---()()2cos 2cos A C A C =--+()()2cos cos sin sin 2cos cos sin sin A C A C A C A C =+--4sin sin 3A C ==，因为2b ac =，所以23sin sin sin 4B A C ==，因为()0,πB ∈，sin 0B >，所以sin 2B =，所以π3B =或2π3B =，当π3B =时，()12cos 232A C -+⨯=，即()cos 1A C -=，因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2π2π2π2π2,3333A C A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0A C -=，所以此时π3B A C ===；当2π3B =时，()12cos 232A C ⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，即()cos 21A C -=>，这与()cos 1A C -≤矛盾，故2π3B =是不可能的，综上所述，满足题意的,B A 为ππ,33B A ==.16.一个盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性相等，用X 表示取出的3张卡片中的最大数字.（1）求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率;（2）求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】（1）130（2）133【解析】【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可；（2）X 的所有可能取值为2,3,4,5，算出对应的概率即可得分布列，进一步结合数学期望公式求解期望即可.【小问1详解】记抽取的3张卡片标有的数字为{}123,,A a a a =，随机变量Y 表示一次取出的3张卡片中的数字之和，则31i i Y a ==∑，令5Y ≤，结合题设，当{}1,1,2A =时，Y 最小，且此时4Y =，当{}1,2,2A =时，Y 最大，且此时5Y =，所求概率为21122222310C C C C 221C 12030P ++===；【小问2详解】由题意记{}123max ,,X a a a =，则X 的所有可能取值为2,3,4,5，当2X =时，对应的A 可能是：{}1,1,2，{}1,2,2，当3X =时，对应的A 可能是：{}1,2,3，{}1,1,3，{}2,2,3，{}1,3,3，{}2,3,3当4X =时，对应的A 可能是：{}1,1,4，{}2,2,4，{}3,3,4，{}1,4,4，{}2,4,4，{}3,4,4，{}1,2,4,{}1,3,4,{}2,3,4，当5X =时，对应的A 可能是：{}1,1,5，{}2,2,5，{}3,3,5，{}4,4,5，{}1,5,5，{}2,5,5，{}3,5,5，{}4,5,5,{}1,2,5,{}1,3,5，{}1,4,5，{}2,3,5，{}2,4,5，{}3,4,5，所有()21223102C C 412C 12030P X ====，()1111222222310C C C 4C C 8823C 12015P X ++====，()11112222223103C C C 6C C 241234C 12010P X ++====，()11112222223106C C C 8C C 481685C 12015P X ++====，所以随机变量X 的分布列为：X k=2345()P X k =130215310815所以随机变量X 的数学期望为()1238132345301510153E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，在三棱锥P ABC -中，2,,,,PB PC BC AB AB BC BP APBC ====⊥的中点分别为,,,2D E O AD =，点F 在AC 上，BF AO ⊥.（1）证明://EF 平面ADO ；（2）证明:AO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）22-【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直的判定推理作答.（3）求出平面ADO 与平面ACO 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】连接,DE OF ，设AF tAC =，则()(1)BF BA AF BA t AB BC t BA tBC =+=++=-+ ，12AO BA BC =-+ ，因为BF AO ⊥，AB BC ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，所以//EF DO ，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO ；【小问2详解】因为,D O 分别为,BP BC 中点，所以1//,2DO PC DO PC =，因为PC =62DO =，因为12BO BC ==2AB =，AB BO ⊥，所以AO =，因为2AD =，所以222AO OD AD +=，即AO OD ⊥，因为//DO EF ，所以AO EF ⊥，又因为,,,AO BF EF BF F EF BF ⊥⋂=⊂平面BEF ，所以AO ⊥平面BEF ；【小问3详解】因为AB BC ⊥，过点B 作z 轴⊥平面BAC ，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()2,0,0,,0,0,0,0,2,0,0,2,0A B C O ，在BDA △中，222315422cos 266222DB AB DA PBA DB AB +-+-∠===⋅⨯⨯，在PBA △中，2222cos 6462146PA PB AB PB AB PBA ⎛=+-⋅∠=+-⨯⨯-= ⎝，设(),,P x y z ，所以由1466PA PB PC ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩可得：()(222222222214626x y z x y z x y z ⎧-++=⎪⎪++=⎨⎪+-+=⎪⎩，可得：1,2,3x y z =-==(2,3P -，则123,,222D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以123,,222E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0F ，()5232,0,,,222AO AD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面ADO 的法向量为1 =,1,1，则1100n AO n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得111112205230222x x y z ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，令11x =，则112,3y z ==，所以(12,3n = ，平面ACO 的法向量为()30,0,1n = ，所以13131332cos ,2123n n n n n n ⋅===++⋅ ，因为D AO C --为钝角，故二面角D AO C --的余弦值为22-.18.设函数()()()11,1xf x c cx c =+-+>-且0c ≠，设*,N ∈m n .（1）证明:函数()f x 在区间0,1上存在唯一的极小值点；（2）证明:()11mc cm +≥+；（3）已知6n ≥且11132n n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，证明:()()34523n n n n n n n +++++<+ .【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）注意到总是有()()()l 1n 1x f x c c c =++'-在()0,1上单调递增，故只需证明()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->（对c 进行分类讨论）即可；（2）由（1）中结论证明()f x 在[)1,+∞上单调递增即可，从而由()()10f m f ≥=即可得证；（3）原问题等价于3421333n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，只需得到101133kk n n ⎛⎫<-≤- ⎪++⎝⎭，然后结合已知进行放缩即可得证.【小问1详解】()()()l 1n 1xf x c c c =++'-，当10c -<<时，011c <+<，()ln 10c +<，所以()f x '在()0,1上单调递增，要证函数()f x 在区间()0,1上存在唯一的极小值点，只需证明()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->，我们构造函数()()()()()()ln 1,1ln 1,10g c c c h c c c c c =+-=++--<<，()()110,1011c g c c c c-'=-=>-<<++，()()()()ln 111ln 10,10h c c c c '=++-=+<-<<，所以()g c 在()1,0-上单调递增，()h c 在()1,0-上单调递减，所以()()00g c g <=，()()00h c h >=，所以当10c -<<时，()f x '在()0,1上单调递增，()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，当()0,1x x ∈时，()0f x '>，此时()f x 在()00,x 上单调递减，()f x 在()0,1x 上单调递增，()f x 在()0,1上存在唯一极小值点0x ；当0c >时，11c +>，()ln 10c +>，所以()()()l 1n 1xf x c c c =++'-在()0,1上依然单调递增，要证函数()f x 在区间()0,1上存在唯一的极小值点，只需证明()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->，我们构造函数()()()()()()ln 1,1ln 1,0g c c c h c c c c c =+-=++->，()()110,011c g c c c c-'=-=<>++，()()()()ln 111ln 10,0h c c c c '=++-=+>>，所以()g c 在()0,∞+上单调递减，()h c 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g c g <=，()()00h c h >=，所以当0c >时，()f x '在()0,1上单调递增，()()()()()0ln 10,11ln 10f c c f c c c ''=+-<=++->，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，当()0,1x x ∈时，()0f x '>，此时()f x 在()00,x 上单调递减，()f x 在()0,1x 上单调递增，()f x 在()0,1上存在唯一极小值点0x ；根据上述分析可知，同理可证此时()f x 在()0,1上存在唯一极小值点0x ；综上所述，函数()f x 在区间()0,1上存在唯一的极小值点；【小问2详解】由（1）中分析可知，()()()l 1n 1xf x c c c =++'-在()0,1上单调递增，所以当1x ≥时，()()()()11ln 10f x f c c c ''≥=++->，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，注意到*N m ∈，所以()()()()0111mf c c m f m =-++≥=，即()11m c cm +≥+，*N m ∈成立；【小问3详解】目标等价于3421333n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6,n m k n ≥=≤时，在（2）中取()11,03c n =-∈-+，所以101133kk n n ⎛⎫<-≤- ⎪++⎝⎭，于是()111111,1,2,,3332n k n k n k k k n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=-<=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，12121111111113332222n n n n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3421333n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()34523n n n n n n n +++⋅⋅⋅++<+.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上下焦点分别为()10,F c ，()20,F c -.已知点(e和(都在双曲线上，其中e 为双曲线的离心率.（1）求双曲线的方程;（2）设,A B 是双曲线上位于y 轴右方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P .(i)若122AF BF -=，求直线1AF 的斜率；(ii)求证：12PF PF +是定值.【答案】（1）2212y x -=（2）(i)2；(ii)2【解析】【分析】（1）将点的坐标代入双曲线的方程求解即可；（2）（I ）构造平行四边形12F CF B ，求出112AF CF -=，然后利用弦长公式求直线1AF 的斜率即可；（II ）利用三角形相似和双曲线的性质，将12PF PF +转化为11211AF CF ++，然后结合韦达定理求解即可.【小问1详解】将点(和(e 代入双曲线方程得：22222251a ca ab ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，结合222c a b =+，化简得：222242a b a a ⎧=⎪-⎨⎪=⎩，解得222,1a b ==，双曲线的方程为2212y x -=．【小问2详解】(i)设()()1122,,,,A x y B x y B 关于原点对称点记为()33,C x y ，则3232,x x y y =-=-．因为112122122,F A CF BF y y y k k k x x x -++===，所以12CF BF k k =，又因为12//AF BF ，所以12F A BF k k =，即11F A CF k k =，故1,,A F C 三点共线．又因为BC 与12F F 互相平分，所以四边形12F CF B 为平行四边形，故12FC BF =，所以12112AF BF AF CF -=-=．由题意知，直线1AF 斜率一定存在，设1AF的直线方程为y kx =+，代入双曲线方程整理得：()22210kx -++=，故3131221,22x x x x k k +=-=--，直线1AF 与双曲线上支有两个交点，所以1231020,x x k =-><∆，解得k <．由弦长公式得)111313222AF CF x x k ⎫-=-=+=-=⎪⎪-⎭，则422740k k +-=，且由图可知0k >，即()()222140k k -+=，代入解得2k =．(ii)因为12//AF BF ，由相似三角形得1111222212PF AF BF AF BF PF BF AF AF BF ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，所以()()12211122121212AF BF BF AF AF BF BF AF PF PFAF BF AF BF ++++==++1211221111AF BF AF CF =+=+++．因为131113131111x x AF CF x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+==⎪⎪⎪⎪⎭⎭．所以12522PF PF +=，故为定值．【点睛】关键点点睛：第二问(ii)的关键是将12PF PF +转化为11211AF CF ++，结合韦达定理即可顺利得解.。