相互独立的事件的概率
事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1 (1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全 相同的号签.其中，甲袋中有编号为 1,2,3的三个号签；乙袋有编号为
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1； 0,1,1和1,1,1这4个事件的和， 它们互斥，所求的概率为 C23β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故 C 错误； 对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)， 单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5， 因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′， 故D正确.
微拓展
D 选项，由 C 选项知 Pn＝12(1－Pn－1)， 即 Pn＝－12Pn－1＋12， 设 Pn＋λ＝－12(Pn－1＋λ)， 故 Pn＝－12Pn－1－32λ， 所以－32λ＝12，解得 λ＝－13，
微拓展
故 Pn－13＝－12Pn－1－31， 又 P1－13＝－13≠0， 所以Pn－13是首项为－13，公比为－21的等比数列，故 Pn－13＝－13－12n－1， 故 Pn＝13－13－12n－1，D 正确； B 选项，由 D 选项可知 P4＝13－13×－123＝38，B 错误.
自主诊断
2.(必修第二册 P253T4 改编)甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出
谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解出的概率为
√A.16
B.13
C.56
概率计算的独立性
概率计算的独立性概率计算的独立性是概率论的一个重要概念，指的是在某些条件下，两个或多个事件的发生与其他事件无关。
它在数学、统计学、经济学和其他领域都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨概率计算的独立性的含义、性质以及它在现实生活中的应用。
首先，让我们来了解概率计算的独立性的含义。
简而言之，当两个或多个事件的发生与其他事件无关时，我们称它们是相互独立的。
数学上，我们可以用以下公式来表示独立事件的概率：P(A∩B) = P(A) ×P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B单独发生的概率。
独立性的性质有以下几点。
首先，如果事件A和事件B是独立的，那么它们的补事件（即不发生的事件）也是独立的。
其次，任意多个事件的并集也是独立的，即若事件A1到An互相独立，则它们的并集也是独立的。
最后，如果事件A和事件B是独立的，并且事件C与事件A、B互不相交，那么事件C与事件A、B的并集也是独立的。
概率计算的独立性在实际生活中有许多应用。
其中之一是赌博和博弈论。
在赌博中，计算独立事件的概率可以帮助人们制定合理的下注策略，从而增加获胜的机会。
例如，在掷硬币的游戏中，每次掷硬币的结果都是相互独立的。
所以，如果我们知道正面和反面出现的概率都是50%，那么我们可以根据这个信息来计算获胜的概率。
另一个应用是市场调查和统计学。
在市场调查中，人们经常需要根据样本数据来预测总体的情况。
如果样本数据是随机且相互独立的，那么我们可以使用概率计算的独立性来进行推断。
例如，如果我们想预测一个城市的人口中男性和女性的比例，我们可以使用随机抽样方法来获取样本数据。
如果抽样过程中每个人都是相互独立的，那么我们可以用这些数据来估计总体的情况。
此外，概率计算的独立性还可以在信号处理、通信系统和信息论中得到应用。
在这些领域，我们经常需要计算信号的传输概率。
如果信号是相互独立的，那么我们可以利用独立性的性质来简化计算过程。
人教A版相互独立事件发生的概率(条件概率
AB
⑷甲乙两战士至少有一人射中；
AB AB AB A B A B
例2甲乙两名篮球运动员分别进行一 次投篮，如果两人投中的概率都是 0.6，计算：
⑴两人投中的概率； ⑵其中恰有一人投中的概率；
⑶至少有一人投中的概率。
例3在一段线路中并联三个独立自动控
判断下列事件A和B是否相互独立?
1.一个口袋内装有4个白球和3个黑球,从中陆续取出两个 球。用A1表示事件“第一次取出的是白球”，把取出的 球放回袋中，用B1表示事件“第二次取出的是白球”
相互独立
2.一个口袋内装有4个白球和3个黑球,从中陆续取出两个 球。用A2表示事件“第一次取出的是白球”，取出的球 不放回袋中，用B2表示事件“第二次取出的是白球”
不相互独立
3.甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2 个黑球．事件A是指“从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”, 事件B是指“从乙坛子里摸出1个球,得到黑球”.
相互独立
2.独立事件同时发生的概率
P(A.B)=P(A).P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时 发生的概率，等于每个事件发生的概率 的积． P A B P B / A P B P A 一般地，如果事件A1,A2,A3……An 相互独立，那么这n个事件同时发生的概 率等于每个事件发生的概率的积，即：
CC
1 3 1 5
1 2 1 4
5 4
10
P A B 1 P B / A P A 2
P B
事件的独立性
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白 皮蛋，每次取一个，有放回的取两次，求在 已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取 到红皮蛋的概率是多少？ 1 1 C3C4 3 设A=“第一次取到红皮蛋” P A 1 1
相互独立事件同时发生的概率
解 记 Ai 表示事件：电流能通过 Ti，i＝1,2,3,4. A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流． B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． (1) A ＝ A1 · A2 · A3 ，A1、A2、A3 相互独立． 故 P( A )＝P( A1 · A2 · A3 )＝P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ＝(1－p)3， 又 P( A )＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001， 故(1－p)3＝0.001，得 p＝0.9. (2)B＝A4＋ A4 · A1· A3＋ A4 · A1 · A2· A3， P(B)＝P(A4＋ A4 · A1· A3＋ A4 · A1 · A2· A3) ＝P(A4)＋P( A4 · A1· A3)＋P( A4 · A1 · A2· A3) ＝P(A4)＋P( A4 )P(A1)P(A3)＋P( A4 )P( A1 )P(A2)P(A3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.
2．独立重复试验 (1)独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果 的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这 n 次 试验是独立的． (2)独立重复试验的概率：如果在一次试验中，某事件 发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中，这个
k k n k C P (1 － P ) 事件恰好发生 k 次的概率为：Pn(k)＝ n .
2．如图所示的电路，有 a，b，c 三个开关，每个开关 1 开或关的概率都是2，且是相互独立的，则灯泡甲亮 1 的概率为________ ． 8
解析 理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件 A， “b 闭合”为事件 B，“c 闭合”为事件 C，则灯亮应为 事件 AC B ，且 A，C， B 之间彼此独立，且 P(A)＝P( B ) 1 ＝P(C)＝2. 1 所以 P(A B C)＝P(A)P( B )P(C)＝8.
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
事件相互独立的公式
事件相互独立的公式
事件a（或b）是否发生对事件b（a）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
设a,b是两事件,如果满足等式p(a∩b)=p(ab)=p(a)p(b),则称事件a,b相互独立,简称a,b独立。
设a,b是试验e的两个事件,若p(a)\ue0,可以定义p(b∣a).一般,a的发生对b发生的概率是有影响的,所以条件概率p(b∣a)≠p(b),而只有当a的发生对b发生的概率没有影响的时候（即a与b相互独立）才有条件概率p(b∣a)=p(b)。
这时,由乘法定理p(a∩b)=p(b∣a)p(a)=p(a)p(b)。
因此设a,b就是两事件,如果满足用户等式子p(a∩b)=p(ab)=p(a)p(b),则表示事件a,b相互单一制,缩写a,b单一制.
注:
1、p(a∩b)就是p(ab)
2、若p(a)\ue0,p(b)\ue0则a,b相互独立与a,b互不相容不能同时成立,即独立必相容,互斥必联系.
难推展:设a,b,c就是三个事件,如果满足用户
p(ab)=p(a)p(b),p(bc)=p(b)p(c),p(ac)=p(a)p(c),p(abc)=p(a)p(b)p(c),则表示事件
a,b,c相互单一制
更一般的定义是,a1,a2,……,an是n(n≥2)个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,…任意n个事件的积事件的概率,都等于各个事件概率之积,则称事件a1,a2,……,an 相互独立。
概率与统计中的独立事件与条件概率
概率与统计中的独立事件与条件概率概率与统计是一门研究事物发生概率和规律的学科，独立事件和条件概率是其中的两个重要概念。
独立事件指的是两个或多个事件之间互不影响，而条件概率则是在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
以下将对概率与统计中的独立事件和条件概率进行详细阐述。
一、独立事件独立事件是指两个或多个事件之间没有相互影响的情况。
在概率与统计中，我们用P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
如果两个事件A和B相互独立，那么事件A和B同时发生的概率就等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
例如，假设有一枚公平的硬币，掷硬币的结果有两个可能性，正面和反面，分别记为事件A和事件B。
如果事件A表示掷硬币结果为正面的概率，事件B表示掷硬币结果为反面的概率，那么根据独立事件的定义，我们可以得到P(A∩B) = P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4，即事件A和事件B同时发生的概率为1/4。
二、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
举例来说，假设有一批产品，其中10%的产品有缺陷，现在随机抽取一件产品，事件A表示这件产品有缺陷，事件B表示这件产品是某个特定品牌的产品。
如果已知这件产品是该品牌的产品，我们想要知道它有缺陷的概率，即求解P(A|B)。
根据条件概率的定义，我们可以通过计算P(A∩B)/P(B)来得到答案。
假设该品牌的产品有总体占比为20%，即P(B) = 0.2。
又已知有缺陷的产品占总体的10%，即P(A∩B) = 0.1，将这些数据代入条件概率的计算公式，我们可以得到P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.1/0.2 = 0.5。
相互独立事件同时发生的概率
相互独立事件同时发生的概率知识要点:1．对于事件A、B，如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则称这样的两个事件为相互独立事件.2．相互独立事件的概率乘法公式:设事件A、B相互独立，把A、B同时发生的事件记为（A·B），则有P（A·B）=P（A）·P（B）.上述公式可以推广如下:如果事件A1，A2，……，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即P(A1·A2·……·A n)=P(A1)·P(A2)·……·P(A n).3．如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率:P n(k)=P k(1-P)n-k.实际上，它就是二项展开式[(1-P)+P]n的第(k+1)项.要求：1．掌握相互独立事件的概率乘法公式，会用它计算一些事件的概率.2．掌握计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.典型题目例1.加工某种零件先后需经历三道工序，已知第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假定各道工序互不影响，问加工出来的零件的次品率为多少？解:设A1、A2、A3分别表示三道工序得到次品的事件，由题设知，它们是相互独立的事件，而加工得到次品是指以上三个工序中至少有一个工序是次品，即次品事件A=.∴P(A)=0.02×0.97×0.95+0.98×0.03×0.95+0.98×0.97×0.05+0.02×0.03×0.95+0.02×0.97×0.05+0.98×0.03×0.05+0.02×0.03×0.05=0.09693.例2．某商人购进光盘甲、乙、丙三件，每件100盒，其中每件里面都有1盒盗版光盘.这个商人从这3件光盘里面各取出1盒光盘卖给了李四，求:（1）李四恰好买到1盒盗版光盘的概率；（2）李四至少买到1盒盗版光盘的概率.解:（1）记从甲、乙、丙三件光盘里面各取出1盒光盘，得到非盗版光盘的事件分别为A、B、C，则事件·B·C、A··C、A·B·是互斥的；事件、B、C，A 、、C，A、B、彼此之间又是相互独立的.所以P(·B·C+A··C+A·B·)=P(·B·C)+P(A··C)+P( A·B·)=P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)+P(A)·P(B)·P()=0.01×0.99×0.99+0.99×0.01×0.99+0.99×0.99×0.01≈0.03.（2）事件A、B、C的设法同第（1）小题.因为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.99×0.99×0.99=0.993,所以1-P(A·B·C)=1-0.993≈0.03.例3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8. 计算:(1)两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.分析:此题有三问，要依层次来解.解:（1）记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件:A·B，又由于事件A与B相互独立，∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.8=0.64.（2）“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中（即A·），另一种是甲未击中乙击中（即·B），根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A·与·B是互斥的，所以所求概率为:P=P( A·)+P(·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法1:“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为:P=P(A·B)+[P(A·)+P(·B)]=0.64+0.32=0.96.解法2:“两人都未击中目标”的概率是:P(·)=P()·P()=(1-0.8)×(1-0.8)=0.2×0.2=0.04.∴至少有一人击中目标的概率为:P=1-P(·)=1-0.04=0.96.点评:由（3）可见，充分利用（1）、（2）两问的结果解题很简单.但是（3）的解法2也告诉我们，即使是不会求（1）、（2），也可独立来解（3）.在考试中要特别注意这一点.例4．某种大炮击中目标的概率是0.3，最少以多少门这样的大炮同时射击一次，就可以使击中目标的概率超过95%？解:设需要n门大炮同时射击一次，才能使击中目标的概率超过95%，n门大炮都击不中目标的概率为×0.30×0.7n=0.7n.至少有一门大炮击中目标的概率为1-0.7n.根据题意，得1-0.7n>0.95，即0.7n<0.05, nlg0.7<lg0.05，n>≈8.4.答:最少以9门这样的大炮同时射击一次，就可使击中目标的概率超过95%.例5．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求:（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率.分析:应先确定所应用的每一事件的概率，以便求解.解:依题意可知:显然，这两个机床的生产应当看作是相互独立的.设A=“从甲机床抽得的一件是废品”，B=“从乙机床抽得的一件是废品”.则P(A)=0.04, P()=0.96, P(B)=0.05, P()=0.95.由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的.（1）“至少有一件废品”=A·B +·B+A·P(A·B +·B+A·)=1-P(·）=1-P()·P()=1-0.96×0.95=0.088.（2）“恰有一件废品”=·B+A·.P(·B+A·)=P(·B)+P(A·）=P()·P(B)+P(A)·P()=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086.（3）“至多有一件废品”=A·+·B+·P(A·+·B+·)=P(A·)+P(·B)+P(·)=P(A)·P()+P()·P(B)+P()·P()=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998.另外的解法是:“至多有一件废品不发生”=“两件都是废品”=A·BP(A·+·B+·)=1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-0.04×0.05=0.998.（4）“其中无废品”=“两件都是成品”=·P(·)=P()·P()=0.96×0.95=0.912.（5）“其中全是废品”=A·BP(A·B)=P(A)·P(B)=0.04×0.05=0.002.点评:本例有很强的综合性，学习中要注意认真体会加以理解掌握之.例6．已知射手甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.问三人同时射击目标，目标被击中的概率是多少？解:设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.但应注意，A、B、C这三个事件并不是互斥的，因为目标可能同时被两人或三人击中，因此，可视目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为，而三人射击结果相互独立.所以P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=(1-)(1-)(1-)=.所以，目标被击中的概率是1-P()=1-.。
相互独立事件同时发生的概
第七节 相互独立事件同时发生的概率一、基本知识概要：1.相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，那么称事件A ，B 为相互独立事件。
注： 如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的。
两个相互独立事件A 、B 同时发生的概率为：P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）；如果事件A 1，A 2，…n A 彼此独立，则P （A 1·A 2·…n A ）=P （A 1）·P （A 2）·…P （n A ）；2.事件的积：设事件A 、B 是两个事件，A 与B 同时发生的事件叫做事件的积，记作A ·B 。
（此概念可推广到有限多个的情形）3.独立重复试验（又叫贝努里试验）：在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率记为P n （k ），设在一次试验中事件A 发生的概率为P ，则P n （k ）=k n k k n P P C --)1(。
二、重点难点: 对相互独立事件、独立重复试验的概念的理解及公式的运用是重点与难点。
三、思维方式: 分类讨论，逆向思维（即利用P （A ）=1－P （A ））四、特别注意：1.事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)。
特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B)2.事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.五、例题：例1.（2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张。
互斥事件和独立事件的概率及条件概率
互斥事件和独立事件的概率及条件概率【知识要点】1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=条件概率具有以下性质：(1) ；(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．【基础检测】1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.3753．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.典例分析：例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总分不低于2分的概率；(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．离散型随机变量的分布列、期望与方差【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的①；②；(3)两点分布：(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差则称Eξ＝为随机变量型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．【基础检测】1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )A．25个B．10个C．7个D．6个2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为45，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝5．随机变量ξ的分布列为则Eξ＝，＝，＝.6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．综合练习卷1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )A ．60分B ．70分C ．80分D ．90分4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．8.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。
条件概率及互相独立事件-高考数学知识点
条件概率及互相独立事件-高考数学知识点条件概率及互相独立事件一、条件概率
条件概率是一种带有附加条件的概率。
是指若事件A与事件B是相依事件，即事件A的概率随事件B是否发生而变化，同样，事件B的概率与随事件A是否发生而变化，则在事件A已发生的条件下，事件B出现的概率称为事件B的条件概率。
条件概率就是事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为P(A|B)，读作“在 B 条件下 A 的概率”。
P(A|B)=P(AB)/P(B),P(B|A)=P(AB)/P(A)
二、独立事件
相互独立事件: 事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
三、热定预测
预测高考可能会对独立事件的概率、n次独立事件的概率、n次独立重复试验的概率、二项分布重点考察。
解答题仍会保持中等难度，分值约为10分。
条件概率与互相独立事件在高二的课程中就已经还是涉及。
10.3.2相互独立事件的概率乘法公式
A
“从两个坛子里分别摸出l个球，都是白球”是一个事 件，它的发生就是事件A，B同时发生，我们将它记做 A· B。于是需要研究，两个相互独立事件A，B同时发生 的概率P(A· B)是多少？ 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙 坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。于是从两个坛 子里各摸出1个球，共有5*4种等可能的结果，如下图所 示。
例3 在一段线路中并联着3个独立控制的常用开 关， 只要其中有1个开关闭合，线路就能正常工作。 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率。 分析： 在一段线路中并联着3个独立控制的常 用开关， 只要其中有1个开关闭合，这可以包括恰 有其中1 个开关闭合、恰有其中2个开关闭合、恰有 其中3个开关闭合3种互斥的情况，逐一求其概率较 为麻烦，为此，我们转而先求3 个开关都不闭合的 概率，从而求得其对立事件——3个开关至少有1个 能够闭合的概率。
（白，白） （白，白） （白，白） （白，白）
（白，黑） （白，黑） （白，黑） （白，黑）
（白，白） （白，白）
（黑，白） （黑，白）（白，Fra bibliotek） （白，黑）
（黑，黑） （黑，黑）
（黑，白） （黑，白）
（黑，黑） （黑，黑）
（注：其中每个结果左、右分别表示从甲、乙 坛子里取出球的颜色。）
在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有 3×2种，因此，从两个坛子里分别摸出1个球，都 是白球的概率是 P(A· B)=（3×2）/(5×4) 另一方面，从两个坛子里分别摸出1个球，甲 坛子里摸出白球的概率是 P(A)=3/5 从两个坛子里分别摸出1个球，乙坛子里摸出 白球的概率是 P(B)=2/4
概 率
统计 概率
概率论中的独立性与互斥性
概率论中的独立性与互斥性在概率论中，独立性与互斥性是两个重要的概念。
独立性描述了两个事件之间的关系，而互斥性则表示两个事件不可能同时发生。
理解这两个概念对于解决概率问题非常重要。
接下来，我们将通过一些典型例题来加深对独立性和互斥性的理解。
一、独立性概念的理解与应用独立性事件的定义是：事件A和事件B相互独立，当且仅当事件A的发生不影响事件B的发生概率。
换言之，如果两个事件相互独立，那么一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生概率。
例题1：设事件A表示抛一枚硬币正面朝上，事件B表示抛一枚硬币反面朝上。
那么事件A和事件B是否独立？解：事件A和事件B是相互独立的。
因为抛硬币的结果只有正面和反面两种可能，且每次抛硬币的结果都是独立的，所以事件A的发生不会影响到事件B的发生概率。
结论1：相互独立的事件概率之积等于各自事件概率的乘积。
二、互斥性概念的理解与应用互斥性事件的定义是：事件A和事件B互斥，当且仅当两个事件不能同时发生。
换言之，如果两个事件互斥，那么它们之中只能发生一个。
例题2：设事件A表示掷一个骰子，点数为1、2、3，事件B表示掷一个骰子，点数为4、5、6。
那么事件A和事件B是否互斥？解：事件A和事件B是互斥的。
因为掷两个骰子的结果不可能同时包含1、2、3和4、5、6，所以事件A和事件B不能同时发生。
结论2：互斥事件的概率之和等于0。
三、独立性与互斥性的关系事件独立性和事件互斥性之间有着密切的关系。
如果两个事件是独立的，那么它们一定是互斥的；反之，如果两个事件是互斥的，那么它们不一定是独立的。
例题3：设事件A表示掷一个骰子，点数为1、2、3，事件B表示掷一个骰子，点数为4、5、6。
那么事件A和事件B既互斥又独立。
解：事件A和事件B是互斥的，因为两个骰子的点数不可能同时包含1、2、3和4、5、6。
事件A和事件B是独立的，因为一个骰子的点数不会影响到另一个骰子的点数。
通过以上例题和结论，我们可以看出独立性和互斥性在概率论中的重要性。
相互独立事件有一个发生的概率
P(A B) P(A B).
独立事件与互斥事件
对事件A，B，有： P( A B) P( A) P(B) P( A) P(B)
特别地，若 A，B互斥，有： P( A) P(B) 0 P( A B) P( A) P(B)
独立事件必不互斥； 互斥事件必不独立
20.
袋中有r个红球与b个黑球，现 有放回地任意摸球，直到累计 摸到i个红球为止，求恰好摸k 次的概率.
求
系统正常工作的概率.
作业1：.
如图:已知电路中5个开关闭合的概 率都是0.7,且是相互独立的,求灯 亮的概率.
作业2：
如图所示的电路，该系统是由四个二极 管（串联，并联）连接而成。已知每个 二极管的可靠度为0.8，若要求系统的可 靠度大于0.85，请你设计二极管的连接 方式，并加以说明
10.
一个学生通过某种英语听力测试 的概率是0.5，他连续测试两 次，那么其中有一次通过的概率 是多少？
11.
在一段时间内，甲去某地的概 率0.25,为乙去某地的概率为0.2; 假定两人的行动之间没有影响， 那么这段时间内至少有一人去此 地的概率是多少？
12.
某射手每5发子弹平均有3发能射中： (1)试求射击n发子弹时每发都
有关等待首次成功时间（非重复试验次数）的模型： 当且仅当前k-1次非重复试验全失败时，第k次成功的 概率.
24.现请用概率的想法证明：
式子右边的一串加 号…？
A a
1
Aa A 1
A A
aA a 1 1A 2
...
A aA a 1 2 A 1 (a 1) a
1
加号间的每
一项你熟悉
么？
25.等待首次成功模型之二
1.
独立互斥对立的公式
独立互斥对立的公式独立事件是指两个或多个事件之间的发生不会互相影响。
互斥事件是指两个或多个事件之间的发生是互相排斥的，即一个事件发生时，其他事件就不可能发生。
对立事件是指两个事件之间的发生是互相对立的，即一个事件的发生排除了另一个事件的发生。
下面将讨论独立、互斥和对立事件之间的关系，并给出相应的公式。
1.独立事件的公式：设A和B是两个独立事件，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么它们同时发生的概率为P(A∩B)=P(A)×P(B)。
独立事件的概率计算公式是基于事件之间相互独立的假设，即事件A 的发生与事件B的发生是没有关联的。
因此，独立事件的联合概率等于各自发生的概率的乘积。
2.互斥事件的公式：设A和B是两个互斥事件，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么它们发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
互斥事件的概率计算公式是基于两个事件发生的排斥性假设，即事件A和事件B的发生是互不相容的。
因此，互斥事件的并集概率等于各自发生的概率的和。
3.对立事件的公式：设A和B是两个对立事件，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么它们发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
对立事件的概率计算公式是基于事件之间的互斥和独立的关系。
由于对立事件的发生是互斥的，所以它们的交集概率为零，即P(A∩B)=0。
因此，对立事件的并集概率等于各自发生的概率的和。
需要注意的是，独立事件和互斥事件是两个不同的概念。
独立事件指的是两个事件之间的发生是相互独立的，即一个事件的发生与另一个事件的发生没有关联。
互斥事件指的是两个事件之间的发生是互相排斥的，即一个事件的发生排除了另一个事件的发生。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况来判断事件之间的关系，并选择相应的概率计算公式进行求解。
通过运用独立、互斥和对立事件的公式，我们可以更好地理解和解决概率计算问题。
三个事件相互独立的概率乘法公式
三个事件相互独立的概率乘法公式好的，以下是为您生成的关于“三个事件相互独立的概率乘法公式”的文章：在咱们的数学世界里，有这么一个神奇的家伙，那就是三个事件相互独立的概率乘法公式。
这玩意儿听起来好像有点复杂，但是别怕，咱们一起来瞧瞧。
先来说说啥叫事件相互独立。
比如说，今天早上你出门的时候，决定是坐公交还是打车去学校，这是一个事儿；到了学校，第一节是语文课还是数学课，这又是一个事儿；中午吃饭，你选择吃米饭还是面条，这还是一个事儿。
这三件事儿之间，谁也不影响谁，那它们就是相互独立的。
咱们假设这三个事件分别是 A、B、C，它们发生的概率分别是P(A)、P(B)、P(C) 。
那这三个事件同时发生的概率，也就是三个事件相互独立的概率乘法公式就是：P(ABC) = P(A)×P(B)×P(C) 。
我给你讲个例子吧，就拿咱们学校组织的一场活动来说。
学校要从咱们班选三个人去参加不同的比赛，一个是书法比赛，一个是演讲比赛，还有一个是绘画比赛。
参加书法比赛能获奖的概率是 0.2，参加演讲比赛能获奖的概率是 0.3，参加绘画比赛能获奖的概率是 0.4。
那这三个同学都能获奖的概率是多少呢？按照咱们刚说的概率乘法公式，那就是0.2×0.3×0.4 = 0.024 。
你看，是不是还挺简单的。
再比如说，你周末出去玩。
周六的时候，你决定去公园的概率是0.6，周日你决定去看电影的概率是 0.5，然后晚上决定吃冰淇淋的概率是 0.7。
那这三件事儿都发生的概率，用咱们的公式一算，就是0.6×0.5×0.7 = 0.21 。
其实在生活中，这样的例子还有很多很多。
比如说你买水果，挑到好苹果的概率是 0.8，挑到好香蕉的概率是 0.7，挑到好橙子的概率是0.6，那这三样水果都挑到好的概率，就可以用这个公式来算。
咱们再深入想想，这个公式为啥这么重要呢？因为它能帮咱们解决很多实际问题呀。
相互独立事件概率求解
相互独立事件概率问题求解辨析焦景会 055350 河北隆尧一中事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。
如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。
尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。
这种解法，称为逆向思考方法。
下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。
一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。
解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。
设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =⋅⋅， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=⋅⋅=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。
所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。
点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。
二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。
解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。
设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P AB P A B P A B =+++112233222233330.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3C C C C =⋅+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯330.60.70.321+⨯=。
条件概率相互独立公式
条件概率相互独立公式
(1) 条件概率相互独立性：
若在一个实验中有A,B两个事件，则A,B事件的条件概率相互独立是指：当A发生时，B发生的条件概率无论多少都不会影响A发生的条件概率；当B发生时，A发生的条件概率无论多少都不会影响B 发生的条件概率；
所以A,B两个事件的条件概率相互独立公式为：
P（A|B) = P (A) ; P(B|A) = P(B)
即A,B条件概率相互独立时P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B).
(2) 利用条件概率相互独立公式求解问题：
例如：农场老师把10只鸡里的9只都给了小明，把剩下的1只给了小红。
现在，小明和小红各取一只鸡，假设小明取的鸡是公鸡，则小红取的鸡是什么？
解：设A表示小明取的鸡是公鸡，B表示小红取的鸡是母鸡。
由于小明取的鸡为公鸡，因此P(A) = 9/10。
由于小明和小红取的鸡相互独立，因此根据条件概率相互独立公式可知：
P(B|A) = P(B) = 1/10
即小红取的鸡是母鸡的概率为1/10。
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例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常 开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路 就能正常工作．假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内 线路正常工作的概率．
分析：根据题意，这段时间内线路正常 工作，就是指3个开关中至少有1个能够闭合， 这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有 其中某2个开关闭合、恰好3个开关都闭合等 几种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦， 为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的 概率，从而求得其对立事件——3个开关中 至少有1个能够闭合的概率．
发生的概率没有影响，这样的两个事件
叫做相互独立事件．
想 一 想：如果事件Α 与Β相互独立，那么Α与Β， Α与Β，Α与Β是否也相互独立？
2.独立事件同时发生的概率
“从两个盒子里分别摸出 1个球，都是白球”是一个事 件，它的发生，就是事件A，B 同时发生，我们将它记作 A·B．想一想，上面两个相互 独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)是多少？
一.新课引人
甲盒子里有3个白球，2个黑球，乙盒子里 有2个白球，2个黑球，从这两个盒子里分别摸 出1个球得到白 球”叫做事件A
把“从乙盒子里摸 出 1个球，得到白 球”叫做事件B
P( A) 3 5
没有影响
P(B) 2 4
1.独立事件的定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)
解：⑴A、B两事件不互斥，是互相独立事件
⑵∵A·B=两粒种子都能发芽 ∴P（A·B）=P（A）·P（B） =0．8×0．7=0．56 ⑶ 0．94 （4）0．38
练习:
1.一工人看管三台机床，在一小时内甲，乙， 丙三台机床需工人照看的概率分别是0.9， 0.8和0.85，求在一小时中， ①没有一台机床需要照看的概率； ②至少有一台机床不需要照看的概率； ③至多只有一台机床需要照看的概率．
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7) 0.027
例4：有甲、乙两批种子，发芽率分别 是0．8和0．7，在两批种子中各取一粒， A={由甲批中取出一个能发芽的种子}， B={由乙批中抽出一个能发芽的种子}， 问 ⑴A、B两事件是否互斥？是否互相立？ ⑵两粒种子都能发芽的概率？ ⑶至少有一粒种子发芽的概率？ ⑷恰好有一粒种子发芽的概率？
解：分别记这段时间内开关JA， JB，JC能够闭合为事件A，B， C(如图)．由题意，这段时间内3 个开关是否能够闭合相互之间 没有影响．根据相互独立事件 的概率乘法公式，这段时间内3 个开关都不能闭合的概率是
P(A • B • C) P(A)• P(B)• P(C)
1 P(A)1 P(B)1 P(C)
故所求概率为P（A• B A • B） P（A• B） P（A • B） P（A）• P（B） P（A）• P（B） 0.6(1 0.6)(1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48.
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率 都是0.6，计算：(3)至少有1人击中目标的概率．
P(A
•
B)
32 5 4
又
P(A)
3 5
，P(B)
2. 4
P(A• B) P(A)• P(B)
这就是说，两个相互独立事件 同时发生的概率，等于每个事件 发生的概率的积．
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互 独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于 每个事件发生的概率的积，
即 P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
例2：某商场推出二次开奖活动，凡购买 一定价值的商品可以得到一张奖券。奖 券上有一个兑奖号码，可以分别参加两 次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次 兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次 中以下事件的概率： （1）都抽到某一指定号码； （2）恰有一次抽到某一指定号码； （3）至少有一次抽到某一指定号码。
解法1：P P（A• B） P（A• B A • B） 0.36 0.48 0.84
解法2:两人都未击中目标的概率是
P（A • B） P（A）• P（B）（1 0.6)(1 0.6) 0.40.4 0.16,
因此,至少有1人击中目标的概率
P 1 P(A • B) 1 0.16 0.84.
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概 率都是0.6，计算：(1) 2人都击中目标的概率；
解：(1)记“甲射击1次，击中目标”为事 件A，“乙射击1次，击中目标”为事件 B．由于甲(或乙)是否击中，对乙(或甲)击中 的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立 事件．
又“两人各射击1次，都击中目标”就是 事件A·B发生，根据相互独立事件的概率乘 法公式，得到：
如果A、B是两个相互独立的 事件，那么1-P（A）•P（B）表 示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中
1 P( A) • P(B) P( A B)
至少有一个不发生的概率
三.例题分析：
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目 标的概率都是0.6，计算：
(1) 2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
练习:
2.从5双不同的鞋中任取4只， 求这4只鞋中至少有两只能配 成一双的概率．
练习：制造一种零件，甲机床的正品率 是0．9，乙机床的正品率是0．95，从它 们制造的产品中各任抽一件，（1）两件 都是正品的概率是多少？（2）恰有一件 是正品的概率是多少？
解：设A=从甲机床制造的产品中任意抽出一 件是正品；B=从乙机床制造的产品中任意抽 出一件是正品，则A与B是独立事件
⑴P（A·B）=P（A）·P（B） =0．9×0．95=0．855
P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36．
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目 标的概率都是0.6，计算：(2)其中恰有1人击中目 标的概率；
（2）“两人各射击次1 ，恰有1人击中目标” 包 括 两 种 情 况 ： 一 种 是甲 击 中 、 乙 未 击 中 ， 另 一 种 是 甲 未 击 中 、 乙击 中