《对数函数及其性质》的重难点突破

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对数函数及其性质重点难点创新突破

际出发，解释两个变量之间的关系，把解析式概括到 y=logax 形式。
1、让学生很自然地从指数式过度到对数式。
2、清楚了函数研究的过程，为对数函数的研究做作好铺垫。
通过在指数函数一节曾经做过的一道习题改编入手，以旧代新逐层递进，不仅可以检测学生指数式和对数式互化的学习情况，而且能激发学生的好奇心，开拓学生的知识面，自然引出对数函数的概念，从而引入课题
情的细胞分裂多少次后，得到细胞个数
境 x?你能否用细胞个数 x 把分裂次数 y
、表示出来？
复引例 2、用清水漂洗含 1 个单位质量污垢的生：回答问题 1。
习
衣服，若每次能洗去污垢的四分之
引
三，试写出残留污垢 x 与漂洗次数 y
入
的关系式.
师：引导学生从函数的实
问题 1、上述两个问题中的函数解析式有什么共同特征你能归纳出这类函数的一般式
二、教学重难点：教学重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数图象和性质；教学难点：底数 a 对函数值变化的影响及对数函数性质的应用。
三`教学方法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点
四、课堂结构设计：本节课是概念、图象及性质的新授课，为了使学生更好的达成学习目标我设计了以学
环活动五：
师：分析函数的定义域必
节例 1、求下列函数的定义域：。
三（1） y log a x 2
：
（2） y loga (4 x)
须使函数的解析式有意义，并板书解读过程。生：认真听讲，积极思
通过对数函数图象的观察，分析总结出对数函数的性质，有利于加深学生对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生形成过程，逐步培养学生的抽象概括能力。

落实数学核心素养着眼学生终身发展——“对数函数及其性质”教

生 1院对于任何一个 y0沂渊0袁1暂袁通过对应关系
姨 t=log 5730 1 2
P袁在咱0袁+肄冤
上都有唯一确定的数 x0 与
之对应袁所以 t 是 P 的函数遥
师院同样的袁根据指数与对数的关系袁由 y=ax
渊a跃0 且 a屹1冤得到 x=logay 渊a跃0 且 a屹1冤袁 x 也是 y 的函数遥通常袁我们用 x 表示自变量袁 y 表示函
学习概念要做到清晰尧明确遥你们怎么来理解这个对数函数的概念钥
生 2院由对数的定义我们知道袁对数的底a跃0且 a屹1袁真数 x跃0袁所以对数函数的定义域为渊0袁 +肄冤遥
设计意图院教授新概念时，教师引导学生准确理解概念的内涵，为接下来的探究和应用打下基础。
三、引领方向，自主探究
师院对数函数 y=logax 是一类新函数袁我们要研究它什么钥怎么研究钥说说你的思路遥
P
1
（x0，y） 0
P0
0
x0
t
图1
生 1院
根据指数与对数的关系袁
由P=
渊
1 2
1
冤 5730
姨渊t逸0冤得到 t=log5730 1 2
P 渊0约P约1冤就可以了遥
师院从图象看袁不同的碳 14 含量 P袁也对应着
不同的死亡年数 t遥用数学的眼光看袁这里的变量P
与变量 t 有什么关系钥
生 1院函数关系遥师院为什么钥
予表扬并展示袁请他们讲解思路曰这样可以激发学
生总结探索经验的热情袁为后面的探索做铺垫遥冤
师院通过在同一个坐标系内作图可以发现函数
图象对称关系袁这里其实蕴含了对数的运算法则院

高中常规工作电子资源如何突破数学人教版必修一教材上2.2.2对数函数及其性质的教学重难点

如何突破数学人教版必修一教材上2.2.2对数函数及其性质的教学重难点
以前的教学是通过对称变换直接从指数函数的图像得到对数函数图像的，这样处理学生虽然会接受这个事实，但对图像的感觉是肤浅的。

这样处理也存在着函数教学忽视图像，性质的认知过程而注重应用的“功利”思想。

因此，本节课的设计应注重引导学生一特殊到一般的方法探究对数函数图像的形成过程，加深感性认识。

同时，帮助学生确定探究问题及探究的方向和步骤，确保探究的有效性。

这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受。

通过理性认识，发现性质。

1 确定探究问题
师：当我们对对数函数的图像有了直观的认识后，就可以进一步研究对数函数的性质了。

同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？
生：主要研究函数的定义域，值域，单调性，对称性，过定点等性质。

师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图像特征探究出对数函数的定义域，值域，单调性，对称性，过定点等性质。

学生探究出成果。

发现性质，弄清性质的来龙去脉，是为了更好地揭示对数函数的本质属性。

传统教学往往让学生在解题中领悟。

为了扭转这种方式，
先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图像主动探索对数函数的性质。

教学实践表明：当学生对对数函数的图像有感性认识后，得到这些性质已是水到渠成的事了。

对数函数(重难点突破)

对数函数重难点突破一、知识梳理二、知识精讲知识点一对数函数及其性质(1)概念：函数 y ＝log a x(a ＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质0<a<1图象定义域： (0，＋∞)值域： R当 x ＝ 1 时， y ＝0，即过定点(1，0)当 x>1 时， y>0；当 0<x<1 时， y<0在(0，＋∞)上是增函数a>1对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a logaN ＝N ；②log a a b ＝b(a>0，且 a≠1). (2)对数的运算法则如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； M④log a m M n ＝n mlog a M(m ，n∈R，且 m≠0).(3)换底公式： log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于 1).三、例题讲解(一) 对数函数的概念与图像例 1、给出下列函数：；①y＝ x πx ．其中是对数函数的有（） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个【答案】解： ①y＝x 2 的真数为 x 2，故不是对数函数；3（x ﹣ 1）的真数为x ﹣ 1，故不是对数函数； ③y＝ log x+1x 的底数为 x+1，故不是对数函数；②y＝ log④y＝log πx 是对数函数；故选： A ．【变式训练 1-1】．函数f(x)＝log a |x|＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )【答案】 A②log a ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝nlog a M(n∈R)；2 ②y＝log 3（x ﹣ 1）； ③y＝log x+1x ； ④y＝logN【解析】选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g(x)＝log|x|，先画出ax>0 时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x<0 时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选 A.【变式训练 1-2】．函数f （x ）＝的图象可能是（）【答案】解：∵f（x ）＝，∴函数定义域为（﹣∞， 0）∪（0，+∞），∵，∴函数f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，故排除 B 、C ，∵当 0＜x ＜1 时， lnx ＜0，∴f（x ）＝＜0，x∈（0，1）故排除 D ．故选： A ．【变式训练 1-3】．函数 y ＝|lg （x+1） |的图象是（）A ．B ．C ．D ．故函数 y ＝ lg （x+1）的图象与 X 轴的交点是（0，0），即函数 y ＝ |lg （x+1） |的图象与 X 轴的公共点是（0， 0），考察四个选项中的图象只有 A 选项符合题意故选： A ． 1273 8【变式训练 1-4】．计算：＋log 2(log 216)＝________. CD例 2．函数 y ＝的图象大致是(A ．．．B ．【解析】：原式＝2 331323x 2 ,x 02x1,x083.)＋log24＝＋2＝【答案】 B【变式训练 2-1】．已知a 0 ，b 0且a 1，b 1 ，若logab 1，则下列不等式可能正确的是（）．A．(b1)(b a)0B．(a1)(a b)0C．(a1)(b1)0D．(a1)(b a)0【答案】 AD【解析】∵loga b1logaa，∴若a1，则b a，即b a1．∴(b1)(b a)0，故A正确．(a1)(b a)0，故D正确．若0a1，则0b a1，∴(a1)(a b)0，(a1)(b1)0，故BC错误，2x,x12-3】．图中曲线是对数函数y log x的图象，已知a 取 3 ，，，C 2 ，C3，C4的a 值依次为( )4 3 1【变式训练a3510四个值，则相应于C1，【变式训练2-2】．已知函数f(x)log2(1x),x1，则f(0)f(3)_______.【解析】f(0)f(3)20log1(3)121．故答案为：－14 3 1 4 1 3A ． 3 ，，，B ． 3 ，，，3 5 10 3 10 54 3 1 4 1 3C ．， 3 ，，D ．， 3 ，，3 5 10 3 10 5【答案】 A 可得C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 的a 值从小到大依次为： C 4 ，C 3 ， C 2 ， C 1 ，4(二) 比较大小例 3．（2019·浙江湖州高一期中）下列各式中错误的是（）A ． 30.8 30.7B ．log 0.5 0.4 log 0.5 0.6C ． 0.750.10.750.1 D ．log 2 3 log 3 2 【答案】 C【变式训练 3-1】．（2020·全国高一课时练习）设 alog 3 ,b log 2 3,c log 3 2 则（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 【答案】 A1 【解析】 alog 3log 3 3 1, 2log 3 3 log 3 2 c ,1 2【变式训练 3-2】．（2019 秋•沙坪坝区校级月考）已知 a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 【分析】容易得出，从而可得出 a ，b ，c 的大小关系．【答案】解：∵log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30 ＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1 ∴a＜c ＜b ．故选： B ．【变式训练 3-3】．（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（）【答案】解：∵log 34＞log 33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log 0.310＜log 0.31＝0，CDlog 2 2 b log 2 3 log 2 2 1， a b c .故选： A. ．． A ． B ．．．∴．故选： A．(三) 对数函数过定点问题例4.（2019 秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 P，则P 点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令 2x+3＝1，求得x 的值，从而求得P 点的坐标．【答案】解：令 2x+3＝1，可得 x＝﹣ 1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点 P 的坐标为（﹣ 1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式训练 4-1】．函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣ 1，2） D．（﹣ 1，3）【分析】根据 log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣ 1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣ 1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1 是解题的关键．【变式训练 4-2】．已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣ 2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣ 2，故f（﹣2）＝log a1＝0 恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣ 2，0），故选：B．(四) 有关对数函数奇偶性问题例5．（多选题）下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )A．y＝x3＋x B．y＝logx2C．y＝2x2 －3 D．y＝x|x|【答案】 ADx 为非奇非偶函数，与题【解析】 A 中， y＝x3＋x 为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符； B 中，y＝log2意不符；C4.1，c f 20.8 ，【变式训练 5-1】．已知奇函数f x在R 上是增函数，若a f log b f log2则a,b,c 的大小关系为( )A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b【答案】 C 5【解析】由题意：a f log21f log25，且：log25log24.12,120.82，据此： log 2 5log 2 4.1 20.8 ，结合函数的单调性有： f log 2 5 f log 2 4.1 f 20.8 ，即a b c,c b a .本题选择 C 选项.【变式训练 5-2】．对于函数，下列说法正确的是（）A ．f （x ）是奇函数B ．f （x ）是偶函数C ．f （x ）是非奇非偶函数D ．f （x ）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【答案】解：由＞0，解得：﹣ 1＜x ＜1，故函数f （x ）的定义域是（﹣ 1，1），关于原点对称，而 f （ ﹣x ）＝log 2＝﹣ log 2＝﹣ f （x ），故f （x ）是奇函数，故选： A ．(五) 有关对数函数定义域问题例 6．函数 y ＝1log 2(x 2)的定义域为( )A ．(－∞ ，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】 Cx 2 0,【变式训练 6-1】．（2018 秋•宜宾期末）函数 y ＝的定义域是（）A ．（，+∞）B ．（，1]C ．（﹣∞， 1]D ．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【答案】解：要使原函数有意义，则 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，即 0＜4x ﹣ 3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选： B ．【解析】：选 C 根据题意得解得 x>2 且 x≠3，故选 C. log 2 (x 2) 0【变式训练 6-2】．（2018 春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数 y ＝的定义域满足：，解得．故选： D ．1【变式训练 6-3】．函数ylog 2 x 2的定义域是__________．【答案】2,3 3,x 2 0 x 2 0因此，函数y 的定义域是2,3 3, .故答案为： 2,3 3, .【变式训练 6-4】．函数f xlog 1 x 2 2x 3 的定义域为______，最小值为______.2【答案】3,1 2 【解析】由题意得 x 2 2x 3 0 ，解得3 x 1，所以函数 f x 的定义域为 3,1 ，令t x 2 2x 3 x 1 2 4 0,4 ，所以g t log 1 t 在 0,4 递减，且g 4 log 1 4 2 .2 2因此函数 f x 的值域为[2, ) ，最小值为 2 .(六) 有关对数函数值域问题及最值问题1例 7．函数f(x)＝的值域是( )A ．(－∞ ，1)B ．(0,1)1 log2 x 23x 1【解析】由题意可得log 3 x2 0 ，即x2 1 ，解得 x 2且 x 3.【解析】∵3x ＋1>1， ∴0<13x 1<1，∴函数的值域为(0,1)．【变式训练 7-1】．（2019 秋•南昌校级期中）函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2 ）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．【答案】解：设 u （x ）＝2x+3 ﹣ x 2＝﹣（x ﹣ 1） 2+4，当 x ＝1 时， u （x ）取得最大值 4，∵函数 y ＝log 4x 为（0，+∞）上的增函数， ∴当 u （x ）取得最大值时，原函数取得最大值，即 y max ＝log 4u （x ） max ＝log 44＝1，8因此，函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2）的值域为（﹣∞， 1]，故填：（﹣∞， 1]．【变式训练 7-2】．已知函数f(x) lg x 2 2x a ，若它的定义域为 R ，则 a_________，若它的值域为 R ，则 a__________．【答案】 1 1【解析】函数 f(x) lg x 2 2x a 的定义域为 R ，则 x 22x a0恒成立，故 4 4a 0，即 a1 ；函数 f(x) lg x2 2x a 为 R ，则 0, 是函数 y x 2 2x a 值域的子集，则 4 4a0 ，即 a 1.故答案为： 1； 1.【变式训练 7-3】．）已知f(x)＝log 2(1－x)＋log 2(x ＋3)，求f(x)的定义域、值城．【答案】定义域为 3,1 ，值域为,2 .【解析】由函数 f(x) 有意义得，解得 3 x1，因为 f xlog 2 (1 x) log 2 (x 3) log 2 1 x x 3 log 2 x 2 2x 3log 2x 1 2 4 ， 3 x 1，又因为tx 1 24在( 3, 1) 上递增，在( 1,1) 上递减，所以t 0,4 ，所以log 2 t,2 .所以函数f(x) 的值域为 ,2 .【变式训练 7-4】．设f x log a 1 x log a (3 x)a 0,a 1 ,且 f 1 2 . 1）求a 的值及 fx 的定义域；2）求 fx 在区间 0, 3上的最大值．2 1 x 0 x3 0【答案】1）a2，定义域为1,3；2）2【解析】1）f1loga 2loga2loga42,解得a2.故f x log21x log2(3x),则解得-1< x < 3 ,故f x的定义域为1,3.（2）函数 f x log 2 1 x log 2 3 x log 2 3 x 1 x ,定义域为 1,3 , 01, 3 ,由函数 y log 2 x 在0, 上单调递增, 函数 y 3 x 1 x 在 0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减,可得函数 f x 在0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减.故 f x 在区间 0上的最大值为 f 1 log 2 4 2 .(七) 对数函数的概念与图像例 8．画出下列函数的图象：（1）y ＝lg|x －1| ．（2） y lg(x 1) ．(八) 对数型复合函数的单调性问题例 9．函数f(x) log 1 (2 x)的单调递增区间是( )2A ．( , 2) B ． ( ,0) C ． (2, ) D ． (0, )【答案】 A【解析】由 2 x 0 ，得到x 2 ，令t2 x ，则t 2 x 在(, 2) 上递减，而y log 1 t 在(0,) 上2递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x) log 1 (2 x) 在(, 2) 上递增，故选： A2226 ax在0,2 上为减函数，则a 的取值范围是（）【变式训练9-1】．函数f x logaA ．(0,1)B ．1,3C．1,3D．3,【答案】B，计算得出，所以 B 选项是正确的.【变式训练 9-2】．已知函数 f(x) log x 2log x 2(a 0, a 1) .(1)当 a 2 时,求 f(2) ；(2)求解关于x 的不等式 f(x) 0 ；(3)若x [2,4], f(x) 4 恒成立,求实数a 的取值范围.2, 1 1, 3 2【解析】（1）当 a2 时， f x log 2 x 2 log 2 x 2 f 2 1 1 22 （2）由 f x 0 得： log x 2log x 2 log x 2 log x 1 0log a x 1或log a x 2当 a 1 时，解不等式可得： 0 x或 x a 2 1 a综上所述：当 a 1 时， f x 0 的解集为0, 1 a 2,；当 0 a 1时， f x 0 的解集为0, a 21 ,a（3）由 f x4 得： log x 2 log x 6 log x 3 log x 2 0log a x 2 或log a x 3①当 a 1 时，log a x maxlog a 4 ， log a xminlog a 2a当 0 a 1时，解不等式可得： x 或 0 x a 2【答案】（1） 2 ；（2）见解析；（3）【解析】若函数上为减函数,则a a a 2 在1a a a aa a a aloga 42logaa2或loga23logaa3，解得：1a32②当0 a 1时，loga xmaxloga2 ，logaxminloga4loga 2 2 logaa 2 或loga4 3 logaa3 ，解得：综上所述：a的取值范围为22,11,32(九) 对数型复合函数的最值问题2a 1例10．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知f x loga 1x1xa0，a1(1)求f x的定义域；(2)判断f x的奇偶性并予以证明；(3)求使f x 0 的x 的取值范围．【答案】（1）1,1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若 a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，则 0<<1，解得－1<x<0.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1 ）直接法， f x f x(正为偶函数，负为减函数)；（2 ）和差法，f x f x0（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，f xf x1（1为偶函数，1为奇函数）.【变式训练10-1】．.（2019·浙江高一期中）已知函数f(x) log3 mx2 8x nx21．2（Ⅰ）若m 4, n 4 ，求函数f(x) 的定义域和值域；（Ⅱ）若函数f(x) 的定义域为R ，值域为[0,2] ，求实数m, n 的值．8]；（Ⅱ）m5,n5.【答案】（Ⅰ）定义域为x x1，值域为(,log3【解析】（Ⅰ）若m 4, n 4 ，则 f(x) log34x 2 8x 4x 21，由4x 2 8x 4x 210 ，得到x 22x 1 0 ，得到 x 1 ，故定义域为x x 1 ．4x 28x 4，则 (t 4)x 2 8x t 4 0当t4 时， x 0 符合．64 4(t 4)2 0,又 x 1 ，所以 t 0 ，所以 0t 8 ，则值域为(,log 3 8] ．（Ⅱ）由于函数 f(x) 的定义域为 R ，则mx 2 8x n x 2 1m 0 m 0tmx 2 8x n，由于 f(x) 的值域为[0,2] ，则t [1,9] ，而(t m)x 2 8x t n 0 ，则由 64 4(t m)(t n) 0, 解得t [1,9] ，故 t 1和 t 9 是方程m n 10 m 5意．所以m 5, n 5 ．【变式训练 10-2】．（2019 秋•荔湾区校级期末）已知函数 f （x ）＝log 3（1+x ）﹣ log 3（ 1 ﹣ x ）．（1）求函数f （x ）定义域，并判断 f （x ）的奇偶性．（2）判断函数f （x ）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于 x 的不等式f （1 ﹣ x ）+f （1 ﹣ x 2 ）＞0．x 2 1 令 t 64 4(t m)(t n) 0 即t2(m n)t mn 16 0 的两个根，则，得到，符合题mn 16 9 n 5x 2 10 恒成立，则，即，令 64 4mn 0 mn 16当t 4 时，上述方程要有解，则，得到 0 t 4 或4 t 8 ， t 0【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣ 1 ，1）上任取两个不同的自变量x1 ，x2，且设x1＜x2 ，则f（x1）﹣f（x2 ）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1 ）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．四、迁移应用21x,x1,【答案】[0,)【解析】x1时，f(x)21x2，1x1，x0，∴0x1，x1时，f(x)1log2x2，log2x1，x1，所以x1，综上，原不等式的解集为[0, ) ．故答案为：[0,)．217．设函数f(x) 则满足f(x) 2 的x 的取值范围是_______________.1log2x,x1,。

对数与对数函数重难点突破

专题对数与对数函数（重难点突破）重难点一对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.重难点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).重难点三对数函数及其性质(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)一、重难点题型突破重难点1 对数与对数式的化简求值如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645为．【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b aa++===++，因为10lg 2lg 1lg515b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+，即36log 4522a ba b +=-+.（2）求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．【解析】 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．【变式训练】（1）．（2017·全国高一单元测试）已知10m ＝2，10n ＝4，则3210m n -的值为( ) A.2【解析】3210m n -＝3221010m n ＝()()32121010m n ＝321224答案：B（2）．（2013·全国高一课时练习）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则MN的值为（） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+，所以2log (2)log a a M N MN -=（），2(2)M N MN -=，2540M MN N-+=（）,解得=1（舍去），=4，故选B.重难点2 对数函数的图像与性质例2求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．例3．（1）（2017·北京市第二中学分校高一）函数12log y x =，x ∈(0,8]的值域是( )A.[－3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，－3]D.(－∞，3]【解析】∵12083x log x <≤∴≥，－，故选A.（2）．下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2)y x =-，故选B ．（3）．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0【答案】D【解析】由于f (x )的图象单调递减，所以0<a <1，又0<f (0)<1，所以0<a －b <1＝a 0，即－b >0，b <0，故选D.（4）．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )A B C D【解析】∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.重难点3 对数函数的单调性与最值（比较大小）例4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ．例5．设，则( )A ．B ．C ．D ．【解析】，由下图可知D 正确．【变式训练】．(1)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<>b c a >>a c b >>a b c >>33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b ab+<<．又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．（2）已知，则（） A ．B ．C ．D ．【解析】由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，所以，故选A ．重难点4 对数型复合函数的应用例6．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,2D ．()2,+∞【解析】因为0a >，所以2y ax =-在[]0,1上是减函数，又因为()f x 在[]0,1上是减函数，所以log a y x =是增函数，所以1a >；又因为对数的真数大于零，则2020a >⎧⎨->⎩，所以2a <；则(1,2)a ∈.故选：C. 【变式训练】．（1）判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．（2）已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(3)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．【解析】（1）令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u在(－∞，＋0.20.32log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <=0.20.51c ==>12⎛< ⎝c <a c b <<∞)上递减， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝⎛⎭⎫13u≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．（2）∵f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. (3)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2。

突破14 对数与对数函数(重难点突破)(解析版)

突破14 对数与对数函数重难点突破一、基础知识【知识点一、对数】 1．对数的概念（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作_______，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．（2）常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N ．（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把e log N 记为ln N ． 2．对数与指数的关系当a >0，且a ≠1时，log ba a Nb N =⇔=．即3．对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即0N >；（2）1的对数等于0，即log 10a =；（3）底数的对数等于1，即log 1a a =．【知识点二、对数的运算】 1．基本性质若0,1,0a a N >≠>且，则（1）log a Na=______；（2）log ba a =______．2．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：（1）log _________a (M N)=⋅；（2）log ________aM=N；（3）log _______()n a M =n ∈R ．【知识点三、换底公式及公式的推广】 1．对数的换底公式log log (0,1;0,1;0)log c b c NN b b c c N b=>≠>≠>且且．【注】速记口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．2．公式的推广（1）1log log a b b a=（其中a >0且1a ≠；b >0且1b ≠）；（2）log log n na ab b =（其中a >0且1a ≠；b >0）；（3）log log n m a a mb b n=（其中a >0且1a ≠；b >0）；（4）1log log a ab b =-（其中a >0且1a ≠；b >0）；（5）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=（其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0）．【知识点四、对数函数】 1．对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是_____． 2．对数函数(0,1)xy a a a =>≠且的结构特征（1）对数符号前面的系数是1；（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）；（3）对数的真数仅有自变量x ．【知识点五、对数函数的图象与性质】1．一般地，对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质如下表所示：01a << 1a >图象定义域 (0,)+∞值域 R奇偶性非奇非偶函数过定点过定点(1,0)，即1x =时，0y =单调性在(0,)+∞上是___函数在(0,)+∞上是___函数函数值的变化情况当01x <<时，0y >；当1x >时，0y <当01x <<时，0y <；当1x >时，0y >【注】速记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1了可不行；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过（1，0）点．2．对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且中的底数对其图象的影响在直线x =1的右侧，当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．【知识点六、反函数】根据指数与对数的关系，将指数式(0,1)xy a a a =>≠且（其中x 是自变量，且x ∈R ，y 是x 的函数，(0,)y ∈+∞）化成对数式，即log a x y =，于是对于任意一个(0,)y ∈+∞，通过式子log a x y =都有唯一一个x ∈R 与之对应，这样将y 看成自变量，x 是y 的函数，这时我们就说log ((0,))a x y y =∈+∞是函数()x y a x =∈R 的反函数．由于习惯上将x 看成自变量，而将y 看成因变量，因此，我们将log a x y =中的x ，y 互换，写成log ((0,))a y x x =∈+∞，即对数函数log ((0,))a y x x =∈+∞是指数函数()x y a x =∈R 的反函数，它们的图象关于直线y x =对称．知识参考答案：一、1．（1）log a x N = （2）10 二、1．（1）N（2）b2．（1）log log a a M +N （2）log log a a M N -（3）log a n M四、1．(0,)+∞ 五、1．减增二、题型分析1．对数的概念解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系．【例1】在对数式(1)log (3)x x --中，实数x 的取值范围应该是 A ．1<x <3B ．x >1且x ≠2C ．x >3D ．1<x <3且x ≠2【答案】D【名师点睛】本题极易忽略底数的限制范围，底数1x -需大于0且不等于1．【变式训练1】在M ＝log （x ﹣3）（x +1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为（） A ．（﹣∞，3] B ．（3，4）∪（4，+∞） C ．（4，+∞） D ．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x 的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x ＜4，或x ＞4．故选：B ．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式训练2若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x 2﹣5x +6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得：3＜x 或x ＜2，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2．对数运算性质的应用对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：（1）尽量将真数化为 “底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如log a a =1(0,1)a a >≠且，log log 1a b b a ⋅=等．【例2】计算：（1）9log 32162)23(log--+；（2）2(lg 5)lg 2lg 5lg 2+⨯+．【答案】（1）13--；（2）1．【名师点睛】在计算23log(32)+-的值时，注意将32-化为132+即可求解．在求解（2）时，注意提取公因式，利用lg 2lg51+=求解．【变式训练1】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg +（）lg 1（2）lg 52+lg 8+lg 5lg 20+（lg 2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg 5+2lg 2+lg 5（2lg 2+lg 5）+（lg 2）2＝2+（lg 2+lg 5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式训练3】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义． 3．换底公式的应用换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数．【例3】已知711,log 473ab ⎛⎫== ⎪⎝⎭，试用,a b 表示49log 48．【答案】492log 482b a+=．【解析】11lg3,73lg 7aa ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭．∵7log 4,b =∴lg 4lg 7b =．则49lg 48lg 4lg32log 48lg 49lg 72lg 722a b ab +==+=+=．【名师点睛】在解题的方向还不清楚的情况下，一般统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数为底）．【变式训练1】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c •lo g c a ；（2）log 23•log 34•log 45•log 52；（3）（log 43+log 83）（log 32+log 92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c •log c a ＝•＝1；（2）log 23•log 34•log 45•log 52＝•••＝1；（3）（log 43+log 83）（log 32+log 92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝• ＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式训练2】利用对数的换底公式化简下列各式：（log 43+log 83）（log 32+log 92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log 43+log 83）（log 32+log 92）＝（log 6427+log 649）（log 94+log 92）＝log 64243•log 98 ＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4．对数方程的求解解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解．【例4】方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为．【答案】2x =【名师点睛】本题所给方程的底数相同，若底数不同，则还需化为同底数再求解．另外，解对数方程必须把所求得的解代入原方程进行检验，以确保所有的真数都大于零，这是必不可少的步骤．【变式训练1】求下列各式中x 的值：（1）log 4x ＝﹣，求x ；（2）已知log 2（log 3x ）＝1，求x ．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log 232＝5化成指数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式训练2】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N＞0）是解答的关键．【变式训练3】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x 3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题． 5．与对数函数有关的函数的定义域和值域定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等．求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围．【例5】已知函数33()log (2)log (6)f x x x =-++．（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的最大值．【答案】（1）(6,2)-；（2）34log 2．【解析】（1）由题意得2060x x ->⎧⎨+>⎩，解得62x -<<，故函数()f x 的定义域是(6,2)-．（2）33()log (2)log (6)f x x x =-++=23log (412)x x --+，(6,2)x ∈-．令22412(2)16t x x x =--+=-++，则(0,16]t ∈．又3log y t =在(0,16]t ∈上为增函数，∴()f x 的最大值是33(2)log 164log 2f -==．【名师点睛】求函数的最值，一定要坚持“定义域优先”的原则．由对数函数组成的复合函数的最值问题，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围．学科&网【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（） A ．B ．C ．D ．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可．【答案】解：由题意得，，解得x ＞，则函数的定义域是，故选：C ．【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．【变式训练2】（2018秋•宜宾期末）函数y ＝的定义域是（）A ．（，+∞）B ．（，1]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log 0.5（4x ﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【答案】解：要使原函数有意义，则log 0.5（4x ﹣3）≥0，即0＜4x ﹣3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．【变式训练3】（2018春•连城县校级月考）函数y ＝的定义域是（）A ．[1，+∞）B ．（，+∞）C ．（1，+∞）D ．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数y ＝的定义域满足：，解得．故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题． 6．对数函数的图象对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的,x y ，即可得到定点的坐标．当底数1a >时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的增函数，当1x >时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数01a <<时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的减函数，当01x <<时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y =1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．【例6】设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是 A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,2)-D ．(3,2)【答案】A【名师点睛】本题求定点坐标的依据是对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象过定点（1，0），不必分1a >和01a <<两种情况讨论．【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）若当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1，则函数y ＝log a ||的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由于当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a ＜1．先画出函数y ＝log a |x |的图象，此函数是偶函数，当x ＞0时，即为y ＝log a x ，而函数y ＝log a ||＝﹣log a |x |，即可得出图象．【答案】解：∵当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1．因此，必有0＜a ＜1．先画出函数y ＝log a |x |的图象：红颜色的图象．而函数y ＝log a ||＝﹣log a |x |，其图象如黑颜色的图象．故选：B ．【变式训练2】（2018秋•船营区校级月考）函数f （x ）＝的图象可能是（）A ．B ．C．D．【分析】先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除BC，再根据函数值域，可排除D．【答案】解：∵f（x）＝，∴函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵，∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B、C，∵当0＜x＜1时，lnx＜0，∴f（x）＝＜0，x∈（0，1）故排除D．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．【变式训练3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X 轴的交点是（1，0），故函数y ＝lg （x +1）的图象与X 轴的交点是（0，0），即函数y ＝|lg （x +1）|的图象与X 轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A 选项符合题意故选：A ．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的变化规律，由这些规律得出函数y ＝|lg （x +1）|的图象的特征，再由这些特征判断出函数图象应该是四个选项中的那一个 7．对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较．（2）解简单的对数不等式：形如log log a a x b >的不等式，常借助=log a y x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况进行讨论；形如log a x b >的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解．【例7】已知13212112,log ,log 33a b c -===，则 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】 C【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1，0来进行比较．【变式训练1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【分析】容易得出，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【答案】解：∵log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1 ∴a ＜c ＜b ．故选：B ．【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（） A ． B ． C ． D ．【分析】容易得出，从而可得出正确的选项．【答案】解：∵log 34＞log 33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log 0.310＜log 0.31＝0， ∴．故选：A ．【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义． 8．对数型复合函数的性质及其应用（1）对数复合函数的单调性复合函数y =f [g （x ）]是由y =f （x ）与y =g （x ）复合而成，若f （x ）与g （x ）的单调性相同，则其复合函数f [g （x ）]为增函数；若f （x ）与g （x ）的单调性相反，则其复合函数f [g （x ）]为减函数．对于对数型复合函数y =log a f （x ）来说，函数y =log a f （x ）可看成是y =log a u 与u =f （x ）两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．学科%网（2）对于形如y =log a f （x ）（a >0，且a ≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y =log a u ，u =f （x ）两个函数； ②求f （x ）的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y =log a u 的单调性求解．【例8】讨论函数()2log 32()1a f x x x =--的单调性．【答案】答案详见解析．【解析】由3x 2−2x −1>0，得函数的定义域为{x |x >1或x <13-}． ①当a >1时，若x >1，∵u =3x 2−2x −1为增函数，∴f（x）=log a（3x2−2x−1）为增函数．若x<13-，∵u=3x2−2x−1为减函数，∴f（x）=log a（3x2−2x−1）为减函数．②当0<a<1时，若x>1，则f（x）=log a（3x2−2x−1）为减函数，若x<13-，则f（x）=log a（3x2−2x−1）为增函数．【名师点睛】求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y=f（u），u=φ（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．【变式训练1】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log0.5（4x﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【答案】解：要使原函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，即0＜4x﹣3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．【变式训练2】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数y＝的定义域满足：，解得．故选：D．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．【变式训练3】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．【答案】解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝1时，u（x）取得最大值4，∵函数y ＝log 4x 为（0，+∞）上的增函数， ∴当u （x ）取得最大值时，原函数取得最大值，即y max ＝log 4u （x ）max ＝log 44＝1，因此，函数y ＝log 4（2x +3﹣x 2）的值域为（﹣∞，1]，故填：（﹣∞，1]．【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，涉及对数函数的单调性，用到配方法和二次函数的性质，属于基础题．【变式训练4】函数y ＝（x ）2﹣x 2+5 在 2≤x ≤4时的值域为．【分析】利用换元法，令t ＝由2≤x ≤4 可得﹣1≤t ≤﹣，由题意可得y ＝＝（t ﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，从而可求函数的值域．【答案】解：令t ＝，因为2≤x ≤4，所以﹣1≤t ≤﹣，则y ＝＝（t ﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，当t ＝﹣是函数有最小值，当t ＝﹣1时函数有最大值8；故答案为：{y |}【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题． 9．忽略真数大于0【例9】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值．【错解】因为lg lg 2lg(23)x y x y +=-，所以2(23)xy x y =-，即2241390x xy y -+=，即()(49)0x y x y --=，解得x y =或94x y =．所以3322log log 10x y ==或233322293log log log ()242x y ===．【错因分析】错解中，()lg lg 2lg 23x y x y +=-与2(23)xy x y =-对,x y 的取值范围要求是不同的，即求解过程不等价，因此，得出解后要代入原方程验证．【正解】同错解，得到x y =或94x y =．由()lg lg 2lg 23x y x y +=-知，0,0,230x y x y >>->，当x y =时，230x y -<，此时()lg 23x y -无意义，所以x y =，即3322log log 10xy ==应舍去；当94x y =时，233322293log log log ()242x y ===．【名师点睛】求解有关对数恒等式或不等式的过程中，经常需要将对数符号“脱掉”，此时很容易忽略原式中对数的真数大于0这一隐性限制条件，从而导致求出的最终结果中产生增根或范围扩大，因此要求我们对于此类题，一定要将求出的结果代入原式中进行检验． 10．忽略对底数的讨论【例10】不等式1log (4)log a ax x ->-的解集是_______．【错解】∵1log log a ax x -=，∴原不等式等价于log (4)log a a x x ->，∴4x x ->，解得x ＜2．∴不等式1log (4)log a ax x ->-的解集为(,2)-∞．【错因分析】错解中的底数a 的值不确定，因此要分类讨论．另外，求解时要保证真数大于0．【名师点睛】解对数不等式时，要防止定义域扩大，途径有两种：一是不同解变形，最后一定要检验；二是解的过程中加上限制条件，如正解，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解不等式组得到原不等式的解，这样得出的解就不用检验了．三．课后作业1．222log log 63+等于 A ．1B ．2C ．5D ．6【答案】B【解析】原式=2222log 6log 23⎛⎫⨯=⎪⎝⎭=2．故选B ． 2．实数01()lg42lg52-++的值为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】01()lg42lg52-++=1+lg4+lg25=1+lg100=3．故选C ． 3．已知函数f （x ）=log 2（3+x ）+log 2（3–x ），则f （1）= A ．1 B ．log 26C ．3D ．log 29【答案】C【解析】f （1）=log 24+log 22=2+1=3．故选C ． 4．若212log log 2a b +=，则有A ．a =2bB ．b =2aC ．a =4bD ．b =4a【答案】C【解析】212log log 2a b +=，得2log 2a b ⎛⎫=⎪⎝⎭，即a =4b ．故选C ． 5．设()()2log 20xf x x =>，则f （3）的值是A ．128B ．256C ．512D ．8【答案】B【解析】设log 2x =t ，则x =2t ，所以f （t ）=22t ，即f （x ）=22x ．则f （3）=32822256==．故选B ．6．log 513+log 53等于 A ．0 B ．1C ．–1D ．log 5103【答案】A【解析】原式=51log 33⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=log 51=0．故选A ．7．若a =3412（），b =1234（），c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是 A ．a 1，则a 1，b =0.43∈（0，1），c =log 0.43<0，则c C ．ln （a –b ）>0D ．3a –b <1【答案】A【解析】∵1122log log a b <，∴a >b >0，∴111()()()433a a b <<，11a b<，ln （a –b ）与0的大小关系不确定，3a –b >1．因此只有A 正确．故选A ． 11．函数()lg 2y x =+的定义域为__________．【答案】（–1，+∞）【解析】应该满足()20lg 20x x +>⎧⎨+>⎩，即2+x >1，解得x >–1，所以函数的定义域为（–1，+∞）．故答案为：（–1，+∞）．12．函数y =lg x 的反函数是__________．【答案】y =10x【解析】函数y =lg x ，可得x =10y ，所以函数y =lg x 的反函数是y =10x ．故答案为：y =10x ． 13．函数f （x ）=1ln x -的定义域为__________．【答案】（0，e]【解析】函数()1ln f x x =-的定义域为：{x |01ln 0x x >⎧⎨-≥⎩}，解得0<x ≤e ．故答案为：（0，e]．14．设2x =5y =m ，且11x y+=2，则m 的值是__________．【答案】10【解析】由2x =5y =m ，得x =log 2m ，y =log 5m ，由11x y+=2，得25112log log m m +=，即log m 2+log m 5=2，∴log m 10=2，∴m =10．故答案为：10．15．方程log 2（2–x ）+log 2（3–x ）=log 212的解x =__________．【答案】–116．已知f （x ）=lg （10+x ）+lg （10–x ），则f （x ）是 A ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是增函数 B ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是增函数 C ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是减函数 D ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是减函数【答案】D 【解析】由100100x x +>⎧⎨->⎩得：x ∈（–10，10），故函数f （x ）的定义域为（–10，10），关于原点对称，又由f （–x ）=lg （10–x ）+lg （10+x ）=f （x ），故函数f （x ）为偶函数，而f （x ）=lg （10+x ）+lg （10–x ）=lg （100–x 2），y =100–x 2在（0，10）递减，y =lg x 在（0，10）递增，故函数f （x ）在（0，10）递减，故选D ． 17．设正实数a ，b 满足6a =2b ，则A ．01ba << B ．12ba <<C ．23ba<<D ．34b a<<【答案】C【解析】∵6a =2b ，∴a ln6=b ln2，∴ln6ln2ln3ln2ln2b a +===1+ln3ln2=1+log 23，∵1<log 23<2，∴2<ba<3，故选C ．18．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 为1080，则下列各数中与MN最接近的是 A ．1033 B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】由题意：M ≈3361，N ≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M ≈3361≈（100.48）361≈10173，∴M N ≈173801010=1093．故选D ． 19．若log 2（log 3a ）=log 3（log 4b ）=log 4（log 2c ）=1，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a >b >c B ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a【答案】D【解析】由log2（log3a）=1，可得log3a=2，lg a=2lg3，故a=32=9，由log3（log4b）=1，可得log4b=3，lg b=3lg4，故b=43=64，由log4（log2c）=1，可得log2c=4，lg c=4lg2，故c=24=16，∴b>c>a．故选D．20．若正实数x，y满足log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），则x+3y的最小值是A．12 B．10C．8 D．6【答案】D【解析】∵log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），∴log2（x+3y）=log2x+log2（2y），即x+3y=2yx．可得：x+3y=23•3yx．∴3 2（x+3y）23()2x y+≤，当且仅当x=3y时取等．令x+3y=t，（t>0），则6t≤t2，解得：t≥6，即x+3y≥6．故选D．21．对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是A．lg y–lg x=lg yxB．lg（x+y）=lg x+lg yC．lg x3=3lg x D．lg x=ln ln10 x【答案】B22．设函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=–x对称，且f（–2）+f（–1）=2，则a= A．3 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=–x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y=–x对称的点为（–y，–x），把（–y，–x）代入y=log2（x+a），得–x=log2（–y+a），∴f（x）=–2–x+a，∵f（–2）+f（–1）=2，∴–22+a–2+a=2，解得a=4．故选D．23．已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为A．（–∞，–1）B．（–3，–1）C．[–1，+∞）D．[–1，1）【答案】B【解析】由–x2–2x+3>0，解得：–3<x<1，而y=–x2–2x+3的对称轴是x=–1，开口向下，故y=–x2–2x+3在（–3，–1）递增，在（–1，1）递减，由y =ln x 递增，根据复合函数同增异减的原则，得f （x ）在（–3，–1）递增，故选B ．24．已知函数()()212log 45f x x x =--，则函数f （x ）的减区间是A ．（–∞，2）B ．（2，+∞）C ．（5，+∞）D ．（–∞，–1）【答案】C【解析】设t =x 2–4x –5，由t >0可得x >5或x <–1，则y =12log t 在（0，+∞）递减，由t =x 2–4x –5在（5，+∞）递增，可得函数f （x ）的减区间为（5，+∞）．故选C ．25．已知R 上的奇函数f （x ）满足当x <0时，f （x ）=log 2（1–x ），则f （f （1））= A ．–1 B ．–2C ．1D ．2【答案】C【解析】设x >0，–x <0，f （x ）为R 上的奇函数，且x <0时，f （x ）=log 2（1–x ），则f （–x ）=log 2（1+x ）=–f （x ），∴f （x ）=–log 2（1+x ），∴f （1）=–1，∴f （f （1））=f （–1）=log 22=1．故选C ．26．若实数a ，b 满足a >b >1，m =log a （log a b ），2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为A ．m >l >nB ．l >n >mC ．n >l >mD ．l >m >n【答案】B【解析】∵实数a ，b 满足a >b >1，m =log a （log a b ），2(log )a n b =，2log a l b =，∴0=log a 1<log a b <log a a =1，∴m =log a （log a b ）<log a 1=0，0<2(log )a n b =<1，1>2log a l b ==2log a b >2(log )a n b =．∴m ，n ，l 的大小关系为l >n >m ．故选B ．27．函数f （x ）=log a （3–ax ）（a >0且a ≠1）在区间（a –2，a ）上单调递减，则a 的取值范围为__________．【答案】{a |1<a 【解析】∵函数f （x ）=log a （3–ax ）（a >0且a ≠1）在区间（a –2，a ）上单调递减，∴2130a a >⎧⎨-≥⎩，求得1<a ，故答案为：{a |1<a ．28．已知函数f （x ）=a •2x +3–a （a ∈R ）的反函数为y =f –1（x ），则函数y =f –1（x ）的图象经过的定点的坐标为__________．【答案】（3，0）【解析】∵f （x ）=a •2x +3–a =a （2x –1）+3过定点（0，3），∴f （x ），的反函数y =f –1（x ）的图象经过定点（3，0）．故答案为：（3，0）．29．若函数f （x ）=log a （x 2–ax +1）（a >0且a ≠1）没有最小值，则a 的取值范围是__________．【答案】（0，1）∪[2，+∞）30．（1）5log 3333322log 2log log 8259-+-；（2）74log 2327log lg 25lg 47++．【答案】（1）–7；（2）154．【解析】（1）原式=25log 933332log 4log log 8259-+-39log 48932⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭=log 39–9=2–9=–7；（2）74log 2327log lg 25lg 47++()31424333115log lg 2542log 3lg10222344-=+⨯+=++=-++=．31．求函数f （x ）=log 13（x 2–3）的单调区间．3+∞），单增区间是（–∞，3）．【解析】要使函数有意义，当且仅当u =x 2–3>0，即x 3x <3又x 3+∞）时，u 是x 的增函数； x ∈（–∞，3）时，u 是x 的减函数．而u >0时，y =log 13u 是减函数，故函数y =log13（x 2–33+∞），单增区间是（–∞，3 32．已知函数f （x ）=lg （x +1）–lg （1–x ）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【答案】（1）（–1，1）；（2）f（x）为奇函数．【解析】（1）要使原函数有意义，需满足10 10 xx+>⎧⎨->⎩，解得–1<x<1，故函数的定义域为（–1，1）；（2）∵f（–x）=lg（1–x）–lg（1+x）=–f（x）∴f（x）为奇函数．33．已知函数f（x）=log a（1+x）–log a（1–x），其中a>0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（35）=2，求使f（x）>0成立的x的集合．【答案】（1）（–1，1）（2）奇函数，理由详见解析；（3）（0，1）．（3）若f（35）=2，∴log a（1+35）–log a（1–35）=log a4=2，解得a=2，∴f（x）=log2（1+x）–log2（1–x），若f（x）>0，则log2（x+1）>log2（1–x），∴x+1>1–x>0，解得0<x<1，故不等式的解集为（0，1）．34．（2018•天津）已知a=log2e，b=ln2，c=121log3，则a，b，c的大小关系为A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b【答案】D【解析】a=log2e>1，0<b=ln2<1，c=log1213=log23>log2e=a，则a，b，c的大小关系c>a>b，故选D．35．（2018•天津）已知a=log372，b=1314（），c=131log5，则a，b，c的大小关系为A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 【答案】D【解析】∵a=log372，c=131log5=log35，且5732>>，∴337512log log>>，则b=1311()144<=（），∴c>a>b．故选D．36．（2018•新课标Ⅲ）设a=log0.20.3，b=log20.3，则A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b【答案】B37．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=__________．【答案】7【解析】∵常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）．f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f （x ）=1og 2（x +a ）的图象经过点（1，3），∴log 2（1+a ）=3，解得a =7．故答案为：7．38．【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=__________．【答案】2-【解析】()()))ln1ln1f x f x x x +-=+++()22ln 12x x =+-+2=，∴()()2f a f a +-=，则()2f a -=-，故答案为：–2．。

教学设计

教学设计---《对数函数及其性质》天津市四合庄中学张基海一、教学分析（一）本节课整合点：利用信息技术突破重、难点：①对数函数的作图是本课的一个难点，由于第一次接触对数函数，一般的描点法作图（单纯的靠几个特殊点和连线）不足以说明对数函数的图像特征，所以用几何画板编辑对数函数的图像可以让学生更信服这一新的基本初等函数的图像。

②利用对数函数的图像特征归纳对数函数的性质是本课的重点也是难点，利用信息技术我们可以轻易的做出对数函数（底数任意发生变化）的图像，这是传统教学方法做不到的地方，能让学生真正的利用图像观察出对数函数的性质，认识底数a与对数函数图象之间的关系，为学生的理解和记忆提供了更大的帮助。

③例题中信息技术的应用，可以使对数函数性质的应用再一次从图像中得到升华，一方面便于学生解题，另一方面加深了学生对图像和性质的记忆。

④由于本课内容作图比较多，所以采用多媒体辅助教学。

增加课堂容量，提高课堂效率，若教师板书作图这节课45分钟是完不成的。

⑤通过几何画板、flash课件展示，可以吸引学生的注意力，活跃课堂气氛，调动学生参与解决问题的积极性。

（二）教学内容分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教A版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。

本节内容是在学习指数函数、对数的基础上引入的。

对数函数的学习，不但是对函数这一重要思想的进一步认识与理解，使学生的知识体系更加完善、系统，同时，它又是学生进一步学习，解决生产和生活中实际问题的重要工具。

（三）学生情况分析高一学生对于集合下定义的函数的概念已经学完，指数函数已经学完了，但函数的概念比较抽象，对数函数概念本身也很抽象的。

学生以前没学过对数，根本不认识对数符号，而学习对数函数最好是运用学科的内在联系，对数函数是指数函数的反函数来导入研究，而反函数前面课程学生也没学过，因此可以通过描点连线画图像来宏观认识，再运用对数与指数互为逆运算来引导与指数函数来研究对数函数，进而用几何画板、flash动画给学生以深刻的印象，同时渗透同底的对数函数和指数函数是互为反函数，使学生对数函数图像在产生的深刻的印象，教学效果就会好很多。

《对数函数及其性质》教学设计(精品)

对数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.2．过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.3．情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1、重点：（1）对数函数的定义、图象和性质；（2）对数函数性质的初步应用.2、难点：底数a对图象的影响.（三）教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.（四）教学过程组织学生充分讨论、交流，使≠1．．师：用多媒体演示函数图象，对数函数图象有以下特征相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.不同点：y=log3x的图象是上升的，y=log x的图象是下降的备选例题例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x . ∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象. 【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }. 函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x x x ，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.对数函数及其性质（二）（一）教学目标 1．知识技能（1）掌握对数函数的单调性.x（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2．过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3．情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1a>和a<<两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有01字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程备选例题例1 比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8；（2）log35和log64.（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；【解析】（1）对数函数y= log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.（3）把lg n看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n讨论.若1＞ln n＞0，即1＜n＜10时，y = (lg n)x在R上是减函数，所以(lg n)1.7＞(lg n)2；若lg n＞1，即n＞10时，y = (lg n)2在R上是增函数，所以(lg n)1.7＜(lg n)2.若ln n = 1，即n = 10时，(ln n)1.7 = (ln n)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较.在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a ＞1时是增函数，0＜a ＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.例2 求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x xx x --- 21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.对数函数及其性质（三）（一）教学目标 1．知识与技能（1）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.（2）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质. 2．过程与方法（1）熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习. （2）综合提高指数、对数的演算能力.（3）渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.3.情感、态度、价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（3）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.（二）教学重点、难点重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.难点：反函数概念的理解.（三）教学方法通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数.（四）教学过程设计课堂练习答案备选例题例1 函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值. 【解析】根据反函数的概念，知函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（4，1），∴1log 3a =， ∴3a =.【小结】若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a .例2 求函数y = log 4 (7 + 6 x – x 2)的单调区间和值域.【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.【解析】由7 + 6 x – x 2＞0，得(x – 7) (x + 1)＜0，解得–1＜x ＜7. ∴函数的定义域为{x |–1＜x ＜7}.设g (x ) = 7 + 6x – x 2 = – (x – 3)2 + 16. 可知，x ＜3时g (x )为增函数，x ＞3时，g (x )为减函数.因此，若–1＜x 1＜x 2＜3. 则g (x 1)＜g (x 2) 即7 + 6x 1 – x 12＜7 + 6x 2 – x 22，而y = log 4x 为增函数.∴log(7 + 6 x1–x12)＜log4 (7 + 6x2–x22)，4即y1＜y2.故函数y = log4 (7 + 6x–x2)的单调增区间为(–1, 3)，同理可知函数y = log4 (7 + 6x–x2)的单调减区间为(3, 7).又g (x) = – (x– 3)2 + 16在(–1, 7)上的值域为(0, 16].所以函数y = log4(7 + 6x–x2)的值域为(–∞, 2].【小结】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义. 因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间. 求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一.。

对数函数及其性质点评(山西太原)

新人教版高中数学优质公开课精品教案及点评资料《对数函数及其性质》课例点评《对数函数及其性质》虽然是一堂较老的课例，但是通过本节课的展示，我们看到梁瑞老师给我们呈现出了一些较新的元素。

整节课他教态自然大方，教学语言简洁，板书规范明了、重点突出，教学设计理念新，教学目标、重点与难点定位准确，展现出了其良好的数学专业素养和扎实的教学功底，尤其是在调动学生活动及教学资源运用等方面，亮点颇多，主要表现在以下几个方面：1、课堂引入，勇于尝试本节课的引入教师大胆选用了很多老师所回避的课本上的考古学中的数学问题，让学生在实际问题中进行抽象得出对数函数的概念，体会对数函数的实用价值，引入的过程简明扼要，但又不缺乏内容，不但复习了前面所学的知识，而且将对数函数概念的形成提升到一个宏观认识上；2、科学引导，大胆放手由于之前指数函数学习的铺垫，在本节课的教学过程中，教师进行了大胆的尝试，无论是从研究函数的思路和方法上还是在对数函数的性质上，教师把主动权完全交给了学生，给了学生充足的时间和空间，任由其发挥，而他只作为一名倾听者，适时的规范学生的表述、纠正学生的错误，帮助学生提高语言组织能力和研究问题的能力；3、学生参与，可持续性教师的授课非常注重学生的可持续性发展，注重培养学生的学习能力，教学内容、难度收放自如，既能完成课前所设定的教学目标，又为学有余力的同学留足了思考空间，激发了他们的学习兴趣；4、科学技术，服务教学多媒体技术的应用为本节课增色不少，尤其是图形计算器，其动态作图功能是本节课的一大亮点，通过计算器的演示，很多抽象的数学问题不言而喻，免去了教师过多的解释。

而且教师在使用多媒体辅助教学时又能很好地把握尺度，既要让学生感受到客观事实，又要适度的利用理论加以论证，既培养了学生的直观想象，又培养了其逻辑推理的核心素养。

总体来说，这节课还是非常成功的。

当然，教学过程中也暴露出一些问题，比如板书字迹太过潦草，希望教师能加以改进。

高中常规工作电子资源如何突破对数函数的图像和性质教学重、难点

如何突破对数函数的图像和性质教学重、难点
在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

在教学中努力做到师生对话、生生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定的学习函数的能力，可以通过类比分析的方法。

但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，对于不同底数的对数函数的性质不能很好地进行区分。

从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受到底数取不同值时反映出不同的函数图像，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图像的共同特征、函数图像的规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。

结合指数函数的学习方法，数形结合，通过让学生动手画图、观察、猜想、归纳与概括等方法，建立对数函数模型。

应用数形结合与特殊到一般、分类讨论的数学研究方法以及练习，让学生掌握其图像与性质的拓展与应用，达到熟练对数函数图像性质的应用。

对于不同底数的对数函数，教师要引导学生对比联系、数形结合以及分类讨论等思想方法来探究，让学生动手画图、观察图像，启发学生思考、分析、归纳，从而深刻理解底数对图像的影响及对数函数的性质。

对数函数及其性质教案完整版

对数函数及其性质教案完整版一、教学目标：1.了解对数函数及其定义；2.掌握对数函数的基本性质；3.能够应用对数函数解决实际问题。

二、教学重点：1.对数函数的定义；2.对数函数的基本性质；3.对数函数的应用。

三、教学难点：1.对数函数的基本性质的证明；2.对数函数的应用解题。

四、教学准备：教师：黑板、白板、多媒体课件等；学生：课本、笔记本、纸和笔等。

五、教学过程：第一步：导入新课1.通过解决以下问题引入对数函数的概念：如果2^x = 16，那么x等于多少？如果x = log2 16，那么2^x等于多少？2.引入对数函数的定义：如果a > 0且a≠1，那么形如y = loga x的函数叫做以a为底的对数函数。

第二步：讲解对数函数的基本性质1.性质1：y = loga x的定义域是(0，+∞)，值域是(-∞，+∞)；2.性质2：y = loga x的图像关于直线y = x对称；3.性质3：loga 1 = 0，loga a = 1；4.性质4：对于任意正数a和b，有loga (b×c) = loga b + loga c；5.性质5：对于任意正数a和b，有loga (b/c) = loga b - loga c；6.性质6：对于任意正数a和b，有loga (b^k) = kloga b。

第三步：巩固对数函数的基本性质1.达标训练：设f(x) = 2^x，g(x) = log2 x，证明f(g(x)) = x和g(f(x)) = x；2.巩固练习：计算下列各式：(1) log3 9；(2) log2 8 - log2 2；(3) log5 25^3；(4) log6 36/6第四步：讲解对数函数的应用1.利用对数函数性质解决实际问题：(1)使用对数函数求解指数增长问题；(2)使用对数函数求解指数衰减问题；(3)使用对数函数求解复利问题。

第五步：练习与拓展1.练习册上的相关习题；2.参考教材上的拓展练习。

《对数函数》重点难点

《对数函数》重点难点本节的教学重点是对数函数的概念、图象和性质．理解对数的意义、符号，以及如何从对数函数的图象归纳出对数函数的性质，是教学时可能遇到的难点．2．2．1 对数与对数运算本小节的教学重点是对数的定义和运算性质，难点是对数的概念．对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为当1,0≠>a a 时，N a b N b a =⇔=log ．所以指数式N a b=中的底数，指数，幂与对数式b N a =log 中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：对数首先作为一种运算，由N a b =引出的，在这个式子中已知一个数a 和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂求指数就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)，所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对N a b =的全面认识．此外对数作为一种运算除了认识运算符号“log ”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，同时又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．对数运算的符号的认识与理解是学生认识对数的一个障碍，其实log 与+，,⨯等符号一样表示一种运算，不过对数运算的符号写在前面，学生不习惯，所以在认识上感到有些困难．2．2．2 对数函数及其性质本小节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是如何从对数函数的图象归纳出对数函数的性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，研究它的图象和性质就成为教学的重难点．对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础．对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础展开的．对数函数的研究过程也同指数函数的研究过程一样，目的是让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认识．对数函数也是本章的一个重点内容．由于对数函数与指数函数有着很多对应的性质，在研究对数函数的性质时，可以仿照研究指数函数的性质进行．函数图象是研究函数性质的直观工具．函数图象可以用列表、描点、绘图或利用信息技术绘图．利用函数的图象便于学生发现、概括、记忆函数的性质．体现数形结合的思想．对数函数的图象和性质也是分两种情况来研究的，对于底数a 在1>a 和10<<a 两种不同情况时，有共同点也有不同点，再研究时要注意区分．。

《对数函数及其性质》教案

对数函数及其性质【教学目标】①理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的性质.③通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．【教学重难点】重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点：底数a对对数函数图象和性质的影响.【教学过程】（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性. （二）情景导入、展示目标1、让学生看材料：材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。

大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。

人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。

图 4—1（如图4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了）那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？前面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用573012logt P =估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关系，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数；材料2（幻灯）：如图4—2，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y 就是要得到的细胞个数x 的函数,即x y 2log =；图 4—22、引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： 22log y x =，5log 5xy = 都不是对数函数． ○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 3、根据对数函数定义填空；例1 （1）函数2log a y x =的定义域是___________ (其中a>0,a ≠1)(2) 函数log (4)a y x =- 的定义域是___________ (其中a>0,a ≠1) （三）合作探究、精讲点拨〈1〉、画图、形成感知 1．确定探究问题教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？学生1：对数函数的图象和性质教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？学生2：先画图象，再根据图象得出性质教师：画对数函数的图象是否像指数函数那样也需要分类？学生3：按1a >和1a 0<<分类讨论教师：观察图象主要看哪几个特征？学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：步骤一：用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log = x y 21log =步骤二：观察对数函数x y 2log =与x y 21log =的图象特征，看看它们有那些异同点。

对数函数及其性质教案

对数函数及其性质教案一、教学目标：1. 理解对数函数的定义和性质。

2. 学会运用对数函数解决实际问题。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 对数函数的定义与性质2. 对数函数的图像与性质3. 对数函数的应用4. 对数函数的进一步性质5. 对数函数解决实际问题三、教学重点与难点：1. 对数函数的定义与性质2. 对数函数的图像与性质3. 对数函数解决实际问题四、教学方法：1. 讲授法：讲解对数函数的定义、性质和图像。

2. 案例分析法：分析对数函数在实际问题中的应用。

3. 问题驱动法：引导学生思考对数函数的性质和解决实际问题。

五、教学准备：1. 教学课件：制作课件，展示对数函数的图像和性质。

2. 教学案例：准备一些实际问题，让学生思考和解决。

3. 练习题：准备一些练习题，巩固学生对对数函数的理解。

【导入】引导学生回顾指数函数的性质和图像，激发学生对对数函数的兴趣。

【新课导入】1. 讲解对数函数的定义：以自然底数e为例，介绍对数函数的定义和表达式。

2. 讲解对数函数的性质：分析对数函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。

3. 展示对数函数的图像：利用课件展示对数函数的图像，让学生感受对数函数的性质。

【案例分析】1. 分析实际问题：让学生思考对数函数在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。

2. 解决实际问题：引导学生运用对数函数解决实际问题，培养学生的应用能力。

【练习巩固】1. 布置练习题：让学生独立完成练习题，巩固对数函数的基本性质。

2. 讲解练习题：挑选部分练习题进行讲解，解答学生的疑问。

【课堂小结】总结本节课的主要内容和收获，强调对数函数的性质和应用。

【课后作业】布置课后作业，让学生进一步巩固对数函数的知识。

六、教学拓展：1. 对数函数的导数：讲解对数函数的导数公式，让学生了解对数函数的斜率变化。

2. 对数函数的积分：介绍对数函数的不定积分和定积分，理解对数函数的累积意义。

对数函数重难点题型

对数函数重难点题型
1. 对数函数的定义：对数函数的定义是y=logₐx，其中a为底数，x为真数，y为对数。

考生需要了解对数函数的基本定义，并
能够根据给定的底数和真数求对数的值。

2. 对数函数和指数函数的关系：对数函数和指数函数是互为反
函数的关系。

要求考生根据对数函数和指数函数的特点，能够互相
转化。

例如，给定一个指数函数，要求将其转化为对数函数表达式。

3. 对数函数的性质：对数函数具有一些重要的性质，如对数函
数与指数函数的性质、对数函数的单调性、对数函数图像的特点等。

考生需要熟悉这些性质，并能够灵活运用于解决问题。

4. 对数函数的方程和不等式：对数函数的方程和不等式是对数
函数应用的常见题型，要求考生能够根据对数函数的性质，解决对
数方程和不等式。

例如，给定一个对数方程，要求解出所有满足条
件的解。

5. 对数函数与其他函数的组合：对数函数与其他函数的组合是对数函数应用的一种常见形式。

要求考生能够根据组合函数的定义和性质，对复合函数进行求导、求极限等操作。

6. 对数函数的应用：对数函数在实际问题中有广泛的应用，如在生物学、经济学、物理学等领域中。

考生需要能够将数学模型转化为对数函数，并应用对数函数解决实际问题。

以上是关于对数函数的重难点题型的简要介绍。

通过熟练掌握对数函数的概念、基本性质和应用，考生可以提升解决对数函数相关问题的能力，更好地应对考试中的各种题型。

必修1《2_2_2对数函数及其性质》

必修1《2.2.2 对数函数及其性质》一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。

对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有很多类似之处。

与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，水平要求也更高。

学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提升，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。

二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生很多学习特点，水平发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。

因为函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算水平有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。

教师必须理解到这个点，教学中要控制要求的拔高，注重学习过程。

三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据实行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标1．通过具体实例，直观理解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生使用函数的观点解决实际问题。

五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，假设要求这种细胞经过多少次分裂，大约能够得到细胞1万个，10万个……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即；图12.引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，都不是对数函数．②对数函数对底数的限制：，且．3．根据对数函数定义填空；例1 （1）函数y=log a x2的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)(2) 函数y=log a(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止。