教案数据的数字特征
高中数学 第五章 统计与概率 5.1.2 数据的数字特征学案 新人教B版必修第二册-新人教B版高一第
5．1.2 数据的数字特征考点 学习目标核心素养基本数字特征 理解数据的基本数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差与标准差等 数据分析数字特征的应用会用数字特征解决相关问题数学运算问题导学预习教材P61－P67的内容，思考以下问题： 1．数据的数字特征主要有哪些？ 2．实际问题是如何用数字特征刻画的？ 3．方差与标准差有什么关系？1．最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示．2．平均数(1) x －＝1n(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＝1n ∑i ＝1nx i ＝nt ；其中符号“∑”表示求和，读作“西格玛”. (2)求和符号的性质：①∑i ＝1n(x i ＋y i ) ＝∑i ＝1nx i ＋∑i ＝1ny i ；②∑i ＝1n ( kx i ) ＝k ∑i ＝1nx i ；③∑i ＝1nt ＝nt ；④1n ∑i ＝1n(ax i ＋b )＝a x －＋b ． 3．中位数、百分位数(1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数．(2)设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，x 3，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数．特别地，规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是x n (即最大值)． 4．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．5．极差、方差与标准差(1)极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差． (2)方差：s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2．(3)如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2； (4)方差的算术平方根为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数是一组数据中间的数．( ) (2)众数是一组数据中出现次数最多的数．( )(3)一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )A ．减少计算量B ．避免故障C ．剔除异常值D ．活跃赛场气氛解析：选C.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________，25%分位数为________．答案：6 5样本中共有5个个体，其值分别为a ，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．解析：由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2利用概念求平均数、中位数、众数某电冰箱专卖店出售容积为182 L 、185 L 、228 L 、268 L 四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就做一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．(1)这组数据的平均数有实际意义吗？ (2)这组数据的中位数、众数分别是多少？ (3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数？【解】 (1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值． (2)这组数据共有110个，中位数为228，众数为228.(3)专卖店总经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228 L 型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．一组数据中出现次数最多的数据是众数，它是我们关心的一种集中趋势，通常选择众数进行决策．若数据3.2，3.4，3.2，x ，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．解析：由题意x ＋3.42＝3.5，x ＝3.6，所以众数是3.2，平均数是16(3.2＋3.4＋3.2＋3.6＋3.9＋3.7)＝3.5.答案：3.2 3.5利用三数——平均数、众数、中位数解决问题某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩甲乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力647284(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．【解】 (1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73， 乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， 所以候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3， 乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8， 所以候选人甲将被录用．5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．小王数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少？解：小王平时测试的平均成绩x －＝89＋78＋853＝84(分)．所以84×10%＋90×30%＋87×60%10%＋30%＋60%＝87.6(分)．所以小王该学期的总评成绩应该为87.6分．极差、方差与标准差某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．小宇的作业：解：x －甲＝15(9＋4＋7＋4＋6)＝6，s 2甲＝15[(9－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2]＝15(9＋4＋1＋4＋0) ＝3.6.甲、乙两人射箭成绩统计表第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 46 乙成绩757a7(1)a ＝________；x 乙＝________； (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；(3)①观察图，可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．【解】 (1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30， 则a ＝30－7－7－5－7＝4，x －乙＝30÷5＝6， 故答案为：4，6； (2)如图所示：(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定， 故答案为：乙；s 2乙＝15[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1.6，由于s 2乙＜s 2甲，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a 的值进而利用方差的意义比较稳定性即可．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)： 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙8375808090859295(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．解：(1) x －甲＝18(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，x －乙＝18(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知x －甲＝x －乙＝85分，所以s 2甲＝18[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为x －甲＝x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．1．已知一组数据2，1，x ，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是( ) A ．2 B ．2.5 C ．3D ．5解析：选B.由众数的意义可知x ＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为2＋32＝2.5.2．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2，3x 2－2，3x 3－2，3x 4－2，3x 5－2的平均数和方差分别为( )A ．2，13B ．2，1C ．4，23D ．4，3答案：D3．样本101，98，102，100，99的标准差为( ) A. 2 B ．0 C ．1D ．2解析：选A.样本平均数x －＝100，方差为s 2＝2， 所以标准差s ＝2，故选A.4. ∑i ＝15（2i －1）＝ .解析：∑i ＝15(2i －1)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：255．甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．解析：由题意知x －乙＝6，s 2乙＝6<s 2甲，则乙的成绩比较稳定． 答案：乙[A 基础达标]1．已知一组数据3，a ，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B.由数据3，a ，4，5的众数为4，可得a 为4，再求这组数据3，4，4，5的平均数为4.2．小华所在的年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法错误的是( )A ．1.65米是该班学生身高的平均水平B ．班上比小华高的学生人数不会超过25人C ．这组身高数据的中位数不一定是1.65米D ．这组身高数据的众数不一定是1.65米解析：选B.本题考查了一组数据中中位数、平均数、众数的概念及三者的取法，由平均数所反映的意义知A 选项正确，由中位数与平均数的关系确定C 选项正确，由众数与平均数的关系确定D 选项正确，由于平均数受一组数据中的极大、小值的影响，故B 选项错误．3．某排球队12名队员的年龄如下表所示：A ．19岁，19岁B ．19岁 ，20岁C ．20岁 ，20岁D ．20岁 ，22岁解析：选B.由众数的定义可知，数据19出现的次数最多达4次，12个数据中，由小到大排列后第6个与第7个位置上的数都是20，这两个数的平均数也是20.所以该队队员年龄的众数与中位数分别是19岁，20岁．4．已知一组数据：12，5，9，5，14，则下列说法不正确的是( ) A ．平均数是9 B ．中位数是9 C ．众数是5D ．极差是5解析：选D.数据描述类的题目，主要考查了平均数、中位数、众数、极差的计算，题目数据比较简单，先从简单的众数入手，C 是正确的，其次从小到大排列5，5，9，12，14，B 是正确的，再算平均数，所以A 也正确，故选择D.5．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2，得s 2＝110×100－32＝1，即标准差s ＝1.6．某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛的得分，要判断他是否获奖，只需知道这11名学生决赛得分的( )A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差解析：选A.由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知11人成绩的中位数是第6名的得分．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的得分以及全部得分的中位数，比较即可．7．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．解析：由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是40×90＋50×8190＝85(分)．答案：858．某住宅小区6月份随机抽查了该小区6天的用水量(单位：吨)，结果分别是30、34、32、37、28、31，那么，请你估计该小区6月份(30天)的总用水量约是________吨．解析：(30＋34＋…＋31)÷6＝32，所以估计该小区6月份(30天)的总用水量约是32×30＝960(吨)． 答案：9609．某学校抽查了某班级某月5天的用电量，数据如下表(单位：度)：(1)求这5(2)求这5天用电量的众数、中位数；(3)学校共有36个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量． 解：(1)因为(9×3＋10×1＋11×1)÷5＝9.6， 所以这个班级5天用电量的平均数为9.6度． (2)众数是9度，中位数是9度． (3)因为9.6×36×22＝7603.2，所以估计该校该月的总用电量为7603.2度．10．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)．如果甲、乙两人只有1解：甲的平均数为： x －甲＝15(10＋8＋9＋9＋9)＝9.乙的平均数为： x －乙＝15(10＋10＋7＋9＋9)＝9.甲的方差为s 2甲＝15[(10－9)2＋(8－9)2]＝25.乙的方差为s 2乙＝15[(10－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2]＝65.甲、乙两人平均数相同，但s 2甲<s 2乙，说明乙的波动性大，故应让甲入选．[B 能力提升]11．(2019·湖南省张家界市期末联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y ，10，11，9，(x ，y ∈N )，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.由这组数据的平均数为10，方差为2可得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，因为不要直接求出x 、y ，只要求出|x －y |，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，由(x －10)2＋(y －10)2＝8得t 2＝4；所以|x －y |＝2|t |＝4.故选A.12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3解析：选D.根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故选D.13．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x ，23，27，28，31，中位数为22，则x ＝________．解析：由题意知x ＋232＝22，则x ＝21.答案：2114．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36. 根据以上数据，试判断他们谁更优秀．解：x －甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝1986＝33，s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝16×94≈15.7； x －乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33， s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝16×76≈12.7. 所以x －甲＝x －乙，s 2甲＞s 2乙.说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．[C 拓展探究]15．一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．解：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)s 2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝150×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.s 2乙＝150×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256. 因为s 2甲＜s 2乙，所以甲组成绩较乙组成绩稳定．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为20人，乙组成绩大于或等于90分的人数为24人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时，乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．。
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》第一章：数据的描述1.1 数据的概念与分类理解数据的概念掌握数据的分类：定量数据、定性数据1.2 数据的收集与整理学习数据收集的方法理解数据整理的意义掌握数据整理的基本技巧第二章：平均数2.1 平均数的定义与计算理解平均数的概念学会计算简单数据的平均数2.2 平均数的作用与局限性理解平均数在数据分析中的作用认识平均数的局限性第三章：中位数3.1 中位数的定义与计算理解中位数的概念学会计算简单数据的中位数3.2 中位数的作用与局限性理解中位数在数据分析中的作用认识中位数的局限性第四章：众数4.1 众数的定义与计算理解众数的概念学会计算简单数据的众数4.2 众数的作用与局限性理解众数在数据分析中的作用认识众数的局限性第五章：方差5.1 方差的定义与计算理解方差的概念学会计算简单数据的方差5.2 方差的作用与局限性理解方差在数据分析中的作用认识方差的局限性第六章：标准差6.1 标准差的定义与计算理解标准差的概念学会计算简单数据的标准差6.2 标准差的作用与局限性理解标准差在数据分析中的作用认识标准差的局限性第七章：离散系数7.1 离散系数的定义与计算理解离散系数的概念学会计算简单数据的离散系数7.2 离散系数的作用与局限性理解离散系数在数据分析中的作用认识离散系数的局限性第八章：数据的关系与趋势8.1 数据的关系：相关系数理解相关系数的概念学会计算简单数据的相关系数8.2 数据的趋势：趋势线理解趋势线的作用学会绘制简单数据的趋势线第九章：数据的分布9.1 数据的正态分布理解正态分布的概念学会识别正态分布的数据9.2 数据的偏态分布理解偏态分布的概念学会识别偏态分布的数据回顾本章所学的内容理解各种数字特征在数据分析中的应用10.2 数据的数字特征应用实例通过实例分析，运用所学知识解决实际问题重点和难点解析重点一：数据的分类数据的分类是理解后续数字特征的基础。
定量数据和定性数据的区别需要学生深刻理解，这将直接影响到对平均数、中位数、众数等概念的理解。
《数据的数字特征第1课时》参考教学方案
数据的数字特征第1课时1．通过实例理解数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数，理解不同数字特征的优势与不足．2．会用求和符号表示平均数，掌握求和符号的性质．3．能根据现实问题的需要选择恰当的数字特征来表达数据信息，体会数字特征在分析数据时的重要作用，培养数学抽象能力、数学运算能力、数据分析素养．教学重点：理解数据的数字特征（最值、平均数、中位数、百分位数和众数）的计算、意义与作用．教学难点：数字特征的计算及求和符号的运用．PPT课件．一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本课时将要研究哪类问题？（2）本课时要研究的问题在数学中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括本课时要研究的内容．预设的答案：（1）本节内容主要研究数据的数字特征——最值、平均数、中位数、百分位数；（2）通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关统计的基础知识：从普查到抽样、简单随机抽样、分层抽样.数据的数字特征是将得到的多个数据“加工”成一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征.从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程.会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响.设计意图：通过本课时内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知观察如下数据：69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 7366 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 8876 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 7870 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84问题2：看到数据的第一感觉是什么？预设的答案：乱而多，这是什么数据……问题3：你能够从中得到哪些信息？预设的答案：一共有62个数据，都是两位数，其中最大数为89，感觉七十多的数据比较多…师生活动：教师引导学生充分讨论发言，并不限定学生发言的角度．在交流过程中不断完善.若研究的数据是两班的语文成绩如下：高一（1）班期中考试语文成绩69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 7366 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88高一（2）班期中考试语文成绩76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 7870 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84问题4：为了对比两个班的成绩，你能够从哪些角度分析数据？预设的答案：引导学生回忆初中学习过的数字特征：最大值，平均数，中位数等.设计意图：从数据出发，让学生亲身感受数据分析的必要性，不借助数字特征并不能够很好的认识数据．开放性的问题，激发学生的学习兴趣，调动已有经验．引语：在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值.即为本节我们要研究的内容（板书：数据的数字特征）1．形成定义（1）最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况，一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．（2）平均数如果给定的一组数是12,,...,n x x x ，则这组数的平均数为：121(...)n x x x x n=+++这一公式在数学中常简记为：11ni i x x n ==∑注：（1）其中的符号∑表示求和，读作“西格玛”，∑右边式子中的i 表示求和的范围，其最小值和最大值分别写在∑的下面和上面．例如3712256715,ii i i xx x x x x x x ===++=++∑∑（2）求和符号∑具有以下性质：111()n n n iiiii i i x y x y ===+=+∑∑∑，11()n niii i kx k x ===∑∑，1ni t nt ==∑问题5：某武术比赛中，共有7个评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分，按照这样的规则，根据以下数据，计算三位选手的最后得分：（1）从数学的角度，讨论为什么要去掉一个最高分与最低分后再计算平均数，以及平均数具有什么特点：（2）有人认为，应该把最高分与最低分之外的分数总分作为选手的最后得分，讨论这样的计分规则与前面的规则是否有本质上的区别.师生活动：学生小组讨论，得出答案，教师帮助总结答案.预设的答案：（1）平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值.很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大等，会去掉最低分与最高分后再计算平均数．；平均分刻画了一组数据的平均水平（或中心位置）（2）计算总分与计算平均分没有本质上的区别.设计意图：为了让学生明了平均数容易受到最值的影响、思考平均数的本质含义以及怎样利用平均数的性质来简化计算.2．教师讲解一般地，利用平均数地计算公式可知，如果12,,...,n x x x 的平均数为x ，且,a b 为常数，则12,,...,n ax b ax b ax b +++的平均数为ax b +，这是因为1111111()[()]()n n nn i i i i i i i ax b ax b a x nb n n n ====+=+=+∑∑∑∑11()ni i a x b ax b n ==+=+∑ 问题5：有甲、乙两个组，每组有6名成员，他们暑假读书的本数分别如下： 甲组：1，2，3，4，5； 乙组：0，0，1，2，3，12． （1）分别求出两组数的平均数；（2）平均数是否很好地表示了每一组数的中心位置？如果没有，可以选择什么数来表示？师生活动：学生充分思考后，写出并有老师给出答案.预设的答案：（1）上述甲、乙两组数的平均数均为3，（2）用3来刻画乙组数的中心位置是不合适的，因为这组数中有5个数都不大于3．一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置.设计意图：强调中位数的性质：至少有一半的数值不小于中位数，也至少有一般地数值不大于中位数.教师讲解 一般地，（1）如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为1221,,...,n x x x + ，则称1n x +为这组数的中位数；（2）如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为122,,...,n x x x ，则称12n n x x ++为这组数的中位数．问题6：指出甲乙两组数的中位数，并思考：中位数是否能比较全面地体现数据的分布特点？如果不能，有什么补救的办法？预设的答案：将甲、乙两组数小于5.5的前10个数分别看出一组数，则它们的中位数分别是2.5，1，这两个数能够反映甲、乙两组数小于5.5的数的分布特点，因为这两个数是通过找小于或者等于中位数的所有数的中位数得到的，所以它们分别称为甲、乙两组数的25%分位数．设计意图：通过数据，让学生观察到研究小于等于中位数的所有数的中位数的必要性.展示数学知识发生发展的过程.教师讲解一般地，当数据个数较多时，可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点. 一组数的%((0,100))p p ∈分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有%p 的数据不大于该值，且至少有(100)%p -的数据不小于该值．注：（1）直观来说，一组数的%p 分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于%p 位置的数，例如中位数就是一个50%分位数．（2）按照定义可知，%p 分位数可能不唯一（3）设一组数按照从小到大排列后为12,,...,n x x x ，计算%i np =的值，如果i 不是整数，设0i 为大于i 的最小整数，取0i x 为%p 分位数：如果i 是整数，取12i i x x ++为%p 分位数.特别的，规定：0分位数是1x （是最小值），100%分位数是n x （即最大值）．（4）实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数） 三、初步应用例1 计算甲、乙两组数的75%分位数．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：因为数据个数为20，而且：2075%15⨯= 因此，甲组数的75%分位数为：15169109.522x x ++== 乙组数的75%分位数为：151610141222x x ++== 设计意图：针对比较熟悉的数字特征，师生共同总结梳理，学会列表整理的方法．结合实例，理解求和符号及其性质，培养学生的数学抽象能力，数学运算能力．由于表达形式比较抽象，可借助具体例子进行说明．四、归纳小结，布置作业问题7：本课时学到的数据的数字特征有哪些？他们各自的数字特征是什么？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：最值、平均数、中位数、百分位数，最值反映的是这组数最极端的情况；平均数刻画的是一组数据的平均水平（或中心位置）；中位数反映了一组数据的“中等水平”；百分位数反映的一组大数据中p%分位数.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确数据的数字特征． 五、目标检测设计1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（ ）A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.5 设计意图：考查学生对平均数的掌握程度．2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80．则这组数据的平均数是________． 设计意图：考查学生对平均数的计算．3．以下10个数据：49，64，50，48，65，52，56，46，54，51的中位数是________． 设计意图：考查学生对中位数的计算．4．某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）如下65，65，66，74，73，81，80，则它们的第三四分位数是________ ．设计意图：考查学生对百分位数的计算． 参考答案： 1．【答案】B【解析】少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3．2．【答案】50【解析】x －＝18（20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80）＝50．3．【答案】51.5【解析】12（51＋52）＝51.5．4．【答案】80【解析】从小到大排序为65，65，66，73，74，80，81，第三四分位数即75%分位数，7×75%＝5.25，所以第三四分位数是第6项数据80．。
数据的数字特征
数据的数字特征
4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2 标准差
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的 特点．
2．要重视数据的计算，体会统计思想．
【核心扫描】
1．各种数字特征的意义以及计算．(重点)
2．学习标准差的概念，通过实例理解样本标准差的意义 和作用，会由方差求标准差．(重点、难点)
课前探究学习 课堂讲练互动
1 s乙＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋ 6 (100－100)2＋(100－100)2]＝1(cm2)． (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2 >s2 ，所 甲 乙 以乙机床加工零件的质量更稳定．
用标准差．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
求一组数据的平均数、中位数和众数
【例1】在一次乒乓球单打比赛中，甲选手在1比3落后的情况 下连扳三局，4比3击败乙选手成功卫冕，这七局的比分 是：4∶18，8∶11，11∶5，4∶11，11∶9，11∶8，
11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中
【题后反思】 用样本估计总体时，样本的平均数、标准 差只是总体的平均数、标准差的近似值．实际应用中，当 所得数据平均数不同时，须先分析平均水平，再计算标准 差(方差)分析稳定情况．
课前探究学习 课堂讲练互动
【训练3】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了 检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为： 甲：99 100 98 100 100 103
1 [错解] (1)该单位员工的月工资的平均数为 ×(5×800＋ 50 10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 500)＝ 1 320(元)，中位数为 1 200 元，众数为 1 200 元．
数据的数字特征
§4 数据的数字特征【自主探讨学习】 【自主归纳】1、平均数：一组数据的和与这组数据的个数的商，数据, ,……，的平均数=nx x x n+++ 212、中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数成为这组数据的中位数。
若个数为偶数，中位数为位于中间的数的平均数，若个数为奇数，位于中间的数为中位数。
3、（1）众数：一组数据中出现次数最多的数为这组数据的众数。
（2）众数特征：一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。
反应该数据的集中趋势 4、极差 一组数据的最大值与最小值的差成为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况。
5、标准差：样本数据到平均数的一种平均距离。
S=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+-6、方差，即标准差的平方 =【问题研讨】疑点一：中位数，众数和平均数的作用及区别①中位数，众数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量 ②平均是的大小与一组数据里的每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动。
③众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据又关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往能反映问题。
④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不再所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中集中趋势。
【问题研讨】：1、已知一组数据为10，20，80，40，30，90，50，40，50，40.这组数据的众数是40，中位数是40 平均数是_____。
2、某鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学初二某班的20名男生所穿鞋号的统计如右表：那么这20名男生鞋号数据的平均数是24.55，中位数是24.5，众数是25，在平均数、中位疑点二 方差和标准差都是用来描述一组数据被动情况的特征数，方差和标准差的大小与数据被动有何关系？数据的方差（标准差）越大，数据的波动越大，稳定性越差，反之方差（标准差）越小，波动越小，稳定性越好。
高中物理数字特征教案设计
高中物理数字特征教案设计课时数：1课时教学内容：数字特征教学目标：1. 了解数字特征在物理中的重要性和应用。
2. 能够计算和理解常见的数字特征，如平均值、中值、标准差等。
3. 学会如何利用数字特征进行数据分析和解释。
教学重点：1. 数字特征的定义和计算方法。
2. 数字特征在物理实验和数据分析中的应用。
教学难点：1. 如何正确计算和理解数字特征。
2. 如何将数字特征应用到实际问题中。
教学过程：一、导入环节（5分钟）1. 引导学生思考：在实验中，我们通常会得到很多数据，但如何从这些数据中提取出有用的信息呢？2. 引出本节课的主题：数字特征。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍数字特征的定义和分类。
2. 解释平均值、中值、标准差等常见的数字特征的计算方法。
3. 举例说明如何计算和理解数字特征。
三、实践操作（20分钟）1. 让学生自己动手计算一组数据的平均值、中值和标准差。
2. 给出一些实验数据，让学生计算并分析其中的数字特征。
四、案例分析（10分钟）1. 给出一个物理实验的数据，让学生利用数字特征进行分析和解释。
2. 引导学生讨论如何有效地利用数字特征来说明实验结果。
五、总结评价（5分钟）1. 总结本节课的重点和难点。
2. 检查学生对数字特征的理解和掌握程度。
扩展延伸：1. 让学生自行搜索和了解其他常见的数字特征，并尝试应用到实际问题中。
2. 带领学生探讨数字特征在不同领域的应用，如物理、生物、经济等。
教学资源：1. 数据表格和实验数据供学生实践操作。
2. 多媒体设备展示数字特征的计算方法和实际应用。
3. 相关的教学参考书籍和资料供学生深入学习。
教学反馈：1. 课后布置作业，让学生独立计算一组数据的数字特征，并进行分析。
2. 定期进行小测验或实践性考察，检验学生对数字特征的掌握情况。
通过本节课的教学，学生将能够更深入地理解数字特征在物理中的应用和重要性，提高数据分析和实验设计的能力。
(完整版)用样本的数字特征估计总体的数字特征(教案)
2。
2。
2 用样本的数字特征估计总体的数字特征一、教学目标1．能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． 2．会求样本的众数、中位数、平均数．3．能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 二、教学重难点重点:根据实际问题，对样本数据提取基本的数字特征并做出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性．难点:在频率分布直方图中分析众数、中位数、平均数. 三、众数、中位数、平均数的概念 1。
众数的概念一组数据中重复出现次数_____的数叫做这组数的众数 2。
中位数的定义把一组数据按大小顺序排列，把处于_____位置的那个数称为这组数据的中位数； 当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的____的那个数；当数据个数为偶数时,中位数是按大小顺序排列的最中间两个数的_________。
3.平均数的概念 如果有n 个数12,,,n x x x ,那么这n 个数的算术平均数就是这组数平均数，即例1:在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下: 甲运动员：7,8，6,8,6，5，8，10,7,4 乙运动员：9，5，7,8，7，6，8,6，7,7观察上述样本数据，分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数？ 甲运动员命中环数:众数: 中位数：平均数:786865810746.910x +++++++++==乙运动员命中环数:众数： 中位数：平均数：9578768677710x +++++++++==例2、在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。
众数（最多的）： ；中位数（最中间的）: 平均数 ：四、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 思考1：如何从频率分布直方图中估计出众数的值？例3：在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，这些样本数据的频率分布直方图如下所示:观察图形，估计出众数的思考2：如何从频率分布直方图中估计出中位数的值？在样本中，有50％的个体小于或等于中位数,也有50％的个体大于或等于中位数反映到频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值. 所以，中位数在频率分布直方图中，就是使其左右小矩形面积和相等 思考3：如何从频率分布直方图中估计出平均数的值?例4：射击选手甲10次的射击情况，求其命中环数的平数2.54.5所以,平均数为:456272831010x ++⨯+⨯+⨯+=1122314567810101010101010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯即：平均数等于每个命中环数乘以该数的频率之和例5：100位居民月均用水量的频率分布表，求其平均数的估计值0.250.040.750.08 1.250.15 1.750.22 2.250.252.750.14 3.250.06 3.750.04 4.250.022.02x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以，平均数的估计值=小矩形底边中点的横坐标乘以对应频率之和 思考4：怎么在样本的频率分布直方图中估计出平均数的值？平均数的估计值=每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 五、反思与感悟 :众数：最高矩形端点的横坐标;中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和。
高中数学人教B版2019必修第二册数据的数字特征
【归纳总结】
平均数是数据的重心，它是反映数据集中趋势的一项指标.任何一个数据的改变
最中间的两个数的平均数. 注意：一组数据的中位数只有一个.
（2）百分位数
一组数的p%（p∈（0，100））分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p% 的数据不大于该值，且至少有（100-p）%的数据不小于该值.
直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于 p%位置的数.例如，中位数就是一个50%分位数.
绩，且这组数据的平均数为9环，∴ 9 8 10 8 x ＝9，解得x＝10，
5
∴ 这组数据的方差是 (9 9)2 (8 9)2 (10 9)2 (8 9)2 (10 9)2 ＝ 4 .
5
5
【答案】 4
5
【方法技巧】
标准差和方差的计算步骤
（1）计算出一组数据的平均数； （2）计算出这组数据中每个数据与平均数的差xi- x （i＝1，2，…，n）； （3）计算出（xi- x ）2（i＝1，2，…，n）； （4）计算出（xi- x ）2（i＝1，2，…，n）这n个数的平均数，即为这组数据的方差s2； （5）计算出方差的算术平方根，即为这组数据的标准差s.
xi
+b＝
+b.
3. 中位数与百分位数
(1)中位数 一组数的平均数与这组数中的每一个数都有关，特别地，平均数容易受
到最值的影响，因此有时平均数并不能很好地表示这组数的中心位置.而中位数就是这
《通过抽样数据的数字特征估计总体的数字特征》教案
《通过抽样数据的数字特征估计总体的数字特征》教案通过抽样数据的数字特征估计总体的数字特征教案1. 引言本教案旨在介绍通过抽样数据的数字特征来估计总体的数字特征的方法和技巧。
估计总体的数字特征是统计学中重要的任务之一，它可以帮助我们了解总体的基本情况，并作出相应的判断和决策。
2. 基本概念2.1 抽样数据抽样数据是从总体中获取的一部分样本数据。
通过对抽样数据的分析，可以推断总体的情况。
2.2 数字特征数字特征是描述数据集的统计指标，例如平均值、中位数、标准差等。
它们可以帮助我们了解数据集的分布和集中趋势。
3. 估计总体的数字特征的方法3.1 点估计点估计是通过样本数据得到总体数字特征的一个具体估计值。
常用的点估计方法有样本均值估计总体均值、样本方差估计总体方差等。
3.2 区间估计区间估计是通过样本数据得到总体数字特征的一个估计范围。
常用的区间估计方法有置信区间估计总体均值、置信区间估计总体比例等。
3.3 抽样方法正确选择抽样方法对于准确估计总体数字特征至关重要。
一些常用的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
4. 实例演示通过具体实例对估计总体数字特征的方法进行演示。
实例可以是某个具体调查或研究中的数据集。
5. 练与总结通过练题对学生的掌握情况进行测试，并总结本课程的要点。
6. 参考资料列出相关的参考资料，供学生进一步研究与参考。
以上即为《通过抽样数据的数字特征估计总体的数字特征》教案的内容概要。
通过本教案的学习，学生将能够掌握通过抽样数据估计总体数字特征的方法和技巧，为统计分析提供基础知识和操作指导。
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》一、教学目标：1. 理解数据的数字特征的概念和意义。
2. 学会计算数据的众数、平均数、中位数、方差等数字特征。
3. 能够运用数字特征对数据进行分析和解释。
二、教学内容：1. 数据的数字特征的定义和意义。
2. 众数的计算方法和应用。
3. 平均数的计算方法和应用。
4. 中位数的计算方法和应用。
5. 方差的计算方法和应用。
三、教学过程：1. 导入：通过实例引入数据的数字特征的概念，激发学生的兴趣。
2. 众数：讲解众数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握众数的计算和应用。
3. 平均数：讲解平均数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握平均数的计算和应用。
4. 中位数：讲解中位数的定义和计算方法，通过例题让学生掌握中位数的计算和应用。
5. 方差：讲解方差的定义和计算方法，通过例题让学生掌握方差的计算和应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解数据的数字特征的概念和计算方法。
2. 例题解析法：通过例题让学生理解和掌握数据的数字特征的计算和应用。
3. 练习法：通过练习题让学生巩固和加深对数据的数字特征的理解和应用。
五、教学评价：1. 课堂问答：通过提问了解学生对数据的数字特征的概念和计算方法的掌握情况。
2. 练习题：通过练习题的完成情况了解学生对数据的数字特征的计算和应用的能力。
3. 课后作业：通过课后作业的完成情况了解学生对数据的数字特征的理解和应用的情况。
六、教学资源：1. 教学PPT：用于展示数据的数字特征的概念和计算方法。
2. 练习题库：用于巩固学生的学习和检测学生的掌握情况。
3. 数据分析软件：用于展示数据的数字特征在实际应用中的效果。
七、教学环境：1. 教室：提供宽敞的学习空间和舒适的学习环境。
2. 计算机：用于展示PPT和数据分析软件。
3. 投影仪：用于展示PPT和数据分析软件。
八、教学拓展：1. 数据的数字特征在实际应用中的案例分析。
2. 数据的数字特征在其他学科中的应用。
3. 数据的数字特征的进一步研究和发展。
数据的数字特征教案
数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解数据的数字特征的概念。
2. 让学生学会计算数据的众数、中位数、平均数、方差和标准差。
3. 培养学生运用数字特征分析数据的能力，提高数据处理和解决问题的能力。
二、教学内容1. 众数：一组数据中出现次数最多的数。
2. 中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数。
3. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数。
4. 方差：衡量一组数据波动大小的量。
5. 标准差：方差的平方根，衡量一组数据离散程度的量。
三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、中位数、平均数、方差和标准差的计算方法及其应用。
2. 教学难点：方差和标准差的计算方法，以及如何运用数字特征分析数据。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究问题来学习数据的数字特征。
2. 利用实例和练习题，让学生动手计算和分析数据，提高实际操作能力。
3. 采用小组讨论和汇报的形式，培养学生的合作意识和沟通能力。
五、教学过程1. 导入：通过一个现实生活中的问题，引出数据的数字特征的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解众数、中位数、平均数、方差和标准差的定义和计算方法。
3. 练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
4. 案例分析：给出一个实际案例，让学生运用数字特征分析数据，解决问题。
6. 作业布置：布置一些有关数据的数字特征的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，评估学生对数据的数字特征的理解和应用能力。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作意识和沟通能力。
3. 案例分析报告：评估学生在案例分析中的分析能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 介绍其他数据的数字特征，如极值、范围、四分位数等。
2. 介绍方差和标准差的计算公式及其推导过程。
3. 探讨数据的数字特征在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、生物学等领域。
八、教学资源1. 教案、PPT和教学素材。
数据的数字特征教案
数据的数字特征教案一、教学目标1. 让学生理解众数、平均数、中位数、方差等基本概念。
2. 培养学生运用数字特征分析数据的能力。
3. 引导学生通过实际问题，感受数字特征在生活中的应用。
二、教学内容1. 众数的定义及其求法。
2. 平均数的定义及其求法。
3. 中位数的定义及其求法。
4. 方差的定义及其求法。
5. 数字特征在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。
2. 教学难点：方差的计算及其实际应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。
2. 采用案例分析法，分析数字特征在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引出数据的数字特征这一概念。
2. 讲解：讲解众数、平均数、中位数、方差的定义及其求法。
3. 案例分析：分析数字特征在实际问题中的应用，如统计考试成绩、分析商品销售数据等。
4. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学知识分析数据。
6. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对众数、平均数、中位数、方差概念的理解。
2. 练习题：布置相关的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识点的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和分析问题的能力。
七、教学拓展1. 引入更多类型的数据特征，如标准差、离差等。
2. 探讨数字特征在实际领域中的应用，如经济学、生物学等。
八、教学资源1. 教材：《数学统计基础》、《数据分析与应用》等。
2. 网络资源：相关在线教程、视频讲解等。
3. 实际案例数据：收集各类实际数据，用于案例分析。
九、教学建议1. 注重学生的基础知识培养，加强对众数、平均数、中位数、方差概念的理解。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
3. 布置多样化的作业，让学生在实践中巩固知识。
教案数据的数字特征》
课时教案4课题：数据的数字特征一、教学分析在初中阶段，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差等概念，它们都是一些统计量，反映了数据的集中趋势与离散程度。
在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。
二、教学建议1、本节开始，可结合上一节茎叶图的相关内容，让学生计算初中已经学习过的统计量，让学生复习初中学习的统计量的内容，并能在这个过程中体会用不同的统计量刻画数据集中趋势的不同。
2、在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。
在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式之间的异同。
3、作为本节的结束，可安排教材的“动手实践”活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断的过程，进一步体会统计对决策的作用。
三、教学目标1、知识与技能（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。
（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2、过程与方法在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。
23、情感态度价值观通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。
四、教学重点、难点教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差。
教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。
（一）课题引入数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。
（二）探求新知请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考。
数据的数字特征
x1 x2 xn 数据x1, x2, …, xn的平均数为 x n
注意: 任何一个数据的改变都会引起平均数的变化, 这是众数 和中位数都不具有的性质. 2.中位数 一组数据按从小到大的顺序排成一列, 处于中间位 置的数或中间两个数的平均数称为这组数据的中位数. 注意: 一组数据中的中位数是唯一的, 反映了该组数据的集中 趋势. 3.众数 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数. 注意: 一组数据中的众数可能不止一个, 也可能没有, 反映了 该组数据的集中趋势.
问哪个班男生100米短跑平均水平高一些? 解: x甲 1 (15.1 14.8 14.1 14.6 15.3 14.8 14.9 10 14.7 15.2 14.5) 14.8( s) 1 x乙 (15.0 15.0 14.2 14.5 16.1 15.2 14.8 10 14.9 15.1 15.2) 15.0( s)
15.67 3.9585(m/s) 1 又 x乙 (33 29 38 34 28 36) 33 6 1 s乙 [(33 33) 2 (29 33) 2 (36 33) 2 ] 6 12.67 3.5595(m/s)
x甲 x乙 , s甲 s乙
x甲 x乙 ∴ 甲班男生短跑的平均水平高些.
练习2.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行6次测试,测 得他们最大速度(m/s)的数据如右: 甲 27 38 30 37 35 31 33 29 38 34 28 36 试比较这两名划艇运动员谁更优秀. 乙
1 x ( 27 38 30 37 35 31) 33 甲 解: 6 1 s甲 [(27 33) 2 (38 33) 2 (31 33) 2 ] 6
高中数学 第一章 统计 14 数据的数字特征教案1 北师大版必修3 教案
一、教材分析1、教学内容北师大版普通高中课程标准试验教科书数学必修3第1章《4.数据的数字特征》教学设计.2、内容分析《普通高中数学课程标准》中要求数学学习应倡导教师在学习中起主导作用,而学生是学习的主体,自主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等学习数学的方式。
提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一，本节课将使学生经历数学知识产生的过程性体验，发展学生的数学思维。
《课标》提倡利用信息技术来呈现以往数学学习中难以呈现的课程内容，在教学评价中要求体现评价的多元化。
《课标》中对本节教学内容的要求是：1通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2、能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。
教材通过3个实例的分析，在初中统计学习的基础上理解平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差，对数据的刻画特点，例1目的在于使学生理解不同的人根据需要会选择不同的统计量来说明数据，例2要求学生根据茎叶图的分布特征来估计两组数据数字特征的大小、例3是对标准差计算的复习.动手实践部分意义在于使学生体会一次完整收集数据、整理数据、分析数据、得到统计结论的完整统计活动。
二、学情分析1、基础知识:学生在初中已经学习了平均数、众数、中位数、极差、方差和标准差这几个数字特征，并且会给出一组数据，计算其这几个统计量。
2、学习能力和态度：在基础知识学习的基础上，本节学生要理解各个数字特征的特点,同时理解标准差对数据刻画的优势，并且更进一步理解各数字特征对数据刻画的意义。
三、教学目标１、知识与技能理解不同数字特征的意义和作用，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。
２、过程与方法通过实例，能结合具体情境理解数据标准差的意义和作用，培养学生解决问题的能力，提高学生的运算能力。
３、情感、态度与价值观通过探求反映数据波动情况的统计量，培养学生开放性思维，培养学生的动手操作能力和实践能力。
高中物理数字特征教案
高中物理数字特征教案教学内容：数字特征教学目标：1. 了解数字特征在物理中的作用和意义。
2. 掌握数字特征的计算方法和应用。
3. 能够通过数字特征来分析和解决物理问题。
教学重点：1. 数字特征的定义和分类。
2. 数字特征的计算方法。
3. 数字特征在物理实验和计算中的应用。
教学难点：1. 如何正确理解和运用数字特征。
2. 如何通过数字特征分析和解决物理问题。
教学准备：1. 教师准备好数字特征的相关知识和案例。
2. 准备多媒体教学辅助工具。
3. 准备实验器材和实验指导书。
教学过程：Step 1：导入介绍数字特征在物理中的作用和意义，引导学生思考数字特征的定义和分类。
Step 2：讲解1. 介绍数字特征的定义和分类。
2. 讲解数字特征的计算方法和应用。
Step 3：示范通过实验展示数字特征的应用和计算方法，引导学生动手实践。
Step 4：练习布置练习题，让学生在课堂上或者课后进行练习，巩固数字特征的理解和掌握。
Step 5：讨论组织学生展示练习题的答案，并进行讨论和解析。
Step 6：总结总结本节课的重点内容，强调数字特征在物理中的重要性，并鼓励学生多加练习。
Step 7：作业布置作业，让学生巩固数字特征的理解和运用。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该对数字特征的定义、分类、计算方法和应用有一定的了解和掌握，能够通过数字特征来分析和解决物理问题。
同时，教师应该鼓励学生积极思考和实践，提高他们的实际动手能力和问题解决能力。
5.1.2数据的数字特征(二)
5.1.2数据的数字特征教学设计：孙芳中国人民大学附属中学审核指导：张鹤北京市海淀区教师进修学校教学课时：第2课时教学目标：1、通过实例理解数据的数字特征：极差、方差与标准差，理解不同数字特征的优势与不足；2、掌握求和符号在方差中的运用，并能用其推导方差的性质；3、在处理数据的过程中，培养数学抽象能力、数学运算能力、数据分析素养．教学重点：求和符号的运用及方差的计算与性质．教学难点：方差的计算与性质及选择恰当的数字特征进行数据分析．教学过程：一、复习巩固某校为了普及冬奥会的知识，举行了一次知识竞赛，满分为10分．已知学生得分均为整数，成绩达到6分及以上且9分以下为合格，达到9分及以上为优秀．这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下表所示：回答如下问题：预设答案：支持甲，可以参考合格率、优秀率；支持乙，可以看平均数、中位数、方差等．课堂上，根据学生的回答情况适时引导．问题2：根据这个实际问题的相关数据，整理出数字特征，列表表示．【设计意图】通过实际问题，回顾上节课的内容，选择数字特征进行分析，体会数据分析思想．开放性问题，希望激发学生不同的看问题的角度，更加符合实际，体会数学在生活中的作用．引出方差，既是复习，也是为了引出后面的研究问题．让学生体会不同数字特征在数据分析中的作用．二、方差及其性质问题4：请你借助求和符号来表示方差，并探索方差的性质．思考：④介绍标准差，类比方差，整理标准差的符号表示及性质．师生共同完善数字特征表格：【设计意图】极差与方差一直都是学生熟悉的，因而符号表达及性质的推导是重点，可以让学生推理，在具体推理演算过程中，培养学生的数学抽象能力与数学运算能力．梳理成表格的形式一目了然，是上节课内容的延续，也是学习方法的积累．三、例题应用例：计算下列各组数的方差．（1）18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5；（2）2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6．思考：解：（1）将每一个数乘以10，再减去190，可得1-，5，5，2，0，2-，5．这组新数的平均数为方差为（2）可将数据整理为每一个数都减去4可得这组数的平均数与方差分别为【设计意图】虽然只是数据的计算，但是性质的运用却可以使之简化，运算能力的培养也就逐步形成． 四、课堂练习1.（课本第68页练习B 第3题）记100，100，300，500，500的平均数为1a ，标准差为1b ；200，200，300，400，400的平均数为2a ，标准差为2b ，比较1a 与2a 的大小，1b 与2b 的大小．参考答案：12a a =，12b b >．2.（课本第88页习题5－1B 第2题）已知1x ，2x ，…，n x 的平均数为10，标准差为3，且2i i y x =+，1,2,,i n =．求1y ，2y ，…，n y 的平均数与方差．参考答案：12；9．五、课堂小结1. 理解数据的数字特征；2. 会用求和符号表示与推导．六、布置作业1. 阅读课本第67页6用信息技术求数据的数字特征；2. 课本第67页练习A 第3题，课本第87页习题5－1A 第4题；3. 学有余力的同学思考：课本第89页习题5－1C 第1题．。
教案《数据的数字特征》
教案《数据的数字特征》一、教学目标1. 让学生理解众数、中位数、平均数等数据的数字特征概念。
2. 培养学生运用数据分析问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略。
二、教学内容1. 众数：一组数据中出现次数最多的数。
2. 中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，位于中间位置的数。
3. 平均数：一组数据的总和除以数据的个数。
三、教学重点与难点1. 教学重点：理解众数、中位数、平均数的定义及求法。
2. 教学难点：众数、中位数、平均数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究数据的数字特征。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体验数据的数字特征。
3. 组织小组合作交流，培养学生解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如调查同学们最喜欢的学科，引入众数的概念。
2. 讲解：讲解众数、中位数、平均数的定义及求法。
3. 案例分析：分析一组具体数据，求出众数、中位数、平均数，并讨论其在实际问题中的应用。
4. 实践操作：让学生分组收集一组数据，计算众数、中位数、平均数，并分析结果。
6. 课后作业：布置一道有关数据数字特征的练习题，巩固所学知识。
教案《数据的数字特征》（后续章节待补充）六、教学评价1. 评价内容：学生对众数、中位数、平均数的理解与应用。
2. 评价方法：课堂问答、练习题、小组讨论、课后作业。
3. 评价指标：a. 能否正确理解众数、中位数、平均数的定义。
b. 能否运用众数、中位数、平均数解决实际问题。
c. 小组合作交流的效果。
七、教学资源1. 教材：数据数字特征相关章节。
2. 辅助材料：数据收集表、练习题、案例分析资料。
3. technology：投影仪、计算机、网络等。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解众数、中位数、平均数的定义及求法。
2. 第3-4课时：案例分析，实际问题中的应用。
3. 第5-6课时：实践操作，分组收集数据并分析。
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教案数据的数字特征 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】课时教案4课题：数据的数字特征一、教学分析在初中阶段，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差等概念，它们都是一些统计量，反映了数据的集中趋势与离散程度。
在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。
二、教学建议1、本节开始，可结合上一节茎叶图的相关内容，让学生计算初中已经学习过的统计量，让学生复习初中学习的统计量的内容，并能在这个过程中体会用不同的统计量刻画数据集中趋势的不同。
2、在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。
在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式之间的异同。
3、作为本节的结束，可安排教材的“动手实践”活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断的过程，进一步体会统计对决策的作用。
三、教学目标1、知识与技能（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。
（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2、过程与方法在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。
23、情感态度价值观通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。
四、教学重点、难点教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差。
教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。
（一）课题引入数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。
（二）探求新知请大家思考，初中时我们学习了几个统计量它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考。
1、平均数、中位数、众数某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下：（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么 （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平为什么 （4）公司经理会选取上面哪个数据来代表该公司员工的月工资情况 税务官呢工会领导呢通过这个问题的解决，我们应该认识到，各个不同的统计量适用于刻画不同的统计数据，并且有着各自的特点。
平均数：一般地，对于N 个数N x x x ,,,21 ，我们把Nx x x N+++ 21叫做这N 个数的算术平均数，简称平均数。
平均数是数据的重心，它是反映数据集中趋势的一项指标。
它的优点在于：对变量的每一个观察值都加以利用，比起众数与中位数，它会获得更多的信息；但是平均数对个别的极端值敏感，当数据有极端值时，最好不要用均值刻画数据。
众数：一组数据中出现次数最多的数据。
众数着眼于对各数据出现的次数的考察, 是一组数据中的原数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量； 注意：（1）一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、-1、2、l 、3中， 2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数．（2）如果出现个数一样的数据，或者每个数据都只有一次，那么众数可以 不止一个或者没有。
中位数：将一组数据从小到大排列或从大到小排列，处在中间位置上一个数据（或中间两个数据的平均数）。
中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数据大，对于非对称的数据集，中位数更能实际地描述数据的中心。
某些数据的变动对它的中位数影响不大。
当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。
注意：（1）求中位数要将一组数据按大小顺序，而不必计算，顾名思义，中位数就是位置处于最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数），排序时，从小到大或从大到小都可以．（2）在数据个数为奇数的情况下，中位数是这组数据中的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等．在同一组数据中,众数、中位数和平均数也各有其特性:（1）中位数与平均数是唯一存在的,而众数是不唯一的；（2）众数、中位数和平均数在一般情况下是各不相等,但在特殊情况下也可能相等。
如,在数据6、6、6、6、6中,其众数、中位数、平均数都是6。
（3）众数和中位数可以代表数据分布的大体趋势，缺点在于并没有对数据中的其它值加以利用。
到底用什么统计量来刻画数据，需要结合数据的特点及你想要说明的问题进行选择。
不同的人立场不同，会选择不同额统计量来说明他的观点，这也就是我们要对统计结论进行批判性思维的原因。
2、极差、方差甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。
为了检验产品的质量，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，结果如下：那么，我们可以用哪些数据来刻画数据的离散情况呢方法1、极差甲：（mm ），乙：（mm ）； 方法2、方差甲：()1022111400.02610i i s x ==-=∑，乙：()1022211400.00610i i s x ==-=∑；方法3、甲：()()404039.84039.840100.14mm -+-++-÷=， 乙：()()4040404039.940100.06mm -+-++-÷=；方法4、甲：()()333404039.84039.840100.005mm -+-++-÷=乙：()()3334040404039.940100.0006mm -+-++-÷=那么，在刻画数据的离散程度时，这个统计量应该满足哪些原则呢（1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息； （2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度；（3）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值也大。
极差是指一组数据内的最大值和最小值之间的差。
极差=最大值—最小值极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能细致地反映测量值彼此相符合的程度。
极差是总体标准偏差的有偏估计值，当乘以校正系数之后，可以作为总体标准偏差的无偏估计值，它的优点是计算简单，估算大致范围时用它.极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的，极差不一定也大． 方差，是一组数据据内，每个数与平均数的差数的平方和。
方差是表现数据的离散程度的（波动情况），方差越小，数据的离散程度越小，也就越接近平均值,当要求某问题的稳定程度就用它.计算公式：设在一组数据,,12n x x ,x …中，x是它们的平均数，则方差为： 3、标准差方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画数据离散程度的一种理想度量应该具有与原始数据相同的单位，因而引入标准差，标准差更能反映数据的离散程度。
标准差（Standard Deviation ），也称（mean square error ），是各数据偏离的距离的平均数，在中最常使用作为程度（statistical dispersion ）上的。
标准差定义为的，反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值， 与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差的意义：标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准差越低,代表实验的数据越精确。
注：以上各量都带单位。
（三）知识应用例 甲、乙两名战士在相同条件下各射击靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5． （1）分别计算以上两组数据的平均数； （2）分别求出这两组数据的方差；（3）请根据这两名射击手的成绩画出折线统计图，并估计这两名战士的 射击情况。
解：（1）7107768=++++=甲x （环），7105776=++++= 乙x （环）（2）0.3]77()76()78[(1012222=-++-+-=）s 甲（环2） 2.1])75()77()76[(1012222=-++-+-= 乙s （环2）（3）因为=甲x 乙x ，所以说明甲、乙两名战士的平均水平相当．又因为>甲2s 乙2s ，所以说明甲战士射击情况波动大．故乙战士比甲战士射击情况稳定．（四）课堂练习1、一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋20双，其中各种尺码的鞋的销量如表所示：指出这组数据的众数、中位数、平均数。
解：30cm ，21cm 的鞋各出现5次，故众数为30cm ，21cm ；求中位数时应注意，在排列数据时应考虑每一个数出现的次数，本题 中共有20514352=+++++个数据，第10位数据为23，第11位数据是25，故中位数22423+＝24(cm)。
平均数为6.2420254215233202281305=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(cm)2、下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：请参照这个表解答下列问题：（1）用含x ，y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ； （2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求,x y 的值。
解：（1）355940x y f ++=；（2）依题意，有354111{x y x y +=+=解得74{x y ==3、（2007海南高考，理11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各 射箭20次，三人的测试成绩如下表： 甲的成绩：乙的成绩：丙的成绩：123s s s 、、分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差， 则有（C ）A.123s s s >>B.312s s s >>C.213s s s >>D.231s s s >>4、课本第31页 练习 （五）课堂小结本节课我们学习了用合适的统计量来刻画数据的数字特征，平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差都可以刻画数据的数字特征，在实际问题中要根据问题的实际情况选择合适的统计量来刻画数据的数字特征。
（六）分层作业1、课本第23页 习题1—4 1、22、课本第69页 复习参考题一 A 组5、63、三维设计相关内容4、阅读课本第29—30页 利用信息技术计算数字特征。